^ Shelf Accessious ± BOSTON LV CONDIT-VAD- _ ^ TKO.M THK CTitrlr Jxiu D PL^iR / i 1 Digitized by the Internet Archive in 2017 with funding from Boston Public Library https://archive.org/details/philosophiaenatuOOnewt_0 l I' i i PHILOSOPHIiE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA Autore J S, NEWTON^ Er in. CoU. Cantah. Soc. Mathefbos Profeflbre Lucafiano^ &: Societatis Regalis Sodali. IMPRIMATUR- S. P E P Y s, Keg. Soc. P R .E S E S. Julii 5. 1686. 0 n dJn /, JulTu Societatis Regi^ ac Typis Jofephi Streater. Proflat apud plurcs Bibliopolas. Anno MDCLXXXVII. is injita efl pot^fiqrefiJi^dij^qHarorpHs umimquodq'-, , quan- tum in fe eji^ ^erfez>erat hi flatu fuo ‘z/el qiiiefcendi ‘vel movendi uniformiter dire^um, ^ Haec fetnper proportionalis eft fuo corpori, neq*, differt quic- quam ab inertia Malli, nili in modo concipiendi. Per inertiam materise Iit ut corpus oinne de ftatu fuo quiefcendi vel moven- di difficulter deturbetur. Unde etiam vis infita nomine lignifican- tiffimo vis inertiae dici poffit. Exercet vero corpus hanc vim foium- nlodo m mufarioTie fta tus fui per vim aliam in fe imprelfam fafia^ effq; exercitium ejus fub diverlb refped:u et Reffftentia et Impetus .* l^eflfte^tia^uatenus corpus ad conferva nduna ffatum fuum relu^- afdr VI iffiprefli'^ Impetus' quateilus corpus idem, vi refiftentis ob- ffaculi difficulter cedendo, conatur ftatum ejus mutare. Vulgus Re- liltentiani. qui^entibuset) Impetum moventibus tribuit; led mo- Kisjaui quies,' uti vulgorconcipiuntur, refpeflu folo diftiriguiintur ab mvkeniy/ineq.yljBraper vere xjuiefcunt quae vulgo tanquam quiefeen- tisL fpeciaiittir.i . . ■ ■ ■ ’ ’ = Def IV; ‘ -n !'•' 'hjii oiii ■ r iov Moq’io:i?;drri >:; dij) rc‘ 'f: , ' a . Vis) mprsiflt) rfl^ corpiisAVxercita^ i aU nnaandum^ ejus flatum i 9^hqufljcedd^ fmmendi nnifarniiter m dircBum,. ' vis in asione fola, neq; poft aiftionem permanet in corpore. Perfeverat enim corpus in ftatu omni novo per folafn ‘ " vim [3D vim ineiti^. EA iiiipfeffa di,verAirgQi.o^.igimimj .ut, idu, ex prefiione, ex vi centripeta. Def. V. Vis centripeta efl qmforpus ‘verfus pim^tm aliqu^ t^quam qd cen^ trum trahitur-^ impellitur y ‘z/el utcmqy tendat* ^ ^ ; Hujus generis eA gravitas^qua corpus tendit centrum Terrae : Vis magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa, quaecunq; fit, qua Planetae perpetuo retrahuntur a motibuf? re<5i^i-' lineis, et in lineis curvis revolvi coguntur. Tfl; autem vis centripetae quantitas trium generum, abfoluta, acceleratrix et motrixi'- Def. VI. Vif centripetcC qmmitds ahfdluta eji m^nfurd ejufd^m major *vel minor pro e-^cacHa caufe eam propagantis a centro p& regimus in circuitu. Uti virtus Magnetica major in uno magnete, niinor in alio. Def. VII. - Vis centripet^ quantkas acceleratrix eji ipftus menfura Velocitati pre^ portionalis y quam dato tempore generat, ' ^ Uti Virtus Magnetis ejufdcmmajor in minori Diftantia, minor in majori: vel vis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus praealtorum montium ( ut experimento pendulorum conjfiatj) atqj adhuc minQr(ut pofthac patebit) in majoribus diftantiis a Terra^ in aequalibus autem diftantiis eadem undiqj propterea quod corpora omnia cadentia ( gravia an levia, magna an parva ) fublata Aeris refi ftentia ,' aequaliter accelerat. Def. VIII. Vis centripet£ quantitas motrixeji ipjius menfura proportionalis mo^ tuiy quem dato tempore generat. Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore , inq; cor- B 2 porc t + . pore eodem ma)us prope terram, minus in cselis. Haec vis efl cor poris totius centripetentia fcu propenfio in centrum & ( ut ita di- cam ) pondus, & innotefeit femper per vim ipfi contrariam & ae- qualem, qua defcenfus corporis impediri poteli Halce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires abrolutas,acceleratrices Sc motrices,&; diftindlionis gratia referre ad corpora, ad corporum }oca,&ad centrum viriumiNimirum vimmotri- cem ad corpus, tanquam conatum Scpropenlionem totius in centrum, ex propenfionibus omnium partium compofitum^ & vim acceleratri- cem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca fingula in ciraiitu diffiufam, ad movenda corpora quae in ipfis funt j vim autem abfolutam ad centrum, tanquam caufa aliqua praeditum, fine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu ; five caufa illa fit corpus aliquod centrale ( quale eft Mag- ne& in centro vis Magneticae vel Terra in centro vis gravitantis^five alia aliqua quae non apparet. Mathematicus faltem efl: hic concep- tus. Nam virium caufasSc fedes phyficas jamnon expendo. Eft igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas admo- tum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate duefa in quantt tatem Materiae, & vis motrix ex vi acceleratrice du£fa in quanti- tatem ejufdem materiae. N am fumma affionum vis acceleratricis in fingulas corporis particulas eft vis motrix totius. Unde juxta Superficiem Terrae, ubi gravitas acceleratrix l'eu vis gravitans in corporibus univerfis eadem eft, gravitas motrix feu pondus eft ut corpus : at fi in regiones afeendatur ubi gravitas acceleratrix fit mi- nor, pondus pariter minuetur, eritqi femper ut corpus in gravita- tem accelera tricem dr6fiim. Sic in regionibus ubi gravitas accele- ratrix duplo minor eft, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadri.plovd fex ruplo minus. Po.ro attiaffiones et impulfus eodem fenfu accelera trices Sc motrices i omiro. Voces autem attradionis, impulfus vel propen- fioniscujufcunq in centrum,ir ai(flfenter et pro fe mutuo promifeue ufurpo, has vires non phy fice fed Mathematice tantum confide-- rando. C5] . . rando. Unde caveat Ie6^or ne per hujufmodi voces cogitet me fpeciem vel modum a^lionis caufamve aut rationem phyficam ali- cubi definire , vel centris ( quae funt pun£la Mathematica ) vires vere et phyfice tribuere, fi forte aut centra trahere, aut vires cen- trorum efie dixero. Scholium, Ha^fenus voces minus notas, quo in fenfu in fequentibus ac- cipiendae funt, explicare vifum eft. Nam tempus, fpatium, lo- cum et motum ut omnibus notilTima non definio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hafee non aliter quam ex relatione ad fenfibilia concipit. Et inde oriuntur praejudicia quaedam, quibus tollendis convenit eafdem in abfolutas & relativas,, veras Sc appa- rentes, Mathematicas et vulgares diftingui. I. Tempus abfolutum verum & Mathematicum, in fe Sc natura fua abfq; relatione ad externum quodvis, aequabiliter fluit, alioq; nomine dicitur Duratio *, relativum apparens & vulgare efi: fenfi- bilis & externa quaevis Durationis per motum menfura, ( feu ac- curata feu inaequabilis^ qua vulgus vice veri temporis utitur j ut Hora, Dies, Menfis, Annus. II. Spatium abfolutum natura fua abfq^ relatione ad externum quodvis femper manet fimilarc & immobile , relativum efi: fpatii hujus menfura feu dimenfio quaelibet mobilis, quae a fenfibus nofiris per fitum fuum ad corpora definitur, Sc a vulgo pro fpatio im- mobili ufurpatur : uti dimenfio fpatii fubterranei, aerei vclcae- lefiis definita per fitum fuum ad Terram. Idem funt fpatium ab- folutum & relativum, fpecie Sc magnitudine, fed non permanent idem femper numero. Nam fi Terra., verbi gratia, movetur, fpatium Aeris nofiriquod relative & refpe6fu Terrae femper ma- net idem, nunc erit una pars fpatii abfoluti in quam Aer tranfit^ nunc alia pars ejus, & fic abfolute mutabitur perpetuo. HL Locus eft pars fpatii quam corpus occupat , efiq; pro ra- tione. [ o tione fpatiivel abfolutusvcl relativus. Partem dico fpatii , non fitum corporis vcl fupcrficieni ambientem. Nam folidorum aequa- lium aequales femper Tunt locii Superficies autem ob difllmilitudinein figurarum ut plurimum inaequales fiunt; fitusvero proprie loquen- do quantitatem non habent, neq; tam fiunt loca quamaffe^iiones Jocorum. Motus totius idem eft cum fiumma motuum partium, hoc efit, tranflatio totius de ipfius loco eadem cum fiumma tranfia- tionum partium de locis fiuis, adeoq; locus totius idem cum fiumma locorum partium, 8c propterea internus 8c in corpore toto. IV. Motus abfiolutus eft tranflatio corporis de loco abfioluto in locum abfiolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi quae velis paflls fertur, relativus corporis locus efit navis regio illa in qua corpus verfiatur, fieu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quaeq; adeo movetur una cum Navi ; Sc Qyies relativa eft permanfio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavita* tis. At Quies vera eft permanfio corporis in eadem parte fipatii illius immoti in qua Navis ipfia una cum cavitate fiua & contentis univerfis movetur. Unde fi Terra vere quieftit, corpus quod rela- tive quieficit in Navi, movebitur vere et abfiolute ea cum Velocitate c|ua Navis movetur in Terra. Sin Terta etiam movetur, orietur verus et abfiolutus corporis motus partim ex Terrae motu vero in fpatio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terra ; et fi cor- pus etiam movetur relative in Navi, orietur verus e)us motus par- tim ex vero motu Terrae infipatio immoto, partim ex relativis mo- tibus tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut fi Terrse pars illa ubi Navis verfiatur moveatur vere in Orientem, cum V^olocitate partium i oo i o, et velis ventoq; feratur Navis in Occidentem cum l^elocitate partium decem. Nauta autem ambulet in Navi Ori- entem verfius cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta vere et abfiolute in fipatio immoto cum Velocitatis partibus loooi in O- rientem, et relative in Terra Occidentem verfius cum Velocitatis partibus novem. Tempus .[7] Tempus abfolutum a relativo diftinguitur in Aftronomia per T- quationem Temporis vulgi. Inxqualcs enim funt dies Naturales, qui vulgo tanquam a:quales pro Menlura Temporis habentur. Hanc inaequalitatem corrigunt Afironomi ut ex veriore Tempore monfu-* rent motus caeleftes. Poflibile efl; ut nullus fit motus aequabilis quo Tempus accurate menfiiretur. Accelerari Stretardari poliunt motus omnes, Ted fluxus Temporis abfoluti mutari nequit. Eadem efl; du- fatio feu perfeverantia exiflientiae rerum, five motus fint celeres, five tardi, five nullis proinde haec amenfuris Ibis fenfibilibus merito diftinguitur, & ex ijldem colligitur per iTquationem Afironomi- cam. Hujus autem aequationis in determinandis Phaenomenis ne- ceflltas^ tum per experimentum Horologii ofcillatorii, tum etiam per Eclipfes Satellitum J ovis evincitur. Ut partium Temporis ordo eft immutabilis, fic etiam ordo par- tium Spatii. Moveantur hae de locis fliis, Sc movebuntur C ut ita dicam) defeipfis. Nam Tempora & Spatia funt fuiipforum 8c terum omnium quafi loca. In Tempore quoad ordinem fucccfll- onis ^ in Spatio quoad ordinem fitus locantur univerfa. De illo- rum Eflentia efl; ut fint loca, & loca primaria moveri abrurdum efl;. Haec Ibnt igitur abfloluta loca, & Iolae tranflationes de his lo- cis funt abfoluti motus. Verum quoniam hae Ipatii partes videri nequeunt, &c ab invi- cem per fenfus nofiros diftingui, earum vice adhibemus menfuras fenfibiles. Ex politionibus enim & diftantiis rerum a corpore ali- quo, quod {pe^iamus ut immobile, definimus loca univerfa; deinde etiam & omnes motus aeftimamus cum rcrpc(fl:u ad praediifla loca, quatenus corpora ab iifdem transfert i concipimus. Sic vice loco» riim & motuum abfolutorum relativis utimur, nec incommode in rebus humanis : in Philorophicisautemabfirahcndumefta fenfibuSo Fieri etenim potefl; ut nullum revera quiefeat corpus, ad quod loca motufq; referantur. Diftinguuntur autem Oiiics 8c Motus abfoluti Sc relativi ab invi- cem per eorum proprietates, caufas Sc effedus. Qii ictis proprietas eff .[8] efr, quod corpora vere quiefcencia quiefcunt inter fe. Idcoq; cum polFibile fit ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra, quiefeat abfolute , feiri autem non poflit ex fitu corporum ad invicem in regionibus noftris, utrum horum aliquod ad longin- quum illud datam pofitionem fervet, quies vera ex horum fitu in- ter fe definiri nequit. Motus proprietas efi:, quod partes quae datas fervant pofitiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex conjundo impetu partium fingularum. Igitur motis corporibus ambientibus, moventur quae in ambientibus rela- tive quiefcunt. Et propterea motus verus et abfolutus definiri nequit per tranflationem e vicinia corporum, quae tanquam qui- clcentia fpefbantur. Debent corpora externa non folum tanquam quiefeentia fpe^lari, fed etiam vere quiefeere. Alioquin inclula omnia, praeter tranflationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros, et fiiblata illa tranflatione non vere quiefeent, fed tanquam quiefeentia folummodo fpe(5i^abun- tur; funt enim ambientia ad inclufa ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nucleus etiam, abfqi tranflatione de vicinia corticis, ceu pars totius, movetur. Praecedenti proprietati affinis eft, quod moto loco movetur una locatum, adeoq^ corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci fui motum. Igitur motus omnes, qui de locis motis fiunt, funt partes folummodo motuum integrorum et abfolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco fuo primo, et motu loci hujus de loco fuo, et fic deinceps, ufq; dum perveniatur ad locum immotum, ut in ex- emplo Nautx iupra memorato. Unde motus integri et abfoluti non nifi per loca immota definiri poffiint, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia fupra retuli : Loca autem im- mota non iunt, nifi quat omnia ab infinito in infinitum datas fer- vant vant politiones ad invicem, atq*, adeofemper manent immota, rpa- tiumq, conftituunt quod immobile appello. Caufae, quibus motus veri et relativi dillinguuntur ab invicem, funt vires in corpora imprelTae ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur nili per vires in ipRim corpus mo- tum imprelTas : at motus relativus generari et mutari potell abfq; viribus imprellls in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia folum corpora ad quae Iit relatio, ut ijs cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus conliftit. Rur- fus motus verus a viribus in corpus motum impreffis femper muta- tur, at motus relativus ab his viribus non mutatur neceflai io. Nam fi eaedem vires in alia etiam corpora, ad qux fit relatio, lic impri- mantur ut litus relativus confervetur, confervabitur relatio in qua motus relativus conliftit. Mutari igitur poteft motus omnis rela- tivus ubi verus confervatur, et confervari ubi verus mutatur ; et propterea motus verus in ejufmodi relationibus minime conliftit. Eftedus quibus motus abfoluti et relativi diftinguuntur ab invi- cem, fiint vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hx vires nullae ftint, in vero autem et abfo- luto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat fttula a lilo praelongo, agaturqj perpetuo in orbem donec filum a con- torlione admodum rigefeat, dein impleatur aqua, et una cum aqua quiefcatj tum vi aliqua fubitanea agatur motu contrario in orbem, et filo fe relaxante, diutius perfeveret in hoc motu : fuperficies a- quae fub initio plana erit, quemadmodum ante motum vafis, at poftquam, vi in aquam paulatim imprefta, effecit vas, ut haec quo- qi) fenfibiiiter revolvi incipiat, recedet ipfa paulatim e medio, afeen- detq^ ad latera vafis, figuram concavam induens, ( ut ipfc exper- tus fum) et incitatiore femper motuafccndet magis & nugis, do- nec revolutiones in aequalibus cum vafe temporibus peragendo, quiefeat in eodem relative. Indicat hic afccnfus conatum rece- dendi ab axe motus, & per talem conatum innotefeit menfura- tur motus aquae circularis verus Stabfolutus, moruiq; relativo hic C omni- Cio} omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aquae motus relativus in vafc, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe Aqua non petebat circumferentiam afeendendo ad latera vafis, fed plana manebat, Sc propterea motus illius circularis verus nondum* inceperat. Poftea vero ut aquae motus relativus decrevit, afcciifus ejus ad latera vafis indicabat conatum recedendi ab axe, atq-j hic conatus monftrabat motum illius circularem verum perpetuo cre- fcentem, ac tandem maximum fadum ubi aqua quiefccbat in vaie relative. Igitur conatus ifte non pendet a tranilatione aquae re- fpc^lu corporum ambientium, 8c propterea motus circularis verus per tales tranflationes definiri nequit. Unicus eft corporis cujufqi revolventis motus vere circularis,conatui unico tanquam proprio &: adxquato ui refpondens j motus autem relativi pro varijs re- lationibus ad externa innumeri funt, 8c relationum inftar, effe^fi- bus veris omnino dertituuntur, nifi quatenus de vero illo 8c unico motu participant. Unde & in Syftemate eorum qui Caelos noftros infra Caelos fixarum in orbem revolvi volunt, Sc Planetas fecum de- ferre Planetae 8c fingulae Caelorum partes, qui relative quidem in Caelis fuis proximis quiefeunt, moventur vere. Mutant enim po- litiones fuas ad invicem ( fecus quam fit in vere quiefeentibus ) u- naq; cum caelis delati participant eorum motus, & ut partes revol- ventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur. Igitur quantitates relativae non funt eae ipfae quantitates quarum nomina prae fe ferunt,fcd earum menfurae illae fenfibiles (verae.an er- rantes J) quibus vulgus loco menfura tarum utitur. At fi ex ufu de- finiendae lunt verborum fignificationes j per nomina illa Temporis, Spati), Loci 8c Motus proprie intelligendae erunt ha^ menfurae j Sc fermoeritinfolcns & pure Mathematicus fi quantitates men furatae hic fubintel ligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis qui voces hafee de quantitatibus menfuratis ibi interpretantur. Ncq; mi- nus contaminant Mathefin Sc Philofophiam qui quantitates veras cumiplarum relationibus &: vulgaribus menfuris confundunt. Motus C ” ] Motus quidem veros corporum fingulorum cognofcere , Sc ab apparentibus adu difcriminare, difficillimum eft , propterea quod partes fpatij illius immobilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt infenfus. Caula tamen non eft prorfus defperata. Nam fuppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui Tunt motuum verorum dffierentise, partim ex viribus quae funt motuum verorum caufae & efferius. Ut fi globi duo ad datam ab invicem diftantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum , innotefeeret ex tenfione fili conatus globorum recedendi ab axe motus, Scinde quantitas motus circu- laris computari pollet. Deinde fi vires quaelibet aequales in alternas globorum facies admotum circularem augendum vel minuendum fimul imprimerentur, innotefeeret ex au6i-a vel diminuta fili ten- fione augmentum vel decrementum motus j & inde tandem inveni- ri pollent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur, id eft facies pofticae, five quae in motu circu- lari fequuntur. Cognitis autem faciebus quae fequuntur Sc faciebus oppofitis quae praecedunt , cognofeeretur determinatio motus. In hunc modum inveniri poflet & quantitas Sc determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis immcnfo, ubi nihil extaret exter- num Sc fenfibile, quocum globi conferri pollent. Si jam confti- tuerentur in fpatio illo corpora aliqua longinqua datam inter fe politionem fervantia, qualia funt ftellae fixae in regionibus noftris fciri quidem non polfet ex relativa globorum tranflatione inter corpora, utrum his an illis tribuendus elfet motus. At fi at- tenderetur ad filum Sc inveniretur tenfionem ejus illam ipfam efie quam motus globorum requireret , concludere liceret motum efie globorum, Sctum demum ex tranllatione globorum inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex eorum caufis, efteftibus Sc apparentibus differentijs colligere, Sc contra, ex motibus feu veris feu apparentibus, eorum caufas Sc ef- leftus, docebitur fufius in fcquentibus. Hunc enim in finem Tra- ciatum fequentem compofui. C 2 AXIO- C ■» 1 AXIOMATA f SIVE LEGES MOTUS Lex. I. Corpus omne perfez>erare in flatu fluo quie flendi ^el movendi unifor- miter in direSlnm^ nifl quatenus a viribus imprejfls cogitur flatum illum mutare. PRojedilia perfeverant in motibus fuis nifi quatenus arefiften- tia aeris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorfum. Trochus, cujus partes cohaerendo perpetuo retrahunt fele a motibus redilineis , non cellat rotari nifi quatenus ab aere re- tardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora mo- tus fuos 8c progreffivos & circulares in fpatiis minus refiftentibus faflos confcrvant diutius. Lex. II. Mutationem nwtns proportionalem ejflvi motrici imprefflce., fleri fle- eundum lineam reBam qua vis illa imprimitur. Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla tri- plum generabit, iive hmul & femel, live gradatim & fucceflive im- prpda fuerit. Et hic motus quoniam in eandem femper plagam cum vi generatrice determinatur, ii corpus antea movebatur, mo- tui ejus vel confpiranti additur, vel contrario fubducitur, vel obli- q*io oblique adjicitur, & cum eo fecundum utriufq, determinatio- ricm componitur. Lex. III. [13] ' Lex. IIL ASiiom contrariam femper ^ aequalem ejfe reaElionem : fi^ve corporum duorum aEiiones in fe mutuo femper eJfe aequales in partes contra- rias dirioi, O Quicquid premit vel trahit alterum, tantundemab eo premitur vel trahitur. Siqiiis lapidem digito premit, premitur 8e hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi allegatum trahit, retrahe- tur etiam & equus aequaliter in lapidem: nam funis utrinqj diftentus eodem relaxandi fe conatu urgebit Equum verfus Iapidem, ac Ia- pidem verfus equum, tantumq; impediet progreffum unius quan- tum promovet progreffum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi fua quomodocunq: mutaverit, i- dem quoque viciffim in motu proprio eandem mutationem in par- tem contrariam vi alterius ( ob aequalitatem prefUonis mutuae ) fubibit. His a^iionibus aequales fiunt mutationes non velocitatum fed motuum, ( fcilicet in corporibus non aliunde impeditis ; ) Mu- tationes enim velocitatum, ' in contrarias itidem partes fa£fae, quia motus aequaliter mutantur, funt corporibus reciproce proportio- nales. Corol. I. Corpus ciribus conjunSiis diagonalem parallelogrammi eodem tempora defcriherey quo latera feparatis. Si corpus dato tempore, vi fola M, ferretur dh A ad B, & vi fola N, ab A ad C, compleatur parallelograni- mum ABDC^ 7 ] jj—iSciS— 2 femper erunt partium fcxdecim ut ante concur* fum & reflexionem. Cognitis autem motibus quibufcLim corpora poft reflexionem pergent, invenietur cujufqj velocitas ponendo eam eflb ad velocitatem ante reflexionem ut motus poft ad mo- tum ante. Ut in cafu ultimo, ubi corporis motus erat partium fex ante reflexionem & partium odlodecim poftea, & velocitas par- tium duarum ante reflexionem^ invenietur ejus velocitas partium fex poft reflexionem, dicendo, ut motus partes fex ante reflex- ionem ad motus partes o^lodecim poftea, ita velocitatis partes duse ante reflexionem ad velocitatis partes fex poftea. Quod fi corpora vel non Sphaerica vel diverfis in reftis moventia incidant in fe mutuo oblique, & requirantur eorum motus poft re- flexionem, cognofeendus eft fitus plani a quo corpora concurren- tia tanguntur in pundo concurfus ^ dein corporis utriufqj motus (" per Corol. 2.) diftinguendus eft in duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem parallelum ; motus autem pa- ralleli, propterea quod corpora agant in fe invicem fecundum line- am huic plano perpendicularem, retinendi funt iidem poft reflex- ionem atqi antea, & motibus perpendicularibus mutationes ae- quales in partes contrarias tribuenda llint fic, ut fumma confpi- rantium & differentia contrariorum maneat eadem quae prius. Ex Iiiquftnodi reflexionibus oriri ctbm folent motus circulares corpo-. rum circa centra propria. Sed hos cafus in fequentibus non con- fidero, Sc nimis longum effet omnia huc fpe^lantia demonftrare. Corol. Iin. Communz gravitatis centrum ah aSiionihiis corporum inter fe non imi- tat ftatum fuiim vel motus vel quietis^ propterea ^rporum om- nium in fe mutuo agentium (f exclufis aciionihus ^ irlrpeci/mentis externis ) commune centrum gravitatis vel quiefeit vel movetur uniformiter in clireSium. Nam fi punfta duo progrediantur uniformi cum motu in liiieis •rectis & diftantia eorum dividatur in ratione data, pundiim divi- D deds C «8 ]. dens vel qiilefcet vel progredietur uniformiter in linea «reda. Hoc poftea in Lemmate xxiii dcmonftratur in plano, & eadem ratio- ne demonftrari potcfl; in loco folido. Ergo Ci corpora quotcunqi moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravita- tis duorum quorumvis, vel quiefeit vel progreditur uniformiter in linea re£i:a, propterea quod linea horum corporum centra in replis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro com- muni in ratione data ; fimiliter Sc commune centrum horum duo- rum & tertii cujufvis vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linea re61a, propterea quod ab eo dividitur diftantia centri com- munis coi-porum duorum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum trium & quarti cujulVis vel quiefeit vel progreditur uniformiter in linea reda, propterea quod ab eo dividitur diftantia inter centrum commune trium & centrum quarti in data ratione, & fic in infinitum. Igitur in fyftemate corporum quae actionibus in fe invicem, alijsqj omni- bus in feextrinfecusimpreflls, omnino vacant, adeoq^ moventur lingula uniformiter in reCi-is fingulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiefeit vel movetur uniformiter in direClum. Porro in fyftemate duorum corporum in fe invicem agentium, cum diftantiae centrorum utriufq^ a communi gravitatis centro fint reciproce ut corpora, erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, aequales inter fe. • Proinde centrum illud a motuum aequalibus mutationi- bus in partes contrarias faCiis , atq^ adeo ab aCftonibus horum corporum inter (e, nec promovetur nec retardatur nec mutatio- nem patitur in ftatu luo quoad motum vel quietem. In fyftema- te autem corporum plurium, quoniam duorum quorumvis in fe mu- tuo agentium commune gravitatis centrum obadionem illam nul- latenus mutat ftatum fuumj & reliquorum, quibuscum a(ftio illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur jdif- tantia autem horum duorum cer trorum dividitucja communi cor- porum omitium centro, in partes fummis totalibus corporum, quo- rum L >s> 3 nimfunt centra, reciproce proportionales, adeoqj centris illis duo- bus ftatum fuum rnovendi vel quieicendi fervantibus, commune omnium centrum fervat etiam ftatum fuum j manifeflum ell quod commune illud omnium centrum, ob afbones binorum corporum inter fe, nunquam mutat ftatum fuum quoad motum & quietem. In tali autem fyftemate adiones omnes corporum inter fe, vel inter bina funt co pora, vel ab adionibus inter bina comppfitse, & prop« terea communi oninitfm centro mutationem in datu motus e)us vel Qyietis nunquam inducunt. Qiiare cum centrum illud obi corpo- ra non agunt in fe invicem, vel quiefeit, vel in reda aliqua progre- ditur uniformiter, perget idem, non obftantibus corporum adioni- bus inter fe, vel femper quiefeere, vel femper progredi uniformiter indiredum,nilia viribus infyftema extrinfecus impreffis deturbe- tur de hoc datu. Ed igitur fy dematis corporum plurium Lex ea- dem qua* corporis folitarii, quoad perfeverantiam in datu motus vel quietis. Motus enim progrefllvus feii corpoiis folitarii feu fy dematis corporum ex motu centri gravitatis aedimari femper de- bet. Corol. V. Corpomm dato [patio inchtforum ijdem Jmt motus inter fe^ [^e fpa-- tium tllnd quiefeat^ [iz>e nto*veatur idem uniformiter in direSium ahfq\ motu circulari. Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, & fummae tendentium ad contrarias, eaedem funt fub initio in utroq; cafu ( ex hy pothed ) Sr ex his fummis vel differentiis oriuntur con- greflus & impetus quibus corpora fe mutuo feriunt. Ergo per Legem 2 aequales erunt congrejGTuum effedus in utroq ; cafu, & propterea manebunt motus inter fe in uno cafu aequales motibus inter fe in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes eodeVn modofe habent in Navi, five ea quiefeat, fivc moveatur uniformiter in diredum. D 2 Coroh VI. [.o J Corol. VI. Si corpora nvrueantur qnomodoawf^ inter fe ^ a ciribus acceleratri- cibus (Squalibus fecundum lineas parallelas urgeantur \ pergent om* nia eodem modo moveri inter fe ac fi viribus illis non effient inci- tata. Nam vires illae aequaliter ( pro quantitatibus movendorum cor- porum ) & fecundum lineas parallelas agendo, corpora omnia aequaliter ( quoad velocitatem ) movebunt per Legem 2 . ) ade- oq j nunquam mutabunt pofitiones & motus eorum inter fe. Scholium Ha^lcnus principia tradidi a Mathematicis recepta & experien- tia multiplici confirmata. Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenit GaliUus defcenfum gravium effe in duplicata ra- tione temporis, & motum projedilium fieri in Parabola, confpi- rante experientia, nifi quatenus motus illi per aeris refiftentiam a- liqiiantulum retardantur. Ab ijfdem Legibus & Corollariis pendent dcmonflrata de temporibus ofcilJantium Pendulorum, fuffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem & Lege ter- tia D. Chriflopherus Wrennus Eques auratus, Johannes Wallifius S. T. D. Sc D. Chriftianus Hugenius , hujus aetatis Geometrarum facile Principes, regulas congrdfuum & reflexionum duorum cor- porum feorfim adinvenerunt, & eodem fere tempore cum Societa- te Regia commumc2iVunt^ inter fe (quoad has leges ) omnino con- fpirantesj Et primus quidem deinD. Wrennus 8c D. Hugenius inventum prodidit. Sed & veritas comprobata eft a D. Wrenno coram Regia Societate per experimentum Pendulorum, quod etiam Clariffimus Mariottus Libro integro, exponere mox dignatus eft. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad a- muflrm conternat, habenda. eft ratio tum refiftenti:ie acris, tum c- tiam vis Elafticae concurrentium corporum. Pendeant corpora filis parallelis A Cy BD d, centris C, D. His centris 8c inter- vallis- •X E G C H T H C 21 ] • vallis defcribantur femicirciili EAF^ GBH radijs CA^DB bi- fcdi. Trahatur corpus ^ ad arcus E F pun61:um quodvis K, & ( fubdudo corpore B ) demittatur inde, redeatq^ poft unam ofcillationem ad pundum V. Eft iv F retardatio ex refiftentia aeris. Hujus KV fiat iSTpars quarta fita in medio, & haec exhibebit retardationem in delcenfu ab 5* ad quam proxime. Reftituatur corpus B in locum fuum. Cadat cor- pus A de pundo 5", & veloci- tas ejus in loco reflexionis Ay abfq^ errore lenf 7bili,tanta erit ac fi in vacuo cecidiflet de loco T. Exponatur igitur haec velocitas per chordam arcus T A. Nam velocitatem Penduli in pun^lo infimo efle ut chorda arcus quem cadendo defcripfit, Propofitio efl; Geometris notiflima. Poft re- flexionem perveniat corpus ad locum j*, 8c corpus JB ad locum /(. Tollatur corpus B & inveniatur locus a quo fi corpus A de- mittatur & poft unam ofcillationem redeat ad locum r, fit r t pars quarta ipfius fita in medio, & per chordam arcus ^y^ expona- tur velocitas quam corpus A proxime poft reflexionem habuit in loco A. Nam t erit locus ille verus & corredus ad quem corpus Ay fublata aeris refiftentia, . afeendere debuiflet. Simili methodo corrigendus erit locus ad quem corpus B afeendit, & invenien- dus locus /, ad quem corpus illud afeendere debuiflet in vacuo. Hoc pa^io experiri licet orhnia perinde ac fi in vacuo conftituti eflemus. Tandem ducendum erit corpus A in chordam arcus T A quae velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem, deinde in chordam arcus t A ut habeatur motus ejus in loco A proxime poft reflexionem. Et fic corpus B ducendum erit in chordam arcus B/, ut habea- tur motus ejus proxime poft reflexionem. Et fimili methodo ubi corpora duo fimul demittuntur de locis diverfis, inveniendi funt motus iitriufqi tam ante, quam poft reflexionem 3 Se tum de- ■C ] clemum conferendi funt motus inter fe & colligendi efFefi:us re- flexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, idqj in corporibus tam inxqualibus quam arqualibus, & faciaido ut corpora de intervallis amplidlmis, puta pedum o6i:o, duodecim vcl fexdecim concurrerent, reperi femper (ine errore trium digi- torum in meiifurisjubi corpora fibi mutuo dire6i:e occurrebant, quod in partes contrarias mutatio motus erat corpori utriqj illata, atq; adeo quod a^boScreadio femper erant aequales. Ut fi corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus motus, Sc amiflis feptem partibus pergebat poft reflexionem cum duabus, corpus B refilie- bat cum partibus iftis feptem. Si corpora obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum fex redibat A cum duabus, redibat B cum ocio, fa6ia detractione partium quatuordccim utrinque. Demotuiplius A fubducantur partes duodecim & reflabit nihil ; fubducintur aliae partes duae & fiet motus duarum partium in pla- gam contrariam. & fic de motu corporis B partium fex fubdu- cendo partes quatuoi decim,flunt partes odo in plagam contrariam. Quod li corpora ibant ad ean- dam plagam, A velocius cum partibus quatuordccim & B tardius cum partibus quinq j Sc poft reflexionem pergebat A cum quinq; partibus, perge- bat B cum quatuordccim, fac- ta tranflatione partium no- vem de Am B. Et flcin reliquis. Acongrefru& colliflone cor- porum nunquam mutabatur quantitas motus quae ex fumma motu- um confpir antium & diflerentia contrariorum colligebatur.Namqj errorem digiti unius & alterius in menfuris tribuerim difficultati peragendi fingula fatis accurate. Difficile erat tum pendula fi- mul demittere fic, ut corpora in fc mutuo impingerent in loco in- fimo A B, tum loca /, ^ notare ad quae corpora afeendebant pofl; concurfum. Sed & in ipfis pilis inaequalis partium denfitas, & tex- tura aliis de caufis irregularis, errores inducebant. Porro C ^3 ] Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum cft hoc experimentum pradupponere corpora vel ablblutc dura ede, vel laltem perfede elaftica, cujufmodi nulla reperiuntur in compofitionibus naturalibus j addo quod experimenta jam delcrip- ta iuccedunt in corporibus mollibus aeque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam fi conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda eft, debebit folummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elafticae. In Theoria Wrenni & Hugenij corpora abfolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congreflus. Certius id aflirmabitur de per- fe£i:e Elaflicis. In imperfedeElafticis velocitas reditus minuenda efl; firaul cum vi Elaftica *, propterea quod vi^ illa, (nifi ubi partes corporum ex congreflu lai^duntur, vel extenfionem aliqualem qua- fi ftib malleo patiuntur,) certa ac determinata fit (quantum fentio) faciatq j corpora redire ab invicem cum velocitate relativa quae fit ad relativam velocitatem concurftis in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata 8c fortiter conftrifta fic tentavi. Primum demit- tendo Pendula Sc menfuraixlo reflexionem, inveni quantitatem vis Elafticae ^ deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis cafibus conciirfuum, & refpondebant experimenta. Redibant femper pila: ab invicem cum velocitate relativa, quae cflet ad veloci- tatem relativam concurfus ut ad p dreiter. Eadem fere cum velocitate ledibant pilae ex chalybe.* alia: ex fuberc cum paulo • minore. In vitreis autem proportio erat i ^ ad i (5 circiter. Atq; hoc pa^Io Lex tertia quoad i^lus & reflexiones per Theoriam com- probata eft, quae cum experientia plane congruit. In attra£Iionibus rem fic breviter oftendo. Corporibus duo- bus quibusvis B ie mutuo trahentibus, concipe obftaculum quodvis interponi quo congrcfilis eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur verfiis corpus alterum B,quam illud al- terum 5 in prius obftaculum magis urgebitur preflionc corpo- ris/^ quam preflionc corporis B ^ proindeq^ non manebit inarqui- hbrio. Praevalebit preflio fortior, facietq , fy ftema corporum duo- riiin . C H ]. riim &obftacul i moveri in direflimi in partes veiTtis motuq;ln rpatiis liberis femper accelerato abire in infinitum. Qiiod eft ab- furdum & Legi primx contrariuni. Nam per Legem primam debebit fyftema perfieverarc in ftatu fiio qiiielcendi vel movendi uniformiter in direiEtum^proindeq^ corpora arqualiter urgebunt ob- ^ ftaculum, & idcirco aequaliter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete 8c ferro. Si liaec in vafculis propriis fefe contin- gentibus fcorfim pofita j in aqua fragnante ;uxta fluitent, neutrum propellet alterum, fed aequalitate attractionis utrinq^ fuftinebunt co- natus in fe mutuos, ac tandem in xquilibrio conftituta quiefeent. Ut corpora in concurfii S*: reflexione idem poIlent,quorum velo- citates funt reciproce ut vires infitae : fic m movendis Inflrumentis Mechanicis agentia idem pollent &: conatibus contrariis fe mutuo fuftincnt,quorum velocitates fecundum determinationem virium ae- fiimatae, llint reciproce ut vires. Sic pondera «quipollent ad movenda brachia Librae, quae ofcillante Libra, funt reciproce ut eorum velocitates furfum & deorfum : hoc efl: pondera, il reC^a afeendunt Se defeendunt, arqiiipollent, quae funt reciproce utpun- Cloriima quibus fufpenduntur difl:antiae ab. axe Librae ; fln planis - • obliquis aliifve admotis obftaculis impedita afcenduht vel defeen- dunt oblique, aeqiiipoHent quae funt ut afcenfus Sc defcenfusqua tenus faCti fecundum perpendiculum .* id adeo ob determinationem gra- vitatis deorfum. Similiter in Trochlea feuPoIyfpafto vis manus hinem direcle trahentis, qiixfitad pondus vel direcle vel oblique afeendens ut velocitas afcenlus perpendicularis ad velocitatem manus fanem trahentis, fuitinebit pond us. In horologiis & flinili- bus in{trumentis,quae ex rotulis commiflls conftru^Ia funt, vires contraria: ad motum rotularum promovendum & impediendum il innt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas impri- muntur, fuftinebunt fe mutuo. Vis Cochleae ad premendum cor- pus elt ad vim manus manubrium circumagentis, ut circu^ris velo- citas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progrefiivaniCochlea’ verius corpus prefliim. * Vires quibus cu- neus ncus urget partes duas ligni hdl cft ad vim mallei in cuneuiTij ut progredus cunei fecundum determinationem vis a malleo in ipfum impredae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, fecundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par ed; ratio Machi- narum omnium. Harum efficacia Sc ufus in eo folo condftit ut diminuendo ve- locitatem augeamus vim, Sc contra: Unde folvitur in omni apto- rum inffrumentorum genere Problema j Datitm pondus data moz^endi, aliamve datam redftentiam vi data fuperandi. Nam d Machinae ita formentur ut velocitates Agentis & Reddentis dnt reciproce ut vires, Agens reddentiam 'fudinebit, & majori cum velocitatum difparitate eandem vincet. Certe d tanta dt velo- citatum difparitas ut vincatur etiam reddentia omnis, quae tam ex contiguorum & inter fe labentium corporum attritiwe, quam cx continuorum &ab invicem feparandorum cohaedone & elevan- dorum ponderibus oriri folet, fuperata omni ea reddentia, \h redundans accelerationem motus dbi proportionalem, partim in • partibus Machinae, partim in corpore reddente producet. Cae* terum Mechanicam tra6fare non ed hujus indituti. Hifce vo- lui tantum odendere quam late pateat, -quamqj certa dt Lex tertia motus. Namd aedinietur Agentis aftio ex ejus vi & velo- citate conjun^fim j & Reddentis reaidio ex ejus partium dngiila- rum velocitatibus & viribus reddendi ab earum attritione, co- haedone, pondere Sc acceleratione oriundis erunt addo Sc re- a61:io, in omni indrumen torum ufu, dbi invicem femper «quales. Et quatenus adio propagatur per indrumentum & ultimo im- primitur in corpus omne reddens, ejus ultima determinatio de- terminationi readionis femper erit contraria. E DE [2<^] DE MOTU CORPORUM Liber PRIMUS SECT I, De Methodo dationum primamm ultimarum^ cn)us ope feqiteu' tia demonftrantur. L E M M A I. Q%)antitates^ nt quantitatum rationes^ qu£ ad aequalitatem da- to tempore conflant er tendunt eo pa6io propius ad in^uicem accedere pujflunt quam pro data quadis differentia j flunt ultimo (equales. ' negas, fit earum ultima differentia D. Ergo nequeunt pro- pius ad aequalitatem accedere quam pro data differentia D: contra hypotliefin. Lem- / ' L V 1 Lemma IL Si in jigura qua^vk A a e E reSik A a, A E, cnrz>a A e E comprehenja y inferihantur paraUelogramma qiwtcunqj Ab, Bc, Cd, Scc. fuh bajibm AB,BC, CD,&c. dsqiialibmy ^ lateribm Bb, C e, D d, Se e. figura lateri A a par alie Ik conten- ta ; compleantur parallelogramma aKbl, bLcm, cAldn, &c, Dem horum pardlelogrammontm latitudo minuatur ^ numerm augeatur in injinitum : dico quod ultimcc rationes y quas habent ad fe indicem Jigur a in [cripta AKbLcMdD, circumferipta AalbmcndoE, cur^vilinea AabcdE, funt rationes (Squalitatis, Nam figurae inferiptae &: circumferiptae differentia eft fimima parallelogrammorum Kl-\-hm-\- Mn-\- D Oy hoc eft (" ob ae- quales omnium bafes ) re^l-angulum fub unius bafi K b 8( altitudi- num fumma Auy id eft reclangulura ABla. Sed hoc re^langii- lum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, fit minus quovis dato. Ergo, per Lemma f, (igura inferipta & circum- feripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo aequales. Q^E. D, Lemma IH. > Ecsdem rationes idiim.s funt etiam (CqualitatiSy ubi parallelogramom- rnm latitudines C Dy ^c. funt inatqualeSy omnes minuuntur in infinitum. Sit enim A F aequalv^ lai-itudini maxima', Sc compleatur pa- rallelogrammum FAaf flec erit majus quam differentia ligiirae inferiptae Ii u ;c ci 'curnicriprae, at latitudine fua AF in i C ^8 ] . in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis redlan- gulum. Corel. I. Hinc fumma ultima parallelogrammorum evanefccnti- um coincidit omni ex parte cum figura curvilinea. Corol. 2. Et multo magig figura re^lilinca, quae chordis evanef- centium arcuum cd^ Cnc. comprehenditur, coincidit ul- timo cum figura curvilinea. Corol. 5. Ut & figura redilinea quae tangentibus eorundem arcuum circuraferibitur. Corol. 4. Et propterca hae figurae ultimae ( quoad perimetros ac E,') non funt re6:ilineae, fcd re6i:ilinearum limites curvilinei. Lemma IV. Si in ditahm jigurk AacE, PprT, infcrihantnr nt fupra J dita: paralldogrammorum feries.^ fitq'') idem amhornm mimerm.^ ^ ttbi latitudines in mjhiitum diminuuntur^ rationes ultimae paralie^ logrammoriun in una jigUra ad parallclogramma in altera, fmgnlo- rum ad fingula^ fmt efimiIis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb., per Lemma fuperius^ evanefcct; adcoqjbeflae A/?, A^/& arcus intermedius Ab coincident,& prop- terea ecquales erunt. UndeSc hifcc femper proportionales re<^3e A B, A D, & arcus intermedius A B rationem ultimam habebunt aequalitatis. QJB. D. Corol. I . Unde B per B ducatur tangenti parallela B F re£}:am quamvis A E per A tranfeuntem perpetuo 1'ccans in F, ' hac ultimo ad arcunii evanefccntem A B rati- onem habebit aqualitatis, co quod completo pai allclogrammo A F B- D, rationem 1’emper habet aqua- litatis ad A D. Cci^o/. 2. Et fi per B Se A ducantur plurcs redra B E, B F), A F, A G, Tccantes tangentem A D & ipfius parallelam B F, ratio ul- tima abrcifiariimomniiim A 13, AE, BF, BG, chordaq^ Se arcus B ad invicem erit ratio aqualitatis. Corol . 5. Et propterca lire omnes linea in omni de rationibus uLimis argumentatione pro fe invicem uiurpari poflunt. Lemma VilL Si rcSla: datcC ^ R, B il ciun ar€U A B, chorda AB tangent e A 13, triangula tria ARB^ y^RB, AKD conflit uunt., dcin punCia Aj B accedunt ad in^^icenr. dico quod ultima forma triangulorum evancfceid^um ejr jimiliiudinis, fg" ull ima ratio eequalttaik. [ 3* ] Nam producantur AB, AD, ARad^, r. Ipfi RD agatur parallela rbd^ & arcui AB fimilis ducatur arcus Ab. Coeuntibus pun61:is A, B, angulus bAd evanefeet, & propterea triangula tria r A b, .r Abj r Ad coincident, funtq j eo nomine fimilia 8c aequalia. Unde Sc hifce femper fimilia & proportionalia KAB^ KAB^ KAD fient ultimo libi invicem fimilia Sc aequalia. D. Corol. Et hinc triangula illa in ornni de rationibus ultimis argumentatione pro fe invicem ufiirpari pofiunt, . Lemma IX. Si reSia AE ^ Curva A C pofuione dat£ fe mutuo fecent in angulo dato A^ ^ ad reSam illam in alio dato angulo ordinatim ap- pileentur B D., E C, curvde oc-- currentes in jB, C \ de in punSia B, C accedant ad punSium A: dico quod areee triangulorum ADBj AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione la- terum. Etenim in A D prodii^^a ca- piantur Aei^^iisADj A E proportionales, & erigantur or- dinatae db^ rc ordinaris DB, £B parallelae & proporcionalcs. Producatur AC ad r, ducatur ctrva AbcipCi A B C fimilis, 8c rcBta A^ tan;Tatiir curva utraqj in Aj^Tccantur ordinatim appli- cata: in F, Oyfg. Tum coeant pun(3a B, C cum pun61:o A, Sc angulo c A^ cvancfccnte, coincident area^ ciirvilineae A/^, Ad^ arcus y^B, AbScc- orum finus BC^ bc fiant ultimo chordis AB, Ab aequales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut fubtenfae B D, bd. Corol. 2. Triangula redilinea AD B, A funt ultimo in tri- plicata ratione laterum AD, A^, inq; fefquiplicata laterum D B, db: Utpote in compofita ratione laterum A D Sc DB^ Ad db exiftenria. Sic & triangula ABC, Abc funt ultimo in triplica- ta ratione laterum B C, bc. Corol. 3. Et quoniam DB, db funt ultimo parallelae & in du- plicata ratione ipfarum AD^ Ad‘^ erunt areae ultimae curvilincae F A C 34’ J ADBy Adh (ex natura Parabolae ) duae tertiae partes triangu-. Iorum re(5i:ilineorum D Adb^ & fegmenta /d Ah partes tertiae eorundem triangulorum. Etir.de hae areae & haec Tegmen- ta erunt in triplicata ratione tum tangentium P, Ad-) tum chor- darum Sc arcuum ABy Ab. Scholinm. Caeterum in his omnibus Tupponimus angulum conta£tus nec inhnirc majorem cfTe angulis contaminum, quos circuli continent cum tangentibus Tuis, -nec iifdem infinite minorem , hoc eft cur- vaturam ad punrnium Ay .nec infinite parvam eircnec infinite mag- nam, Teu intervallum y finitae effe magnitudinis. Capi enim potefi; DBiit AD ^ : quo in eafu circulus nullus per punmium A inter tangentem AD ic curvam AB duci poteft, proindeq; an- gulus contadus erit infinite minor circularibus. Et fimili argu- mento fi fiatDBTuccefiive uty^P^, AD^y AD^y AP7, Stc. habebitur Teries anpulo. um contamius pergens in infinitum, quo- rum quilibet pdfterior eft infinite minor priore. Et fi fiat DB fucceilive ut A D A P = , A , A D' , A D' , A P- , Scc. ha- bebitur alia Te .'i es infinita angulorum conta^ius, quorum primus eft ejuTdem generis cum circularibus, fecundus infinite major, & qui- libet pofierior infinite, major priore. Sed inter duos quofvis ex his angulis poteft feries utrincp in infinitum pergens angulorum intermediorum inferi, quorum quilibet pofteriorerit infinite ma- jor priore. Ut fi inter terminos AP^&AP^ inferatur feries AD^%AD^^y\D yAD^^^AETyADi APy, AD\\ APy, Scc. Et rurfus inter binos quofvis anf u’os hujus feriei inferi po- tefi: feries rova angulorum intermediorum ab invicem infinitis in- tervallis differentium. Neqi novit natura limitem. Qure de curvis lineis deqj fuperficiebu.s comprehenfis demon- . flrata funt, facile applicantur ad folidorum fuperficies curvas Sc con- contenta. Praemid vero toi^Lemj^ta^itefFugerem tadium dedu- cendi perplexas dettioMfad^.M, 'fA^teVeiSrum 'Geometrarum-, ad ablurduni.. Contra£l:iorcs enim reddantur dembnftrationes peir methodum indivifibilium. Sed quoniam dui ior eft indiviiibiliiim Hypothe/is ^ & propterea Methodus illa miiius Geometrica cen- fetur, m.tlui dcmonftrationes reriim lequentiiim. ad ultimas quan- titatum evanciceniium fummas &' rationes, primarqj nafcentium, id eft, ad limites (i mmarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonftraiioncs qua potui breuitate pramittere. His enim idem praftatur quod per methbdum indivifibilium, Sc principiis demonftratis jam tutius utemur. Proinde in fequenti- Dus, liquando quantitates tanquam ex particulis conftantes confi- deravero, vel ft pro replis ufurpavero lineolas curvas, nolim in- divifibilia fed evanefeentia divifibilia, non fummas & rationes partium determinatarum, fed fummarum‘& rationurri limites fena- pei iiitelfigi, vimq^ talium demdhftrationum ad methodum prae- cedentium Lemmatum femper revocari. Ob;e£tio eft, quod quantitatum evanercentium nulla ftt ultima proportio ; quippe quae, antequam evanuerunt, non eft ultima, u- bi evanuerunt, nulla eft. Sed & eodem argumento aeque conten- di poftet nullam efte corporis ad certum locum pergentis veloci- tatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non efte Ultimam, ubi attigit, nullam efte. Et refponfto facilis eft. Per velocitatem ultimam intelligicam, qua corpus movetur neq^ ante- quam attingit locum ultimum &: motus ccftat, neq^ poftea, fed tunc cum attingit, id eft illam ipfam velocitatem quacum corpus attingit locum ultimum Sc quacum motus ccftat. Et.ftmilifer per ultimam rationem quantitatum evancfccntium intelligcndam elle rationem quantitatum non antequam evanelcunt, non poftea, fed quacum evanefeunt. Pariter & ratio prima nafcentium eft ratio quacum nafcuntur. Et fumma prima ultima eft quacum eftc( vel augeri Sc minui ^ incipiunt & ceftant. Exrat limes quem velocitas in hne motus attingere poteft, non autem tranP r^rb. 1 ' 2 [fc C 3^ Haec cf^ velocitas ultima. Er par eft ratio limitis quantitatum & propoi tiontim omnium inci[ ientium &:ceflantiiim. Cuinq, hic li- mes fit certus Si definitus, l^roblema eft vere Geometricum eun- dem determinare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determinandis aC demon ftrand is legitime ufurpantur. Contendi etiam potefr, quod fi dentur ultimae quantitatum e- vanefeentium rationes, dabuntur & uitim* magnitudines; fic quantitas omnis conftabit ex indivifibilibus, contra quam Endides de incommeiii arabilibus, in libro decimo Elementorum, demon- ftravit. Verum haec Ob)e6iio falfae innititur hypothefi. Ultimae rationes illa; quibuicum quantitates evanelcunt, revera non funt rationes quantitatum ultimarum, (ed limites ad quos quantitatum fine limite decrefeentium rationes femper appropinquant, & quas propius aflequi poflunt quam pro data quavis differentia, nun- quam vero tranfaredi, neqj prius attingere quam quantitates di- minuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates du* quarum data eft differentia augeantur in infi- nitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio aequalitatis, nec tamen ideo dabuntur qiurtitates ultimae feu maximae quarum ifta eft ratio. Igitur in fequentibus, fiquando facili rerum ima- ginationi confulens, dixero quantitates quam minimas, vel eva- nefeentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine de- terminatas, fed cogita femper diminuendas fine limite. SECT [37] S E C T. II. De Inventione Virium Centripetarum, Pfop. J. Theorema. I. Areas quas corpora in gyros aSla radiis ad immobile centrum virium duStis defer ibunt y ^ in planis immobilibus confiflere^^effe tem^ poribm proportionales. Dividatur tempus in partes aequales, Sc prima temporis parte defcribat corpus vi infita re61^am A B. Idem fecunda temporis parte, fi nil impediret, re^a pergeret ad c,( per Leg. I) defer ibens lineam Bc aequalem ipfi ABy adeo ut radiis ASy BSy eSsid centrum a61is, confe61ae forent areae A , agit in loco jB fecundum lineam parallel.an ipfi cC (f per Prop. /|.Q Lib. l Elem. & Leg. 11:) hoc ell: fecundum lineam B [ 39 } ■ BS) & in loco C fecundum lineam ipfi d D parallelam, hoc cft fecundum lineam C 5, &c. Agit ergo femper fecundum lineas tendentes ad punfium illud immobile S» QJL, D. Cos. 2. Et, per Legum Corollarium quintum, perinde efl: five quiefeat fuperficies in qua corpus deferibit figuram curvilineam, five moveatur eadem una cum corpore,figura deferipta 8c puii^lo fuo S uniformiter in dire^fum. St holinm. Urgeri potcfl corpus a vi centripeta compofita ex pluribus viribus In hoc cafu fenfus Propofitionis eft, quod vis illa quae ex omnibus componitur, tendit ad pun^lum S. Porro fi vis aliqua agat fecundum lineam fuperficiei deferiptae perpendicularem, haec faciet corpus defle^iere a plano fui motus, fed quantitatem fuperfi- ciei deferiptae nec augebit nec minuet, Se propterea in compofi- tione virium negligenda eft. Prop. III, Theor. III. Corpus omne quod^ radio ad centrum corporis alterim ntcunq\ moti duBoj deferibit areas circa centrum illud temporibus proportionaleSy urgetur C, impellat ipfum per fpatium CD, quod ipfo motus initio aequale eft quadrato arcus illius B D ad circuli diametrum applicato j Sc corpus omne vi eadem in eandem femper plagam C 43 ]. continuata, defcribat rpatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum de- fcribit, efficiet ut corpus idem re61:a progrediens defcribat fpati- uin quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato aequale; adeoq; eft ad vim gravitatis ut fpatium illud ad fpatium quod grave cadendo eodem tempore defcribit. Et hujufmodi Propoli- tionibus Ungemus ^ in eximio fuo Tra^latu de Horologio ofcillatO' rio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit. Demonfirari etiam poflunt praecedentia in hunc modum. In circulo quovis defcribi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et fi corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos dngulos a circulo refleflatur ; vis qua lingulis re- flexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeoq; fumma virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus re- flexionum conjuncbm, hoc eft ( fi Polygonum detur fpecie J ut longitudo dato illo tempore defcripta & longitudo eadem appli- cata ad Radium circuli, id eft ut quadratum longitudinis illius ap- plicatum ad Radium; adeoq; fi Polygonum lateribus infinite dimi- nutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore deferipti applicatum ad radium. Haec eft vis qua corpus urget circulum, & huic aequalis eft vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum verfus. Prop. V. Prob. I. Data qnihnfcnnq'^ in Jocis z>elocitate^ qua corpus jjguram datam ‘viri- bus ad commune aliquod centrum tendentibus defcribit ^ centrum illud in^venire, h iguram deferiptam tangant redae tres FT, T QJf VR in pundis totidem F, K, concurrentes in T8c K Ad tangen- tes erigantur perpendicula F R F, velocitatibus corpo- ris in pundis illis F, j R a quibus eriguntur reciproce pro- portionalia ; id eft ita ut fitP A ad 23 velocitas in Qjid ve- locitatem in F, Sc O B ad F-F ut velocitas in F ad velocitatem G 2 e in I ‘V V [44] in Per perpendiculorum terminos C ad angulos re61:- os ducantur AD. DBE^ EC concurrentia ‘m DScE : Et a.d:x 1 Dj VE concurrent in centro qusefito S. Nam cum corpus in F Sc radiis ad centrum dudis arcas deferibat temporibus propor- tionales, fintqj areae illae fi- mul deferiptae ut velocitates in P 8c (ljdud:x rerpe(5i^ive in perpendicula a centro in tan- gentes/^7, O T demifla: E- runt perpendicula illa ut ve- locitates reciproce, adeoq^ ut perpendicula APy BQ^di- .re£i:e, id cft ut perpendicula a pun£}o D in tangentes demiffa. Unde facile colligitur quod puuda 5, U, T funt in una recta. Et fimil i argumento pun61a S\ £, Eluntetiam in una re^a^ 8c propterea centrum 6' in concurfu redarum T Dy VE vetiatur. £. D. Pro. VI. Theor. V. Si corpHS F revolvendo circa centrnm 5*, def(rihat lineam qjtamvis curvam A P Q^y tangat vero reSta XP K ct^rvam illam in pimBo quovis Py ad tangentem ah alio quovis cnrvd’ puf.Sto Q^gatur QJi di flanti.^ S P parallela y ac demittatur OT perpendicularis ad di jiant iam SP : Dico quod vis centripeta jit reciproce ut fo~ Udum qtfnd. X QJ qua^. ^ ^ modo folidi illius ea jemper matur quantitas quae ultimo jit uhi coeunt punSia P Namqi tn ligura indefinite parva OK P T lineola nafeens dato tempore, cfl; ut vis centripeta ( per Lcg. II. ) Sc K [45 1 data vi, ut quadratum temporis ( per Lcm. X. ) atq; adeo, neu- tro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjun6lim,adc- oq; vis centripeta ut lineola dire^ie & quadratum temporis inverfc. Eft autem tempus ut’ area S P ejus ve dupla S?x or, id eft ut SP ScQT conjundim, adcoqi vis centripeta ut di- rede atq^ SP quad.inQ j' ^w^^/.inverfe, id eft ut ^ ^ O inverfe. Q^E. D. CoroL Hinc fi detur figura quaevis, & in ea pundum ad quod vis centripeta dirigitur j inveniri poteft Icx vis centripetae quae corpus in figurae illius perimetro gyrari faciet. Nimirum compu- tandum eft folidum reciproce pro- portionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis fequenti- bus. Prop. VII. Prob. II. Gyretur corpus in circumferentia circuli^ requiritur lex ^uis centripe- t<£ tendentis adpunSium aliquod m circumferentia datum. Efto circuli circumferentia SQP centrum vis centripetae S,corpus in circumferentia latum P, locus proximus in quem mo- vebitur 0^ Ad diametrum S A 8-c redam S P demitte perpendi- cula P K, Q_fy8c per djpfi S P parallelam age L K occurrentem ci c-ilo in L 8z tangenti P K. in iv, & co-ant PE in Z. Ob fi nilitudinem triangulorum- Z ZTP, SP^^erirEP quad. ( hoc eft 2Jv. L ) ad O X quad. ut S A quad. ad S P quad. Ergo E qj Ducantur haec aequa-. quad. lia [40 ]ia in ^ ^ punctis P & ^J^ocuntibiis, fcribatur S P pro R L ^ic fiet— aequale "• Ergo ( per Corol. Tlieor. V. ) SAq ^ QK y S P c viscentripetareciproceeftut — — 5 id efi; ob datum SA quad ^ ^ A (j ut quadrato-cLibus diflantiae S P. Quod erat inveniendum. Prop. VIII. Prob. III. Moveatur corpm in circulo P dji : ad hunc effeSium requiritur lex vis centripeta^ te?identk ad punBuni adeo longinquum ^ ut linea: om- nes P S, RS ad id duBje^ pro parallelis haberi pojpnt. A circuli centro C agatur femidiameter C A parallelas ifias per- pcndiculariter lecans in M N, 8c jungantur C P. Ob fimilia triangula C P A/, & T P Z, vel ( per Lem. YUl) T P 2, efi C ?q. ad P M q. ut P Q^q> vel ( per Lem. VII. J) P R q. ad QIC q. & ex natu- ra circuli reclangulum Q^xRN -j-OJd aequale efr PR quadra- to. Coeuntibus autem pun^lis P, 2_fi^ R N + 2JS aqualis 2 PM. Ergo eft C P quad. ad P M quad^ ut QR X 2 P iVfad Ojf quad. ade- 0 T quad. t 2 P M cub. n QT quad. x S P quad. oqj ^ aquale — , ,Sc — — t OJl ^ C P quad. ' OR lP}^ukxSVqiutd. . per Corol. Thcor.V. ; Vis ccii- CPqitad. ^ tripeta reciproce ut ^ hoc eit ( neglecta lati- C P quad. a quale or.c determinata — ? / ) reciproce ut P M cub. Qj^. J> C P quad. Sche [ 47 ] Scholium, Et fimili argumento corpus movebitur in Ellipfi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripcta quae fit reciproce ut cu- bus ordina tim applicatae ad centrum virium maxime longinquum -tendentis. Prop. IX. Prob. IV. ^ Gyretur corpus in fpirali P QS fecante radios omnes S P, S in angulo dato : Kequintur lex *vk centripetoe tendentk ad cen-- trum fpiralk. Detur angulus indefinite par- vus P S & ob datos omnes angulos dabitur fpecie figura SPQJiT. Ergo datur ratio efi;q;-^j^^^^‘ut27, hoc efl: ut SP* Mutetur iara ut- cunq; angulus P S & re61a QR angulum conta6lus QjP R fubtendens mutabitur ( per Lemma XI. ) in duplicata ratione ipfius P R vel Ql\ Ergo manebit eadem quae prius,, hoc efi; ut S P. Quare efl: ut S P cub. id efl: ( per Co* • QJi ^ ^ rol. Theor. V. ) vis centripeta ut cubus diftantiae S P. QJ^. Lemma XI [. Tarallelogramma omnia circa datam Ellipjin defcripta effe inter fe ■ qualia. Idem intellige de Varallelogrammk in Jdypcrhola circium- diametros ejus defcriptk. Conflat utrumqi ex Conicis, Prop C 48 ] Prop. X. Prob. V. Geretur corpus in Ellipjl: requiritur lex ^is centripetde tendentis ad centrum LUipjeos. Sunto C C B femiaxes Ellipkos j CPj DK diame- tri conjugataej P F, GEd perpendicula ad diametros j Eisq ordinatiin applica- ta ad diametrum C P jScifi complea- tur parallelogram- mum Ojv K P, erit ("ex Conicis^P ^ G ad Qjz/ quad. ut P C quad. ad C Z) quad. & ob fimi- lia triangula Ojv t,P Z F ) Qjv quad. cfi; ad Qj^ quad. ut P C quad. ad P F quad. & conjunclis rationibus, P G ad Qj^ quad. ut P C quad. 3.dC D quad.S<. P C quad. ad P F quad. id eft G ut P C quad. ad p ^ ^ • Scribe pro P Sc (" per Lemma xii.J) BC xC A pro CD xP F, nec non ( pundis P &2_coeun- tibus J) 2 P C pro ‘z^ G, & dudis extremis & medijs in Te r..Qj^i^PCq t 'iBCqxCAq^n x ), het-=:=-t~~ ^ aequale i ^ Llt ergo ( per v X l\ . I L/ mutuo. Cdrol. Theor.V.^ vis centripeta reciproce ut ^ ^ ^ ^ 1 C ( ob C 49 ] ( ob datum 2 q.x C A q.^ u.t ^ , hoc cTt, dire£lc ut difrantia 1 V/ PC. QJB, L Corol. I. Unde vicifllm (i vis fit ut difrantia, movebitur corpus in Ellipfi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipiis migrare potelf. Coro/. 2. Et sequalia erunt revolutionum in Figuris univerhs circa centrum idem ia^larum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipfibus (imilibus aequalia funt per Corol. 3^7 Prop. IV : In Elliplibus autem communem habentibus axem majorem, funt ad invicem ut Ellipfeon areae totae dire£le & arcarum parti- culae fimul defer iptae inverfe^ id eft ut axes minores direfle 8c corporum velocitates in verticibus principalibus inverfe, hoc eft ut axes illi dire6i:e 8c ordinatim applicatae ad axes alteros inverfe, 8c propterea C ob aequalitatem rationum direi^arum Sc inverfa- rum ) in ratione aequalitatis. Scholium. Si Ellipfis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabo- lam, corpus movebitur in hac Parabola, Sc vis ad centrum infini- te diftans jam tendens, evadet aequabilis. Hoc cfi: Theorema Galilei. Et fi Conifedio Parabolica, inclinatione plani ad conum fe(^um mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam verfa. H SECT C 5° ] S E C T. IIL De motu Corporum in Qonich SeSlionibus excentrick. Prop.XI. Prob. VI. Kc^ohatur corpm in Ellipfi : Requiritur lex ^k centripet£ tenden- tis ad umbilicum EUipfeos. Efto Ellipleos fuperiori:! umbilicus S. Agatur SP fecans Ellip- fcos tum diametrum DK in £, tum ordinatim applicatam Qjp in X, & compleatur parallelogrammum QjcPR, Patet E? x- qualem clTe femi- axi majori A C, eo quod a6i:a ab altero EUipfeos umbilico H linea H I ipfi E C parallela, ( ob ae- quales C C H ) sequentur ESjEI^a,- deo utEP (cmifum- St ma fjt ipfarum P S, P /, id ell (" ob pa- rallelas H 7, P il & angulos aequales I P Ry HP Z ) ipfo- riim P S, P 77, quae conjunfiiiii axem totum 7 AC adaequant. Ad SP demittatur perpendiculaiis QTy 8c EUipfeos latere re^lo principali (" feu ^ dicio L, erit L x 0 R ad L x P ut O R ad P^z^: AC ^ ^ id eft ut R £ (f feii C ) ad R C; LxF^ ad C^P ut L ad G Se C ] P ad qtiad.ut C P quad.zd C D qHad'^S^(^ per Leni. V7fl.) Qjv quad.ad Ojc qitad.pun^is Q 8c P coeuntibus?, eft ratio aqua- litatis, St Q_x quad. feu Qjv quad. cft ad QJ qnad. ut L P quad, ad P jF quad^ id efl: ut C A qitad. ad P Fquad. (ive ( per Lem. XfL J) ut C D quad. ad CB quad. Et conpundlis his omnibus rationi- bus, L X Q^K iit ad QT quad. ut C ad P C' + L ad G‘v-]~ CP q 3.d C D q -pC D q.2id C B q.id cPt ut AC xL ( Icu 2C Bq.y>iC- Pq. ad PCxG^xC Bq. live ut 2 P C ad G <1/. Sed punGis O Sl p coeuntibus, aquantur 2 PC ScG^. P!rgo &c his proportio- nalia L X Q K & 2j quad. aquantur. Ducantur hac a qualia in 8c fiet L X S P ^.aquale ^ ^ Etgo ( per Corol. The or. V.^vis centripeta reciproce eftut L xS P<^. id eft recipro- ce in ratione duplicata diftantia S P. QjB. 1. l adem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabo- lam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignita- tem Problematis & ufum ejus in fequentibus, non pigebit cafiis cateros demonftratione confirmare. Prop. Xn. Prob. Vn. Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis ceniripet<^e tenden- tis ad umbilicum figar de. Sunto C Ay C B femi-axes Hyperbola ; P C, /f D diametri conjugata, PF, 27 p^rpci^^dicula ad diametros; St 2jP otdina- tim applicata ad diametrum G P. Agatur S P fecans tum diame- trum D K in E, tumordinatim applicatam Oju in x. St comple- atur parallclogrammum dK P x. Patet E P aqualem c fte femi- axi tranCverfo 7C, co quod, acfa ab altero Hyperbola umbilico H linea HI ipfi E C parallela, ob aquales C S, C H, aqiicntur E S, 1 E 7; adeo ut E P femidifterentia ftt ipfarum P S, P 7, id cft ( ob parallelas 717, PK St angulos aquales 7Plv, HPZ) ipfarum P 7, P 77, quarum differentia axem totum 2 AC adaquat. Ad S P G 2 de- C ] demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbola! latere re6i:o principali ( feu ^ ^5 ^ x QJ^ ad L x P 'Z/Ut QK adP^z/, ideft, ut PE (fcii AC)2idPC ', Et LxP^z/ ad G-^/P ut E ad G «z/i & C -z/ P ad Ojv q. ut C P q. ddC Dq^ 8c( per Lem. Vill. ^Qjvq, ad Q^q-, pun^lis P coeuntibus Et ratio aequalitatisj ^Qjcq. feu <7.eft ad QT q.ut EV q. adP Fq^ ideft ut C A q.2id P Fq^ five (^per Lem. XII. ) mCDq,2id CBq:Sc conjun^lis his om- nibus rationibus L x fit ad OT q.ut A C ad PC-f L ad Oz/drCP q.2id CDq.+ CDq. ^dC Bq: id efi: ut ^ C X L (feii '2 BC q. ) xP^ C q. ad E C X G “z^ X C B quad. five ut 2 PC ad G -z^ , fcd punEis 2_&P coeuntibus ae- quantur 2P C Si C^. Ergo Sc his proportionalia LxQJy ScQjTq. ^squanttir. Ducantur hac aqualia in 'I' & liet L x S f * «quale i Py MASc AOj parallelae erunt re£iae ANScOPy inde triangulum SAN rc ad QT q, ut P S q. ad Sl^q- fioc efi ( per Corol. I. Lcm. X IV. ^ ut P^ ad AS^ id eft ut 4P‘^xC^ ad 4^Sx2^, & inde per Prop. g. Lib. V Elem. ) Qjq. Sc ^ASx aequantur. Ducantur hac sqiialia in aquale SP^.X4 iS : cc propterea ( per Corol. Theor. V. ) vis centripeta efi recipro- ce ut S?q.x ^ASj id efi, ob datam 4 reciproce in dupli- cata ratione difiantk S P. QjE. /. quales angu- los M Corol. Corol. I. Ex tribus novidimis Propofitionibus conrequcns cft, quod fi corpus quodvis P, fecundum lineam quamvis redam P K, quacunq; cum velocitate exeat de loco P, & vi centripcta quse fit reciproce proportionalis quadrato diftantiae a centro, fimul agite- tur 5 movebitur hoc corpus in aliqua fedionum Conicarum umbi- licum habente in centro virium j & contra. Corol. II.Et fi velocitas, quacum corpus exit de loco fuo P, ea fit, qua lineola P H in minima aliqua temporis particula defciibi po- flit, & vis centripeta potis fit eodem tempore corpus idem move- re per fpatiumOlK.: movebitur hoc corpus m Conica aliqua fed- ione cujus latus redum efl: quantitas illa quae ultimo fit ubi lineolae P R, in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipfin, Sc. cafum excipio ubi corpus reda defcendit ad centrum. - • Prop.XIV. Theor.VI. 5*/ corpora plura revolvantur circa centrum commune., ^ vis centri- peta decrefcat in duplicata ratione dijiantiarum a centro ; dico quod Orbium X^atera reSia junt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum duCiis^ eodem tempore deferihunt. Nam per Corol. 11. Prob. VllI. Latus redum L aequale efl: quantitati quae ultimo fit ubi coeunt punda P&2l. linea minima djl, dato tempore, efl: ut vis centripeta generans, hoc eft ( per Hypothefm ) reciproce utSP q. Ergo cft ut QJ q.xSP q. hoc ed, latus redum L in duplicata ratione a- rcae QJ x S P. ^E. D. Corol. Hinc Elii pfeos arca tota, ciq; proportionale redaneu- lum fubaxibiis,?ft in ratione compofita ex dimidiata ratione late- ris i edi 8e integra ratione temporis periodici. Prop. C 5^ ] Prop. XV. Thcor. VH. J isdem poptk^ dico quod tempora periodica in Ellipfihus junt in rati- one fejqiiiplicata tranfverfornm axium. Namqi axis minor cft medius proportionalis inter axem ma- jorem ( quem tranlVcrrum appello^ & latus replum, atq^adeo reclangulum lub axibus eftin ratione compofita ex dimidiata rati- one lateris rc£li Se refquiplicata ratione axis tranfverfi. Sed hoc |•c61:angl]lum, per Corollarium Theorematis Sexti, eft in ratione compofita ex dimidiata ratione lateris redi & integya ratione pe- riodici temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio lateris redi Se manebit refquiplicata ratio axis tranfverfi aequalis rationi peri- odici temporis. Q^. D. Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipfibus eadem ac in circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus El- lipfcon. Prop. XVI. Theor. VIII. J isdem pofitis^ ^ a5ik ad corpora lineis reSiis^ qude ibidem tangant orbitas.^ demijfifq\ ab umbilico communi ad has tangentes perpen- dicularibus : dico quod velocitates corporum funt in ratione compo- fita ex ratione perpendiculorum inverfe dimidiata ratione late- rum reSiorum direCie. VideFig. Prop. X. 8e. XI. Ab umbilico S ad tangentem F R demitte perpendiculum S Y Se velocitas corporis P erit reciproce in dimidiata ratione quanti- . S Tq. tatis Li Nam velocitas illa efi: ut arcus quam minimus F in data temporis particula deferiptus, hoc efl: ( per Lem. VII. ) ut tangens F R, id eP: ( ob proportionales F R ad QT Se^SP ad S r J) ut utSr reciproce Se 6'Px OT direde j eftqj »3 / SPx C57]. S P X QT ut area dato tempore defcripta, id eft, per Theor. VI. in dimidiata ratione lateris re^lt CoroL I. Latera re6^a funt in ratione compofita ex duplicata ratione perpendiculorum 8c duplicata ratione velocitatum. CoroL 2. Velocitates corporum in maximis & minimis abum» bilico communi diftantiis, limt in ratione compofita ex ratione diftanriarum inverfe & dimidiata ratione laterum replorum di« re^l^e. Nam perpendicula jam funtipfae diftantise. CoroL 3. Ideoq^ velocitas in Conica fedione, in minima ab umbilico diftantia, eft ad velocitatem in circulo in eadem a cen- tro diftantia, in dimidiata ratione lateris redi ad diftantiam illam duplicatam. CoroL 4. Corporum in Ellipfibus gyrantium velocitates in mediocribus diftantiis ab umbilico communi funt eaedem quae cor- porum gyrantium in circulis ad eafdem diftantias, hoc eft ( per Corel. VI. Theor. IV. ) reciproce in dimidiata ratione diftantia- nim. Nani perpendicula jam funt femi-axes minores, hi funt ut mediae proportionales inter diftantias Se latera reda. Compo- natur haec ratio inverfe cum dimidiata ratione laterum redorum direde, St fiet ratio dimidiata diftantiarum inverfe. CoroL 5. In eadem vel aequalibus figuris, vel etiam in figuris inaequalibus, quarum latera reda funt aequalia, velocitas corpo- ris eft reciproce ut perpendiculum demiftum ab umbilico ad tan- gentem. CoroL 6. In Parabola, velocitas eft reciproce in dimidiata ra- tione diftantiae corporis ab umbilico figurae, in Ellipfi minor eft, in Hyperbola major quam ia hac ratione. Nam ( per CoroL 2 Lcm. XIV. ) perpendiculum demifllim ab umbilico ad tangen- tem Parabolae eft in dimidiata ratione diftantiae. Corol. 7. In Parabola, velocitas ubiq^ eft ad velocitatem corpo- ris revolventis in circulo ad eandem diftantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem j in Ellipfi minor eft, in Hypcibola ma- I jor. jor quam iu hac ratione. Nam per hujus Corollarium fecun- dum, velocitas in vertice Parabolae eft in hac ratione, Sc per Co- rollaria fexta hujus 8c Theorematis quarti, fervatur eadem pro- portio in omnibus diftantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubiq; aequalis eft velocitati corporis revolventis in circulo ad di- midiam diftantiam, in Ellipfi minor eft, inHyperbola major. Corel. 8. Velocitas gyrantis in Seftione quavis Conica eft ad ve- locitatem gyrantis in circulo in diftantia dimidii lateris refti Seft- ionis, ut diftantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangen- tem Seftionis demillum. Patet per Corollarium quintum. CoroL 9. Unde cum ( per Corel. 6. Theor. IV. ) velocitas gyrantis in hoc circulo fit ad velocitatem gyrantis in circulo quo- vis alio, reciproce in dimidiata ratione diftantiarum ; fiet ex ae- quo velocitas gyrantis in Conica feftione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem diftantia, ut media proportionalis inter diftan- tiam illam communem feinifiem lateris refti feciionis, ad per- pendiculum ab umbilico communi in tangentem feftionis dc- milfum. Piop. XVII. Prob. IX. ?ofito qmd'‘vis ceuiripeta fit reciproce proportionalis quadrato diflan- tue a centro^ ^ quod ^uis ili i ns quantitas ahjoluta fit cognita'^ re- quiritur linea quam corpus dcfcribit., de loco dato cum data ‘velo- citate fecundam datam reSlam egredi ens. Vis centripeta tendens ad punftum S ea fit quae corpus p in orbi:a quavis data gyrare faciat, cognofeatur hujus veloci- tas in loco p . De loco P fecundum lineam Pii exeat corpus P cum dara velocitate, Sc mox inde, cogente vi centripeta, defleiTr- at illud in Conileftionem F Haix igiriir refta TPe tan<4etin F. Tangat itid^fin rccH^a aliqua oibiram pqm p^ & fi ab S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit ( per Coro!. I. Iheor. VIII. ) lacus reftum Coniiecaionis ad latus rect- um- i C ^9 ] um orbitae datae, in ratione compofita cx duplicata ratione per- pendiculorum Sc duplicata ratione velocitatum, atq^ adeo datur. Sit iftud L. Datur praeterea Coniie£li- onis umbilicus S. Anguli K.PS com- plementum ad du- os redos fiat angu- lus RPHj Sc dabi- tur pofitione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demiflb ad P H perpen- diculo S K,8c ere61o femiaxe conjugato B C,efi; SP q.— 2 KPH-p PH^.(fper Prop.13.Lib. II.Elem.J)=»S'H^. = 4C Hq.~ q, -^BCq. =SP~+PH^W. -LxSPTPH^SPq. +2SPH + PHortio SP + PHad PHiitiSP ad L, in cafu hujus Corollarii, Iit DS-\- D H iid DH ut ad L, tk divifim £> S ad D H ut 4 D S — L ad L. Corol. 2. Unde fi datur corporis velocitas in vertice principa- li Dy invenietur Orbita expedite, capiendo fcilicet latus rectum ejus, ad duplam difiantiam D S, in duplicata ratione velocitatis hujus datas ad velocitatem corporis in cii culo ad diftantiam D S gyrantis: ( Per Corol. 3. Theor. VIIL J) dein D H ad D S ut latus redum ad differentiam inter latus refbum Se 4 D S. Corol. 3. Hinc etiam fi corpus moveatur in Se61:ione quacun- qj Conica, Sc ex orbe fuo impulfu quocunq; exturbetur , cog- nofei poteff: orbis in quo poffea curfum luum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem im- pulfus follis generaret, habebitur raotus quocum corpus de dato impulfus loco, fecundum re(ffam pofitione datam, exibit* Corol. 4. Et fi corpus illud vi aliqua extrinfecus impreffa con- tinuo perturbetur, innotefeet curfus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in pun(ff:is qaibufdam inJucit, & exfe- riei analogia? mutationes continuas in locis intermediis aeftiman- do. SECT. C ] S E C T. IV. De Inventione Orbium EUipticonmy Varaholicorum ^ Hyperbolico- rum ex umbilico dato» . Lemma XV. Si ab EUipfeos vel HyperboU cujnfvis nmbilick duobus S^H^adpiwSt^ um quodvk tertium V injieSiantur reStdC dudo S Vfl F, quarum w- na H V ^qualk fit axi tranfverjo figurde^ altera SV a perpendicu- lo T K in Je demiffo bifecetur in T ^ perpendiculum illud 1 R fec- tionem Conicam alicubi tangit : ^ contra., fi tangit.^ erit V H dcqualk axi jtgurce. %Sccet enim V\r\ feflionem coni- cam in K., & jungatur S R. Ob ae- quales reflas 1 S, 1 F, aequales e- runt anguli TK.S, T/kV. Bifecat ergo RT angulum FRSSc propte- rea figuram tangit: Sc contra. QJ..D» Prop. XVIfl. Prob. X. . Datis umbilico.^ axihm tr an fver fis deferibereTrajeSiorias Elliptk cos ^ Hyperbolicas., qua: tranfibunt per punBa data^ ^ regias p(h fitione datas contingent» Sit S communis umbilicus figuraram^ longitudo axis tran.fi verfi Trajei^oiiae cujufvisi P pun^lum per quod Traje^oria debet tranfire^ & TR rei^a quam debet tangere. Centro P intervallo AB — S P,fi orbita litEllipfis, vel + S P, fi ea fit Hyperbola, deferibatur circulus^ H G. Ad tangentem T R demittatur per- pen- .[50 pcridiculum 5'7, &: producatur ca ad F, ut fit TF aequalis STj ccntroq^ V & intervallo A C defcribatur circulus FH. Hac me- thodo hve dentur duo pundla P, pj hve duae tangentes TF, t r, live pundluni P & tan- gens 7 F, deferibendi fiint circuli duo. Sit H eorum interfei^lio communis, & um- bilicis S, H, axe illo dato dclcribatur T rajedloria. Di- co fa(5}:um. Nam Tra)e6i:o- ria deferipta C quod P H -fSPin Elliph, Sc?H-S? in Hyperbola aequatur axi ) tranfibit per pundum P, & ( per Lemma fuperius ) tanget reflam T K. Et eodem argu- mento vel tranfibit eadem per pun6):a duo P^p, vel tanget reftas duas 1 Kj tr. Qj» F. Prop. XIX. Prob. XI. Circa datum umbilicum 7 rajeSloriam F araholicam deferihere^quo! tran^ fibit per putida data^ ^ reSioo pojitione datas continget. Sit S umbilicus, P pun61um Sc TK tangens trajefloriae deferi- bendae. Centro P, intervallo P S deferibe circulum FG. Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem S T, Se produc e- am ad F, ut Citii V aequalis ST. Eodem modo delcribendus eP; alter circulus L^,li da- tur alterum piindlum p--, vel inveniendum alterum piinflum -z/, (i datur altera tangens f r ; dein ducenda refla I F quae tangat du- os circulos FG, fg fi dantur duo puncla P, rem 5'/, eamqi bifeca in K\ & axeSif, vertice principali K de- feribatur Parabola. Dico faflum. Nam Parabola ob aequales SK Sc I K, SP Se FP tranfibit per pundumP, &(pcr Lemma- tis XIV. Corol. 3. ) ob aequales STSc TV & angulum redum S TK, tanget redhm T K. Q^. F. Prop.XX. Piob. XII. Cas. I. Dato umbilico S, deferibenda (it Traje^loria ABC per pun6^a duo F, C. Quoiuam Trajedoria datur fpecie, da- bitur ratio axis tranfverli ad di ftantiam umbilicorum. In ea ratione cape K F ad F S, & L C adCb*. Centris F, C, interval- Iis BK^ CL^ deferibe circulos / tangat eofdcm in K & L, de- mitte perpendiculum SG^ idemq; fcca in A Sc ita ut Cit S A ad C & S ^ ad ^ G, ut eft SB ad F /f, Sc axe A verticibus Aj a, deferibatur Trajedoria. Dico fa<5lum. Sit enim H umbilicus al- ter ligur« deferiptae, Sc cum fit ady^G ut^S^ ad G, critdi- vilim Sa — S A feu S H ad aG — AG feii A a in eadem ratione, adeoq; in ratione quam habet axis tranfverlus figunx’ defcfibcn- dx addiftantiim umbilicorum c)iisj Sc propterea figura deferip- ta eft ejufdem fpeciei cum deferibenda. Cumq, fint K F adBS Sc LC ades in eadem ratione, tranlibit hxc Figura per punfla F, C, ut ex Conicis manifcflum efr. Cas. / C ^4 ] Cas. a. Dato umbilico ‘S^defcribcnda (itTrajc^loria quse re(^- as duas I 'iv., tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentesde- 'mittc perpendicula S T, S t & produc eadem ad K, utfint TF, t ‘3^ aequales T S, t x. Bifeca ^«2/ in erige perpendiculum in- finitum 0 H, re^amq-, F S infi- nite produdam feca in A ^ ita, utfitVK adAS&Fi^ad ut eftTrajefforise defcriben- dx axis tranrverfus ad umbilico- rum diftantiam. Super diame- tro A ^defcribatur circulus fe- cans reftam 0 H in H ^ & umbi- licis S, H, axe tranfverfo ipfam VH aequante, defcribatur Tra- ;e6loria. Dicofadum. Nam bifeca ff i^in X, 6^ junge HX, H S, H V, H^. Quoniam efl: V if ad A S ut V ad & compofite ut V A + V /;^ad A S -f j divifimq; ut V V A ad — A S id efl; ut 2 V X ad 2 A X & 2 K X ad 2 S X, adeoq j ut V X ad H X Se H X ad 6' X, fimilia erunt triangula V XH, HXS, & propterea V H erit ad ut V Xad XH, adeoq; ut VK ad KS. Habet igitur Traje6}orix deferiptae axis tranfver- • fus V H eam rationem ad ipfius umbilicorum diftantiam S H,quam habet Tra je^foriae deferibendae axis tranfverilis ad ipfius umbilico- rum difiantiam, & propterea ejufdem eft fpcciei. Inlbper cuin VH, «z/ H aequentur axi tranfverfo, ‘z^Saredis TA, tr perpendiculari ter bifecentur, liquet, ex Lemmate XV, re^fas illas TrajeSoriam deferiptam tangere. QJE. F. Cas. 5. Dato umbilico iS deferibenda fit Traje^l^oria qua: re£f- amTA tanget in pundo dato R. In regiam TR demitte per- pendicularem ST, & produc eandem ad V,ut fitTV aequalis i^T. funorc R, & re6fam V S infinite prod udam. feca in K ita i t fit FK ad S K & F^ad S ^ ut Ellipfeos deferibendae axis tranf- verfus ad diftantiam umbilicorum i circuloqi fuper diametro K de- defcripto, fecetur producta refla R in‘H, Sc umbdicis S, H, axe tranfverfo reflaniH V aequante, dcfcribatur Trajefloria. Di- co faflum. Namqj VH efle ad S H ut VK ad S K, atq; a> deo ut axis tranfverfus Tra- jefloriae deferibendae ad dift- antiam umbilicorum ejus, pa- tet ex demonftratis in Cafu fe- cundo, & propterea Trajec- toriam delcriptam ejufdem effe fpeciei cum deferibenda; reflam vero TK. qua angulus VRS bifecatur, tangere Trajedoriam in punflo R, patet ex Conicis QJE. F. Cas. 4. Circa umbilicum S deferibenda jam fit Trajefloria AT By quae tangat reflam 7 R, tranfeatq^ per punflum quodvis T extra tangentem datum, quaeqj (tmilis fit figurae a p by axe tranfverfo ab Sc umbilicis/,/:? deferiptae. In tangentem TR de- mitte perpendiculum 5'T, & produc idem ad R, ut CitFV aequalis ST, Angulis autem VSFy SVP hc angulos /-?/cntio Orbhim ubi umbilicus neuter datur. Lemma XVII. Si a datdc conica feSlionk punSlo quojis P, ad Trape%ii alicujus A^C Dj in Conica illa feSiione infcripti^ latera quatuor injinite prodiiBa A CD^ AC^ DB^ totidem reSla P Q y PKy PSy P7 in datis angulis ducantur yfin- guLe ad pngula: reSiangu^ Ium duSlantm ad oppofita duo latera P P K, erit ad reVtangulum duEiarum ad a^- lia duo latera oppofita PSx P T in data ratione. Cas. I. Ponamus imprimis lineas ad oppolita latera dii£i:- ’ as parallelas ellc alterutri re- liquorum laterum, puta PQ^ & P iv lateri y^C, &: PS ac P T h teri A B. Sintq^ infuper iatera duo ex oppoiitis, puta AC Ec B Dy parallela. Et re^la quae bife- cat parallela illa latera erit una cx diametris Conicai fe(ftionis, Ik bifccabit etiam RQ^Sit 0 puncium in quo JR. ^ PO ordinarim applicata ad diametrum illam. Produc PO adiC ut fit OK aqualis PO, 8c erit 0 K ordinarim applicata ad con- trarias partes diametri. Cum icitur piinfta Ay B, P & K fint ad Conicam 'fccfionem,S^ PK. lecet A b in dato angulo, erit ( per Prop. 17 Sc 18 Lib. III Apcllonii) u di angulum POK ad redtan- gulum A O B in data ratione. Sed 0 R k P aequales funt, ut- pote aqualium OK, OP, 8c 0 0_, 0 R dllPerentiar, & inde etiam redi- [ 71 3 re6i:angula P & P Qx P K aequalia funt ; atq*, adeo redan- gulum P Qx P R cft ad redangulum A hoc efl; ad re^langii- Ium P vS* X P T in data ratione. Q^E. D. Cas. 2. Ponamus jam Trape2ii latera oppohta AC ScBD non efle parallela. Age B d parallelam AC Sc occurrentem tum rc61a^ S T in t, tum Conicije fc(^ioni in d. Junge Cd fecantem P ^n r, Sc ipfi P 2_parallelam age D M fecantem C d in M & ^ B in N. Jam ob fimllia trianeula B T t, PBN, eft Bt fcuP^dTtut R) N ad N B. Sic & R r efl ad 2 P S ut D M ad ^ N. Er- go ducendo antecedentes in an- tecedentes & confequentes in confequentes , ut redangulum P 2jn R r efl ad re£fangulum Tt in P S, ita re^fangulum N- DM eft ad re6langulum y^NB, Sc ( per Cas. i ) ita re6rangu- lumgPrcftad re£langulum SPt,. ac divifim ita rc6langulum 2J^ R cR ad redangulum P S x P T. Cas. 3. Ponamus deniq^ line- as qua tuor P PR, PS, PT non eRe parallelas lateribus AC^ ^B, fed ad ea iitcunq; inclina- tas. Earum vice age P P r pa- rallelas ipfi y/ E; Sc Pj', Pt pa- rallelas Ipfi ^ Bj & propter da- tos angulos triangulorum P{2i^, P R r, P S r, P Tt, dabuntur ra- tiones P2_ad P<7, VK ad Pr, 1 S ad P / & P7 ad P/, atq^ adeo rationes compofit.xN P 2 in PRadP^inPr, PS in PTadPj- in Pt. Sed, per fuperius dcmonftrata, ranoP^.in Pr ad P j^in P t data cft: Ereo Sc ratio P 2in P R ad P S in P T. O.E. D. [ 72 ] Lemma XVIII. Jifdem pofitis^ ft re^angidum duBarnm ad oppopta duo latera Tra- pezii P Qx P R fit ad reSiarigtdum diiSiarum ad reliqua duo latera P S X P T in data ratione^ pnnZliim P, a quo lineae ducuntur ^ tanget Conicam fe6iionem circa Trapezium defcriptam. Per punita B, C, D & aliquod infinitorum pun^lorum P, puta p, concipe Conicam feiflionem defcribi : dico pundum P hanc femper tangere. Si ne- gas, junge A P fecantem hanc Conicam fedlionem alibi quam in P fi fieri poteft, pu- ta in h. Ergo fi ab his piind- is pSch ducantur in datis an- gulis ad latera Trapezii redae pq,pr, ps.ptSc bl^, bv,bf b d’^ erit ntbk^br zdbdxbf ita (per Lemma XVn)p^ xprsidpsxpt & ita ( per hypoth. ) P Qx PR ad P S x P T. Efi: & propter fimii^tiidinem Trapeziorum/» P^^S, ut b h^did b f iti P Q ' ?S. Oua- re applicando terminos prioris propofitionis ad terurr.os corref- pondentes hujus, erit /» r ad /7^/ ut P B. ad P T. Ergo Trapezia x- quiangula Di' b d^ D RPT fimilia funt, 8c eorum diagonales D /», D P propterea coincidunt. Incidit itaq in interfedionem red- arum A P, DPadeoq, coincidit cum pundo P. Quare pundum P, ubicunq^ fumatur, incidit in afiignatam Conicam fedionem. Q^E. D. Corol. Hinc fi redse tres P2_> PE, PS a pundo communi P ad alias totidem pofitione datas redas A B,C D, A Qfinqula* ad fin- gulas,in datis angulis ducantur, fitq^ redangulum fub duabus dud- is P 23 P K ad quadratum tertii, P S quad. in data ratione: pundum P a C 73 ] P, a quibus re£i:ae ducuntur, locabitur in fcolione Conica qune tan^/it lineas C D in A Sc C & contra. Nam coeat linea B D cum linea A C manente politione trium AB^CD^ AC^dc- in coeat etiam linea P T cum linea P S : & reclangulum P S x P T evadet P S qnad. redaq; A B^ C D qua curvam in pun6lis A S^B^ C Sc D fecabant, jam Curvam in pundis illis coeuntibus non am- plius fecare poffunt fed tantum tangent. Scholiimi, Nomen Conica fe^iionis in hoc Lemmate late fumitur, ita ut fectio tam rcd:ilinea per verticem Coni tranfiens, quam circu- laris bali parallela includatur. Nam 17 pundum p incidit in redam, qua quavis ex pundis quatuor A^ 2>, C, D junguntur, Conica fedio vertetur in geminas redas, quarum una ed reda illa in quam pundum p incidit, & altera reda qua alia duo ex pundis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppof/ti ll- mul fumpti aquentur duobus redis, & linea qiiatuoi P^, PK, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpcndicularitcr vel in angu- lis quibufvis aqualibus, dtqj rcdangulum fitb duabus dudis PS X PPv aquale redangulo fub duabus aliis P S x P7, Sedio conica evadet Circulus, [dem het fi linea quatuor ducantur in angulis quibufvis & redangulum fub duabus dudis P^xPiv dt ad red- angiilum fub aliis duabus PSx Pi ut rcdangulum fub linubus angulorum S, T, in quibus dua ultima PS, P7 ducuntur, ad rect- angulum fub linubus angulorum Pfmqiiibus dua prima Pd_, P K ducuntur. Cateris in cadbus Locus pundi P erit aliqua tri- um figurtrum qua vulgo nominantur Sedion;s Conica. V’ice autem Trapezii/7 B C /7 fubfiitui poteft qiiadrilatcrum cujus late- ra duo oppofitafe mutuo inftar diagonalium decullant. Sed & e pundis quatuor A^ L, C, D poflunt unum vel duo abire in in- finitum, eoqi pado latera figura qiiaadpunda illa convergunt, L eva- ,'[74] evadere parallela : quo in cafu fefiiio conica tranfibit per exte- ra puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum. Lemma XIX. hiz>emre pmBum F, a qito fi reSL-e qiiatmr P Qj^ F R, F 5!, PT ad alias totidem pofjtio7ie datasrecias AB^ CDy AC^ BD fiwgnlce ad fimgidas in datis angulis ducantur^ reciangulum fuh duabus duBiSyP 0^ P R^fit ad rcB angulum fub aliis dttahus^ P 5* x F T.\in data ratione. Linex AB^ CD., ad quas re61x dux F F R, unum re^Ian- guloriim’ continentes ducuntur, conveniant, cum aUis duabus po- litione datis lineis in pun6iis Ay B, C, D. Ab eorum a- liquo A age reciam quam- libet A Hj in qua velis punc- tum F reperiri. Secet ea lineas oppofitas BD^ C D., nimirum F D in H & C D in Ij & ob datos omnes an- gulos figurx, dabuntur rati- ones F O ad P A Sc P A P .9, adeoq^ ratio F F S. Auferendo hanc a da- ta ratione F Qjk F R ad F i9x F T, dabitur ratio F R ad F T, Sc addendodatas rationes F/adPR, StFlad FH dabitur ratio P 1 3.6 P H atqi adeo puncliim P. O. E. 1. - Coro/. I. Hinc etiam ad Loci puiiiTtorum infinitorum P punc- tum quod vis D tangens duci poteft. Nam chorda P D.uhi punc- ta P ac D conveniunt, hoc efr, ubi A H ducitur per punFtum D, tangens evadit. Guo in cafu, ultima ratio evaneibentium I P & PH invenietur ut fiipra. Ipli igitur AD duc parallelam C F, occurrentem B D in F, &c in ea ultima ratione feclam in E, Sc C 75 ] Sc. DE tangens erit, propterea quod CF Sc evanelcens JH pa- rallelae funt, & in E & P fimiliter feclae. Corol. 2. Hinc etiam Locus pun£i:orum omnium P deiiniri po- teft. Per quod vis pun£i:orum B, C, D, puta A^ duc Loci tangentem AE^ &:per aliud quodvis pundlum B duc tangenti parallelam BF occurrentem Lo- co in F. Invenietur autem punc- tum F per Lemma fuperius. Bifeca BF in G, Sc a£ia A G di- ameter erit ad quam B G & F G ordinatim applicantur. Haec A G occurrat Loco in H, Sc erit A H latus tranfverfum, ad quod latus rectum eft ut B G q. ad A G- H. Si A G nullibi occurrit Loco, linea A H exiftente infinita, Lo- cus erit Parabola 8c latus redum ejus BG AG -Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi pun£ta A Sc H fita funt ad eafdcm partes ipfius G: ScEllipfis, ubi G intermedium cft, nili forte an- gulus y^GB redus fit 3c infuper BG qifad. aequale redangulo AGH, quoincafu circulus habebitur. Atqi ita Problematis veterum de quatuor lineis sh Euclide in- caepti Sc ab Apollonio continuati non calculus, fed compofitio Geometrica, qualem Veteres quaerebant, in hoc Corollario ex- hibetur. Lemma XX. Si parcdlelogrammim qtwd^is ASPQ^ angnlk dnahns oppofitis A P tangit feSiionem quam^k Conicam in puncik A P, lai eribus unius angtdorum illorum injinitc produSlk AO^ ^ AS occurrit eidem feSiioni Conicde in B 0^ C j a punclk autem occtir- L 2 fuum aoantur reSidC dii£ B Dfi D occurre?ites alteris dmhus injinite pro- diiBis parallclogramvn lateri Ius P S, P QJn K: eriwt jem- pcr ahjciffdc laterum partes ?J\^?Tad hi^icem in data ratione. Et contra j fi partes illa; ahfciff^ junt ad indicem in data ratione., punSlum D tanget ScBioncm Conicam per punVta quatuor Ay j5, P, Cas. I . Jungantur B P, C P & a punclo D agantur xqC(x du;^ D Gy D Ey quarum prior rs r; a la zd DE feu 1 ut P I) ad HBy adeoqj ut PTadDHj & viciffim P^adPT ut DE^d D H. Efl & r K ad D F ut K C ad D C, adcoq^ ut / G vcl P S ad DGy Sc vicidlm Pii ad P5 ut DF ad DGy & conjunclis rationibus fit re^iangulum P Ojk. P il ad rciPrangulum P 5'x P 7 ut rc^fangulum D£xDFad re6fangulum DGxDHy atq^ adeo in data ratione. Sed dantur P P S & proptcrea i'atio PK ad P T datur. QJ^. D. Cas. 2. Qiiod ii PR & PT ponantur in data ratione ad invb cem, tunc fiinili ratiocinio regrediendo, fequetur cfle redangu- kim DExDF ad re(flanuiilum DG H in ratione data, ade- oq; puncium D (fper Lemma XV II!.) contingere Conicam lec- tionem tranfeiintem per pun^fa Aj R, P,C. Q^E. D. Corel. I . Hinc fi agatur B C fecans P Cjn r, Sc in P T capiatur Vt in ratione ad Pr quam habet P 7 ad Pi\, erit Bt Tangens Coni- ire cum pun£i:oBita ut, chorda BD evanefcente, Z>7 Tarigens evadet ; C D a.c BT coincident cum CB ScBt Corel. 2. Et vice verfa fi Bt fit Tangens, Sc ad quodvis Coni- cae fc(51:ionis pun6i^um D conveniant BD, CD-^ erit PRad PT ut P r ad P t. Et contra, fi fit P R ad P T ut P r ad P t, conve- nient BD, CD ad Conicae fe^fionis pun6ium aliquod D. CoroL 3. Conica fedio non fecat Conicam fe6i:ionem in punc- tis pluribus quam quatuor. Nam, fi fieri potefi:, tranfeant duae Conicae fe^iiones per quinq; pun6la Aj B, C, D, P, eafq; fecet re6i:a B D in pun^iis D, & ipfam P Ojbcet re£i:a C d 'm r. Ergo P R efl: ad P T ut P r ad P T, hoc efl:, P R P r fibi invi- cem, aequantur, contra Hypothefin. Lemma XXL Si reSlce duie mobiles ^ iv fuit de BM^ CM fer.data pttnSia B, C, ceu polos duSldC^ concurfn fuo : de- - ^ MC D efficientes ducantur ^ dico, quod hje dudc B D, CD concurfu fuo D defer Jient fecv ■4 ^ i ion em [ 78 ] ionem Conicam. El z>icez^erfa^ ft reSiceBDy C D concurftt ftto D describant Senionem Conicam per puncia B, C, A tranfenntem^ harum concurfus tunc incidit in ejus punBum aliquod A^ cum alter.e duo: B M, C M coincidunt cum linea B C, punBum M con- Nam in rc5:a AIN detur piin£i:uni N, & ubi pundiim mobile M incidit in immotum N, incidat pundum mobile D in immo- tum P. Junge C N, BN, CP, BP, &a piinfio P age reclas P T, PR occurren- tes iplis BD, CD in T & R, Sc faci- entes angulum B P T oequalem angulo B- N M Sc angulum C'PR aequalem an- gulo C N M. Cum ergo ( ex Hypo- thefi ) xquales fint anguli M B D, NBP, ut 8c anguli MCD, N C P : aufer coni- mimes NB D Sc MC P,&: rcftabiint aequales N B M 8c P B T, NC- A/ScPCR: adeo:]^ triangula NBA/, PBT fimilia fiint, ut & triangula N C A/, P C R. Cuare P T eft ad N M ut P B ad N B, P R ad N A/ ut P C ad N C. Ergo P T & P R datam habent rationem ad NA/, proindeq^ datam rationem inter fe, atqj adeo, per Lemma XX, punclum P ( perpetuus reclarum mobilum BT EcC R. concurfus ) contingit feclionem Conicam. Q^E. D. Et contra, fi punclum B) contingit feclionem Conicam tranfe- untem per puncta B, C, A.^ 8c ubi reclae B/v/, C7v/ coincidunt cum C 79 ]_ A j ubi vero pnn£i:um D incidit lucccfllve in alia duo quaevis Tec- tionis pun^la pj Pj pun6^urn mobile M incidit TucceTilve in punc- ta immobilia N : per eadem N agatur re6ta n N, Sc haec c- rit Locus perpetuus pundi illius mobilis M. Nam, fi fieri poteil:, verfetur pun^ium M in linea aliqua curva. Tanget ergo punc- tum D fc^ionem Conicam per pun6i:a quinqj C, p, P, A tran- feuntem, ubi punfluin M perpetuo tangit lineam curvam. Sed & cx ;am demonftratis tanget etiam punflum D Tedionem Co- nicam per eadem qiiinq; pun61:a C, p, P, B, A tranfeuntem, ubi punci:um M perpetuo' tangit lineam re^fam. Ergo duse Te^lioncs Conicae tranfibunt per eadem qiiinq; punda, contra Corol. 3. Lem. XX. Igitur pundum M verTari in linea curVa abfiirdum eft. QJL. D. Prop.XXll. Prob.XIV. TrajeSioriam per data quinq’-, pwiSia deferibere. Dentur pun6ta quinq; T, B, C,D, P. Ab eorum aliquo ^^ad alia duo quaevis B,C, qii?e poli nominentur, age reflas AB^ AC hifq 5 parallelas TPS, PK.2_per pundum quartum P. Dein- de a polis duobus i>, C age per punc- tum quintum L) in- finitas duas T)DT, CieD,noviOimc duc- tis TPS, PK2_, ( priorem priori & poTteriorem poTteri- ;; ^ ori ) occurentes in T & R . Denkp de refiis PT, PK, acia recta tr ipfi TK. parallela, abfeinde quas-, vis vis Pa, Pr ipfis P7, PR proportionales, & fi per carum termi- nos t, r & polos B, C ablati Bt, Cr concurrant in locabitur punflum illud in Trajcdi-oria quaefita. Nam puiK^um illud cl ( per Lcm. XX ) vcrfiitur in Conica Sc(^ionc per pun6]:a qua tuor y7, B, P, C tranfcLinte j 8c line- is R r, Tt cvancfccn- tibiis, coit pundum d cum pundo D. Tranfit ergo fe^lio Conica per pun6i:a.quinq^ B, C, 7^5 P. Q^E.D. Idem aliter, -EpunTlis datis jun- ge tria quaevis C, Sc circum duo eorum 7?’, C ceu polos, ro- tando angulos magni- tudine datos JBC^ A C B, applicentur cru- ra B Aj C A primo ad punTluin D, deinde ad pun^lum P, & no- tentur punda M, Nm qii ibus altera crura B L, C L cafu utroq; iedecufiant. Aeatur rcLla inliniraA/N, & rotentur anguli i!!i mobiles circum polos fiios B, C, ca lege ut crurum [ Sf J crurum B C vel B D, C D jnterrc£):io, qu^e jam {ita\ Tra- je£i:oriam quaefitam P A Del B delineabit. Nam pun6i-um cl per Lein. XXI continget le»^ionem Conicam per piincTla B, C tranf- euntem & ubi pun^i-iim m accedit ad puncta L, Ai,N, piin^lum d (fper conPiruCionem) accedet ad pi i Ca A^ Dy P. Deferibetur itaq, fedio Conica tranlicns per pun6la qiiinq^ Ay B, C, D, P. QJE. E . V d Corel I . Hinc regiae expedite duci poffunt^^quac tra je6loriam in pundis quiburvis datis B, C tangent. Inxafu utrovis accedat pundum d ad pundum C Sc reda C d evadet tangens quslita. Corel. 2. Unde etiam Trajedoriarum centra, diametri- la- tera reda inveniri podbnt,ut in Corollario fecundo Lemmatis XIX SchoL Conflrudio in cafu priore evadet paulo fimplicior jungendo BB, & in ea li opus eft produda, capiendo Bp ad B B ut eft B R ad B T, & per p agendo redam infinitam p d ipfi SPl pa- rallelam, inq^ ea capiendo femper p D aqualem B r, & agendo redas Bu^Cr concurrentes in d. Nam cum fint B r ad B r, B R ad B T, p B ad B B, p D ad B Cm eadem ratione, erunt 'p D ^ P r femper aequales. Hac methodo punda Tra jedoriae inveni- untur expeditifiimc, nifi mavis Curvam, ut in cafu fecundo, dc- feribere Mechanice. , . . S Prop.XXllI. Prob.XV. 'IrjjeSioriaui dcj^crihcre' qu£ per data quatuor piwcia ira?ifjhity reSiam conthiget politione datam. Cas. I. Dentur tangens HB, pundum -contadus B,-&:alia tria punda C, JH, B. juru^e BC, agendo PS parallelam ‘m b ll liC"- [S2 ] BH, Sc P B C, comple parallelogrammum BSPQ^ Age B D fecantem SP ‘in T, CD fecantem P inK. Deniq^ agendo quam- vis tr ipfi T K parallelam, de P P S abfeinde P r, P t ipfis P Iv., P T propor- tionales rerpe£i:ivei &;a6i:a- rum C r, Bt concurfus d per Corol. 2. Lem. XX ^ incidet femper in Trajec- tofiam deferibendam. , ^ i--'" ;l Idem aliter, Jlevolvatur tum angulus magnitudine datus C B H circa polum Bjtum radius quilibet rec- tilineus 3c u- trinq; pro- du6lus D C circa polum C. Notentur pur £ia M, N in quibus an- guli crus B C fecat radium illum ubi crus alterum BH concurrit cum eodem radio in pundis D Sc ? . Deinde ad a£lam infinitam M N con- currar.t perpetuo radius ille CP wdCDSc anguli crus CB,Sc cru- C83 3 cruris alterius BHconcurfus cum radio delineabit Tra^edoriam quaefitam. Nam fi in conftru^ionibus Problematis fuperioris accedat pun6i:um A ad pun6lum B, lineae C C B coincident, Sc linea AB ’m ultimo fuo fitu fiet tangens B H, atqi adeo conftrufti- ones ibi pofitae evadent eaedem cum confi:ru61ionibus hic defcrip- tis. Delineabit igitur cruris BH concurfus cum radio fe6i:ionem Ckjnicam per punda C, D, P tranfeuntem, & redam B H tan- gentem in pundo B. F. Cas. 2. Dentur pundaquatuor B, C, D, P extra tangentem HI fita. Junge bina B D, CP concurrentia in G, tangentiqj oc- currentia in H & L Se- cetur tangens in A^ ita ut (itHAsidAIy ut efi: red- angulum fub media pro- portionali inter BH & H- D Sc media proportionali inter C G & G P, ad red- angulum fub media pro- portionali inter PI (klC Remedia proportionali in- ter D G & G B, & drit A pundum contadus. Nam fi redae PI parallela HX trajedoriam fecet m pundis quibufvis XZcT: erit (fex Conicis ) H. A quad. A I quad. ut redangulum ^HTad redangulum B H D ( feu redangulum CGPad redangulum DGB ) ^ red- anijulum B H D ad redangulum P I C coiqundim. Invento autem contadus pundo A, deferibetur Trajedoria ut in cafu primo, a E. F. Capi autem potefi: pundum A vel inter punda H /, vel extra \ & perinde Trajedoria dupliciter deferibi. M 2 Prop, [84] Prop. XXIV. Prob. XVI. TrajeSioriam defmhere tranfihit per data tria pmiSia ^ rcSias. - • duas poptiofie datas cojjtinget. Dentur tangentes H i, 'K L Sc punda B, C, D. Age B’D tangentibus occurrentem in pun^lis Kj & C D tangentibus occurrentem in pun^iis/, L. A£ias itafeca in iv & S,ut CitHK ad K K ut efl: media propor- tionalis inter B H & H D ad mediam proportionalem in- ter BK Sc KD-, & IS ad LS ut eft media proportio- nalis inter CI Sc ID ad me- diam proportionalem inter CLScLD. AgcRS fecan- tem tangentes in J P, 8c erunt J 8c P puncta contac- tus. Nam /]*pcr pun£lorum i/, /, Kj L quodvis / agatur rc^a 1 2^ tangenti K L paral- lela & occurrens curva: in X & i\ & in ea fumatur IZ media proportionalis inter IX &; IT: erit, ex Conicis, re^angulum XI7' (icu I Z quad.') ad L P quad. ut rc^l-angiiliim C/Dad reiflangulem CLD; id eft ( per con- irru6iioncm ) ut SI quad. ad S L qiud. atq^ adeo I Z ad LP ut b' 1 ad S L. I acent ergo pun£ta S, P, Z in una re^a. Porro tan- gentibus concurrentibus inC, erit ( ex Conicis ) recta ngiilum XI 7^ ( fcii I Z quad. ) ad I A quad. ut G P quad. 2idG A q.ud. , adeoq^ [ Z ad lA ut GP ad GA. Jacent ergo puncta P, Z Sc A in una recla, adeoq; punaa S, P & Z funt in una reif^a. Et eodem argumento probabitur quod purafta E, P Sc A funt in una recla. Jacent igitur punda contadus ASl P \n refla SR. , V Hilce i , C 85 ] . Hifce autem inventis, Trajedoria deferibetur ut in cafu primo Problematis fuperioris. Q:__E. F. : ri Lemma XXII. Figuras in alias ejufdcm generis jjguras mutare. Tranfmutanda (it figura quaevis HGI. Ducantur pro lubi- tu redae duae parallelae BL tertiam quamvis pofitione da- tam A B fecantes in A & F, & a figurae punc- to quovis G, ad rec- tam A B ducatur G F>, ipfi 0 A parallela. De- inde a pundo aliquo 0 in linea 0 A dato ad pun6ium D ducatur reda 0 D^ ipCi B L oc- currens in (5^^ & a punc- to occurfiis erigatur reda gd^ datum quemvis angulum cum reda Bh continens, atq^ eam habens rationem adOr/ quam habet G D ad Sc erit g pundum in figura nova hg i pundo G refpondcns. Eadem ratione punda fingiila figurae primae dabunt punda totidem fi- gurae novae, ('oncipe igitur pundum G motu continuo percur- rere punda omnia fissura: primae, & pundum^ motu itidem con- tinuo percuiTCt punda omnia figura: novae & eandem delcribct. Diftindionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg or- dinatam novam , /> F abrcilham primam, Fr/abibifiam novam^ 0 polum, OD radium abfciitdciitem, OA radium ordinatum primum & quo parallelogrammum 0 ABa completur ) ra- dium ordinatum novum. Dico jam quod li pundum G tangit redam lineam pofitione datam, pundum^ tanget etiam lineam redam politione datam. c [Sdj Si punctum C tangit Conicam fe^lioncm, pun61:um g tanget eti- am conicam ie^lionem. Conicis fe(Ei:ionibus hic circulum annu- mero. Porro h pundum G tangit lineam tertii ordinis Analytici, puiK^um g tanget li- neam tertii itidem or- dinis ; & hc de curvis lineis fuperiorum ordi- num: Lineae duae e- runt ejufdem femper ordinis Analytici quas pun6i:a G, g tangunt. Etenim ut ed ad ad OJ ita funt Od ad 0 Dj dg ad DGj & H A B / :D AB ad AD '-i adeoq; A D aequalis efi: OAxAB ad Sc DG aequa- lis efl ^ fi pundum D tangit re£iam lineam, atq, adeo in aequatione quavis, qua relatio inter abfeiffam A D Sc or- dinatam DG habetur, indeterminatae illae AD Sc DG ad uni- cam tantum dimcnfionemafcendunt, feribendoin hac aequatione 0 Ax AB j Q 0 Axda j — ^ — ipro A D^ oc ^_o-pro jGG, producetur aequatio nova, in qua abfcifTa nova adSc ordinata noua dg ad unicam tan- tum dimenlionem afeendent, atq; adeo quae defignat lineam rec- tam. Sin AD Sc DG ( vel earum alterutra J) afeendebant ad duas dimcnliones in aequatione prima, afeendent itidem ad Sc dg ad duas in aequatione fecunda. Et lic de tiibus vel pluribus di- mendonibus. Indeterminatae ad^ dg in ;^quationc fecunda Sc A D^ DG in prima afeendent femper ad eundem dimendonum numerum, Sc propterea lineae, quas puncra C, g tangunt, funte- iufdein ordinis Analytici. Dico praeterea quod d re£i:a aliqua tangat lineam curvam in figura C 8; ] figura prima j haec re£^a tranflata tanget lineam curvam in figura nova : & contra. Nam fi Curvae punda quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, pun£i:a eadem tranfiata co- ibunt in figura nova, atq^ adeo re6i:ae, quibus haec pun^ia jun- guntur fimul, evadent curvarum tangentes in figura utraq;. Com- poni pofient harum aflertionum Demon ftrationes more magis Geometrico. Sed brevitati confulo. Igitur fi figura re£i:ilinea in aliam tranfmutanda efi:, fufficit re£l:arum interfefiiones transferre, 8c per eafdem in figura nova lineas regias ducere. Sin curvilineam tranfmutare oportet, transferenda funt pun6i:a, tangentes & alias . refias quarum ope Curva linea definitur. Infervit autem hoc Lemma folutioni dif- ficiliorum Problematum, tranfmutando figuras propofitas in fimpliciores. Nam reflas quasvis convergentes tranfmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo /^0 lineam quam- vis reflam, quas per concurfum convergentium tranfit : id adeo quia concurfus ille hoc paflo abit in infinitum, lineae autem pa- rallelas funt quae ad punflum infinite diftans tendunt. Poftquam autem Problema folvitur in figura nova, fi per inverfas operati- ones tranfmutetur hasc figura in figuram primam, habebitur So- lutio quasfita. Utile efi: etiam hoc Lemma in folutione Solidorum problema- tum. Nam quoties duae fefliones conicae obvenerint, quarum in- terfedione Problema folvi poteft, tranfmutare licet unum earum in circulum. Refla item & feflio Conica in conftruflione plano- rum problematum vertuntur in rcflam & circulum. ■ Prop. XXV. Prob. XVII. TrajeSioriam deferibere qn<£ per data duo pwiSta iratifihit ^ rcClas tres continget pofitione datas. Per concurfum tangentium quarumvis duarum cum fe invicem, & concurfum tangentis tertiae cum refla illa, qnas per punfla duo data I /» I iv '1 , C 88 ] data tranOr, agcrc6lam infinitam; caq; adhibita pro radio ordina- to [)rimo, tranfinutetur figura, per Lemma fuperius, in figuram novam. In hac figura tangentes ilk duae evadent parallelae, & tangens tertia fiet parallela rectae per punfla duo tranfeunti. Sun- to h /, hj tangentes duae paral- lela*, ih^ tangens tertia, Sc /a/ recla huic parallela tranfiens per pun^la illa per quae Conica j iedio in hac heura nova tranlire c - debet, Sc parallelogrammum/ai- j h^l complens. Secentur rcd^€ i hij C ^5 !_ iizhc ad latus quadratum rcct- fi\ a \f imguWahhy ic ad /V, & \e ad hjl ut eft fumma redarum i & /^ / ad fummam trium linearum quarum prima efi: reda 8c alterae duae funt latera quadrata redangu Iorum & alb: Et erunt r, d^e punda contadus. Etenim, ex Conicis, dlint hc quadratum ad redangulum /a Z>, & ic quadratum ad id quadratum, & ^ e quadratum ad \d qua- dratum, Se c / quadratum Ad alb rcdangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipfius ahb^ ic ad / J, k^e ad k^d Sc e l Ad latus quadratum ipfius afb funt in dimidiata illa ra- tione, Sc compolite, in data ratione omnium antecedentium /j/Sc hj ad omnes confequentes, qua* lunt latus quadratum redangu- li ahb & reda ih^ Sc latus quadratum rcdanguli alb. Haben- tur igitur ex data illa ratione punda contadus r, r/, e, in figura nova. Per inverfas operationes Lemmatis novifllmi transferan- tur hac punda in tiguram primam St ibi, per cafum primum Pro- blematis XIV\ delcribetur Trajedoria. ^E. F. Caterum per- inde ut punda b jacent vel inter punda /i, /, vel extra, de- luent-punda r, e/, e vel inter punda /a, /, /^, / capi, vel extra. Si pundorum j, b alterutrum cadit inter punda /a, /, St alteriim cx- eft. ■ Pfop. tra, Problema impoffibile C8p] Prop. XXVI. Prob. XVni. TrajeSioriam defcribere tranfihit per pmSium datum ^ reBas quatuor pojitione datas continget. Ab interfeflione communi duarum quarumlibet tangentium ad interfedionem communem reliquarum duarum agatur reda infinita, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, tranfinu- tetur figura ( per Lem. XXII ) in figuram novam, &: Tangentes bin3e,qu9e ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent paral- lelae. Sunto illae hi Sck^l^ hl continentes parallelogrammum hikj. Sitq-, p pun^lum in hac nova figura, pun6i:o in figura prima dato refpondens. Per figurae centrum 0 agatur pq, ^ exiflente 0 q aequali 0 p^ erit q pun^lum alterum per quod fec- tio Conica in hac figura nova tranfire debet. Per Lemmatis XXII operationem inverfam transferatur hoc pun61:um in figuram pri- mam, 8c ibi habebuntur pun(fi:a duo per quaeTraje^loria deicri- benda eft. Per eadem vero deferibi poteft Traje£i:oria illa per Prob. XVII. Q^E.F. Lemma XXIII. Si reSide dude pofitione dat^ A- C^BD ad data ptmBa Ay B terminentur y datamq'y ha- beant rationem ad invie enty reSia CDy qua punSia indeterminata C, D jungun- tur y fecetur in ratione data in K : dico quodpunShim K locabitur in reSia pojitione data. Concurrant enim vcdtxACy BD in E, 8>c in EEcapiatur B G A E ut eft B D ACy (icq, FD aqualis ECy Sc erit £C ad N GDy L 90' 3' C D^hocePi ^idEFut AC ad BP,adcoqi in ratione da ta,&: prop- tcrca dabitur Tpccie triangulum E FC. Secctur C F \nL in rati- oneC K ad C Sc dabitur etiam fpecie triangulum E F- L, proindeq^ pun£lum L lo- cabitur in re6i:a E L politione data. Junge LF, Seob da- tam FD 8c datam rationem LK ad FDj dabitur.X^E Huic aequalis capiatur EH^Sc erit ^ELKH parallelogram- mum. Locatur igitur punc- tum K in parallelogrammi latere politione dato H K. Q^E. D. Lemma. XXIV. Si reSl£ tres tangant quamennq-) conifeSlionem^ qnarnni dn^ -paralie- lif fint ac cientur politione \ dico quod feSiionk femidiameter hifce duabus parallela^ fit media propor- tionalis inter ha- rum fegmenta^ punSiis contaSiu- um tangenti terticc interjeSia. Sunto A Fj G B parallelae duse Co- . nireftioncm A DB tangentes in A Se B ; E F re61a ter- tia Conifedionem tangens in I, Se occurrens prioribus tangentibus ii^ F& G fitqv C femidiameter Figurae tangentibus parallela : Dico q^uod AF^ C DyBC fant continue proportionales. Nam , . E ] • Nam fi diametri conjugatae AE^ D M tangenti FG occurrant in E & Hjfeqi mutuo fecent in CjSc compleatur parallelogrammum IKCL j erit ex natura re6i:ionum Conicarum, ut E C ad C A ita C A diELC^ 8c ita divifim E C — C ad C — C L feu E ad AL^Sc compofite E StdR AF A L feu E L ut E C ad E C -|- C- A feu E B ; adeoqj ( ob fimilitudinem triangulorum E F, E L- /, E C H, E B G ^ y^ F ad L I ut C H ad B G. Efl: itidem ex natura fe^iionum Conicarum L I feu C Jf ad C £> ut F D ad C H, atqi adeo ex aequo perturbate AF 2id CD ut C D ad B G. 2^E. D. Corol I. Hinc fi tangentes duae FG, F 2jangentibus paralle- lis y^F,B G occurrant in F&G,P & 2_,feq5 mutuo fecent in 0, erit ( ex aequo perturbate ) y^ E ad B 2jit A P ad B G, & divi- fim ut F P ad G atq5 adeo ut F 0 ad 0 G. Cowl. 2. Unde etiam regiae duae PG, FG_per pun6la P Sc G, F 2jlu£i:a^, concurrent ad regiam y^ C B per centrum fi- gurae 8c punda contaduum A, B tranfeuntem. Lemma XXV. Si parallelogrammi latera qmtnor infinite froduSla tangant feBionent quamcHnq’-i Coni- camj abfein- dantnr ad tangen- tem quamvisquin- tam\ fumantur au- tem ahfciffje ter- minatae ad angu- los oppofitos pa- rallelogrammi: di- co quod ahfcijfa tinitcs laterk fit ad latus illud^ ut pars lateris con ' termini inter punBum contaBus ^ latus tertium^ ad ahfcijfam la- teris hujus contermini» Tangant parallelogrammi MIK L latera quatuorML, lif, N 2 KL» C p;* ] K L, M I fc^iionem Conicam in B, C, D, & fecet tangens quinta F latera in F, Q^y H & E: dico quod fit ME ad MIutBKadi^ 2^ 8>c KH did K L ut A M ad M F. Nam per Corollarium Lemmatis fuperio- ris, tfi; M E ad E I ut A M feu B K ad B CL) Se componen- do ME ad MI ut BKadKa.CLE. D. Item K H ad H L ut B K feu A M ad A F, & dividendo KHadKLut AMadMe. 2^E. D. Corel. I. Hinc fi parallelogrammum I KLM datur, dabitur re^langulum K Qjx M E, ut 8e huic ajquale re^iangulum KHx M F. iEquantur enim redangula illa ob liniilitudiiicm triangu- lorum KaH, MF E. Corel. 2. Et fifexta ducatur tangens taneertibus KI, MI occurrens in e Se re£langulum K (Lx M E arqiiabiriir rediangu- lo K X M e, eritq, K CLad M c ut K ^ ad M E,8e dividin ut ad E e. Corel. 2,. Unde etiam fi E //, e 2_)nngantur Se bifecentur, Se refla per pui fta biieftionum agatur, rrardibit hax per centrum Seflionis Conicae. Nam cum Cit Q^q ad E e ut K(2,ad Me, tranfibif eadem refla per medium omnium E^/, MK-, (fper Lemma XXIli ) Se medium reflae MK efi; centrum Seflionis^. Prop.XXVIl. Pfob.XIX. IrajeSl oriam de feribere qucC reSlcts quinq^ pojitione datas cetitinget. Dentur pofitione tangentes ABC, BCF, GCD, FDE E A. Figurae quadrilatera' fub quatuor qiiibufvis contentae A FE [93] FE diagonales A F^B E bifeca, Sc ("^per Cor. 3. Lem. XXV ) re£l:a per pun61a bife61:ionum a6la tranfibit per centrum Trajec- toriae. ilurfus figurae quadrilaterae B C DF^ fub alljs quibufvis quatuor cciitfuni in concurlu bifecantiiim. Sit illud 0. Tangenti cui- vis bC parallelam age K L, ad eam dillantiam ut centrum 0 in medio ii^tcr parallelas locetur, Sv a£i-a K L tanget traje^loriam dcTcribendam. Secet harc tangentes alias qualVis duas C D,F D- E \n L8>c K. Per tangentium non parallelarum CL^ F K cum parallelis C F, K L concurfus C Sl F ScL age C F L con- currentes in K, Se re(3^a OK dudia & produfia fecabit tangentes parallelas C F, K L in pundis conta^iuuin. ' Patet hoc per Co- rol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia con- taduum pun(ria, Sc tum demum per Cafum i. Prob. XIV. Trajedoriam deferibere. {2l.E* E. Scho-. - C 94 ] Schol. Problemata, ubi dantur Trajecloriarum vel centra vel Jiymp- tot), includuntur in praecedentibus. Nam datis pundlis Sc tan2:en- tibus una cum centro, dantur alia totidem pun^la ali^eq; tangentes a centro ex altera ejus parte aqualiter difiantes. Afymptotos autem pro tangente habenda efr, & ejus terminus infinite 'diftans (f fi ira loqui fas fit ) pro pundo contaffiis. Concipe tangentis cujufvis pun^fum contadfus abire in infinitum, & tangens verte- tur in Afymptoton, atq^ conftrudfiones Problematis XV 8e Cafus primi Problematis XIV vertentur in confirudliones Problematum ubi Afymptoti dantur. Poflquam Trajedforia deferipta efl, invenire licet axes & umbili- cos ejus hac methodo. In conftrudfione & Figura Lemmatis XX/, fac ut angulorum mobi- lium F/JN, fCN cru- ra B F, CP quorum concurfu Trajedloria de- feribebatur fint fibi in- vicem parallela, eumq; fervantia fitum revol- vantur circa polos fuos F, C in figura illa. In- terea vero deferibant altera angulorum illo- rum crura C N^B N,con; CLirfu fuo /f vel ^ , cir- culum IBKGC. Sit circuli hiijus centrum 0. Ab hoc centro ad Fegulam MN, ad quam altera illa crura CN, BN interea concurrebant dum Trajedforiadefcribebatur, demit- te normalem 0 H circulo occurrentem in K S: L. Et ubi cru- ra [ pn ra illa altera C , B K concurrunt ad punclum iftud K quod ivegulaL" propius cfl:, crura prima CF^ BP parallela erunt axi majori j Sc. contrarium eveniet G crura eadem concurrunt ad pundum remotius L. Unde d detur Trajedoriae centrum, da- buntur axes. Hifce autem datis, umbilici fiint in promptu. Axium vero quadrata funtad invicem utK H ad LH, 8c inde facile cft Trajedoriam fpecie datam per data qiiatuor punda de- feribere. Nam d duo ex pundis datis condituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles jP C /f , PBK» Tum ob datam fpecie Trajedoriam, dabitur ratio OH ad OK, ccntroqjO 8c in- tervallo 0 H deferibendo circulum, Sc per pundum quartum a- gendo redam quae circulum illum tangat, dabitur regula MNcu- jus ope Trajedoria deferibetur. Unde etiam viciOim Trapezi- 11 m fpecie datum ( d cafus quidam impolTibiles excipiantur j) in data quavis fedione Conica inferibi poted:. Sunt Sc alia Lemmata quorum ope Trajedoriae fpecie datae’ datis pundis Sc tangentibus, deferibi pqdlint. Ejus generis ed: quod, d reda linea per pundum quod vis podtione datiim du- catur, quae datam Conifedionem in pundis duobus interfecet, Sc interfedionum intervallum bifecetur, pundum bifedionis tanget aliam Conifedionem ejufdem fpeciei cum priore, atq; axes ha- bentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis uti- lia. Lemma XXVI. Iriafignli fpecie magnitudine dati tres angulos ad reflas totidem pofiiione dattfSy qu£ non fuit omnes paralleU^ fngulos ad fngulas ponere. D antur podtione tres redae indnitae AB^ AC., BC^ Sc opor- tet triangulum D £ F ita locJirc, ut angulus ejusP lineam AB., an- C ] angulus E lineam angulus F lineam B C tangat. Super D E, DF ScE¥ deferibe tria circulorum Tegmenta DKEy DGFj E M Fjquai capiant angu • los angulis 3 AC^ AEC^ AC B aequales refpe^live. Deferibantur autem haec Tegmenta ad eas partes linearum JD E, D F, E F ut literx DRED eodem ordine cum literis BAC^ By literae DGFD eo- dem cum literis ABC A^ Sc literae E MF E eodem cum literis ACBAm orbem redeant : deinde compleantur haec Tegmenta in circulos. Secent circuli duo priores Te mutuo in Cy fintqi centra eorum P & 2:^ Jundis G Py cape Ga Ad AB uteftGPadF- 2_, & centro G, in- tervallo G a deTci ibe , circulum, qui Tecet circulum primum D- GEin<^. Jungatur tum a D Tecans circu- lum Tecundum DFG in by tum a E Tecans circulum tertium G- ’Ec in c. Et com- pleatur figura ahc~ DEF fimilis 8^ aequa- lis figurae' ABCdef. Dico Tafium. Agatur enim Fc ipfi aD occurrens in /f. Jungantur aGy hGy [ 97 1 hGy P P, Q D & producatur conrtru6:iorie cfi: ane;ulus ¥.aD aequalis angulo C £>5 & angulus E cF aequalis an- gulo ACBy adeoq; triangulum af7c triangulo ABC sequiangu- lum. Ergo aniijulus anc fcu F fiD angulo A B C,adeoq; angulo FbD aequalis cft, Sc propterca pun£i:um n incidit in punduni b. Porro angulus G P qui dimidius eft anguli ad centrum G- P D, aequalis cft angulo ad circumferentiam GaDj tk angulus G- qui dimidius eft complementi anguli ad centrum G aequalis eft angulo ad circumferentiam GbD^ adeoq; eorum com- plementa P2J^5 abG aequantur, funtq^ ideo triangula G G ab ftmilia, & G 4 eft ad 4 ^ ut G P ad P 2.^ id eft(' ex conftruc- tione ) ut G ad iEquantur itaq^ ab Sc A By Sc propterca triangula ABC, quae modo ftmilia elfe probavimus, funt etiam aequalia. Unde cum tangant inluper trianguli DEE angu- li D, £, F trianguli abe latera aby acybe rcfpc(ftivc, compleri poteft ftgura ABC de f figurae abe DEL ftmilis & aequalis, atq; eam complendo folvetur Problema. Q^E F. Cero/. Hinc re61a duci poteft cujus partes longitudine datae reCris tribus pofitionc datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEFy punGo D ad latus E F accedente, lateribus DE, DF in di- re(ftum politis, murari in lineam re£iam,cujus pars data DE, rec- tis pofttione datis ABy ACy Sc pars data D F reCtis poftrione da- tis ABy BC interponi debete & applicando conftruCtionem prae- cedentem ad hunc cafum folvetur Problema. Prop. XXVIII. Prob. XX. TrajeSioriam fpccie- magnitudine datam defcril)erey cujus partes datx reSiis tribus pojitione datk mtcrjacebunt. Dcfci ibenda ftt Trajecioria quaefttfti^ilis & aequalis lineae cur- va; DE F, quaq^ a reCtis tribus ABy ACy ECpoiitione datis, in O par- CpS] . partes datis hujus partibus DEScEF flmiles & aequales fecabitui ' Age reflas DE,EF,DF, 6^ trianguli hujus DEFpone angu- los D, E, F ad reflas illas politione datas: C per Lem. XXVI ^ Dein circa triangulum defcribe Trajefloriam curvae DEF fimi^ lem & aequalem. Q- E. F. Lemma XXVII. Trapezium fpecie datum defcribere cujus anguli ad reSias quatuor po~ fit ione datas ( quCfgh i compleri poteft. Quo fa6i:o Trapezium/'^ /7/ conftituetur fimile Trapezio F GHI Sc angulis fuis g^ i tanget reftas AB^ A B CE. Q^. F. CoroL Hinc reft:a duci poteft cujus partes, re61:is qua tuor pofi- tione datis dato ordine interje£lae, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli F G H, G H J ufq, eo, ut re£iae F G, GH, H/in dire(ftnm jaceant, Sc in hoc cafu conftruendo Proble- ma, ducetur rcC^^fghi cujus partes /^,^/7, /7/, reclis qnatuor po- fitione datis AB Sc A D,. A D Sc BD., BD ^CF. interjefiae, c- runt ad invicem ut lineae FG, CH, H/,eundemqj fervabunt ordi- nem inter fe. Idem vero fic fit expeditius. " * Pro- V. * Producantur AB adjFC,& 5 D ad L,ut BtBK ad ABmHI ad G &:Z) L ad B r) ut G / ad FGj & jungatur K L occurrens redae C E 'mi. Producatur iL ad M' ut fit L M ad i L ut GH ^dH ly Se agatur tuin M^jpfi EB parallela redaeq^^D occur- rens in gy tum g i fecans ABy BDmfy k Dico fadum. Secet e- nim Mg rec- tam AB in Q^y & AD redam KL in S, & aga- tur A Pyqux fit ipfi BD parallela & occurrat i L in Py & e- runt Mg ad P Lh(Mi3id Liygisidhiy AKidBK) ''‘r'- SiAPidB- L in eadem ratione. Secetur DE in R ut fit DE ad RE in eadem illa ra tione, & ob proportionales ^5* ad AS 2id APy 8c DS ad D Ly erit ex aequo ut gS a.dLh ita. AS 2id B LSc D S 2.d RLy & mixtim, BL~ RL ad Lh — Bh ut AS — DS ad^ S— AS, Id efl: B R ad B ut AD ad Agy adeoq; ut B Dad g Et vicif- firn B R ad B D ut B/j ad g Q^feufh ad fg. Sed ex conftrudi- one eft B R ad B D ut FH ad FG, Ergo fh efi ad fg ut FH ad F G. Cum igitur fit etiam ig ad ih ut Mi ad Li, id eft, ut IG ad IHy patet lineas F/, fi ingSehy G 8c H fimiliter fedas efle. Q^E. F. In conftrudione Corollarii hujus poftqiiam ducitur E K fecans EC C ] C E ia iy producere licet i E ad F, ut fit E Fad z E ut F H ad H /, Sc agere Vf parallelam ipfi BD. Eodem recidit fi centro if, in- tervallo I H ^feribatur circulus fecans B P in X, producatur i X ad Ty ut fit i T aequalis /F, & agatur F/ ipfi BP parallela.. r Prop. XXIX. Prob. XIX. IrajeShriam fpecie datam defcrihercy qu,£ a reStk quatuor pofttiov e da- tis in partes fecabituTy ordincy fpecie proportione datas. Defcribenda fit Traje^ioria quae fiinilis fit lineae curvae FCHIySc cujus partes fgy ghy hi illius partibus F G, GHy Hi fimilesSc propor- tionales, re£i:is J- BScAD AD Sc BP, B- P&EC /?- / 1 ’ ' U..V ■f 'V 'V / q;d;:t; --- P o pofirione datis, prima primis, fecun- da fecundis, tertia tertiis interjace- ant. A£iis re£iis F G, GH, HI, FI, deferibatur 'Trapezium fghi quod fit Trapezio f F G H I^ Iknile Si cujus anguli/^ hy itangarjt rec- tas illas pofitione datas ABy ADy B P,- C E finguli fingulas di(^o or- dine. Dein ( per Lem.^XXVIl ) cirra hoc Trapezium deferibatur Traje^loria curvae lincaeFG HI confimilis. / / X'" U ■ !'• % O n / '] -v ■\/ ’ i _ ; » • Sdo~ . i . a r U i , , 1 V . V.. ^ C ^^5 J Scholium, Conflrui etiam potcft hoc Problema ut fequitur. Jiin^^is F G, G H, H I, F I produc G F ad V, jungeqj F H, I G, Sc angulis F G H, V F H fac angulos C A if, DAL aequales. Concurrant A K, A L cum re6i-a B D in K &: L, & inde agantur K M, L N, quarum K M conftituat angulum AK M aequalem angulo G H I, fitqi ad AK ut eft H I ad G H; & L N conftituat angulum AL- N aequalem angulo F H I, fitq^ ad A L ut HI ad FH. Ducantur autem A K, K M, A L, L N ad eas partes linearum AD, A K, A L, ut literae CAKMC^ ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, & a£i^a MN occurrat reSae contineat angulum P QE aequalem angulo F I G, re^lafq^ A B oc- currat in/, & jungatur fi. Agantur autem FE SlP eas partes linearum CE, P E, ut litcrarum P £ i P P E QP idem Cit ordo circularis qui litcrarum F G H I F, & fi fuper linea// eodem quoq; literarum ordine conftituatur Trapezium /g/?/ Trapezio FG H I fiinile, circumftribatur Tra)e(ftoria fpecie data,, folve- tur Problema. Haftenus de orbibus inveniendis. Supereft ut motus corpo- rum in orbibus invenris determinemus. SEC-- [ 104] S E C T. VI. ■ De inventione motmim in Orbibus datis, Prop.XXX. Piob.XXlI. Corporis in data TrajeSioria Parabolica moventis^ invenire locum ad tempus ajpgnatum. SitS umbilicus & A vertex prirxipalis Parabolae, fitq; ^ASx M area Parabolica APS, quae radio S P, vel poft exceflum corpo- ris de vertice deferipta fuit, vel ante appulfum ejus ad verticem deferi- benda eft. Innotefcit area illa ex tempore ipfi proportionali. Bife- ca A S in G, erigeq^ perpendiculum GH aequale ^ M, & circulus centro H, intervallo HSdelcriptus fccabit Parabolam in loco qua firo P. Aam demiffa ad axem perpendiculari P 0, eft HG^.-f GS^. C = ==G 0^. + HG-P0^.) = GO f .-f HGq — 2HGxP0-fP0/Hlla extat figura O^mlk cujus area., reSikpro /uhitu ahfciffa.,pofpt per aequationes numero terminorum ac dimenfionum finitas generaliter inveniri. Intra Ovalem detur piinftum quod vis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recia, 8c interea in reda illa exeat punc- tum mobile de polo, pergatq; femper ea cum velocitate, qu* fit ut redae illius^ intra Ovalem longitudo. Hoc motu pundum illud defcribet Spiralem gyris infinitis. Jam fi area Oualis per finitam aequationem inveniri poteft, invenietur etiam per eandem aequationem diftantia pundi a polo, quae huic area^ proportiona- lis eft, adeoq; omnia Spiralis punda per aequationem finitam in- veniri poffunt : 8c proptcrea redae cujufvis pofirione data^ inter- fodio cum fpirali inveniri etiam poteft per aequationem finitam. Atqui reda omnis infinite produda fpiralem fecat in pundis nu- mero infinitis,& aquatio,qua interfedio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum interfediones omnes radicibus totidem, P ade- [lo6] adeoq^ afcendit ad tot dimcnfioncs quotfuntintcrfei^liones. Qiio- niam circuli duo fe mutuo fccant in pui^Ttis duobus, intcrfedio una non invenitur niil per aquationem duarum dimcnlionum, qua in- terfectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum fedionum Conicarum ouatuor effe polfunt interreabnes, non potefr aliqua earum generaliter inveniri nili per aquationem qiiatuor dimenli- oniim, qua omnes limui inveniantur. Nam fi interlectiones illa feorliin quarantur, quoniam eadem eft omnium lex 8<: conditio, idem erit calculus in cafu unoquoq^ & propterea eadem femper coRclulio, qua igitur debet omnes intcrfecHoneslimul compltCri Sc indifferenter exhibere. Unde etiam interfectiones SeCtionum Conicarum 8c curvarum tertia poteftaris, eo quod fex elle pof- funt, fimul prodeunt per aquationes fex dimenlionum, 8e inter- feCliones duarum curvarum tertia poteftatis, quia novem effe polTunt, fimul prodeunt per aquationes dimenlionum novem. Id nin neceliario fieret, reducere liceret Problemata omnia Soli- da ad Plana, ck plufquam folida ad folida. Eadem de caufa interfeCtiones bina recfarum Se feCfionum Conicarum prodeunt femper per aquationes duarum dimenlionum; terna rcCfarum 8c curvarum tertia poteftatis per aquationes trium, quaterna rec- tarum Sc curvarum quarta poteftatis per aquationes dimenfio- num quatiior,Ss: fic in inliriium. Ergo interfeCtiones numero infini- ta reCiarum, propterea quod omnium eadem cft lex & idem calculus, requirunt aquationes numero dimenlionum 8c radicum i stinitas, quibus omnes polfunt limul exhiberi. -Si a polo in rect- am illam fexantem demittatur perpendiculum.S: perpendiculum u- na cum fccante revolvatur circa polum, interfeCtione.fpiralis tranf- ibunt in le mutuo, quaq; prima erat feii proxima, poli: unam revo- lurionem fecunda erit, poft duas tertia, Se lic deinceps ; nec interea murabitur aquatio nil7 pro mutata magnitudine quantitatum per quas politio lecantis determinatur. Unde cum quantitates illa poft lingulas revolutiones redeunt ad magnitudines pi imas, aquatio re- dibit ad formam primam, adeoq; una eademq; exhibebit interfe(51i- ones [ 107 ] ones omnes, 8c propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi pofFunt. Nequit ergointetredio recise Sc fpiralis per aequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla ex- tat Ovalis cujus area, redis imperatis abfcifla, pofllt per talem quatiofiem generaliter exhiberi. Eodem argumento, fi intervallum poli 8c pundi, quo fpiralis deferibitur, capiatur Ovalis perimetro abfcilfse proportionale, pro- bari poteft quod longitudo perimetri nequit per finitam aequati- onem generaliter exhiberi. Corollarium. Hinc area Ellipfeos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile dudo deferibitur, non prodit ex dato tempore, per ae- quationem finitam , & propterea per deferiptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometri- ce rationales appello quarum punda omnia per longitudines ae- quationibus definitas, ideft, per longitudinum rationes compli- catas, determinari poffunt i caeterafq^ ( ut Spirales, Qiiadratrices, Trochoides ) Geometrice irrationales. Nam longitudines qU2; lunt vel non funt ut numerus ad numerum ( quemadmodum in. decimo Elementorum ) funt Arithmetice rationales vel irratio- nales. Aream igitur Ellipfeos tempori proportionalem abfeindo per Curvam Geometrice irrationalem ut fequitur. Prop. XXXr. Prob. XXIH. Corporis in datalrajeSloria Elliptica moventis invenire locum adi e^n- pus ajpgnatum. ElWpCeos A P B fit A vertex principalis, S umbilicus, 0 centrum, fitq’, P corporis locus inveniendus. Produc 0 A z.d G ut fit OCj P 2 ad c io8 ] ad 0 Ut 0 A OS. Erige p erpendiculum GH,centroq; 0 8c intervallo 0 G defcribe circulum EFC^ & fuper regula CH, ceu fundo, progrediatur rota 6£F revolvendo circa axem fuum, & interca pun£lo fuo A deferibendo Tiochoidcm A LlX}uo fadlo, cape C K in ratione ad rotae perimerrnmi C 6, ut efl tempus quo corpus progrediendo aby^ defcripfit arcum y^P, ad tempus revolutionis unius in Ellipfi. Erigatur perpendiculum K L oc- currens Trochoidi in L, & a£la LP ipfi KG parallela occurret Ellipfi in corporis locoquaefito P. Nam centro 0, intervallo 0 A deferibatur femicirculus A Sc arcui A 2_occurrat L P produda in junganturqj S , OQ^ Arcui E FG occurrat 0 Qm F, 8e in eandem 0 2_demittatur per- pendiculum S R. Area APS cd ut area A QS., id eft, ut diffe- rentia inter fedorem 0 Q A Sc triangulum 0 QS^ five ut differen- tia re(ff angulorum t 0 A Q 8c 4 0 S R, hoc cft, ob datam 4 OQ^y ut differentia inter arcum A 0 8c reStam SRy adeoq; ( ob ai^qiialitatem rationum SRad finum arcus A OS ad OA, OAad OG, AQ^ad GFy 8c diviilmAQ^SR ad GF~ fin. arc. A Q ) ut G N differentia inter arcum G F Sc finum ar- cus A GJE. D. Scho- C lop J Scholimt. Cjeterum ob difficultatem defcribendi hanc curvam prseftat conftru^iones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. EI- lipreos cujufvis AEBfit ABaxis major, 0 centrum, 5 umbili- cus, 0 D femiaxis minor, ^ AK dimidium lateris redi. Sece- tur A S in G, ut fit AG ad AS ut BO ad BS, Sc quaeratur longitudo L, quae Iit ad ^GKuteii AO qnad. ad redangulum ASxOD, Biiecetur 0 G in C, centroq^ C & intervallo C G delcribatur femi- circulus G FO. Deniqj capiatur angulus G C F in ea ratione ad angulos qua- tuor redos, 2^ quam habet ' ~ ^ tempus da- tum, quo cor pus defcrip- lit arcum quaefitum A- F, ad tempus periodicum feu revoluti- ' ^ onis unius in Ellipfi ; Ad A 0 demittatur normalis F£, Sc producatur eadem verfus F ad ufq^ N, ut fit EN" ad longitudinem L, ut anguli illius, finus EFad radium GFjcentroq^ N & intervallo A N defcriptus circulus fecabir Ellipfin in corporis loco quaefito Fquam proxime. Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P femper reperietur in Apfidc ilimma B, & completo altero temporis di- midio, redibit ad Apfidem imam, ut oportet. Ubi vero prox- ime abefi: ab Apfidibus, ratio prima nafeentium fedoriim A- S P, G C F, Sc ratio ultima evanefeentium ESP Sc OC Fy eadem eft rationi Ellipleos totius ad circulum totum. Nam punftis P. C "O ] F j F Bc N incidentibus in loca fSi?i axi A B quam proxi- mis ^ ob aequales Aji^ pt?^ re£la nq^ quae ad arcum Ap perpendi- cularis eft, adeoq^ concurrit cum axe in pun61o /iT, bifecat arcum Ap. Proinde eft =■' Ap ad ut AiC ad G /C, 5c Ap ad G w ut 2 A ilT ad G K. Eft & G t? ad Gf ut £ N ad £ F, feu L ad C F, id cft, ut ^ ^ ad C F, feii G F X A 0 //. ad 2 A S x 0 D x C F, 2 A 6 X 0 Jj & ex aequo A p ad Gf ut 2 A K ad C K + G K x A 0 ad 2 ASx 0 D xC Ff\d eft, utAKxA0q.2idASx0DxCF^ hoc eft, ob aequalia A KxAO Sc 0 D q. ut AOxOD 2id ASxC F. Proin- de y^px V y^S eft ad Gf'x ^ GC ut AOxODx AS ad y^!SxC- Fx G C, feu AO xO D 3.d C G q. 'id eft, fe£lor nafeens A S p ad fedorem nafeentem G Cfut AOxOD^dCGq. Sa propterea ut area Elliplcos totius ad aream circuli totius. QJE. D. Argu- mento prolixiore probari poteft analogia ultima in Sedoribus e- vanefeentibus £ S F, OCF: ideoqi locus pundi P prope y^pfides fatis accura- te inventus eft. In qua- draturis er- ror quafi qiiingcnteft- mae partis ar- eae Ellipfcos 1. totius vel paulo major obvenire fo- let : qui tamen propeniodum evanefeet per ulteriorem Conftruc- tionem fequentem. Per punda G, 0, duc arcum circularem GTO juftae magn^u- dinis; dein produc E F hinc inde ad 7 & N ut fit £Nad FTut •V L ad C Fj centroqj N 8c intervallo A N deferibe circulum qui fccet Ellipfin in F, ut fupra. Arcus autem GTO determinabitur C III ] querendo ejus pun£ium aliquod T ^ quod conftruftioncm in illo cafu accuratam reddet. Si Ellipfeos latus tranfverfum multo majus fit quam latus rec- tum, & motus corporis prope verticem Ellipfeos defideretur, (qui cafus in Theoria Cometarum incidit,) educere licete pun£lo G redam G / axi B perpendicularem, & in ea ratione ad G if quam habet area AV F S ad redangulum AKxAS] de- in centro I &. intervallo A I circulum defcribere. Hic enim fe- cabit Ellipfim in corporis loco quacfito P quamproxime. Et eadem conftrudione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. Hx autem conftrudiones demonftrantur ut fupra, & fi Figura ( vertice ulteriore B in infinitum abeunte ) verta- tur in Parabolam, migrant in accuratam illam conftrudionem Problematis. XXII. Si quando locus ille P accuratius determinandus fit, invenia- tur tum angulus quidam B, qui fit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio aequalis fubtendit, ut eft umbilicorum diftan- tia SH 26. Ellipfeos diametrum AB., tum etiam longitudo quae- dam L, quae fit ad radium in eadem ratione inverfe. Qyibusfe- mel inventis, Problema deinceps confit per fequentem Analyfin. Per conftrudio- nem lliperiorem (vel utcunq; con- jeduram facien- do) cognofeatur corporis locus P quam proxime. Demilfaq; ad ax- em Ellipfeos or- dinatim applicata P R, ex propor- tione diametrorum Ellipfeos, dabitur circuli circumfcripti AQB ordinatim applicata R quae finus eft ai^uIi A C G^exiften- rc [in] te AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognofeatur etiam angulus tempori por- portionalis, id eft, qui fit ad quatuor redos ut eft tempus quo corpus defcripfit arcum A P, ad tempus revolutionis unius in El- lipfi. Sit angulus ifte N. Tum capiatur & angulus D ad an- gulum By Ut eft linus ifte anguli ACQ ad Radium, 8c angulus £ ad angulum N —AC Q ut eft longitudo L ad longitudinem oandem L cofinu anguli i D diminutam, ubi angulus ifte redio minor eft, audam ubi major. Poftea capiatur tum au- gulus F ad angulum £, ut eft finus anguli ACQ^-^E ad radium, tum angulus G ad angulum N — ACQ^— £ -f F ut eft longitudo L ad Longitudinem eandem cofinu anguli AC Q^-\-E-\-i F dimi- nutam ubi angulus ifte redo minor eft, audam ubi major. Ter- tia vice capiatur angulus H ad angulum F, ut eft finus anguli A- CQFEFC ad radium^ & angulus /ad angulum N — y^Cd — £ — G H, ut eft longitudo L ad eandem longitudinem cofinu anguli AC E-\- G F i H diminutam, ubi angulus ifte redo minor eft, audam ubi major. Et fic pergere licet in infinitum. De- niq^ capiatur an- gulus A C q ae- qualis angulo A- cqfefg+i 8cc. &■ ex cofinu ejus C r Sc ordi- nata p r, quas eft ab finum qr ut Ellipfcos axis minor ad axem majorem, habe- bitur corporis locus corredus p. Siquando angulus N — A CQ-jr D nco;arivus eft, debet l7gni m-f ipfius£ubiq, mutari in _,8c fig- num — in 4-. Idem intelligc ndut^i eft de fignisipforum G& /, ubi anguli N-ACQ-E + F, Sl N - A C'q~E -GF H nega- tivi rive prodeunt . Convergit autem feries infinita A C E + G + 1 quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra pro- gredi quam ad terminum fecundum £ . Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area ^ ? 5 fit ut differentia inter arcum A Q_Sc re£i:am ab umbilico S in Kadium C perpendiculariter demiflam. Non difllmili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum C , Vertex A , Umbilicus S & Afymtotos C K . Cog- nofeatur quantitas are« APS tempori proportionalis . Sit ea A^ & fiat conjeffura de pofitione regiae S P , quae aream illam abfeindae quamproxime. Jungatur CP ^Sc db-A^P ad Afymptoton agantur AlyPK Afymptoto alteri paral- lelae,& per Tabulam Logarithmo- rum dabitur Area A I K P^ eiq^ aequalis area C P quae fubdu6fa de triangulo CPS relinquet are- am APS. Applicando arcarum A dc AP S femidifferentiam i AF S~ \A A — iA PS adi ineam S N, quae ab umbilico 5 in tangentem P 1 perpendicularis eff, ori- etur longitudo PQ^ Capiatur autem P 2j.'^tcr & P, fi arca APS major fit area y^,fccus ad pun^fi P contrarias partes ; & punefum jQ^rit locus corporis accuratius. Et computatione repetita in- venietur idem accuratius in perpetuum. Atqi his calculis Problema generaliter confit Analytice. , Ve- rum ufibus Aftronomicis accommodatior eft calculus particularis qui feqiiitur. Exiftentibus y^O, OE, 0 D femiaxibus Ellipfco?, Vide jig. pag. lop. i lo.^ 8cL ipfius latere rc6fo, quaere tum angulum 7", cujus Tangens fit ad Radium ut efffemiaxium dific- rentia AO — 0 D d.d eorum fummam AObODj tum angulum Z, cujus tangens fit ad Radium ut rc£langulum fub umbilicorum difiaritia SH Sc fcmiaxiuin differentia AO — OD^id triplum rcc- tangulum fub O^Jemiaxe minore & /^0 differentia inter fc- CL mi- C ih3 . miaxem majorem & quartam partem lateris re(Si. His angulis fe- mcl inventis, locus corporis fic deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus B P deferiptus eft, feu motui medio ( ut loquuntur ) aequalem ; & angulum V ( primam medii motus aequationem J ad angulum Y ( aequatio- nem maximam primam ) ut efl; Imus anguli T duplicari' ad radi- um 5 atqj angulum X ( aequationem fecundam ) ad angulum Z ( aequationem maximam fecundam ) ut eil: finus verfus anguli T duplicati ad radium duplicatum, vel ( quod eodem recidit ) ut efl: quadratum rinus anguli Tad quadratum Radii. Angulorum T, K, X vel fummae T + X-f P, fi angulus T re£i:o minor efl, vel difierentiae T+ X — P, fi is rc6io major efi: re6i:ifq; duobus minor, aequalem cape angulum BHP ( motum medium aequatum ; J & fi HF occurrat Ellipfi in P, a^ia *S'P abfeindet arcam BSF tem- pori proportionalem quamproxime. Haec Praxis fatis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum F & X ( in minutis fecundis, fi placet, pofitorum ) figuras duas trefve primas invenire fufficit. Invento autem angulo motus medii ae- quati BHP, angulus veri motus HS P & diftantia 5’P in promptu funt per methodum notiflimam Dris. Sethi W ardi Epifeopi Salk- hurierifis mihi plurimum colendi, Ha^ienus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem po- tefi: ut mobile re^a defeendat vel reda afeendat, & quae ad ifti- ufmodi motus fpedant, pergo- jam exponere. SECT, r [ »5 ] S E C T- VIL De Corporum Afcenfu ^ Defcenfu KeSiilineo, Prop. XXXII. Prob. XXIV. Vojito quod *vis centripeta fit reciproce proportionalis quadrato diflan» tia locorum a centro^fpatia definire qu^e corpus reBa cadendo datis temporibus defcribit. Cas. j . Si corpus non cadit perpendiculariter defcribet id Tec- tionem aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex Propofitionibus XI, XII, XIII & earum Corolla- riis conftat. Sit fedio illa Conica H P B & umbilicus inferior S, Et primo fi Figu- ra illa Ellipfis eft, fuper hujus axe majore AB deferibatur femicirculus ADB^ Sc per corpus decidens tranfeat re6i:a D P C per- pendicularis ad axem; adifq; D S, P S erit area ASD arese ^ S P atq; adeo etiam tem- pori proportionalis. Manente axe AB mi • nuatur perpetuo latitudo Ellipfeos, Sc fem- per manebit area ASD tempori proportio- nalis. Minuatur latitudo illa in infinitum, & orbe A? B jam coincidente cum axe A B Sc umbilico S cum axis termino B,de(cendet corpus in re6fa AC^ Sc area ABD evadet tempori proportionalis. Dabitur itaq; fpa- tium A C, quod corpus de loco A perpendi- culariter cadendo tempore dato defcribit, fi modo tempori pro- portionalis capiatur area A B D^Sc a pun£i:o D ad vQ^sunAB de- mittatur perpendicularis DC. Q.E,L (X 2 Cas. Cas. '1, Sin figura fuperior R?B Hyperbola eft, defcribatur ad eandem diametrum principalem A B Hyperbola re£^angula B D: & quoniam areae C S P, C BfP^ SP fB funt ad areas C- S D^C B E DyS DE By fing^ ilae ad lingulas, in data ratione altitu- dinum C P, C D, & area SPfB proportionalis efl tempori quo corpus P movebitur per arcum P Bj erit etiam area SDEBei- dem tempori proportionalis.Mi- nuatur latus reduni Hyperbolae RP B in infinitum manente la- tere tranfverfo, Sc coibit arcus P B cum re£i^a C B, & umbilicus S cum vertice B &re61:a S -Deum re^a B D.Proinde areaB D£ B proportionalis erit tempori quo corpus C re^lo defcenfii deferi- bit lineam CB. Q^E. I. Cas. 5. Et fimili argumento fi figura KP B Parabola efi, Sc eodem vertice principali B dc- feribatur alia Parabola B£D, quae femper maneat data, interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpus P movetur, dimi- nuto & in nihilum redaclo ejus Latere reefi-o, conveniat cum li- nea C Bj fiet Tegmentum Pariibolicum B D £ B proportionale tem- pori quo corpus illud P vel C defeendet ad centrum B. Q^E. 1. Prop. XXXIII. Theor. IX. Pofitis jam dico quod corporis cadentis ^velocitas in loco quo-- ^jis C ejl ad velocitatem corporis centro B intervallo B C circhluni defcribe?7fiSj in dimidiata ratione quam C dijlantia corporis a Circnli vel H)perholee vertice idtericrc A^ habet ad Jignrje, femidi- ametrum principalent jAB, ‘ Nam- L,adeoq;- locitates illae funt ad . C ”7 ] Namq; ob proportionales C £>, C P, linea B communis eft utriulqi figurae K P B, D E B diameter. Bifecetur eadem in 0, & agatur re61:a P Tquae tangat figuram K.P B in P,atqj etiam fe- cet communem illam diametrum AB ( d opus eft produftam ) in Tj fitqj Sr ad hanc rc ratione ^ — — ad S I ^naa. Porro ACB ^ ex Conicis eft C 0 ad B 0 ut B 0 ad TO, & compofite vel divifim ut CBadEl. Un- de dividendo vel componendo fit i> 0 — uel + C0ad BO ut C7 ad Bl\ id eft A C ad AO ut CPad EQj, indeq; gP?->^A0xSP , ^ B^^.xACxSJ ^ ACB ^ AOxBC ;am in infinitum figurae RP B latitudo C P, fic ut pundum P coeat cum pun^Io C, pun^Iumqi S cum pundo B, & linea S P cum linea BCjlineaq j SX cum linea B2_^ & corporis jam rcfta defccnden- tis in linea C B velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B in- teruallo BC circulum deferibentis, in dimidiata ratione ipfius ad S T-7. hoc eft (negledis squalitatis rationibus SP ad EC 8c BQ^q.id STq ) in dimidiata lationc AC ad AO. e. D. CeroL A [ ii8 J CoroL Pundis B Sc S coeuntibus, 0. fitTC ad ST ut AC ad Prop. XXXIV. Theor. X. Si jigitr a BE D Parabola eji^ dico quod corporis' cadentis zfelocitas in loco quo^vk C aequaln eji velocitati qua corpus centro B dimi- dio intervalli fui B C circulum uniformiter defcrihere poteji. Nam corporis Parabolam K- PB circa centrum S deferiben- tis velocitas, in loco quovis S f per CoroL j. Theor. VIII ) aequalis efl: velocitati corporis di- midio intervalli S P circulum cir- ca idem S uniformiter delcriben- tis. Minuatur Parabolae latitu- do C P in infinitum eo, ut arcus Parabolicus CP cum re^Ia C Bj centrum S cum vertice B, & in- teruallum S P cum intervallo C P coincidat, & conflabit Propofi- tio. Q^E.D. Prop. XXXV. Theor. XI. lifdem poftky dico quod area fgur£ DESy radio indefnito S D de- feripta^ dequalk fit aret£ quam corpus j radio dimidium laterk reSii fgurje DES (Squante^ circa centrum S uniformiter gyrando^ eo- dem tempore defcrihere poteji. Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineo- lam C c cadendo delcribere, & interea corpus aliud K, uniformi- ter in circulo 0 K circa centrum *S' gyrando, arcum K ^deferi- bere C«9 3 bere. Erigantur perpendicula C D^cd occurrentia figurae DES in Dj d. Jungantur SD^SKyS ducatur D c^axi A S occurrens in T, Sc ad eam demittatur perpendiculum S T. Caf. I Jam fi figura DES Circulus eft vel Hyperbola, bifece- tur ejus tranfverfa diameter AS in 0, & erit S 0 dimidium Lateris re£ii. Et quoniam eft 7 C ad TD ut C c ad JD & TD ad TS ut CD ad S7, erit ex aequo TC ad TS ut CD x C c ad SYxDd. Sed per Corol. Prop. 33. eft TC ad S T ut A C ad A O3 puta fi in coitu pund- orum Dy d capiantur linearum rationes ulti- mae. Ergo A C eft ad A 0, id eft ad S , ut CDxCcad SYxDd, Porro corporis de- fcendentis velocitas in C eft ad velocitatem corporis circulum intervallo S C circa centrum S deferibentis in dimidiata ratione A C ad A- 0 vel S if ( per Theor IX. ) Et haec veloci- tas ad velocitatem corporis deferibentis circu- lum 0 Kk^ rn dimidiata ratione S if ad S C per Cor. 6. Theor. IV. & ex aequo velocitas pri- ma ad ultimam, hoc eftdineola Cc ad arcum Tfi^in dimidiata ratione A C ad S C, id eft in ratione AC ad C P. Quare eft CDxCc aequale A C x & propterea A C ad S ut A C xKh^^dSYxDdy indeqj SftTxif ^aequale 5'7x7)e/, SciSK xKk aequale i SY xD dy id eft arca KSk^ aequalis areae S D d. Singulis igitur temporis particulis generantur arcarum duarum particulae S , SD^/, quae, fi magnitudo earum minuatur 8c numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent aequalitatis, Sc propterea (per Corollarium Lemmatis IV) areae totae fimul geni- tae funt femper aequales. Q^ E. D. Cas. '2, Quod fi figura D £ S Parabola fit, invenietur ut fupra C D x C c efie ad SYxD d ut TC ad STy hoc eft ut 2 ad i , a- deoqi 4 C D xC c aequalem efie i SYxD d. Sedeorporis caden- tis C 120 3 tis velocitas in C aequalis eft ve- locitati qua circulus intervallo iS C uniformiter deferibi pofllt. C per Theor. X.}Et haec velocitas ad ve- locitatem qua circulus radio SK deferibi poflit, hoc eft, lineola Ce ad arcum K in dimidiata ra- tione SK ad i Se, id eft, in ratione S /f ad i CD^ per Corol. 6. The- orem. IV. Quare eft i x /C ^ aequale i CD x Ce, adeoqj aeqyale j ST X Ddy hoc eft, area KSkjx- qiialis Areae SDd^ utfupra. Quod erat demon firandum. AI Piop. XXXVI. Prob. XXV. Corpork de loco dato A cadent k determinare tempora defcenfits. Super diametro AS diftantia corpms a cen- tro fub initio) deferibe femicirculum A DSj ut & huic aequalem femicirculum O/ff/ circa centrum S. De corporis loco quovis C erige ordinatim ap- plicatam C D. Junge S Dj & areae ASDxqiu- lem confiitue ^eCtionem OSK. Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo deferibet fpatium A C eodem tempore quo corpus aliud unitormiter cir- ca centrum S gyrando, deferibere poteft arcum 0 K. Ouod erat faciendum. Pfop. XXXVIL Prob. XXVl. Corporis de' loco- dato furfran ^'cl deerfun jreje fi i defnire tempora afcenfns 'i'cl defcenfns. Ex- [-..I ] Exeat corpus de loco dato G fecundum lineam ASG cum ve- locitate quacunqj. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uni- formem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S revolvi polfet, cape C A ad i AS. Si ratio illa efl: numeri binarii ad unitatem, punctum A cadet ad infinitam dif- tantiam, quo in cafu Parabola uertice 5*, axe 5 C, latere quovis redo defcribenda efl:. Pa- tet hoc per Theorema X. Sin ratio illa mi nor vel major efl: quam 2 ad i , priore cafu Circu- lus, pofteriore Hyperbolaredangulafuper di- ametro 5* defcribi debet. Patet per Theore- ma IX. Tum centro 5*, intervallo aequante di- midium lateris redi,defcribatur circulus H/f 6 ad corporis afcendentis vel defcendentis lo- ca duo quaevis G, C, erigantur perpendicula G 7, CD occurrentia Conicae Sedioni vel cir- culo in 7 ac D.Dein jundis SlySD^ fiant feg- mentis SEIS^ SEDS Sedores HSK^ HSl^ aequales, & per Theorema X7. corpus G de- fcribet fpatium G C eodem tempore quo cor- pus K defcribere potefl: arcum KJ^ E. F. Prop. XXXVlll Theor. XIL Pofito quod z>ps centripeta proportionalk fit altimdim fen diflatitia loco- rum a centro^ dico quod cadentium tempora^ ‘velocitates ^ fpatia def cripta funt arcubus arcuumq\ finibus ‘verfis ^ finibus reSiis refpeSlwe pro- portionales. Cadat corpus de loco quovis A fccun^ dum redam ASj centro virhnn 5, in- tervallo A defcribatur circuli quadrans AE^ fitqj CD Cmus redus arcus cujuf- - R C Ili ] vis AD^ corpus A^ tempore A cadendo defcribet rpatium A Cy inq; loco C acquifierit velocitatem C D. Dcmonftratur eo- dem modo ex Propofitione X. quo Propofitio XXXIL ex Pro- pofitione XL demonftrata fuit. E. D. Corol. I . Hinc aequalia funt tempora quibus corpus unum de loco A cadendo provenit ad centrum 5*, & corpus aliud revolven- do deferibit arcum quadrantalem A DE. Corol. 2. Proinde aequalia funt tempora omnia quibus corpora de locis quibufvis ad ufq^ centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica ( per Corol. 3. Prop. IV. ) aequan- tur. Prop. XXXIX. Prob. XXVII. Fojita aijnfamqy generis *vi centripetayC^ concejps jigHrarum cnrvili- marum quadraturiSy reqnirittir corporis reCia afeendentis •vel de- fcendentis tum velocitas in locis pngidisy tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet : Et contra. De loco quovis A in re^lra A DEC cadat corpus E, deq^ loco ejus E erigatur femper perpendicularis £ G, vi centripetae in loco illo ad centrum C tendenti proportiona- lis: Snq-yBFG linea curva quam punc- tum C perpetuo tangit. Coincidat autem E G ipio motus initio cum perpendicula- ri A Bj Sc erit corporis velocitas in loco quovis E ut areae curvilineae ABGE la- tus quadratum. Q^E. I. In £ G ca- piatur £ M lateri quadrato areae ABGE reciproce proportionalis, & fit L M li- nea curva quam pun£tnm L perpetuo tan git, & erit tempus quo corpus cadendo deferibit lineam £ut area curvilinea^^- LME. Quod erat Inveniendum. Etenim in refla A E capiatur linea quam minima D E datae longitudinis, (itq, D L £ locus lineae EM G ubi [ liS 1 ubi corpus verfabatur in D ; & fi ea (it vis centripeta, ut area A- BG E latus quadratum fit ut defcendentis velocitas, erit area ip- fa in duplicata ratione velocitatis, id efi, fi pro velocitatibus 'mD & E feribantur F & F + 1, erit area A B t P ut area A B- G£ ut F* + 2 Ff+I % Se divifim area DFGEut 2 F/ + /% adeoa-5-5^^5-?ut id efi, fi primae quaptitatum naf- ^ J) E E 2lxV centium rationes fumantur, longitudo D f ut quantitas — * jxF adeoqi etiam ut quantitatis hu;us dimidium Eft autem tempus quo corpus cadendo deferibit lineolam D E, ut lineola illa direde & velocitas F inverfe, eftq^ vis ut velocitatis incre- mentum I dire£l:e Sc tempus inverfe, adeoq, fi primae nafeentium rationes fumantur, ut^^, hoc eft, ut longitudo DF. Ergo vis PE ipfi D F proportionalis facit corpus ea cum velocitate defeendere quae fit ut areae ABGE latus quadratum E. D. Porro cum tcmpus,quo quaelibet longitudinis datae lineola DE deferibatur, fit ut velocitas, adeoq^ ut areae ABFD latus qua- dratum inverfe i fitq^ DL, atq^ adeo area nafcens DLMEy ut idem latus quadratum inverfe : erit tempus ut area DLME^ Sc fuinma omnium temporum ut fumma omnium arearum, hoc eft ( per Corol. Lem. IV. ) tempus totum quo linea A E defcribitur ut area tota A ME. (i.E. D. Corol. I. Si E fit locus de quo corpus cadere debet, ut, ur- gente aliqua uniformi ui (^ntripeta nota ( qualis vulgo fupponi- tur gravitas ) velocitatem acquirat in loco D aequalem velocitati qeam corpus aliud vi quacunq^ cadens acquifivit eodem loco P, & in perpendiculari DFcapiatur DE, quae fit ad DE ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, Sc compleatur re£languliini FDKQ^., eiqj aequalis abfeindatur arca y^EED ^ erit A locus de quo corpus alterum cecidit. Namq^ completo rc61argulo R2 epk [ ] EDR cum fit area A B FD ad aream D FG E ut VV 2Ld 2 V X Z, adeoqi ut i F ad I, id efi:, nt femiflis velocitatis totius ad in- crementum velocitatis corporis vi inaequabili cadentis ; & finiili- tcr 2ire?. P QK D 3id aream DKSEut femiflis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis i fintq, incremen- ta illa ( ob aequalitatem temporum na- fcentium J) ut vires generatrices, id eft ut ordinatim applicatae D F^ D Kj ade- oq; ut areae nafcentes D FG EyDKSE j erunt ( ex aequo ) areae totae ABFDj P OK D ad invicem ut femilfes tota- rum velocitatum, & propterea ( ob ae- qualitatem velocitatum ) aequantur. Corol. 2. Unde fi corpus quodlibet de loco qiiocunq; D data cum veloci- tate vel furfum vel deorfiim projicia- tur, Sc detur lex vis centripetae, inve- nietur velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg^ & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut efl: latus quadra- tum re^languli P QKD area curvilincaDF^e vel au6ii, fi locus c efl: loco D inferior, vel diminuti, fi is fuperior efi:,ad latus qua- dratum re6tanguli folius id efl:utVF2^-^d~veI — D Fg e ^d P OK D. Corol. 5. Tempus quoq; innotefeet erigendo ordinatam em re- ciproce proportionalem lateri quadratcf ex P Q^D + vel — DF- gCj capiendo tempus quo corpus defcripfit lineam De ad tem- pus qlio corpus alterum vi uniformi cecidit a F & cadendo pel^ venit ad /), ut area curvilinea DLmead redfangulum 2P Dx D L. Namq; tempus quo corpus vi uniformi defeendens de- fcripfit lineam P D eft ad tempus quo corpus idem defcripfit li- neam PE in dimidiata ratione P D ad P E/id eK ( lineola DE jam- . C ] ^am)am nafcente ) in ratione jP D ad P D-h i DE {eu. 2 P D ad 2 F D -{-DEy Sc divifim, ad tempus quo corpus idem defcripfit lineolam DE ut 2P D Sid DE^ adeoqj ut redangulum 2 P Ex DL ad aream DLMEj eftq^ tempus quo corpus utrumq^ de- fcripfit lineolam DE ad tempus quo corpus alterum inaequabili motu defcripfit lineam De ut area DLME ad aream D L m e, & ex aequo tempus primum ad tempus ultimum ut redangulum 2 E D X D L ad aream DLme, S E C T- VIIL De Inventione Orhinm in quibus corpora viribus quibufcunqj ce-fi^ tripetk agitata revolventur. Prop. XL. Theor. XIII. Si corpus.^ cogente vi quacunq\centripeta.^ moveatur utcunq].^ cor^ pus aliud reSfa afcendat vel defcendat.^ fntq'-) eorum velocitates in aliquo dequalium altitudinum cafu aquales.^ velocitates eorum in omnibus altitudinibus erunt aequales. Defcendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & moveatur corpus aliud a V in linea curva VlKh^ Centro C in- tervallis quibufvis deferibantur circuli concentrici D7, EK reCtx AC in D & E, curvaeq*, VI K 'm I Sc K occurrentes. Junga- tur IC occurrens ipfi E £ in Ni Sc in IK demittatur jKTpendi- culumNTi fitqi circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN quam minimum, Sc habeant corpora in D Sc I velocita- tes aequales. Quoniam difiantix C D^ C I a:quantiir, erunt vi- res centripetae \n D Sc I aequales. Exponantur hae vires per x- * quales lineolas DE., / Ni & fi vis una iN, per Legum Corol. 2. relolvatur in duas NT & /T, vis NT, agendo fecundum lineam nt C «2*5 ] NT corporis curfui ITK perpendicularem, nil mutabit velocita- tem corporis in curfu illo, fed retrahet folummodo corpus a cur- fu re6lilinco,facietqj ipfum de Orbis tangente perpetuo defle£icrc, inqi via curvilinea progredi. In hoc effef^u producendo vis illa tota confumetur: vis autem altera IT, fecundum corpo- ris curfum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit fibi ip(i proportionalem. Pro- inde corporum in D Sc i accelerationes aequalibus temporibus fac- tae fi fumantur linearum nafcentium DE, JN, Jlf, /T, NT rationes primae }^funt ut lineae DE^ IT: temporibus autem in- aequalibus ut lineae illae Sc tempora conjun£i:ira. Tempora ob ae- qualitatem velocitatum funt ut viae defcriptae D E Sc I iC, adeoq; accelerationes, in curfu corporum per lineas D E Sc I funt ut DE Sc iTj DESclK corqun^iim, id eft ut DE quad. SclTx I K re6i-angulum. Sed re£i:angulum I Tx I if aequale efi: I N qua- drato^ hoc ( ft, aequale D E quadrato^Sc propterea accelerationes in tranfitu corporum aD&IadE&if aequales generantur. JE- quales igitur funt corporum velocitates in E Sc K Sc eodem ar- gu- gumento fempcr repericntur sequales infubiequentibus sequalibus diftantiis. Q^E. D. Sed & eodem argumento corpora sequi- velocia & aequaliter a centro diftantia, in afcenlu ad aequales dif- tantias aequaliter retardabuntur. E. D. Corol I. Hinc fi corpus vel funipendulum ofcilletur, vel im- pedimento quovis politiflimo & perfe£i:e lubrico cogatur in li- nea curva moveri, & corpus aliud recl:a afcendat vel delcendat, fintqi velocitates eorum in eadem quacunqi altitudine srquales : e- runt velocitates eorum in aliis quibufcunq; aequalibus altitudini- bus aequales* Namq^ impedimento vafis abfolute lubrici idem prsefiatur quod vi tranfverfa NT. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, fed tantum cogitur de curfu redilineo difce- dere. Corol. 2. Hinc etiam fi quantitas P fit maxima a centro di- ftantia, ad quam corpus vel ofcillans vel in Traje(ftoria quacunq; revolvens, deq^ quovis trajedoriae pun(fto, ea quam ibi habet velocitate furfum projcdum afcendere poftlt ; fitq; quantitas A diftantia corporis a centro in alio quovis Orbis pun£i:o, & vis centripeta 1'emper fit ut ipfius A dignitas quaelibet ^ " ^?cujus Index «—I eft numerus quilibet n unitate diminutus •, velocitas corporis in omni alcirudine A erit ut ynP'^ — n A^ ^ atqi adeo datur. Nafuq^ velocitas aicendentis ac defcendentis ( per Prop. XXXIX. ) eft in hac ipfa ratione. Prop. XLI. Prob. XXVIII. ^>1 centripeta ^ concejps jzgurarum cwvili- reqummtur tum PrajeSiorL-c in quibus corpo- ra monebuntur., tum tempora motuum in IrajeCioriis inn entis. Tendat vis quaelibet ad centrum C St invenienda fitTraje^loi ia VlT Kkz Detur circulus VXT centro C intervallo quovis CV deferiptus, centroqj eodem deferibantur alii quivis circuli I />, KE Pofita cujufcunq\ generis nearum quadraturis., ■T '^8 ] K E tra)c£l:oriam fecantes in 1 8c K re(^amq; CFinDScE. A- ge tam rc^l-am CNIX fecantein circulos K E^VT in NSc Xjtum re6i:am C KT occurrentem circulo VXY inY. Sint autem piinfia I Sc K fibi invicem viciniflima, & pergat corpus ab V per I^TSc jfi. ad fitq^ A altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem acquirat sequalem velocitati corporis prioris in I; & flantibus quae in Propofitione XXXIX, quoniam lineola IK^ dato tempore quam minimo deferipta, eft ut velocitas atqj adeo ut latus quadratum areae ABFD^ & triangulum I C tempori proportionale datur, adeoq; KN efl: reciproce ut altitudo l C, id efl:, fi detur quantitas aliqua & altitu- do I C nominetur A, ut ^ j quam nominemus Z. Ponamus e- am ede magnitudinem ipfius dt V AB FD in aliquo cafu ad Z ut efl; I if ad K N, & erit femper y' AB FD ad Z ut I if ad /CN, &: ABFDslcI ZX ut \K qnad. 2id KN quad. 8c dividm ABFD—ZZ ad ZZ ut IN quad. ad KNquad. adeoq; V AB FD — ZX ad X ut IN ad K Nj Sc propterea AxKN x- quale C 3 Unde cum YXxXC fit ad AxKN QxlN quale -- ^ABFD-ZZ‘ in duplicata ratione TC ad ICC, erit rc^lang. TXxXC aequale Igitur fi in perpendiculo DF capiantur AAvABFD-ZZ s f r F 0^ Qx C X quad. femper Db, D c ip is ^ vliBFD^ZZ ^ -iAAv ABFD^ZZ aequales refpe^live, & defcribantur curvae lineae ab^ cd quas pun£i:a c perpetuo cangunt^deqi pun(f^oF ad lineam eriga- tur perpendiculum V ad abfcindens areas curvilineas VDba^VD- dcj Sc erigantur etiam ordinatae E Ex: quoniam re^langu- lum Db xlN (cuDb aequale eft dimidio redanguliy^ x K N, feu triangulo ICiiC; Sc re£langulum DcxINfeu DcxE aeqiia- le eft dimidio re(ftanguli TX in CX, feu triangulo XCFj hoc eft, quoniam arearum V D V I C aequales femper funt na- fcentes particulae D % E, I C F, & arearum V Dcd, V C X ae- quales lemper ftint nafcentes particulae D E x c, X C F, erit arca genita \E>ba aequalis areae genitae V I C, adeoq; tempori propor- tionalis, & arca genita VDde aequalis Sedori genito FCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus difceillt de loco F, da- bitur area ipfi proportionalis VDba^ & inde dabitur corporis altitudo C D vel C E & ^rca V D cd^ eiqj aequalis Sc61or V C X una cum ejus angulo V C J. Datis autem angulo V CI 8c alti- tudine C1 datur locus J, in quo corpus completo illo tempore re- perietur. Q. E. I. Corol. I. Hinc maximae minimaeq*, corporum altitudines, id eft Apfidcs Traje6ioriarum expedite inveniri poftlint. Incidunt e- nim Apfidcs in pun(fta illa in quibus re^la IC per centrum ducla incidit perpendicula riter in Traje6ioriam VIK: id quod fit ubi rediac l K Sc N K aequantur, adeoq; ubi arca ABFD aequalis eft Z Z. Corol. 2. Sed Sc angulus /CI N, in quo Trajc(ft oria alibi fecat lineam illam I C5ex data corporis altitudine I C expedite invenitur i S [ 130 J . nimirum capiendo finum ejus ad radium ut IC N ad I iiT, id cft ut Z ad latus quadratum areae ABFD. Corol. 3. Si centro C Sc vertice principali V deferibatur rcdl:io quxlibct Conica V KS^ & a quovis ejus pun(^o K agatur Tan- gens RT occurrens axi infinite produ6io C V in puno- « — 3 & « fignificant dig- nitas quaelibet A ^ feu Sc Apfidem imam conficiet femper angulum [ 140] poris ab Apfide fumma ad Apfidem imam in Ellipfi confc6i-us, iit graduum i8o, conficietur angulus V Cp^ indcfcenfu corporis ab Apfide fumma ad Apfidem imam in Orbe propemodum cir- culari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati pro- portionali defcribit, aequalis angulo graduum yj- Si: hoc angulo repetito corpus redibit ab Apfide ima ad apiidem fummam, fic deinceps in infinitum. Ut fi vis centripeta fit ut diftantia cor- poris a centro, id efl: ut y^feu—-j , eritw aequalis ^ aequalis 2 i adeoqj angulus inter Apfidem fummam Se Apiidem imam ae- qualisfeu ^qgr. Completa igitur quarta parte revoluti- onis unius corpus perveniet ad ApOdem imam. Se completa alia quarta parte ad Apfidem fummam, & fic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propofitione X. manifeftum efl:. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipfi im- mobili, cujus centrum eft in centro virium. Quod fi vis centripeta I A' fit reciproce ut diftantia, id eft dire^ieut— feu ,erit nz=z 2, a- deoq^ inter Apfidem fummam Se imam angulus erit graduum yj feu 127 gr. 17 win. Se propterca corpus tali vi revolvens, perpe- tua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apfide fumma ad imam Se ab ima ad fummam perveniet in seternum. Porro fi vis centripeta fit reciproce ut Latus quadrato - quadratum undecimse dignitatis Altitudinis, id eft reciproce ut A , adeoqj direcle ut feu ut:^*^ Qntn asqualis Se-^^^p^r. aequalis 360 Se prop- 180 A terea corpus de Apfide fumma difcedens Se fubinde perpetuo de- fcendens, perveniet ad Apfidem imam ubi complevit revolutio- nem integram, dein^perpetuo afccnfu complendo aliam revolutio- nem integram, redibit ad Apfidem fummam: Se fic per vices in aeter- num. Ex- C HI ] Exempl. 3. Aflumentes mScn pro quibufvis indicibus dignitatum Altitudinis, pro numeris quibufvis datis, ponamus vim cen- id eft ut ^ ^ m r — X_ ^ A aw, A cub. feu (per eandem Methodum noftram Serierum convergentium)ut hT^-mhXr"^^^ ^cT^-^cXT^~^ \ A Cub. 8c collatis numeratorum terminis, fiet KGq. — K Fq. + TF^. ad hr^FcF^Mt -Fq.2id-mbr^-^-ncr^~-^+-^^P:^. xr m 4 nn — n XT^ ^ &€. Et fumendo rationes ultimas quae prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit Gq. ad bT^ ~ * ~\~ cT^ ^,ut Fq. ad mbT^ *, & vicifiim Gq. ad Fq. ut bT^ -FcT.^ ad mhT^ ^ +wcT ^ Quae proportio, exponendo altitudinem maximam C V feu T Arith- metice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut ^ + c ad ;;; Z>+ w c, adeoq^ ut I ad~i^. Unde efl: G adF, id efi; angulus ECp ad angulum FC Pj ut I ad V Et propterea cum angulus VCP inter Apfidem fummam Sc Apfidem imam inEllipfi immobili fit i%ogr. erit angulus FCp inter eafdem Apfides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati proportionali defcribit, aequa- A ciih. Iis angulo graduum 180 ^ ^ \ ' ' Et eodem argumento fi VIS / A A centripeta fit ut angulus inter Apfides invenietur A cub. Mb~^nc refolvetur Problema in ca- ' fibus C ] fibiis difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis efi:, rcfolvi femper debet in feries convergentes denominatorem habentes A cuh. Dein pars data Numeratoris hujus KG q.~~KFq. 4" T Fq. — Fq.X ad partem non datam in eadem ratione ponen- dae funtiEt quantitates fuperduas delendo, fcribcndoq, unitatem pro 7, obtinebitur proportio 6 ad F. CoroL r. Hinc fi vis centripeta fit ut aliqua altitudinis digni- tas, inveniri potefi; dignitas illa cx motu Aplidum , & contra- Nimirumfi motus totus angularis, quo corpus redit ad Apfidem e- andem, fit ad motum angularem revolutionis unius, feu graduum 360, ut numerus aliquis ?n ad numerum alium //, altitudo no- n n minetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa Amm ’ cujus In- dex cft — _5. Id quod per Exempla fecunda manifefium eft. mm ^ ^ ^ Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis rati- one decrefeere non polfe; Corpus tali vi revolvens deq^ Apfide difcedens, fi eseperit defeendere, nunquam perveniet ad Apfi- dem imam feu altitudinem minimam, fed defeendet ufq^ ad cen- trum, deferibens curvam illam lineam de qua egimus in Corol.3. Prop. XLI. Sin caeperit illud de Apfide diicedens vel minimum afeendere, afeendet in infinitum, neqj unquam perveniet ad Ap- fidem fummam. Delcribet enim curvam illam lineam de qua ac- tum efi: in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recdfu a centro decrefeit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apfide difcedens, perinde ut caeperit defeen- dere vel afeendere, vel defeendet ad centrum ufqj vel afeendet in infinitum. At fi vis in recelfu a centro vel decrefeat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crefeat in altitudinis ratione quacunqj Corpus nunquam defeendet ad centrum ufq; fed ad Ap fidem imam aliquando perveniet : & contra, fi corpus de Apfide ad Apfidem alternis vicibus defccndensSc afeendens nunquam ap- pellat ad centrum, Vis in recelfu a centro aut augebitur, aut in mino- C H3 ] minore quam triplicata altitudinis ratione decrefcet : & quo citi- us corpus de Apflde ad Apfidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut fi corpus revolutionibus 8 vcl 4 vel 2 vel li de Apfide fumma ad Apfidem fummam alterno de- icenfu & afcenfii redierit, hoc eft, fi fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel Ii ad I, adeoq; JLl ^ 3 ualeat 4—3 vcl 4 _3 vel ^ m m 3 4 j vel f 3, erit vis ut A vel vel ^ i — 5 vel id efi: reciproce ut Al— 6-4 vel Al — re veM^ — i vel A^ — Si corpus fingulis revolutionibus redierit ad Apfidem eandem immo- tam,erit ;?/ ad « ut I ad i , adeoq j A — 3 aequalis A ^ feu & propterca decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in praecedentibus demonftratum efi. Si corpus partibus revo- lutionis unius vel .tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una ter- tia, vcl una. quarta, ad Apfidem eandem redierit, erit m ad n ut i vel 7 vcl 7 vcH ad i, adeoq^ ^ aequalis A^- —3 vel — 3 vel — 3 vel — 3, & propterca Vis aut reciproce ut A vel A 7, aut dirc^fe ut A^ vel A^^. Deniqj fi Corpus per- gendo ab Apfide fumma ad Apfidem fummam confecerit revolu- tionem integram, pra‘terea gradus tres, adeoq^ Apfis illa fingu- lis corporis revolutionibus confecerit in Confequentia gradus tres, n n 2 eiit wad n ut ad :^6ogr. adeoq;,/^ mm erit aequale A propterca Vis centripeta reciproce ut A ^^ 7 69 fca A ^ i . Dccrefcit igitur Vis centripeta in ratione paulo ma- jore quam duplicata, fcd quae vicibus <^04 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. CoroL 2. Hinc etiam fi corpus, vi centripeta quae fit recipro- ce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipfi umbilicum ha- bente in centro virium, & huic vi centripetae addatur vcl aufe- ratur vis alia quaevis extranea j cognofei poteft ( per Exempla ter- tertia ^ motus Apfidum qui ex vi illa extranea orietur: & con- tra. Ut Ci vis qua corpus revolvitur in Ellipfi fit ut & vis extranea ablata utcy^, adcoqi vis reliqua ut ~ ; erit ( in Exemplis tertiis^ aequalis i aequalis q, adeoqj angulus re- volutionis inter Apfides aequalis angulo graduum 1 8o V JLmi I — ^ c'^ natur vim illam extraneam cfT^ 357,45 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipfi, id efi: c efie 3Tf5 5, & 180 V ^ ~~ evadet 180 V feu 180, 7602 ^ id efi: iSo^r. 45;;/. 37/. Igitur corpus de Apfide fumma difcedens, motu angulari iSo^r. 45 37/ perveniet ad Apfidem imam, &: hoc motu duplicato ad Apfidem lummam redibit: adeoqj Apfis fum- ma fingulis revolutionibus progrediendo conficiet i^r. 31;;/. Ha£i:cnus de motu corporum in orbibus quorum plana per cen- trum virium tranfeunt. Superefi; ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium trac- tant, confiderare folent afcenfus & defcenfus ponderum, tam ob- liquos in planis quibufeunq^ datis, quam perpendiculares : & pari jure motus corporum viribus quibulcunqj centra petentium, & planis excentricis innitendum hic confiderandus venit. Plana au- tem fupponimus efle politifiima Sc abfolute lubrica ne corpora re- tardent. Qiiinimo in his demonfirationibus, vice planorum qui- bus corpora incumbunt quafqj tangunt incumbendo, ullirpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & or- bitas movendo deferibunt. Et eadem lege motus corporum in fuperficiebus curvis perados fubinde determinamus. SEC. C »45 ] r ; i / S E c T- X- De Motu Corporum in Snperjiciebus dat is ^ deq\ Fnnipendulorwn Motu reciproco, Prop. XLVI. Prob. XXXII. Pofita cujufcHnq'^ generis vi centripeta, datoq\ tum virium centro tum plano qmcHnq\ in quo corpus revolvitur^ ^ concejjis Figurarum curvilinearum quadraturis : requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate fecundum KeBam in Plano illo datam egrejji. Sit S centrum virium, SC diftantia minima centri hujus a pla- no dato, P corpus de locoT fecundum re£Iam PZ egrediens, Q_ corpus idem in Trajec- toria fua revolvens, Sc P Qji rra)e£i:oria illa in plano dato deferip- ta, quam invenire o- portet. Jungantur C Q & d in QS capia- tur SV proportionalis vi centripetx qua cor- pus trahitur verfus cen trum Sc agatur FF quae fit parallela C Sc occurrat 5Cin T: Vis 5’Frefolvetur('per Legum Corol. 2. ) in vires FV\ quarum 5 T trahendo cor- pus fecundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera TP, agendo fecundum pofitionem plani, trahit corpus direcle verfus pun£lum C in plano V da- [ ] datum, adeoqi facit illud in hoc plano perinde moveri ac fi vis ST tolleretur, corpus vi fola i V revolveretur circa centrum C in fpatio libero. Data autem vi centripeta T V qua corpus in fpatio libero circa centrum datum C revolvitur, datur perProp. XLir. tum Trajc61:oria PQ^ qimm corpus deferibit, tum locus O in quo corpus ad datum quodvis tempus verfabitur, tum de- niqi velocitas corporis in loco illo 2.5 Sc contra. Q E.I. Prop. XLVII. Theor. XV. Pojito quod *vk centripeta proportionalk fit d/Jiantide corporis a cen~ tro\ corpora omnia in planis quibufcunq^ re^vol^ventia deferibent EllipJcSy resolutiones i empcrilus dequalibm peragent, qudeq\ viosentur in lineis reStis ultro ciiroq; difeurrendo, fingulas eundi redeundi periodos iifdem temporibus abfolsent. Nam ftantibus quae in fuperiore Propofitione; vis ^Equacor- pus 2Jn plano quovis P Q K revolvens trahitur verfus centrum 5" eft ut diftantia SQj atq; adeo ob proporti- onales S F & SO^TF Sc C Qy vis TF qua corpus trahitur verfus pun(5ium C in Orbis plano datum , efi: ut d ifiantia C Vires igitur, quibus corpora in plano P 2J^ ver- fantia trahuntur ver- fiis punfium C/unt pro ratione diftantiarum aequales viribus quibus corpoia undiquaq^ trahuntur verfus centrum <9; & piopterca corpora movebuntur iifdem temporibus in iifdem figuris in plano quo- C »47 ] quovis P QJi circa pundum Cjatq; in fpatiis liberis circa cen- trum 5*, adeoq; ( per Corel. 2. Propi X. Se Corel. 2. Prop. XXXVIII. ^temporibus femper aequalibus, vel deferibent Ellip- fes in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro ci- troqi in lineis reftis per centrum C in plano illo dudis, comple- bunt. Qi E. D. Scholimjt. His affines funt afcenfus ac defccofus corporum in fuperficie- biis curvis. Concipe lineas curvas in plano deferibi, dein circa axes quofvis datos per centrum virium tranfeuntes revolvi, & ea revolutione fuperficies curvas deferibere ; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his' fuperficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique afeendendo Se defeendendo currant ultro ci- troq^ peragentur eorum motus in planis per axem tranfeuntibus, atqi adeo in lineis curvis quarum revolutione curvse illai fuperfi- cies genitae funt. Iftis igitur in cafibus fufficit motum in his lineis curvis confiderare. Prop. XLVIII. Theor. XVI. Si rota globo extrinfecus ad angulos reSios infijiat^ ^ more rotarum re- ^olijendo progrediatur in circulo maximo , longitudo itineris carz^i- linci^ quod punSlum quod^is in rotae perimetro datum ^ ex quo glo- bum tetigit^ confecit^ erit ad duplicatum finmn ‘z/erfum arcus di- midii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit ^ ut fumma dia- metrorum globi ^ rotae ad femidiametrum globi. Prop. XLIX. Theor. XVII. Si rota globo conca^vo ad reSlos angulos intrinfecns infifiatgj^ revolven- do progrediatur in circulo maximo , longitudo itineris curvilinei V 2 quod c ,48 ] quod pmSium qtwd*vk in Rota Permetro datum^ ex quo globum tetigit^ confecit j erit ad duplicatum finum ‘verfum arens dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit^ ut differentia di- ametrorum globi rota ad femidiametrum globi. Sit ABL globus, C centrum e)us, BPV rota ci infiftens, £. centrum rotae, B pundum contadus, Sc P pundum datum in pe- rimetro rotae. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo S 'ABL 2Lh A per B vertus L, & inter eundum ita revolvi ut ar- cus ABj £ hbi invicem femper aequentur, atq; punctum illud P in Perimetro rotae datum interca dcfciiberc viam curvilineam AP. Sit autem AP via tota curvilinea deferipta ex quo Rota glo- bum tetigit in A^ 8c erit via hujus longitudo £ ad duplum li- num verfum arcus \ P B^ ut 2 C £ ad CjB. Nam redla CE ( li opus [ 149 ] opus eft produ6la ) occurrat Rotae in F, )ungantitrq^ CP^ BP, EP^ VP^ 8c ‘m C P produd^am demittatur Normalis VF. Tan- gant PHyVH circulum in R 8t F concurrentes in H, fccctq; PH ipfam VF inGy & ad F jP demittantur Normales C /, H K. Cen- tro item C & intervallo quovis deferibatur circulus fccans red:AmCPmny Rotae perimetrum Bpin (? & viam curvilincani AP in centroq^ F 8c intervallo Vo delcribatur circulus fccans F P produ£iam in q. Quoniam Rota eundo femper revolvitur circa pun^ium con- ta£i:us R, manifefium eft quodre6iaRR perpendicularis eft ad lineam illam curvam A P, quam Rotae pundium P deferibit, atq*, adeo quod rcdi:a V P tanget hanc curvam in pundlo P. Circuli fi 0 m radius renfim audius aequetur tandem diftantiae C jP, & ob ii- mijiiudincm figura; evanefeentis P & figura; jP / G V /, ra- tio ultima lineolarum evancrcentium Pw, P;;, P o^P idefi ra- tio incrementorum momentaneorum curvae P, redla; C’P & ar- cus circularis RP, ac decrementi redla; V P, eadem erit quae linea--' rum P V, P F, PG, P I rcipcGive. Cum autem V Fad CF Sc FFf ad perpendiculares lunt, anguliq^ HVG^ VCF propte- rea aequales ,8.' angulus FFfF, ('ob angulos qiiadrilateri HV E P ad V & P rcFos,)complet angulum V £P ad duos redf-os, adeoq; angulo CEP aequalis cit, fimilia erunt triangula V IIG^ CEP inde fiet ut £ P ad C £ ita Ff G ad H V fcu H P, 8c ira K I SidK P, & divifim ut Ci> ad C£ ita P / ad Pid, & duplicatis conrequen- tlbus utCRad ^CFita P I ad PF. Eft initur decrementum lineae ?"P, id eft incrementum lineae RF— FP,ad incrementum linere curvae AP in data ratione CR ad 2 C£, 8c proptcrca ( pet Corol. Lem. IV. ) longitudines RF— FP ScAP incrementis illis genitae ftint in eadem ratione. Sed exiftente R-F radio, eft FP coftnus anguli FPR feu iRFP, adeoq*, RF— FP ftniis vcifus cjuldcin anguli, Sc proptcrca in hac Rota cipus radius eft i R V., critR \/ —V P duplus finus verfus arcus i RP. Ergo P eft ad duplum ftnum verfum arcus 1 R P ut 2 C£ ad C B. Q, E. D. l i- C »5° 3 Lineam autem in Propofitione priore Cycloidem extra Glohunij alteram in pofteriore Cycloidem intra Globum diftinc- tionis gratia nominabimus Corol. 1 . Hinc fi defcribatur Cyclois integra ASL Sc bifccc- tur ca in <9, erit longitudo partis jP ^Sad longitudinem VF quae duplus eft finus anguli VBP^ exiftente EB radio ) ut 2 C£ ad CBj atq; adeo in ratione data. Corol. 2. Et longitudo femiperimetri Cycloidis AS sequabitur lineae rc6i:3e, quae ell: ad Rotae diametrum BF ut 2 CE sidC B. Corol. 5. ideoqUongitudo illa eft ut ie6i:angulum BEC^fi mo- do Globi detur femidiameter. Prop. L. Prob. XXXIII. Facere ut Corpm pendulum ofcilletur in Cycloide data. Intra Globum QV S centro C deferiptum detur Cyclois S bifcdla ‘inKSc pun£i:is fuis extremis S fuperficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur C K bilecans arcum Q S in 0, & produ- catur ca ad ut fit C ad C 0 ut C 0 ad C K.. Centro C inter- vallo C A defcribatur Globus exterior ABD.,2< intra hunc glo- bum Rota, cujus diameter fit ^ 0, deferibantur duae femicycloides A A Sj quse globum interiorem tangant in S & globo ex- teriori occurrant in A. A pun^lo illo filo A PTlongitudincm AK. aequante, pendear corpus T, & ita intra femicycloides AQ^^ A S ofcilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo A K, filum parte fui fuperiorc A F applicetur ad femicycloidem illam A F 6^, verfus quam peragitur motus, circum eam ceu obftacu- lum fle6i:atur, parteq; reliqua PT cui fcmicydois nondum ob- licitur, protendatur in lineam reclam, Sc pondus T ofcillabitur in Cycloide data QR S. Q. E. F. Occurrat enim filum PI tum Cycloidi dRS in T, tum cir- culo 00 S in V, agaturq^ CV occurrens circulo ABD \n B-, Sc ad fili partem redam P T, e pundis extremis P ac T, erigantur per- [ «5* ] perpendicula P B,1 occurrentia re£lae CV m B Sc W, Patct'^ enim ex genefi Cycloidis, quod perpendicula illa PB^PW ablcin- dent de CV longitudines VjS, rotarum diametris 0 Aj OR sequales, atqj adeo quod punci:um B incidet in circulum ABD» Eft igitur TP 3.6. VP (duplum finum anguli V BP exiftente i BV radio ) ut BfV 36 BV^Ru AO -j-OR ad 0, id eft ( cum (int CA ad CO, CO ad CR 8c divifim AO ad O R proportionales, J) utCA + CO feu 2 CE ad C A. Proin- de per Co- rol. I. Prop. XLIX. lon^ gitudo P T aequatur Cy- cloidis arcui PS, & fi- lum totum APT aequa- tur Cycloi- dis arcui di- midio A PS^ hoc eft ("per Corollar. 2. Prop. XLIX longitudini A R. Et propterea vicillim fi dium manet femper ae- quale longitudini A R movebitur pundum T in Cycloide QR S, Q..E. D. CoroL Filum A R aequatur Cycloidis arcui dimidio APS. Prop. LI. Theor. XVIII. Si 5'* ] . ofcillctHr(}}iodo jam clefcripto) w perimetro Cycloidh QRS: dico quod ofe illationum utcunq-i iudequalmm aequalia erunt Tempora Nam in Cycloidis tangentem 7 JP infinite produci-am cadat perpendiculum CX Se jungatur C T. Quoniam vis centripeta c]ua corpus T impellitur verfus C cft ut diftantia CTj(^ per Legum Corol. 2.J) refolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellen- do corpus direcl^e a F diftendit filum P T Se per cujus lefiftenti- am tota ccfiat,nullum alium edens effedum , pars autem altera 7 X ure;endo corpus traniverfim fcu verius X, direfle accelerat motum ejus in Cycloidej manitertum eft quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis fit fingulis momentis ut longitudo TX, id eft, ob datas CV^f V iilq^ proportionales TX, TlV^ut longitudo TlP\ hoc cfi: ( per Corol. i. Prop. XLIX. J) ut longi- tudo arcus Cycloidis T K. Pendulis igitur duabus AFT ^ Apt dc perpendiculo A K inaqualiter dedu£tis Se fimul dimiffis, accele- rationes eorum Temper erunt ut arcus delcribendi 7 K, tK. Sunt autem partes l'ub initio defer iptae ut accelerationes , hoc cfi: ut tot^e fub initio dclcribcndae, Se propterea partes quse manent deferibendse Se accelerationes rubfcquentes his partibus pro- portionales funt etiam ut tota*; Se fic deinceps. Sunt igitur ac- celerationes atq, adeo velocitates genitte Se partes his velocitati- bus deferipta gartefq^ deferibenda, femper ut tota ^ propterea partes deferibenda datem fervantes rationem ad invicem fimul e- vancfcentj id efi corpora duo ofcillantia fimul pervenient ad per- pendiculum y7K. Cumqj viciifim afcenllis perpendiculorum de ioco infimo K, per eolderh arcus Trochoidales motu retroorado ^acti, retardentur in locis fingulis a viribus iildem a quibus defeen- lus accelerabantur, patet velocitates afcenfuum ac defccnfuum per CGfdem arcus fadorum aquales elle, atq^ adeo temporibus a- tjualibus fieri j & propterea cum Cycloidis partes dua K S Se K ad ut.amiqi perpendiculi latus jacentes fint fimiles Se aquales, pen- dula duo ofcillationcs fuas tam totas quam dimidias iifdem tem- poribus femper peragent. Q^E. D. Prop. C ] Prop. LII. Prob. XXXIV. Dejimre ^ ^velocitates Tendulorum in loch fmgulis , Tempora quibas tum ofcillationes tot^e^ tum fwgnU ojcillationum partes per- ‘ aguntur. Centro quovis G, intervallo GH Cycloid is arcum KS aequante, delcribe femicirculum HK MG feinidiametro G K bifedum. Et fi vis centripeta dirtaiiriis locorum a centro proportionalis ten- dat ad centrum Gjfitq, ea in perimetro fi IK aequalis vi centripetae in perimetro globi 00 S (Vide Fig.Frop L.i^ Ll.) ad ipfius cen- trum tendente; & eodem tempore quo pendulum T dimittitur e loco fupremo 5', cadat corpus aliquod L ab fJad G: quoniam vires quibus corpora urgentur . funt aequales fub initio & fjpati- is deferibendis TJl, GL fem- per proportionales, atq; adeo, (i aequantur 1 R ad L G,3equales in locis TSc L-) patet corpora iila defcriberefpatia 5'T, HL aequa- lia fub inido, adeoq; fubinde per- gere aequaliter urgeri, Se aequalia fpatia defcribere.QuarCjper Prop. XXXVIII. , tempus quo corpus deferibit arcum 5Tefi: ad tem- pus ofcillarionis unius, ut arcus HI ( tempus quo corpus H per- veniet ad L ^ ad femicirculum HKM ( tempus quo corpus H perveniet ad M. ) Et velocitas corporis penduli in loco T cft ad velocitatem iplius in loco infimo R, ( hoc eft velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, feu incrementum mo- mentaneum lineae HL ad incrementum momentaneum linea HG, arcubus H /, HK aequabili fluxu crelcentibus ) utordinatim ap- plicata Ll ad radium CR,five ut V S Kq, — T K q. id ^SR.Unde cum in Ofcillatioiubiis inaequalibus deferibantur aequalibus temporibus arcus cotib Olallationum arcubus proportionales, habentur ex datis VV tem- [ ‘54 ] temporibus Sc velocitates Sc arcus deferipti in Ofcillationibus uni- vcriis. Qux erant primo invenienda. Oicillentur )am funipendula duo corpora in Cycloidibus inx- qualibus carum femiarcubus aequales capiantur reftae CH^gh^ centrilq; g 8c intervallis GHj gh deferibantur femicirculi HZKM, h In eorum diametris HA/, hm capiantur li- neolae aequales H T, hy^ 8c erigantur normaliter rZ, yx circum- ferentiis occurrentes in Z & Quoniam corpora pendula fub initio motus verfantur in circumferentia globi QO 5, adeoq; a vi- ribus aequalibus urgentur in centrum, incipiuntqj direde verfus centrum moveri, Ipatia bmul confeda aequalia eiunt fub initio. Urgeantur igitur corpora H, h a viribus iifdem in H Sc hj fintqi HT^ hy fpatia aequalia ipfo motus initio deferipta, Sc arcus HZ, /-1% denotabunt aequalia tempora. Horum arcuum nafccntium ratio prima duplicata efi: eadem qua rc6i:angulorum GH 7, id ed:, eadem qua linearum GH, gh’^ adeoqj arcus capti in di- midiata ratione femidiarnetrorum denotant aqualia tempora. Ed: ergo tempus totum in circulo HKM^ Ofcillationi in una Cyclo- ide rcfpondcns, ad tempus totum in circulo h hjn Ofcillationi in altera Cycloide refpondens, ut femipeiiferia HifMad medium proportionale inter hanc femiperiferiam Sc femiperiferiam circuli alterius hl\}}7^ id efi: in dimidiata ratione diametri HM ad diame- trum/a;;/, hoc cft in dimidiata ratione perimetri Cycloidis pri- ma ad perimetfum Cycloidis alterius, adeoqi t^tnpus illud in Cy- clo- [ >55 3 clolde quavis eft ( per CoroL 3. Prop. XLIX. )iit latus quadra- tum reaanguli contenti lub femidiamctro Rota?, qua Cy- clois defcripta fuit, & differentia inter remidiainetrum illam Sc le- midiametrum globi., CXE. I. Efl: idem tempus ( per Corol. Prop. L. ) in dimidiata ratione longitudinis fili AK. E. I. Porro fi in globis concentricis delcribantur fimiles Cycloidcs : quoniam earum perimetri fiunt ut fiemidiametri globorum Se vires in analogis perimetrorum locis fiunt ut difiantiar locorum a com- muni globorum centro, hoc ell: ut globorum fiemidiametri, atq; adeo ut Cycloidum perimetri & perimetrorum partes fimiles, a:- qualia erunt tempora quibus perimetrorum partes fimiles Oficil* lationibus fimilibus deficribuntur, 8c propterea Oficillati^ncs om- nes erunt Ifiochronse. Cum igitur Ofcillationum tempora in Glo- bo dato fint in dimidiata ratione longitudinis ARj atq; adeo ( ob datam A C )in dimidiata ratione numeri tionc integra numeri v/ AK 'AC Se hic numerus V. AK AC ’ AK AC id cft: in ra- fiervata ratio- ne ^ K. ad AC (^\\t fit in Cycloidibus fimilibus ) idem fiemper ma- neat, & propterea in globis diverlis,ubi Cycloides fiunt fimiles, fit ut tempus.' manifiefitum efi; quod Oficillationum tempora in alio quovis globo dato, atqj adeo in globis omnibus concentricis fiunt ut numerus V. AK AC' id efi, in ratione compofita ex dimidiata ra- tione longitudinis fili ^ iv diredeSe dimidiata ratione femidiame- tri globi A C inverfie. CL E. I. Deniq; fi vires ablbluta: diverfiorum globorum ponantur ina:- qualcs, accelerationes temporibus aequalibus fiaifia', erunt ut vires. Unde fi tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverfie, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione diretfie, & propterea fipatia erunt aequalia quae his temporibus delcribi ntur. Ergo Ofi- cillationes in globis & Cycloidibus omnibus, quibuficunq^ cum viribus abfiolutis la6a’, lunt in raticr.e quae componitur cx di- W 2 mi- midiata ratione longitudinis Penduli direde, Se dimidiata rati- one dirtantiae inter centrum Penduli & centrum globi inverfe, & dimidiata ratione vis abfolutse etiam inverfe, id eft, fi vis illa di- AK catur F, in ratione numeri — 77- • clei. ACxy Corol. I. Hinc etiam Ofcillantium, cadentium & revolventium corporum tempora poifunt inter fe conferri. Nam fi Rotsr, qua Cyclois intra globum deferibitur, diameter conftituatur sequalis femidiametro globi, Cyclois evadet linea re£la per centrum globi tranfiens, & Okillatio jam erit defcenfus Se fubfequens afcenfus in hac refla. Unde datur tum tempus defcenfus de loco quo- vis ad centrum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad difraniiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem deferibit. Eft enim hoc tempus (" per Cafum fe- cundum ) ad tempus fcmiofcillationis in Trochoide quavis APS ut ijBCad VR£C. Corol. 2. Hinc etiam confeflantur quae D. C. J feremus 8e D. C. Ungemus de Cydoide viilgari adinvenerunt. Nam fi globi dia- meter augeatur in infinirum, mutabirur ejus fuperficies Spherica in planum, vifqi centripeta aget unitormiter fccundumlineashu- ic plano perpendiculares, Se yclois noftra abibit in Cycloidem vulgi. Ifto autem in cafu, loagitado arcus Cycloid is, inter planum illud & purifium delciibcns, aqualis evadet quadruplicato finui \erib dimidii arcus Rora inter idem planiim Se punflum deferi- bens; ut invenit D. C. fi' rem/u6:Et pendulum inter duas ejufmo- di Cycloides in limili & aquali Cycloide temporibus aqualibus Olcillabitur, ut demonftravit Ungeuius, Sed & defcenfus gra- vium, tempore Ofcillationis unius, is erit quem Hugenius indi- cavit. Aptantur autem Propofitiones a nobis demonftrata ad veram confiitutionem Terra, quatenus Rota eundo in ejus circulis max- imis deferibunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pen- dula inferius in fodinis & cavernis Terra fufpenfa,in Cycloidibus intra C *57 ] . intra globos Otcillari debent, ut Ofcillationes omnes evadant Ilo- chronae. Nam gravitas ( ut in Libro tertio docebitur ) decre- fcit in progreflu a fuperficie Terrae, furfum quidem in duplicata ratione diftantiarum a centro ejus, deorfum vero in ratione lim- plici. Prop. LIII. Prob. XXXV. Cojjcejfts jtgurarum cur^ilinearum Qmdrahirky in^emre 59 ] fitqv partium illarum aliqua. Centro C, intervallis CD^Cd delcribantur circuli DT^ dt^ Lineae curvae R occurrentes in T & t. Et ex data tum lege vis centripetae, tum altitudine de qua corpus cecidit j dabitur velocitas corporis in alia quavis alti- tudine C 1\ per Prop. XXXlXe Tempus autem, quo corpus dc- fcribit lineolam T ed; ut lineolae hu- jus longitudo (" id eft ut fccans angu- li tTC ) direde, & velocitas invcrfe. Tempori huic proportionalis fit ordi- /' natim applicata L>N ad regiam CS per piin 61:11 m D perpendicularis, & ob / ' / datam Dd erit re6iangulum D dx D N, hoc eft area DN nd^ eidem tempori proportionale. Ergoft^SN// ftt curva illa linea quam pun6i:um N perpetuo tangit, erit area SNDS proportionalis tempori quo corpus defeendendo dcfcripfit lineam ST proindeqj ex inventa illa area dabitur tempus. Q. E. I. \T C Prop. LV. Theor. XIX. Si corpus movetur in fuperjicie quacunq'^ curva^ cujus axk per cen- trum virium Iranftt^ ^ a corpore in axem demittatur perpendi- culark^ eiq\ parallela aequalis ah axis puntio quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem het. Sit BSKL fuperficies curva, T corpus in ca revolvens, STtK Traje6toria quam corpus in eadem deferibit, S initium Traic6i:o- ri3e, OMNK axis ftiperficiei curvae, TN re61a a corpore in ax- em perpendicularis, OP huic parallela & a^qiialis a punclo 0 quod in axe datur educla, AP vcftigium Trajc6loiiae a puncloP C ] in lineae volubilis OP plano AOP defcriptum, A veftigii initium piin£i:o S rcfpondcns, T C rc6i^a a corpore ad centrum du6i:a ; T G pars ejus vi centripetae qua corpus urgetur in centrum C propor- tionalis ^ TMre^laad iuperficiem curvam -pcrpcndicularisj T/ pars ejus vi preflionis qua corpi« urget fLiperficicm, viciilimqj ur- getur verfus M a fupei ficie, proportionalisj FHTFrcfta axi pa- rallela per corpus tranfi- ens, Sc G Fj IH re£i:x a pun£iis G Sc I \n paral- lelam illam P HT t per- pendiculariter demilFae. Dico jam quod arca A- OP^ radio OP ab initio motus deferipta, fit tem- pori proportionalis. Nam vis TG (per Legum Co- rol. 2. } refolvitur in vires T Fj FG-, & vis T/ in vi- res TH, HI: Vires au- tem T f 5 T H agendo fe- cundum lineam P F pla- no 0 P perpendicula- rem mutant folummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideoq; motus e)us quatenus fecundum politionem plani fadus, hoc eft motus punOi P, quoTraje6i:orise vefiigium AP in hoc plano de- fc} ibitur, idem efi: ac fi vires T P, T H tollerentur, corpus fo- lis viribus FG^ H I agitaretur, hoc efi: idem ac fi corpus in plano AOP vi centripeta ad centrum 0 tendente 8^ fummam viri- um PGSc HI annante, delcriberct curvam AP. Sed vitali delcribetur area AOP ( per Prop. I. J tempori piOportionalis. Q,E.D. Corol. Eodem argumento fi corpus a viribus agitatum ad centra • duo c »6« ] duo vel plura in eadem quavis refla C 0 data tendentibus, defcri- bcret in Ipatio libero lineam quamcunq; curvam ^T, foret area AOF tempori femper proportionalis. Prop. LVI. Prob. XXXVII. Concejps jtgurarmn ciirvilimarum Qmdraturis^ datifq-^ tum lege ^vis centripetee ad centrum datum tendent tum fuperpeie cur^a cu- jus axis per centrum illud tranfit ^ invenwida eji TrajeEioria quam corpus in eadem fuperjicie deferibet^ de loco dato^ data cum z>elo- citate *z>erfus plagam in fuperjicie illa datam egrejfum. Stantibus quae in fuperiore Propofitione conftrufla funt, exeat corpus de loco S in Trajefloriam inveniendam STt & ex da- ta ejus velocitate in altitudine SC dabitur ejus velocitas in. alia quavis altitudine TC. Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, deferibat corpus Trajeft oriae fuae particulam Tt^ fitq^Pp vefligium ejus plano AOP deferiptum. Jungatur Op, & circelli centro T intervallo Tt in fu perficie curva deferipti fit Ppg vefii- gium Ellipticum in eodem plano OAPp deferiptum. Etob da- tum magnitudine & politione circellum, dabitur Ellipfis illa PpQ^ Cumq; area jPOp fit tempori proportionalis, atq; adeo ex dato tempore detur, dabitur Oppofitione, Scinde dabitur com- munis ejus & Ellipfcos interfeflio p, una cum angulo Of^p, in quo Trajefloriae vefligium APp fecat lineam OP. Inde autem invenietur Trajcfloriae veftigium illud APp, eadem methodo qua curva linea VIKh^ iw Propofitione XLI. ex fimilibus datis in- venta fuit. Tum ex fingulis veftigii punflis P erigendo ad pla- num AOP perpendicula P T fupcrficiei curv* occurrentia in T, dabuntur fingula Trajeflorise punfla T. Q. E. I. X SECT. C 1152 3 S E C T XI De Motu Corporum Sphericorum ciribus centripetk fe mutuo peten^ . tium. fl^6i-enus expofui motus corporum attra£^orum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attra(9:io- nes enim fieri folent ad corpora j & corporum trahentium & at- tra£):orum a6Hones femper mutuae funt & aequales, per Legem tertiam : adeo ut neq; attrahens poflit quiefeere neq; attradium, fi duo fint corpora, fed ambo ( per Legum Corollarium quar- tum ') quafi attradione mutua, circum gravitatis centrum com- mune revolvantur; & fi plura fint corpora ( quae vel ab unico 'attrahantur vcl omnia fe mutuo attrahant ') haec ita inter fe mo- veii debeant, ut gravitatis centrum commune vel quiefeat vel uni- j^rmiter moveatur in dire£lum. Qua de caufa jam pergo mo- tum exponere corporum fe mutuo trahentium,confiderando vires centripetas tanquam Attra61iones, quamvis fortafie, fi phyfice lo* quamur, verius dicantur Impullus. In Mathematicis enim jam verfamur, & propterea mifiis difputationibus Phyficis, familiari utimur fermone, quo pofllmus a Lenioribus Mathematicis facilius intelligi. Prop. LVII. Theor. XX. Corpora duo fe in‘vicem trahentia defcrihnnt^ circum commune centrum gravitatk^ circum fe mutuo ^ jiguras f miles. vSunt enim diftantix a communi gravitatis centro reciproce pro- portionales corporibus, atq*5 adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad diftantiani totam inter corpora. Feruntur autem has diftantiae circum terminos fuos communi mo- tu C 3 tu angulari, propterea quod in diredum femper jacentes non niu- tant inclinationem ad fe mutuo. Lineae autem redae, quae funtin data ratione ad invicem, & aequali motu angulari circum terminos fuos feruntur, figuras circum eofdem terminos ( in planis quae u- na cum his terminis vel quiefcunt vel motu quovis non angulari moventur ) defcribunt omnino fimiles. Proinde fimiles funt figu- rse quae his diftantiis circumadis defcribuntur, C\E. D. Prop. LVIII. Theor.XXI. Si corpora duo fvtrihm qmhufvis fe mutuo trahunt^ ^ interea revol- c pr curvas P P &c pj Sc producantur C O 8c ad R 8cr, Et ob limilitudi- nem figurarum C erit ut CPad .rp, a- deoqi in data ratione. Proinde fi vis qua Corpus P verfus Cor- pus Sy atqi adeo verfus centrum intermedium C attrahitur, efiet ad vim qua corpusp verfus centrum / attrahitur in eadem illa ratione data, hai vires aequalibus temporibus attraherent femper corpora de tangentibus P K^pr ad arcus P p ^ ? per intervalla iplis pro- portionalia 5 adeoq', vis pofierior efficeret ut corpus p gyraretur in curva p^^r/, quae fimilis efiet curvae P QJf^ in qua vis prior efficit ut corpus P gyretur, Sc revolutiones iildem tempori- bus complerentur. At quoniam vires illae non funt ad invicem in ratione C P ad /p, fed ( ob fimilitudinem & aequalitatem cor- porum /, P Sep, & aequalitatem diftantiarum SP^ spj fibi mutuo aequales, corpora aequalibus temporibus aequaliter trahen- tur de Tangentibus ^ & propterea ut corpus pofterius p trahatur per intervallum majus r requiritur tempus majus, idqj in dimi- diata ratione intervallorum j propterea quod, per Lemma deci- mum, fpatia ipfo motus initio deferipta funt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis p efie ad velocita- tem corporis P in dimidiata ratione difiantiae sp ad diftantiam C P, eo ut temporibus quae fint in eadem dimidiata ratione de- C. ] . , fcribantur arcus P^y ^unt in ratione integra; Et cor- pora E, p viribus aequalibus femper attra£i:a dercribent circum centra quiefcentia C ^ s figuras iimiles P QY^pq^-^ quarum pos- terior pq^vCmnXis eft & aequalis figurae quam corpus E circum cor- pus mobile S defcribit. Q. E. D. Cas. 2. Ponamus ;am quod commune gravitatis centrum, una cum fpatio in quo corpora moventur inter fe, progreditur uni- formiter in dire^lum j &, per Legum Corollarium fextum, motus omnes in hoc fpatio peragentur ut prius, adeoqi corpora defcri- bent circum fe mutuo figuras eafdem ac prius, & propterea figu- rae p ^ ‘z/ fimiles & aequales. Q^E. D. CoroL I. Hinc corpora duo viribus difiantiae fuae proportio- nalibus fe mutuo trahentia, defci -bunt per Prop.X. circum commune gravitatis centrum, 8c circum fe mutuo, Ellipfcs con- centricas : &; vice verfa, fi tales figurae defcribuntur, funt vires diftantiae proportionales. CoroL 2. Et corpora duo viribus quadrato diftantiae fuae reci- proce proportionalibus defcribunt ( per Prop. XI, XII, XIII. ) Sc circum commune gravitatis centrum Sc circum fe mutuo fe^Ii- ones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figurae de- fcribuntiir. Et vice verfa, fi tales figurae defcribuntur, vires een- tripetae funt quadrato diftantiae reciproce proportionales. CoroL 3. Corpora duo quaevis circum gravitatis centrum com- mune gyrantia, radiis Sc ad centrum illud Jk ad fe mutuo dudis,. defcribunt arcas temporibus proportionales. Prop. LIX. Theor. XXII. Corporum duarum S ^ P circa commune graz/itatk ceuirum C re^vol- mentium tempus periodicum effe ad tempus periodicum corporis Et quoniam data eft ratio diftantiae corporis utriufvis a centro illo communi ad diftantiam corporis ejufdem a corpore altero, da- bitur ratio cujufvis-poteftatis diftantiae unius ad eandem potefta- tem diftantiae alterius; ut & ratio quantitatis cujufvis, quae ex una diftantia & quantitatibus datis utcunq; derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex altera diflantia Sc quantitatibus totidem datis datamq; illam diftantiarum rationem ad priores habentibus fimiliter deri- vatur. Proinde fi vis, qua corpus unum ab altero trahitur, fit direifle vel inverle ut diftantia corporum ab invicem ; vel ut quae- libet hujus diftantiae poteftas ; vel deniq; ut quantitas quaevis e.x hac diftantia & quantitatibus datis quomodocunq; derivata: eiit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahi- tur, direde itidem vel inverfc ut corporis attra6li diftantia a cen- tro illo communi, vel ut eadem diftantiae 'hujus poteftas, vel dc- niq; ut quantitas ex hac diftantia & analogis quantitatibus da- tis fimiliter derivata. Hoc eft Vis trahentis eadem erit Lex ref- peiftu diftantiae utriufq;. Q. E. D. ■ Pj op. C «68 ] Prop. LXir. Prob. XXXVIII. Corporum duorum qucc ^irihm quadrato dijiantice fu(e reciproce pro- portionalihm fe mutuo trahtwt^ ac de locis datis demittiwtur^ deter- minare motus. Corpora, per Theorema novifTimum, perinde movebuntur, ac (1 a corpore tertio in communi gravitatis centro conft i tuto traheren- tur j & centrum illud ipfo motus initio quiefeet (per Hypothefin) & prop terea (per Legum Corol. 4.) femper quiefeet. Determi- nandi funt igitur motus Corporum (per Probi- XXV.) perinde ac fi a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habebun- tur motus corporum fe mutuo trahentium. E. I. Prop. LXIII. Prob. XXXIX. Corporum duorum quae ^viribus quadrato dijiajitioe fuac reciproce pro- portionalibus fe mutuo trahunt^ deq\ locis dat is ^ fecundum datas reSiaSj datis cum velocitatibus exeunt., determinare motus. Ex datis corporum motibus fub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut motus fpatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in dire^um, nec non corporum mo- tus initiales refpedu hujus fpatii. Motus autem fubfequentes f per Legum Corollarium quintum Sc Theorema novidimum) perinde hunt in hoc fpatio, ac fi fpatium ipfum una cum commu- ni illo gravitatis centro quiefeeret, & corpora non traherent fe mutuo, fed a corpore tertio fito in centro illo traherentur. Cor- poris igitur alterutrius in hoc fpatio mobili de loco dato, fecundum datam regiam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus cfi: motus per Problema nonum & vicefimum fextum : & habebitur fimul mo- xus corpori.*^ alterius e regione. Cum hoc motu componendus cft uniformis ille Syfiematis fpatii Sl corporum in eo gyrantium motus [ J motns progreflivus fupra inventus, 8c habebitur motus abfolutus corporum in fpatio immobili. E. 1. Prop. LXIV. Prob. XL. Viribus qtiihu^ Corpora fe mutuo trahunt crefcentibus in ftmplici rati” one dijiantiarum a centris : requiruntur motus plurium Corporum inter fe. Ponantur imprimis corpora duo T Sc L commune habentia gravitatis centrum D. Dcfcribent h«c per Corollarium primum Theorematis XXL Ellipfes centra habentes in P, quarum magni- tudo ex Problemate V.innotefcit. Trahat jam corpus tertium S priora duo T Sc L viribus acce- lera tricibus ST^ SLj ab ipfis vicifTini trahatur. Vis SI per Legum Corel. 2. re- Iblvitur in vires SDj DT', Sc vis SL in vires 5'D, D L. Vires autem D T, DL^ qux funt ut iprariim fumma 7 L, atq; adeo ut vires accelera- trices quibus corpora TSc L fe mutuo trahunt, additae his viribus corporum 1 8cL^ prior priori & pofterior pofteriori, componunt vires diftantiis D T ac D L proportionales, ut prius, fed viribus prioribus majores, adeoq, (per Corol. i.Prop. X. & Corol. i & 7. Prop. IV.) efficiunt ut corpora illa deferibant Ellipfes ut prius, fed motu celeriore. Vi- res reliquae acceleratriccs SD SeSD^ adionibus motricibus SDxT ScSDxL^ quae funt ut corpora, trahendo corpora illa aequaliter Sc fecundum lineas T/, Lif ipfi P 5' parallelas, nil mutant fitus e- arum ad invicem, fed faciunt ipfa aequaliter accedere ad lineam IK-, quam du6i:am concipe per medium corporis 5', Sc lineae DS per- pendicularem. Impedietur autem ifle ad lineam IK acccfilis Y fici- C 170 ] filciendo ut Syflcma corporum 1 8cL ex una parte, Si corpus S cx altera, )u /lis cum velocitatibus, gyrentur circa commur.c gra- vitatis centrum C. Tali motu corpus 5" (" eo quod fumma virium motricium SDxTSc SDxL^ diftantiae C S proportionalium, tra- hitur verfus centrum C) deferibit Ellipfin circa idem & punc- tum D ob proportionales C C D deferibet Ellipfin confimilem, e regione. Corpora autem 1 S>cL viribus motricibus SDx r& SDxLy ( prius priore, pollerius pofteriore ) aequaliter & Tecun- dum lineas parallelas Tl Sc L K ( ut didlum efi; ) attracla, p'‘r- gent ( per Legum Corollarium quintum &: fextum ) circa cen- trum mobile D Ellipfes luas deferibendo, ut prius. CL E. I. Addatur jam corpus quar- tum F, & fimili argumento concludetur hoc punflum S C Ellipfes circa omnium com- - mune centrum gravitatis B deferibere^ manentibus mo- tibus priorum corporum T, ^ L Sc S circa centra D & C, fed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. CL E. I. Haec ita fe habent ubi corpora T & L trahunt le mutuo viri- bus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpo- ra reliqua pro ratione diftantiarum. Sunto mutuae omnium at- tra6liones acceleratrices ad invicem ut diftantiae duclae in corpo- ra trahentia, & ex pracedcntibiis facile deducetur quod corpo- ra omnia aqualibus temporibus periodicis Ellipies varias, circa om- nium commune gravitatis centrum B, in plano immobili delcri- bunt. CL E. L Prop. LXV. Theor. XXV. Corpora plura quorum *vires decrefcuut in duplicata ratione dijiantia- rum J t >71 ] mm ah eorundem cejttrvSy moveri pojje inter fe in lEMipfihmy ^ radik ad umbilicos duBk Areas defcribere temporibus proportio- nales quam proxime. In Prapoiitionc fiipcriore demonflratus eft cafus ubi motus plu- res peraguntur in Ellipfibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi pofita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, neq; fieri poteft ut corpora Tecuiidum legem hic pofitam le mutuo trahentia moveantur in Ellipfibus accurate, nifi Tervando certam proportionem diftantiarum Sb mvicem. In fequentibus autem ca- fibus non multum ab Ellipfibus errabitur. Coo. I. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo diftantias revolvi, tendantq^ ad fingula vires abfo- lutae proportionales ii fdem corporibus. Et quoniam omnium com- mune gravitatis centrum ( per Legum Corol. quartum. ) vel quiefeet vel movebitur unitbrmiter in dire£]:um, fingamus corpo- ra minora tam parva efie, ut corpus maximum nunquam diftet fenfibiliter ab hoc centro j 8c maximum illud vel quiefeet vel mo- vebitur uniformiter in diredum, abfq j errore fenfibili j minora au- tem .»'evolventur circa hoc maximum in Ellipfibus, atqj radiis ad idem du£i:is deferibent areas temporibus proportionales , nifi qua- tenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per adiones minorum corporum in fe mu- tuo. Diminui autem pofiTunt corpora minora ufq^ donec error ifte Sc a61iones mutuge fint datis quibuivis minores, atqj adeo donec orbes cum Ellipfibus quadrent, & areae refpondeant tem- poribus, abfqj errore qui non fit minor quovis dato. Q. E. O. Cas. '2. Fingamus jam Syfiema corporum minorum modo jam deferipto circa maximum revolventium, aliud ve quodvis duorum circum fe mutuo revolventium corporum Syftema progredi uni- formiter in dire£i:um, & interca vi corporis alterius longe maxi- mi & ad magnam diftantiam firi urgeri ad latus. Et quoniam ae- quales vires accclcratriccs, quibus corpora fecundum lineas paral- lelas urgentur, non mutant ficus corporum ad invicem, fcdut 8yf- Y 2 te ' C «72 ] terna totum, fervatis partium motibus inter fe, fimul transferatur efficiunt: manifeftum efi: quod ex attradionibus in corpus maxi- mum, nulla prorfus orietur mutatio motus attraflorum inter fe, nifi vel ex attradionum acceleratricum inaequalitate, vel ex incli- natione linearum ad invicem, fecundum quas attradiones fiunt. Pone ergo attradiones omnes acceleratrices in coi pus maximum ellc inter fe reciproce ut quadrata diftantiarum, 8e augendo cor- po ris maximi diftantiam, donec redarum ab hoc ad reliqua duc- tarum minores fint differentia: & inclinationes ad invicem quam datae qua:vis, perfeverabunt motus partium Syfiematis inter fc abfq; erroribus qui non fint quibiifvis datis minores. Et quoniam, * ob exiguam partium illarum ab invicem difiantiam, Syftema to* tum ad modum corporis unius attrahitur, movebitur idem hac attradione ad modum corporis unius j hoc efi:, centro fuo gravi- tatis deferibet circa corpus maximum, Sedionem aliquam Coni- cam Q Hyperbolam vel Parabolam attradione languida, EI- Jipfim fortiore, ') & Radio ad maximum dudo, verret areastem- poribus proportionales, abfq^ ullis erroribus, nifi quas partium dif- tantia: perexigua: fane & pro lubitu minuendse ) valeant effi- cere. (X. E. O Simili argumento pergere licet ad cafus magis compofitos in infinitum. Corol. I. In cafu fecundo-, quo propius accedit corpus omnium maximum ad Syftema duorum vel plurium, eo magis turbabun- tur motus partium Sy frematis inter fe, proptcrca quod linearum a corpore maximo ad has dudarum jam major eft inclinatio ad in- vicem, majoiq^ proportionis inxqualitas. Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quodattradi- ones acceleratrices partium Syftematis verfus corpus omnii m ma- ximum, non fint ad invicem reciproce ut quadrata diftantiarum a corpore illo maximo ; praefertim fi proportionis hujus inaquali- tas major fit quam ina:qualitas proportionis diftantLarum a corpo- re maximo : Nam fi vis acceleratrix, sequaliter & fecundum lineas pa- [ >73 ] parallelas agendo, nil perturbat motus inter fe, necefle eft ut ex adionis inaequalitate perturbatio oriatur, majorq, iit vel minor pro majore vel minore inaequalitate. ExcefTiis impulfuum majornm agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, necefTario muta- bunt fituni eorum inter fe. Et haec perturbatio addita perturba- tioni, quae ex linearum inclinatione & inaequalitate oritur, majo- rem reddet perturbationem totam. Coro/. 3, Unde li Syftematis hujus partes in Ellipfibus vel Cir- culis fine perturbatione infigni moveantur, manifeftum eft, quqd eaedem a vii ibus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nifi leviflime, aut urgentur aqualiter & fecundum lineas parallelas quainproxime. Prop. LXVI. Theor. XXVL S/ corpora tria^ quorum ^ires decrefcmit in duplicata ratione difian- tiarum^ jc mutuo trahant^ ^ attraSiiones acceleratrices binorum quorum cunqy in tertium jint ititer fe reciproce ut quadrata dt flan- ti arum ; minora autem circa maximum in plano communi revolvan- tur : Dico quod interius circa in i imum maximum.^ radiis ad ipfum duiiis^ dejeribet areas temporibus magis proportionales^ figuram ad formam Lliipjeos umbilicum in concurfu radiorum ha-* bentis magis accedentem., fi corpus maximum his attraCiionibus agitetur y quam fi maximum illud vel a minoribus non attraBum . quiefcaty vel multo minus vel multo magis attraBum aut multo minus aut multo magis agitetur. Liquet fere ex demon ft ratione Corollarii fecundi Propofitio- nis pracedentis j fed argumento magis difiin^o &; latius cogente fic evincitur. Cas. I. Revolvantur corpora minora P Sc Q \n eodem plano circa maximum 5", quorum P deferibat orbem interiorem P R, Sc 2j*^tcriorem OE. «Sit Qjf mediocris difiantia corporum P ^ ^ corporis P verfus ^attradio acceleratrix in mediocri ilia difiantia exponatur per eandem. In duplicata ratione QK ad [ '74 ] ad Qf capiatur (? L ad QJC, Sc erit QL attra6^io acceleratrix corporis P vcrfus Qjn diftantia quavis QJ". Junge P 5', eiqj pa- rallelam age LM occurrentem ^ attra6iio QJ^ refol- vetur ( per Legum Corol. 2.) in attrafiiones LM. Et fic urgebitur corpus P vi acceleratrice triplici : una tendente ad .S Sc oriunda a mutua attractione corporum S ^ P. Hac vi fola corpus Pj circum corpus S five immotum, five hac attradione a- gitatum, deferibere deberet 8c areas, radio PS temporibus pro- portionales, & Ellipfin cui umbilicus efi in centro corporis i". Pa- tet hoc per Prob. VI. & Corollaria Theor. XXL Vis altera eft attraClionis L M, qu« quoniam tendit a P ad 5', fuperaddita vi priori coincidet cum ipfa, & fic faciet ut arcae etiamnum tem- poribus proportio- nales defcribantiir per Corol. 3. Theor. XXI. At quoniam non eft quadrato diftantise P ^reciproce propor- tionalis, componet ca cum vi priore vim ab hac proportione ab- errantem, idq; eo magis quo major eP: proportio hujus vis ad vim priorem, cae teris paribus. Proinde cum per Corol. i.Prob. VIII. 8c Corol. 2. Theor XXf. J) vis qua EllipPs circa umbilicum S deferibitur tendere debeat ad umbilicum illum, & efle quadrato diftantiae P S reciproce proportionalis ^ vis illa compofita aber- rando ab hac proportione, faciet ut Orbis P AB aberret a forma Ellipfeos umbiiicunftiabentis in S ; idq; eo magis quo major eP: aberratio ab hac proportione ; atq, adeo etiam quo major eft proportio vis lecund^e L M ad vim primam, caeteris paribus. Jam vero vis tertia trahendo corpus P fecundum lineam ipP CIS parallelam, componet cum viribus prioribus vim quse non amplius dirigitur a P in qureqi ab hac determinatione tanto ma- . C *75 ] . magis aberrat, quanto major eli proportio hujus tertise vis ad vi- re? priores, exteris paribus^ atq^adeo qux faciet ut corpus F, radio SFj areas non amplius temporiims proportionales deferibet, atq^ aberratio ab hac proportionalita te ut tanto major fit, quanto major efi: proportio vis hujus tertix ad vires exteras. Orbis vero P AB aberrationem a forma Elliptica prxfata hxc vis tertia du- plici de caufa adaugebit, tum quod non dirigitur a F ad *S, tum etiam quod non fit proportionalis quadrato diftantix P S. Qiii- bus intelledis, manifeltum eft quod arex temporibus tum maxi- me fiunt proportionale^, ubi vis tertia, manentibus viribus exteris, fit minima ^ & quod Oibis P AB tum maxime accedit ad prxfa- tam formam Ellipticam, ubi vis tam fecunda quam tertia, fed prx- cipue vis tertia, fit minima, vi prima manente. Exponatur co. poris «Sarcraufio acceleratrix verfus am j & fi attrahi iones accelerarrices QN xquales elfent, hx trahend,o corpora SSi P xqualitcr8t fecundum lineas paralle- las, nil mutarent fitum eorum ad invicem. lidem jam forent corporum illorum morus inter fe ( per Legum Corel, d. J) ac fi hx attradliones tollerentur. Et pari ratione fi attra^fio QN mi- nor elfet attraFfione tolleret ipfa atcraclionis Q M partem QN, & maneret pars fola MN, qua temporum Sc arearum pro- portionalitas 8t Orbitx forma illa Elliptica perturbaretur. Et fimilitcr fi attractio QN major elTet attra£iionc Q^, oriretur ex differentia fola M N perturbatio proportionalitatis & Orbitx- Sic ■ per attradionem QJbJ reducitur femper attradio tertia fiiperior ad attradionem N, attradione prima & fecunda manen- tibus prorfus immutatis: Sc proptcrca arex ac tempora ad pro- portionalitatem, Sc Orbita P AB formam prxfatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attradio MNwcl nulla eff, vel quam fieri pofilt minima ^ hoc eft ubi corporum P Sc S attradiones ac- cclcratrices, fadx verfus corpus d, accedunt quantum fieri poteft ad xqualitatem j id eft ubi attradio QJ^ noneff nulla, neqj minor minima attradionum omnium QM, fed inter attradioniim om- ni- , C »70 niiim Q^M maximam & minimam qiiafi mediocris, hoc cfl:, non inulto major ncq; multo minor attraflionc O K. Q. E. D. Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora E,2^circa maximum 6' in planis divcrlis, 8c vis LM, agendo fecundum lineam P S ‘m plano Orbitae P AB fitam, eundem habebit effedum ac prius, ne- - tp corpus P de plano Orbitae fua^ deturbabit. At vis altera NM, agendo fecundum lineam quse ipfi OS parallela eff, ( atqj adeo, quando c6rpus g^verfatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbitae F AB^^ prarter perturbationem motus in longitu- dinem jam ante expolitam, inducet pertuibationem motus in la- titudinem, trahendo corpus P de plano fuae Orbitae. Et ha^c per- turbatio in dato quovis corporum F & ad invicem fitu, erit ut vis illa generans MN, adeoq^ minima evadet ubi MN eft minima, lioc eft (f uti jam expofui ) ubi attra^fio ON non eft multo ma- jor neqj multo minor attradione OK. Q. E. D. Corel. I. Ex his facile colligitur quod fi corpora plura mino- ra F, 2, R 8ic. revolvantur circa maximum S : motus corporis in- timi F minime perturbabitur attradionibus exteriorum, ubi cor- pus maximum S pariter a canteris, pro ratione virium acceleratri- CLim, attrahitur & agitatur atq^ eseteri a fe mutuo. Corel. 2. In Syfliemate vero trium corporum 'S’,F, attrac- tiones acceleratrices binorum quorumcunq^ in tertium fint ad in- vicem reciproce ut quadrata diftantiarum, corpus F radio F S are- am circa corpus S velocius deferibet prope conjundionem A & op- pohtioneni F, quam prope quadraturas C, D. Namq; vis omnis qua corpus F urgetur & corpus S non urgetur, quaq; non agit feamdum lineam F 5*, accelerat vel retardat deferiptionem arear, perinde ut ipfa in antecedentia vel in confequentia dirigitur. Ta- lis eft vis N M. Haec in tranlitu corporis P 2l C zd A' tendit in antecedentia, motumq^ accelerat ^ deinufq*, adF> in confequentia. Se motum retardati tum in antecedentia ufqi ad F, Se ultimo in confcqcntia tranfeundo a F ad C. Ccrol. 3. Et eodem argumento patet quod corpus F, caeteris par- C >77 ] paribus,' velocius movetur in Con)un£l:ione & Oppofitione qUam in Quadraturis. Corol 4. Orbita corporis P caeteris paribus curvior efl: in qua- draturis quam in Conjundione & Oppofitione. Nam corpora velociora minus defledunt a redo tramite. Et praeterea vis N M, in Conjundione & Oppofitione, contraria efl: vi qua corpus S trahit corpus F, adeoq^ vim illam minuit j corpus autem P mi- nus defledet a redo tramite, ubi minus urgetur, in corpus S, Corol. Unde corpus F, caeteris paribus, longius recedet a corpore S in quadraturis, quam in Conjundione Sc Oppofitio- ne. Hxc ita fe habent exclufo motu Excentricitatis. Nam fi Orbita corporis F excentrica fit, Excentricitas ejus(" ut mox in hujus Corol. p. oftendetur ^ evadet maxima ubi Apfides funt in Syzygiis ; indeq; fieri potefi: ut corpus F, ad Apfidem fummam appellans, abfit longius a corpore S in Syzygiis quam in Qua- draturis. Corol. 6. Quo- niam vis centripeta corporis centralis qua corpus F retine- tur in Orbe fuo, au- getur in quadraturis per additionem vis LM, ac diminuitur in Syzygiis per abla- tionem vis K L, & ob magnitudinem vis K L, magis diminuitur quam augeatur; cft autem vis illa centripeta ( per Corol. 2, Prop. IV. ) in ratione compofitaex ratione fimplici radii SP di- rede & ratione duplicata temporis periodici inverfe: patet hanc rationem compofitam diminui per adionem vis AL, adeoq; tem- pus periodicum, fi maneat Orbis radius 5'F, augeri, idq; in di- midiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur; audoq; adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, vel di- Z mi- C 78 ] minui minus quam in Radii hujus ratione fefquiplicata, per Co- rol. 6, Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim langues- ceret, corpus P minus fempcr & minus attradum perpetuo rece- deret longius a centro S ^ & contra, (i vis illa augeretur, accede- ret propius. Ergo fi a£i:io corporis longinqui qua vis illa di- minuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur fimul ac diminuetur Radius SP per vices, &: tempus periodicum augebi- tur ac diminuetur in ratione compofita ex ratione fefquiplicata Radii & ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis cen- tralis S per incrementum vel decrementum adionis corporis lon- ginqui Q diminuitur vel augetur. Coro/, 7. Ex praemiflls confequitur etiam quod EJlipfeos a cor- pore P deferiptae axis feu Apfidum linea, quoad motum angula- rem progreditur & regreditur per vices, fed magis tamen pro- greditur, & in fingulis corporis revolutionibus per excefium pro- greffionis fertur in confequentia. Nam vis qua corpus P urge- tur in corpus S in Quadraturis, ubi vis M N evanuit, componitur ex vi L M & vi centripeta qua corpus S trahit corpus P. Vis pri- or L M, fi augeatur diftantia P augetur in eadem fere ratione cum hac diftantia, & vis pofterior decrefeit in duplicata illa ra- tione, adeoq; fiinima harum virium dccrefcit in minore quam du- plicata ratione dift antiae P Sc propterea, per Corol. i. Prop. XLV. ficit Air^^em feu Apfidem fummam regredi. In Conjunc- tione vero & Oppoficione, vis qua corpus P urgetur in corpus S differentia cft inrer vim qua corpus S trahit corpus P Sc vim A Lj Sc. difterentia illa, propterea quod vis K L augetur quamproxi- me in racione diftanci^^ decrefeit in majore quam duplicata ratione diftantise adeoq; per Corol. i. Prop. XLV. facit Au- gem progredi. In locis inter Syzygias Sc Quadraturas, pendet motus Angis ex caufa utraqj conjundftm, adeo ut pro hujus vel alterius exceffu progrediatur ipfa vel regrediatur. Unde cum vis K L in Sy zygiis (itquafi dupla vis LM in quadraturis, exceftus in tota revolutione erit penes vim K L, transferetqj Augem fingulis re- [ 179 3 revolutionibus in confequenfia. Veritas autem hu)us & praeceden- tis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Syftema corporum duorum 5", P corporibus pluribus 2-» in Orbe QJE cpn- iiftentibus, undeqj cingi. Namq^ horum a6iionibus a£iio ipfius S mi- nuetur undiq*, ^decrefcetqj in ratione plulquam duplicata diftantiae. CoroL 8. Cum autem pendeat Apfidum progreffus vel rcgref- fus a decremento vis centripetae fado in majori vel minori quam duplicata ratione diftantiae SP ^in tranfitu corporis ab Apfide ima ad Apfidem fummam ; ut & a fimili incremento in reditu ad Ap- fidem imam ; atq; adeo maximus fit ubi proportio vis in Apfide iumma ad vim in Apfide ima maxime recedit a duplicata ratione diftantiarum inverfa ; manifeftum efl: quod Apfides in Syzygiis fuiSjper vim ablatitiam K L feu N M — LMj progre- dientur velocius, inq; Quadraturis fiiis tardius recedent per vim addititiam L M. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progrefius vel tarditas regrefius continuatur, fit hac inaqualitas longe maxima. CoroL p. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadra- to difiantia fua a centro, revolveretur circa hoc centrum in EI- lipfi, & mox, in defcenfu ab Apfide fumma feu Auge ad Apfidem imam, vis illa per acceflum perpetuum vis nova augeretur in ra- tione plufquam duplicata difiantia diminuta : Manifefium cft quod corpus, perpetuo accefiu vis illius nova impulfum femper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam fi urgeretur vi fola crefeente in duplicata ratione difiantia diminuta, adeoq^ Orbem deferiberet Orbe Elliptico interiorem, & in Apfide ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accefiu Z 2 hu- . C >8o ] hujus vis novae, fiet magis exccntricus. Si jam vis, in recefiii corporis ab Apfide ima ad Apfidem fummam, decrefceret iifdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad difiantiam pri- orem, adeoq; fi vis decrefcat in majori ratione, corpus jam mi- nus attradum afcendet ad diftantiam majorem Sc fic Orbis Excen- tricitas adhuc magis augebitur. Igitur fi ratio incrementi & de- crementi vis centripetae lingulis revolutionibus augeatur, au^^ebi- tur femper Excentricitas, 8c e contra, diminuetur eadem fi ratio illa decrefcat. Jam vero in Syftemate corporum S, F, ubi Apfid es orbis funt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima eft, & maxima fit ubi Apfides funt in Syiy- giis. Si Apfides conftituantur in quadraturis ratio prope Apfi- des minor efi, Sc prope Syzygias major quam duplicata diftanti- arum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velociifimus, uti jam didum eft. At fi confideretur ratio incrementi vel de- crementi totius in progrefift inter Apfides, haec minor eft quam duplicata diftantiarum. Vis in Aplide ima eft ad vim in Apfide fumma in minore quam duplicata ratione diftantiae Apfidis fum' mae ab umbilico Ellipfeos ad diftantiam Apfidis imae ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apfides conftiruuntur in Syzysjiis, vis in Apfide ima eft ad vim in Apfide fumma in majore quam dupli- cata ratione diftantiarum. Nam vires L M in quadraturis additae viribus corporis S componunt vires in ratione minore, Sc vires K L in Syzygiis fubdudae viribus corporis S relinquunt vires in ratione majore. Eft igitur ratio decrementi & incrementi totius in tranfitu inter Apfides, minima in quadraturis, maxima in Sy- zygiis Sc propterea in tranfitu Apfidum a quadraturis ad Syzy- gias perpetuo augetur, augetqi Excentricitatem Ellipfieos ; inq; tranfitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, Sc Ex- centricitatem diminuit. CoroL IO. Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fin- gamus planum Orbis Q^E S immohile manere^ Sc ex errorum ex- polita caufa manifeftum eftjqiiod ex viribus NM, 7vfL, qux funt caii- C ] caufa illa tota, vis ML agendo femper fecundum planum Orbis P A nunquam perturbat motus in latitudinem, quodqi vis NM ubi Nodi funt in Sy zygiis, agendo etiam fecundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus , ubi vero funt in Quadratu- ris eos maxime perturbat,corpufqi P de plano Orbis fui perpetu- o trahendo, minuit inclinationem plani in tranfitu corporis a qua- draturis ad Syzygias, augetqj vicifllm eandem in tranhtii a Syzy- giis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis exiftente inclinatio evadat omnium minima, redeatq, ad priorem magni- tudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At fi Nodiconftituantur in O&antibus poft quadraturas, id eft inter C 8c Ay D Sc B,intelligetur ex modo expofitisquod,in tranfitu cor- poris P a Nodo alterutro ad gradum inde nonagefimum, inclina- tio plani perpetuo minuiturj deinde in tranfitu per proximos 4*5’ gradus, ufq; ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, & pof- tea denuo in tranfitu per alios 4 gradus, ufq^ ad nodum proxi- mum, diminuitur. Magis itaq*, diminuitur inclinatio quam auge- tur, & propterea minor cfl: lemper in nodo fubfequente quam in praecedente. Et fimili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminuitur, ubi nodi funt in O^l^antibus alteris inter Sc Dy R & C. Inclinatio igitur ubi Nodi funt in Syzygiis cfl; omnium max- ima. In tranfitu eorum a Syzygiis ad quadraturas, in fingulis corporis ad Nodos a ppulfibus, diminuitur, fitq; omnium minima ubi nodi funt in quadraturis & corpus in Syzygiis; dein crefeit iifdcm gradibus quibus antea decrevci^at, Nodiiq; ad Syzygias proximas appulfis ad magniMidinem primam revertitur. Corol. I I . Quoniam corpus P ubi nodi funt in quadraturis per- petuo trahitur de plano Orbis fui, idq; in partem verfus in tranfitu fuo a nodo C per Conjun^i^ionem A ad nodum D y & in contrariam partem in tranfitu a nodo D per Oppofitionem B ad iiodum Cy manifeftum cfl: quod in motu fuo a nodo C, corpus perpetuo recedit ab Orbis fui plano primo C D, ufq,dum perven- tum efi: ad nodum proximum-, adeoq; in hoc nodo longiflimc difians a plano illo primo CD, tranlit per planum Orbis non. C>80 non in plani illius Nodo altero D, fed in piin6io quod inde vergit ad partes corporis quodqj proinde iwvus cft Nodi Jocus in anteriora vergens. Et iimili argumento pergent Nodi recedere in tranfitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igi- tur in quadraturis conftituti perpetuo recedunt, in Sy zygiis ( ubi motus in latitudinem nil perturbatur ^quiefciint^ in locis inter- mediis conditionis utriufq^ participes recedunt tardius, adeoq; femper vel retrogradi vel fiationarii lingulis revolutionibus ferun- tur in antecedentia. CoroL 11. Omnes illi in his Corollariis deferipti errores funt paulo majores in conjunfiipne Corporum jP, ^^quam in eorum Gppolitione, idqj ob majores vires generantes NMSc ML. * CoroL 1 3. Cumqj rationes horum Corollariorum non pende- ant a magnitudine corporis obtinent praecedentia omnia, ubi corporis tanta ftatuitur magnitudo ut circa ipfum revolvatur corporum duorum S Sc P Syftema. Et ex" au6io corpore audaq j adeo ipfius vi centripeta, a qua errores corporis P oriun- tur, evadent errores illi omnes ( paribus difiantiis ^ majores in hoc cafu quam in altero, ubi corpus gj^ircum Syftema corporum P S revolvitur. CoroL 1 4 Cum autem vires N M, ML, ubi corpus quum eft, iint quamproxime ut vis & ratio P S 3.d QS con- jun£lim, hoc eft, fi detur tum diftantia P S, tum corporis 2^. vis abfoluta, ut mb. reciproce; fint autem vires illseiVM, ML caufae errorum & cfted:uum omnium de quibus adum eft in prae- cedentibus Corollariis : manifeftum .eft quod eftedus illi omnes, ftante corporum S Sc P Syftemate, fint quamproxime in ratione compolita ex ratione dire^a vis abfolutae corporis ratione triplicata inverfa diftantiae Q_S. Unde fi Syftema corporum S & P revolvatur circa corpus longinquum fil? JV/M, ML & earum efte^lus erunt (f per CoroL 1. 8c 6. Prop. IV. ) recipro- ce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde fi magnitudo corporis ^proportionalis fit ipfius vi abfolutae, erimt vires illae NM NMyML & earum cffe£i:us dire<3:e ut cubus diametri apparentis longinqui corporis corpore S fpe(9:ati^ Sc vice verfa. Namqi hx rationes eaedem funt atqj ratio fuperior compofita. Corol. 15. Et quoniam fi, manentibus Orbium QJE ScPJB forma, proportionibus & inclinatione ad invicem, mutetur eorum magnitudo, & fi corporum S vel maneant vel mutentur vi- res in data quavis ratione, hae vires ( hoc efl: vis corporis 5', qua corpus P de re^io tramite in Orbitam P AB deflevere, & vis cor- poris 2» corpus idem E de Orbita illa deviare cogitur pagunt femper eodem modo & eadem proportione : nccefie efl: ut fimi- les & proportionales fint effedus omnes Sc proportionalia eftec- tuum tempora , hoc eft, ut errores omnes lineares fint ut Orbium diametri, angulares vero iidem qui prius, 8c errorum linearium fimilium vel angularium aequalium tempora ut Orbium tempora periodica. Corol. 1 6. Unde, fi dentur Orbium formae Sc inclinatio ad invicem, 8c mutentur utcunq-, corporum magnitudines, vires 8c diftantiae ^ ex datis erroribus Sc errorum temporibus in uno Cafu colligi pofiiint errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime : vSed brevius hac Methodo. Vires N M, M L caeteris flantibus funt ut Radius S P, 8c harum efferius periodici ( per Corol. 2, Lem. X)ut vires Sc quadratum temporis periodici cor- poris P conjun^lim. Hi funt errores lineares corporis P-^ Sc hinc errores angulares e centro S fpc^lati ( id efi: tam motus Augis Sc Nodorum, quam omnes in longitudinem latitudinem errores ap- parentes ) funt in qualibet revolutione corporis F, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur hx ratio- nes cum rationibus Corollarii 14. & in quolibet corporum 5*, F, 2_Syfi:emate, ubi F circum S fibi propinquum, Sc S circum longinquum revolvitur, errores angulares corporis F, de centro S apparentes, erunt, in fingulis revolutionibus corporis illius F, ut quadratum temporis periodici corporis F diredle Sc quadratum temporis periodici corporis S inverfe. Et inde motus medius Au- C >84 ] Angis erit in data ratione ad mbtum medium Nodorum; & motus iitcrq; eritnt tempus periodicum corporis P dire6ie & quadratum temporis periodici corporis S inverle. Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem Orbis F AB non mutantur mo- tus Augis &: Nodorum fcnfibilitur, nifi ubi eadem funt nimis ittagna. Corol. 1 7. Cum autem linea L M nunc major lit nunc minor quam radius F 5", Exponatur vis mediocris LM per radium illum P 5", &erit hac ad vim mediocrem QK vel ( quam exponere licet per ) ut longitudo F 5' ad longitudinem Q^. Eft autem vis mediocris QjN vcl qua corpus retinetur in orbe fuo circum ad vim qua corpus F retinetur in Or- be fuo circum in ratione compofita ex ratione radii ad radium F 5*, & ratione duplicata temporis periodici corporis F circum 5 ad tempus periodicum corporis vS" circum Et ex a- quo, vis mediocris L M, ad vim qua corpus F retinetur in Orbe fuo circum S ( quave corpus idem F eodem tempore periodico circum pun£ium quodvis immobile S ad diftantiam F S revolvi pofict ) eft in ratione illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum diftantia F 5*, datur vis mediocris LM; data datur etiam vis MNquamproxime per analogiam linearum F 5', MN. Corel. 18. lifdem legibus quibus corpus F circum corpus S revolvitur, lingamus corpora plura fiuida circum idem S ad x- quales ab ipfo diftantias movei i; deinde ex his contiguis faftis con- flari annulum fluidum, rotuirdum ac corpori S concentricum ; lingula annuli partes, motus fuos omnes ad legem corporis F peragendo, propius accedent ad corpus & celerius movebun- tur in Coniunftione& Oppofltione ipfarum & corporis ^^quam in Qiiadraturis. Et Nodi annuli hujus feu inrerfediones ejus cum plano Orbitae corporis ^ vel 5', qukfcent in Syzygiis; extra Syzygias vero movebuntur in antecedentia, & velocilhme quidem in C^iadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quoq; inclinatio com- , variabitur, 8c axis e)us fingulis revolutionibus ofcillabitur, com- pletaq; revolutione ad priftinum fitum redibit, nifi quatenus per praecelTionem Nodorum circumfertur, Coro/, I p. Fingas jam globum corporis 5* ex materia non flu- ida conflantem ampliari & extendi ufq; ad hunc annulum, Sc al- veo per circuitum excavato continere Aquam, motuq^ eodem periodico circa axem fuum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus Sc retardatus C ut in fuperiore Lemmate j in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam fuperflcics Globi, Sc fic fluet in alveo refluetq; ad modum Maris. Aqua reyolvendo circa Globi centrum quiefcens, fl tollatur attraSio 2., nullum acquiret motum fluxus Sc refluxus. Par efl ratio Globi uniformiter progredientis in diredum Sc interca revolventis cir- .ca centrum fuum C Legum Corol. 5 ) ut & Globi de curfu re^lilineo uniformiter tra£ii ( per Legum Corol. 6,) Accedat au- tem corpus ^ abipfius inaequabili attra Ilione mox turbabi- tur Aqua. Etenim major erit attra^lio aquae propioris, minor ea remorioris. Vis autem L M trahet aquam dcorfum in Quadra- turis, facietq*, ipfam defcendere ufq^ adSyzygias; Sevis KL trahet ' eandem furfum in Syzygiis, flfletq^ delcenfum ejus Sc faciet ip- fam aflendere ufq*, ad Quadraturas Corol. 20. Si annulus jam rigeat Sc minuatur Globus, cefla- bit motus fluendi Sc refluendij fed Ofcillatorius ille inclinationis motus Sc pr^eceflio Nodorum manebunt. Habeat Globus eun- dem axem cum annulojgyrofq*, compleat iifdem temporibus, Sc fnpcrficie fua contingat ipfum interius, eiq-, inhsereat; Sc partief- pando motum ejus, compages utriufq; Ofcillabitur 8c Nodi regre- ' dientur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad fufeipiendas im- prelfloncs omnes indifferens efl. Annuli Globo orbati maximus inclinationis angulus efl ubi Nodi funt in Syzypiis. Inde in ipro- greflii Nodorum ad Ouad naturas conatur is inclinationem iuam minuere, Sc iflo conatu motum imprimit Globo foti. F.etinet Globus motum imprefllim ufq^ dum annulus conatu contrario % A a m > C >8^ ] motum hunc tollat, imprimatq^ motum novum in contrariam par- tem ; Atq; hac ratione maximus dccrcfcentis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, & minimus inclinationis angulus in Ocfantibus poft Quadraturas j dcin maximus reclinationis mo- tus in Syzygiis & maximus angulus in 06lantibus proximis. Et eadem efi; ratio Globi annulo nudati, qui in regionibus aequatoris vel altior eft paulo quam juxta polos, vel conftat ex materia pau- lo denfiore. Supplet enim vicem annuli ifte inaterise in aqua- toris regionibus excefTus. Et quanquam, au£fa utcunqi Globi hu- vi centripeta,tenderefupponantur omnes ejus partes deorfum, ad modum gravitantium partium telluris, tamen Phanomena hu;us & pracedentis Corollarii vix inde mutabuntur. CoroL 2 I. Eadem ratione qua materia Globi juxta aquatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, atq; adeo per hujus in- crementum augetur ifte regreffus, per dimlnutionem vero dimi- nuitur & per ablationem tollitur j li materia plufquam redun- dans tollatur, hoc eff, fi Globus juxta aquatorem vel depreffior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in confeqnentia. CoroL 2 2. Et inde viciflim ex motu Nodorum innotefcit con- fiitutio Globi. Ninnium fi Globus polos eofdem conftanter fer- vat & motos fit in antecedentia, materia juxta aquatorem re- dundat j fi in confequentia, deficit. Pone Globum uniformem & perfeffe circinatum infpatiis liberis primo quiefcerej dein im- petu quocunq-, oblique in luperficiem fuam fado propelli, & Inotum inde concipere partim circularem, parrim in dire^um, Qiioniam Globus ifte ad axes omnes per centrum fuum tranfe- untes indifferenter fe habet, neq', propenfior eft in unum axem, unumve axis fjtum, quam in alium quemvis^ perfpicuumeft quod is axem fuum axifqi inclinationem vi propria nunquam muta- bit. ImpeUatiir jam Globus oblique in eadem illa fuperficicr parte qua prius, iinpul fu quocunqi novo j & cum citior vel ferior knpulfus cifeftuLTi nil mutet, manifeftum eft quod hi duo impui- C «87 3 fus fuccefllve impreffi eundem producent motum ac fi fimul im- preill fuiflent, hoc efi: eundem ac fi Globus vi fimplici ex utro- q; per Legum Corol. 2. )compofita impulfiisfuifiet, atq;adeo fimplicem, circa axem inclinatione datum. Et par eft ratio im- pulfus fecundi fafti in locum alium quemvis in aequatore motus primi , ut & impulfus primi fa6ii i^i locum quemvis in aequatore motus, quem impulfus fecundus abfq; primo generaret ; atq; a- deo impulfuum amborum fa£i:orum in loca quaecunq^ : Genera- bunt hi eundem motum circularem ac fi fimul & femel in locum interfc£iionis aequatorum motuum illorum, quos feorfim genera- rent, fuiffentimprefli. Globus igitur homogeneus & perfedus non retinet motus plures di{lih6i:os, fed imprelTos omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in fe eft, gyratur femper motu fimplici & uniformi circa axem unicum inclinatione femper inva- riabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rota- tionis velocitatem mutare poteft. Si Globus plano quocunq; per centrum fuum & centrum in quod vis dirigitur tranfeunte dividi intelligatur in duo hemifphaeria, urgebit femper vis illa u- trumq^ hemiphaerium aequaliter, ^ propterea Globum quoad motum rotationis nullam in partem inclinabit. Addatur veroa- licubi inter polum Sc aequatorem materia nova in formam mon- tis cumulata, & haec, perpetuo conatu recedendi a centro fui mo- tus, turbabit motum Globi, facietq; polos ejus errare per ipfius fuperficiem, & circulos circum, fe pun6i:umq; fibi oppofitum per- petuo deferibere. Neq^ corrigetur ifta vagationis enormitas, nifi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Cafu, per Corol. 21, Nodi aequatoris progredientur i vel in aequatote, qua ratione, per Corol. 20, Nodi regredientur j vel deniq^ ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur : & hoc pado Nodi vel progredientur, vel recedent, per- inde ut mons & haecce nova materia funt vel polo vel aequa tori propiores. A a 2 Prop* C >S8 3 Prop. LXVII. Theor. XXVII. Pofitis iifdem aitraBionum legibus^ dico quod corpus exterius 2, circa interiorum F, S commune Gravitatis centrum C, radiis ad centrum illud duSikj defer ibit are as ^temporibus magis proportionales ^ Orbem ad formam EUipfeos umbilicum in centro eodem habentis ma- gis accedentem^ quam circa corpus intimum ^ maximum radi- is ad ipfum du6iis^ deferibere poteji. Nam corporis 2 attractiones verius S Sc P componunt ipfius attra£i;ioncm abfolutam, quae magis dirigitur in corporum S Sc P commune gravitatis centrum C,quarn in corpus maximum C, quae- qj quadrato diftantiae Oji magis ell: proportionalis reciproce, quam quadrato diftantiae QS: ut rem perpendenti facile con- flabit. Prop. LXVIII. Theor. XXVIIL Pofitis iifdem attraElionum legibus^ dico quod corpus exterius Qjir^ ca interiorum P ^ S coiMnune gravitatis centrum Q radiis ad centrum illud duSiis^ deferibit areas temporibus magis proportio- naleSj Orbem ad formam EUipfeos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem^ fi corpus intimum ^ maximum hk attraSiionibus perinde atq"'^ c cetera agitetur^ quam fi id vel non at- traSium quiefcatj vel multo magk aut multo minus ottraB-um aut multo magis aut multo minus agitetur, Demonftratur eodem fere modo cum Prop. LXVI, fed argu- mento prolixiore, quod ideo praetereo. Suffecerit rem fic aefti- mare. Ex demonftratione Propofitionis noviflimae liquet cen- trum in quod corpus 2i^onjtindis viribus urgetur,, proximum ef- fc communi centro gravitatis illorum duorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi, & quiefeeret commune centrum gravitatis corporum trium ; delcriberent corpus Q ex u- na I [ i8p ] na parte, & commune centrum aliorum duorum ex altera para- te, circa commune omnium centrum quiefcens, Ellipfes accuratas. Liquet hoc per Corollarium (ccundum Propofitionis LVIIL ' col- latum cum demonftratis in Prop. LXIV. Sc LXV. Perturbatur ifte motus Ellipticus aliquantulum per diftantiam centri duorum a centro in quod tertium 2».attrahitur. Detur praeterea motus communi trium centro, & augebitur perturbatio. Proinde mi- nima eft perturbatio, ubi commune trium centrum quiefeit, hoc eft ubi corpus intimum 8c maximum S lege caeterorum attrahi- tur ; fitq; major femper ubi trium commune illud centrum, mi- nuendo motum corporis S, moveri incipit 8c magis deinceps ma- gifqj agitatur. Coro/, Et hinc fi corpora plura minora revolvantur circa max- imum, colligere licet quod Orbitae de- feriptae propius ac- cedent ad Ellipticas, & arearum defcrlp- tiones fient magis ae- quabiles, fi corpo- ra omnia viribus ae- celeratricibus, quae funt ut eorum vires abfolutae directe Sc quadrata difiantiarum inverfe, fe mutuo trahent agitentq^ , & Orbitae cujufq; umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium inte- riorum C nimirum umbilicus Orbitae primae Sc intimae in centro gravitatis corporis maximi Sc intimi; ille Orbitae lecundae, in communi centro gravitatis corporum' duorum intimorum; ifi:e tertiae, in communi centro gravitatis trium interiorum Sc fic dein- ceps ) quam fi corpus intimum quiefeat Sc ftatuatur communis umbilicus orbitarum Omnium. Prop.. C 'po 3 Prop. LXIX. Theor. XXIX. hi Syjlemate corporum plurium B, C, D ^c. fi corpus aliquod A trahit c. Scholium. Superficies ex quibus folida componuntur, hic non funt pure Mathematicae, fcd Orbes adeo tenues ut eorum craflitudoinffar nihili fit ; nimirum Orbes evanefeentes ex quibus Sphaera ultimo conftat,ubi Orbium iliorum numerus augetur & craffitudo minu- itur in infinituni,)uxta Methodum fub initio in Lemmatis genera- libus expofitam. Similiter per pun(ffa, ex quibus lineae, fuperfici- es & folida componi dicuntur^ intelligenda; funt particulae aequa- les magnitudinis contemnendae.. c C »97 ] Prop. LXXIV. Theor. XXXIV. lifdem pofitk^ dico quod corpnfculmn extra Sphaeram conjiitutnm at- trahitur m reciproce proportionali quadrato dijiantide fuoi ah ipjim centro. Nam diftinguatur Sphaera in fupcrficies Sphaericas innumeras concentricas, & attra£^ionescorpurculi a fingulis fiiperficiebus o- riundae erunt reciproce proportionales quadrato diftantiae corpuf- culi a centro, per Theor. XXXI. Et componendo, het fumma attra^lionum, hoc eft attra^iio Sphaerae totius, in eadem ratione. Q. E. D. Corol. I. Hinc in aequalibus diftantiis a centris homogenearum Sphaerarum, attra^liones Ihnt ut Sphaerae. Nam per Theor. XXXII. (i diftantiae funt proportionales diametris Sphaerarum, vires erunt ut diametri. Minuatur difiantia major in illa ratio- ne, & diftantiis jam fadis aequalibus, augebitur attra^lio in dupli- cata illa ratione, adeoq^ erit ad attradionem alteram in triplica- ta illa ratione, hoc efl; in ratione Spha rarum. Coro/. 2. In diftantiis quibufvis attradiones funt ut Sphaerae applicatae ad quadrata didantiarum. Corol. 3. Si corpufcLiIum extra Sphaeram homogeneam poli- tum trahitur vi reciproce proportionali quadrato diftantiae fuse ab iplius centro, conflet autem Sphaera ex particulis attradivis j dc- crefcet vis particulae cujufq, in duplicata ratione diftantiae a par- ticula. Prop. LXXV. Theor. XXXV. Si ad Spha:r<£ data^ punSia fingula tendant ^ires a:quales centripetce decrefcentes in duplicata ratione dijlantiarum apunSiis., dico quod Sphccra qucc^is alia jimilaris attrahitur ^i reciproce proportionali quadrato difianti^e centrorum. Nam particulae cujufvis attradio eft reciproce ut quadratum diftantiae ejus a centro Sphaerae trahentis, (per Tlicor, XXXI,) Se prop- l '3 proptcrea eadem eft ac fi vis tota attrahetis manaret de corpuf- culo unico fito in centro hujus Sphaerae. Haec autem attraflio tanta efi: quanta foret viciflim attra6lio .corpufculi ejufdcm, fi modo illud a fingulis Sphaerae attrafiiae particulis eadem vi trahe- retur qua ipfas attrahit. Foret autem illa corpufculi attraftio ( per Theor XXXIV ) reciproce proportionalis quadrato di- ftantiae ejus a centro Sphaerae ^ adeoq^ huic aequalis attradio Sphae- rae efi: in eadem ratione. E. D. CoroL I. Attradiones SphaeraiumjVerfus alias Sphaeras homo- geneas, funt ut Sphaerae trahentes applicatae ad quadrata dif- tantiarum centrorum fuorum a centris earum quas attrahunt. CoroL '2. Idem valet ubi Sphaera attra6i:a etiam attrahit. Nam- q^ hujus punda fingula trahent fingula alterius, eadem vi qua ab ipfis viciflim trahuntur, adeoq^ cum in omni attra Ilione urgea- tur per Legem 3. ) tam pun6i:um attrahens, quam pundum attradum, geminabitur vis attradionis mutuae, confervatis pro- portionibus. CoroL 3. Eadem omnia, quae fuperius de motu corporum cir- ca unibilicum Conicarum Sedionum demonftrata funt, obtinent ubi Sphaera attrahens locatur in umbilico corpora moventur extra Sphaeram. CoroL 4. Ea vero quae de motu corporum circa centrum Co- nicarum Sedionum demonftrantur, obtinent ubi motus peragun- tur intra Sphaeram. Prop. LXXVI. Theor. XXXVI. Si Sph£r£ inprogrejfu a centro ad circumferentiam ( quod materix denfitatem ‘vim attraSii^am ) utcunqs diJpmilareSy in progref fu *z/ero per circuitum ad datam omnetn a centro dijiantiam fu??t tm- diq\ fimilares^ ^ attraSlwa punSii cuptfq'-) decrefeit in dupli- cata ratione diflantidc corpork attraBi : dico quod tota qua hu- jufmodi Spha:ra una attrahit ^liam fit reciproce proportionalia qua- drato difl antice centrorum. Sunto [ '^pp ] Sunto Sph^erae quotcunq, conccntricx fimilares CD, E F 8cc. quarum interiores additae exterioribus componant materiam denfiorem verfus centrum, vel fubdu£i:ae relinquant tenuiorem j Sc hae, per Theor. XXXV, trahent Sphaeras alias quotcunqj con- centricas fimilares GHylKy LM^ &c. lingulae lingulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato diftantiae S P. Et compo- nendo vel dividendo, fumma virium illarum omnium, vel ex- celTus aliquarum fupra alias, hoc eft, vis qua Sphaera tota ex con- centricis quibulcunq, vel concentricarum differentiis compofita ABy trahit totam ex concentricis quibufcunqj vel concentrica- rum differen- tiis compoli- tam G H, erit in eadem ra- tione. Auge- atur numerus Sphaerarum concentrica- rum in infini- tum fic, ut materiae denfitas una cum vi attmfiiva, in progrefiu a circumferentia ad centrum, lecundum Legem quamcunqj cref- cat vel decrefeat : & addita materia non attradiva compleatur u- bivis denfitas deficiens, eo ut Sphaerae acquirant formam quamvis optatam ; & vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum ( per argumentum fuperiiis) in eadem illa diftantiae quadratae ra- tione inverfa. CLE-' L). Corol. r . Hinc fi ejufmodi Sphaerae complures fibi invicem per omnia fimiles fe mutuo trahant^ attra£l:ioncs acceleratrices lin- gularum in lingulas erunt in aequalibus qiiibufvis centrdfum dil- tantiis ut Sphaerae attrahentes. Corol. 2. Inq5 diftantiis quibufvis inaequalibus, ut Sphaerae attra- hentes applicatae ad quadrata diftantiarum’ inter centra. CoroL [ 200 ] Coro/, 3. Attractiones vero motrices, feu pondera Sphaerarum in Spharas erunt, in xqualibiis centrorum diftantiis,ut Sphaerae at- trahentes & attraCtae conjunCtim, id eft, ut contenta fub Sphaeris per multiplicationem produCta. Coro/. 4. Inqj diftantiis inaequalibus, ut contenta illa applicata ad quadrata diftantiarum inter centra. Coro/. 5. Eadem valent ubi attraCtio oritur a Sphaerae utriufq; virtute attraCtiva, mutuo exercita in Sphaeram alteram. Nam vi- ribus ambabus geminatur attraCtio, proportione fervata. Coro/. 6. Si hujufmodi Sphaerae aliquae circa alias quielcentes revolvantur, lingulae circa fingulas, fintq^ diftantiae inter centra revolventium Sc quiefeentium proportionales quiefeentium dia- metris ; aequalia erunt tempora periodica. Ccrol, 7. Et viciffim, (i tempora periodica funt aequalia, dif- tantiae erunt proportionales diametris. Coro/. 8. Eadem omnia, qu^fuperius de motu corporum cir- ca umbilicos Conicarum SeClionum demonftrata funt, obtinent ubi Sphaera attrahens, formae & conditionis cujufvis jam deferip- tXy locatur in umbilico. Coro/, p. Ut & ubi gyrantia funt etiam Sphaerae attrahentes, conditionis cujufvis jam deferiptae. Prop. LXXVII. Theor. XXXVIL Si ad fwgn/a Sp/Mranim pimSla tendant ^ires ce?!tripet£ proportiona- /es diflantiis pnnBorum a corporibj^ attraBis : dico quod ^is compofitay qua Splj^r£ duae fe ijtutuo tra/jenty eji ut diflantia inter centra Sp/jecrarmn. Cas I. Sic JCBD Sphaera, S centrum ejus, P corpufculum attra6i:um, F A SB axis Sphaerae per centrum corpufculi tranfiens, E Fy ef plana duo quibus Sphaera fecatur, huic axi perpendicula- ria, & hinc inde aequaliter diftantia a centro ^Sphaerae ; Gg inter- fediones planorum & axis, Si H pundum quodvis in plano E F. Pundi C 20* ] FHin6i:i H vis centripeta in corpufculum P fecundum lineam PH exercita efl: ut diftantia P H, Sc ( per Legum Corol. a. ) fecun- cundum lineam P G,feu verfus centrum 5*, ut longitudo P G. Igi- tur pun6i:orum omnium in plano E F, Koc eft plani totius vis, qua corpufculum E trahitur verfus centrum 5, eft ut numerus punftorum du61us in diftantiam F 6: id eft ut contentum fub plano ipfo E E & diftantia illa P G, > Et ftmiliter vis plani ef^ qua corpufculum P trahitur verfus centrum S, eft ut planum il- lud duSium in diftantiam fuam P g j ft ve ut huic aequale planum E F ductum in diftantiam illam P g ; 8c fumma virium plani utri- ufq^ ut planum E F du(ftum in fu minam diftantiarum F G + P g^ id eft, ut planum illud duftum in duplam centri & corpufculi diftantiam F 5*, hoc eft, ut duplum planum E F du£i:um in diftantiam F vel ut fumma aequalium planorum E F-j- ef ducla in diftantiam eandem. Et fimili argumento, vires omnium planorum in Sphaer ra tota, hii)c inde aqualiter a centro Sphaerae diftantiiim, funt ut fumma planorum dufta in diftantiam P hoc eft, ut Sphaera to- ta dufta in diftantiam centri fui S a corpufculo F. ^E, D. Cas. 2. Trahat jam corpufculum F 5'phaeram^/^ CFD. Et eodem argumento probabitur quod vis, qua Sphaera illa, trahitur, erit ut diftantia F S. C^-E. D. Cas Componatur jam Sphaera altera ex corpufculis innu- meris F ^ & quoniam vis, qua corpufculum unumquodq^ trahitur, eft ut diftantia corpufculi a. centro Sphaerae primae ducia in ^Sphae- ram eandem, atq; adeo eadem eft ac fi prqdirei tota de coi puf- culo unico in centro Sphxrae i vis tpta qua corpufcula omnia in Sphxra fecunda trahuntur, hoc eft, quaSphxra illa tota trahitur, eadem erit ac fi Sphaera illa traherct^ur vi prodeunte de corpui- C c culo [[ 202 ] culo unico in centro 5*ph3erae primae, Sc propterea proportionalis efl: diftantiae inter centra 6phaeraruin. CLE. D. Cas. 4. Trahant ^'phaerae fe mutuo, & vis geminata propor- tionem priorem fervabit. (i. E. D. Cas, Locetur jam corpufculum p intra Sphaeram ^ C B D, 8c quoniam vis plani ef in corpufculum eft ut contentum fub plano illo&diftantiapg j & vis contrana plani E F ut contentum fub plano illo & diftantia p C j erit vis ex utraq, compofita ut differentia contentorum, hoc eft, ut fumma aequalium planorum du6i:a in femiffem differentiae diffantiarum, id eft, ut fumma illa dufta in pSy diftantiam corpufculi a centro Sphaerae. Et fimili argumento attracftio planorum omnium EF, efin Sphaera tota, hoc eft attradiio Sphaerae totius, eft ut fumma planorum omnium, feu Sphae- ra tota, duda inp5'diftantiam corpufculi a centro Sphaerae. Q, E. D. Cas. 6. Et fi ex corpufculis innumeris p componatur Sphse- ra nova intra Sphaeram priorem ACBD (ita, probabitur ut prius, quod attra^lio, five fimplex Sphaerae unius in alteram, fi- ve murua utriiifq^ in fe invicem, erit ut diftantia centrorum p 5*. OvE. ^ - Prop. LXXVIII. Theor. XXXVIII. Sf Spbjcra; m progrejfn a centro ad circumferetrtiam pnt utcunq-, dif- pindares ina: qn^htleSyin progr e jfu*v ero per circuitum ad datam omnem a centro diflantiam pnt undiq^ pmilares y ^ attraBwa punBi cujufq'-, fit ut diflantia corporis ottraBi : dico quod *vls tota qua hujufmodi Sphaera; duoe fe mutuo trahunt fit proportionalis di- fiantioc imer centra SphcfYhimm. \ De- C 20? ] Demonftratur ex Propofitione praecedente, eodem modo quo Pfopofitio LXXVII. ex Propofitione LXXV. demonftrata fuit. CoroL Quae fuperius iii Propofitionibus X. &: LXIV. de motu corporum ckea centra Conicarum Se£iionum demonftrata funt, valent ubi attra^iiones omnes fiunt vi Corporum Sphaericorum, conditionis jam deferiptae, funtq; corpora attrada Sphaerae con» ditionis ejufdem. Scholium. Attra^lionum Cafus duos infigniores jam dedi expofitos ^ ni- mirum ubi vires centripetae decrefeunt in duplicata diftantiaruni ratione, vel crefeunt in diftantiarum ratione fimplici ^ efficientes in utroqj Cafu ut corpora gyrentur in Conicis Scelionibus, &: componentes corporum Sphaericorum vires centripetas eadem le- ge in receflTu a centro decrefeentes vel crefeentes cum feipfis. Qyod eft notatu dignum. Cafus caeteros, qui conclufiones mi- nus elegantes exhibent, figillatim percurrere longum eflet: Ma- lim cunflos methodo generali fimul comprehendere ac determi nare, ut fequitur. Lemma XXIX. Si defcrihatitnr centro S circulus quilibet AEB^ (f Vide Fig. Prop. lequentis ) ^ centro P circuli duo E F, ejfJ fec antes priorem in E, c, lineamq^ P S in fj^adPS demittantur perpendicula EZ), ed: dico quod ji di jiant i a arcuum LF^ ef in injinitum mi- nui intelligatur ^ ratio ultima linex e^vanefeentis Dd ad lineam e^anefeentem Ff ea fet^ qux linex PE ad lineam P S. Nam fi linea P,e fecet arcum E F in q Sc re^la E e, quae cum arcu evanefeente E e coincidit, produ61a occurrat re61ae F »9 in T; & ab 0 demittatur in F E no. malis SG : ob fimilia triangula ^ E)T.^ e dty E D S’^ erit £) d dd E e ut F) T ad E T ftu D E dd Cc 2 E 5*, [ 204 ] ESj &: ob triangula Eqe^ ESC ( per Lcm. VIII. & Corel. 3. Lcm, VII. ) fimilia, erit E e zd qe feii Ff^ut ES 2.dSG^ & ex xqiio Dd ad F/ut DE ad 5'G 3 hoc ob fimilia triangula FDE, PGS )utPE 2idPS.CLE.D. Prop. LXXIX. Theor. XXXIX. Si fitperjicies oh latitudinem in f nite diminutam jam jam evanefeens EFfe, con^olntione fui circa axem P S^ deferib at f olidum Sphae- ricum conca ot • r l j ; p-p idQitj ABxSL De prima mbduca tur fumma fecundae ac tertiae, & manebit area qiiaefita ABN A. Un- [ de talis emergit Problematis con- ftru^lio. Ad pun£i:a L, A^ 5*, B c- rige perpendicula L/, Aa^ Ss^ Bh^ quorum «Sr ipfiiS’1 aequetur, perq^ pundum s Alymptotis Ll^LB de- feribatur Hyperbola ash occurrens perpendiculis Aa^Bb in ^ j 8c redangulum 2 ASI fubdudum de area Hyperbolica AasbB relinquet aream quaefitam ABN A. Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad fingulas Sphaerae particulas tendens, decrefeit in quadruplicata ratione diftantiae a particulis, feribe ^5 dein y 2P S x LD pro f E, fiet D N ut SLxSB SD ALBxSB TmSi ~ ~2xLDi - 2V^xLDi ■ P"'- tes dudae in longitudinem ^ E, producunt Areas totidem, y2xSLxSI^__ y2xSLxSI^ LB^ xSI ^ ~LA'^ xSV^ L A B Sc LA^ LB^^ ALBxSD ALBxSI y 2 — — . Et hae pofi debitam redudio- 2xLA^ 3y2xLE* nem, fubdudis pofterioribus de priori, evadunt^ Igi- 3 ^ - tur vis tota, qua corpufculumE in Sphaerae centrum trahitur, cftut — p“j— ) id efi: reciproce ut P Scub.xP L CE E. I. Dd Ea- [ 210 3 Eadem Methodo determinari poteft attraftio corpufculi fiti intra Sphaeram, fed expeditius per Theorema fequens. Prop. LXXXir. Theor. XLI. In Sphaera centro S interzfoUo SA deferiptay ft capiantur Sly SAy SP continue proportionales : dico quod corpufculi intra Spheeram in loco quoz^is I attraBio eji ad attr asionem ipftm extra Sphaeram in loco Py in ratione compofita ex dimidiata ratione di/iantiarum a centro ISy PS ^ dimidiata ratione cirium centripetarumy in hh cis illis P ^ ly ad centrum tendentium^ Ut fi vires centripetae particularum Sphaerae fint reciproce ut «diftantiae corpufculi a fe attradi ; vis, qua corpufculum fitum ia I trahitur a Sphaera tota, erit ad vim qua trahitur in F, in ratio- ne compofita €x dimidiata ratione dift- antiae 5*/ ad diftantiam SP Sc ratio- ne dimidiata vis centripe- tae in loco ly a particula a^ liqua in cen- tro oriundae, ad vim ccntripetam in loco P ab eadem in centro particula ori- undam,id efi, ratione dimidiata diftantiarum S/, 5F ad invicem reciproce. Hae duae rationes dimidiatae componunt rationem ae- ■qualitatis, tk propterea attra^iiones in / & F a Sphaera tota fac- tae aequantur. Simili computo, fi vires particularum Sphaerae funt reciproce in duplicata ratione diftantiarum, colligetur quod at- cradioin I fit ad attradionem in F, ut diftantia SP ad Sphaerae femi" _ . [ 2.1 :i femidiametrum SAiSi vires illae funt reciproce in triplicata ratione diftantiarum, attra£iiones in / & F erunt ad invicem ut SF quad. ad S A quad. j fi in quadruplicata, ut SPeub. ad SAcuk Unde cum attra£l:io in F, in hoc ultimo cafu, inventa fuit reciproce ut P Scnb.x P /, attra£i:io in I erit reciproce ut S A cub.x P J, id eft ( ob datum S A cub. ) reciproce ut P I. Et fimilis eft progrefTus in infinitum. Theorema vero fic demonftratur. Stantibus )am ante conftrudiis, & exiftente corpore in loco quovis Pj ordinatim applicata DN inventa fuit ut Ergo fi agatur lE, ordinata illa ad alium*quemvis locum /, mu- tatis mutandis, evadet ut Pone vires centripetas, c ILxV ^ Sphaerae pundo quovis E manantes, effe ad invicem in diftantiis lEy FE, Ut FE^ad JE^ , ( ubi numerus «defignet indicem poteftaturn P E Sc I E ) &: ordinatae illae fient ut Sc PExPE^ - > quarum ratio ad invicem cftutF5'xJ£xJE^adI5 X jZ< X X x-j xPExPE^, Quoniam ob fimilia triangula ^F E, 5'E7, fit I E 2.d P E ut IS 3.6. SE vel S A i pro ratione I£ ad FE feribe rationem IS 36 S A., Sc ordinatarum ratio evadet F 5x1 E ^ ad SAxPE^, Sed FS ad SA dimidiata eft ratio diftantiarum F5, 5Ij&IE^adFE^ dimidiata eft ratio virium in diftanti- is F 5, IS. Ergo ordinatae, Sc propterea areae quas' ordinata deferibunt, hifq^ proportionales attra(ftiones, funt in ratione com- pofita ex dimidiatis illis rationibus. E. D. f^-op. Ddo C ] Prop. LXXXIII. Prob, XLII. Vi^vemre vim qua corpufeulum in centro Sphaerae locatum - ad ejus fegmentum quodcwiq'-) attrahitur. SkP corpus in centro Sph^Tse, Sc RBSD fegmentum ejus plano RDSSc fuperficie Sphaerica RBS contentum. Superficie Sphaerica E FG centro P deferipta fecetur DB m Fj ac diftinguatur fegmentum in partes BREFG FEDG. Sit autem fuperficies illa non pure Mathematica, fed Phy- fica, profunditatem habens quam minimam. ' Nominetur ifta pro- funditas 0, Sc erit haec fuperficies per demonftata Archimedis ) ut P Fx D Fx 0. Ponamus praeterea vires attra6i:ivas particularum Sphae- sx efle reciproce ut difiantiarum dig- nitas illa cujus Index efl: ^ Sc vis qua fuperficies FE trahit corpus P erit ut ^ y. Huic pro- portionale fit perpendiculum FN du6i:um in 0 ; & area curvili- nea F D L / F, quam ordinatim applicata FN in longitudinem D B per motum continuum du6la deferibit, erit ut vis tota qua iegmentum totum RBSD trahit corpus P. Q:,E. I. B 17,, n Prop. LXXXIV. Prob. XLIIL \ Invenire vim qua corpufeulum^ extra centrum Sphaerae in axe fegme?t- ti cujufvk locatum^ attrahitur ah eodem fegmento. A fegmento EBK trahatur corpus P ( Vide Fig. Prop, yp. 8o. '8i. ) in ejus axe ADB locatum. Centro P intervallo PE def- defcrlbatur fuperficies Sphaerica EFK^ qua diftinguatur Tcgmen- tum in partes duas E B K F Sc EFK D. Quaeratur vis partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis pofterioris per Prop. LXXXIII. j Sc fumma virium erit vis fegmenti totius EBKD. aE. I. Scholium, Explicatis attra£i:ionibus corporum Sphaericorum, ;am perge- re liceret ad leges attra^lionum aliorum quorundam ex particu- lis attra6i:ivis fimiliter conflantium corporum i fed ifla particula- tim tra^lare minus ad inflitutum fpe^lat. Suffecerit Propofitio- nes quafdam generaliores de viribus hujufmodi corporum, deq*, motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philofophicis aliqua- lem ufum, fubjungere. ' S E C T Xlll- • t > l De Corporum etiam non Sphericorum viribus attraSfivk. Prop. LXXXV. Theor. XLIL Si corporis attraUi^ uhi attrahenti contiguum eji^ attraHio longe fortior fity quam cum z>el minimo intervallo feparantur ah invicem', vires particularum trahentis ^ in recejfu corporis attraSli^ decrefcunt in ra- tione plufquam duplicata di f antiarum a particulis. Nam fi vires decrefcunt in ratione duplicata diftantianim a particulis j attra6lio verfiis corpus Sphaericum, propterea quod jf per Prop. LXXIV. J fit reciproce ut quadratum diftantise at- traffi . C ^>»4 3 tra^li corporis a centro JSphaerae, haud fcnfibiliter augebitur cx conta6i:u; atq; adhuc minu6 augebitur ex conta^lu^fi attra6iio in recefTu corporis attra6i;i decrefeat in ratione minore. Patet igi- tur Propofitio de Sphaeris attra6i:ivis. Et par eft ratio Orbium Sphaericorum concavorum corpora externa trahentium. Et mul- to magis res confiat in Orbibus corpora interius conftituta tra- hentibus, cum attra6iiones paflim per Orbium cavitates ab at- tradionibus contrariis ( per Prop. LXX. ) tollantur, ideoq; vel m ipfo conta6i:u nullae funt. Onod fi Sphaeris bifcc Orbibufq; Sphaericis partes quaelibet a loco conta6ius remotae auferantur, & partes novae ubivis addantur ; mutari pofiunt figurae horum cor- porum attradivorum pro lubitu, nec tamen partes additae vel fubdu(5i:ae, cum fint a loco contaftns remotae, augebunt notabi- liter attra£l:ionisexcefrum qui ex contadu oritur. Confiat igi- tur Propofitio de corporibus figurarum omnium, (i. E. D. Prop. LXXXVI. Theor. XLIII. Si particularum^ ex quibus corpus attraBi^um componitur^ *vires in recejfu corporis attraBi decrefeunt in triplicata *L'el plufquam tri^ plicata ratione dijiantiarum a particulis: attraSiio longe forticr e- rit in contaBuy quam cum attrahens ^ aftraBum intervallo vel minimo feparantur ab invicem. Nam attra^iionem in accefili attra6fi corpufculi ad hiqufinodi Sphaeram trahentem augeri in infinitum, confiat per folutionem Problematis XLI. in Exemplo fecundo ac tertio exhibitam. I- dem, per Exempla illa & Theorema XLI inter fe collata, facile colligitur de attradionibus corporum verfus Orbes concavo-con- vexos, five corpora attrafia collocentur extra Orbes, five intra in eorum cavitatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphaeris & Orbibus ubivis extra locum contaflus materiam quamlibet at- tradivam, eo ut corpora attradiva induant figuram quamvis af- fignatam, conflabit Propofitio de corporibus univerfis. Q. E. D. Prop. i: ] Prop. LXXXVII. Theor. XLIV. Si corpora duo fibi impicem fimilia ^ ex materia (^qualiter attraSli-^ ^a cofjjiantia feorfm attraJfjant corpnfcula ftbi ipfts proportionalia ad fe ftmiliter poftt a: attraSiiones acceleratrices corpuf culorum in corpora tota erunt ut attraSiiones acceleratrices corpufculorum in eorum particulas totis proportionales ^ in tatis fj militer pofi~ tas. Nam (i corpora diftinguantur in particulas, quae fint totis pro- portionales & in totis fiiniliter fitae ; erit, ut attra61:io in particu- lam quamlibet unius corporis ad attradionem in particulam cor- refpondentem in corpore altero, ita attra6Hones in particulas fin- gulas pnmi corporis ad attra6i'iones in alterius particulas lingulas correfpondentes j & componendo, ita attra^iio in totum pri- mum corpus ad attradionem in totum fecundum. Q:. E. . D. Corol. I. Ergo fi vires attradivae particularum, augendo di ftan- tias corpufculorum attradorum, decrefeant in ratione dignitatis cujufvis diftantiarum : attra6fiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora dirc(5i:e 8c diftantiarum dignitates illae inverfe. Ut fi vires particularum decrefeant in ratione duplicata diftanti- arum a corpufculis attradis, corpora autem fint ut A cub, Sc B cuk adeoq; tum corporum latera cubica, tum corpufculorum attrado- rum diftantiae a corporibus, ut A Sc B 7 attra6:iones acceleratri- • ^ ^ A cub. c Bcuk -in ces in corpora erunt ut id eft, ut corporum k- A quad- B quaa- ^ tera illa cubica A Sc B. Si vires particularum decrefeant in ra- tione triplicata diftantiarum a corpufculis attia^iis ; attrahi iones acceleratrices in corpora tota erunt ut ~ Sc id eft a- A cub. B cub. quales. Si vires decrefciint in ratione quadruplicata, attra^io- nes in corpora erunt ut ^ Sc^^I!^ id eft reciproce ut latera Aqq. ^ Bqq, ^ cubica A Sc B. Et Cc in cateras, ■Cordb Corol. 2. Unde vicilTIm, ex viribus quibus corpora fimilia tra- hunt corpufcula ad fe fimiliter pofita, colligi poteft ratio decre- menti virium particularum attra£i:ivarum in receffu corpufculi at- tradi j fi modo decrementum illud fit direde vel inverfe in ra- tione aliqua diftantiarum. Prop. LXXXVIII. Theor. XLV. Si particularum aequalium corporis cujufcunq\ vires attraSiivde fmt ut dijianti^ locorum a particulis : vis corporis totius tendet ad ipfim centrum gravitatis i eadem erit cum vi globi ex materia confio mili ^ ce quali conflantis ^ centrum habentis in ejus centro gr a* vitatis. Corporis RSTV particulae B trahant corpufculum aliquod Z viribus quae, fi particulae aequantur inter fe, fint ut diftantiae BZ^fin particulae ftatu- antur inaequales, fint ut hae particulae in difiantias fuasy^Z, BZ refpedive dudae. Et ex- ponantur hae vires per contenta illa AxAZ BxBZ. J un- gatur ABjSc fecetur ea in G ut fit ad BG ut particula B ad particulam A'^ & erit G commu- ne centrum gravitatis particula- rum A Sc B. Vis AxAZ per Legum Corol. 2. refolvitur in vires AxGZScAxAG^ &vis BxBZin vires BxGZ Sc Bx BG. Vires autem x G & B x B G, ob proportionales ad B & B G ad AGj aequantur, adeoq;, cum 'dirigantur in partes contrarias, fe mutuo definiunt. Refiant vires AxGZScBx G Z. Tendunt hae ab Z verfus centrum G, Sc vim A~{- BxG Z componunt^ hoc efi, vim eandem ac fi particulae attradivae ASc b confifierent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes. £q. C 2>7 ] Eodem argumento fi adjungatur particula tertia C ; & com- ponatur hujus vis cum vi A-i- BxGX tendente ad centrum G, ‘vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi il- lius G & particulse C , hoc eft, ad commune centrum gravitatis trtum particularum A, By C ; & eadem erit ac fi globus & parti- cula C confifterent in centro illo communi, globum majorem ibi componentes. Et fic pergitur in infinitum. Eadem efi: igitur vis tota particularum omnium corporis cujufcunqi RSTV ac fi corpus illud, fervato gravitatis centro, figuram globi indueret. Q,E. D. Corol. Hinc motus corporis attra6ii Z idem erit ac fi corpus attrahens RSTV efiTet Sphaericum: Sc propterea fi corpus illud attrahens vel quiefeat, vel progrediatur uniformiter in direftum, corpus attradium movebitur in Ellipfi centrum habente in attra- hentis centro gravitatis. Prop. LXXXIX. Theor. XLVI. Si corpora fi^t plura ex particulis aqualibus conjlantia^ quarum res funt ut dtjiantia locorum a fmgulis: ‘vh ex omnium ciribus compojitay qua corpufculum quodcunfy trahitur y tendet ad trahen- tium commune centrum gr aevitatis y ^ eadem erit* ac p trahentia illay feriato gravitatis centro communi y coirent ^ in globum for- marentur, Demonftratur eodem modo, atq^ Propofitio fuperior. Corol. Ergo motus corporis attradi idem erit ac fi corpora trahentia, fervato communi gravitatis centro, coirent &: in globum formarentur. Ideoqj fi corporum trahentium commune gravi- tatis centrum vel quiefeit, vel progreditur uniformiter in linea re£l:a, corpus attra6tum movebitur in Ellipfi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis. Ee Prop. C 218 ] Prop. XC. Prob. XLIV. Si ad fingula circuli cujufcunq'^ punSla tendant *vires centripeta: de- crefcentesin quacunq^ diflantiarum ratione : invenire ^im qua ct>r- puf culum attrahitur ubi^k inreSla qu<£ ad planum circuli per cen- tr um ejm perpendicularis confiflit. Centro A intervallo quovis A D, in plano cui re£l:a A P per- pendicularis efl:, defcribi intelligatur circulus ^ & invenienda lit vis qua corpus quodvis P in eundem attrahitur. A circuli punc- to quovis E ad corpus attradum P agatur reda P E: In reda P A capiatur P F ipfi P E aequalis, Sc erigatur Normalis Fif, quae fit ut vis qua pundum E trahit cor- pufculum P. Sitqi IKL curva linea quam pundum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano in L. In -P capiatur P H aequalis P Sc erigatur perpen- diculum H I curvae praedidae oc- currens in J j Sc erit corpufculi P attradio in circulum ut area A H- I L duda in altitudinem A P. Q. E. I. Etenim in A E capiatur linea quam minima E e. Jungatur P e^ Sc\n P A capiatur P/ipfi P e aequalis. Et quoniam vis, qua anniili pundum quodvis E trahit ad fe corpus P, ponitur efie ut F/f , Sc inde vis qua pundum illud trahit corpus P verfus A efi: ut APxFK, PE Sc vis qua annulus totus trahit corpus P verfus Ay ut annulus Sc APxFK PE conjundim , annulus autem ifte eft ut red- angulum fub radio AE^ latitudine E e, Sc hoc redangulum ( ob proportionales PE Sc A Ey E e SccE) aequatur redangulo P E xcE C 2>P H , ^cE fen PExFfj en t vis qua annulus ifle trahit corpus P /IP^FK . verfus A ut PExFfSc — ■ conjun£lim, id cfl, ut conten- JT Lt tum FfxAPxFKy five ut arca FK \f du£}:a in AP. Et prop- terea fumma virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & intervallo A D delcribitur, trahunt corpus P verfus A^ eft ut area tota AHIKh du6i:a m A P. E. D. Corol. I . Hinc (i vires pun^iorum decrefcunt in duplicata di- ftantiarum ratione, hoc cll:, {iGt FIC ut ^ — r , atq, adeo a- PF qnad. ^ rea AHIKL utJL= PA P A Ium ''t i-p^,ideft, ut^^ ; erit attradio corpufculi P in circii- PH ^ AH Corol, a. Et univerfaliter, fi vires pundorum ad diftantias D fint reciproce ut diftantiarum dignitas quaelibet D hoc eft, fi fit ^ HlifL I ■ P A rit attradio corpufculi P in circulum ut Corol. 3, Et fi diameter circuli augeatur in infinitum, & nu- merus n fit unitate major , attradio corpuftuli P in planum to- tum infinitum erit reciproce ut P propterea quod termi- P A nus alter evanefeet. Prop. XCI. Prob. XLV. Jtifvemre attraSlionem corpufculi fti in axe folidi., ad cujus punSla f fi- gula tendunt vires centripet^e in quacunq^ difiantiarnm ratione der crefeentes. E e 2 In f 220 ] In folldum ADEFG trahatur corpufculum F, fitum in ejus axe A B. Circulo quolibet K FS ad hunc axem perpendicula- ri Ibcetur hoc folidum, & in ejus diametro FS^ in plano aliquo P ALKB per axem tranfeunte, capiatur ( per Prop. XC. ) lon- gitudo FK vi qua corpufculum F in circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem pun(B:um K curvam lineam LKI^ planis extimorum circu- lorum AL Sc BI occurren- tem m A ScB^Sc erit attrafiio corpufculi F in folidum ut area LABI. CLE. D. CoroL I. Unde fi folidum Cylindrus fit, parallelogrammo ADEB circa axem A B revolu- to defcriptus, & vires cenrripet^E in fingula ejus pun^la tenden- tes fint reciproce ut quadrata difiantiariim a punAis : erit attrac- tio corpufculi F in hunc Cylindrum ut i> — F £ + F D. Nam ordinatim. applicata FK (f per Corol. i.Prop. XC ) erit ut PF I — Hujus pars i dudain longitudinem AB^ deferibit are- PF imixABjSc pars altera — — du^ia in longitudinem F F, deferi- bit aream i m P E — AD ( id quod ex curvae LKl quadratura ^cile oftendi poteft : J) Sc fimiliter pars eadem du6i:a in longitu- dinem F A deferibit aream i ‘mP D — A dudtaq; in ipfarum P B^ P A differentiam A B deferibit arearum differentiam i in PEEZTpd. De contento primo i x AB auferatur contentum poft remum i in F £ — F D, 8c reflabit area LABI aequalis t m AB — P E -\-P D.. Ergo vis huic areae proportionalis eft ut ab-peefd^ CoKol. 2. Hinc, etiam vis innotefeit qua Sphserois AC BCDsLt^- tia- C 3 trahit corpus quodvis F, exterius in axe fuo AB fitum. Sit N K- R M Scdio Conica cujus ordinatim applicata E K, ipfi P E per- pendicularis. sequetur femper longitudini P D, quae ducitur ad pun6i:um illud P, in quo applicata ifta Sphaeroidem fecat. A Sphaeroidis verticibus B ad ejus axem A B erigantur perpen- dicula A BM ipfis AP^ BP aequalia ref- pe£i:ive , & propterea Se6i:ioni Conicae occur- rentia mKSc Mj Sc jun- gantur A M auferens ab eadem regmenrum K M- RK. Sit aut^^m Sphae- roidis centrum S & fe- midiameter maxima S C : & vis qua Sphaerois tra- hit corpus Ferit ad vim qua Sphaerajdiametro ^ F defcripta, tra- .j ASxCSa.-P SxKMRK .AScuk h,t .dem corpus, ut— Et eodem computando fundamento invenire licet vires fegmen— torum Sphaeroidis. Corol. 3. Qiiod fi cor pufculum intra Sphaeroidem in data qua- vis ejufdem diametro collocetur , at- tra^iio erit ut ipfius difiantia a cen- tro. Id quod facilius colligetur hoc argumento. Sit AGO F Sphaerois at- trahens, S centrum ejus & P corpus attra6i:um. Per corpus illud P agan- tur tum femidiaraeter SP A^ tum rc6iae duae quaevis D E, FG Sphae-- roidi hinc inde occurrentes m D Sc E, ESc G : Sintqj PCM^ HLN fuperficies Sphaeroidiim duarum ’ interiorum, exteriori fimilium & concentricarum,, quarum pi ior traa-. [ 222 ] tranreat per corpus F Sc fccct rc£i^as D E Sc FC \n B Sc poft- crior fecet cafdcm re£l:as in H, I Sc /C, L. Habeant autem Sphae- roides omnes axem communem, & erunt reci:arum partes hinc inde intercepta DP B E, FP ScCG, DH Sc lE, FK Sc LG fibi mutuo aequales, propterea quod regiae D E, P B Sc H I bifecantur in eodem pun£i:o, ut Sc redae FG, PC Sc KL. Con- cipe jam DPFy EPG defignare Conos oppofitos, angulis verti- calibus D F F, EPG infinite parvis defcriptos, Sc lineas etiam DHy EI infinite parvas efle^ Sc Conorum particulae Sphaeroidum fijperficiebus abfcifiae DHKF^ GLIE^ ob aequalitatem linea- rum F> H, EI, erunt ad invicem ut quadrata diftantiarum Tuarum a cor- pufculo Py Sc propterea corpuTcu- lum illud aequaliter trahent. Et pari- ratione, fi Tuperficiebus Sphaeroidum innumerarum fimilium concentrica- rum Sc axem communem habenti- um dividantur fpatia DP Fy EGCB in particulas, hae omnes utrinq^ ae- qualiter trahent corpus P in partes contrarias. yEquales igitur funt vires coni DPF Sc Tegmenti Conici EGCBy Sc per contra- rietatem Te mutuo dcftruunt. Et par efi: ratio virium materiae omnis extra Sphaeroidem intimam P CBM, Trahitur igitur cor- pus P a Tola Sphaei oide intima PCBMy Sc propterea ( per Co- rol. 3. Prop. LXXII. ) attradio ejus efi; ad vim, qua corpus A trahitur a vSphaeroide tota AGODy ut difiantia F 5" ad diftanti- am AS. (X.E. L > Prop. XCII. Prob. XLVI. Dalo corpore attraBi^Oy invenire rationem decrementi virium cen- tripetarum in eju^s pnnBa fwgnla tendentium. E corpore dato formanda efi: Sphaera vel Cylindrus aliave figu- ra C 225 ] ra regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi con- gruens (" per Prop. LXXX. LXXXI. Sc XCI. ) inveniri poteft. Dein faCtis experimentis invenienda efl: vi? attradionis in diverlTs diftantiis, 8c lex attraCtionis in totum inde patefaCta dabit ratio- nem decrementi virium partium lingularum, quam invenire opor- tuit. Prop. XCIIF. Theor. XLVII. Si f olidum ex m a farte planum y ex reliquis autem partibus injj?d- tunty conflet ex particulis dequalihus ^qualiter attraSlwiSy quarum ‘Lfires in recejju a folido decrefeunt in ratione poteflatis cujuflvk dk flantiarum plufquam quadratic£j ‘vi folidi totius corpufculum ad utram^is plani partem conflitutum trahatur : dteo quod folidi ^is illa attraHi^ay in recejfu ah ejus fuperfeie planay decrefeet in ratione pote flatis y cujus latus efl diflantia corpufculi a planOy ^ Index ternario minor quam Index poteflatis diflantiarum. Cas. I. Sit LG/ planum quo Solidum terminatur. Jaceat autem folidum ex parte plani hujus verfus J, inq, plana innume- raH M, N &c. ipfi G L parallela relblvatiir. Et pri- mo collocetur corpus attrac- tum C extra folidum. Aga- tur autem CG HI planis il- f lis innumeris perpendicularis, ^ Sc decrefeant vires attraCii- punctorum folidi in rati- one potcftatis diftantiarum, cujus index fit numerus n ternario non minor. Ergo ('per Co- rol. Prop. XCjvis qua planum quodvis mHM trahit punCtum C efl: reciproce ut CH^ ~ In plano mHM capiatur longitu' do HM ipfi CH ^ ~ ^ reciproce proportionalis, Sc erit vis illa ut HM. Similiter in planis lingulis / G L, nIhJy o A 0 &c, capi- antur l ■ N 11“ 1 6 ■ H K n o L N / 6" C 0 H C I K \ n 0 antur longitudines GL, JN, KO Scc.ipCis CC^ 2, CK^~~ ^ &c. reciproce proportionales, & vires planorum eo- rundem erunt ut longitudines capta*, adeoqj fumma virium ut fumma longitudinum, hoc efl:, vis lolidi totius ut area GLOK in infinitum verfus OK produfta.Sed arca illa per notas quadra- turarum methodos efl reciproce ut C G » ~ 3, & propterea vis folidi totius cfl: reciproce ut CG^~ i Q^E. D. Cas. 2. Collocetur )am corpufculum C ex parte plani IGL intra folidum, 8c capiatur diftantia CK aequalis diftan- tise C G. Et folidi pars LGloKOj planis parallelis /GL, oKO terminata, cor- pufculum C in medio fitum nullam in partem trahet, con- trariis oppofitoriim pun^lo- rum aflionibus fe mutuo per aequalitatem tollentibus. Proinde corpufculum C fola vi folidi ultra planum OK fiti trahitur. Haec autem vis (f per Cafum primum ) eft reciproce ut C K \ hoc eft (^..ob aequales C G, C K J reciproce ut CG^^~^. Q. E. D. Corel. I. Hinc fi folidum LG/N planis duobus infinitis pa- rallelis LGj JNutrinqi terminetur ^ innotefeit ejus vis attradi- va, fubducendo de vi attradiva folidi totius infiniti L G KO vim attradivam partis ulterioris N IKO^ in infinitum verius K 0 pro- dudae. CoroL 2. Si folidi hujus infiniti pars ulterior, quando attrac- tio ejus collata cum attradione partis citerioris nullius pene eft momenti, rejiciatur: attradio partis illius citerioris augendo di- fiantiam decrefeet quam proxime in ratione poteftatis C G ^ ~ 3. CoroL Et hinc fi corpus quod vis finitum & ex una parte planum trahat corpufculum e regione medii illius plani, & di- frantia inter corpufculum & planum collata cum dimenfionibus cor- C ”5 ] corporis attrahentis perexigua fit, confiet autem corpus Attra- hens ex particulis homogeneis, quarum vires attra£iivae decreP- eunt in ratione poteftatis cujufvis plufquam quadruplicatae dirtan' tiarum ^ vis attradiva corporis totius decrelcet quamproxime in ratione poteftatis, cujus latus fit diftantia illa perexigua, & Index ternario minor quam Index poteftatis prioris. De corpore ex particulis conftante, quarum vires attra^iivae decrefeunt in ratio- ne poteftatis triplicatae diftantiarum, aftertio non valet, propterea quod, in hoc cafu, attra61:io partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario fecundo, femper eft infinite major quam attraftio partis citerioris. . i Schoimm. Si corpus aliquod perpendiculariter verftis planum datum tra- hatur, & ex data lege attraftionis quaeratur motus corporis • Sol- vetur Problema quaerendo ( per Prop. XXVIL motura corpo- ris refta defeendentis ad hoc planum, ( per Legum Corol. 2.) componendo motum iftum cum uniformi motu, fecundum lineas eidem plano parallelas facio. , Et contra, fi quaeratur Lex attrac- tionis in planum fecundum lineas perpendiculares fa^lae, ea con- ditione ut corpus attraftum in data qiiacunq, curva linea move- atur, folvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertii. Operationes autem contrahi folent refolvendo ordinarim ap- plicatas in feries convergentes. Ut fi adbafem J in angulo quo- vis dato ordinatim applicetur longitudo!^, qu:c fit ut bafisdig- m nitas quaelibet A n quaeratur vis qua corpus,fecundum pofitio- nem ordinatim applicatae, vel in bafem attraftiim vel a bali fuga- tum, moveri pofiit in curva linea quam ordinatim applicata ter- mino fuo fuperiore femper attingit. Suppono bafem augeri par- Ff fc [ 22d ] m te quam minima 0 , 8c ordinatim applicatam J-j-0 /f refolvo in m~ n m ~in Seriem infinitam /z n 4- 0^ A n Scc. at- qi hu)us termino in quo 0 duarum cfl: dimenfionum, idcfl: termino m ~':n Q j A ^ vim proportionalem efle fuppono. Efl: igi- rnm — mn m — 2« , vel quod perinde cil:, ut tur vis qusefita ut ^ ^ nn B— — Ut fi ordinatim applicata Parabolam at- ?;/ m — m ;? v, w — 2» nn tingatjCxiftente ;;/ == 2, fiet vis ut data 'iB°^ adeoqj dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemad- modum GaliUu^ demonftravit. Qiiod fi ordinatim applicata Hyperbolam attingat, exiftente w r= o ~ i , 8c « = i ^ fiet vis ut 2 B~ ^ feu ^ .* adeoqj vi, qune fit reciproce ut cubus ordi' natim applicatae, corpus movebitur in Hyperbola. Sed milTis hu- jufinodi Propofitionibus, pergo ad alias qiialdamde motu, quas nondum attigi. SEC r. C 227 ] S E C T XIV- De motu corporum minimorum^ qude 'virihm centripetrs ad ftugulm magni alicujm corpork paftes tendentibus agitantur, Prop. XCIV. Thcor. XLVIII. Si media duo pmilaria^ fpatio planis parallelis utrinq \ terminato^ di- fiinguantur ab in^z^icem^ corpus in tranjitu per hoc fpatium at^ trahatur z>el impellatur perpendiculariter feu Ly I q. & HMq, dartatti rationem habet ad fui ipfius quartam partem LMf. : ergo datur ratio ML^." LIq. ad ML q.y 8c divifiiri, ratio LIq. ad MLq.y & ratio di- midiata L J ad M L. Sed in omni triangulo LM /, finus angulo- rum funt proportionales lateribus oppofitk. Ergo datur ratio finus anguli incidendae LMR ad finum anguli emergendae LIR. Qi E. E). Cas. 2. Tranfeat jam corpus fuccelTiy e per fpatia plura paral- lelis planis terminata, AabBy BhcC Sec. & agitetur vi quae fit in fingulis feparadm uniformis, at in diverfis diverfa ^ & per jam demonftrata, finus incidendae in planum primum erit ad fi- num emergentiae ex plano fecundo Bhy in data ratione. j & hic fi- nus, qui efl: finus incidendse in planum fecundum Bhy erit ad fi- num C 229 ] nuin eniergentiae explano tertio Cc, in data ratione, Sc hic finus ad finum emergentiai ex plano quarto I^dj in data ratione , & fic in infinitum; & ex aequo linus incidentia in planum primum ad linum emergentiae ex plano ultimo in data ratione. Minuatur )am planorum intervalla & augeatur numerus in infinitum, eo utattra61i- onis vel impuirus adio fecundum legem quam- cunq^ aflignatam conti- nua reddarur ^ & ratio fi- nus incidentiae in planum primum ad Hivum emer- e^entiae ex plano uldino, femper data exiitriis, e- tiamnum dabitur. <4:. E-. D. Prop. XCV. Theor. XLIX. lifclem pojitk ^ dico quod z>elocitas corporh ante incidentiam cji ad ejm ‘velocitatem poji emergentiam^ ut finm emergentiai ad fimtm incklentide. Capiantur AH^ Ic/ aequales, & erigantur perpendicula G, d K occurrentia lineis incidendae & emergentiae G H, Jif, in G K. In GH capiatur TH aequalis I/f, & ad planum A a de- mittatur normaliter T ‘v. Et per Legum Corol. 2. diftinguatur motus corporis in duos, unum planis Bb^ Cc &c. perpen- dicularem, alterum iifdem parallelum. Vis attra6fioni§ vel im~ pulfus agendo fecundum lineas perpendiculares nil mutat motum lecLinduni parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet ae- qualibus temporibus aequalia illa fecundum parallelas intervalla,, quae funt inter lineam AG Sc pun^fum H, interq^ pundum I Sc lineam d K j hoc eft, aequalibus temporibus deferibet lineas C H, IK, [=30] 1 K. Proinde velocitas ante incidentiam cfl ad velocitatem pofi: emcrgcntiain, ut G H ad / K vel T H, id eft, ut AH vel ad nj H, hoc efl: ( rcfpc^lu radii T H vel I K ) ut (iniis cmergentix* ad linum incidentise. Q^E. D. Prop. XCVI. Theor. L. lifclem pofitis c^^ q^wd motm ante incidentiam velocior fit quam pojl- ea : dico quod corpus^ inclinando lineam incidentik^ Ob- fervationibus diverforum Aflronomorum confirmata. Radii au- tem in aere exiftentes (ubi dudum Grimalclus^ luce per foramen in tenebrofum cubiculum admifla, invenit, & ipfe quoq^ expertus fum y in tranfltu fuo prope corporum vel opacorum vel perfpi- cuorum angulos (quales funt nummorum ex auro, argento & a:re cuforum ter- mini redanguli circulares, & cultrorum, lapidum au^ fradorum vitrorum acies ) incurvantur circum corpora, quafi at- tra(fl:i in eadem j & ex his radiis, qui in tranfltu illo.propiiis accedunt ad corpo- ra incurvantur magis,quafl magis attrac- ti, ut ipfe etiam diligenter obfervavi. In flgura deflgnat s aci- em cultri vel cunei cujufvis As Bj gorv og^ f n f\ c nit m e, dis Id funt radii, arcubus 0 iv 0^ n mt ;;/, Isl ver Ilis cui t riim incurvatij, idq; magis vel minus pro diflantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum flat in acre extra cultru^, de- bebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in a- cre quam cultrum attingunt. Et par efl; - ratio incidentium in VL- [ ®32 ] Vitrum, Fit igitur refragio, non in piin£i:o Incldentlae, fcd pau- latim per continuam incurvationem radiorum, fadam partim in aere antequam attingunt vitrum, pariim ("ni fallor)in vitro, poft- qiiam illud ingrefli funt : uti in radiis c l^Cj h iy ih^ahxha incidentibus ad r, inter 'i, / &JV5 h Sc X incurvatis, delineatum eft. Igitur ob analogiam quse eft inter pro- pagationem radiorum lucis Sc progrei- lum corporum, vifum efl: Propofitiones fequentes in ufus opticos fubjungere j in- terca de natura radiorum ( utrum (int corpora necne ) nihil omnino difputans, fcd trajc61:orias corporum trajedoriis radiorum perlimiles folum- modo determinans. Prop. XCVir. Prob. XLVII. P ofito quod fimis incidentis in fnperfjcient aliquam fit aci finum emer- gentis in data ratione^ quodq^ incurvatio vis corporum juxta fit- perfeiem illam f at in fpatio brevijfimo^quod ut punSinm confidera- ri pofpt':, determinare juperfeiem jus corpufcula omnia de loco da- to JucceJpve manantia convergere faciat ad alium locum datum. Sit A locus a quo corpufcula divergunt *, B locus in quem convergere debent ^ C DL curva linea quae circa axem A B revo- luta deferibat fuperheiem quaefitam •, P, E curvae illius pun61:a duo qii^vvis j Sc ITF, E G perpendicula in corporis vias A DB deniida. Accedat punflumP ad pundiumE, Sc lineae DF qua A D augetur, ad lineam D G qua D B diminuitur, ratio ultima erit eadem qux finus incidentiae ad finum emergentiae. Datur croro ratio incrementi lineae AD decrementum lineae D B ^ Sc prop^iea ii in axe AB fumatur ubivis pundum C, per quod curva C DE trandre debet, Sc cap’^afur ipfius AC incrementum CM, ad iplius B C dccrementiim C N in data ratione; centrilq; iS,& [ 233 ] B, 8c Intervallis AM^ defcribantur circuli duo fe mutuo fe- cantes in D : pundum illud D tanget curvam quaefitam CDE^ candemq*, ubivis tangendo determinabit. CU E. I. CorvL 1 . Faciendo autem ut pund:ura A vel B nunc abeat in infinitum, nunc migret ad alteras partes pun^fi C, habebuntur figurae illae omnes quas Cartefim in Optica & Geometria ad refra£i:iones expofuit. Quarum inventionem cum Cartefms maximi fecerit Sc ftudiofe celaverit, vifum fuit hic propofitione exponere. Corol. 2. Si corpus in fuperficiem quamvis CD^ fecundum lineam regiam A D lege quavis dudam incidens, emergat fecun-’ dum aliam quamvis re£i:am DK^ Sc a pun^io C duci intelligantur lineae curvse CP^ C Q^ipds AD^ DK fcmper perpendiculares; e- runt incrementa linearum P D, QDj atqi adeo lineae ipfae P Dj QJP-> incremen- tis iftis genitae, ut finiis in- cidendae Sc emergentiae ad invicem : Sc contra. ...AH Prop. XCVIII. Prob. XLVIII. lifdem popth^ ^ circa axem A B defcrifta fuperpeie qnacunq\ attraSii- ‘va CD, regulari F incidens pergere in linea FR, ad locum F. a E. D. Scholium, ...iH Eadem methodo pergere liceret ad fuperficies tres vel plures. Ad ufus autem Opticos maxime accommodata funt figura Spha- rka. Si Perfpic illorum vitra Objediva cx vitris duobus Sphari- ce C 23? ] _ ce figuratis Sc Aquam inter fe claudentibus conflentur, fieri po- tefi: ut a refra61:ionibus aquae errores refra^lionum, quae fiunt in vitrorum fuperficiebus extremis, fatis accurate corrigantur. Ta- lia autem vitra Obje6i:iva vitris Ellipticis 8c Hyperbolicis praefe- renda funt, non folum quod facilius & accuratius formari pofilnt, fed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri fitos accu- ratius refringant. Verum tamendiverfa diverforum radiorum re- frangibilitas impedimento efl;, quo minus Optica per figuras vel Sphaericas vel alias quafcunq^ perfici pofTit. Nifi corrigi poffint errores illinc oriundi, labor omnis in caeteris corrigendis imperite collocabitur. DE [ 33^ ] D E MOTU CORPORUM Liber SECUNDUS. S E C T I De Motu corporum quibus refijiitur in ratione ‘z^elocitath, Prop. I. Theor. I. Corporis^ cui refjflitur in ratione velocitatis^ motus ex refiflentia a- mijfus eji ut fpatium movendo confeBum. Am cum motus {ingulis temporis particulis ami/Tus Cit ut _ velocitas, hoc efr ut itineris confeSi particula : erit com- ponendo motus toto tempore amilTus ut iter totum. Q. E. D. Corol. Igitur fi corpus gravitate omni deftitutum in fpatiis li- beris fola vi infita moveatur, ac detur tum motus totus fub initio, tum etiam motus reliquus poli: fpatium aliquod confe^Ium, da- bitur fpatium totum quod corpus infinito tempore deferibere po- teft. Erit enim fpatium illud ad fpatium jam deferiptum ut motus totus fub initio ad motus illius partem amifiam. Lem C 237 ] Lemma. F. Quantitates differentiis fuis proportionales^ funt continue proportiona- les. Sit \ 2id A — B ut B 3id B — C Sc C 2Ld C—D Scc. Sc dividen- do fiet ^ ad jB ut B ad C & C ad D Scc. CL E. D. Prop. II. Theor. II. Si corpori refiflitur in ratione ^velocitatis^ ^ fola ^i injita per Medi- um fimilare moveatur^ fumantur autem tempora qualia : ‘velocita- tes in principiis fingulorum temporum funt in progreffione Geome- trica^ fpatia fingulis temporibus deferipta funt ut ‘veloci- tates. Cas. I. Dividatur tempus in particulas aequales, Sc fi ipfis particularum initiis agat vis refiftenrix impulfu unico, quae lit ut velocitas, erit decrementum velocitatis fingulis temporis particu- lis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis fuis pro- portionales, & propterca ( per Lem. I. Lib. II, ) continue pro- portionales. Proinde fi ex aequali particularum numero compo- nantur tempora quaelibet aequalia, erunt velocitates ipfis tempo- rum initiis, ut termini in progreffione continua, qui per faltuni capiuntur, oiniflo pafiim aequali terminorum intermediorum nu- mero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex ae- qualibus rationibus terminorum intermediorum aequaliter repeti- tis, & propterea funt aequales. Igitur velocitates his terminis proportionales, funt in progreffione Geometrica. Minuantur }am aequales illae temporum particuLe, & augeatur earum nume- rus in infinitum, eo ut refiftentiae impulfus reddatur continuus, &; velocitates in principiis aqualium temporum, femper continue proportionales, erunt in hoc etiam Cafu continue proportiona- les. CLE. D. Cas. Cas. 2. Et divlfim velocitatum differentiae, hoc eff carum partes fingulis temporibus amif&, funt ut totae: Spatia autem lingulis temporibus deferipta funt ut velocitatum partes amiffae, ( per Prop. 1. Lib. II. ) & propterea etiam ut tot*. E. D. Corol. Hinc fi Afymptotis rc£i:angulis ADC^ CH deferibatur Hypei bola B G, lintq j A D G ad Afymptoton A C perpendi- culares, & exponatur tum corporis velocitas tum refiftentia Me- dii, ipfo motus initio, per lineam quamvis datam AC^ elapfo autem tempore aliquo per lineam indefinitam D C : exponi potefi: tempus per aream ABGDj & ipatium eo tempore deferiptum per lineam A D. Nam fi arca illa per motum pundi D augeatur uniformiter ad modum temporis, decreffet re6la D C in ratione Geometrica ad modum velocitatis, & partes re6i:* A C aequalibus temporibus deferiptae decrefeent in eadem ratione. Prop. III. Prob. I. Corpork^ cui dum in Medio fimilari reSla afeendit ^el defeendit^ re- fiflitnr in ratione ‘velocitatk^ qnodq\ ah uniformi gravitate urgetur ^ defnire motum. Corpore afeendente, ex- ponatur gravitas per datum quodvis rc^Iangiilum i>C, & refiftentia Medii initio af- cenfus per rcGangulum B D fumptum ad contrarias par- tes. Afymptotis reifrangu- lis CH, per pun6i:um B deferibatur HyperboJa fecans perpendicula £, in G, ^ ^ & corpus afeendendo, tem- pore DGgdy deferibet Ipatium E G^ e, tempore DGBA fpati- um C 23P ] rim arcenfus totius EGB^ tempore JB2G2D fpatium defccn- fus BF2G, atqi tempore nDiGig id fpatium dcfcenfus iG F 26 'ig: 8e velocitates corporis ( refiftentiae Medii propor- tionales ) in horum temporum periodis erunt ABED^ ABed^ nulla, ABf^Dj ABi.eo.d refpe^live^ atq; maxima velocitas, quam corpus defcendendo poteft acquirere, erit FC. Refolvatur enim reflangulum AH \n rcclangula innumera Jk., Ki, Lm^ Mw, &c. quae fint ut incrementa velocitatum aequalibus totidem temporibus fada i & erunt nihil, Ak^^ Al^ Antj An^ 8cc. ut velocitates totae, atq^ adeo (" per Hypothefin ) ut refiftentia Medii in principio finguloium tem- porum aequalium. Fht AC ad A K vel ABHC ad ABk^K^ ut vis gravitatis ad reliftentiam in princi- pio temporis fecundi, deq; vi gravitatis fubdiicantur rehftentiae, 8e manebunt ABHC, KhJdC, LIHC, Nfi HC, Scc. ut vires abfokit^ quibus corpus in principio fingu- lorum temporum urgetur, atq; adeo per motus Legem 11. J ut increme nta velocitatum, id eft, ut redangula K /, Lm, Mn 8tc^ Sc propterea ( per Lem. I. Lib. II. ) in progreflione Geometrica. Qiiare fi redae /f^, L/, Mm, Nn&cc. produdae oc- currant Hyperbolae in q,r, s, t &c. erunt arete ABqK, KqrL, LrsM, MstN Scc. aequales, adeoq; tum temporibus tum viri- bus gravitatis fem per aequalibus analogae. Eh: autem area ABqK C per Corol. 5 Lem. Vil. & Lcm.*VIlI. Lib. I.)ad aream Bh^q ut Kq ad ^h^q AC ad \ A K, hoc eft ut vis gravitatis ad re- Ijftentiam in medio temporis primi. Et fimili argumento arcae qKLr, rLMs, s MHt, Scc. {unt ad arcas qkjr, rlms,smnt' &c. ut vires gravitatis ad refiAentias in medio temporis fecundi, ter- [ 34° ] rertii, quarti, Scc. Proinde cum areae aequales BAKq^ qKLr^ rLMsy sMNtj 8ec. fint viribus grauitatis analogae, erunt arcae rlws^ smnt^ Scc. relirtcntiis in inediis fingu Iorum temporum, hoc efl:, ( per Hypothelin ) velocitati- bus, atqj adeo dcicriptis ipatiis analogse. Suman- tur analogarum fuminae, Sc erunt areae B kjj B Ir^Bms^ B ;/t, Scc. fpatiis totis de- feriptis analogae i necnon are^t ABqK^ ABrL^ ABsMj A Bt N^Sic. tem- poribus. Corpus igitur inter defccndcndum, tempore quovis A - BrLy deferibit fpatium /r, & tempore LrtN fpatium rlnt, Q, E. D. Et fimilis eft demonftratio motus expoliti in arcenfu. a E. D. CoroL I . Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potefl acquirere, efl: ad velocitatem dato quovis tempore acquilltam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excelTum vis hujus fupra vim qua in fine temporis illius refiftitur. Corol. '1. Tempore autem au^Io in progreflione Arithmetica, fumma velocitatis illius maximae ac velocitatis in arcenfu ( atq; etiam carundem differentia in defcenfu ) decrefeit in progreffio- ne Geometrica. Corol. 3. Sed & differentiae fpatiorum, quae in aequalibus tempo- rum differentiis deferibuntur, decrefeunt in eadem progreflione Geometrica. Corol 4. Spatium vero a corpore deferiptum differentia efi: duorum fpatiorum, quorum alterum eft ut tempus fumptum ab initio defcenfus, & alterum ut velocitas, qiis etiam ipfo defeen- fus initio aequa ntux inter fe. Prop. ■ C H' ] Prop. IV. Prob. If. Fofito quod granjitatk in Medio aliquo fimilari uniformk fit^ ac tendat perpendiculariter ad planum Hori^ontk \ definire motum Proje5lilk^ in eodem rcjifientiam ‘iielocitati proportionalem patien- tk. E loco quovis D egrediatur Proje^lile fecundum lineam qiiam-- vis regiam DjP, & per longitudinem DP exponatur ejufdem velocitas fub initio motus. A puri £i:ajP ad lineam Horizonta- lem DC demittatur perpendiculum P tk fecetur DC in A ut {it DA a.d C ut refiftentia Medii ex motu in altitudinem fubini- tio orta, ad vim gravitatis; vel ( quod perinde eft^ ut fit rcd-~ angulum fub DA Sc D P ad re^fangulum fub AC Sc P C ut refiftentia tota fub initio motus ad vim Gravi-- tatis. Defcribatur Hyper- bola qusevis GPBS fecans creda perpendicula DG, AB in G i> ; & complea- tur parallelogrammum DG- KC^ cujus latus Gif fecet AB m 0^ Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC fit 2id CP & ad redae DC pundum quod vis R eredb per- • pendiculoRT, quod .Hyperbolae in T, & redis GK^DP mt tGi & V occurrat; in eo cape V r aequalem & Projedile tempo» re DKTG perveniet ad pundum r, defcribens curvam lineam DraF^ quam pundum r fcmper tangit ; perveniens autem ad maximam altitudinem in perpendiculo & poflca fcmper H k apr [ 242 ] appropinquans ad Afymptoton PLC. Eftq; velocitas ejus in pun6i:o quovis r ut Curv« Tangens rL. Q^E. D. Eft enim N ad (IB ut DC ad C E [cuDRzd RV^ adeoq; R V xqualis ^ R r(f id eft R K - Kr feu DRxAB-KDGT ^ xqualis — r^xponatur ;am tempus per a- ream RDGT^ a r ^) tunc eCi Sid DR ut AB — AO C feu N ^ ^ (IB ) ad N, id eP: ut C P ad D C ^ atq; adeo ut mo- tus in altitudinem ad mo- tum in longitudinem fub initio. Cum igitur R r fem- per fit ut altitudo, ac DR femper ut longitudo, atq; jfv r ad D R fiib initio ut al- titudo ad lonaitudincm .• neceffe cfl: ut Rr femper fit ad D R ut altitudo ad longitudinem, & propte- rea ut corpus moveatur in linea Dr aF^ quam pun^lum r perpe- tuo tangit. Q, E. D. Corol. I. Hinc ii Vertice D, Diametro DE deorfum produc- ta, & latere redo quod fit ad 2D P ut reiiftentia tota, ipfo mo- tus C H3 ] tus initio, ad vim gravitatis, Parabola confiruatur; velocitas qua- cum corpus exire debet de loco D fecundum reflam D P, ut in Me- dio uniformi refiftente defcribat Curvam £>r ^ F, ea ipfa erit qua- cum exire debet de eodem loco D, fecundum eandem regiam D R, ut in {patio non refiftente defcribat Parabolam.. Nam Latus redum Parabok hujus , ipfo motus initio, eft 3^ V r V r eft— ^ ^ ieu — ^ vt— ♦ Re^a autem, ause fi duceretur, iV 2 ?v ^ ’ Hyperbolam G TF tangeret in G, parallela efl; ipfiDiif, ideoq; Tt eft CKxDK DC , ScNerat OBxDC "cp Et propterea Vr efi id eft ( ob proportionales DRSc DC^ DV ^ xC^xCF Latu, prodit 2 U P q.X 2J> r r. r proportionales g B SeC K^D AScA t/ iL X C i adeoq; ad 2DF ut D P xD A Sid P C x A C hoc ACxCP eft ut reliftentia ad gravitatem. CL E. D. Corol. 2- Unde fi corpus de loco quovis D, data cum veloci- tate, fecundum re6i:am quamvis politione datam DP projicia- tur, & reliftentia Medii ipfo motus initio detur, inveniri poteft Curva DraF, quam corpus idem deferibet. • Nam ex data ve- locitate datur latus redum Parabolae, ut notum eft. Et fumendo 2DF ad latus illud recium ut eft vis Gravitatis ad vim refiften- tiae, datur DF. Dein fecando DC in A^ ut flcCPxACad DP xDA in eadem illa ratione Gravitatis ad refiftentiam, dabi- tur puniftum A, Et inde datur Curva 0raF. Corol. 3. Et contra, fi datur curva DraF, dabitur Sc veloci- tas corporis 8c refiftentia Medii in locis fingulis r. Nam cx da- H h 2 ta [ 244 ] u ratione CPxAC 2id DPxDA^ datur tum refiftentia Medii fub initio morus, tum latus reflum Parabolae : &: inde datur eti- am velocitas fub initio motus. Deinde ex longitudine tangen- tis rL, datur & huic proportionalis velocitas, velocitati pro- portioiialis rehftentia in loco quovis r. Corol. 4. Cum autem longitudo 2DP P\t ad latus replum Parabolae ut gravitas ad refiftentiam in D ^ & ex au£i-a Veloci- tate augeatur 'refiftentia in eadem ratione, at latus redum Pa- rabolae augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem qDF augeri in ratione illafimplici, adeoq; velocitati femper pro- portionalem elPe, neq^ ex angulo CDP mutato augeri vel minui, nili mutetur quoq^ velocitas. Corol. Unde liquet methodus determinandi Curvam Dr^^F ex Phaenominis quamproxime, & inde colligendi rehftentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo iimilia Sc aequalia eadem cum velocitate, de loco D, fecundum angulos diverfos C DF, c D p (minufcvihrum literarum locis fub- intelle^lis ) & cognofeantur loca F, ubi incidunt in horizontale planum DC. Tum affumpta qiiacunq^ longitudine pro D P vel Dp, fingatur quod refiftentia in D fit ad gravitatem in rati- one qualibet, Sc exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde per computationem, ex longitudine illa afiumpta D F, inveniantur longitudines D F, Df^ ac de ratione per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum in- venta, & exponatur difterentia per perpendiculum MN. Idem fac iterum ac tertio, alfumendo femper novam re- fifiientise ad gravitatem rationem 5M, ^ fe colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem difierenti* affirmati- va: ad unam partem reciae vSM, & negativae ad alteram, & per punda Ny N, N agatur curva regularis NNN fecans regiam 5M- Id T ' -iv I ] SMMM inX, Sc erit SX vera ratio rcfiftcntiae ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda efl; longi- tudo D F per calculum j & longitudo quae Gc ad aflumptam lon- gitudincm DF ut modo inventa longitudo I) Fad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudo D P. Qua inventa, habetur tum Curva Linea DraF qusim corpus dc- feribit, tum corporis velocitas Sc refiftentia in locis fingulis. Scholmm, Caeterum corpora refifti in ratione velocitatis Hypothelis eft magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet haec ratio quam* proxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo praeditis tardiffime moventur. In Mediis autem quae rigore omni vacant ( uti poft- hac demonftrabitur ) corpora refiftuntur in duplicata ratione ve- locitatum. A£i:ione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione ma- joris velocitatis, adeoq^ tempore aequali ( ob majorem Medii quantitatem perturbatam ) communicatur motus in duplicata ratione major ^ eftq^ refiftentia ( per motus Legem 2. 3. ) ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege Refiftentiae. SECT. 1 -[ J SECTU De motu corporum quibus refijlitur in duplicata ratione ‘velocitatum. Prop. V. Thcor. IIL Si corpori rejijiitur in ‘velocitatis ratione duplicata^ ^ fola ‘vi injita per Medium fimilare mo‘veturj tempora •vero fumantur in progref fione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente : dico quod ‘velocitates initio ftngulorum temporum funt in eadem progref- fione Geometrica in‘verfe^ ^ quod fpatia funt a: qualia quae fin gu- lis temporibus defcribuntur. Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis eft refiften- tia Medii, 8c refiftentiae proportionale cft decrementum veloci- tatis ; fi tempus in particulas innumeras aequales dividatur, qua- drata velocitatum fingulis temporum initiis erunt velocitatum e- arundem differentiis proportionales. Sunto temporis particulae iWx AKj KLj L M, &c. in redla C D ffimptae, & erigantur perpen- dicula A By K L Ij M &c. Hy- perbolae B hj m Gy centro C Afymp- totis reclangulis C C /djdefcriptae occurrentia in B, /, ;;;, &c. & erit AB 2id K h^wt C K ad C & divifim AB — K 3.d K k^ut AK 2idC Ay & vicifiim AB— Kk^ ad A K ut K ^ad C Ay adeoq^ ut AB xK^ad ABxCA. Unde cum A K Sc A BxC A dentuty erit AB — K \ut ABxKh^y & ulti- mo, ubi coeunt AB ScKk^y ut AB q. Et fimili argumento e- runt 1 H7 1 runt K LlyLl — M &c. ut K h^q. , Llq. Scc. Linearum igitur AByKh^^ Ll^Mm quadrata funt ut earundem diftctcn- tiae, & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipfarum differentia^, fimilis erit ambarum progrefllo. Quo demonftra- to, confequens eft etiam ut areae his lineis defcriptae fint in pro- gredi one confimili cum fpatiis quae velocitatibus dcfcribuntur. Ergo fi velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam A Sc velocitas initio fecundi if L per lineam Se longitudo primo tempore deferipta per arcam A K l^B , velocitates omnes lubreqiientes exponentur per lineas fubfequentes L /, Mm^ Scc. Se longitudines deferiptae per areas if /, L;;/, &c. Sc compofite, fi tempus totum exponatur per fummam partium fuarum AM^ longitudo tota deferipta exponetur per fummam partium fuarum AMmB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK.^ K L.,L A/, Scc. ut fint C AjC C L., C A/, Scc. in progreffione Geometrica, Sc erunt partes illae in eadem progreffione, Sc velo- citates ABjKk^.^ Ll^ Mm., Scc. in progreffione eadem inverfa, atq^ ipatia deferipta Ah^., Kl., Lw, Scc. aequalia. Q^E. D. Corol. I . Patet ergo quod fi tempus exponatur per Afymptoti partem quamvis A D^Sc velocitas in principio temporis per ordina- tim applicatam velocitas in fine temporis exponetur per or- dinatam D G, & fpatium totum defer iptum per aream Hyperbo- licam adjacentem ABGD-, necnon fpatium quod coipus ali- quod eodem tempore ADj velocitate prima y^l>, in Medio noii reliffente deferibere poffet, per reGangulum. ABxA D. Corol. 0.. Unde datur fparium in Medio rcfiftcnte deferiptum, capi ndo illud ad fpatium quod velocitate uniformi A B in Me- dio non refiftente limul deferibi poffiet, ut eft arca Hyperbolica ABC D 3id reflan gul um AB xA D. Corol. Datur etiam refiftentia Medii, ftatuendo eam ipfo motus initio aqualem effie vi uniformi centripeta, qua, in caden- te corpore, tempore C, in Medio non refiftente, generare poffet velocitatem AB. Nam fi ducatur B l qua tangat Hyperboiam in C h8 ] ^ m & occurrat Afymptoto in Tj icdi2LAT aequalis erit ipii A Se tempus exponet quo relTftentia prima uniformiter continuata tollere poflet velocitatem totam A B. Corel. 4. Et inde datur etiam proportio hujus refiftentiae ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam. Corol. Et viceverfa, fi datur proportio refiftentiae ad datam quamvis vim centripetam, datur tempus A C, quo vis cen- tripeta rcfiftentiae aequalis generare poffit velocitatem quamvis ABjSe inde datur pun^lum B per quod Hyperbola Afymptotis C H, CD deferibi debet ; ut Se fpatium AB GDj quod corpus incipiendo motum fuum cum velocitate illa A i>, tempore quo- vis A_Dy in Medio fimilari rellflicnte deferibere poteft. Prop. VI. Theor. IV. Corpora Sphd’rica honwgenea ^ deqtialia.^ rejijievtiis in duplicata ra- tione ‘velocitatum impedita^ folis ‘virihtcs injitis incitatay teni' poribm qu^ funt reciproce ut velocitates fub initio^ deferibunt fem- per xqualia fpatia^ ^ amittunt partes velocitatum proportionales totk. Afymptotis re(5iangulis C £), CH delcripta Hyperbola quavis BbEe fecante perpendicula^ A B^ a />, PEyde^ in />, £, e^ exponantur velocitates initi- ales per perpendicula AB, DE^Se tempora per lineas Aa^ DdS Efi: ergo mAa ad Dd itA ( per PlypothelTn ^ DE ad &ita exnatu-- ra Hyperbolae ) C ad BD ; Se componendo, ita Ca ad C d. Ergo areae A Bbay DEedj^ hoc eft fpatia deferipta aequantur inter fe, Sc velocitates primae^ AB; C 249 ] DE funt ultimis abj de^ Sc propterea C dividendo ) paiv tibus etiam fuis amiflis AB^ab^ DE — de proportionales, aE. D. Prop, VII. Theor. V. Corpora Sphaerica quibus refijiitur in duplicata ratione velocitatum^ temporibus quje funt ut motus primi direBe refijientia: prima; inverfcj amittent partes motuum proportionales totis^ fpatia ■ defer ibent temporibus ijiis in velocitates primas duBk proportio- nalia. Namqj motuum partes amiffae funt ut refiftentiae Sc tempora conjun^lim. Igitur ut partes illae lint totis proportionales, de- bebit reliftentia Sc corpus conjundim elfe utuiotus. Proinde tem- pus erit ut Motus dire£i:e Sc refiftentia inverfe. Quare tempo- rum particulis in ea ratione fumptis, corpora amittent femper particulas motuum proportionales totis, adeoqj retinebunt velo- citates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, dc- feribent femper fpatia quae funt ut velocitates primae Sc tempora conjundim. Q:^E. D. Corol. I. Igitur fi aequi velocia corpora refifiuntur in duplica- ta ratione diametrorum, Globi homogeneiqiiibufcunq ;cum ve- lociiatibus moti, deferibendo fpatia diametris fuis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Glo- bi cujufq; erit ut ejus velocitas Sc MalTa conjun6i:im, id efl: ut veloci- tas Sc cubus diametri i refiftentia (f per HypothefinJ) erit ut quadra- tum diametri Sc quadratum velocitatis conjun^lim, Sc tempus ( per hanc Propofitionem) efl: in ratione priore dire^le Sc ratione pofteri- ore inverfe, id efl; ut diameter diredfe Sc velocitas inverfe; adeoq; fpatium ( tempori Sc velocitati proportionale) efl; ut diameter. Corol. 2. Si aequivelocia corpora refifiuntur in ratione fcfqui- aircra diametrorum: Globi homogenei quibufcunq; cum velccb tatibus moti, deferibendo fpatia in fefquialtera ratione diametro- I i rum. [ =5° ] _ rum, amittent partes motuum proportionales totis. Nam tem- pus augetur in ratione rcfiftentiae diminutae, 8c fpatiuin augetur in ratione temporis. CoroL 3. Et univerfaliter, fi aequivelocia corpora refifiuntur in ratione dignitatis cujufcunqj diametrorum, fpatia quibus Globi homogenei, quibufcunqj cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dig- nitatem illam applicata. Sunto diametri D & & fi refiftcn- tiae fint ut fpatia quibus amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut D ~ • Igitur deferi- bendo fpatia ipfis D3~^&;£3— proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac fub initio. CoroL 4. Quod fi Globi non fint homogenei, fpatium a Glo- bo denfiore deferiptum augeri debet in ratione deiifitatis. Mo- tus enim fub pari velocitate major eft in ratione denfiratis, Se tempus ( per hanc Propofitionern ) augetur in ratione motus di- re^le, ac fpatium deferiptum in ratione temporis. CoroL 5. Kt fi Globi moveantur in Mediis diverfi.^ fpatium in Medio, quod creteris paribus magis refiftit, diminuendum erit in ratione majoris refifienriar. Tempus enim ( piT hanc Propoli ti- onem ) diminuetur in ratione refiftentire, 8c ipatium in ratione temporis. Lemma. II. Momejjttim dcquatur momentis Terminorum fmgtdorum gene- rantium in eorundem laterum indices dignitatum coeffi cientia continue duBis. Genitam voco quantitatem omnem quae ex Terminis quibuf- ennq; in Arithmetica per multiplicationem, divifionem & extrac- tionem radicum 5 in Geometria per inventionem vel contento- rum laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium ablqj additione Sc fubduftione generatur. Ejufmodi quantita- tes , C*50 tes funt Fa(!l:i, Quoti, Radices, rc^angula, quadrata, cubi, la- tera quadrata, latera cubica &: (imilcs. Has quantitates ut in de- terminatas & inftabiles, & quafi motu fluxuve perpetuo crelcen- tes vel decrefeentes hic confidero, & eorum incrementa vel decre- menta momentanea fub nomine momentorum intelligo : ita ut in- crementa pro momentis addititiis feu affirmativis, ac decrementa pro liibduditiis feu negativis habeantur. Cave tamen intellexe- ris particulas finitas. Momenta, quam primum finitae funt mag- nitudinis, definuntefiTe momenta. Finiri enim repugnat aliquate- nus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda funt principia jamjam nalcentia finitarum magnitudinum. Neq; enim fpe6i:atur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, fed pri- ma na I centium proportio. Eodem recidit fi loco momentorum ufurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (" quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nomi- nare licet ) vel finitae quaevis quantitates velocitatibus hifcc proportionales. Termini autem cujufq^ Generantis coefficiens efl: quantitas, quae oritur applicando Genitam ad hunc Terminum. Igitur fenfus Lemmatis efl, ut fi quantitatum quarumcunq; per- petuo motu crefeentium vel decrefeentium R, C, &c. Mo- menta, vel mutationum velocitates dicantur AU AU & Jx momenta 2Aa^ 3^^% A \ ia A^'* xaA^^\aA~^'>iaA~^'>—aA ^ —2aA ^ —ia A~^ vc- % 3 fpe(flive. Et generaliter ut dignitatis cuiufcunqj Am momentum fuerit — aA - . Item ut Genitae A macl. x B momentum fuerit m ^ 2aAB-\-A^h’t 6c Genitae C* momentum 3 4. 4 ^A' bB' 2 A' B^Cc \ 5c Genitx five A'B " inomcn- tum ^aA^ B ^2A'bB ^ : Sc fic in cateris, Dcmorflratur vero Lemma in hunc modum. C 3 Cas. 1. Rcdangulum quodvis motu perpetuo au6i:um ubi dc lateribus A 8c B deerant momentorum dimidia ia (iiitA — ia in B —i A B— i a B — i A b-]r i ah-, Sc quam primum latera A Sc B alteris momentorum dimidiis auci^a 1'unt, evadit A i am B i h feu AB-\-iaB-\riAh-hiah. De lioc re6i:angulo fubducatur re^langulum prius, & manebit cxceflus aB-\-Ah. Igitur laterum incrementis totis & b generatur rcc- tanguli incrementum aB-\- Ah. Q. E. D. Cas. 2. Ponatur aequale C, 8c contenti ABC feu CC mo- mentum ( per Cas. i . ) crit^ C + C f,*id efr ( fi pro G Sc g feri- bantur ABScaB-^Ab^aBC-^-AbC-^-ABc. Et par efi; ratio contenti fub lateribus quotcunq^. CE E* D. C^fo. 3. Ponantur y^,B,C aequalia j & ipfius , id eft redan- guli ABy momentum aB-\- Ab erit 2aAy ipfius autem id efi: contenti ABCy momentum aBC-\- AbC A Bc erit '^aA^. Et eodem argumento momentum dignitatis cujulcunq; A^ efi: naA^~ ^ . CE E. D. Cas. 4. Unde cum -- in fit i, momcntLim ipfius -1 duc- ^ A -A tum in Ay una cum i duflo in^ erit momentum ipfius i, id efr A nihil. Proinde momentum ipfius i feu A * efi;-^. Et gc- A- ncraliter cum — in fit i, momentum ipfius - — A'^ ’ E A^ ( duplum in A,^ una cum"^ in jiaA^ erit nihil. Et propterea mo- mentum ipfius—;— feu yi/ ^\'rit D. Cets. 5. Et cum A""- in A * fit Ay momentum ipfius A '^ in 2 A"^ erit ay per Cas. q : ideoqj momentum ipfius A erit -A- five ^ 2Ai C 253 ] Et generaliter fi ponatur A ~ «qualem B, erit A i «quale B", ideoq; aquale «Z-B® & ' nh aequale nb3 * feu ^ m •> ^.dcoq, — d A ^ aequale ^ ^ id eft n ^ ^ T-v aequale momento ipfius . (i.E. t)* ’ ' Cos. 6. Igitur Genit« cujufcunq; jf' b” momentum eft mo- mentum ipfius dii6i:um in B , una cum momento ipfius h •du6i:o in , id cikma^ '\-nhB^ > idq; five digni- tatum indices m Sc n fint integri numeri vel fiacli, five affir- mativi vel negativi. Et par eft ratio contenti ffib pluribus dig- nitatibus. Q..E. D. ^ , V . Coro/. I. Hinc in continue proportionalibus, fi terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicari per numerum intervallorum inter ipfos 8c terminum datum. Sunto A^ B, C, D, E, F continue- proportionales; 8c fi detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter fc ut — — Bj Dj 'iE, 3F. Coro/. 2. Et fi in quatuor proportionalibus dux medix den- tur, momenta extremarum erunt ut exdem extreinx. Idem in- tclligendum eft de lateribus rcdlanguli cujurcunq; dati. Coro/. 3 . Et fi fumma vel diffei entia duorum quadratorum de- tur, momenta laterum erunt reciproce ut latera. Scholinnt. In literis qiix mihi cum Geometra peritiffimo G. G Lcil>mlio annis abhinc decem intercedebant, cum fignificarem me compo- tem efie methodi determinandi Maximas Sc Minimasp ducendi Tan- C ?14 3 , T^ingentes, peragendi, qux in terminis furdis ^que ac in rationalibus procederet, Sc literis tranfpofitis hanc fententiam involventibus Data aequatione quotcunq^ fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, Sc vice verfa J eandem celarem : re- tbripfit Vir Clarifllmus fe quoq^ in ejufmodi methodum incidilTe, & methodum fuam communicavit a mea vix abludentem praeter^ quam in verborum Sc notarum formulis. Utriufqj fundamentum continetur in hoc Lemmate. Prop, VIII. Theor. VL Si corpus in Medio nniformij Gravitate uniformiter agente^ reSia af cendat r Reciae AC^ qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis 8t ae- qualis ducatur A D. Centro D femidiametro A D deferibatur tum circuli Quadrans AtEy tum Hypcrbola redangula AVZ axem C 257 ] axem habens A X, verticem principalem A Sc Afymptoton D C. Jungantur Dp^D & erit Se£i^or circularis D ut tempus a- {cenilis omnis tuturi^ & Sedor Hyperbolicus ATD m tempus defcenfus omnis praeteriti. Cas I. Agatur enim abfeindens Sedoris ADt Sc trian- guli ADp momenta,- feu particulas quam minimas limul deferip- ADquad.i-Al^xADCcuADxCk^,^ qDpeikiADxpq. Er- go Sedoris particula Dt eft id cft, perCbroL Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fitTumma particu- larum omnium tD^ 'm vSedore A Dt^ ut fumma particularum temporis fingulis yelocitatis decrefeentis A p particulis amiills pq K k res- C ^8 ] , , rerpondcntliim,urq; dum velocitas illa in nihilum diininuw evanue- rit ; hoc eft, Sedor totus A Dted ut afcenfus totius futuri tempus. a E. D. Cos. 2. Agatur DQV abfeindens tum Sedoris D A tum tri- anguli d^particulas quam minimas TDVScPDQ^ f Se e- runt hae particulae ad invicem ut DTq. DP q. id eft ( fi TX Sc A P parallelae fint ) ut D X^. ad D vel TX^. ad AP q. 8c diviGm ut D Xq,~TXq. ad A D q. — A P q. Sed ex natura Hyperbole D X^. — T X^. efi: A Dq.^ 8c per Hypothefin A Pq. e^ADxAK. Ergo particulae funt ad invicem ut D ad ADq.-ADxAK',\d eft utADadAD-AK kuACadCK: ideoq; Sedoris partic ula TDV eft-^ ^deo ob datas AC Sc A ut^^i V ili Sc propterea per Corol. 5. Prop. viir . C2?pJ Vni. Llb. II. ut particula temporis incremento velocitatis F Qjc^ fpondens. Et componendo fit fumma particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulae E ^generantur, ut fum- ma particularum Seftoris ADT^ id efi: tempus totum ut Sedor totus. Q.E D. Corol. I. Hinc fi aequetur- quartae parti ipfius fpati* um A BKP^ quod corpus tempore quovis A TD cadendo de- feribit, erit ad fpatium quod corpus femiffe velocitatis maximae ACj ecdem tempore uniformiter progrediendo deferibere poteff, ut arca A BKPy qua fpatium cadendo deferiptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum fit ad AP utAP^dAK^ erit 2 aequale AC xK L per Corol j. Lem. II. hujus ) adeoq j KL P ut 2AP ad & inde L KN 2id P Qjc iAD Ceu D P 2jit 2APxKNsidiACxAD, Sed erat D P Q^2id DT F ut C K ad AC, Ergo ex aequo LKN e(\: ad DI F ut 2 A PxKNxCK ad iAC cub. ; id eft, ob ae- quales CKl^S^iACq. ^ ut A P ad AC'-, hoc eft ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus caden- do poteft acquirere. Cum igitur arearum ABKN & A FD momenta L /f N & DTF funt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes fimul genitae ut fpatia fimul deferipta, ide- oqj arcae totae ab initio genitae ABKN Sc AFD ut fpatia tota ab initio defcenfus deferipta. E D. Corol. 2. Idem confequitur etiam de fpatio quod in afcenfu defe ibitur. Nimirum quod fpatium illud omne fit ad fpatium, uniformi cum velocitate A C eodem tempore deferiptum, ut eft area A Bnh^ad Se6forem A Dt. Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis eft ad velocitatem, quam eodem tempore in fpatio non refiftente acqui- reret, ut triangulum AP D ad Seftorem Hyperbolicum AT D. Nam velocitas in Medio non refiftente foret ut tempus AT Dy Sc in Medio refiftente eft ut A F, id eft ut triangulum A P D. Et velocitates illae initio defcenfus aequantur inter fc, perinde ut arcae illae ATD^APD. Kk2 Corol, 260 ] Coro/. 4. Eodem argumento velocitas in afcenfu efl: ad veloci- tatem, qua corpus eodem tempore in fpatio non refiftente omnem fuum afcendendi motum amittere poflet, ut triangulum JpD ad Se6torem circularem AtD-) fi ve ut rc(5i:a Ap zd arcum At. Coro/. 5. Eft igitur tempus quo corpus in Medio refiftente cadendo velocitatem hP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in fpatio non refiftente cadendo acquirere pollet, ut Senior A DT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocita- tem A^ in Medio refiftente afeendendo poffit amittere, ad tem- pus quo velocitatem eandem in fpatio non refiftente afeenden- do pofiet amittere, ut arcus At ejus Tangentem Ap. Coro/. 6. Hinc ex dato tempore datur fpatium afcenfu vel defcenfu deferiptum. Nam corporis in infinitum defccndentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. 8c 3. Theor. Vf, Lib. II. indeq; datur & fpatium quod femilfe velocitatis illius dato tem- pore deferibi poteft, 8c tempus quo corpus velocitatem illam in fpatio non refiftente cadendo polfet acquirere. Et fumendo Sedorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione tem- porum^ dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area AB K hi vtl A B quae eft ad Scftorem ut fpatium quxfitum ad fpatium jam ante inventum. Corol. j. Et regrediendo, ex dato afcenfus veldefcenfus fpatio A B ^ vel A B N if , dabitur tempus ADt vcI AD T. Prop. X. Prob. III. Tettclat mifornm gravitatis direSie ad plamtm Hori^fitis^ fitq\ refjjientia at modii deiifitas quadratum veloatatisconjunHim:- requiritur tum Medii denjitas in loch fingidis^ qu^e faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur .fum corporis velocitas m iifdem locis. Sit A K planum illud plano Schematis perpendiculare*, ACK linea curva j C corpus in ipfa motum; & FCf reft:a ipfam tan- gens [ 2d2 ] gens in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad /C per lineam illam AC A, nunc vero regredi per eandem lineam j & in progrcflii impediri a Medio, in regrellii aque promoveri, j(ic ut in iirdera locis eadem femper lit corporis progredi- entis & regredientis velocitas. iEqualibus autem tempori- bus deferibat corpus progre- diens arcum quam minimum CG, 8c. corpus regrediens ar- cum Cgt, & fint CH, Ch lon- gitudines aequales rcClilineae, quas corpora de loco C exe- untia, his temporibus, ablq; Medii & Gravitatis a6}:ionibus deferiberent : Sc a punci:is C, G^g ad planum horizontale AK demittantur perpendicula C GD^ g quorum G D SLCgd tangenti occurrant inF & f. Per Me- dii refiftentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinisCH, deferibat folummodo longitudinem C & per vim gravitatis tranf- fertur corpus de F in G; adeoqj lineola HF vi refiftentiae, Se lineola FG vi gravitatis Caiul generantur. Proinde (" per Lem. X. Lib. 1.) lineola FG efl; ut vis gravitatis & quadratum tempo- ris conjundim, adeoq^ ( ob datam gravitatem ) ut quadratum temporis i & lineola H F ut refiftentia &: quadratum temporis, hoc efl: ut refiftentia & lineola FG. Et inde refiftentia fit ut HFdire£fe & FG inverfe, five ut— Hac ita fe habent in r G lineolis nafeentibus. Nam in lineolis finita magnitudinis ha ra- tiones non funt accurata. Et fimili argumento eft/^ ut quadratum temporis, adeoq; ob aqualia tempora aquatur ipfiFG^ & impulfus quo corpus re- grediens urgetur cft ut Sed impulfus corporis regredientis 8c, C 2^2 ] Sc lefiftcntla progredientis ipfo motus initio sequantur, adeoq^ Sc ipfis proportionales aequantur ; Sc propterea ob ae- quales fg Sc FGy aequantur etiam hf^ HF^ Tuntq^ adeo CF, CH ( vel C/; ) & Cf \n progreffione Arithmetica, & inde HFCe- midifterentia eft ipfarum CfScCFj Sc refiftentia quae fupra fuit HF n Cf-CF ut — — , elt ut — FG’ FG Eli: autem refiftentia ut Medii denfitas Sc quadratum veloci- tatis. Velocitas autem ut deferipta longitudo CFdircd:e Sc tem- C F pus V FG inverfe, hoc efl; ut adeoq-, quadratum veloci- tatis ut Quare refiftentia, ipfiq; proportionalis FG 1 ^ 1 A I FG efl: ut Medii tlenfitas Sc conjun^lim i Sc ii.de Medii dcnfl- t G tas ut- direde Sc iit FG inverfe, id efl ut tG C Fq. Q, E. D. Corol. I. Et hinc colligitur, quod (i in C/'capiatur Coaequalis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum k ^ fecans curvam C if in / ; fiet Medii denfitas ut- - --- — ^ — ^ . CFxjrG-^kl Erit enini/C ad kf ut V fg feu V FG ad V 0/, Sc divifimy^O^d OC, id eftCf-CFadCFut VFG-VO/ ad hocefi(ii ducatur terminus uterq; in V FG-f" ^ OO ut F G “ 0^ ■V FGxk^ly live adFG+O./. Nam ratio prima nafcentium 0^ + VFGxkJ Sc FG+O/ efl: aequalitatis. Scribatur itaq; pro ^ Medii denfitas, quae fuit ut FG-kl FGJ^hJ evadet ut C F X FG -)- hj Corol, [ 2<53 ] Coro/. 2. Unde cum 2 HF&: Cf-C Faequcntur, ScFG Sch^l ( oh rationem aequalitatis ) componant 2 fGj erit H F ad CF ut FG — kJ 2FG 'j Sc inde HF ad FG, hoc eft refiftentia ad gravitatem, ut rcdaiigulum CFin FG — ^/ ad 4 FGquad. Corol. 3. Et hinc fi curva linea definiatur per relationem inter bafem feu abfcilTam &: ordinarim applicatam BG moris eft ) & valor ordinatim applicatae refolvatur in ieriem conver- gentem : Problema per primos feriei terminos expedite folve- tur : ut in Exemplis lequentibus. Exempl. I . Sit Linea AC K femicirculus fiiper diametro A K dcfcriptus, & requiratur Medii denfitas quae faciat ut Projedile in hac linea moveatur. Bifecetur femicirculi diameter AK in 0 dicO K OB BC e, Sc BD vel B i 0: 8c erit F G f . feu 0 G — 0 D q. ae- quale nn'- aa — 2 ao — 00 feu e 0 — 2 ao — oo\ Sc radice per me- thodum noftram extra(ria, fiet FG = e— — ^7^ "" 8cc. Hic feribatur nn moeedrda^ & evadet F>G 2e 2e t ao nnoo cinno^ ^ = e — 1 ^ 5— Sre, e 2 e 2 e Hu^ufmodi Series diftinguo in terminos fuccefllvos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas in- finite parva 0 non extat j fe- cundum in quo quantitas illa extat unius dimenfionisj ter- tium ih quo extat duarum, quartum in quo trium eft, Sc fic in infinitum. Et primus terminus, qui hic eft e, denotabit femper longitudinem ordinatae BC infiftentis ad indefinitae quantitatis initium B3 fecundus termi- nus [ 564 ] nus qui hic cfl-—, denotabit differentiam inter BC ScDF^ id eft lineolam /F,qu« abfcinditur complendo parallelogrammum BC- I Dy atqj adeo pofitioneni Tangentis C F femper determinat : ut in hoc cafu capiendo IFad IC ut cft-y ad o feu a ad e. Ter- nnOo minus tertius, qui hic defignabit lineolam FG, quae ;acet inter Tangentem 8c Curvam, adeoqj determinat angulum con- tadius FC Gjfeu curvaturam quam curva linea habet in C. Si li- neola illa FG finitae eft magnitudinis, delignabitur per termi- num tertium una cum fubrequentibus in infinitum. At fi lineo- la illa minuatur in infinitum, termini fublequentes evadent infi- nite minores tertio, ideoq^ negligi poliunt. Terminus quartus, qui hic eft exhibet variationem Curvaturae j quintus varia- tionem variationis, Sc fic deinceps. Unde obiter patet ufiis non contemnendus harum Serierum in folutione Problematum, quae pendent a Tangentibus & curvatura Curvamm. Praeterea C F eft latus quadrarum ex C & 7 Fq. hoc eft ex BDq.Sc quadrato termini fecundi. Eftqj FGFkJ aequalis du- plo termini tertii. Si FG — kj aequalis duplo quarti. Nam va- lor ipfius D G convertitur in valorem ipfius i /, Si valor ipfius FG in valorem ipfius kj^ feribendo B i pro B D, feu — o pro -f o. Proinde cum FG fit — nn 0 0 2 e an noi^ &c. erit — nnoo I 2 anno 2 - Scc. Et horum fumma eft nnoo differentia — an no^ Terminum quintum St fequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate confiderandi veniant. Itaq^ fi de- fignetur Series univerfaliter his terminis ^2^— — 5* Stc. erit CF aequalis V (? C) 3 FG + aequalis Sc FG — aqualis 2 Pro CF, FG+V ^ FG—hJ feribantur hi FG — kl hi earum valores, & Medii denfitas quae erat nV . Deducendo igitur Problema unum- pmnetut^^„^ quodq^ ad feriem' convergentem, 8c hic pro Q, R Sc S fcriben- do terminos {erieiipfis reCpondentes j deinde etiam ponendo le- fiftentiam Medii in loco quovis G efle ad Gravitatem utSV i ad 2RR; Sc velocitatem efle illam ipfam quacum corpus, de lo- co C fecundum re£iam CF egrediens, in. Parabola, diametrum CB & latus reaum-ii^^ habente, deinceps moveri poflTet, folvetur Problema. „ Sic in Problemate )am folvendo, fi fcribantur ^ ^ “h ^ pro V .1 _p ^ pro K, & prodibit Medii den- ^ ^ 0 R iitas ut — , hoc eft ( ob datam « ) 7 ^ ut Tan- n e gentis longitudo illa CT, quae ad femidiametrum OLipfi AK normaliter infiftentem termi- natur j Sc refiftentia erit ad gra- vitatem ut a ad fiy id efl: ut 0 B ad circuli femidiametrum 0 if , velocitas autem erit ut V 2BC, Igitur fi corpus C certa cum velocitate, fecun- dum lineam ipfi 0 K paralle- lam, exeat de loco L, & Me- dii denfitas in fingulis locis C fit ut longitudo tangentis C T, & refiftentia etiam in loco aliquo C fit ad virn gravitatis ut 0 B ad 0 if j corpus illud defcribet circuli quadrantem LC K. O^E.l, At fi corpus idem de loco A fecundum lineam ipfi A K pcr- L l pen- [] ^66 ] pendicularem egrederetur, fumenda eflet OB{qu a ad contrari- as partes centri 0, & propterea fignum ejus mutandum eflet, & feribendum — a pro + a. Quo pa6i:o prodiret Medii denfitas ut — y. Negativam autem denfitatem ( hoc efl: quae motus cor- porum accelerat ) Natura non admittit, & propterea naturali- ter fieri non potefi: ut corpus afeendendo ab A deferibat circuli quadrantem A L. Ad hunc cffcdlum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a refiftente impediri. ExempL 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens 0 L ho- rizonti AK perpendicularem, &: requiratur Medii denfitas quae faciat ut proje6i:ile in ipfa moveatur. Ex natura Parabolae, re6i:angulum ADK aequale efl: re6i:an- giilo fub ordinata DG Sc re£la aliqua data : hoc efl, fi dican- tur reda illa h^AB AK BC e Sc BD o -, redangulum a^ho in c —a — o{Q\\ a c — aa — 'i ao c o — oo aquale cft redangulo^ in DG, adeoqj DG aquale ac — aa . c 1 T “ 2 a 0 0 j r* • 0 —~r . Jam Icri- bendus eflet hujus feriei fecundus terminus —y- 0 pro & ejus coefficiens ~ — pro Qj) tertius item terminus pro Kooy Sc ejus coefiiciens y pro R, Cum vero plures non fint termini, debebit quarti termini coefficiens 5 evanefeere, & propterea quantitas ^ ^ cui Medii denfitas proportionalis ^ft, ni- hil erit. Nulla igitur Medii denfitate movebitur Projedile in Parabola, uti olim demonftravit Galilaeus. E. I. ExempL 3. Sit linea y4G 2f Hyperbola, Afymptoton habens N X plano horizontali A K perpendicularem *, Se quaratur Me- dii denfitas qua faciat ut Projedile moveatur in hac linea. Sit M X Afymptotos altera, ordinatim applicatae D G pro- duda C 5<^7 3 duSae occurrens in F, Sc ex natura Hyperbole, reftangulum XV in VG dabitur. Da- tur autem ra- tio r> N ad VXySc prop- ter ea datur e- tiam re£i:an- gulumDNin VG. Sit il- lud hh Sc completo pa- rallelogram- moDNXZ, dicatur BN a,BDo, NX Cy Sc ratio da- ta FZ ad ZX vel D N ponatur Et erit D N aequalis a'-0y VG aequalis — , FZ «qualis & GV feu NX-VZ-^ VG ae- qualis c— ^ ^ ^ a^o' r^e^olvatur terminus in feri- itt I 3 o c n r' r\ em convergentem 'j’r aa^ ^c. & fietuD aequa- w hb ^ hh^hb^ . r . . iisc— —a— -j T~o— 0 0 Scc. Hujius leriei ter- minus fecundus ~ ^ ~ ^ ^ ufurpandus eft pro S^jtertiuscumfig- b b b b no mutato proR^?’ quartus cum figno etiam mutato pro 5’«»% corumqfcoefficientcs — — ^3 & feribendae funt, L I 2 • in c 168 ] nn Pvc^ula ruperiorc,pLO 2, R8cS. Quo fa£lo prodit medii dcnfitas bb ut bb ^ ^ mm ‘imbb ^ feu n n na, A . mm y A A-\- — A A n n 2mbb I b^ T n AA id cfr, fi in VZ fumatur V T squalis VC, Namq; 2_m^ , Jpfjryjn XZSc ZY quadrata. Refiftcn- tia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet X2 ad TG, & velocitas ea eft quacura corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum 22 C 8e latus re£lum . YG habente. Ponatur itaq; quod Medii denfitates in locis fingulis G fint reci- procem diftantis X r, quodqi rcfiftcntia in loco aliquo G fit ad Gravitatem ut XPad TG; 8. corpus dc loco ^ lufta cumvetoa- te emiflum deferibet Hypicibolam illam /2GA. CGE 1. Exempl. A. Ponatur indefinite, quod Irnea ZGA Hyperbola fit centro X Afymptotis M X, ^ X ea lege defcnpta, ut con- ftrGao rcaanVuloXZDN cujus latus.ZD fecet Hyperbolam in G & Afyraptoton ejus in F, fuerit F G reciproce ut ipfitis Z X vel D N dignitas aliqua ND cujus index eft numerus h ; & qusratur Medii denfitas, qua Projeaile progrediatur inhac curyx Pro UN; BD' NX feribantur 'A, 0, C refpeaive, fitq; FZ ad ZX VelDNut" /ade, 8c VG aequalis^*, & eritDN squa- lis 0, VG = VZ =7 in ^-f>, 8iCD feuNX-VZ VG aequalis C- ’ b " -0- - e A bb bb Qn bb nbbO i /,7)0^ 4- in reiiem infinitam ^ Refolvatuf terminus ille n n'\- n ^ i bb ggj Q£) a-qualis C--A- — Jr 6J«4-3 ,• q. [ -^9 ] +io - ;iiLo-'i^bbO\-’''\^"^"’’.hbO’ &c. Hujus (erici terminus iecundus 0 — / ~ 0 ufurpandus eft pro ^2^) ^ A" i ■ nnX-n , a 4" “h 2» , , tertius^-^ hhO pro R o , quartus ^ ^ 0 pro i'»’. Et inde Medii denfitas „ ; , in loco quovis C, fit _p 2 K X y I -{- ^ 5 adeoq, fi in FZ capiatur FF ^ • X.T 'V* * A C) ^ ^ h h aequalis « x F G, elt reciproce ut Xi . Sunt enim d — Ta^ in A ipfarum XZ & ZF quadrata. Refiflientia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut 5' in . ad 2 K. K., id efi: X F ad A ^ velocitas ibidem ea ipfa eft quacum corpus pro- jedum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GDSc La- tus redum- habente. L /9» -p ^ FG Scholiuf^. Quoniarn motus non fit in Parabola nifi in Medio non refil'- tente, in Plyperbolis vero hic deferiptis fit per refiftentiam per- petuam ^ per rpicuum eft quod linea, quam Proje^l^ile in Medio uniformiter refiftente delcribit, propius accedit ad- Hyperbolas hafce quam ad Parabolam. Eft utiq*, linea illa Hyperbolici ge- neris, ied quae circa verticem magis diftat ab Afymptotis^ in partibus a vertice remotioribus propius ad ipfas accedit ^uam pro ratione Hyperbolarum quas hic defcripfi. Tanta vero non . C 27® 3 , , cft inter has Sc illam differentia, quin illius loco poffint hae in re- bus pra^icis non incommode adhiberi. Et utiliores forfan futu* rae funt hae, quam Hyperbola magis accurata &: fimul magis compofita. Ipfae vero in ufum fic deducentur. Compleatur parallelogi ammum X 7*G 1 , & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod reda G T tangit Hyperbo- Jam in G, ideoq^ denfitas Medii in G eft reciproce ut tangens G T, G 'I' 8c velocitas ibidem ut V -■ refiftentia autem ad vim gravi- G K tatis ut G T ad V. Proinde G corpus de loco ^ fecundum rc6i:am ^ H proje£ium deferibat Hyperbolam JG Sc A H produda occurrat Afymp- toto NX in H, adaq^ AJ occurrat alteri Afymptoto M X in I: erit Medii denfitas in A reciproce ut A Hy 8c corporis velocitas ut ^ refiftentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad- ” AI n + 2 in A L Unde prodeunt fequentes Regulae. Reg. I. Si fervetur Medii denfitas m A Sc mutetur angulus N A Hy manebunt longitudines AHy AlyHX. Ideoq'^ fi longi- tudines illae in aliquo cafu inveniantur , Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo N AH expedite determinari poteft. Reg. 2. Si fervetur tum angulus NAH tum Medii denfitas in Ay Sc mutetur velocitas quacum corpus projicitur , fervabitur longitudo^ Hy Sc mutabitur AI induplicata ratione velocitatis reciproce^ Reg. 3. Si tam angulus quam corporis velocitas in A, gravitafq^ acccleratrix fervetur, Sc proportio refiftentiae in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque : augebitur proportio AH^d AI in eadem ratione, manente Parabolae late- re re^o, eiq^ proportionali longitudine propterea mi- nuetur A U in eadem ratione, Sc A I minuetur in ratione illa du* [ 271 ] plicata. Augetur vero proportio refiftentiae ad pondus, ubi vel gravitas fpecifica fub aequali magnitudine Iit minor, vel Medii denfitas major, vel re(iftentia,ex magnitudine diminuta, diminui- tur in minore ratione quam pondus. Keg. 4. Quoniam denfitas Medii prope verticem Hyperbolae minor eft quam in loco ut fervetur denfitas mediocris, debet ratio minimae tangentium GT ad Tangentem inveniri, 8c denfitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo mi- nore quam femifummae Tangentium ad Tangentem AH. Reg. Si dantur longitudines AHy AI^&c deferibenda fit figura AGK: ‘produc HN ad X, ut fit HX aequalis fado fub «+i ScALj centroq; X &: Afymptotis MX, XX per punc- tum A deferibatur Hyperbola,ea lege ut Rt AI ad quamvis FG utXF^ad X/^. Reg. 6. Quo major eft numerus eo magis accuratae funt hae Hyperbolae in afcenfu corporis ab A^ & minus accuratae in e- jus defcenfu ad G, Se contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, eftqi caeteris fimplicior. Igitur fi Hyperbola fit hujus generis, & pun^fum if , ubi corpus projedum incidet in redam quamvis AN perpundum A tranfeuntem, quaeratur : oc- currat produda AN Afymptotis MX, NX inMScN, Sc fu- matur N K ipfi A M aequalis. Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phaenominis. Projiciantur corpora duo fi- milia Sc. aequalia eadem velocitate, in angulis diverfis H if , hAKy incidentq; in planum Horizontis \n K Sckj) & no tetur propor- tio A K 2id A^ Sit ea ad e. Tum eredo cujufvis longitudi- nis perpendiculo Aly affume utcunq^ longitudinem AH vd Ahy & inde collige graphice longitudines if, per Reg. 6. Si ra- tio AK did Ahjit eadem cum ratione d ad longitudo A H rede affumpta fuit. Sin minus cape in reda infinita SM longitudi- nem aequalem affumptae AH, Sc erige perpendiculum MX ae- C 272 ] A tC d quale rationum differentiae duplae in re6^am quamvis datam. Simili methodo ex affumptis pluribus longitudinibus A H invenienda funt plura pun6i:a N : &; tum demum fi per om- nia agatur Curva linea regularis NNX- Ny haec abfeindet S X quxfitae longi- tudini AH aequalem. Ad ufus Me- chanicos fufficit longitudines AHy ^ AI eafdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam re- fiftentiam Medi) accuratius determinanda fit, corrigenda; funt femper hae longitudines per Regulam quartam. Reg. 8. Inventis longitudinibus H, H X ^ fi )am defideretur pofitio regiae A H, fecundum quam Pro)e£i:ile data illa cum veloci- tate emiffum incidit in pun- cium quodvis K : ad pun6la A Sc K erig- antur re£i:ae ACy ifFho- rizonti per- pendiculares , quarum A C deorfum tan- dat, & aeque- tur ipfi A I feui HX. A- fymptotis A^ Ky K F de- feribatur Hy- ' o /- ac • peibola,cu)iis Conjugata tranfeat per pun<5ium C, centroq; in- tervallo y4 H deferibatur Circulus fecans Hyperbolam illam in pun- . C 273 ] pun£^o H; Sc proje£i:ile fecundum re£l:am H cmifllim incidet in puniEi:um K. Q. E. L Nam pundum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo defcripto. Agatur C H occurrens ipfis AKSc KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas C H, MX & aequales C, ^ erit A E aequalis y^M, Sc propterea etiam aequalis K N, Sed C E eft ad y4 E ut F H ad if N,8e propterea C E Sc F H aequantur. Incidit ergo pun£l:um H in Hyperbolani Afymptotis AK, K E deferiptam, cujus conjugata tranfic per pun^lum C, atq adeo reperitur in communi interfe^lione Hyper- bolae hujus Sc circuli deferipti. 2- Notandum efi: autem quod haec operatio perinde fc habet, five refla N horizonti parallela fit, five ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodqi ex duabus interfeflionibus H, H duo prodeunt anguli NA H,N AH, quorum minor eligendus efi: ; Sc quod in Praxi me- chanica fufficit circulum femel deferibere, deinde regulam intermi- natam C H ita applicare adpunflumC, ut ejus pars FH, circulo Sc reflae F K inter jefla, aequalis fit ejus parti C E inter punflum C Sc reflatn HK fitae. Qiiae de Hyperbolis difla funt facile applicantur ad Parabolas. Nam fi XAC K Parabolam defignet quam refla XV tangat in vertice X, fintqi ordinatim ap- plicatae lA,VG\xt quaelibet abfeif* farum XI, X V dignitates X J XV»', agantur XT, TG,HA, quarum X T parallela fit V G, ^ T G, H A parabolam tangant in G Sc A: Sc corpus de loco quo- vis A, fecundum reflamy^Hpro- duflam, jufta cum velocitate pro- jeflum, deferibet hanc Parabolam, fi modo denfitas Medij, in locis fingulis G, fit reciproce ut tangens C T. Velocitas autem in Gea erit quacum Projeflile pergeret, M m in [ 274 ] in fpatio non refiftente, in Parabola Conica, verticem G, diam- 'iTG q. etrum V C deorfum produ^lam, Sc latus reaum y ^ ^ V G habente. Et refiftentia in G erit ad vim Gravitatis ut T G ad ^ ^ ^ _ y V G. Vndefi NAK lineam horizontalem defignet, & manente tum dcnfitate Medi) in tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunqj angulus N A H-) manebunt longi- tudines Aly HX, & inde datur Parabolae vertex X, & po- litio rectae X /, 8c Tumendo VGgid lA ut X V ^ ad X / dantur omnia Parabolae pun£la G, per quae Projedile tranTibit. S E C T III- De motu corporum qu£ refifiujttur partim in ratione ^elocitatk^ par- tim in ejnjdem ratione duplicata. Prop. XI. Theor. VIII. I Si corpus r e fiflitur partim in ratione ‘velocitatis.^ partim in ‘veloci- tatis ratione duplicata., ^ fola ‘vi in jit a in Medio jimilari movetur., fumantur autem tempora in pro^rejpone Arithmetica: quantitates ve- locitatibus reciproce proportionales, quadam quantitate auSiiC, erunt in progrejpone (j cornei rica. Centro C, ATymprotis re£i:angulis C A DdScC H deTcribatiir EI Vpcrbola BEe S, Afyinptoto C H parallelae fint AB, DE, de. fn ATyniptoto E D dentur pun^a A, G: Et Ii tempus exponatur per arcam Hyperbolicam A B E D umfonmter ccei- centem ^ dico niiod velocitas exponi poteft per longitudinem D F, ciijus reciproca G D una cum daiaC G componat longitudi- nem C D in progrcllionc Geometrica crefccntem. Sit C 275 ] Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, 8e erit D d reciproce ut DEy adeoque direde ut C D, Ipfius autem decrementum, quod (per hujus Lcm.II.) Dd ^ V r CG-hGD -J n. . I . .X’ ut ^ feu— ,d eft, ut ^ + CG GD^ GD^. GDq. GDq. ■■ ■ GD, Igitur tempore ABED per ad- ditionem^atarum particularum E J) de uniformiter crefeente, decre- feit^ in eadem ratione cum vclo- G D fi citate. Nam decrementum velo- citatis eft ut refiftentia, hoc eft Cp er Hypothefin ) ut fumma du- arum quantitatum, quarum una eft ut velocitas, altera ut quadra- tum velocitatis j 8e ipfius ^JL decrementum eftut fumhja quan- ^ G D • ^ CG titatum Sc ’ quarum prior eft ipfa & pofterior , ob analogum decrementum. CG GD^: ao^- GD eft ut velocitas. Et fi quantitas G D ipfi reciproce pro- portionalis quantitate data C G augeatur, fumma C P, tempore ABED uniformiter crefeente, crefeet in progreflione Geome- trica. Q. E. P. CoroL I. Igitur fi datis pundis A^ G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam AB E exponi poteft velocitas per ipfi- us GP reciprocam CoroL 2. Sumendo autem Gy^ ad GP ut velocitatis reci- proca fub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cn juf- M m 2 vis [ 2^6 ] vis ABE D, invenietur pun£ium G. Eo autem invento, velo- citas ex dato quovis alio tempore inveniri poteft. Prop. XII. Theor. IX. lifdem pofitis^ dico quod fi fpatia deferipta fumantur in progrejfio- ne Arithmetica^ ^velocitates data quadam quantitate auEice erunt in progrejjione Geometrica. In Afymptoto C D detur pun6ium R, Sc ere6Io perpendiculo R Sy quod occurrat Hyperbolse in 5*, exponatur deferiptum Ipa- tium per aream Hyperbolicam R^ED^ & velocitas erk ut lon- gitudo GD, quae cum data C G componit longitudinem C D,in Progrefllone Geometrica decrercentem, interea dum Ipatium KS- ED augetur in Arithmetica. Etenim ob datum fpatii incrementum EDde, lineola Ddy quae decrementum eftipfius G D, erit reciproce ut EDy adeoqj direfle ut CD^ hoc eft ut fumma ejufdcm G D &i longitudinis datae C G. Sed velocitatis decrementum, tempore fibi reciproce proportionali, quo data fpatii particula Dde E deferibitur, efi; ut refiftentia & tempus conjuniftim, id cft 'dirc^Ie ut fumma dua- rum quantitatum, quarum una efi: velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverle ut velocitas ; adeoque direde ut fumma de- arum quantitatum, quarum una datur, altera efi: ut velocitas, igitur decrementum tam velocitatis quam lineae GD, efi: ut quan- titas data & quantitas decrefeens conjun^limj & propter analoga decrementa, analoga: fem per erunt quantitates decrefeentes; ni- mirum velocitas & linea G D. Q^JE. D. CoroL I. Igitur fi velocitas exponatur per longitudinem GD, fpatium deferiptum erit ut arca Hyperbolica DESK, CoroL 2. Et fi utcunque afihmatur pundlum R, invenietur pun^lum G, capiendo G D ad GR uteft velocitas fub initio ad velocitatem pofi: fpatium quodvis ABED delcriptum. Inven- to autem punclo G, datur fpatium ex data velocitate, & contra. Corel. 3. C 277 ] CoroL 3. Unde cum, per Prop. XL detur velocitas ex da- to tempore, & per hanc PrOpofitionem detur fpatium ex data velocitate j dabitur fpatium ex dato tempore: St contra. Prop. XIII. Theor. X. Toftto quod corpus ah uniformi gravitate deorfum attraSium reSia afcendit defcendit^ ^refifliturpartim in ratione velocitatis^ par- tim in ejufdem ratione duplicata : dico quod ft Circuli ^ Hyperbolje diametris parallelae reEiae per conjugatarum diametrorum terminos ducantur^ ^ velocitates fnt ut fegmenta quaedam parallelarum a dato puncio diMa^ Tempora erunt ut arearum SeSioreSy reEdk a centro ad fegmentorum terminos duBk ahfcijp : ^ contra. Caf. I . Ponamus primo quod corpus afcendit, centroque D Sc femidiametro quovis D B defcribatur circuli quadrans BETFy Sc per fcmidiamctri D B terminum B agatur infinita B A femidiametro D F parallela. In ea detur pun- 61:um Aj Sc capiatur feg- mentum A P velocitati pro- portionale. Et cum refi- ftentiae pars aliqua fit.ut ve- locitas & pars altera ut ve- locitatis quadratum, fit re^ fiAentia tota in* P ut A P quad, +2 P AB. Jungan- tur D E) P circulum* fe- cantes in E ac T, 8c exponatur gravit^ ‘per DA quadratum, ita lit Cit gravitas ad rcfiftentiainin P ut DA q. 2id AP q.-\- 'iP ABi Sc tempus afccnfus omnis futuri erit ut circuli fedor E DTE. Agatur enim D V (Py abfclndens Sc velocitatis A P momentum P QjSc Seftoris D £ T- momeutum DTV dato temporis momen- to . P78] to rcfpondcns : Sc velocitatis decrementum illud P ^.entutfum- ma virium gravitatis D Bq. &. rellftentise APq.-\-2BAPy id cft Prop. 12. hib. W.PXcm.) utDP quad. Proinde area D P ipfi P 2_proportionalis, efl ut D P quad j & area DTV^ ( quae eft ad aream D P Q ut DT q. D P q. ^ cdut datum DTq. Decrefeit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis fu- turi, per fubdudionem datarum particularum DTV^ & propte- rea tempori afcenfus futuri proportionalis eft. Q. E. D, Caf. 2 . Si velocitas in afcenfu corporis exponatur per longitudi- nem A P ut prius, refiftentia ponatur efle ut A P q. -\- 2 B A P^ Sc fi vis gravitatis minor fit quam quae pcv DA q. exponi pofiit , capiatur B D e;Us' longitudinis, ut fit ABq. —BDq. gra- vitati proportiona- le, fitque DF ip- fi D B perpendicu- laris Sc aqualis, Sc per verticem F de- Icribatur Hyperbola FTVE cujus femi- diametri conjugatae fmt DB Sc DF, quaq, fecet D A in E, Sc DP,DQJn T SeV-, Sc erit tem- pus afcenfus futuri ut Hyperbolae fellor tDE. . Nam velocitatis decrementum P 2, in data temporis particula faftum, eft ut fumma refiftentiae A'Pq.--^ '2 ABr Sc gravitatis A Bq. — BD q. id eft ut BP q. —BD q. ^Eft alitem area D TV ad aream D P Qjxp D 7^ ad JD E q. adeoque,fi ad D F demitta- tur perpendiculum G 77 ut GT.q: ku C D q ~D Fq. ad BDq, utque 6D^:;ad 'Sc divifim iit' t) Fq. 2,d BP q-lDBq, Qiiare cum area PFjg^fit ut P S^Kleffiit BPq. -BDq.^ cnt area D T V uf datimi Decr^cit igitur area EDI unifor- miter C 27P ]■ initer finguHs temporis particulis aequalibus, per fubdufiionem particularum totidem datarum DT V^Sc propterea tempori pro- portionalis eft. Q- E. D. Caf. ^.Sk A P velocitas in delcenfu corporis, ScAP 2 AB P refiftentia,& DB q. „ABq. vis gravitatis, exiftente angulo DAB refto. Et 11 centro E>, vertice principali 5, defer ibatur Hy- perbola re6i:angula BET F fecans produ6i:as D A^D P & D Q^m EyT Vj erit Hy- perbolae hujus fe£lor DET ut tempus defcenfus. Nam velocitatis incremen- tum P ciqi proportionalis area DPQ^ ell ut excelTus gravitatis fupra relillentiam, id eft ut DBq.~ A B q~ 2 ABP -APq. CuDBq.~BPq. Et arca !> TEeft ad arcam DP utDT^. ad DPq, adeoq^ ut C I q. feu CD,q. —BPq. 2id BPq. utque G D ad BD q. Sc divillm ut B Dq. zd B Dq. — BP q. Qiiare cum area D F G ftt ut BDq. ~ BP q. erit area D / V ut datum BE> q. Crefeit igitur area ED T uniformiter lingulis temporis particulis sequali- biis, per additionem totidem datarum particularum DTE, & propterea tempori defcenfus proportionalis cft. Q^E. D. Corol. Igitur velocitas AP e(\i ad velocitatem quam corpus tempore E 1) 7, in fpatio non reliftcntc,afccndcndo amittere vel defccndcndo acquirere pollet, ut arca trianguli Y) A P ad arcam feftoris centro D, radio D ^3 angulo AE>1 deferipti, idcoque ex dato tempore datur. Nam^vclocitas in Medio non rcllftcntc, tempori atque adeo Seniori huic proportionalis cft j in Medio rcllftcntc eft ut triangulum^ & in Medio utroqi ubi quam minima eft, accedit ad rationem aequalitatis, pro inore Seel defcenfu defcriptum^ eji ut fmma *vel differentia are de per quam tempus exponiinr^ ^ a- re de cujufdam alterius qude augetur c A K rcfi- Aentiae proportionalis. Capiantur autem adeafdem partes pun- CtiAfi corpus alcendit, aliter ad contrarias. Erigatrr A b quae fit ad D B ut D ^ ad 4 B C : 8c area AbNK augebitur vel diminuetur in progreffione Arithmetica, dum vires CK m pro- greflione Geometrica fumuntur. Dico igitur quod diftantia cor- poris ab ejus altitudine maxima (it ut exceflus areae AbNK fii- pra aream DET. Nam cum A K fit ut refiftentia, id eft ut T ■F'iBAT'^ afTumatur data quaevis quantitas Z, & ponatur A K aequalis ~ & ( per hujus Lem . II. ) erit ipfius A K mo- . 1 '2AP()-\-'2BAxPB r 'iBPQ^ « mentum K L aequale — leu & area AbNK momentum KLON aquale - leu BPQ_x BDcub. 22:x C/C X AB (Oaf. I. J am fi corpus afeendit, fitque gravitas ut ABq, + ED^. exillente EET circulo, (in Fig. Caf. i. Prop. XIII.) lig- nea A C, quae gravitati proportionalis eft, erit ScDPq. feu A p‘q.+ ^BAP + ABq.^FBDq. erit AKxZ+ACxZ fcii CKxZ : ideoque area D I F erit ad arcam DE 2^ut D T^. vel D B ad C /C X Z. Caf, 2. Ca80 . a. I Sln.cptpus.arcendit5^& gravitas /it ut ABq — BDq. lixiea AC (Fig- CaJ. .2 . Frop, XHI.) erit - ^ & 13 Tj- erit ad DP q. ut D Fq. feu D Bq. sidB F q — B D q, feu A Pq. ^ 2BAP-\- ABq — BDq. id eft ad ^ K x Z -4- ^ C x Z feu C KxZ, Idcbque *area DTF erit ad aream DP Qut DBq. ad C /f x Z. C(if Et.eodem argumeqfOjfi corpus d^cendit, & propterca gravitas Cit ut BDq, — ABq, & linea (Fig, Caf, 5* Prop. pr^ced. y aequetur erit area D T V 2id aream DP Q^ut DBq, dtiCKxX: utfupra. ^ Cum igitur.acese iUae jTcmper fim area D T K, qua momentum temporis fibimet ipfi (emper aequale ex- ponitur, feribatur determinatum quodvis reftangulum, puta B D x^;/, erit area ^£^1* 2, r id jeft A B.D xPQ ; ad £ D x ;// ut C K 'in X ad BDq, Atq, inde 6t P Qi,iu B D atb, aequale 2BD xmxCKxZ^ Sc2LYcxAbNK momentum KLON fu- perius inventum, fit Auferatur areae DET mo- *■ AB mentum DT V {kuB Dx & refiabit , Efi: igi- tiir differentia momentorum, id eft momentum differentiae area- rum, aequalis j St propterea (ob datum ut velocitas id eft ut momentum fpatii quod corpus afeen- dendo vel defccndendo deferibit. Ideoque differentia arearum 8t fpatium illud proportionalibus momentis crefeentia vel decref- centia, & fimul incipientia vel fimul' evanefeentia funt proportio- nalia. E. D, Corol. Igitur fi longitudo aliqua V fumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea ad lineam DEj fpatium quod corpus afcenfu vcl .dcfcenfu toto in Medio rcfiftente deferi- bir, erit ad fpatium quod in Medio non rcfiftente eodem tem- N n pore f 282 2 porc defcribere poflet, ut arearum illarum differentia ' ad ideoque ex dato tempore datur. Nam “fpatium in Medio non refiftente efl; in duplicata ratione temporis, five ut , &obda- t2LS B D 8>c. A ut Tempus autem eff; ut DET B ^ feu i 5 D X E T, Sc harum arcarum momenta funt ut Y. 2JB du- Caf. 2. Dico jam quod fluidi hujus partes omnes fphaericae aequaliter pre- muntur undique : fit enim EFpars fphse- rica fluidi, Sc fi haec undiqj non premi- tur aequaliter, augeatur preflio minor, ufq^ dum ipfa undiqj prema- tur aequaliter ; & partes ejus, per cafiim primum,permanebunt in Jocis Illis. Sed ante audiam preffionem permanebunt in locis fuis; per cafuin eundum primum, & additione preffionis novae movebuntur de locis fuis, per definitionem Fluidi. Quae duo re- pugnant. Ergo falfo dicebatur quod Sphaera E F non undique premebatur aequaliter. Q. E. D. Caf 3. Dico praeterea quod diverfarum partium fphaericarum aequalis fit preflio. Nam partes fphaericae contiguae fe mutuo premunt aequaliter in pun£io contadus, per motus Legem III. Sed & per Cafum fecundum, undiq; premuntur eadem vi. Partes igitur duae quaevis fphaericae non contiguae, quia pars fphaerica in- termedia tangere poteft utramque, prementur eadem vi. Q. E. D. Caf. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubiq ^ premuntur aequaliter. Nam partes duae quaevis tangi poflunt a partibus Sphaericis in pun6i:is quibufeunque, Sc ibi partes illas Sphaericas aequaliter premunt, per Cafum 3. Sc viciflim ab illis aequaliter premuntur, per Motus Legem Tertiam. Q. E. D. Caf. Cum igitur fluidi pars quaelibet GHI in fluido re- liquo tanquamin vafe claudatur, Sc undique prematur aequaliter, partes autem ejus fe mutuo aequaliter premant Sc quiefeant inter fe> manifeftum efl: quod Fluidi cujufcunqiie CHf quod iindi- O o 2 que A ( [ -p^ ] que premitur aequaliter, partes omnes fe mutuo premunt aequali- ter, Sc quidcunt inter fe. Q. E. D. Caf. 6» Igitur fi Fluidum illud in vafe non rigido claudatur, & undique non prematur aequaliter, cedet idem prelfioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis. Caf, j. Ideoque in vafe rigido Fluidum non fuftinebic pref- fionem fortiorem ex uno latere quam ex alio, fed eidem cedet, idq-, in momento temporis, quia latus vafis rigidum non perfequi- tur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppofituni, • fic preffio undique ad aequalitatem verget. Et quoniam Flui- dum, quam primum a parte magis preffa recedere conatur, inhi- betur per refiftentiam vafis ad latus oppofi tum, reducetur preifio undique ad aequalitatem in momento temporis abfque motu lo- cali ; & fubinde, partes fluidi per Cafum quintum, fe mutuo pre- ment aequaliter, Sc.quiefcent inter fe. Q.E.D, Corol. Unde nec motus partium fluidi inter fe, per preflionem fluido ubivis in externa fuperficie illatam, mutari poflunt,n!fi qua- tenus aut figura fuperficiei alicubi mutatur,, aut omnes fluidi par- tes inter\fius vel remilTius fefe premendo difficilius vel facilius la- buntur inter fe. Prop. XX. Theor. XIV. Si Fluidi Sph^ricij ^ in ecqualibus a centro diflantik homogenei^ fundo fpbarico concentrico incumbentis partes finguldC ‘verfm centrum totius gr abitent \ fujiinet fundum pondi^ss Cylindri,^ cujus bafis ecqua- lis ejl juperfeiei fundi,, (^altitudo eadem quee Fluidi incumbentis. Sit D H M fuperficies fundi, fk AE 1 fuperficies fn perior flui- di. Superficiebus fphaericis innMncris if, CGh diftinguatur fluidum in Orbes concentricos aequaliter craflbs ^ & concipe vim gravitatis agere folummodo in fuperficiem fuperiorem Orbis cu- jufqiie, & aequales efle a(fliones in aequales partes fu perficierum omnium. Premitur ergo lupci ficies fuprema A E \\ fimplici gra- vitatis propriae, qua &; omnes Orbis fupremi partes Sc fuperficies fecunda C 293 ] fecunda BF K (per Prop. XIX. ) premuntur. Premitur prae- terea fuperficics fecunda BFK \\ propriae gravitatis, quae addi- ta vi priori facit prefllonem duplam. Hac preflione 8c infuper vi propriae gra- vitatis, id eft preffione tripla, urgetur fuperlicies tertia CCL. Et fimiliter pref- fione quadrupla urgetur fuperficies quar- ta, quintupla quinta Sc fic deinceps. Prefllo igitur qua fuperficies unaquaeque urgetur,non eft ut quantitas foiida fluidi incumbentis, fed ut numerus Oibium ad ufque lummitatem flaidi, & aequatur gravitati Orbis infimi mul- tiplicatae per nuniemm Orbium: hoc eft gravitati iblidi cujus ulti- ma ratio ad Cylindrum praefinitum, ( fi modo Orbium augeatur numerus & minuatur craflitudo in infinitum, ficuta£i:io gravitatis a fuperficie' infima ad fupremam continua reddatur ) fiet ratio ae- qualitatis. Suldnet ergo fuperficies infima pondus cylindri prae- finiti. Q^F. D. Et fimili argumentatione patet Propofitio, ubi gravitas decreftit in ratione quavis afllgnata diftantiae a cen- tro, ut ubi Fluidum furfum rarius eft, deorfum denfius. Q. E. D. Corol. I. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumben- tis pondere, fed eam folummodo ponderis partem fuftinet quae in Propofitione deferibitur 5 pondere reliquo a fluidi figura forni- cata fuftentato. Corol. 2. In aequalibus autem a centro diftantiis eadem femper eft preffionis quantitas, five fuperficies prefla fit Horizonti paral- lela vel perpendicularis vel obliqua ^ five fluidum a fuperficie prefla furfum continuatum furgat perpendicularitcr fecundum li- neam reftam, vcl ferpit oblique per tortas cavitates & canales, cafque regulares vel maxime irregulares, amplas vel anguftifllmas. Hifce circumflandis prefllonem nil mutari colligitur, applicando demonftrationem Theorematis hujus ad Cafus fingulos Fluido- rum. Corol. y. C ^P4 ] . . CoroL 5. Eadem Demonftratione colligitur edam (per Prop. XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex prefllone ponderis in- cumbentis, acquirunt motum inter fe, fl modo excludatur motU3 qui ex condeiifatione oriatur. CoroL 4. Et propterea fl aliud ejurdem gravitatis fpcciflcae cor- pus, quodflt condenfationis expers, fubmergatur in hoc fluido, id cx prcillonc ponderis incumbentis nullum acquiret motum ; non defeendet, non afeendet, non cogetur figuram fiiam mutare. Si Sphaericum eft manebit fphaericum, non obftante preflione j fi qua- dratum efl: manebit quadratum: idq^ five molle fit, fivefluidiffi- mum ; . five fluido libere innatet, five fundo incumbat. Habet enim fluidi pars quaelibet interna rationem corporis fubmerfi, & par efl: ratio omnium ejufdem magitudinis, figurae &: gravitatis fpecificae fubmerforiim corporum. Si corpus rubmcrfuin fervato pondere liquefceret & indueret formam fluidi j hoc, fi prius afeen- deret vel defeenderet vel ex preffione figuram novam indueret, etiam nunc afeenderet vel defeenderet vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus caeteraeque motuum caufae permanent. Atqui, per Caf. 5. Prop. XIX. jam quiefeeret & figuram retineret. Ergo prius. CoroL Proinde corpus quod fpecifice gravius efl; quam Flu- idum fibi contiguum fubfidebit,&: quod fpecifice levius eftafcen- det, motumque Se figura: mutationem confequetur, quantum excelTus ille vel defeci us gravitatis efficere poffit. Namque ex- ceflTus ille vel defe^fus rationem habet impulfus,quo corpus, alias in aequilibrio cum fluidi partibus conflitutum, urgetur comparari poteft cum exceffu vel defe^fu ponderis in lance alterutra librae. CoroL 6. Corporumigitur in fluidis conffirutorum duplex efl Gravitas.* altera veraSc abfoluta, altera apparens, vulgaris & com- parativa. Gravitas abfoluta efl: vis tota qua corpus deorfum ten- dit : relativa & vulgaris efl: exceflus gravitatis quo corpus ma- gis tendit deorfum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gra- r 3 fuis : ideoque i:onjun£l:is ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave eftjUt in vafis liquorum plenis experiri li- cet i & pondus totius aequale eft ponderibus omnium partium^ide- oque ex iifdem componitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis fuis, id eft inter fecollata non praegravant, fed mutuos ad defcendendum conatus impedientia permanent in locis fuis,perinde ac fi gravia non eflent. Quae in Aere funt Sc non praegravant. Vulgus gravia non judicat. Quae praegravant vul- gus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non fuftinentur. Pondera vulgi nihil aliud funt quam excefius verorum ponde- rum fupra pondus Aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quae funt minus gravia. Aerique praegravanti cedendo fuperiora pe- tunt. Comparative levia funt non vere, quia defccndunt in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quae ob majorem' vel minorem gravitatem defcendunt vel afcendunt, funt comparative & appa- renter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens eft excefius vel defeftus quo vera eorum gravitas vel fu pera t gravitatem aquae vel ab ea fuperatur. Quae vero nec prx^ gravando defcendunt, nec praegravanti cedendo afcendunt, etiam^ fi veris fuis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative ta- men & in fenfu vulgi non gravitant in aqua. Nam fimilis eft ho- rum Cafuum Demonftratio. CoroL 7. Quae de gravitate demonftrantur, obtinent in aliis quibulcunque viribus centri petis. CoroL 8. Proinde fi Medium, in quo corpus aliquod move- tur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab aliaquacunq^ vi cen- tripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius ; difterentia viri- um eft vis illa motrix, quam in praecedentibus Propofitionibus ut vim centripetam confideravimns. Sin corpus a vi illa urgeatur le- vius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet. CoroL 9. Cum autem fluida premendo corpora inclufa non mutent eorum Figuras externas, patet infuper, per Corollaria Prop. XIX. quod non mutabunt fitum partium internarum inter fc ; proindeque, fi Animalia immergantur, & fenfatio omnis a mo- tu [ sp^ ] tu partium oriatur^ nec laedent corporibus immerfis, necfcnfatio- nem- ullam excitabunt, nifi quatenus haec corpora a compreffio- ne condenfari pofTunt. Et par efl: ratio cujufcunquc corporum Sy frematis fluido comprimente circundati. Syflematis partes om- nes iifdem agitabuntur motibus, ac fi in vacuo conftituerentur, ac folam retinerent gravitatem fuam comparativam, nifi quatenus flu- idum vel motibus earum nonnihil refiftat, vel ad eafdem com- preffione conglutinandas requiratur. Prop. XXL Theor. XV. Sit Fluidi cujufdam denfitas comprejpom proportionalis ^ ^ partes ejus a ^i centripeta difl antiis fuis a centro reciproce proportionali de* orfum trahantur : dico quod fi dijlanticc illae fumantur continue pro- portionales^ denfitates fluidi in iifdem dijiantiis erunt etiam continue proportionales. Defignet ATV fundum Sphaericum cui fluidum incumbit, S centrum, S A.,SBy SCjSD^SE., 8i:c. diftantias continue propor- tionales. Erigantur perpendicula AH^Bf CK^DL^ EMjd^c. quae fint ut denfitates Medii in locis A^ B^ E 8c fpecificae gravitates in iifdem locis erunt ut vel, quod perinde efl, ut , _ &c. Finge pri- mum has gravitates uniformiter continuari ab A ad B^ a. B ad C, a C ad r> &c. fadis per gradus decrementis in pundis B^ C, D &c. Et hx gravitates du^^ae in altitudines AB^ BC^ CD Scc. conficient preffiones AH^Bf CK^ qui- bus fundum A T juxta Theorema XIV.) urgetur. Suflinet ergo particula A preffiones omnes A H, B fC /f, D L, pergendo in in- finitum •, Sc particula B preffiones omnes praeter primam A H-, Sc particula C omnes pra:ter duas primas AH, BI‘,Sc fic deinceps: adeoque [ '97 3 a Jeoque particulae primae A denfitas AH c(i 3.d particulae fecun- dae B denfitatein BI ut fumma omnium A Hj^B Ii-CK-i~D L, in infinitum, ad fummam omnium B / -f C if fi- jO L, &c. Et Bl denlitas fecundae eft ad C K denfitatem tertiae C,ut fumma om- nium B / fi- C/f fi- P L, &c. ad fummam omnium C K+DL^ &c. Sunt igitur fumnice illae difterentiis fuis AH^ B 1^ CK^ Scc. pro- portionales, atque adeo continue proportionales per hujus Lcm.I. proindeq^ differentiae AH^ BI^ Cif,8tc. fummis proportionales, (lint etiam continue proportionales. Quare cum denfitates in locis A^ B^C fint ut A Hj B ly C /f, &c. erunt etiam hae continue propor- tionales. Pergatur per faltum, & ex aequo ) in diffantiis SA^ «SE continue proportionalibus, erunt denfitates AH^ CK, E M continue proportionales. Et eodem argumento in diftantiis qui- bufvis continue proportionalibus SA,SD^ «S^ denfitates A H^DLy QO erunt continue proportionales. Coeant jam pun^iay^?, E, C, P, E, 8<:c. eo ut progreffio gravitatum fpecificarum a fundo A ad lummitatem Fluidi continua reddatur, & in diffantiis quibufvis continue proportionalibus SAy SD^SQ^ denfitates AHy DL^ Q T, femper exiffentes continue proportionales, manebunt eti- amnum continue proportionales. Q. E. P. Corol. Hinc fi detur denfitas Fluidi in duobus locis, puta A Sc E, colligi potefi: ejus denfitas in alio quovis loco Q. Centro^ •S, Afymptotis rcdangulis SO^ SX defcribatur'Hyperbola fe- cans perpendicula AH^EM^OT in e, ut & perpendicula H- X, M 7',T Z ad afymptoton «SX demiffa in /a, & t. Fiat area Z Tw t Z ad aream datam T m- hX ut area data E 2 ream datam E e i Sc linea Zf produ£fa abfeindet lineam Q T denfitati proportionalem. Namque filinex SA^SE^ «S^/tint continue proportionales, erunt Pp a rex [ 298 ] arcae EeqQ^ EcaA aequales, Sc inde arcae his proportionales Tmt Xb ?}iT etiam aequales &: lineae 5'X, ST^ SZ ideft AH^ EM, OjT continue proportionales, ut oportet. Et 0 lineae SA, SE, ^'2_obtinent alium quemvis ordinem in ferie continue pro^ portionalium, lineae AH, EM, Qjf, ob proportionales areas Hy- perbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia ferie quantitatum continue proportionalium. T E D C B A N Prop. XXII. Theor. XVI. Sit Fluidi cnjitfdam denfttas com^rtffioni proportionalis, ^ partes ejus a gravitate quadratis dijiantiarum fuarum a centro reciproce proportionali deorfnm trahantur : dico quod Ji di jiant ide fumantur in progrejpone Mupea, denfitates Fluidi in his dijiantik erunt in pro- grejpone Geometrica, Defignet S centrum, 8c SA,SB, SC, SD, SE diftantias in Progreilionc Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI,CK,Scc, quae fint ut Fluidi den- fitates in lo- cis A, B, C, D,E,8cc. & ipfiLis gravi- tates fpeci- cae in iildem locis erunt A_H iU ^Aq. ’ SBq.^ £^,&c.Fin- SAcub.\ r • n- a • i pe— , ) fumanturin progreflione Arithme- ojq. 6Bq. AO ca ; denfitates A H, Fi, C if , Scc. erunt in progreffione Geome- trica. Et fi gravitas diminuatur in quadruplicata ratione diftan- tiarum, Se cuborum difiantiarum reciproca ( puta ^Ajj^ r vr SJeub.^ SBcub? ^/*,8ec.) fumantur in progreffione Arithmetica ; denfitates o C cub. A o AHj C Scc. erunt in progreffione Geometrica. Et fic in infinitum. Rurfus fi gravitas particularum Fluidi in omnibus di- fiantiis eadem fit, 8c diftantise fint in progreffione Arithmetica, denfitates erunt in progreffione Geometrica,uti Vir Cl. Edmundm Halleim invenit. Si gravitas fit ut diftantia, & quadrata difian- tiarum fint in progreffione Arithmetica, denfitates erunt in pro- greffione Geometrica. Et fic in infinitum. Hsec ita fe habent ubi Fluidi compreffione condenfati denfitas efi; ut vis compreffio- nis, vel, quod perinde efi:, fpatium a Fluido occupatum reciproce ut haec vis. Fingi pofiunt aliae condenfationis leges, ut quod cu- bus vis comprimentis fit ut quadrato-quadratum denfitatis, ftu triplicata ratio Vis aequalis quadruplicatae rationi denfitatis. Qiio in cafu, fi gravitas efi; reciproce ut quadratum difiiantiae a centro, denfitas erit reciproce ut cubus difiantiae. Fingatur quod cubus vis comprimentis fit ut quadrato-cubns denfitatis, & fi gravitas eft reciproce ut quadratum difiantiae, denfitas erit reciproce in fefqui- [ 3°* ] fefqnlplicata ratione dlftandae. Fingatur quod vis comprimens fit in duplicata ratione denfitatis, 8c gravitas reciproce in ratione duplicata diftantia:, Sc denfitas erit reciproce ut diftantia. Ca- fus omnes percurrere longum eflet. Prop. XXIII. Theor. XVIL T articula zfmhm qu^e funt reciproce proportionales dijiantih cen- trorum fuornm fe mutuo fugientes componunt Fluidum Elaflicum^cujm denjitas eji compreffioni proportionalis. Et ^ice ‘verfa^ ft fluidi ex particulis fe mutuo fugientibus compofiti denftas fit nt comprejfiOy ^i- r es centrifuga particularum funt reciproce proportionales diflantiis cen- trorum. Includi intelligatur Fluidum in fpatio cubico ACE^ dein com- preflione redigi in Tpatium cubicum minus ace Sc particularum fimilem fitum inter (e in utro- que fpatio obtinentium diftan- tiae erunt ut cuborum latera A Bya b’j Sc Medii denfitates re- ciproce ut fpatia continentia A B cub. Sc ab cub. In latere cubi majoris ABC D capiatur quadratum DP aequale lateri cubi minoris db^ & ex Hypothefi, preffio qua quadratum D P urget Fluidum inclufum, erit ad preflionem qua latus illud quadra- tum d b urget Fluidum inclufum, ut Medii denfitates ad invicem, hoc q{\. ab cub. ad A Bcub. Sed prefiio qua quadratum D B ur- get Fluidum inclufum, efi: ad preflionem qua quadratum DP ur- get idem Fluidum, ut quadratum DB ad quadratum D F, hoc efi; ut A B quad. 2id ab quad. Ergo ex aequo preffio qua latus D B urget Fluidum, efi; ad preflionem qua latus db urget Fluidum, ut ad AB. Planis FGH, f gh per media cuborum dudisdifiin- guatur Fluidum in duas partes, Sc hae fe mutuo prement iifdem viribus [ 302 ] viribu?, quibus premuntur a planis AC^ ac^ hoc cfl in proportio- ne ab 2id AB: adeoqiie vires centrifugae, quibus hae preflloncs fufti- nentur, fiint in eadem ratione. Ob eundem particularum nume- rum fimilcmq^ fitum in utroque cubo, vires quas particulae omnes fecundum plana FGH^fgh exercent in omnes, funt ut vires quas fingulae exercent in fingulas. Ergo vires, quas fingulx exercent in lingulas fecundum planum FG H in cubo majore, funt ad vi- res quas fingulae exercent in fingulas fecundum planum fgh in cubo minore ut ah Sid A hoc eft reciproce ut diftantiae particu- larum ad invicem. Q. E. D. Et vice verfa, fi vires particularum fingulariim funt reciproce ut difiantiae, id eft reciproce ut cuborum latera AB^ ahj fum- mae virium erunt in eadem ratione, & preffiones laterum DB^db ut fummse virium , 8c preffio quadrati D E ad preflionem latc- iris DB ut abquad. ad ABquad. Et ex aequo preffio quadrati DE ad preflionem lateris db ut a bcub. adABcub. id efi: vis compreflionis ad vim compreflionis ut denfitas ad denfitatem. £. £. D, Scholium. Simili argumento fi particularum vires centrifugae fint recipro- ce in duplicata ratione dilfantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-qiiadrata denfitatum. Si vi- res centrifligae fint reciproce in tiiplicata vel quadruplicata ratio- ne diftantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato- xubi vel cubo-cubi denfitatum. Et univerfalitcr, fi D ponatur pro difi:antia,& E pro denfitate Fluidi compreffi, & vires centri- fugae fint reciproce ut difiantiae dignitas qualibet D?;, cujus index cfi numerus j vires comprimentes erunt ut latera cubica Dig- nitatis £;/ -f 2, cujus index cfi numerus «-j- 2 : Sc contra. Intel- ligenda vero funt haec omnia de particularum Viribus centrifugis qtiae terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra dif- iundiintur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Ho- rum _ r 303 3 , rum Virtus i^ttra6l;iva terminatur fere in fui generis corporibus fibi proximis. Magnetis virtus per interpofitam laminam ferri con- trahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tama Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum fi particulse fugant alias fui generis particulas fibi proximas, in par- ticulas autem remotiores virtutem nullam nifi forte per particu- las intermedias virtute illa audias exerceant, ex hu)ufmodi particu- lis componentur Fluida de quibus a^fum eft in hac propofitione. Quod fi particulae cujufq^ virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condenfationern majoris quantitatis Fluidi. Ut fi particula unaquaeq^ vi fua, qua^ fit reciproce ut diftantia lo- corum a centro fuo, fugat alias omnes particulas in infinitum ^ VF res quibus Fluidum in vafis fimilibus aequaliter comprimi Sc con- denlari poffit, erunt ut quadrata diametrorum vaforum .* ideoque vis, qua Fluidum in eodem vafe comprimitur, erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi denfitatis. An vero Fluida Elaflica ex particulis fe mutuo fugantibus confient, Qiiaefiio Phyfica efi. Nos proprietatem Fluidorum ex ejufmodi particulis conflantium Mathematice demonfiravimus, ut Philofophis anfam praebeamus Quaefiionem illam tradfandi. S E C T VI- De Motu ^ r eft flent ia Corporum Funependulorum, -•- Prop. XXIV. Theor. XVIII. Quantitates materiae in corporibus funependulk^ quorum centra of- cillationum a centro fufpcnfionk aequaliter d flant ^ funt in ratione com- pofita ex ratione ponderum ratione duplicata temporum ofcillationum in ‘vacuo. Nam velocitas, quam data vis iif data materia dato tempore generare potefi, efi ut vis 8c tempus direfte, 8c materia inverfe. Clio . C 3°+ 3 Quo major eft vis vcl majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus Legem fecundam manifeftum eft. Jam vero ft pendula ejurdem fint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo «qualiter diftantibus funt ut pondera : ideoque fi corpora duo ofcillando deferibant arcus «quales, &: arcus illi dividantur in partes «quales j cum tempora quibus corpora deferibant fingulas arcuum partes corrcfponden- tes fint ut tempora ofcillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correfpondentibus ofcillationum partibus,ut vires mo» trices & tota ofcillationum tempora directe Sc quantitates niate- ri« reciproce : adeoque quantitates matcri« ut vires & ofcillati- onum tempora direSe & velocitates reciproce^ Sed velocitates reciproce funt ut tempora, atque adeo tempora dirc(fte Sc velo- citates reciproce funt ut quadrata temporum, & propterea quan- titates materi« funt ut vires motrices & quadrata temporum, id eft ut pondera & quadrata temporum. Q, E. D. Corol. I. Ideoque fi tempora funt «qualia, quantitates mate- n« in fingulis corporibus erunt ut pondera. Corol. 2. Si pondera funt «qualia, quantitates materi« erunt ut quadrata temporum. Corol. 3. Si quantitates materi« «quantur, pondera erunt reciproce ut quadrata temporum. Corol. 4. Unde cum quadrata temporum c«teris paribus fint ut longitudines pendulorum , fi & tempora & quantitates mate- ria «qualia funt, pondera erunt ut longitudines pendulorum. Corol. 15. Et univerfaliter,quantitas materia pendula eft ut pon- dus & quadratum temporis diredle, & longitudo penduli inverfe. Corol. 6. Sed & in Medio non refiftente quantitas Materia pendula eft ut pondus comparativum & quadratum temporis di- rec his viribus urgeantur : cum vires fub Initio fint ut arcus CB 8^ 0 crunr velocitates primae Se arcus primo deferipri in eadem ratione. Sunto arcus illi BD Si Bd^ Se arcus reliqui C D. Od g- runt in eadem ratione. Proinde vires iphs C 0 d proportio- nales manebunt in eadem ratione ac fub initio, Sc propterea cor- pora pergent arcus in eadem ratione fimul dclcj ibere. Igitur vires & velocirates Se arcus reliqui CD, Od lemper erunt ut ar- cus toti C DjO Sc propterea arcus illi reliqui hmul dcicnben- tur. Quare corpora duo D, d fimul pervenient ad loca C Sc 0, alterum quidem in Medio non refiftente ad locum C, Sc alterum in Medio refiftente ad locum 0. ,Cum autem velocitates inC 8c 0 fine ut arcus C B Sc OB ', erunt arcus quos corpora ulterius per- gendo fimul deferibunt, in eadem ratione. Sunto illi CE Sc 0 e. Vis qua corpus D in Medio non refiftente retardatur in £ eft ut CE^ Sc vis qua corpus d in Medio refiftente retardatur in e eft ut fumma vis C c Sc refiftentiae C 0, id eft ut 0 c ; ideoque vires, qui- bus corpora retardantur, funt ut arcubus CE^ 0 e proportionales arcus C £, 0 £ j proindeque velocitates in data illa ratione retar- datae manent in eadem illa data ratione. Velocitates igirur Sc ar- cus iifdem deferipti femper funt ad invicem in data illa ratione ar- cuum CB Sc 0 B':, Sc propterea fi lumantur arcus toti a B in eadem ratione, corpora D, d fimul deferibent hos arcus, Scin locis A Sc a motum omnem fimul amittent. Ilochronae funt igi- tur ofcillationes totae, Sc arcubus totis BA^BE proportionales ftint arcuum partes quaelibet BD^Bd vel BE^ B e quae fimul deferibuntur. Q. E. D. CoroL Igitur motus velociiUmus in Medio refiftente non inci- dit in puniftum infimum C, fedreperitur in pundoillo 0,quo ar- cus totus deferiptus a B bifecatur. Et corpus fubinde pergendo ad iifdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in de- fenfu fuo a £ ad 0. Pfop. XXVI. [ 307 3 - Prop. XXVI. Theor. XX. Corponm Funependulorum^ qn<£ rcfijlHnUir in ratione ^elocitatmi^ ofeiUationes in Cyclotde fnnt Ifochrona;. Nam fi corpora duo a centris fuipenfion urna, qualiter diftantia, ofcillando deferibant arcus inaequales, & velocitates in arcuum partibus correfpondentibus fint ad invicem ut a reus toti/ refiften- tiae velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde fi viribus motricibusa gravitate oriundis, quae fint ut iidem arcus, conferantur vel addantur hae refiftentiae, erunt dif- ferentiae vel fummae ad invicem in eadem arcuum ratione / cumque velocitatum incrementa vel decrementa fint ut hae differentiae vel fummae, velocitates femper erunt ut arcus toti : Igitur velocitates, fi fint in aliquo cafu ut arcus toti, manebunt femper in eadem ra- tione. iSed in p r incipio motus, ubi corpora incipiunt defeendere Sc arcus illos deferibere, vires, cum fint arcubus proportionales, ge- nerabunt velocita tes arcubus proportionales. Ergo velocitates fem- per erunt ut arcus toti deferibendi, & propterea arcus illi fimul deferibentur. g. E. D, Prop. XXVII. Theor. XXI. Si corpora Funependula refifiuntur in duplicata ratione velocitatum^ differ entM inter tempora ofcillationnm in Medio refijiente ac tempora ofciUationnm in ejufdcm gravitatis fpecijjca: Medio non r e ji flente^ erunt arcubus ofcillando de [criptis proportionales^ quam proxime. Nam pendulis aequalibus in Medio refifientedeferibantur arcus inaequales Sc refiftentia corporis in arcu erit ad refi- ftentiain corporis in parte correfpondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, 'ideiimAquad. ^idBquad. quam prox ime. Si uria in arcu B efiet ad relifientiam in arcu A ut rci^l^ancu- lum AB ad Aqnad, tempora in r cubus A Sc B tbi ent aequalia 2 per [308] per Propofitionem fuperiorem. Ideoque refiftentia Aquad. in arcu 4^ vcl AB m arcu JC, efficit cxcelTum tempo is in arcu A fu- pra tempus in Medio non refiftente^Sc refiftentia BB cfficic excef- fum temporis in arcu B fupra tempus in Medio non refiitente. Sunt autem exceffius illi ut vires efficientes AB Sc BB quam pro- xime, id eft ut arcus A Si B Q.E. D. Corol. I. Hinc ex ofcillationum temporibus, in Medio refi- ft^nte in arcubus inaequalibus fa6i:arum, cognolci poflunt tempo- ra ofcillationum in ejufdem gravitatis fpecificae Medio non refi- flente. Nam fi verbi gratia arcus alter fit altero- duplo major, difterentia temporum erit ad excelfum temporis in arcu minore fupra tempus in Medio non refiltente, ut differentia arcuum ad arcum minorem. Corol. 2. Ofcillationes breviores funt magis Ifochronae, &bre- viffimae iifdem temporibus peraguntur ac in Medio non refifiente, quam proxime. Earum vero quae in majoribus arcubus fiunt, tempora funt paulo majora, propterea quod refiftentia in def- cenfu corporis qua tempus producitur, major fit pro ratione lon- gitudinis in defeen u deferiptae, quam refiftentia in afcenfu fubfe- quente qua teuipus contrabitur. Sed & tempus ofcillationum tam brevi’o nquam longaium nonnihil produci videtur per mo- tum Medii. Nam corpora tardefctnria paulo minus refiftuntnr pro ratione velocitatis, & cc^rpo-a accelerata paulo magis quam qux uniformiter progrediuntur: id adeo quia Medium,eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore cafu magis agitatur, in pofteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corpo ibus motis confpirat. Pendulis igitur in defcenfu magis refifi;it,in afcenfu minus quam pro ratione velocitatis, & cx utraque caufa tempus producitur. Prop. XXVIII. Theor. XXII. Si corpus Funependulum in Cycloide ofcillans refiflitur in ratione mommtoriim temporis^ erit ejus rejiflentia ad ‘vim gravitatis ut ex- ceffus [ 30P 3 cejjus arais defcenfu tofo defer ipti fupra arcum afcejtfn fuhfepueirte defcripium^ ad penduli longittfdinem duplicatam. , ; • Deiignet i>6’ ircum dcfcjniu d'^rcriptum,GC^^ arcum aroenfii defcfiptum, 8>c A a difFerentiam arcuum ; Sc itantibus quae in Propolitione XXV. confl:ru(f^a & demouftrara funt, erit vis qua corpus ofei lians urgetur in loco quovis D, ad uim 'rciiftentise ut arcus C D ad arcum C 0, qui femiffis eft diflr^rntiae illius A a. Jde- oque vis qua corpus ofcillans urgetur in Cycloidis principio feu pun^lo altilTimo, id eft vis gravitatis, erit ad refifientiam ut ar- cus Cycloidis inter punflum illud Ibpremum & pun£ium infi- mum C ad arcum CO ^ id eft (^fi arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, feu dupla penduli longi tudo,ad arcum A a. Q. E. P. Prop. XXIX. Prob. VIL Pojitoquod corpus in Cycloide ofcillans reffiitur m 'duplicata ra- tione velocitatis : invenire r e fifentiam in locis fingulis. SitBa(^Fig. Prop. XXV. ) arcus ofcillatione integra defcrlptus, fitqueC infimum Cycloidis pun£fum, &: CZ femiflis arcus Cycloi- dis totius, longitudini Penduli aequalis 3 & quaeratur refiftcntia cor- poris in loco quovis D. Secetur re£fa infi- nita 0 2 in pundis 0, ^:> Py Q ca lege ut ('fi erigantur perpendi- cula OK, CT, PI, centroque 0 & Alymptotis 0 /f, 0 ^.deferibatur Hyper- bokTiGE fecans O c P rR perpendicula CT, P OEmT., I Sc E, Sc per pun£lum I agatur K F occurrens Afymptoto 0 A in if, & perpendiculis CT 8c Q E in LScF) fuerit area Hyperbolica F lEQ^Sid aream Hyperbolicam pirc C 310 ] F ITC ut arcus BC defccnfu corporis dcfcriptusad arcum C a af- cenfu defcriptum, & arca Z E F ad arcam ILT ut Ogad OC, Dein perpendiculo 'MN abfcindaturarcaHypcrbolica F /NM qux fit ad aream Hyperbolicam P lEQ ut arcus CZ ad arcum B C defcenru defcriptum. Et fi perpendiculo R G abfcindatur a- rea Hyperbolica P IGK^ quae fit ad aream PIE 2_^ut arcus qui- libet C £) ad arcum BC defcenru toto defcriptum; erit refiftcn- 0 /v tia in loco D ad vim gravitatis, ut area ^ I E F— ZG ZZ ad aream FIENM, Nam cum vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis Z, E, D, a urgetur, fint ut arcus CX^CB^ CD^ C Sc arcus illi fint ut' areae P IN PIEQ^ PIGR^ PiTCj exponatur tum arcus tum vires per has areas refpcdive. Sit infuper Dd fpatium quam minimum a corpore deicendente defcriptum, Sc exponatur idem per aream quam minimam RGgt; parallelis RG^ r g com- prehenfam^ oc producatur r^ ad^, ut fint GHhg^ Sc RGgr contemporanea arearum ZGZZ, FZGR decrementa. Et areae lE Ftt J 0 fZ incrementum G ZZ hg—^I E F, feu RrxH G— ~ lEF^ erit ad 2lvcxP 10 R decrementum RGgrleuRrx RGy ut HC — l^-^id RGjadeoque ut ORxHC — ^^IEFndOR~ xG R (eu 0 P xP I : hoc eft ( ob aequalia 0 R x fi G, 0 R x H R -ORxGR,ORHK-OPIK,PIHR Sc-PICR + ICH) ut PICR + ICH-'^ lEFidOPIK. Igitur fi area lEF — IGH dicatur r, atque areae P IGR decrementum RG gr de- tur, erit incrementum areae T ut P IGR-^T, Qiiod fi V defignet vim a gravitate oriundam arcui deferiben- do CD proportionalem, qua corpus urgetur in F):8c K pro refi- ftentia | onatur'j erit F— K vis toia qua corpus urgetur in F>, . ' adeoque adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula fadum. Eft autem reliitentia K ( per Hypotbdin ) ut qua- dratum velocitatis, Sc inde ( per L*em. H. J incrementum r^fi- ftentise ut velocitrtS incrementum velocitatis conjundiin, idtft ut jpatium daS temporis particula defciiptum SlV—K cpn)un- ^lim 5 atque adeo, fi momentum fpatii detur, ut E— K ; id efi:^ fi pro vi F (cribatur ejus exponens P IGK^ Sc refifientia K ex- ponat ur per aliam aliquam aream Z, ut T JG H _ Z. Igitur area P /G ^ per datorum momentorum fubduffio- nem uniformiter decrefcente, crefcunt area Y in ratione P IGK ^Y^ Sc area Z in ratione P IG K — X. Et propterea fi areae Y 8c Z fimul incipiant 8c fub initio aequales fint, hae per additio- nem aequalium momentorum pergent elfe aequales, & aequali- bus itidem momentjs fubindc decrefcentcs fimul cvaneleent. Et viciflim, fi fimul incipiunt 8c fimul evanefcunt, aequalia habe- bunt momenta 8c femper erunt aequales: id adeo quia fi refiften- tia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo C qui in afcenfii corporis deferibitur, diminuetur j & pun^io in quo motus omnis una cum refiftentia cefiat propius accedente ad pun6i:um C, re- fiftcntia citius evanefeet quam area Y, Et contrarium eveniet ubi refiftentia diminuitur. Jam vero area Z incipit definitque ubi refiftentia nulla eft, hoc eft, in principio Sc fine motus, ubi arcus CD^CD arcubus CBSc C a aequantur, adeoque ubi refta KG incidit in regias QE Sc CT. Et area Y feu lEF— IGH incipit definitque ubi nulla eft. 0 R adeoque ubi — ^ lEF Sc IGH aequalia funt : hoc eft (^per con- ftruftionem) ubi reifta R G incidit in reiftam Q^E SeCY. Pro- indeque areae illae fimul incipiunt Sc fimul evanefeunt, Sc propte- 0 R rea femper funt jequales. Igitur area -j^^EF— IG H aequa- lis eft areae Z, per quam refiftentia exponitur, Sc propterea eft ad aream P IN M per quam gravitas exponitur, ut refiftentia ad gra- vitatem. Q. E. D, CoroL i... . C 5*2] Corol. I. Eft igitur refiftcntia in loco infimo C ad vim gravi- 0 P ' tatis, ut area £ F ad arcam F IN M. Corol. 2. Fit autem maxima, ubi arca F/Hi^ cfl: ad arcam lE F ut 0 K ad 0 Q. Eo enim in cafu momentum ejus ("nimirum P IC K — Y) evadit nullum. Corol. 5. Hinc etiam innotefeit velocitas in locis fingulis: quippe quse eft in dimidiata ratione rcllftentiae, 8c ipfo motus initio aequatur velocitati corporis in eadem Cycloide abfque om- ni rcfiftentia ofcillantis. Caeterum ob difficilem calculum quo refiftentia & velocitas per hanc Propofitionem inveniendae lunt, vifum eft Propofitio- nem fequentem fubjungere, quaeSc generalior fit 8c ad ufus Phi- lofophicos abunde fatis accurata. Prop. XXX. Theor. XXIII. Si reBa a B dcqualis fit Cycloidh arcui quem corpus ofcillando de-- ferihit^ ad fwgula ejm piwSla D erigantur perpendicula D K, qude fint ad longitudinem Penduli ut refiflentia corporis in arem pun~ Bis correfpondentibus ad ^im gravitatis : dico quod differentia inter arcum defeen fu toto defcripfumy arcum afcenfu toto fuhfequente de- feriptum^ duBa in arcuum eorundam femifnmmam^ aequalis erit are^c B K a B ^ perpendiculis omnihm D K occupata:^ quamproxime. Exponatur enim tum Cycloidis arcus ofcillatione integra de- feriptus, per reftam illam fibi aequalem tum arcus qui de- feriberetur in vacuo per’ longitudinem AB. Bifecetur A B'm C, & punftum C repraefentabit infimum Cycloidis punftum, Sc erit C D ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in C fecundum Tan- gentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longi- tudinem Penduli quam habet vis in F> ad vim gravitatis. Expo- natur igitur vis illa per longitudinem C & vis gravitatis per longitiidinein penduli 3 SlCi iu D E capiatur DK in ea ratione ad longi- longitudinem penduli quam habet renftentia ad gravitatem, erit PK exponens refiftentiae. Centro C Sc intervallo CJ vel CJ> conftruatiir fcmicirculus, BEeA, Delcribet autem corpus tcni- porc quam minimo fpatium Dcl^Si ereftis perpendiculis £> £, cIq circumferentiae occurrentibus in £ & e, erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo, def- cendendo a pun6}o J5, ac- quireret in locis D Sed. Patet hoc per Prop. LII, Lib. I. Exponantur itaq^ hae velocitates per per^ pendicula illa DE^ de ntque D F velocitas quam acquirit in D cadendo de B in Medio refiftente. Et fi centro C Se intervallo C F deferibatur circulus Ff M occurrens redis de Se AB in f Se M, erit M locus ad quem deinceps abfque ulteriore refiftentia afeenderet, Se d f velocitas quam acquireret in d. Unde etiam fi F^ defignet ve- locitatis momentum quod corpus D, deferibendo fpatium quam minimum P d^ ex refiftentia Medii amittit, & fumatur CN qualis C ^ > erit N locus ad quem corpus deinceps abfque ulteria ore refiftentia afeenderet, Se MN erit decrementum afccnfus e?^ velocitatis illius amiillone oriundum. Ad d f demittatur perpen- diculum F;;/, Se velocitatis D F decrementum f g ^ refiftentia DK genitum, erit ad velocitatis ejuldem incrementum/ a vi C P genitum, ut vis generans DK ad vim generantem C D. Sed Se ob fimilia triangula F/;;/ Fhg^ FDC^ eft / ;;/ ad Fm feu P dy Ut C P ad F> F, Se ex aequo Fg ad DdntPK ad P F, Item Fg ad Fh ut CF ad PF, & ex aequo perturbate F b feu ad Pd ut P K ad CF. Sumatur P F ad i ^ B ut D K ad CFy Sc erit MN zd D d ut P R ad i a B y idcoque fnmma om- nium MN a By idcR AaxiaBy aequalis erit fiimmae omnium PdxDRy id eft areae B KrS quam re(ftangula omnia DdxDK H r feu fcu DRrd componunt. Bifcccntur Aa &c aB in F ScOj ^ erit T* aB fcu OB aequalis C F, ideoque DK cft ad D /C ut C/’ad CF vel CMj & divilim K K D K ut P M ad C F. Ideoque cum punflum Af, ubi corpus verfatur in medio ofcillationis locoO, in- cidat circiter in pun61:um F, Se. priore ofcillationis parte verfetur inter A Se Fj poflcriorc autem inter P Se a, utroque in cafu x* qualiter a pundo F in partes contrarias errans: punctum K cir- ca medium ofcillationis locum, id cft e regione 'pun£li 0, puta in Vj incidet in pun^lum K j in priore autem ofcillationis parte jacebit inter K. & £, in pofteriorc inter K Se Dj utroque in cafu aequaliter a punflo K in partes contrarias errans. Proinde area quam linea K K deferibit, priore ofcillationis parte jacebit extra aream BKSa, pofteriore intra eandem, idque dimenfio- nibus hinc inde propemodum aequatis inter fe j Se propterea in cafu priore addita areae BKSa^ in pofteriore eidem fubdufia, re- linquet aream BKTa areae BKSa aequalem quam proxime. Ergo re^langulum A a xi a B ieu A aO^ cum fit a!qua!e areae BKSa^ erit etiam aequale arcae BKl a quamproxime. Q. E. D. Corol, Hinc ex lege refiftentiae Se arcuum C a fi B differentia A colligi potefi: proportio refircentix^ ad gravitatem quam proxime. Nam B uniformis f]c refirtentia Dif, figura aBKfiS rcflan- gulum erit fub B a Sc D Kj Se inde rccfangulum fub iBa Se A a aequalis erit reflangulo fub Ba Se D Se D K aequalis erit 2 A a. (^larecum D K fit exponens refifientiae,^ longitudo penduli ex- ponens gravitatis, erit rcfiftentia ad gravitatem ut i ad longi- tudinem Penduli ; omnino ut in Propofitione XXV"Iir. demon- ft ratum cft. Si refiftentia fit ut velocitas. Figura aBKh^S EHipfis erit quam proxime. Nam fi corpus, in Medio non rcfiftente, ofcillatione integra deferiberet longitudinem B Aj velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro A B deferipti ordinarim applicata D E. Proinde cum Ba in Medio refiflente Se BA \n Medio non refi- fiente, a:qualibus circiter temporibus deferibanturj adeoque ve- locitates locitatos in ruiojiilis ipHus B a pundi.?, fintqiiam proxime ad velo- citates in pnndlis correrponden tibiis longitudinis B A, ut cfl: B a ad B Ah erit velocitas D K in Medio reliftentc ut circuli vel EI- lipfeos fiiper diametro Ba dcrciipti ordinarim applicata 3 .adeo^ que figura BKV Ta Elfipfis, quam proxime. Cum refiidentia velocitati proportionalis fi-ipponarur, fit OF exponens refifientiae in pundo Medio Oh Se Ellipfis, centro 0, remiaxibus 0i>, OFde- feripta, figuram Bili FT, cique arquale redangulum AaxBO^ aequabit quam proxime. Efi: igitur A axBO 2id OV xBO ut arca Ellipfeos hiqus ad O.FxBO: 'id efi: ad OF ut .area fe- micirculi, ad quadratum radii fiveut 1 1 and 7 circiter: Et prop- terca : A a ad longitudinem penduli ut corporis ofcillantis re- fiftentia in 0 ad ejufdem gravitatem. Quod fi refiftentia D K fit in duplicata ratione velocitatis, fi- gura BiiCTF 4 Parabola erit verticem habens F & axem OF, ideoque arqualis erit duabus tertiis partibus redanguli fiib B a & 0 F quam proxime. ‘Efi: igitur redangulum fub ^ Ba , Ca differentia Aa^ aequalis erat areae BK T. Et area illa, ff maneat longitudo a B^ augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum D K j hoc ell: in ratione refirtentise, adeoque eft ut longitudo & refiffentia conjunftim. Proindeque redangulum fub A a SciaB Qiiut a B 8>c refiftentia conjunftim, Sc propterea A a ut refiften- tia. Q. E. D. Corol. I . Unde fi refiftentia fit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus defcriptiis ; & contra. Corol. 2. S] refiftentia fit in duplicata ratione velocitatis, dif- ferentia illa erit in duplicata ratione arcus totius j & contra. Corol. 3.. Et uhiverfaliter, fi refiftentia fit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, * differentia erit in eadem ratione arcus totius •, Sc contra. Corvi. 4. Et fi refiftentia fit partim in ratione fimplici veloci- tatis, partim in ejufdem ratione duplicata, differentia erit par- tini in ratione arcus totius 8c partim in e)us ratione 'duplicata ; Sc contra. Eadem erit lex Sc ratio refiftentise pro velocitatej quae eft differentiae illius pro longitudine arcus. ^ Corol. 5. Ideoque fi, pendulo inaequales arcus fuccefllve deferi- bente, inveniri poteft ratio incrementi ac decrementi refiftentiae hujus pro longitudine arcus deferipti, habebitur etiam rafio incre- menti ac decrementi refiftentia pro velocitate majore vel minore. S E C T. VII. C 3'7 3 S E C T- VII- De Motu Fimdorum ^ refjjientia FrojeSlilium. Prop. XXXII. Theor. XXV. Si corporum Syjiem^ta duo ex aequali partmdarum mmero conflerit ^ ^ particulde correfpondentes flmiles flmt^ flnguU in uno Syflemate flngulis in altero^ ac datam habeant rationem denfitatk ad in^icem^ inter fe temporibus proportionalibus jimiliter moveri incipiant^ Q eae inter fe quae in uno funt Syflemate eae inter fe quae funt inal- tero ') fi non tangant fe mutuo quae in eodem funt Syflemate^ nifi in momentis reflexionum^ nOque^ attrahant vel fugent fe mutuo^ nifi viribus ac celer atricibus qua: fint ut particidarum correfpondentium diametri inverfe quadrata velocitatum direHe : dico quod Syflema- tum particulae ille pergent inter fe temporibus proportionalibus fl- militer moveri *, d)^ contra. . Corpora ilmilia temporibus proportionalibus inter le fimiliter moveri dico, quorum iitus ad invicem in fine temporum illo- rum femper funt fimiles; puta fi particul* unius Syftematis cum alterius particulis correfpondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus fimiles & proportionales figura- rum fimilium partes a particulis correfpondentibus defcribuntur. Igitur fi duo fint ejufmodi Syftemata, particulae correfpondentes, ob fimilitudinem incaeptorum motuum, pergent fimiliter moveri ufque donec fibi mutuo occurrant. Nam fi nullis agitantur viri- bus, progredientur uniformiter in lineis refiis per motus Leg. 1. Si viribus aliquibus fe mutuo agitant, Zc vires illae fint ut par- ticularum correfpondentium diametri inverfe 8c quadrata veloci- tatum dire^ie; quoniam particularum fitus funt fimiles 8c vires proportionales, vires totae quibus particulae correfpondentes a- gitantur, gkantur, cx viribus (Ingulis agitantibus ( per Legum Corollarium iccundum ) conipofit^, fimiles habebunt determinationes, perin- de ac fi centra inter particulas fimiUter tita rclpiccrcnt ^ 8r erunt vires illse totx ad invicem ut vires fingulx componentes, hoc cfi: ut correfpondentium particularum diametri inverle, & quadrata velocitatum directe : Sc propterea eflicient ut correl pondentes particulae figuras fimiles deferibere pergant. Haec ita fe habebunt per Corol. i. 2,& 7. Prop. IV. li modo centra illa quiefeant. Sin moveantur, quoniam ob tranflationum fimilitudiuem, fimiles manent eorum fitus inter Syftematum particulas^ fimiles inducen- tur mutationes in figuris quas particulai dcrcribunt. Similes igi- tur erunt correfipondentium & fimilium particularum motus ufque ad occurfus fuos primos, & propterea fimiles occurfus, Sc fimiles reflexiones, ’8e.lubinde ( per jam oftenia ) fimiles mo- tus inter fe, donec iterum .in fe mntuo inciderint,. & fic deinceps -in infinitum. Q.E,D. ^ Corol. I. Hinc fi corpora duo quaevis, quse fimiiia fint & ad Syftematum particulas correfpondentes fimiliter .fira, inter ipfas temporibus proportionalibus fimiliter moverd incipiant,, fixitque eorum denfitates a-diiiviccm ut denfitates 'Correfpondcntium par- ticularum; haec pergent temporibus proportionalibus fimiliter moveri. Eft enim eadem ratio partium majorum Sy fkmaris utri- ufque atque particularum, .f; - , Corol, 2. -Et fi fimiles & fimiliter pofitae Syftematum partes omnes quiefeant inter fc : Se earum duae, quae caeteris majores fint, & fibi mutuo in utroque Syftemate correfpondcant, fecundum lineas fimiliter fitas fimili cum motu utcunque moveri incipi- ant: hae fimiles in reliquis fyftematum partibus excitabunt mo- tus, & pergent inter ipfas temporibus proportionalibus fimiliter moveri j atque adeo fpatia diametris fuis proporj:ionaIia deferi- berc. o . , . ' . J Jx .J - i . r ' i Prop. XXX IIL C 3>9 3 Prop. XXXin. Theor. XXVL Iifdem pofitky dico quod SyflsmatJtm paries majores refrjlmtnr in ratione compopta ex duplicata ratione velocitatum juarum duplica- ta ratione diametrorum ratione denfitath partium Syjiematum. Nam rcfiftentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri- fugis quibus particLiIx fyftematum fe mutuo agitant, partim ex occuriibus 8c reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis reliftentise funt ad invicem ut vires totae motrices a quibus oriuntur, id efl: ut vires totae accelera trices & quantitates materiae in partibus correrpondentibus ^ hoc efl: (per Hypothefin) ut quadrata velocitatum dire6ie & diflantise parti- cularum correfpondentium inverle q' antitates materiae in par- tibus correfpondentibus direde: ideoque (cum diflantiae par- ticularum fyflematis unius fint ad diflantias correfpondentes par- ticularum alterius, ut diameter particulae vel partis in fyflemate priore ad diametrum particulae vel partis correfpondentis in al- tero, & quantitates materiae fint ut denfitates partium & cubi diametrorum ) refiflentiae funt ad invicem ut quadrata velocita- tum quadrata diametrorum & denfitates partium Syftematum. Q. E. D. Pofterioris generis refiitentiae funt ut reflexionum cor- refpondentium numeri & vires coniun^im. Numeri autem re- flexionum funt ad invicem ut velocitates partium correfponden- tium dire^ie, Sc fpatia inter eorum reflexiones inverle. Et vires reflexionum funt ut velocitates St magnitudines & denfitates par- tium correfpondentium conjun6tim , id efl ut velocitates Sc dia- metrorum cubi & denfitates partium. Et conjundis his omnibus, rationibus, refiflentiae partium correfpondentium funt ad invicem ut quadrata velocitatum Sc quadrata diametrorum & denfitates partium conjun^iim. Q. E. D. Corol. I. Igitur fi fyflemata illa fint Fluida duo Elaflica ad" modum Acris, &; partes eorum quiefeant inter fc : corpora au- tem f §5Q ] tcm duo fimllia 6c partibus fluidorum quoad magnitudinem Ec dcnfltatcm proportionalia, & inter partes illas fimiliter pofita, fecundum lineas Gmiliter pofitas utcunque projiciantur ; vires au- tem motrices, quibus particulse Fluidorum fe mutuo agitant, fmt ut corporum projectorum diametri inverfe, & quadrata veloci- tatum directe ; cor pora illa temporibus proportionalibus flmiles excitabunt rriotus in Fluidis, (k fpatia flmilia ac diametris fuis pro- portionalia defcribent Corel. 2. Proinde in eodem Fluido projcctile velox reriftitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam fi vires, quibus particulae diftantes fe mutuo agitant, augerenter in dupli- cata ratione velocitatis, projectile refifleretur in eadem ratione duplicata accurate ; ideoque in Medio, cujus partes ab inviceni diftanrcs fefe viribus nullis agitant, refiftentia eft in duplicata ra- tione velocitatis accurate. Sunto igitur Media tria C ex partibus fimilibus $c sequalibus 8c lecnndum diftantias aequales re- gulariter difpofitia conflantia. Partes Mediorum AScB fugiant fe mutuo viribus quae fint ad invicem ut T & F, illae Medii C ejufl modi viribus omnino deflituantur. Et fi corpora quatuor aequa- lia P, Ej F, C in his Mediis moveantur, priora duo D Sc E in prioribus duobus A k Sc altera duo FlkO ln tertio Ch fitque velocitas corporis D ad velocitatem corporis F, & velocitas cor- poris F ad velocitatem corporis G, in dimidiata ratione virium T ad vires V i, refiftentia corporis D erit ad refifleutiam corporis E, & refiftentia corporis F ad refiftentiam corporis G in velocita- tum ratione duplicata? propterea refiftentia corporis P erit ad refiftentiam corporis F ut refirtentia corporis E ad refiftentiam corporis C, Sunto corpora P Sc F a^quivclocia ut corpora E & G 5 & augendo velocitates corporum P & F in ratione qua- cunque, ac diminuendo vires particularum Medii B in eadem ra- tione duplicata, accedet Medium B ad formam conditionem Medii C pro lubitu, Sc idcirco refiftenti^c corporum aqualium & a:quiveIociiim E 8^ G in bk Mediisj perpetuo accedent ad aequa- litatem I pl ] litatem, Ita ut earum difFerentia evadat tandem minor quam data -quaevis. Proinde cum refiftentiae corporum DSe F fint ad invicem ut refiftentiae corporum E & G, accedent etiam hae fimiliter ad rationem aequalitatis. Corporum igitur D Sc ubi velocifii- me moventur, refiftentiae ftint aequales quam proxime ; Sc propte- rea cum refiftentia corporis F fit in duplicata i ratione velocitatis, erit refiftentia corporis D in eadem ratione quamproxime. Q,E.D. Corol. 5. Igitur corporis in Fluido quovis Elaftico velocifii- me moventis eadem fere eft refiftentia ac fi partes Fluidi viribus ftiis centrifugis deftituerentur, feque mutuo non fugerent : fi mo- ‘do Fluidi vis Elaftica ex particularum viribus centrifugis oriatur. Corol. q.. Proinde cum refiftentia fimilium Se aquivelocium corporum, in Medio ciqus partes diftantes fe mutuo non fugiunt, fint ut quadrata diametrorum, funt etiam aequivelocium & ce- lerrime moventium- corporum refiftentise in Fluido Elaftico ut quadrata diametrorum quam proxime. Corol, Et cum corpora fimilia, aequalia & a:quivelocia, in Mediis ejufdem denfitatis, quorum particulae fe mutuo non fu- giunt, fi ve particulae illae fint pl ures & minores, five pauciores Sc majores, in aequalem materiae quantitatem temporibus aequalibus inpingant,- eique aequalem motus quantitatem imprimant, & vi- cifiim ( per motus Legem tertiam ) aequalem ab eadem rea(ftio- nem patiantur, hoc eft, aequaliter refiftantur; manifeftum eft etiam quod in ejufdem denfitatis Fluidis Elafticis, ubi velociifimc moventur, aequales fint eorum refiftentiae quam proxime ^ five fluida illa ex particulis crafiloribus conftent, five ex omnium lubtiliftimis conftituantur. Ex Medii fubtilitate refiftentia pro- je(ftilium celerrime motorum non multum diminuitur. Corol. 6. Cum autem particulae Fluidorum, propter vires quibus fe mutuo lugiunt, mov ri nequeant quin fimul agitciit particulasalias in circuitu, atque adeo dilTicilius moveantur ii.ter fc quam li viribus iliis deftituerentur^ & quo majores fiiit earum S f vires C 3” ] vires centrifugae, eo difficilius moveantur inter fe : manifeftum cffie videtur quod pro)e£i:ile in tali Fluido eo difficilius movebi- tur, quo vires illae funt intenfiores , Sc propterea Ci corporis ve- lociffimi in fuperioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoni- am refiftentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, li mo- do vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifeftum eft quod refi- fientia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis. CoroL j. Porro cum vires centrifugae eo nomine ad augendam refifientiam conducant, quod particulae motus 1'uos per Fluidum ad majorem a fe diftantiam per vires iDas propagent ; Sc cum di- fiantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora : mani- feftum eft quod augmentum, refiftentiae ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris fit momenti; Sc propterea, quo corpora fint majora eo magis accurate refiftentia tardefeentium decrefeet in in duplicata ratione velocitatis. CoroL 8. Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate ob- tinebit in Fluidis quae, pari denfitate & vi Elaftica, ex particulis minoribus conftant. Nam fi corpora illa majora diminuantur, Sc particulae Fluidi, manente ejus denfitate Se vi Elaftica, diminu- antur in eadem ratione ; manebit eadem ratio refiftentiae quae pri- us : ut ex praecedentibus facile colligitur. Corol. 9. Hxc omnia ita fe habent in Fluidis, quorum vis E- laftica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod fi vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expanfione ad in- ftar Lanae vel ramorum arborum, aut ex alia quavis caufa, qua motus particularum inter fe redduntur minus liberi .• refiftentia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in fuperioribus Corollariis. Frop. XXXIV. C 3^3 ] Prop. XXXIV. Theor. XXVII. Qjidi in pr£cedentibm duahm Tropo fitiomhm dcmonjirata funty obtinent ubi particnlx Syjiematum fe mutuo contingunt ^ fi modo par- ticuU illcC fint fumme lubricae. Concipe particulas viribus quibufdam fe mutuo fugere, vi- res illas in accelfu^ad fuperficies particularum augeri in infinitum, & contra, in receffu-ab iifdem celerrime diminui &; ftatim eva- ncfcere. Concipe etiam fyftemata comprimi, ita ut partes eo- rum fe mutuo contingant, nifi quatenus vires illae conta^um im- pediunt. Sint autem fpatia per quae vires particularum diffun- duntur quam anguftifil^na, ita ut particulae fe mutuo quam proxi- me contingant: & motus particularum inter feiidem erunt quam proxime ac fi fe miituo contingerent. Eadem facilitate labentur inter fe ac fi efient fumme lubricae, & fi impingant in fe mutuo refle^fentur ab invicem ope virium praefatarum, perinde ac fi elfent Elafticae. Itaque motus erunt iidem in utroque cafu, nifi quate- nus perexigua particularum fefe non contingentium intervalla dive.firatem efficiant: quae quidem diverfitas diminuendo parti- cularum intervalla diminui poteft in infinitum. Jam vero quae in praecedentibus duabus Propofitionibus demonftrata funt, obti- nent in particulis fefe non contingentibus, idque licet intervalla particularum, diminuendo fpatia per quae vires diffundunur, di- minuantur in infinitum. Et propterea eadem obtinent in parti- culis fefe contingentibus, exceptis folum differentiis quae tandem differentiis quibufvis datis minores evadant. Dico igitur quod accurate obtinent. Si negas, affigna differentiam in cafu quo- cunqiie. Atqui jam probatum efl: quod differentia minor fit quam data quaevis. Ergo differentia falfo afiignatur, & propte- rea nulla eft. Q. E. D. Corol. 1 . Igitur fi Syfiematum duorum partes omnes quief- cant inter fe, exceptis duabus, quae caetci is majores fint & fibi S f 2 muto. C 3H ] mutuo correfpondcant inter caetcras iimilitcr fitx. Hx fecundum lineas fimiliter pofitas utcunque proje£i:aE fimilcs excitabunt mo- tus in 5'yli;ematibus, & temporibus proportionalibus pergent fpa- tia fimilia 8c diametris fuis proportionalia deferibere ^ Sc refi- frentur in ratione compofita ex duplicata ratjpne velocitatum Sc duplicata ratione diametrorum Sc ratione denfitatis Syftcma- tum. ^ Corol. 2. Unde fi Syftemata illa fint Fluida duo fimilia, & eorum partes dux majores fint corpora in iifdem projeda ; fint autem Fluidorum particulae fumme lubricae, Sc quoad magnitudi- nem & denfitatem proportionales corporibus ; pergent corpora temporibus proportionalibus fpatia fimilia & diametris fuis pro- portionalia deferibere, & refiftentur in ratione Corollario fuperi- ore definita. CoroL 3. Proinde in eodem Fluido Projedile magnitudine datum refifiitur in duplicata ratione velocitatis. Corol. 4. At fi, particulae Fluidi non fint fumme lubricae, vel fi viribus quibulcunque fe mutuo agitant, quibus motuum liber- tas diminuitur; Projedilia tardiora difficilius fuperabunt refifien- tiam, & propterea magis refiftentur quam in velocitatis ratione duplicata. Prop. XXXV. Theor. XXVIII. Si C lobus Cylindrus qualibus diametris deferipti^ in Medio raro Llajiico^ fecundum plagam axis Cylindri^ quali cum 'veloci- tate celerrime mo^veantur : erit ref flentia Globi duplo minor quam re- fi fi entia Cylindri. Nam quoiiiam refiftcntia ( per Corol. 3. Prop. XXXIII.) eadem eft q'’am proxime ac fi partes Fluidi viribus nullis fe mu- tuo fugerent, fupponamus partes Fluidi ejufmodi viribus defti- tutas per fpatia omnia uniformiter difpergi. Et quoniam a£fio Medii in coi pus eadem eft ( per Legum Corol. ^.) five corpus in Medio quiefeente moveatur, five Medii particulae eadem cum veloci- Ii 3=5 ] velocitate impingant in corpus quiefcens .* confideremus corpus tanquam quiefcens, & videamus quo impetu urgebitur a Medio movente. Defignet igitur AB Kl corpus Sphxricum centro C femidiainetro C A deicrip- ^ tum, & inci- dant particu- lae Medii data cum velocita- te in corpus illud Sphaeri- cum, fecun- dum re£i:as ip BAC paralle- las: SitqueFjB ejufmodi re^ia. In ea capiatur L B lemidiametro C B aequalis, 8c ducatur BD quae Sphaeram tangat in In AC 8>c BD demit- tantur perpendiculares BE^DL^ & vis qua particula Medii, fe- cundum re6i:am FB oblique incidendo. Globum ferit in B, erit ad vim qua particula eadem Cylindrum ONG Q axe ACI circa Globum defcriptum perpendiculariter feriret in ut L D ad L B vel B £ ad B C. Rurfus efficacia hujus vis ad movendum globum fecundum incidentiae fuae plagam FB vel A C, eft ad e- jufdem efficaciam ad movendum globum fecundum plagam de- terminationis fuae, id efi; fecundum plagam redae B C qua globum direde urget, ut BE ad £C. Et conjundis rationibus, effica- cia particulae, in globum fecundum redam F B oblique incidentis, ad movendum eundem fecundum plagam incidentiae fuae, efl: ad efficaciam particulae cjufdem fecundum eandem redam in cylin- drum perpendiculariter incidentis,ad ipfiim movendum in plagam eandem, ut B £ quadratum ad BC quadratum. Quare fi ad cy- lindri bafem circularem N AO erigatur perpendiculum b HE^ Sc Cit bE aequalis radio AC^ Sc b H aequalis erit b H 2id ^ ^ b E [ 3^^ 1 bE Ut effe£l:us particulae in globum ad efFe£l:um particulae In cylindrum. Et propterca Solidum quod a re6i:is omnibus b H occupatur erit ad folidum quod a re6i:is omnibus b E occu- patur, ut cfl:e£i:us particularum omnium in globum ad efTe^lum particularum omnium in Cylindrum. Sed loliduin prius eft Pa^ rabolois vertice E, axe CASc latere re(^o C A deferiptum, &: fo- lidum pofterius eft cylindrus Paraboloidi circumferiptus: Sc no- tum eft quod Parabolois ftt femiffis cylindri circumferipti. Ergo vis tota Medii in globum eft duplo minor quam ejufdem vis tota in Cylindrum. Et propterea fi particulae Medii quiefeerent, Se cy- lindrus ac globus aequali cum velocitate movereiitui*, foret refi- ftentia globi duplo minor quam refiftentia cylindri. Q. E. D, Scholium, Eadem methodo figurae aliae inter fe quoad refiftcntiam com- parari poftunt, eaeque inveniri qua; ad motns fuos in Mediis re- fiftentibus continuandos aptiores funt. Ut fi bafe circulari CEBHy quae centro ,0, radio OC deferibitur, &:aki- tudmeO Dy conftruendum fit fruftrum coni CBG f,quod omnium eadem bafi Scabitu- dine conftru6forum & fecundum plaga maxis fui verfus D progredientium fruftorum mi- nime refiftatur : bifeca altitudinem 0 D \n Q 8c produc, 0 2 ^d iS ut fit 2^^ aequalis QC, Sc erit S vertex coni cujus fruftum quaeritur* Undeobiter cum angulus CvSB femper fit acutus, confequens eft, quod fi folidum AD BE convolutione figurae Ellipticae vel O- valis ADBE circa axem fa(fta generetur, & tangatur figura generans a reftis tribus EG, GH, H/ in pundis Fy B Sc 7, ea lege ut G H fit perpendicularis ad axem in punffocontadus By Sc EG, 77 7 cum eadem GH contineant angulos EGE, E 77 7 graduum 135.* folidum, quod convolutione figurae A D FG HIE circa ax- em C C 327 ] em eundem C B generatur, minus refiftitur quam folidum prius j fi modo utrumque fecundum plagam axis fui A B progrediatur, Sc utriufque terminus B praecedat. Quam quidem propofitio- nem in conftruendis Navi- bus non inutilem futuram elfe cenfeo. Quod fi figura DNFB ejufmodi fit ur, fi ab ejus pun6i:o quovis N ad axem AB demittatur perpendi- culum N M, & a pundo dato G ducatur re6i:a G K quae parallela fit re6i:9e figuram tangenti in N, & axem produ6i;um fccet in K., fuerit MN 2Ld G K ut G K cnh. ad ^BKy.GBq : So- lidum quod fi^mrae hujus revolutione circa axem AB fa6i:a delcri- bitur, in Medio raro & Elafiico ab A verfus B velociflime mo- vendo, minus refiftetur quam aliud quod vis eadem longitudine Sc latitudine deferiptum Solidum circulare. Prop. XXXVI. Prob. VIII. Invenire refijlentiam corporis Sphaerici in Fluido raro ^ Elajlico velocijpme progredientis. ( Vide Pig. Pag. 3^5*) Defignet ABKI corpus Sphaericum centro C femidiametro CA deferiptum. Producatur C A primo ad S deinde ad K, ut fit 5* pars tertia ipfius C A^ Sc C R Cit ad C S ut denfitas corporis Sphae- rici ad denfitatem Medii. Ad CR erigantur perpendicula P RXj centroque R Sc Afymptotis C K, ivX deferibatur Hyper- bola quaevis P VT. In Cii capiatur C7 longitudinis cujufvis, Sc erigatur perpendiculum 'TV abfeindens arcam Hyperbolicam P CFV.^ Sc fit CZ latus hujus arcae applicatae ad regiam P C. Di- co quod motus quem globus, deferibendo fpatium C Z, ex refi- ftentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum fub initio ut lon- gitudo CT ad longitudinem CR quamproxime. Nam C 328 3 Nam ( per motiium Legem tertiam ) motus quem cylindrus CNOQ circa globum defcriptus impingendo in Medii particulas amitteret, aequalis eft motui quem imprimeret in eafdem par- ticulas. Ponamus quod particulae fingulae reflc6i^antur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate refiliant,*quacum cylindrus ad ipfas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. fi mo- do particulae quam minime fint, Sc vi Elaftica quam maxima refle£fantur. Velocitas igitur quacum a cylindro rcfiliunt, ad- dita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo ma- jorem quam velocitas cylindri, & propterca motus quem cy- lindrus ex reflexione particulae cujufque amittit, erit ad mo- tum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Pro- inde cum denfitas Medii fit ad denfitatem cylindri ut CiS" ad -CRy fi C t fit longitudo tempore quam minimo a cylindro de- -ifcripta, erit motus eo tempore amifiiis ad motum totum cylin- -dri ut 2Ct\C S ad AIxCR. Ea enim eft ratio materiae Me- dii, a cylindro protrufe & reflexae, ad maflam cylindri. Unde cum globus fit duae tertix partes cylindri, &: refiftentia globi ( per Propofitionem fuperiorem ) fit duplo minor quam refiften- tia cylindri : erit motus, quem globus deferibendo longitudinem L amittit, ad motum totum globi, ut CtxC^Sad j A IxCR^ five ut f^-adCR. Eligatur perpendiculum ^ <2^ Hyperbolae occur- rens in 8c ( per Corol. i. Prop. V. Lib. K J) fi corpus de- feribendo longitudinem areae Ct‘vP proportionalem, amittit mo- tus fui totius C K partem quamvis C t, idem deferibendo longitii- -dinem arex C T EF proportionalem, amittet motus fui partem X T. Sed longitudo Ct aequalis eft CP^t CP ’ Sc longitudo 0 Z CP T E ( per Hypothcfin ) aequalis eft ? adeoque longitudo C t L# •* eft ad longitudinem C7. ut area CP^/t ad aream CPVT. Et propterca cum globus d Icdbeiido longitudinem quam minimam ■C t amittar motus fui [Vviccrujqua; fii ad totum ut Ct ad CR, is diJCibvndo I 339'] defcribendo longitudinem aliam quamvis CZ, amittet motus fui partem quae fit ad totum ut CT ad Ci?.. O^El. D, Corol. I. Si detur corporis velocitas fub initio, dabitur tem- pus quo corpusydelcribendo fpatium Ct, amittet motus fui par- tem C t : & inde, dicendo quod refiftentia fit ad vim gravitatisut ifta motus vpars amiffa ad motum, quem^gravitas Globi eodem tempore generaret ^ dabitur proportio tefiftentiae ad gravitatem Globi. Corol. 2, Quoniam in his determinandis fuppofui quod par- ticulae Fluidi per vim fuam Elafticam quam maxime a Globo re- flectantur, particularum fic reflexarum impetus in Globum duplo major fifquamfi non refleCterentur : manifeflum eftquod in Fluido, cujus particulae vi omni Elaftica aliaque omni vi reflexi- va deftituuntur, corpus Sphaericum refiftentiam duplo minorem patietuf 5 adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius progredietur quam pro conftruCtione Problematis hujus fuperius allata. Corol. 3. Et fi particularum vis reflexiva neque maxima fit neque omnino nulla, fed mediocrem aliquam rationem teneat .* refiftentia pariter, inter limites in conftru^ione Problematis & Co- rollario fuperiore pofitos, mediocrem rationem tenebit. Corol., 4. Cum corpora tarda paulo magis refiftantur quam pro ratione duplicata velocitatis : hsc defcribendo longitudinem quamvis C Z amittent majorem motus fui partem, quam quae fit ad motum fuum totum ut CT ad C K. Corol. Cognita autem refiftentia corporum celerrimorum, innotefeet etiam refiftentia tardorum ; fi modo lex decrementi re- fifrentiae pro ratione velocitatis inveniri poteft. >r '.j/ Tt Prop. xxxvir. I 33° ] Prop. XXXVII. Prob. IX. AqH£ de z^afe dato per foramen effluentk depnire motum. Si vas impleatur aqua, St in fundo perforetur ut aqua per fo- ramen defluat, manifeftum eft: quod vas fi ftinebit pondus aquae totius, dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculari- ter imminet. Nam fi foramen obftaculo aliquo occluderetur, ob- ftaculum fuftineret pondus aquae fibi perpcndiculariter incum- bentis, & fundum vafis fuftineret pondus aquae reliquae. Sub- lato autem obftaculo, fundum valis eadem aquae prcfilone eo- demve ipfius pondere urgebitur ac prius j St pondus quod ob- ftacLilum fuftinebat, cum jam non fuftineatur, faciet ut aqua def- cendat St per foramen defluat. Unde confequens eft, quod motus aquae totius effluentis is erit quem pondus aquae foramini perpendiculariter incumbentis gene- rare poflit. Nam aquae particula unaquaeque pondere fuo, qua- tenus non impeditur, defccndit, idque motu uniformiter accele- rato; St quatenus impeditur, urgebit obftaculum. Obftaculum illud vel vafis eft fundum, vel aqua inferior defluens; St propte- rea ponderis pars illa, quam valis fundum non fuftinet, urgebit a- qiiam defluentem St nrotum fibi proportionalem generabit. Defignet igitur F aream foraniinis, A altitudinem aquae fora- mini perpendiculariter incumbentis, P pondus ejus, y^Fquan- ritatem ejus, 5" ipatium quod dato quovis tempore T in vacuo libere cadendo deferiberet, St V velocitatem quam in fine tem- poris illius cadendo acquiiicric : St motus ejus acquilitus A Fx V aequalis erit motui aquae totius eodem tempore effluentis. Sit velocitas quaciim effluendo exit de foramine, ad velocitatem V ut ad e ; St cum aqua velocitate V deferibere pofiet fpatium 2 aqua effluens eodem tempore, velocitate fua - F, deferibere pof- fet fpatium Et propterea columna aquae cuius longitudo ^ ' fit 1 331 3 fit —S Si latitudo eadem qua; foraminis, poffeteo tempore dc- fluendo egredi de vafe, hoc efl: columna — Quare motus ? 5'FF, qui fiet ducendo quantitatem aquae effluentis in velo- citatem fuam, hoc efl: motus omnis tempore effluxus illius geni- tus, aequabitur motui A FxV. Et fi aequales illi motus appliccn- ter ad F fiet ^-^5 aequalis A. Unde efl; dd 2id e e ut A 2 Sc dd.d e in dimidiata ratione 7 ad 5'. Efl: igitur velocitas qua- cum aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, & tempore T cadendo defcribens fpatium S acquireret, ut altitudo aquae foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium propor- tionale inter altitudinem illam duplicatam & ipatium illud 5, quod corpus tempore T cadendo defcriberet. Igitur fi motus illi furfum vertantur j quoniam aqua velocitate V afcenderet ad altitudinem illam S de qua deciderat , & altitu- dines ( uti notum efl: ) fint in duplicata ratione velocitatum : aqua effluens afcenderet ad altitudinem i A. Et propterea quan- titas aqux effluentis, quo tempore corpus cadendo deferibere poffet altitudinem i A^ aequalis erit columnae aquae totius AFfo^ ramini perpendiculariter imminentis. Cum autem, aqua effluens, motu fuo furfum verfo, perpendi- culariter furgeret ad dimidiam altitudinem aquae foramini incum- bentis 5 confequens efl: quod fi egrediatur oblique per canalem in latus vafis, deferibet in fpatiis non refiftentibus Parabolam cu- ius latus redum efl altitudo aquae in vafc fupra canalis orificium, cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo^ucitur, atque ordinatim applicatae parallelae funtaxi canalis. ^Haec omnia de Fluido fubtiliffimo intelligenda funt. Nam fi aqua ex partibus cralTioribus confiet, haec tardius effluet quam pro ratione fuperius aflignata, pra::fertimfi foramen angufiumfit per quod effluit. Tt 2 Denique [ 33^ ] ~ , Denique fi aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur 5 quoniam fundum vafis integrum eft, & eadem aquae incumbentis preflione ubique urgetur ac fi aqua non efflueret , vas fufti- nebit pondus aquae totius, non obftante effluxU', fcd latus vafis de quo effluit non fufiinebit prefllonem illam omnem, quam fii- ftineret fi aqua non efflueret. Tolletur enim prefflo partis illius ubi perforatur ; quae quidem prefflo aequalis eft ponderi columnae aquae, cujus bafis foramini aequatur Si altitudo eadem eft quae a- quae totius fupra foramen. Et propterea fi vas, ad modum cor- poris penduli^ filo praelongo a clavo fufpendatur, hoc, fi aqua in plagam quamvis fecundum lineam horizontalem effluit, recedet lemper a perpendiculo in plagam contrariam. Et par eft ratio motus pilarum, quae Pulvere tormentario madefacto implentur, materia in flammam per foramen paula tim‘expirante, recedunt a regione flammae 8cin partem contrariam cum impetu feruntur. Prop. XXXVIin Theor. XX‘IX. Corporum Sphetricornm in Mediis qmbufqHe Flmdijpmis re en- tiam in, anteriore fitperjicie^ dej/mre. Defluat aqua de vale Cylindrico ABCD^ per canalem Cy- lindricum EFGH, in vas inferius IKLM:, & inde effluat per vafis marginem IM. Sit aurem margo ille ejuldem altitudinis cum vafis luperioris tundo CDj eo ut aqua per totum canalem uniformi cum motu defeendat j Sc in medio canalis collocetur Globus fitque P K altitudo aquae fupra Globum, St S K ejuf- dem altitudo fupra fundum vafis. Suftineatur autem Globus R- lo tenuilpmo 7-C, lateribus canalis hinc inde affixo. Et minife- ftum eft per proportionem fu perorem, quod quantitas aquae da- to tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod de- fluit ^ hoc tft, fi Globus tollatur, ut canalis orificium : fin Globus adfit, ut Ipatium undique inter Globum & canalem. Nam ve- loeitas aqux defluentis (per fuperiorem PropofitionemJ) ea erit > ' • quam K D 333']' quam corpus cadendo, Sc^cafu luo defcribendo dimidiam aquae altitudinem SR^ acquirere polTet: adeoque eadem eft (ive Globus tollatur, live adiit. Et propterea aqua defluens erit ut amplitudo fpatii per quod tranlit. Certe tranlitus aquae per fpa- tium anguftius facilior elie nequit quam per fpatium amplius, & propterea ve- locitas ejus u- bi Globus adeft, non poteft ef. fe major quam cum tollitur : i- deoque major a- quae quantitas, u- bi Globus adeft, non effluet quam- pro ratione fpa^ tii per quod tran ^ fit. .Si aqua non fit liquor fubti- liflimus & flui- diifimus, hujus tranlitus per fpa- tium anguftius, ob cralTitudinem particularum, e- rit aliquanto tar- dior ; at liquorem fluidiflimum elTe hic fupponimus. Igitur quantitas aquae, cujus defcciifum Globus dato tempore impedit, eft ^ quantitatem aquae quae, fi Globus tolleretur, eodem tempore defeenderet, ut bafis Cylindri circa Globum deferipti ad orificium c-analis^ five ut quadratum diametri Globi ad quadratum diame- tri cavitatis canalis. Et propterea quantitas aquae cujus defccn- fuin Globus impedit, aequalis eft quantitati aquae, quae eodem temporc' " — ■ __ E 1 T 1 'j-.-iv ? : — 'tt C 354 ] tempore per foramen circulare in fundo vafis, ba fi Cylindri illius xqualc, dcfccndcrc pofTct, 8c cujus defccnfus per fundi partem quamvis circularem bafi illi xqualem impeditur. Jam vero pondus aquae, quod vas Se Globus conjun^dm fufii- nent, cft pondus aqux' totius in vafe, praeter partem illam quee aquam defluentem accelerat, Se ad ejus motum generandum fuffi- cit, quaeque, per Propodtionem fuperiorem, aequalis eft ponderi columnae aquae cujus bafis aequatur fpatio inter Globum Se cana- lem per quod aqua defluit, Se altitudo eadem cum altitudine aquae fupra fundum valis, per lineam S K deflgnata. Vafis igi- tur fundum Se Globus conjun^fim ruftinent pondus aquae totius in vafe flbi iplTs pcrpcndiculariter imminentis. Unde cum* fun- dum vafls fuftincat pondus aquae fibi perpendiculari ter imminen- tis, reliquum cfl; ut Globus etiam fuftincat pondus aquae flbi per- pendiculariter imminentis Globus quidc m non fuflinet potidus aquae illius fragnantis Se fibi abfque omni motu incumbentis, fed aqiiai defluenti refiftendo impedit effe£fum tanti ponderis j ade- oqtie vim aqtix defluentis fuflinet ponderi illi aequalem. Nam impedit defcenfum Se effluxum quantitatis aquae quem pondus illud accurate efficeret fi Globus tolleretur. Aqua pondere fuo, quatenus defcenfus ejus impeditur, urget obfta culum omne, ide- oque obflacuIum,quatenus defcenfum aquae impedit, vim fuflinet aequalem ponderi quo defcenfus ille efficeretur. Globus autem defcenfum quantitatis aquae impedit, quem pondus colum- nae aquae libi perpendiculariter incumbentis eflicere poffet; Sc propterea vim aquae decurrentis fuflinet ponderi illi a qualem. Aflio & reaefio aquae per motus Legem tertiam aequantur inter fe, Sc in plagas contrarias diriguntur. A(flio Globi in aquam de- Icendentem, ad ejus defcenfum impediendum*, in fuperiora dirigi- tur, Sc cfl utdefcendendi motus impeditus, eique tollendo adae- quate fulficit: Sc propterea adfio contraria aquae in Globum ae- qualis efl vi quae motum eundem vel tollere vel generare poflit, hoc C 33? ] hoc eft ponderi columnae aquae, quae Globo perpendicularitcr im- minet Sc cujus altitudo eO: RS. Si jam canalis orificium fuperius obftruatur, fic ut aqua defi- cendere nequeat, Globus quidem, pondere aquae in canali Sc vafe inferiore IKLM ftagnancis, premetur undique i fed non ob- flante prefllone illa, fi ejufdem (it fpecificae gravitatis cum aqiia, quiefcet. Preflio illa Globum nullam in partem impellet. Et propterea ubi canalis aperitur 8c aqua de vafe fuperiore defcendit, vis omnis, qua Globus impellitur deorfum, orietur ab aquae illius defcenfu, atque adeo aequalis erit ponderi columnae aquae, cujus al- titudo eft R S & diameter eadem qua: Globi. Pondus autem iftud, quo tempore data quaelibet aquaf’ quantitas per foramen bafi Cy- lindri circa Globum defcripti a quale, fiiblaro Globo effluere pofi fet, fullicic ad ejus morum omn/To gtnerandumj atqucadeoquo tempore aqua in Cylindro uni rorafiter decurrendo dcfcribit duas tertias partes diametri Globi, iufficir ad motum omnem aquae Glo- bo aequalis generandum. Nan Cylitidrus aquv, latitudine Globi duabus tertiis panibus altiru('inis dc.fciiptus, Globo aequatur. Et propterea aquae currentis impetus in Globum quiefeentem, quo tempore aqua currendo deferibit duas tertias partes diametri Globi, fi Uiiiformirer continuetur, generaret motum omnem par- tis Fluidi quae Globo aequatur. Quae vero de aqua in canali demonftrata funt, intelDgenda funt etiam de aqua quacunque fluente, qua Globus quilibet in Ca qiiieicens urgetur. Quaque de aqua demonftrata funt obtinent etiam in Fluidis univerfis fubtiliifimis. De his omnibus idem va- let argumentum. Jam vero per Legum Corol. vis Fluidi in Globum eadem eft,fivc Globus quiefeat & Fluidum uniformi cum velocitate mo- veatur, five Fluidum quiclcat Globus cadem cum velocitate: in partem contrariam pergat. Elt propterea rcfiftcntia Globi in Medio quocunque Fluidiflimo uniformiter progredientis, quo tempore Globus duas tertus partes diaincri i fua dcfcribit, aqua- lis. . f 3 . . . Iis cft vi, quae in corpus ejufdem magnitudinis cum Globo & cjuf- dcm denfitatis cum Medio uniformiter imprefla, quo tempore 'Globus duas tertias partes diametri fuae progrediendo deferibit, velocitatem Globi in corpore illo generare pollet. Tanta eft re- fiftentia Globi in fLipcrficiei parte praecedente. Q. £. D. Corol. 1. Si iolidum Sphaericum in ejufdem fecum denfitatis Fluido fubtiliflimo libere moveatur, & inter movendum eadem vi urgeatur a tergo atque cum quiefeit , ejufdem refiftentia ea erit quam in Corollario fecundo Propofitionis xxxvi. defcripfr- mus. Unde fi computus ineatur, patebit quod folidum dimidi- ^am motus fui partem prius amittet, quam progrediendo defcripfe- lit longitudinem diametri propriae j Quod fi inter movendum mi- nus urgeatur a tergo, magis retardabitur : & contra, fi magis urgeatur, minus retardabitur. Corol, 2, Hallucinantur igitur qui credunt refiftentiam proje- 6i:ilium per infinitam divifionem partium Fluidi in infinitum di- minui. Si Fluidum fit valde crallum, minuetur refiftentia ali- quantulum per divifionem partium ejus. At poftquam compe- fteiitem Fluiditatis gradum acquifiverit, (qualis forte eft Fluidi- •tas Aeris vel aquae vel argenti vivi) refiftentia in anteriore fuper- ficie folidi,per ulteriorem partium divifionem non multum minu- etur. Nunquam enim minor futura efl: quam pro limite 'quem in Corollario fuperiore affignavimus. Corol, 3. Media igitur in quibus corpora proje£i:ilia fine fen- fibili motus diminufione longiflime progrediuntur, non folum Fluidiflima funt, fed etiam longe rariora quam funt corpora illa quae in ipfis moventur : nifi forte quis dixerit Medium omne Flu- idlffimum, impetu perpetuo in pofticam projedilis partem fa(fi:o, tantum promovere motum ejus quantum impedit & refiftit in par- te antica. Et motus quidem illius, quem projeflile imprimit in Medium, partem aliquam a Medio circulariter lato reddi cor- pori a tergo verifimile eft. Nam & experimentis quibufdamfa- dis, reperi quod in Fluidis fatis compreffis pars aliqua redditur. Omnem C 337 3 . Otnneni vero in cafu quocuiique reddi nec rationi confentaneoih videtur, neque cum experimentis ha^emis a me tentatis bene quadrat. Fluidorum enim utcunque llibtilium, fi denik fint, vim ad folida movenda refiftendaque permagnam eile, & quo- modo vis illius quantitas per experimenta determinetur, plenius patebit per Propofitiones duas qua fequuntur. Leminma IV. ^ Si fj/as Sphericum Fluido homogeneo quief^eMe pletiuin a *vi itti" pv'ejpt moveatur in diretium^ motuqne prdgrejjivo jemper accelerato ita percidat ut interea non moveatur in orbem : partes Fluidi inclupy aqualiter participando motum vafis^ quiejcent inter fs. Idem obtine"- hit in vafe pgura cnjujcunque, Kes manifefla ejiy nec indiget de^ monjiratione, . i - - • Prop. XXXIX. Theor. XXX. Fluidum omne quod motu accelerato ad modum venii increhefcentis progreditur^ ^ cujus partes inter fe quiefcunty rapit omnia ejufdem denfitatk innatam ia corpora^ ^ fecum cum eadem velocitate defert. Nam per Lemma fuperius fi vas Spharicum, rigidum, Fluido- qiie homogeneo quiefeente plenum, motu paulatim impreflb progrediatur ; Fluidi motum vafis participantis partis omnes femper quiefeent inter fe. Ergo fi Fluidi partes aliquae congela- rentur, pergerent hae quiefeere inter partes reliquas. Nam quo- niam partes omnes quielcimt inter le, perinde eft fi ve fluidae fint, live aliquae earum rigefeant. Ergo fi vas a vi aliqua extrinfeciis imprelfa moveatur, & motum fuum imprimat in Fluidum ; Flui- dum quoque morum fuum imprimet in fui ipfius partes congela- tas cafquc fecum rapiet. Sed partes illae congelata* funt corpora folida ejufdem denfitates cum Fluido^ Sf par cft ratio Fluidi, live id in vafe moto claudatur, five in fpatiis liberis ad modum venti U u fpirct. C.338 ] fpiret. Ergo Fluidum omne quod motu progreflivo accelerato fertur, 8c cujus partes 'inter fe quiefcunt, folida quaecunque ejuf- dem denfitatis inclufa, quae fub initio quiefcebant, rapit fecum, 8c una moveri cogit. Q. E, D. Prop. XL. Prob. X. Jnveuire refijientiam foUdornm Sphixricornm in Mediis Fimdijp- mis denfitate datis, - In Fluido quocunque dato inveniatur refiftentia ultima folidi fpecie dati, cujus magnitudo in infinitum augetur. Dein dic : ut ejus motus aimlfus, quo tempore progrediendo longitudinem fe- midiametri fuae defcribit, eft ad ejus motum totum fub initio, ita motus quem folidum quodvis datum, in Fluido eodem jam fa6i:o fubtilhrimo, defcribendo diametri fuae longitudinem amitteret, efl: ad ejus motura totum fub initio quamproxime. Nam fi par- ticulae minima: Fluidi iubtiliati eandem habeant proportionem eun- dcmque fitum ad folidum datum in eo movens, quem particulae 'totidem minimar.Fluidi non fubtiliati habenfad folidum aurium; fintque particulae* Fluidi utriufq;. fumme lubricae, &: viribus cen- trifugis centri petifque omnino defii tuantur j incipiant autem foli- .da temporibus . quibufeunque proportionalibus in his Fluidis fi- militer rnoveri .* pergent eadem fimiliter moveri, adeoque quo tempore' deferibunt fpatia femidiametris fuis aequalia, amittent partes motuum proportionales totis j idque licet partes Medii iubtiliati minuantur, &: magnitudo folidi in Medio non fubtiliato moventis augeatur in infinitum. - Ergo ex refiftentia folidi audi in Medio non fubtiliato, dabitur per proportionem fuperiorem re- iiftentia folidi non. audi in Medio fubtiliato. Q. E. I. Si particulae non funt fumme lubricae, fupponendum eft quod in utroq ^ Fluido funt aequaliter lubricae, eo ut ex defedu lubrici- tatis refiftentia utrinq, aequaliter augeatur: & Propofitio etiam- num valebit. Corol. I. [ 339 ] _ Corol i. Ergo il ex au£l:afolidi Sphaerici magnitudine augca» tur ejus refiftentia in ratione duplicata y^refiftentia folidi Sphaerici dati ex diminuta magnitudine particulaium Fluidi, nullatenus; minuetur. . Corol. 2. .Sin refiftentia, augendo folidum Sphaericum, augea-> tur in minore quam duplicata ratione diametri .* eadem diminu-- endo particulas Fluidi, diminuetur iri ratione qua refiftentia auifta deficit a ratione duplicata diametfi. CoroL 5. Unde perfpicuum eft quod folidi dati reriftentia per divifionem partium Fluidi non multum diminui poteft. Nam»re^* fiftentia folidi au6i:i debebit effe quam proxime ut quantitas ma-> teriae fluidae refiftentis, quam folidum illud movendo protrudit a locis a fe invafis & occupatis propellit ; . hoc eft ut fpatium Cy-^ lindricum per quod folidum movetur, adeoque in duplicata nati» one femidiametri folidi quamproximc. ?) * J m 1. b Corol. 4. Igitur propofitis duobus Fluidis, quorum alterum ab altero quoad vim refiftendi longiflime fuperatur : Fluidum quod minus reftftit eft altero rarius 5, funtque Fluidorum omniurh Vires refiftendi prope ut eorum 'denfitatess praefertirii fiifolida ftnt magna, & velociter moveantur, &; Fluidorum' aequalis fit cbmpref* fio. r . ? Scholium Generale, no i ^ ■ V ’ ' ai Qiiae ha^ienus demonftrata funt tenta vi in hunc modum. Glo- bum ligneum pondere unciarum Komanarnm 57 2^2» diametro digitorum Lotidi nenfniim fabricatum, filo tenui ab unco fatis firmo fcifpendi,- ita ut inter uncuni & centrum ofcillationis Glo- bi diftantia eflet pedum 1C7. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a cditro fufpenfionis diftans j & e regi- one pun(fti illius collocavi Regulam in digitos diftin(ftam, quo- rum ope notarem longitudines arcuum a Pendulo deferiptas. De- inde numeravi ofcillationes quibus Globus quartam motiisiui par- tem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad di- U u 2 ftantiam C 34° ] ftantiam duorum digitorum, & inde demittebatur ; ita ut toto fuo ddcenlu defcriheret arcum duo.um digitoium, totaque of- cillationc prima, ex defcenfu & aTceiifu fubrequentc compolrra, arcum digitorum tere qilatiior ; idem ofcillatioiiibus 164 amifit odavam motus fui partem, Gc ut ultimo fuo afcenfu ckfcriberet arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo delcenfu defcripfit arcum digitoium quatuor, amifit od-avam motus partem ofcillationibus i2i ; ita ut afcenfu ultimo deferi- baret arcum digitorum 3i. Si primo defcenfu defcripfit arcum digitorum o£to, fexdecim, triginta duorum vel fexaginta quatit- or, amifit octavam motus partem ofcillationibus 6p, 9j refpedive. Igitur dilFerentia inter arcus defcenfu primo & af- cenfu ultimo deferiptos, erat in cafu primo, fecundo, tertio, quarto, quinto, iexto, digitorum i, i, 1, 2,4, 8 pefpetflive. Divi- dantur eae differentiae per numerum ofcillationum in cafu uno- quoque in ofcillatione una mediocri, qua arcus digitorum Si 7h »5,^ 30,60,120 dfferiptus fuit, differentia arcuum defcen- fu &fubfequente afcenfu defcriptorum,erit tt?, rri, h-f 7^1) 3^7, H pajtes digiti refpe^five. ' Hae autem in majoribus ofcillationibus funt in duplicata ratione arcuum deferiptorum quam proxime, in minoribus v^ro paulo majores quam in ea ratione, & propterea (per Corob 2. Prop. xxxi. Libri hujus) refiftentia Globi, ubi celerius movetur, cfl: in duplicata ratione velocitatis quamproxi- mei ubetardius, paulo’ major quam in ea ratione: omnino ut in Corolariis Propofitionis xxxii. demonftratum eft. DeiLrnct iam L velocitatem maximam in ofcillatione quavis, fintqUe i^, C quanti rates datae, Sc fingamus quod differentia arcLium fit J V~\~ B Fi-{ C V^. Et cum velocitates maxima? in praediolis fex CafibDs,fint ut arcuum dimidiorum i i, 3L 7i, 1 chorda?, atque adeo ut arcus ipfi quamproxime, hoc eft ut nu- meri i, I, 2, 4, 8,16: feribamus in Cafu fecundo quarto & fexto numeros i, 4, & 16 pro Fj & prodibit arcuum differentia aequalis J-\- Bj- Cm Cafu fecundo^Sc aequalis ^Ai-SB-\-i6C • 35i in [ 34' ] in cafu qiiarto; & -- aequalis 6.i.B-f-2^iC incafu fexto, 9t Unde fi per has aquationes determinemus quantitates habebimus Regulam inveniendi difFcrentiam arcuum pro veloci- tate quacunque data. Caterum cum velocitates maxima Cmt in Cycloide ut arcus ofcillando deferipti, in circulo vero ut (emifllum arcuum illorum chorda, adeoque paribus arcubus majores fint in Cycloide quam in circulo, in ratione femiflium arcuum ad eorundem chordas 5 tem- pora autem in circulo fint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca : ut ex refiftentia in circulo inveniatur refiften- tia in Trochoide, debebit refiftentia augeri in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa fimplici au£l-am5 & diminui in ratione chordae ad arcum, ob tempus ( feu durationem refiftentiae qua arcuum differentia pr9edi2C97, — o, 0008955 8c C =^Oy 0030298» Eft igi- tur differentia aicuum ut 0,0002097^+ 0«, 6 08955^1 +’ o, 0030298^*: 8t propterea cum per Corol. Prop. xxx. refi- ftentia Globi in medio arcus ofcillando deferipti, ubi velocitas eft F, fit ad ipfius pondus ut A K-f B r* + i ad lon- gitudinem Penduli ; fi pro A^BScC feribantur numeri inventi, fiet refiftentia Globi ad ejus pondus, ut 0,-00 13 34 0,0006 2 3 ■f o, 0-227235 ad longitudinem Penduli inter centrum fuf- penfionis & Regulam, id eft ad 1 2 1 digitos. Unde cum V in C 342 ] cafu fecundo dcfignct i, in quarto 4, in fexto erit reriden- tia ad pondus Globi in cafu fecundo ut o. C03029 ad 121^ in quarto ut 0.042875 ad 121, in fexto ut o. 63019 ad 121. - Areus quem pundum in filo notatum in Cafu fexto defcripfit, 8 5 • • erat 120 — _ feu 119 -i digitorum. Et propterea cum radius cf- fet 12 1 digitorum, 8c longitudo penduli inter punclum fufpen- fionis & centrum Globi eflet 126 digitorum, arcus quem centrum Globi defcripfit erat 1243^, digitorum. Quoniam corporis ofcil» lantis velocitas maxima ob fefiftentiam Aeris non incidit in pun- ftum infimum arcus deferipti, fed in medio fere loco arcus totius verfatur : hsec eadem erit circiter ac fi Globus defcenfu fuo toto in Medio non refifiente deferiberet arcus illius partem dimidiam digitorum 62/,-, idque in Cycloide, ad quam motum penduli fu- pra reduximus : & propterea velocitas illa aequalis erit velocitati quam Globus,pcrpendiculariter cadendo 8c cafu fuo deferibendo altitudinem arcus illius Sinui verfo aequalem, acquirere pofiet. Eft autem Imus illeverfus in Cycloide ad arcum iftum 62 ut arcus idem ad penduli longitudinem duplam 252, 8c propterea aequa- lis digitis 15,278. Quare velocitasea ipfa efi: quam corpus caden- do & cafu fuo fpatium 15,278 digitorum deferibendo acquirere pofiet. Unde cum corpus tempore minuti unius fecundi caden- do (" uti^er experimenta pendulorum determinavit Hngeniu^ ^ deferibat pedes Parifienfes id eft pedes Anglicos 16^ fcu digitos J y7i, Sc terii*pora fint in dimidiata ratione fpatiorum 3 Globus tenipore mhmt. i^tert. ^gquart. cadendo deferibet 15, 275 digitos, & velocitatem fuam praedi^iam acquiret ; Sc propterea cum eadem, velocitate uniformiter continuata deferibet eodem tempore longitudinem duplam 30, digitorum. Tali igitur cum' velocitate Globus refifientiam patitur, quae fit ad ejus pon- dus ut o, 630T9 ad 12 1, vel (fi refiftentia: pars illa fola fpecfie- tur qua: eft in velocitatis ratione duplicataj) ut o, 58172 ad 12 i. F.xperimento autem Hydroflatico inveni quod pondus Globi hujus C 343 ] Hujus lignei eflet ad pondus Globi aquci magnitudinis ejufdcm^ uc ad ^7: &: propterea cum 121 fit ad 213, 4 in eadem ra- tione, erit refiftentia Globi aquei praefata cum velocitate progre- dientis ad ipfius pondus ut o, 58172 ad 213, 4, id.eft ut i ad 3^6^. Unde cum pondus Globi aquci, quo tempore Globus cum veloci- tate uniformiter continuata deferibat longitudinem pedum 30,556, velocitatem illam omnem in Globo cadente generare poflet; ma- nifeftum efi: quod vis refifientiae uniformiter continuata tollere poifet velocitatem minorem in ratione i ad 366^, hoc ell: velo- citatis totius partem — Et propterea quo tempore Globus, ✓ 6 ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem femidia- metri fuse feu digitorum 31^6 deferibere pofet, eodem amitteret motus fui partem Numerabam etiam olcillationes quibus pendulum quartam motus fui partem amilit In fequente Tabula numeri fupremi denotant longitudinem arcus dcfcenfu primo deferipti, in digitis & partibus digiti expreifam : numeri medii fgnificant longitudi- nem arcus afcenfu ultimo deferipti & locO infimo ftant numeri ofcillatiomim. Experimentum defcripfi tanquam magis accura- tum quam cum motus pars tantum odava amitteretur. Calculum tentetqui volet. • Defeetifus Trimus 2 • 4 8 16 32 ^4 A fcenfus ultimus i * 3 6 12 24 48 'Num. OfaUat, 374 272 833 417 22t Poftea Globum plumbeum, diametro digitorum duorum & pondere unciarum Komauarum 26^^ fufpcndi filo eodem, fic ut inter centrum Globi Sc pun6ium fufpcnfionis intervallum cfict pedum ic * j Sc numerabam ofcillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabularum fubfequentium prior exhibet numerum ofcillatio- C 344 ] ofcillationum quibus pars o£tava motus totius ceflavit ; fecunda numerum ofcillationum quibus e)ufdem pars quarta amiflk fuit. De/ceftfus primus t 2 4 8 1632 64 Afcenfus ultimus 5 4 7 14 28 56 Numerus OfcilUt. 226 228 193 140 9-i 53 30 Defcenfus primus i 2 4^ 1632 64 Afcenfus ultimus li 3 ^ 122448 Numerm OfcilUt, 510 518 420 318 204 121 70 In Tabula priore feligcndo ex obfervationibus tertiam, quin- tam & feptimam, & exponendo velocitates maximas in his ob- fervationibus particulatim per numeros i,4) refpe6i:ive, 8^ ge- neraliter per quantitatem V ut fupra : emerget in obfervatione prima 7^- = + B -f C, in fecunda = 4^+8B + C, in tertia arqu. 2t^6C, Qu* aequationes per re- dudiones fuperius expolitas dant, = 00014^, B =‘0, 000247 & C' = o, o 09. Et inde prodit refiftentia Globi cum velo- citate V moventis, in ea ratione ad jk)ndus fuum unciarum 26-^ quam habet 0,00092^^-!- 0,000172/^2 "f 97000675^ ^d Pen- duli longitudinem i i digitorum. Et fi lpe£i:emuseam folum- modo refifientise partem quae cft in duplicata ratione velocitatis, haec erit ad pondus Globi ut o, 00067 5E* ad 121 digitos. Erat autem haec pars relifteiuia? in experimento primo ad pondus Glo- bi lignei unciarum SJiz ut o, 002 2 72 3 ad 121 & inde fit rc- fiftentia Globi lignei ad refiftentiam Globi plumbei ( paribus eorum velocitatibus^) ut 5722 in o, 0227235 ad in o, 00:675, id eft ut ad 17719 feu 7i ad i. Diametri Globorum du- orum erant 6j Sc 2 digitorum, & harum quadrata funt ad invi- cem uc 474 Si. 4, feu I ifr & I quamproxime. Ergo refifientiae Globorum C 345 1 Globorum @gqujv Numerus ofcillationum i» aere. J» 3 5^ - . ( . v 52 16 8. 4 2 T i 24 12 6 3 Ii i i ^ 4 2 I . i % i If 3 7 Ili I2| 287 535' 1 6 Hi- Tn experimento columnst quarta, motus aequales ofcillationi- bus ^35 in aere, & H in aqua amifli (unt. Erant autem ofcil- Litiones in aere paulo celeriores quam in aqua, nimirum in ra- tione 44 ad 41. Nam i^f ofcillationes in aqua , & i3t in aere flmul peragebantur. Et propterea fi ofcillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in Medio utroque flerent sequi veloces, numerus ofcillationum ij in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur ( ob reflftentiam au£lam in ra- tione illa duplicata 8c tempus diminutum in ratione eadem flin- VV w 2 plici ) C 348 ] plici) diminueretur in eadem illa ratione 4^ ad 41, adeo- que evaderet i? in fcu ttt* Paribus igitur Pendulorum ve- locitatibus motus aequales in acre ofcillationibus ^35 & in aqua ofcillationibus rf^ amiffi funt ; ideoque rcfiftentia penduli in aqua cfl: ad c)us refiftentiam in aere ut ^35 ad tt4* Haec eft propor- tio refiftentiarum totarum in Cafu columnae quartae. - Defignet jam F + C P" * refifientiam Globi in acre cum velo- citate F moventis,. 8c cum velocitas maxima, in Cafu columnae quartae, iit ad velocitatem maximam in cafu Columnae primae ut i ad 8, & refiftentia in Cafu columnae quartae ad refiftcntiam in Cafu columnae primae in ratione arcuum differentiae in his cafibus, ad numeros ofcillationum applicatae, id cfl ut , ad , feu ut 8 ad 4280: feribamus in his Cafibus i 8c 8 pro velocitatibus, atque 851 & 4280 pro refifl;entiis,& fiet — 851 & 8 +^4 4280 feu 8C=5 S 5, indeque per redu£lionem aequationum proveniet 7C — 449i& € = 64, ■% & ^ = atque adeo refiftentia ut 2ifF quamproxime. Quare in Cafu columnae quartae ubi velocitas erat i, refiflentia tota efl; ad partem fuam quadrato ve- locitatis proportionalem, ut 2if +644 feu85i, ad 64,4; Sc id- circo refiftentia penduli in aqua efl; ad refiftentiae partem illam in acre quae quadrato velocitatis proportionalis efl, quaeque fola in motibus velocioribus confideranda venit, ut 851 ad 644 535 ad tH conjun^lim, id efl: ut ^37 ad i- Si penduli in aqua ofcil- hhtis filum totum fuiffet immerfum, refiftentia ejusfuiflet adhuc major *, adeo ut penduli iii aere ofcillantis refiftentia illa quae ve- locitatis quadrato proportionalis eft, quaeque fola in corporibus velocioribus confideranda venit, fit ad refiftcntiam cjufdem pen- duli totius, eadem cum velocitate in aqua ofcillantis, ut Soovel 9°^ ad ‘ circiter, hoc eft utdenfitas aquae ad denfitatem aeris quam- proxime. In hoc calculo fumi quoque deberet pars illa refiftentiae pen- duli in aqua, quaeeffet ut quadratum velocitatis, fed (quod mi- rum C 34P ] rum forte videatur^ refiftentia in aqua angebatur in ratione ve- locitatis plufquam duplicata. Ejus rei caufam inveftigando, in hanc incidi, quod Arca nimis angufta edet pro magnitu- dine Globi penduli, Sc motum aquae cedentis prae anguftia fua nimis impediebat. Nam fi Globus pendulus, cujus diameter erat digiti unius, immergeretur, refillentia augebatur ia duplicata ra- tione velocitatis qiiampfoxime. Id tentabam conftruendo pen- dulum ex Globis duobus, quorum inferior 8c minor ofcillaretur in aqua, fuperior Sc major proxime. fupra aquam filo affixus ef- fet, & in Aere ofcillando, adjuvaret ifib tum penduli eumque diu- turniorem redderet. Experimentai.autem^hoc modo linfiituta fe habebant ut in Tabula fequente defer ibitur. h Aychs defcenfti primo defcrip.tus . , '1 ,'^4 2 ' I- .«i \ ArcHs afcenfii tdtimo deftriptns.''" ^ ^ ^12 5 li' 4' Arcuum diff, motui amijfo proportiomlis 4 2 i i i s Numerus- OfcilUtionum'^ 2iy 34' 53 ■ r ■/ 'w ' -^1 Refiftentia hic nunquam augetur in ratione , velocitatis pluf- quam duplicata. Et idem in pendulo majore evenire verifimile eft, fi modo Arca augeatur in ratione penduli. Debebit tamen refi- If entia tani in aeve. quam in aqua, fi velocitas per gradus in in- finitum augeatur, augeri tandem in ratione paulo plufquam du- plicata, propterca quod in experimentis hic deferiptis refiftentia minor eft quam pro ratione de corporibus velociffimis in Libri hu- jus Prop. 5;xxvi & xxxviii. demonftrata. Nam corpora longe velocilllma fpatium a tergo relinquent vacuum, ideoque refiften- tia quamfentiunt in partibus praecedentibus, nullatenus minue- tuf per preffionem Medii in partibus pofticis. Conferendo refiftentias Mediorum inter fe, effeci etiam ut pen- dula ferrea ofcillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum quafi trium, & diameter Globi penduli qiiafi tertia pars pars digiti. Ad filum 'autem proxime fu pra Mercurium affixus erat Globus alius plumbeus fatis magnus ad motum penduli diu- tius continuandum. Turri vafculum, quod capiebat quali libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in Fluido utroqite fucceffive oicillante in- venirem proportionem refiftentiaVum : prodiit refillcritia ar- genti» vi vi ad refifi:entiam'-'aquai ut vel J + ad i circiter .* id efl; utjdenfitas? argenti vivi ad denfitatem aquae. Ubi Globum pen- dulum paulo majorem adhibebam, puta-ciqus diameter efiet quafi i v'!©! f. partes digiti; 'prodcbcriPtefiftentia argenti vivi in da ratio- iiEadreiiftenciam aquae quam habet numerus 12 vel ‘Oad i cirbi- ter. Sed experimento prioH magis fidendum efi, propterea quod in his ultimis vas nimis anguftum fuit pio magnitudine Globi iinmerii. Ampliato Globo, deberet etiam vas ampjiari. Confio tucrara quidem hujufmodi experimenta in vafis majoribus 8^ - in liquoribus tum Metallorum fuforum, tum aliis quibufdam tam ca- lidis quam frigidis repetere: fed omnia experiri non vacat, Sc ex jani ddfcriptls fatis liquet’ rcfiftentiam corporum celeriter mo- rorum dcnlrtati Fluidorum in quibus moventur proportionalem elTe :quaimprGxirnc^. Non dico accurate. Nam Fluida tenaciora pari denfitare proculdubio magis refifiunt quam liquidiora, ut olcnm Irigidum qram calidum, calidum quam aqua pluvialis, a- qiia qua-m v^piritus vini.^ Vdrum' in' liquoribus qui ad fenfum fa- tis fluidi furit, uffin Aere, ^in aqua feri dulci' feu falfa, in Spiri- tibus-vini, Terebinthi Ssi Salium, in Oleo a foecibus per deflilla- tionem liberato & calefa6fo. Oleoque Vitrioli 8 Mercurio, ac ‘M ‘tallis -liquefactis, 8^- liqui firit alii, qui tam Fluidi funt ut in vafisi agitati motum impreiruiri diutius confervent, efFufiqiie li- berrime in guttas decurrendo relolvantur, nullus dubito quin re- gula allata fatis accurate obtineat : prsefertim fi experimenta *in corporibus pendulis & ma jor ibus & velocius motis inftituantur. Qiiare cuni Globus aqueus in aere movendo refiflenriam pa fl- atur qua motus fui pars interca dum longitudinem femidi- a metri C 351 3 ametri fuae defcribat (ut jam ante oftenfum eftj) tollatur, fit- que denljtas aeris addenfitatcm aquae ut vcl 850 ad i circiter, confequcus efi: ut haec Regula generaliter obtineat. Si corpus quodlibet Sphaericum in Medio quocunque fatis Fluido moveatur, & fpe^fetur refiftentiae pars illa fola quae ch: in duplicata ratione velocitatis, haec pars erit ad vim quae totum corporis motum, in- terea dum corpus idem longitudinem duarum iplius lemidia me- trorum motu illo uniformiter continuato defcribat, vel tollere pof- fet vel eundem generare, ut denlitas Medii ad denfitatem corpo- ris quamproxime. Igitur refiftentia quafi triplo major eft quam pro lege in Corollario primo Propofitionis xxxviii. allata ^ & propterea partes quafi duae tertiae motus illius omnis quem Globi partes anticae movendo imprimunt in Medium, reftituuntur in Globi partes pofticas a Medio in orbem redeunte, inque fpatium irruente quod Globus alias vacuunr poft fe relinqueret. Unde (i velocitas Globi eoufque augeatur ut Medium non polfetadeo ce- leriter in fpatium illud irruere, quin aliquid vacui a tergo Globi femper relinquatur, refiftenria tandem evadet quali triplo major quamp^o Regula generali noviffime pofita. Haftenus experimentis ufi fumus ofcillantium pendulorum, eo quod eorum motus facilius &: accuratius obfervari & menfu- rari pofllnt. Motus autem pendulorum in gyrum ahiorum Sc in orbem redeundo circulos deferibentium, propterea quod fint uniformes & eo nomine ad inveftigandam rebftentiam dataj velo- citati competentem longe aptiores videantur, in confilium etiam adhibui. Faciendo enim ut pendulum circulariter latum duode- cies revolveretur, notavi magnitudines circulorum duorum, quos prima & ultima revolutione defcripfit. Et inde collegi velocita- tes corporis fub initio & fine. Tum dicendo quod corpus, veloci- tate mediocri deferibendo circulos duodecim mediocres, amitteret velocitatum illarum differentiam, collegi refjftentiam qua diffe- rentia illa eo omni corporis per circulos duodecim itinere amitti poffet j Sc rcffftcnria inventa, qiianquam hujus generis experi- menta C ] iTicnta minus accurate tcntare licuit, probe tamen cum prsecedcn» tibus congruebat. Denique cum receptiflima Philofophorum aetatis hujus opinio fit, Medium quoddam aethereum Sc longe rubtilifiimuin extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime per- meet ^ a tali autem Medio per corporum poros fluente refiftcn- tia oriri debeat : ut tentarem an reliftentia, quam in motis cor- poribus experimur, tota fit in eorum externa fuperfleie, an vero partes etiam internae in fuperficiebus propriis reflftcnriam nota- bilem fentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum unde- cim longitudinis, ab unco chalybeo fatis flrmo, mediante annulo chalybeo, fufpendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad confti- tuendum pendulum longitudinis praedida. Uncus fui fum praeacu- tus erat acie concava, ut annulus arcu fuo fuperiorc aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori anneciebatur flium. Pendulum ita conftitutum deducebam a perpendiculo ad diftanti- am quafi pedum fex, idque fecundum planum aciei unci perpen- diculare, ne annulus, ofcillante Pendulo, fu pra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam pundum fufpcnfionis in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dcin pendulo demif- fo notabam alia tria loca ad quae redibat in flue ofcillationis pri- ma',*-leGundae ac tertiae. Hoc repetebam iaepius, ut loca illa quam potui accuratillime invenirem. Tum pyxidem plurr.bo Sc gra- vioribus, quae ad manus erant, metallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili qua circum pyxi- dem volvebatur ac dimidio partis reliquae quae inter uncum Sc pyxidem pendulam tendebatur. ( Nam flium tenfum dimidio ponderis fui pendulum a perpendiculo digrclfum femper urget. ) Huic ponderi addebam pondus aeris quam pyxis capiebat. Ft pondus totum erat quali pars fcptuagcflina odava pyxidis metal- lorum plena*. Tum quoniam pyxis Metallorum plena, pondere fuo tendendo flium, augebat longitudinem penduli, contrahe- bam C 3?3 3 bam filum ut penduli jam olcillantis eadem efiet longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum diftradl^o ac dimifib, numerabam olcillationes quali feptuaginta Sc feptem, donec pyxis ad locum fecundo notatum rediret, totidemquefiibin- de donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rurfus to- tidem donec pyxis reditu fuo attingeret locum quartum. Unde concludo quod refiftentia tota pyxidis plenae non njajorem habe- bat proportionem ad reliftentiam pyxidis vacuae quam 78 ad 77. Nam fi aequales effent ambarum refiftenriae, pyxis plena ob vim fuam infitam feptuagies Sc o^lies majorem vi inlita pyxidis va- cui, morum fuum ofcillatorium tanto diutius confer vare deberet, arque adeo completis femper ofcillationibus 78 ad loca illa nota- ta redire. ' Rediit autem ad eadem completis ofcillationibus 77. Delignet igitur A refiftentiam pyxidis in ipifius fuperficie ex' terna, & B refiftentiam pyxidis vacuae in partibus internis ^ &fi refiftentia corporum aequivelocium in partibus internis fint ut materia, ieu numerus particularum quae refiftuntur: erit 78 jb’ reliftentia pyxidis plenae in ipfius partibus internis*: adeoque pyxi- dis vacux refiftentia tota B erit ad pyxidis plena: refiftentiam totam A yS B ut 77 ad 78, & divilim A-\- B 2id jj B ut 77, ad I, indeque A {- B dd B ut 77x77 ad i, divifiin A dd B ut £59^8 ad I. Eft igitur refiftentia pyxidis vacua in partibus internis quinquies millies minor quam ejufdem refiftentia in ex- terna fuperficie, amplius. Sic difputamus ex hypothefi quod major illa refiftentia pyxidis plena: oriatur ab a£i:ione Fluidi ali- cujus fubtilis in Metallum inclufum. At caufam longe aliam elle opinor. Nam tempora ofcillationum pyxidis plena: minora funt quam tempora ofcillationum pyxidis vacua, & propterea refi- ftentia pyxidis plena in externa fuperficie major cft, pro ipfius velocitate & longitudine fpatii ofcillando defcripti,quam ea pyxi- dis vacua. (Hiodcumita fit, refiftentia pyxidum in partibus internis aut nulla eiit aut plane infenfibilis. Xx Hoc Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud aliquando dercripferam, intercidit. Unde fradas quafdam numerorum partes, quae memoria exciderunt, omittere compul- fus fum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco inhrmo ufus effem, pyxis plena citius retardabatur. Caiifam quaerendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & e)us ofcillationibus obfequendo in partes omnes debe- batur. Parabam igitur uncum firmum, ut punbum fiufpenfio- nis immotum maneret, Sc tunc omnia ita evenerunt uti fupra defcripfimus. Eadem methodo qua invenimus refiftentiam corporum Sphae- ricorum in Aqua & argento vivo, inveniri potefl; relidentia cor- porum figurarum aliarum *, fic Navium figurae variae in Typis exiguis conftrubae inter fe conferri, ut quaenam ad navigandum aptililmae fint, fumptibus parvis tentetur. S E C T- VIII- t * De Motu per Fluida propagato. Prop. XLI. Theor. XXXI. Prejjpo non propagatur per. Fhiidum fecundum limas reSlaSj nifi ubi particula; Fluidi in direShm jacent. Si jaceant particulae a^ b.^c., d^ e in linea reba, poteft quidem prelTio direbe propagari ab ad c j at particula e urgebit particulas oblique po- litas f Sc g oblique, & particulae illae f 8cg non luftinebunt prcflionem illatam, nifi ful- ciantur a particulis ulterioribus h Sc quatenus autem fulciuntur, premunt par- ticulas fulcientes i 8c hae non fufiinebur.t prefiioiiem nifi fulcian- tur [ 3^5 ] tur ab ulterioribus l ZcM eafcjue premant, 8c fic deinceps in in- linitum. Preffio igitur, quam primum propagatur ad particulas quae non in diredum jacent, divaricare incipiet 8c oblique pro- pagabitur in infinitum-, & poftqiiam incipit oblique propagari, fi inciderit in particulas ulteriores, quae non in direftum jacent, ite- rum divaricabit j idque toties, quoties in particulas non accurate in dire^lum jacentes inciderit. Q. E. D. CoroL Si prefiionis a dato pun(5i:o per Fluidum propagatae pars aliqua obftaculo intercipiatur, pars reliqua quae non intercipi- tur divaricabit in fpatia pone obftaculum. Id quod fic etiam demonflrari potefi. A piinfio A propagetur preffio quaqua- verfum, idque fi fieri potefi; -fecundum lineas redas, & obfiacu- \o N BC K perforato in B C, intercipiatur ea omnis, praeter par- tem Coniformem /^?£,quae per foramen circulare B C tranfif. Planis tranfverfis d f hi difiinguatur conus A F Qn\ frufla X X 2 C 3')^ ] & interea dum conus A BC^ prefllonem propagando, urget fruftum conicum ulterius d e gfm fuperficie & hoc frufium urget fruftum proximum i h in fuperficie f Sc fruftum il- lud urget frufium tertium, & fic deinceps in infinitum ; mani- fefium efl: ( per motus Legem tertiam ) quod fruftum primum d e f g^ readione frufii fecundi f gh /, tantum urgebitur & pre- metur in fuperficie/’^, quantum urget 8c premit fruftum illud fecundum. Fruftum igitur d e gf inter Conum A d e ^ fruftum fhig comprimitur utrinque, & propterea ("per Corol. 6. Prop. XIX.) figuram fuam fervare nequit, nifi vi eadem comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in fuperficiebus d.e^fg conabitur cedere ad latera df^ e g'^ ibique (T cum ri- gidum non fit, fed omnimodo Fluidum ) excurret ac di- latabitur, nifi Fluidum ambiens adiTt, quo conatus ifte co- hibeatur. Proinde conatu excurrendi premet tam Fluidu.n ambiens ad latera df^ e g quam fruftum f g h i eodem impe u ^ propterea preftlo non minus propagabitur a lateribus df^eg in Ipatia NO^ KL hinc inde, quam propagatur a fuperficie/'^ verfus P Q. Q. L.D. Prop. XLir. Theor. XXXH. Motus ownis per Fhtiditm propagatus diz>crgit a reSlo tramite in fpatia immota. Caf. I. Propagetur motus a pun(fto A per foramen B C, per- gatque ( fi fieri poteft J in fpatio conico BC OP., fecundum li- neas rciftas divergentes a pun6iO C. Et ponamus primo quod mo- tus ifte l7t undarum in fuperficie ftagnantis aquse. Sintque d c, f g., h i^ 81 E F A B C G .... L N. D H acceleratur & retardatur, ell; excefius ponderis aquae in alterutro crure fupra pondus in altero, ideoque ubi aqua in crure K L af- cendit ad £F, & in crure altero defcendit ad C H, vis illa efi: pon- dus duplicatum aquae EABF^Sc propterea efi; ad pondus aquae totius uiAE reii P Q_did VP feu P K. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis 2. acceleratur 8c retardatur in Cycloide, efi: ad ejus pondus totum, ut ejus difiantia P Q^a. loco infimo F, ad Cycloi- dis longitudinem P R. Quare aquae & penduli, aequalia Ipatia AEj P defcribentium, vires motrices funt ut pondera moven- da 5 ideoque vires illae, fi aqua & pendulum in principio, aequali cum velocitate moveantur ^ pergent eadem temporibus aequali- ter movere, efficientque ut motu reciproco fimul eant & redeant. 2£.D. CoroL I. Igitur aquae afeendentis 8c delcendentis, five motus intenfior fit five remiffior, vices omnes funt Ifochronse. CoroL '1. Si longitudo aquae totius in canali fit pedum Parijj^ enfinm 65, aqua tempore minuti unius fecundi defeendet, Sc tempore minuti alterius fecundi afeendet i 8c fic deinceps vici- bus alternis in infinitum. Nam pendulum pedum qrs longitu- dinis,' tempore minuti unius fecundi ofcillatur. Yy CoroL 3. [ 3^2 ] Corol. 3. Au£la autem vel diminuta longitudine aquae, auge- tur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione dimidiata. Prop.XLV. Theor. XXXV. Indarum velocitas eji in dimidiata ratione latitudinum. Confequitur ex conftru6lione Propolitionis fequentis. Prop. XLVI. Prob. XL Invenire ^velocitatem Z^ndarum. Coiiftituatur Pendulum cujus longitudo inter pun^lum fufpen- fionis & centrum ofcillationis aequetur latitudini Undarum ; & quo tempore pendulum illud ofcillationes lingulas peragit, eodem Un- dae progrediendo latitudinem Iliam propemodum conficient. Undarum latitudinem vocomenfuram franlVerram qua^ vel val- libus imis vel fummis culminibus interjacet. Defignet ABCDEF fuperficiem aquae ftagnantis, undis ruccerfivisafeendentem ac defi- cendentem, fintque C,jE, 8^c. undarum culmina, 8^ i>,D,F,&c. valles intermedii. Et quoniam, motus undarum fit per aquse fuc- cefilvum afeonfumi 8^ defcenfum, fic ut ejus partes C, £, 8cc. quae nunc infimae funt, mox fiant altiffimae j & vis motrix, qua partes altiffimae defeendunt infimae afeendunt, efi; pondus aquae elevatae j alternus ille afcenfus & defcenfus analogus erit motui reciproco aquae in canali, cafclcmque temporis leges ob- iervabit : & propterea (per Prop. XLIV j) fi difrantiae inter un- darum loca alriflima C, E, & infimaB, D, £ aequentur duplae penduli longitudini, partes altiffimae ^,C, E tempore ofcillatio- nis unius evadent infimae, & tempore ofcillationis alterius .de- nuo afeendent. Igitur inter tranfitum Undarum fingularum tempus erit ofcillationum duarum 5 hoc efit Unda deferibet latitudinem fuam, quo tempore pendulum illud bis ofcillatur ; ficd eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla efr, adeo.que [ 3^3 3 . a^eoque aequat undarum latitudinem, orcillabkur femel. QJE.D. CoroL I. Igitur Undae, quae pedes Farifienfes latae funt, tempore minuti unius fecundi progrediendo latitudinem fuam conficient j adeoque tempore minuti unius primi percurrent pe- des 1831, & horae fpatio pedes 1 1000 quam proxime. CoroL 2. Et undarum majorum vel minorum velocitas auge- bitur vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis. Haec ita fe habent ex Hypothefi quod partes aquae re£i:a afeen- dunt vel re<5i^a defcendiinti fed afcenfus & defcenfus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propofitione non nifi quam- proxime definitum efie affirmo. Prop. XLVII. Theor. XXXVI. Fnlftmm in Fluido Elaflico propagatorum velocitates funt in ratione compofita ex dimidiata ratione vis ElaflicdC direBe ^ dimidiata rati- one denfitatis inverfe , fi modo Fluidi vis Elajiica ejufdem conden- fationi proportionalis ejje f apponatur. Caf. I . Si Media fint homogenea, & pulfuum diftantiae in his Mediis aequentur inter fe, fed motus in uno Medio intenfior fit: contra6i:iones8c dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non efl: hxc proportio. V erum tamen nifi contradiones St dilatationes fint va!de intenfae, non errabit fenfi- biliter, iJeoque pro Phyfice accurata haberi poteft. Sunt autem vires Elafticae motrices ut contradiones & dilatationes j & veloci- tates partium aequalium fimul genitae funt ut vires. Ideoque ae- quales & correfpondentes pulfuum correfpondentiiim partes, itus & reditus fuos per fpatia contra£fionibus & dilatationibus pro- portionalia, cum velocitatibus quae funt ut fpatia, fimul pera- gent ; & propterea pulfus, qui tempore itus Sc reditus unius lati- tudinem fuam progrediendo conficiunt, & in loca pulfuum proxi- me praecedentium femper fuccedunt, ob aequalitatem diftantia- rum, aequali cum velocitate in Medio utreq ic progredientur. Y y 2 Caf. 2. [3^4 ] _ Caf. 2. Sin puiruum difiantix fcu longitudines fint majores ‘In uno Medio quam in altero , ponamus quod partes correfpondcn- tes fpatia latitudinibus pulilium proportionalia fingulis vicibus eundo Se redeundo deferibant: & aequales erunt earum con- trafliones Se dilatationes. Ideoque fi Media fint homogenea, aequales erunt etiam vires illae Elafiicae motrices quibus recipro- co motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, eft ut piilfuum latitudo ^ Se in eadem ratione eft fpatium per quod fingulis vicibus eundo Se redeundo moveri debent. Eftque tem- pus itus Se reditus unius in ratione compofita ex ratione dimidi- ata materiae Se ratione dimidiata fpatii, atque adeo ut fpatium. Pulfus autem temporibus itus Se reditus unius eundo latitudines fuas conficiunt, hoc eft, fpatia temporibus proportionalia per- currunt ; Se propterea funt aequiveloces. Caf. 5. In Mediis igitur denfitate Se vi elaftica paribus, pul- fus omnes funt aequiveloces. Quod fi Medii vel denfitas vcl vis Elaftica intendatur, quoniam vismotrix in ratione vis Elafticae,&: materia movenda in ratione denfitatis augetur ; tempus quo mo- tus iidem peragantur ac prius, augebitur in dimidiata ratione den- fitatis, ac diminuetur in dimidiata ratione vis Elafticae. Et prop- tcrca velocitas pulfiium eritfin ratione compofita ex ratione di- midiata denfitatis Medii inverfe Se ratione dimidiata vis Elafticae dirc£le. Q.E.D. Prop. XLVni. Theor. XXXVIL PuJfhns per FJiddum propagatis.^ fwguL-c Fluidi partictdje.^ wotu reciproco brevi jpmo euntes redeuntes.^ accelerantur femper re- tardantur pro lege bfcillaniis P enduli. Defignent AB^ BC, CD^Sec. pulfuum fuccefilvorum aequales diftantias A BC plagam motus pulfuum ab A verfus B pro- pagati^ Ej F, G pun£i:a tria Phyfica Medii quiefccntis, in re^la AC ad aequales ab invicem diftantias fita j Ec, FfGg^ fpatia aequalia C 3^5 3 aequalia perbrevia per quae pun6i:a illa motu re- ciproco lingulis vibrationibus eunt Sc redeunt , e, 9, y loca quaevis intermedia eorundem pun- 6i:orum ; Sc EF^ FG lineolas Phy licas feu Me- dii partes lineares pundis illis interje^las, Se fuc- ccilive tranflatas in loca g^, 97 ^ E e aequalis ducatur re61a P S. Bifecetur eadem in 0, ccntroque 0 Sc intervallo 0 P de- fcribatur circulus i. Per hujus circumferentiam to- tam cum partibus fuis expo- natur tempus totum vibrati- onis unius cum ipHus parti- bus proportionalibus , Cic ut cornpleto tempore quovis P H vel P HSh^ n demitta- tur P S perpendiculum HL vel/^/, & capi- atur E e aequalis P L vel F /, pun£i:umPhyficuin E reperiatur in Hac leg” pun£l-um quodvis E eundo ab E per g ad c, & inde redeundo per g ad E iifdem accelerationis ac retardationi? gra- dibus, vibrationes lingulas peraget cum ofcillante Pendulo. Probandum efi; quod Hngula Medii puncl:a Phylica tali motu agitari debeant. Fin- gamus igitur Medium tali motu a caufa qua- cunque cieri, & videamus quid inde Tequatur. In circumferentia PHSh capiantur aequales arcus HIjI K vel ih,^ eam habentes ratio- nem ad circumferentiam totam quam habent a:- quales regiae E F, FG ad pulfuum intervallum to- tum E F. Et demidis perpendiculis i M, N vcl i quoniam pun61a £, F, G motibus limilibus fuccellivc agitantur, fi P H vel PHSl^ dt tempus ab initio motus punfli E, erit P I vcl C 3'^'^ j \ cl F HS i tempus ab initio motus pun6i:i F, & P K\c\PHSh tempus ab initio motus pun6i:i GjSc propterea E g, F(p, Gy erunt ipfis P L^P M, P N in itu pun61:orum5 vel ipfis P «, P w, P l in pundorum reditu, aequales refpe^iive. Unde g y in itu pundorum aequalis erit E G — L N, in re- ditu autem aequalis EG~\-It?. Sed ey latitudo cft feu expanfio partis Medii EG in loco ey,8c propterea expanfio partis illius in itu, eft ad ejus expanfionem mediocrem ut EG — LN dd E G ^ in reditu autem ut EG-{-hi feu EG-{-LN ad EG. Quare cum fit L N ad /f H ut IM ad ra- dium 0 F, Se EG dd BC m HK ad circumfe- rentiam PHShP^ vicifilm EG dd H K ut BC ad circumferentiam P HSh P ? id cft (fi ciixum- ferentia dicatur Z ) ut ad 0 F, Sc ex aequo L N ad EG ut JM ad erit ex- panfio partis E G in loco g y ad expanfionem mediocrem quam habet in loco fuo primo E G, ut OPxBC j.. ,OPxBC. . ^ OPxBC —i Ai ad r: in itu,utque + i m ad OPxBC in reditu. Unde fi •-r OPxBC dicatur E, erit expanfio partis E G,punci:ive Phy- fici F, ad ejus expanfionem mediocrem initu, ut V~ IMddV^ in reditu ut V -{- ad Fj & ejuf- dem vis elaftica ad vim fuam elafticam medio- in itu, ut -^-—dd in reditu ut — i — ad I* ’ F-IM V V Et eodem argumento vires Elafticae punFtorum Phy ficorum E & G in itu, funt ut — & I j , y—HL 7/ ,, ,, ad p j virium differentia ad Medii V — Ao y I vim [ 1^7 3 HL-KN J' J. In / - r-flin /i K\~ N/l ~7h vim elafticam mediocrem, ut — — , , , _ ^ ^ ’ P^r-FxHL-FxICN+HLxl^N ad p. Hoc efi ( fi ob brevitatem pulfuum fiipponamus HK Sc K N indefinite minores efle quantitate V ) ut ad five ut HL—KN ad F, Quare eum quantitas F detur, diffe- rentia virium efi: ut HL — ff N, hoc eft (ob proportionales HLr — K N ad H Kj & OM ad 0 I vel OP, da- tafque HK Sc OP)ut OM’, id efijfiF/bife, cetur in n, utn (p. Et eodem argumento dif_ ferentia virium Elafticarum punciorum Phy_ ficorum g 8c y, in reditu lineolae Fhyficae g y efi; ut a (p. Sed differentia illa (id efi; exceffus vis Elafticae punffi g fiipra vim elafiicam pun- ^ii y^ ) eft vis qua interjedia Medii lineola Phyfica g y acceleratur ; & propterea vis ac- celeratrix lineolae Phylicae g efi; ut ipfius diftantia a Medio vi- brationis loco n. Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. I.) Tede exponitur per arcum P / ; & Medii pars linearis g y lege praeferipta movetur, id efi lege ofcillantis Penduli: efique par ra- tio partium omnium linearium ex quibus Medium totum com- ponitur. Q. E, D, Coral. Hinc patet quod numerus pulfuum propagatorum ideni fit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multipli- catur in eorum progreffu. Nam lineola Phyfica ey, quampri- mum ad locum fiium primum redierit, quiefeet; neque deinceps movebitur, nifi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulfijum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Qiiicrcet igitur quamprimum pullus a corpore tremulo propa- - •^ari definunt. 4^: Prop. XLIX. Prob. XII. Datis Medii detifitate ^ vi Elajiica^ invenire velocitatem pnlfmim. Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Acris no- firi firi comprimi, fitque A altitudo Medii homogenei, cujus pondus adseqiiet pondus incumbens, & cujus denfitas eadem fit cum denfitate Medii compreffi, in quo pulfus propagantur. Confii- tui autem intclligatur Pendulum, cujus longitudo inter pun^lum fufpenfionis & centrum ofcillationis fit : 8^ quo tempore pen- dulum illud ofcillationem integram ex itu &; reditu compofitam peragit, eodem pulfus eundo conficiet fpatium circumferentia: circuli radio A deferipti aequale. Nam ftantibus quae in Propofitionc fiipcriore confiru^la funt, fi linea quaevis Phyfica, E F lingulis vibrationibus deferibendo fpa- tium F i', urgeatur in extremis itus reditus cujufque locis ¥ 8< Sj a vi Elafiica qux ipfius ponderi aequetur j peraget hac vibra- tiones fingulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota longitudini PS aequalis eft, ofcillari pofilt.’ id adeo quia vi- res aquales aequalia corpufcula per aqualia f patia fimul impellent. Qiiare cum ofcillationum tempora fint ii; cimidiara ratione lon- gitudinis pendulorum, Sc longitudo penduli aqiietur dimidio ar- cui Cycloidis totius ; foret tempus vibrationis unius ad tempus ofcillationis Penduli cujus longitudo eft A^ in dimidiata ratione longitudinis i P S {hu P 0 ad longitudinem A. Sed vis Elaftica qua lineola Phyfica E G,in locis fuis extremis F, 5' exifrens, urge- tur, erat (fin dcmonftratione Propofirionis fupcriorisj ad ejus vim totam Elafticam ut H L — if N ad F, hoc efi: (cum pundum K jam incidat inF^ utHF ad V: & vis illa tota, hoc eft pon- dus incumbens, qua lineola E G comprimitur, efi: ad pondus li- neola' ut ponderis incumbentis altitudo A ad lineolas longitudinem EG 5 adeoque ex a’qno, vis qua lineola EG in locis fuis P Sc S urgetur, efi: ad lineola illius pondus ut HKxA ad VxEC. OuarQ, cum tempora, quibus aqualia corpora per aqualia fpatia impelluntur, fint reciproce in dimidiata ratione virium, erit tem- pus vibrationis unius urgente vi illa Elaftica, ad tempus vibratio- nis urger.re vi ponderis, in dimidiata ratione F xEG ad H K xAj atque ad .o ad tempus ofcillationis Penduli cujus longitudo efi: in dimidiata ratione VxEG d.dHKxAScPOd.dA con;uncfim; id POxBC C 3 id cft ( cum fuerit, in fuperiore Propofitionc ] V aequalis n rr ir i- EGxZ^ . j. -i. . POqu.xBCxEG « &C H ]s^X(\\X2X\s in dimidiata ratione — - — ad c^~ ~ ieii ^Oqu.x 'BCqu, ad ^qu. xjqu. hoc eft in ratione (P0x!BC 2id^xJ) feu !B C ad Sed tempore Tibrationis unius ex itu 8c reditu compofitae, pulfus progrediendo conficit la- titudinem fuam C, Ergo tempus quo pulfiis percurrit fpatium !B c, eft ad tempus ofcillationis unius ex itu 3c reditu compofitae, ut C ad id eft ut !B C ad circumferentiam circuli cujus radius eft A Tempus autem, quo pulfus percurret fpatium (B C, eft ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem, in eadem ratione ; ideoque tempore talis ofcillationis pulfus percur- ret longitudinem huic circumferentiae aequalem. E, D. Prop, L. Prob. XIII. ♦ Invenire pulfuum dtflmtids. Corporis, cujus tremore pulfus excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur fpa- tium quod pulfus eodem tempore percurrere poffic, ] vero 600 circiter. Multum differunt hae Obfervationes ab invicem, Sc computus noffer medium locum tenet. In porticu Collegii no- ftri pedes 208 longa, fbnus in termino alterutro excitatus quaterno recurfu Echo quadruplicem efficit. Fa6tis autem experimentis inveni quod fingulis Ioni recurfibus pendulum quafi fex vel feptem digito- rum longitudinis olcillabatur, ad priorem Ibni recurfum eundo 3c ad pofteriorem redeundo. Longitudinem penduli fatis accurate de- finire nequibam : fed longitudine quatuor digitorum, ofcillationes nimis celeres effe, ea novem digitorum nimis tardas judicabam. Unde fonus eundo Sc redeundo confecit pedes 4 1 6 minore tempore quam pendulum digitorum novem, Sc majore quam pendulum di- gitorum quatuor ofcillatur; id eft minore tempore quam iSj- mi- nutorum tertiorum, & majore quam propter ea tempore mi- nuti unius fecundi conficit pedes Anglkos plures quam 866 & pauci- ores quam 1 272, atque adeo velocior eft quam pro Obfervatione (B^hervalll^ ac tardior quam pro Oblervatione Merfenni. Quinetiam accuratioribus poftea Obfervationibus definivi quod longitudo pen- duli major effe deberet quam digitorum quinque cum lemiffe, &c minor quam digitorum odio ^ adeoque quod fonus tempore minuti unius fecundi confecit pedes Jnglicos plures quam 920 & pauciores quam 1085. Igitur motus fbnorum, fecundum calculum Geome- tricum luperius allatum, inter hos limites confiftens, quadrat cum Phaenomenis, quatenus hadlenus tentare licuit. Proinde cum mo- tus ifte pendeat ab aeris totius denfitate, confequens eft quod foni non in motu aetheris vel aeris cujufdam fubtilions, fed in aeris toti- us agitatione confiftat. Refragari videntur experimenta quaedam de fbno in vafis aere vacuis propagato, fed vafa aere omni evacuari vix poffunt ; Sc ubi fatis evacuantur foni notabiliter imminui Iblent j Ex.gr, Si aeris to- tius pars tantum centefima in vafe maneat, debebit fonus effe cen- tuplo languidior , atque adeo non minus audiri quam fi quis Io- num eundem in aere libero excitatum audiendo, fubinde ad decu- Z z 2 piam C 37^ ] piam dillanciam a corpore fonoro recederet. Conferenda (ilnt igi- tur corpora duo aequaliter fonora, quorum alterum in vafc evacuato, alterum in aere libero confiftat, dc quorum diftantiae ab auditore lint in dimidiata ratione denfitatum aeris : 6c fi fonus corporis pri- oris non fuperat Tonum pofterioris objedtio ceflabit. ^ Cognita Tonorum velocitate, inriotefcunt etiam intervalla pul- fuLim. Scribit Merfennus ( Lib. I. Harmonicorum Prop. IV. ) fe ( fadlis experimentis quibufdam quae ibidem defcribit ) invenifle quod nervus tenfus vicibus 1 04 recurrit fpatio minuti unius fecundi, quando facit Unifonum cum organica Fiftula quadrupedali"aperta vel bipedali obturata, quam vocant Organarii C fd ut. Sunt igi- tur pulfus 1 04 in fpatio pedum 96 8, quos fonus tempore minuti le- cundi defcribit: adeoque pullus unus occupat fpatium pedum circiter ^ id eft duplam circiter longitudinem nftulae. Unde verifirni- le efl: quod latitudines pulfuum, in omnium apertarum fiftulamm Ionis, a:quentur duplis longitudinibus fiftularum. Porro cur Soni ceffante motu corporis Tonori ftatim ceflant, ne- que diutius audiuntur ubi longiffime diftamus acorpdribus Tonoris, quam cum proxime abfumus, patet ex Corollario Propofitibnis XLVIII. Libri hujus. Sed & cur fbni in Tubis SdenteroptiorLicis valde augentur, ex allatis principiis manifeftum eft. -Motus enini omnis reciprocus fingulis recurfibus a caufa generante augeri folet. Motus autem in Tubis dilatationem Tonorum impedientibi® tar- dius amittitur &c fortius recurrit, Sc propterea a rtiotii novo fingulis recurfibus imprefto magis augetur. Et hxc Tunt pra^ciptia Phaeno- mena Sonorum. f r ^ r ■ . i'! “ SECT. C 373 ] SECT. IX. motu Circulari fluidorum, Hypothefis. REJiJlentiam ^ qUiC oritur ex defeElu luhridtatis parttum Fluidi^ ca:teris paribus, proportionalem ejje velocitati, qua partes Fluidi feparantur ah invicem. Prop. Ll. Theor. XXXVIIL Si Cylindrus f olidus infinite longus in fluido uniformi infinito circa axem pofitione datum uniformi cum motu revolvatur, ^ ah hujus impul- fu filo agatur Fluidum in Orhem, perfeveret autem, fluidi pars unaquaeque uniformiter in motu fuo', dico quod tempora f eriodica partium fluidi funt •utdpfarum diflanti^e ah- axe '^lindri.<.^ - Sit JFL cylindrus unifor- miter circa axem vS in orbem ad:us, & circulis concentri- cis SGiW, CHN, 7)10, EK^F, &c. diftmgiiatur fiui- dum in orbes cylindricos in- numeros concentricos foli- dos ejuldem craffitudinis. Et quoniam homogeneum eft Fluidum, impre/Iiones conti- guorum orbium in fe mutuo ^2i€tx, erunt ( per Hypothe- finj ut eorum tranOationes ab invicem & luperficies contiguae in quibus ii-ppre/Tiones fiunt. Si impreffio in Orbem aliquem major ell * j ii. . C 374 3 cfl: vel minor, ex parte concava quam ex parte convexa, praevale- bit impreffio fortior, 6c motum Orbis vel accelerabit vel retardabit prout in eandem regionem cum ipiius motu,vel in contrariam diri- gitur. Proinde ut Orbis unuiquifque in motu fuo uniformiter perfeveret, debent impreifiones ex parte utraque fibi invicem aequa- ri, 6c fieri in regiones contrarias. Unde cum imprefliones funt ut contiguae fuperficies 6c harum tranflationes ab invicem , erunt tranOationes inverse ut luperficies, hoc eft inverse ut fuperficierum diftantiae ab axe. Sunt autem daicrenti^ motuum angularium cir- ca axem ut hae tranflationes applicatae ad diftantias, fi ve ut tranflati- ones diredte 6c diftantiae inverse ; hoc eft ( conjundtis rationibus ) uc quadrata diftantiarum inverse. Quare fi ad infinitae re6tae S A(BCD partes fingulas erigantur perpendicula J a, Cc, D d, £ e, &c. ipfarum 6' J, S B, «S C, 5 D, 5 £, dcc. quadratis reciproce proportionalia, Sc per terminos perpendicularium duci intelligatur linea curva Hyperbolica j erunt fummae diftantiarum, hoc eft motus toti angulares, ut refpondentes fiimmae linearum A a, Bb, CcyX> d, Ee: id eft,fi ad conftituendum Medium uniformiter fluidum orbium numerus augeatur &c latitudo minuatur in infini- tum,ut areae Hyperbolicae his fummis Analogae A a BdQ^y Ee^y Scc. dc tempora motibus angularibus reciproce pro- portionalia erunt etiam his areis reciproce proportionalia. Eft igi- tur tempus periodicum particulas cujufvis X) reciproce ut area B d^y hoc eft (per notas Curvarum quadraturas) diretfte ut diftantia S T>, Corol. i . Hinc motus angulares particularum fluidi • funt reci- proce ut ipfarum diftantiae ab axe Cylindri, & velocitates abfolutae liint aequales. CoroL 2. Si fluidum in vafe cylindrico longitudinis infinitae con- tineantur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, fintque revolu- tionum tempora ut ipforum femidiametri, perfeveret fluidi pan unaquaeque in motu luo : erunt partium fingularum tempora peri- odica ut ipfarum diftantiae ab axe cylindrorum. Q- ,C 375 3 Corol. Si cylindro &; fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabun- tur motus partium inter fe. Nam tranflationes partium ab invi- cem pendent ab attritu. Pars quxlibet in eo perfe verabit motu, qui attritu utrinque in contrarias partes fado, non magis acceleratur quam retardatur. CoroL 4. Unde fi toti cylindrorum & fluidi Syftemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi . in cylindro quielcente. Corol. 5. Igitur fi fluido 8c cylindro exteriore quieicentibus, re- volvatur cylindrus interior uniformiter, communicabitur motus circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur ; nec prius definet augeri quam fluidi partes fingulae motum Corollario > quarto definitum acquirant. Corol. 6. Et quoniam fluidum conatur motum fuum adhuc latius , propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nifi i violenter detentus ; & accelerabitur ejus motus quoad ufque tem- pora periodica cylindri utriuique icquentur inter fe. Quod fi cylin- - drus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retar- dare, & nifi cylindrus interior vi aliqua extrinfecus imprefla motum j illum confervet, efficiet ut idem paulatim ceffec. Quae omnia in aqua profunda flagnante experiri licet, , Prop. LII. Theor. XXXIX.. Si Sphaera /olida, in fluido uniformi ^ infinito, circa axem ^po/ttiom ,* datum uniformi cum motu revolvatur, ^ ab hujus impulfu folo agatur . fluidum in orbem ; perfeveret autem fluidi pars unaquaeque uniformiter, in . motu fuo : dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata , difl antiarum d centro Sph^er^e, Fig. Prop. LI. Caf i . Sit ^FL Iphaera uniformiter circa axem 5 in orbem adla, , & circulis concentricis 'BGM, CHN, DIO, dcc. diflin-; guatur , 1)7^1 giiatur fluidum in orbes innumeros concentricos ejurdem craflkudi- nis. Finge autem orbes illos efle folidos Sc quoniam homogene- um efl: fluidum, imprefliones contiguorum Orbium in fe mutuo fadla:, erunt ( per Hypothefin ) ut eorum tranflationes ab invicem d, E e, &cc. ipfarum S A, $ E, S C, S D, S Ej Scc. cubis reciproce proportionalia, erunt fummae diftan- tiarum, hoc efl:, motus toti angulares, ut refpondentes fummae li- nearum A a, C c, D d, Ee: id efl: ( fi ad conflituendum Me- dium uniformiter fluidum, numerus Orbium augeatur latitudo minuatur in infinitum ) ut areae Hyperbolicae his fummis analogae AaQ^ V dQ^ Ee^^ &cc. Et tempora periodi- ca motibus angularibus reciproce proportionalia erunt etiam his areis reciproce proportionalia. Efl igitur tempus periodicum orbis cujLifvis 'DIO reciproce ut area D dO^ hoc efl:, (per notas Curva- rum quadraturas ) diredle ut quadratum diflanti^ 5 D. Id quod volui primo demonflrare. CaJ. 2. A centro Sphaerae ducantur infinitae rectae quam plurimae, quae cum axe datos contineant angulos, aequalibus diflerentiis fe mu- tuo fuperantes j & his reitis circa axem revolutis concipe orbes in an- nulos _ C ?77 ] nolos innumeros fecari ; 8c annulus unufquilque habebit annulos quatuor fibi contiguos, unum interiorem, alterum exteriorem & duos laterales. Attritu interioris 8c exterioris non poteft annulus unulquifque, niii in motu juxta legem calus primi fa6lo, ^qualiter & in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demonflratione cafus primi. Et propterea annulorum feries quaelibet a globo in infini- tum re(Sla pergens movebitur pro lege calus primi, nifi quatenus impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege fad:o, attritus annulorum ad latera nullus eft, neque adeo motum, quo minus hac lege fiat, impediet. Si annuli, qui a centro aequa- liter diftant, vel citius revolverentur vel tardius juxta polos quam juxta aequatorem ,* tardiores accelerarentur, & velociores retarda- rentur ab attritu mutuo, &c fic vergerent femper tempora periodica ad aequalitatem, pro lege cafus primi. Non impedit igitur hic attritus quo minus motus fiat fecundum legem cafus primi, propterea lex illa obtinebit : hoc eft annulorum fingulorum tempo- ra periodica erunt ut quadrata diftantiarum ipforum a centro globi. Quod volui fecundo demonftrare. Caf. Dividatur jam annulus unulqiiilque fe<5lionibus tranf- verfis in particulas innumeras conftituentes fubftantiam abfolute & uniformiter fluidam ,* & quoniam hae fed:iones non fpedlant ad legem motus circularis, fed ad conftitutionem fluidi folummodo conducunt, perleverabit motus circularis ut prius. His fedtionibus annuli omnes quamminimi afperitatem & vim attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunt aequaliter. Et manente caularum proportione manebit elfedluum proportio, hoc eft proportio mo- tuum & periodicorum temporum. ^ E, T>. Caeterum cum mo- tus circularis,dc abinde orta vis centrifuga, major fit ad Eclipticam quam ad polos ,* debebit caufa aliqua adelfe qua particulae lingulae in circulis luis retineantur, ne materia quae ad Eclipticam eft rece- dat femper a centro 6c per exteriora Vorticis migret ad polos, inde- que per axem ad Eclipticam circulatione perpetua revertatur. CoroL i. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi funt reciproce ut quadrata diftantiarum a centro globi, & velocitates ab- C 378 ] abfoluta^ reciproce ut eadem quadrata applicata ad diftancias ab axe. Corel 1. Si globus in fluido quielcente fimilari Sc infinito circa axem politione datum uniformi cum motu revolvatur, communica- bitur motus fluido in morem Vorticis, Sc motus ifle paulatim pro- pagabitur in infinitum ,* neque prius ceflabit in fingulis fluidi parti- bus accelerari, quam tempora periodica fingularum partium fint ut quadrata diftantiarum a centro globi. Corel Qiioniam Vorticis partes interiores ob majorem fuam velocitatem atterunt Sc urgent exteriores, motumque ipfis ea adlio- ne perpetuo communicant, Sc exteriores illi eandem motus quanti- tatem in alios adhuc exteriores fimul transferunt, eaque a(5tione fervant quantitatem motus fui plane invariatam 5 patet quod mo- tus perpetuo transfertur a centro ad circum ferendam Vorticis, &per infinitatem circumferentiae abforbetur. Materia inter fphaericas duas qualvisluperficies Vortici concentricas nunquam accelerabitur, ep quod motum omnem a materia interiore acceptum transfert femper in exteriorem. Corol 4. Proinde ad confervationem Vorticis conftanter in eodem movendi flatu, requiritur principium aliquod adlivum a quo globus, eandem femper quantitatem motus accipiat quam imprimit in ma- teriam vorticis. Ablque tali principio necefle eft ut globus Sc Vor- ticis partes interiores, propagantes lemper motum fuum in exteri- ores, neque novum aliquem motum recipientes, tardefeant paula- dm Sc in orbem agi delinant. Corol. 5. Si globus alter huic Vortici ad certam ab ipfius centro diflandam innataret, Sc interea circa axem inclinatione datum vi ali- qua conflanter revolveretur 5 hujus motu raperetur fluidum in vor- ticem : Sc primo revolveretur hic vortex novus Sc exiguus una cum globo circa centrum alterius, Sc interea latius lerperet ipfius motus, Sc paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis primi. Et eadem ratione qua hujus globus raperetur motu vorticis alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, fic ut globi duo circa intermedium aliquod pundtum revolverentur, feque mutuo ob mo- tum C 379 ] tum illum circularem fugerentjtiifi per vim aliquam cohibiti. Poftea fi vires conftanter imprelfie, quibus globi in motibus fuis perleve- rant, ceflarent, & omnia legibus Mechanicis permitterentur, lan- guefcerec paulatim motus globorum (ob rationem inCoroL 3. & 4. afiignatam) &c vortices tandem conquiefcerent. Corol. 6. Si globi plures datis in locis circum axes politione datos certis cum velocitatibus conftanter revolverentur, fierent vortices to- tidem in infinitum pergentes. Nam globi fingiili, eadem ratione qua unus aliquis motum luum propagat in infinitum, propaga- bunt etiam motus fuos in infinitum, adeo ut fluidi infiniti pars unaquaeque eo agitetur motu qui ex omnium globorum adtionibus refultat. Unde vortices non definientur certis limitibus, fed in (e mutuo paulatim excurrent 5 globiq; per adtiones vorticum in fe mutuo, perpetuo movebuntur de locis Iliis ; uti in Lemmate fupe- riore expolitum eft ^ neqj certam quamvis inter le poficionem ler- vabunt, nifi per vim aliquam retenti. Ceflantibus autem viribus illis quae in globos conftanter impreflae conlervant hofce motus, materia ob rationem in Corollario tertio Sc quarto afiignatam pau- latim requiefcet Sc in vortices agi definet. Corol. 7. Si Fluidum fimilare claudatur in vafe lphierico,ac globi in centro confiftentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus autem dc vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur, fintq; eorum tempora periodica ut quadrata femidiametrorum : par- tes fluidi non prius perfeverabunt in motibus luis fine acceleratione & retardatione, quam fint eorum tempora periodica ut quadrata diftantiarum. a centro vorticis. Alia nulla Vorticis conftitutio po- teft efle permanens. Corol. 8. Si vas. Fluidum inclufum 8c globus fervent hunc mo- tum, Sc motu praeterea communi angulari circa axem quemvis da- tum revolvantur 5 quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in le invicem, non mutabuntur motus partium in- ter fe. Nam tranllationes partium inter fe pendent ab attritu. Pars quaelibet in eo perfeverabit motu, quo fit ut attritu ex uno la- tere non magis tardetur quam acceleretur attritu ex altero. ik ^ Corol. .[ 38o ] Corol. 9. Unde fi vas quiefcat ac detut* motus globi, dabitur mo- rus fluidi. Nam concipe planum tranfire per axem globi & mo- tu contrario revolvi 5 & pone tempus revolutionis hujus efie ad fummam hujus temporis & temporis revolutionis globi, ut quadra- tum femidiametri vafis ad quadratum femidiametri globi : & tem- pora periodica partium fluidi refpe^tu plani hujus erunt ut quadra- ta diftantiarum fuarum a, centro globi. Corol. 1 o. Proinde fi vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diveiTum aliquem, data cum velocitate quacunq^ moveatur, dabitur motus fluidi. Nam fi Syftemati ,coci auferatur vafis motus angularis, manebunt motus omnes iidem inter fe qui prius, per Corol. 8. Et motus ifti per Corol. 9. dabuntur. Corol. i\. Si vas & fluidum quiefcant Sc globus uniformi cum motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum in vas, Sc circumagetur vas nifi violenter detentum^ neq; prius definent fluidum Sc vas accelerari, quam fint eorum tempora perio- dica aequalia temporibus periodicis globi. Quod fi vas vi aliqua detineatur vel revolvatur motu quovis conflanti Sc uniformi, de- veniet Medium paulatim ad flatum motus in .Corollariis 8. 9 Sc 10 definiti, nec in alio unquam flatu quocunqj perfeverabit. De- inde va‘6 fi, viribus illis celfantibus quibus vas Sc globus certis mo- tibus revolvebantur, permittatur Syflema totum Legibus Mecha- nicis 5 vas Sc globus in fe invicem agent mediante fluido, neq; motusi iuos in (e mutuo per fluidum propagare prius ceflabunt, quam eo- lum tempora periodica aequantur inter fe, &, Syflema totiim ad ia- flar corporis unius iolidi limul revolvatur. Scholmm. In his omnibus fuppono fluidum ex materia quoad denfitatern; Sc fluiditatem uniformi conflare. Tale, efl in quo globus idem eodem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus fimiles Sc a:quales, ad aquales femper a fe diflantias, ubivis in fluido confti- nitus, propagare po/Tit. Conatur quidem materia per motum fuum cir- C 38' ] cffcularem recedere ab axe Vorticis, & propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac preflione fit attritus partium fortior &c feparatio ab invicem difficilior j & per confequens diminuitur mate- riae fluiditas. Rurfus fi partes fluidi funt alicubi crafliores feu ma- jores, fluiditas ibi minor erit,ob pauciores fuperficies in quibus par- tes leparentur ab invicem. In hujufmodi cafibus deficientem fluidi- tatem vel lubricitate partium vel lentore al^ve aliqua conditione re- flitui fuppono. Hoc nifi fiat, materia ubi minus fluida efl: magis cohaerebit & 'fegnior erit, adeoqj motum tardius recipiet & lon- gius propagabit quam pro ratione fuperius affignata. Si figura vafis non fit Sphaerica, movebuntur particulae in lineis non circu- laribus led conformibus eidem vafis figurae, & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium diftantiarum a centro quamproxime. In partibus inter centrum & circumferentiam, ubi latiora funt Ipa- tia,’ tardiores erunt motus, ubi angufiiora velociores i neque ta- men particulae velociores petent circumferentiam. Arcus enim de- faibent minus curvos, 6c conatus recedendi a centro non minus di- * minuetur per decrementum hujus curvaturae, quam augebitur per incrementum velocitatis. Pergendo a fpatiis anguflloribus in kr • tiora recedent paulo longius a centro, fed ifto receffu tardefeent 5 Sc , accedendo poftea de latioribus ad anguftiora accelerabuntur, fic *■ per vices tardefeent & accelerabuntur particulae fingulae in perpe- - tuum. Haec ita fe habebunt in vafe rigido. Nam in fluido infinito ^ Gonfkitutio Vorticum innotefeit per Propofitionis hujus Corollariunx fextum. Proprietates autem Vorticum hac Propofitione inveftigarc cona-- tus fum, ut pertentarem fiqua ratione Ph^nomena coeleflia per. Vortices explicari poffint. Nam Phaenomenon efl: quod Planeta- rum circa Jovem revolventium tempora periodica funt in ratione lefquialtera diflantiarum a centro Jovis i & badem Regula obtinet, in Planetis qui circa Solem revolvuntur. Obtinent aiitem hae Re- gulae in Planetis ucrifquc quam accurati ffime, quatenus obfervatio- nes Aftronomicae hactenus prodidere. Ideoqj fi Planetae illi a Vorti- cibus circa Jovem 3»* 5?5'78. 8. 8,78. 8,85:. 8,876. »3- M* ^347- 13,98. *43i59- M- ^4^ 24, 7z. 24,13. 24,903. Ex temporibus periodicis) 5,578. 8,878.11 43*68. 24,968' .Semidiam» Jovis. Hypoth. VI. Planetas quinque primarios Mercurium^ VeneremjAar- temy Jovem Saturnum Orbibus fuis Solem cingere. Mercurium & Venerem circa Solem revolvi ex eorum phalibus lunaribus demonftratur. Plena facie lucentes ultra Solem fiti funt, dimidiata e regione Solis, falcata cis Solem; per difcum ejus ad mo- dum macularum nonnunquam tranfeuntes. Ex Martis quoque plena facie prope Solis conjundlionem, Sc gibbofa in quadraturis, certum eft quod is Solem ambit. De Jove etiam Sc Saturno idem ex eorum phafibus femper plenis demonftratur. Hypoth. VII. Tlanetarum quinque primariorum , ^ (vel Solis cirr- ca Terram vel ) Terr^ circa Sole?n tempora periodica ejje in ratione fej- qutaltera mediocrium diftantiarum d Sole. H«ec a IQplero inventa ratio in confeflo eft apud omnes. Ea- dem utique lunt tempora periodica, exdemqi orbium dimenfiones, ftve Planetae circa Terram, live lidem circa Solem revolvautur. Ac de menfura quidem temporum periodicorum convenit inter Aftro- nomos Liniverlos. Magnitudines autem Orbium Kjeplerus Sc ddul- lialdus omnium diligentiilime ex Obfervationibus determinaverunt: & diftantiae mediocres, quae temporibus periodicis refpondent, non A a a 2 difle- C 404 ] differunt fenfibiliter a diftantiis quas illi invenerunt , funtque inter ipfas ut plurimum intermediae i uti in Tabula fequente videre li- cet. TUnetarum ac Telluris TiJlantU mediocres d Sole. h ^ a ? 9 Secundum Keflerum 951000. 519650, 151^50. 1000:0. 7a4oO. :j88o6. Bullialdum 954198. 512510. i5i;5o. looooo. 'i;98. Secundum tempora periodica 955806. 510116. 151599. looooo. 58710. De diftantiis Mercurii 6c Veneris a Sole difputandi non eft lo- cus, cum hae per eorum Elongationes a Sole determinentur. De diftantiis etiam fuperiorum Planetarum a Sole tollitur omnis difpu- tatio per Eclipfes Satellitum Jovis. Etenim per Eclipfes illas deter- minatur pofttio umbrae quam Jupiter projicit, & eo nomine ha- betur Jovis longitudo Helioccntrica. Ex longitudinibus autem Heliocentrica & Geocentrica inter fe collatis determinatur diftantia Jovis. Hypoth. VIII. Tlanetas primarios radiis ad Terram duHis areas de- ferihere temporibus yninme proportionales 5 at radiis ad Solem duSiis areas temporibus proportionales percurrere. Nam refpedu terrae nunc progrediuntur, nunc ftationarii funt, nunc etiam regrediuntur : At Solis rerpe<5tu femper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu, fed paulo celerius tamen in Periheliis ac tardius in Apheliis,fic ut arearum aequabilis Iit deferi- ptio. Propofitio eft Aftronomis notiffima, & in Jove apprimede- monftratur per Eclipfes Satellitum, quibus Eclipfibus Heliocentricas Planetae hujus longitudines Sc diftantias a Sole determinari diximus. Elypoth. IX. Lunam radio ad centrum terroL dubio aream tempori proportionalem deferihere. Patet ex Lun^c motu apparente cum ipfius diametro apparente collato. Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum a vi Solis, fed errorum infenfibiles minutias Phyficis in hifce Hypothe- fibus negligo. Prop. r C405] \ Prop. 1. Theor. 1. yireSt quibus Tlaneu circumjovtales perpetuo retrahuntur k motibus re- Bilineis O* in orbibus fuis retinentur, ref picer e centrum Jovis, <(^ejfe reciproce ut quadrata dijiantiarum locorum ab eodem centro. Pacet pars prior Propofitionis per Hypoth. V. & Prop. II. vd III. Lib. I. & pars pofterior per Hypoth. V. & Corol. 6. Prop. IV. ejuIHem Libri. Prop. II. Theor. II. • Vires, quibus Tlamta primarii perpetuo retrahuntur a motibus reBilineis\ in Orbibus fuis retinentur, refpicere Solem, ejje reciproce ut qua- drata dijiantiarum ah ipjtus centro. Patet pars prior Propofitionis per Hypoth. VIIL Sc Prop. II. Lib; I. & pars pofterior per Hypoth. VII. h, Prop.' IV. ejufdem Libri; Accuratiflime autem demonftratur hxe pars Propofitionis per quie^, tem Apheliorum. Nam aberratio quam minima a ratione dupli-v cata (per Coral. I. Prop. XLV. Lib. I.) motum Apiidumin fingu-^ lis revolutionibus notabilem, in pluribus enormem efficere.deberet. . Prop. III. Theor. III. Vm qua Luna retinetur in Orbe fuo refpicere terram, Xsr eJJe reciproce^-ut:: quadratum diflanti^e locorum ab ipjtus centro. Patet aflertionis pars prior, per Hypoth. IX;* & Prop. II. vel III.. Lib. I. pars pofterior per motum tardiflimum Lunaris Apogxi; Nam motus ille, qui lingulis revolutionibus eft graduum tantum*.^ trium in confequentia, contemni poteft. Patet enim, per Corol. : , > Prop. XLV. Lib. 1. quod fi dillantia Lunae a centro l^errae dica-»- tur 1406 2 tur D, vis a qua motus talis oriatur, fit reciproce ut 2) z id eft re- ciproce ut ea ipfius D dignitas, cujus index eft i-J-^jhoc eft in ratione diftantiae paulo majore quam duplicata inverfe , fed quae vicibus 6o2 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. Tahtil- lus autem accefius merito contemnendus eft. Oritur vero ab acti- one Solis (uti pofthac dicetur) & propterea hic negligendus eft, Reftat igitur ut vis illa, quae ad Terram fpecftat, fit reciproce ut D i 5 id quod etiam plenius conftabit, conferendo hanc vim cum vi gravitatis, ut fit in Propofitione fequente. Prop. IV. Theor. IV. Lunam gravitare in terram^ O* vi gravitatis retrahi femjjer d motu rcBilmeo, in orbe fuo retineri. Lunae diftantia mediocris a centro Terrae eft femidiametromm terreftrium, fecundum plerofque Aftronomorum fecundum Venddinum 6o , fecundum Copernicum 6o fecundum Kjrche- riim 62 j , Sc fecundum Tychonem 56^. Aft Tycho ^ & quot- quot ejus Tabulas refradionum fequuntur, conftituendo refracti- ones Solis Solem in ratione illa d ad diftantia B b b centri [ 4'o 3 centri Orbis Satellitis a Sole minor foret quam diftantia centri Jovis a Sole in ratione illa dimidiata. Igitur fi in aequalibus a Sole di- fiantiisjgravitas acceleratrix Satellitis cujufvis in Solem major efiec vel minor quam gravitas acceleratrix Jovis in Solem, parte tantum millefima gravitatis totius ; foret diftantia centri Orbis Satellitis a Sole major vel minor quam diftantia Jovis a Sole parte diftan- tiae totius, id eft parte quinta diftantiae Satellitis extimi a cen- tro Jovis : Qiiac quidem Orbis excentricitas foret valde fenfibilis. Sed Orbes Satellitum fiint Jovi concentrici, & propterea gravitates acceleratrices Jovis Sc Satellitum in Solem aequantur inter fe. Et eodem argumento pondera Saturni Sc Comitis ejus in Solem, in aiqualibus a Sole diftantiis, funt ut quantitates materiae in ipfis : Et pondera Lunae ac Terrae in ^Solem vel nulla fimtjvel earum maffis accurate proportionalia. Quinetiam pondera partium fingularum Planet^E cujufque in ali- um quemcunque funt inter fe ut materia in partibus finguiis. Nam fi partes aliquae plus gravitarent, aliae minus, quam pro quantitate materia, Planeta totus, pro genere partium quibus maxime abun- det, gravitaret magis vel minus quam pro quantitate materiae toti- us. Sed nec refert utrum partes illae externae fint vel internae. Nam fi verbi gratia corpora Terreftria, quae apud nos funt, in Orbem Lu- nae elevari fingantur, 6c conferantur cum corpore Lunae: Si horum pondera eftent ad pondera partium externarum Lun:e ut quantitates materiae in iildem, ad pondera vero partium internarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lunae totius in majori vel minori ratione : contra quam fupra oftenfiim eft. Corol. i . Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis Sc texturis. Nam fi cum formis variari poftent , forent majora vel minora pro varietate formarum in aequali materia; omnino con- tra experientiam. Corol. 1. Igitur corpora tiniverla quie circa Terram funt, gravia funt in Terram; 8c pondera omnium, quae aequaliter a centro Ter- rae diftant, funt ut quantitates materiae in iildem. Nam fi aether aut [4««] auc corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino deftitucretur vel pro quantitate materix iux minus gra vitaret, quoniam id non dif- fert ab aliis corporibus nifi in forma materiae, poflet idem per mu- tationem formae gradatim tranfmutari in corpus ejufdem conditio- nis cum iis quae pro quantitate materiae quam maxime gravitant, (per Hypoth. III.) &c viciffim corpora maxime gravia, formam il- lius gradatim induendo, polfent gravitatem luam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent a formis corporum, polfentque cum formis variari, contra quam probatum eft in Corollario fuperiore. CoroL . Itaque Vacuum necellario datur. Nam fi Ipatia omnia plena elfent, gravitas fpecifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob liimmam denfitatem materiae, nil cederet gravitati fpecificae argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujulcunque denfifiimi 5 &c pro- pterea nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere defcen- dere pollet. Nam corpora in fluidis, nifi fpecifice graviora fint, minime defcendunt. CoroL 4. Gravitatem diverfi generis elfe a vi magnctica. Nam attradlio magnetica non eft ut materia attradfa. Corpora aliqua magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Eftquc vis magnetica longe major pro quantitate materiae quam vis gravitatis : led &c in eodem corpore intendi poteft Sc remitti 5 in receffu vero a magnete decrelcit in ratione diftantiae plufquam dj^licata,- propte- rea quod vis longe fortior fit in contadtu, quam cum attrahentia vel minimum feparantur ab invicem. Prop. VII. Theor. VII. Gravitatem in corpora miverfa fieri ^ eamque proportionalem ejfe quanti- tati materU in Jin^ulis. Planetas omnes in le mutuo graves elfe jam ante probavimus, ut Sc gravitatem in unumquemque feorfim fpedlatum elfe reciproce ut quadratum diftantiae locorum a centro Planetae. Et inde conicqucns Bbb z eft C ] ci\j (per Prop.LXIX. Lib.I. & ejus Corollaria) gravitatem in om- nes proportionalem effe materiae in iifdem. Porro cum Planetae cujufvis J partes omnes graves fint in Plane- tam quemvis ©, & gravitas partis cujufque fit ad gravitatem to- tius, ut materia partis ad materiam totius, 8c actioni omni reactio (per motus Legem tertiam) aequalis fit Planeta © in partes omnes Planetae J vicifTim gravitabit, Sc erit gravitas fiia in partem unam- quamque ad gravitatem fuam in totum, ut materia partis ad mate- riam totius. E. D. Corol. i . Oritur igitur dc componitur gravitas in Planetam totum ex gravitate in partes fingulas. Cujus rei exempla habemus in attractionibus Magneticis & EleCtricis. Oritur enim attraCtio om- nis in totum ex attraCtionibus in partes fingulas. Res intel ligetur in gravitate, concipiendo Planetas plures minores in unum Glo- bum coire &c Planctam majorem componere. Nam vis totius ex viribus partium componentium oriri debebit. Siquis objiciat quod corpora omnia, quae apud nos funt, hac lege gravitare deberent in le mutuo, cum tamen ejufmodi gravitas neutiquam fentiatur : Re- 1'pondeo quod gravitas in haec corpora , cum fit ad gravitatem in Terram totam ut funt haec corpora ad Terram totam, longe mi- nor efl quam quae fentiri poflit. Corol. 2. Gravitatio in fingulas corporis particulas aquales e(i reciproce ut quadratum diftantiae locorum a paniculis. Patet per Corol. 3. Prop. LXXlV. Lib. I. Prop. VIII. Theor. VIII. Si Glohorum duorum in fe mutuo gravkantium materia undique^in regio- nihui qud d centris .equaliter dijlant, homogenea Jit : erit pondus Glohi alterutrius in alterum reciproce ut quadratum diJiantU inter centra. Pofiquam inveniflem gravitatem in Planetam totum oriri & 1 ^ rr • r 1 • \ componi ex gravitatibus in parcesj elle in partes lingulas reciproce V _ C 4' 3 3 proportionalem quadraris diftantiarum a partibus : dubitabam an reciproca illa proportio duplicata obtineret accurate in vi tota ex viribus pluribus compolita, an vero quam proxime. Nam fieri poflet ut proportio illa in majoribus diftantiis latis obtineret, at prope fuperficiem Planetae, ob inaequales particularum diftantias Sc fitus diffimilesj notabiliter erraret. Tandem vero, per Prop.LXXV. Libri primi & ipfius Corollaria, intellexi veritatem Propofitionis de qua hic agitur. Corol. i. Hinc inveniri &c inter le comparari pofTunt pon- dera corporum in diverfos Planetas. Nam pondera corporum aequalium circum Planetas in circulis revolventium funt ( per Prop. IV. Lib. I. ) ut diametri circulorum direde Sc quadrata temporum periodicorum inverse j Sc pondera ad fuperficies Pla- netarum aliasve quafvis a centro diftantias majora Ihnt vel mi- nora (per hanc Propofitionem) in duplicata ratione diftantiarum inverfa. Sic ex temporibus periodicis Veneris circa Solem dierum 224 Satellitis extimi circumjo vialis circa Jovem dierum 1 d -J, Sa- tellitis Hugeniani circa Saturnum dierum 15 Sc horarum 22 J-, Sc Lunae circa Terram ly dier.y hor, mhi. collaris cum diftantia mediocri Veneris a Sole ; cum Elongatione maxima Heliocentrica Satellitis extimi circumjo vialis,quae (inmediocri Jovis a Sole diftantia juxta obfervationes FUmJledit) eft 8'. 1 cum elongatione maxi- ma Heliocentrica Satellitis Saturnii 3'. 20" j Sc cum diftantia Liin.v a Terra, exHypothefi quod Solis parallaxis horizontalis leu femi- diameter Terrae e Sole vifae lit quafi 20^ ; calculum ineundo inve- ni quod corporum aequalium Sc a Sole, Jove, Saturno ac Terra aequaliter diftantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Ter- ram forent ad invicem ut 1, Sc refpedivL Eft au- tem Solis femidiameter mediocris apparens quali 1 6'. 6\ Illam Jovis e Sole vifam FlamfiediuSy ex umbrae Jovialis diametro per Ecliples Satellitum inventa, determinavit efte ad elongationem Satellitis extimi ut i ad 24,9 adeoque cum elongatio liia fit 8'. 13' lemidiameter Jovis e Sole vifi erit Diameter Saturni eft C 4'4 ] cft ad diametrum Atinuli ejus ut 4 ad 9, & diameter annuli e Sole vili ('menfurante Fla?njledio) 50", adeoque femidiameter Sa- turni e Sole vifi 11”'. Malim dicere 10" vel 9", propterea quod globus Saturni per kicis inaequalem refrangibilitatem nonnihil di- latatur. Hinc inito calculo prodeunt ver «e Solis, Jovis, Saturni ac Terrae femidiametri ad invicem ut 10000, 1063, 889, & 208. Unde cum pondera aequalium corporum a centris Solis, Jovis, Sa- turni ac Telluris aequaliter diftantium fint in Solem, Jovem, Sa- turnum ac Terram ut i , refpedive, aua:isvel diminutis diftantiis diminuuntur vel augentur pondera in duplicata ratione j erunt pondera eorundem aequalium corporum in Solem, Jovem, Saturnum Terram, in diftantiis 10000, 1063, 889 & 208 ab eorum centris, atque adeo in eorum fuperficiebus verlanti- um, ut loooo, 804 j, 536 & 805 j relpedive. Pondera cor- porum in fuperficie Lunae fere duplo minora efte quam pondera corporum in fuperficie Terrae dicemus in fequentibus. Corol. 2. Igitur pondera corporum aequalium, in fuperficiebus Terrae & Planetarum, funt fere in ratione dimidiata diametrorum apparentium e Sole vilarum. De Terrae quidem diametro e Sole vila nondum conftat. Hanc aflumpfi 40", propterea quod obfer- vationes Impleri, ^ccioli 8c Vmddini non multo majorem efte per- mittunt,- ca.m Horroxii Sc Flamftedii oblervationes paulo minorem adftruere videntur. Et malui in exceflli peccare. Qiibd fi forte diameter illa gravitas in fuperficie Terrae mediocris fit inter di- ametros Planetarum 6c gravitatem in eorum fuperficiebus : quo- niam Saturni, Jovis, Martis, Veneris 6c Mercurii e Sole viforum diametri lunt 18", 39''^, 8", 28", 20" circiter, erit diameter Terrx quafi 24'', adeoque Parailaxis Solis quafi 1 2", ut Hor- roxitts Flamjledtus propemodum ftatuere. Sed diameter paulo major melius congruit cum Regula hujus Corollarii. Corol. 3. innotefeit etiam -quantitas materiae in Planetis fingu- lis. Nam quantitates illae funt ut Planetarum Vires in diftan- tiis a fe aequalibus j id eft in Sole, Jove, Saturno ac Terra ut 1, lOOCj L 4'5 3 1^0? 28^0 i‘e{pe6live. Si Parallaxis Solis ftatuatur minor quam 2 o", debebit quantitas materiae in Terra diminui in tripli- cata ratione. Corol. 4. Innotefcunt etiam denfitates Planetarum. Nam cor- porum aequalium & homogeneorum pondera in Sphaeras homo- geneas in liiperficiebus Sphxrarum, funt ut Sphaerarum diametri per Prop. LXXII. Lib. l. ideoque Sphaerarum heterogenearum den- fitates funt ut pondera applicata ad diametros. Erant autem verae Solis, Saturni, Jovis ac Terrae diametri ad invicem ut 1 0000 j 88p, 1063 dc 208, dc pondera in eoldem ut 10000, 536, 804 j dc 805 dc propterea denfitates fiint ut 100, 60, 76, 3 87. Denfitas autem Terrae, qu2e hic colligitur, non pendet a Pa- rallaxi Solis, fed determinatur per parallaxin Lunae, dc propterea hicredte definitur. Efl: igitur Sol paulo denfior quam Jupiter, dc Terra multo denfior quam Spl. Corol. 5. Planetarum autem denfitates inter fe fere funt in rati- one compofita ex ratione diftantiarum a Sole dc ratione dimidiata diametrorum apparentium e Sole vilarum. Nempe Saturni, Jo- vis, Terrae dc Lunae denfitates 60, 76, 3 87 dc 700, fere funt ut diftantiarum reciproca ^g, — , 7^ dc dudta in radices dia^ metrorum apparentium i 8", 39";, 40", Sc ii ". Diximus uti- que, in Corollario fecundo, gravitatem ad fuperficies Planetarum elTe quam proxime in ratione dimidiata apparentium diametro- rum e «Sole vifarum ; Sc in Lemmate quarto denfitates efte ut gra- vitates illae applicatae ad diametros veras ; ideoque denfitates fere funt ut radices diametrorum apparentium applicatae ad diame- tros vei*as, hoc eft reciproce ut diftantiae Planetarum a Sole du- dlae in radices diametrorum apparentium. Collocavit igitur Deus Planetas in diverfis diftantiis a Sole, ut quilibet pro gradu denfitatis calore Solis majore vel minore fruatur. Aqua noftra, ii Terra locaretur in orbe Saturni, rigelceret, fi in orbe Mercurii in vapores ftatim abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis eft, feptuplo denfior eft in orbe Mercurii quam apud nos : dc Ther- mometro C 4><$ ] mometro expertus fum cjiiod feptuplo Solis jeftivi calore, aqua ebullit. Dubium vero non eft quin materia Mercurii ad calorem accommodetur, Sc propterea denfior fit hac noftra ; cum materia omnis denfior ad operationes Naturales obeundas majorem calo- rem requirar. Prop. IX. Theor. IX. Gravitatem pergendo d fuperfidehus Planetarum deorfum decrefeere in ratione diftantiarum d centro quam proxime. Si materia Planetae quoad denfitatem uniformis effet, obtineret harc Propofitio accurate : per Prop. LXXIII. Lib. I. Error igitur tantus eft , quantus ab inaequabili denfitate oriri poflit. 'Prop. X. Theor. X. Motus Planetarum in Coelis diutiffime confervari pojje. In Scholio Propofitionis XL. Lib. II. oftenfum eft quod globus Aqux congelata in Aere noftro, libere movendo dc longitudinem femidiametri fuae deferibendo, ex refiftentia Aeris amitteret motus fui partem Obtinet autem eadem proportio quam proxime (per Prop. XL. Lib. II.) in globis utcunque magnis Sc velocibus. Jam vero Globum Terrae noftrae denfiorem effe quam fi totus ex Aqua conflaret, fic colligo. Si Globus hicce totus effet aqueus, quaecunque rariora effent quam aqua, ob minorem fpecificam gra- vitatem emergerent Sc fupernatarent. Eaque de caufa Globus terreus aquis undique coopertus, fi rarior effet quam aqua, emer- geret alicubi, Sc aqua omnis inde defluens congregaretur in regione oppofita. Et parefl: ratio Terrx noflrae maribus magna ex parte circumdatae. Haec fi denfior non efiet, emergeret ex maribus, Sc parte fui pro 'gradu levitatis extarec ex Aqua, maribus omnibus in regionem C 4'7 ] regionem oppofitam confluentibus. Eodem argumento maculae Solares leviores funt quam materia lucida Solaris cui fiipernatant. Et in formatione qualicunque Planetarum, materia omnis gravior, quo tempore m.afla tota fluida erat, centrum petebat. Unde cum Terra communis fuprema quafi duplo gravior fit quam aqua, &c paulo inferius in fodinis quafi triplo vel quadruplo aut etiam quin- tuplo gravior reperiatur : verifimile eft quod copia materix totius in Terra quafi quintuplo vel fextuplo major fit quam fi tota ex aqua conflaret 5 prxfertim cum Terram quafi quintuplo dcn- fiorem efle quam Jovem jam ante oflenfum fit. Igitur fi Jupiter paulo denfior fit quam aqua, hic fpatio dierum viginti 3c unius, quibus longimdinem 320 femidiametrorum fuarum defcribit, amitteret in Medio ejufdem denfitatis cum Aere noflro motus fui partem fere decimam. Verum cum refiflentia Mediorum minuatur in ratione ponderis ac denfitatis, fic ut aqua, qux vi- cibus 1 1 I levior eft quam argentum vivum, minus reliflat in eadem ratione ; & aer, qui vicibus 800 levior eft quam aqua, mi- nus refiflat in eadem ratione : fi afcendatur in coelos ubi pondus Medii, in quo Planetae moventur, diminuitur in immenfum, refi- flentia prope ceflabit. Prop. XI. Theor. XI. Commune centrum gravitatis Terrae Solis ^ Planeta- rum omnium quiefeere, % Nam centrum illud (per Legum Corol. 4.) vel quiefeet vel progredietur uniformiter in directum. Sed centro illo femper progrediente, centrum Mundi quoque movebitur contra Hypo- thefin quartam. C c c Prop. C 4>8 ] Prop. XII. Theor. XII. Solem motu perpetuo agitari fed nuncpuam longe recedere d communi gravitatis centro Planetarum omnium. Nam cum, per Corol. 3. Prop. VIII. materia in Sole fit adma- ta'iam in Jove nt 1 1 00 ad i , & diftantia Jovis a Sole fit ad fe- mediametmm Solis in eadem ratione circiter j commune centrum gravitatis Jovis Sc Solis incidet ftre in fiiperficiem Solis. Eodem argumento cum materia in Sole fit ad materiam in Saturno ut 2360 ad i, & diftantia Saturni a Sole fit ad femidiametrum Solis in ratione paulo minori : incidet commune centrum gra- vitatis Saturni Sc Solis in puncftum paulo infra fuperficiem Solis. Et ejufdem calculi veftigiis infiftendo fi Terra & Planetae omnes ex una Solis parte confifterent, commune omnium centrum gravi- tatis vix integra Solis diametro a centro Solis diftaret. Aliis in cafibus diftantia centrorum femper minor eft. Et propterea cum centrum illud gravitatis perpetuo quiefcit, Sol pro vario Planeta- rum fitu in omnes partes movebitur, fed a centro illo nunquam longe recedet. CoroL Hinc commune gravitatis centriim Terrae, Solis Sc Pla- netarum omnium pro centro Mundi habendum eft. Nam cum Terra, Sol &c Planetae omnes gravitent in fe mutuo, & propterea, pro vi gravitatis {ux, fecundum leges motus perpetuo agitentur : perfpicuum eft quod horum centra mobilia pro Mundi centro qui- efeente haberi nequeunt. Si corpus illud in centro locandum effiet in quod corpora omnia maxime grav itant (uti vulgi eft opinio) privilegium iftud concedendum eflet Soli. Cum autem Sol mo- veatur, eligendum erit puneftum quieficens, a quo centmm Solis . quam minime difcedit, Sc a quo idem adhuc minus dificederet, fi modo Sol denfior effiet dc major, ut minus moveretur. Prop. C 4'9 1 Prop. XIII. Theor. XIII. ^laneU moventur m Ellipfibus umbilicum habentibus in centro Solis, O* radiis ad centrum illud duHis areas defcribunt temporibus pro- portionales, Difputavimus fupra de his motibus ex Phaenomenis. Jam cognitis motuum principiis, ex his colligimus motus coeleftes a priori. Quoniam pondera Planetarum in Solem funt reciproce ut quadrata diftantiarum a centro Solis 5 fi Sol quiefceret dc Planetae reliqui non agerent in fe mutuo, forent orbes eorum Elliptici, So- lem in umbilico communi habentes, Sc areae defcriberentur tem- poribus proportionales ( per Prop. I. Sc XI, & Corol. i . Prop.XIII. Lib. I.) A6tiones autem Planetarum iti fe .mutub perexiguae funt (ut pofiint contemni} & motus Planetarum' in Ellipfibus circa So- lem mobilem minus perturbant (per Prop. LXVI. Lib. I.) quam fi motus ifti circa Solem quiefcentem peragerentur. A(Stio quidem Jovis in Saturnum non eft omnino contemnen- da. Nam gravitas in Jovem eft ad gravitatem in Solem ( pari- bus diftantiis) ut i ad iiooj adeoque in conjundione Jovis Sc Saturni, quoniam diftantia Saturni a Jove eft ad diftantiam Sa- turni a Sole fere ut 4 ad 9, erit gravitas Saturni in Jovem ad gra- vitatem Saturni in Solem ut 81 ad 16x1 100 leu i ad zi/ circi- ter. Error tamen omnis in motu Saturni circa Solem, a tanta in Jovem gravitate oriundus, evitari fere poteft conftituendo umbili- cum Orbis Saturni in communi centro gravitatis Jovis Sc Solis ( per Prop. LXVII. Lib. I. ) propterea ubi maximus eft vix fu- perat minutos duos primos. In conjunctione autem Jovis Sc Sa- turni gravitates acceleratrices Solis in Saturnum, Jovis in Saturnum Sc Jovis in Solem funt fere ut i d, 8 1 & leu 122342, ade- oque differentia gravitatum Solis in Saturnum Sc Jovis in Saturnum eft ad gravitatem Jovis in Solem ut 65 ad 122342 feu i ad 1 867, C c c 2 Huic C 4i0 ] Huic autem differentiic proportionalis eft maxima Saturni efficacia ad perturbandum motum Jovis, & propterea perturbatio orbis Jo- vialis longe minor eft quam ea Saturnii. Reliquorum orbium per- turbationes funt adhuc longe minores. Prop. XI V. Theor. XI V. Orbium J^helia Nodi quie/cunt, Aphelia quiefcunt, per Prop. XI. Lib. I. ut & orbium plana, per ejufdem Libri Prop. I. & quiefcentibus planis quiefcunt Nodi. At- tamen a Planetarum revolventium & Cometarum actionibus in fe iavicem orientur inaequalitates aliquae, fed quae ob parvitatem con- temni poftunt. Corai. i, Quieftunt etiam Stellae fixae, propterea quod datas ad Aphelia Nodofque politiones fervant. CoroL z. Ideoque cum nulla fit earum parallaxis fenfibilis cx Terrae motu annuo oriunda, vires earum ob immenfam corporum diftantiam nullos edent fenfibiles effeCtus in regione Syftematis no- ftri, Prop. XV. Theor. XV. hwenire Orbium tranfverjas diametros. Capiendae funt hx in ratione fefquialtera temporum periodico- rum-, per Prop. XV. Lib. I. deinde ligillatim augendae in ratione fummae maffarum Solis Sc Planetae cujufque revolventis ad primam duarum medie proportionalium inter lummam illam Solem, per Prop. LX. Lib. i v Prop. x C 4i‘ 3 Prop. XVI. Prob. I. Invenire Orbium Excentricitates JfhelU. Problema confic per Prop. XVIII. Lib. I. Prop.XVlI. Theor.XVl. - Planetarum motus diurnos uniformes ejfe, librationem Lun^^' ex iffius motu diurno oriri. Patet per motus Legem I, 3c Corol. 2 2. Prop. LXVI. Lib. L Quoniam vero Lunae, circa axem Tuum uniformiter revolventis, dies menftruus eftj hujus facies eadem ulteriorem umbilicum orbis ipfius (emper refpiciet, & propterea pro fitu umbilici illius devia^ bit hinc inde a Terra. Haec eft libratio in longitudinem. Nam li- bratio in latitudinem orta eft ex inclinatione axis Lunaris ad pla- num orbis. Porro haec ita fe habere, ex Phaenomenis manifeftumi cft. Prop. XVIII. Theor. XVIL Jxes Planetarum diametris qud ad eofdem axes normaliter. ^ . ducmitur minores ejji. Planetae fublato omni motu circulari diurno figuram Sphaericam5^ ob aequalem undique partium gravitatem, affedtare deberent. Per ■ motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta aequa- torem afeendere conentur. Ideoque materia fi fluida fit afcenfu luo ad aequatorem . diametros adaugebit, axem vero delcenfu fuo ad ^ polos diminuet. Sic Jovis diameter ( confentientibus obfervationi-. - bus Caffini &c Fldmftedti) brevior deprehenditur inter polos quam ab > oriente in occidentem. argumento, nifi Terra -noftra. paiK- C ] paulo altior effet fub aequatore quam ad polos, Maria ad polos lubfiderent, & juxta aequatorem afcendendo, ibi omnia inundarent. Prop. XIX. Prob. II. Invenire proportionem axis Tlanet^e ad diametros eidem perpendiculares. Ad hujus Problematis fblutionem requiritur computatio multi- plex, quae facilius exemplis quam praeceptis addilcitur. Inito igitur calculo invenio, per Prop. lY. Lib. I. quod vis centrifuga partium Terras fub asquatore,-ex motu diurno oriunda, fit ad vim gravita- tis ut i ad 290^. Unde fi ^figuram Terrae defignet revo- lutione Ellipfeos circa axem minorem P 2 j fitque ACQ^qca canalis aqii^ plena, a polo ad centrum Cc, Sc inde ad asqiia- torem Ja pergens : debebit pondus aquae in canalis crure AC c a effe ad pondus aquae in crure altero ut 29 1 ad 290, eo quod vis centrifuga ex circulari motu orta par- tem unam e ponderis partibus 291 fufti- nebit & detrahet, Sc pondus 2 9 o in alte- ro crure luftinebit partes reliquas. Porro (ex Propofitionis XCI. Corollario fecun- do, Lib. 1.) computationem ineundo, in- venio quod fi Terra conftaret ex unifor- mi materia, motuque omni privaretur, Sc elfet ejus axis P 2^ ad diametrum AB ut 100 ad 101 : gravitas in loco 2,in Terram , foret ad gravitatem in eodem loco 2.11^ fphasram centro C radio P C vel 22 deferiptam, ut i 26^^ ad 125-,. Et eodem ar- gumento gravitas in loco A in Sphaerdidem, convolutione Ellipfeos AB(BQj:irc3, axem^P deferiptam, efl: ad gravitatem in eodem loco A in Sphxram centro C radio AC dei criptam, ut 125 ad 1 26,-^. Eft autem gravitas in loco A in Terram, media proportionalis inter gravitates in didam Sphasroidem Sc Sphxram, propterea quod Sphas- a C 4^5 ] Sphaera,diminuen d parallelum ei refpon- d entem ex altera parte aequatoris L locum quem Luna tribus an- te horis occupabat ; H locum Telluris ei perpendicularitcr fiibje- (ftum ; h locum huic oppofi- tum y k loca inde gradi- bus po diftantia, CH, Ch Maris altitudines maximas menfiiratas a centro Telluris; & Ci^, Ck altitudines mini- mas: & fi axibus HJ?j defcribatur Ellipfis , deinde Ellipfeos hujus revolutione circa axem majorem H h de- fcribatur Sphaerois HTI^hpk', defignabit h^ec figuram Maris quam proxime, & erunt CF, C/, CD,Cd altitudines Maris in lo- cis F,fyD, d. Quinetiarn fi in praefata Ellipfeos revolutione pun- (ftum quodvis Ndefcribat circulum lecantem parallelos F/, Ddm locis quibufvis T, & aequatorem JEiaSj erit C N al- titudo Maris in locis omnibus , S, T, ficis in hoc circulo. Hinc in revo- [45^3 revolutione diurna loci cujufvis F, afifluxus erit maximus in F, hora tertia port appulfiim Lunae ad Meridianum fupra Horizontem ,• po- li: ea defluxus maximus in ^hora tertia poft occallim Lunae ; dein aflluxus maximus in / hora tertia poft appullum Lunae ad Meridi- anum infra Horizontem ultimo defluxus maximus in ^hora ter- tia poft ortum Lunae ,• Sc affluxus pofterior in/ erit minor quam affluxus prior in F. Diftinguitur enim Mare totum in duos omni- no fludus Hemilphaericos, unum in Hemifphaerio I^Hk C ad Bo- ream vergentem, alterum in H^emifphaerio oppofito kCj quos igitur fluxum Borealcm Sc fluvftum Auftralem nominare licet. Hi fludtus femper fibi mutuo oppofici veniunt per vices ad Meridianos locorum Ungulorum, interpofito intervallo horarum Lunarium duo- decim. Cumque regiones Boreales magis participant flu<5lum Bo- realem, & Auftrales magis Auftralem, inde oriuntur aeftus alternis vicibus majores & minores, in locis fingulis extra aequatorem. iEftus autem major, Luna in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam poft appullum Lunas ad Meridianum lupra Hori- zontem , 3c Luna declinationem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum diflerentia maxima incidet in tempora Solftitiorum ; pras- lertim li Lunas Nodus alcendens verlatur in principio Arietis. Sic experientia compertum eft, quod aeftus matutini tempore hyberno iliperent vefpertinos &c vefpertini tempore asftivo matutinos, ad Tly- mtithujn quidem altitudine quali pedis unius, ad ‘BriftoHam vero al- titudine quindecim digitorum : Oblervantibus ColepreJJ^o 8c Sturmto. Motus autem hadlenus delcripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum, qua Maris aeftus, etiam cellantibus I liminarium adlionibus, pollet aliquamdiu perleverare. Confer- vktio hascce motus imprefli minuit difterentiam aeftuum alternorum ; xftus proxime poft S^zygias majores reddit, eolque proxime poft Qiiadraturas minuit. Unde fit ut aeftus alterni ad Tlyriiuthum Sc 'Brifioliam non multo magis "differant aB invicem quam altitudine pedis unius vel digitorum quindecim i utque tefttis omnium maxi- mi in iiidcm portubus non lint primi a Sy zygiis fed tertii. Retardan- tur . C4?3] tur etiam motus omnes in tranfitu per vada, adeo ut atftus omnium maximi, in fretis quibufdam & Fluviorum oftiis, fint quarti vel eti- am quinti a Syzygiis. Porro fieri poteft ut aeftus propagetur ab Oceano per freta diver- fa ad eundem portum, & citius tranfeat per aliqua freta quam per alia, quo in cafu jeftus idem, in duos vel plures fucceffive adveni- entes divifus, componere poflit motus novos di verforum generum. Fingamus aeftus duos aequales a diverfis locis in eundem portum ve- nire, quorum prior prxcedat alterum fpatio horarum fex, incidat- que in horam tertiam ab appulfu Lunas ad Meridianum portus. Si Luna in hocce fuo ad Meridianum appulfu verfabatur in ^equa- tore, venient fingulis horis fenis aequales affluxus, qui in mutuos re- fluxus incidendo eofdem aflfluxibus xquabunt, 6c fic fpatio diei il- lius efficient ut aqua tranquille ftagnet. Si Luna tunc declinabat ab /Equatore , fient aeflus in Oceano vicibus alternis majores Sc* minores, uti di(5fum efl ; &c inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores 3c bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquam altiflimam in medio inter utrumque, affluxus major & minor faciet ut aqua afcendat ad me- . dioaem altitudinem in Medio ipfbrum, Sc inter affluxus binos mi- nores aqua afcendet ad altitudinem minimam. Sic fpatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri fblet, fed femel tantum per- veniet ad maximam altitudinem 3c femel ad minimam j altitu- do maxima, fi Luna declinat in polum fiipra Horizontem loci, in- cidet in horam vel fextam vel tricefimam ab appulfu Lunas ad Me- ridianum, atque Luna declinationem mutante mutabitur in deflu- xum. Quorum omnium exemplum, in portu regni Tunqumt ad fub latitudine Boreali logr. ‘^omtn. ex Nauta- rum Obfervationibus patefecit. Ibi aqua die tranfitum Lun.e per /Equatorem fequente ftagnac, dein Luna ad Boream declinante in- cipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, fed femel fingulis diebus ,• asftus incidit in occafum Lunse, defluxus maxi- mus in ortum. Cum Lunas declinatione augetur hic aeftus, ufquc ad E e e diem C 4?4 ] diem feptimnm vel odlavum, dein per alios fcptem dies iifdem gradibus decrelcir, quibus antea creverat ; & Luna declinationem mutante celTar, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim fubinde defluxus in occafnm Lunae Sc affluxus in ortum, donec Luna ite- rum mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab Oceano Sinenjiinzcr Continentem 3c Infulam Lucmiarn, alter a Mari Indico inter Continentem dc Inllilam Corneo. An xflus fpatio horarum duodecim a Mari Indico, & (patio hora- rum fex a Mari Sinenji per freta illa venientes, & (ic in horam ter- tiam dc nonam Lunarem incidentes, componant hujufrnodi motusj frtne alia Marium illorum conditio, obfervationibus vicinorum littorum determinandum relinquo. Hactenus caufas motuum hmx dc Marium reddidi. De quan- titate motuum jam convenit aliqua (ubjungere. Prop. XXV. Prob. V. Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lunte. Defrgnet 2^ Solem, 5 Terram, T Lunam, TaDB orbem' Lunae. In ^(? capiatur aequalis dS j (itque Qj- ^d in duplicata ratione TS agatur paral- lela LMi Sc fr gravitas acceleratrix Terrx in Solem ex- ponatur per diftan- tiam d^ vel dK) erit d.L gravitas ac^ ceieratrix Lunae in Solem. Ea componitur ex partibus ^M, L M, quarum LM dc ipfius dM pars 5 M perturbat motum Lunae, ut ?.a Libri primi Prop. LXVL dc ejus Corollariis expolitum eft. i: 4n ] Quatenus Terra Sc Luna circum commune gravitatis centrum re- volvuntur, perturbabitur motus Terrae circa centrum illud a viri- bus confimilibus j fed (iimmas tam virium quam motuum referre licet ad Lunam, Sc fumrnas virium per lineas ipfis analogas 6' M Sc Af L defignare. Vis ML (in mediocri fua quantitate) eft ad vim gravitatis, qua Luna in orbe fuo circa Terram quiefeentem ad diftantiam T S revolvi polTet, in duplicata ratione temporum pe- riodicorum Lunae circa Terram Sc Terrae circa Solem, ( per Co- rol. 17. Prop. LXVI. Lib. I.) hoc eft in duplicata ratione dierum 27. hor. 7. min, 4^. ad dies 365. hor. 6. min. p. id eft ut 1 000 ad 178725, feu i ad 178,^ Vis qua Luna in orbe fuo circa Ter- ram quiefeentem, ad diftantiam femidiametrorum terreftrium 60^ revolvi poflet,eft ad vim, qua eodem tempore ad diftantiam femidiametrorum do revolvi polfet, ut do^ ad 60 5 & haec vis ad vim gravitatis apud nos ut i ad doxdo. Ideoque vis mediocris ML eft ad vim gravitatis in fuperficie Terrae, ut i xdoj ad do xdox dox 178^-, feu 1 ad d 3 8092^6* Unde ex proportione linearum S M, ML, datur etiam vis 5 M: <5c hae funt vires Solis quibus motus Lunae perturbantur. Prop. XXVI. Prob. VI. Invenire incrementum are^ quam Luna radio ad Ter- ram duBo dejeribit. Diximus aream, quam Luna radio ad Terram dudlo deferibit, efle tempori proportional em, nifi quatenus motus Lunaris ab adtio- ne Solis turbatur. Inaequalitatem momenti (vel increir.enti horarii) hic inveftigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunae circularem efle, Sc inaequalitates omnes ne- gligamus, ea fbla excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem vero Solis diftantiam ponamus etiam lineas Q^S fibi invicem pa- rallelas efle. Hoc padto vis L M reducetur femper ad mediocrem E e e 2 luam C 45^ 3 fuam quantitatem 5 *?, ut & vis SMsid mediocrem fuam quanti- tatem 3 'P/C* Hae vires, per Legum Corel. 2. componunt vim S L', Sc haec vis, fi in radium 5 demittatur perpendiculum L E, refolvitur in vires SEy E L, quarum 5 E, agendo femper fecundum radium (S P, nec accelerat nec retardat delcriptionem areae (iS P radio illo iconjun<5lim j id eft ut 11075C5 ad 1097 Sumatur haec ratio bis inverse & ratio prior femel directe, & fiet Curyatura Qft?is Lunaris i in Syzygiis ad ejufdem ,iCvirvaturam in Q^^draturis^utJ.2O4:07 AS q.x x^-l^r 120407 X r2{OOo ig^.;x& ad 12261 i x 17872.5 A;S q. x CSq, x N 4- 1 226 1 1 X 1 QooCS q q.x AS, id eft ut 2 1 5 ipdp ASxCS xlSl 2,40 AS cuh. ad*:2i i37i^5xC»SxN 4-12261 CS cuh. V Quoniam figura orbis.Lunaris ignoratur, hujns vice.aflumamus Ellipfin T>^C A, in cujus centro S Terra collocetur, Sc cujus axis major D C Qiiadraturis, minor A^B Syzygiis interjaceat. Cum au- tem planum Ellipfeos hujus motu angulari circa Terram revolva- tur, Sc Trajed:oria, cujus Curvaturam confiderami^,, deferibi de- bet in plano quod motu omni angulari omnino dellkuitur : con- lideranda erit ngura, quam Luna in Ellipfi illa resolvendo deferi- bic in hoc plano, hoc eft Figura Cp cujus puntfta fingula p inve- niuntur capiendo puneftum quodvis T in Ellipfi, quod locum Lunae reprelentet, Sc ducendo Sp aequalem 5 'P,ea lege ut angulus BS p aequalis fit motui apparenti Solis a tempore Quadraturae Cconfedo vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CS p fit ad angulum CST ut tempus revolutionis Synodicae Lunaris ad tempus revolutionis Periodicae feii 29 d. 1 2. /?. 44 , ad 27 d. 7 h. 4^'. Capiatur igitur angulus CSd in eadem ratione ad angulum rearum CS A, Sc fit longitudo S a aequalis longitudini S A ; Sc erit a Apiis ima Sc C Ap- fis lumma orbis hujus C pa. Rationes autem ineundo invenio quod differenda inter curvaturam orbis Cp a \n vertice Sc curvaturam circuli centro S intervallo S ^ delcripti, fit ad differentiam inter curva- C 44> 3 curvaturam Ellipfeos in vertice A Sc curvaturam ejurdem circuli, in duplicata ratione anguli ad angulum CSpy 6c quod curva- tura Ellipfeos in A fit ad curvaturam circuli illius in duplicata ra- tione S A 3.dSC'y 6c curvatura circuli illius ad curvaturam cir- culi centro 5 intervallo 5 C defcripti ut S C zd S A; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipfeos in C in duplicata ratione A zd S C; 6c differentia inter curvaturam Ellipfeos in vertice C & curvaturam circuli' noviffimi , ad differentiam inter curvaturam figurxSp4 in vertice Cdc curvaturam ejuldem circuli, in duplicata ratione anguli C5 ad angulum CSp. Quas quidem rationes ex Si- nubus angulorum conta6tus ac differentiarum angulorum facile col- liguntur. Collatis autem his rationibus inter le, prodit curvatura figurae Cp a ina ad ipfius curvaturam in C, ut AS cub. CSq, X AS ad cuk + AS q.xCS. Ubi numerus defignat differentiam quadratorum angulorum CST ScCS p applicatam ad Quadratum anguli minoris CST, feu (quod perinde eft) differen- tiam Quadratorum temporum ly d. y h, y dc i^d. iz /?. 44, applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 /x 43'. Igitur cum a defignet Syzygiam Lunae, & C ipfius Quadraturam, proportio jam inventa eadem effe debet cum proportione curvaturae Orbis Lunae inSyzygiis ad ejufdem curvaturam in Quadraturis, quam fupra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio CS 2Ld AS, du- co extrema & media in fe invicem. Et termini prodeuntes ad /5 xC5 applicati, fiunt 2062,79 CS qq. — i\ NxCS cub.-\~ 368682 NxASxCS q. 36342/^5^. xCvS^. — 362046 N x ASq. X CS 2191371 NxAScub. -|- 4051,4 AS qq. = o. Hic pro terminorum AS ScCS IcmifummaNfcribo i, pro eo- rundem femidifferentia ponendo x, fit = i -|- x, & /^5 — 1 -_x : quibus in aequatione feriptis, 8c aequatione prodeunte refo- luta, obtinetur x aequalis 0,0072036, Sc inde femidiameter CvS fit 1,0072, 6c femidiameter AS 0,9928, qui numeri funt ut 69)-' & 68;-' quam proxime. Eft igitur diftantia Lunae a Terra in Syzy- giis ad ipfius diftantiam in Quadraturis (fepofita Icilicet excentricita- tis confideratione ) ut 68;-; ad 69;-;, vel numeris rotundis ut 69 ad 70, F f f Prop. C 441 ] Prop. XXIX. Prob. IX. Invenire Variationem Lunce, Oritur haec inaequalitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex inaequalitate momentorum areae, quam Luna radio ad Terram dudo defcribit. Si Luna T in Ellipfi D^BCJ circa Ter- ram in centro Ellipfeos quielcentem moveretur, & radio S ad Terram du(5to delcriberet aream CST tempori proporcionalem effec autem Ellipleos femidi- ameter maxima C 5* ad femi- diametmm minimam 5 ^ ut ad 68|-" : foret Tangens an^Ii CS

m in Orbe circulari. Defignet 5 Solem, T Terram, Lunam, NTn Orbem Lu- nae, Npn veftigium Orbis in plano Eclipticae ,• Hy w. Nodos, nTNm lineam Nodomm infinite produeiam, ^ perpen- dicula demiffa in lineas 5 T, j (P f perpendiculum demilTum in planum Eclipticae j q Quadraturas Lunae in plano Eclipticae Sc p 1^ perpendiculiun in lineam ^q Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lurfce (per Prop. XXV.) du- plex erit, altera lineae 1 I T vel 2 altera lineae T I proportiona- lis. Et Luna vi priore in Solem, poftenore in lineam 6’ trahitur. f f f 2 Com- _ C 444 3 Componitur autem vis pofterior T I tx viribus IT Sc^Ty qua- rum T agit fecundum planum orbis Lunaris, dc propterea (itum plani nil mutat. Haec igitur negligenda eft. Vis autem IT cum vi 2 JT componit vim totam 3 IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et haec vis per Prop, XXV. cft ad vim qua Luna in circulo circa Terram quiefcentem tempore luo periodico revolvi poffet, ut ^ iT ad Radium circuli multiplicatum per numerum 178, 725, live ut IT ad Radium multiplicatum per 551, 575. Cae- terum in hoc calculo & eo omni qui fequitur, conlidero lineas om- nes a Luna ad Solem dudtas tanquam parallelas lineae quae a Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum fere minuit effectus omnes in aliquibus calibus, quantum auget in aliis j 6c No- dorum motus mediocres quaerimus, neglectis iftiufinodi minutiis, quae calculum nimis impeditum redderent. De- C 44J ] Defigftet jam M arcum, quem Luna dato tempore quam mi- nimo deicribit, 6c ML lineolam quam Luna, impellente vi pi'x- fata 3 /T, eodem tempore delcribere polTet. Jungantur MP, & producantur ex ad m & /, ubi lecent planum Eclipticx ; inque T 71% demittatur perpendiculum •? H. Et quoniam M L parallela eft ipfi ST^ ml parallela fit ipfi MLy erit ml 'm plano Eclipticx, & contra. Ergo m /, cum fit in plano Eclipticx, parallela erit ipfi MLy fimilia erunt triangula L MP, Ltnp. Jam cum MT rn fit in plano Orbis^ in quo Luna in loco movebatur, incidet punr ^tum m in lineam Nn per Orbis illius Nodos N, dudam. Et quoniam vis qua lineola L M generatur, fi tota fimul & iemel in loco T impreffa efiet, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda effet L xAZ proportionalis, & conjunctis rationibus, ^ H eft ut contentum I^kxTDx AZ^ Sc^ HxAZ ut EJkx^T) xAZqu, id eft ut area ^ DdM, 8c A Zqu. conjunCtim. Q^E, V, Corol. 1. In data quavis Nodorum politione, motus horarius mediocris eft lemilfis motus horarii in Syzygiis Lun^e, ideoque eft ad \ 6". 5 5'". 1 6"". 3 6\ ut quadratum Sinus diftantiae Nodorum a' Syzygiis ad quadratum Radii, live ut A Z qu. ad AT qti. Nam li Luna uniformi cum -motu perambulet femicirculum Qji fumma omniumi^arearum ^DdM, quo tempore Luna pergit i 2^ad M, erit area d E quae ad circuli tangentem Q^E terminatur j & quo tempore Luna attingit punCtum n, fumma illa erit area tota E Q^n quam linea P D delcribit ; dein Luna pergente ab n ad q, linea P D cadet extra circulum, 6c aream n qe 2id circuli tangentem qe terminatam delcribetj quae, quoniam Nodi prius regrediebantur,, jam vero progrediuntur, llibduci debet de area priore, & cum aequa- lis Iit areae Q^EN, relinquet femicirculum NQ^An. Igitur fumma omnium arearum ^ T> d M, quo tempore Luna femicirculum de- fcribit, eft area lemicirculi j 6c fumma omnium quo tempore I.una circulum deferibit eft area circuli totius. At area T T) d hf, ubi Luna verfatur in Syzygiis, eft reCfangulum fub arcu P Mdc radio MT y &c fumma omnium huic aequalium arearum, quo tempore Luna circulum delcribit,eft reClangulum fub circumferentia tota Sc radio circuli; &c hoc redlangulum, cum lit aequale duobus circulis, duplo majus eft quam redtangulum prius. Proinde Nodi, ea cum velocitate uniformiter continuata quam habent in Syzygiis Lunari- bus, fpatium duplo majus delcriberent quam revera delcribunt ; Sc . propterea motus mediocris quocum, li uniformiter continuaretur, Ipatium a fe inaequabili cum motu revera confetftum deferibere pol- lent, eft femillis motus quem habent in Syzygiis Lunie. Unde cum motus horarius maximus, 11 Nodi in QLiadraturis verlantur, lit 35'', 10'". 33 '. ii", motus mediocris horarius in hoc cafu ent C 448 ] 16". ^5"'. 16^ i6\ Et cum motus horarius Nodorum (emper fic ut qu. dc area ^ T>dM conjundim, &c propterea motus ho- rarius Nodorum in Syzygiis Lunae ut AZqu. &c area ^ DdM con- jundim, id cft (ob datam aream dM in Syzygiis delcriptam) ut AZqu* erit etiam motus mediocris ut qu.. atque adeo hic mo- tus, ubi Nodi extra Quadraturas verfantur, erit ad 16". 35"'. 16 ^ ^6\ ut AZqu,zd ATqu. Q^E,T>, Prop. XXXI. Prob, XI. Invenire motum horarium Nodorum Lund in Orhe Elliptico, Defignet df maq Ellipfim, axe majore minore a h de- fcriptam, d4 ^ circulum circumfcriptum, TTerram in utriufque centro communi, S Solem, f Luham in Ellipfi moventem, 8cfm arc^ quem data temporis particula quam minima defcribit, N^n C 449 ] Nodos linea Nn junftos, p l^Sc m k perpendicula in axem de- miffa &c hinc inde produdla, donec occurrant circulo \n. T ScM^Sc lineae Nodorum in D 8c d. Et fi Luna, radio ad Terram du6to, aream defcribat tempori proportionalem, erit motus Nodi in El- Nam fi F tangat circulum in *?, Sc produda occurrat T N in F, & 'pf tangat Ellipfin in p Sc produdta occurrat eidem TN in /, conveniant autem hx Tangentes in axe TQ^a.d T & fi M L de- fignet fpatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum defcri- bit arcum T M, urgente Sc impellente vi praedidta 3 /T, motu tranfverfo defcribere pofiet,. Sc m l defignet Ipatium quod Luna in Ellipfi revolvens eodem tempore, urgente eriam vi 3 i T, defcri- bere poflet ; Sc producantur Sci p donec occurranr plano Ec- lipticae in G Sc Sc jungantur FG ^ /^, quarum FG produdla fecetf/, pg ScTQ^in c, e & (l^relpedlive, Sc fg produdla lecet T^in r : Quoniam vis 3 / F feu 3 F in circulo efl: ad vim 3 / F feu 3 i^in Ellipfi, ut 7^ ad ftu y^Tad aT; erit fpatium ML \i priore genitum, ad fpatium 'ml vi pofteriore genitum, ut P, adeoque ut area D p m d ad aream D P IH d. Et propterea, cum area pofterior pi oportionalis fit motui Nodorum in Circulo, erit area prior pro- portionalia motui Nodorum in Ellipfi. Corol. Igitur cum, in data Nodorum pofitione, fiimma omnium arearum pVdm, quo tempore Luna pergit a Qiiadratura ad locum quemvis fit area mpQ^Ed, quae ad Ellipfeos Tangentem terminatur j & fumma omnium arearum illarum, in revolutione integra, fit area Ellipfeos totius : motus mediocris Nodorum in Ellipfi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipfis ad circulum, id eft utT^ ad T leu 68i-; ad Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo fit ad 1 6", 3 1 6'\ 1 6\ ut J Z qti. ad JTqu. fi capiatur angulus 1 6". 2 1 2'\ 3 6\ ad angulum 16". 35'". id'. 36''. ut 68^-' ad dpj-', erit motus me- diocris horarius Nodorum in Ellipfi ad 1 6 '. 21'". 2'''. 3 6\ ut JZq, ad J7 q. i hoc eft ut quadratum Sinus diftanti^ Nodi a Sole ad quadratum Radii Cseterum Luna, radio ad Terram dudto, aream velocius deftri- bit in Syzygiis quam in QLiadraturis, dc eo nomine tempus in Sy- zygiis contrahitur, in Qiiadraturis producitur ,• 3c una cum tem- pore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem mo- mentum areae in Quadraturis Lunae ad ejus momentum in Syzygiis ut IQ973 ad 1 1073 ; dc. propterea momentum mediocre in 0(ftan- tibus eft ad excelTum in Syzygiis, defedtumque in Quadraturis, ut numerorum femifummayj_o 2 3 ad eorundem femidifterentiam 50. [45?] Unde cura terapus Lunaj in fingulis Orbis particulis aequalibus fit reciproce ut ipfius velocitas, erit terapus mediocre in oAantibus ad exceflum temporis in Quadrantibus, ac defeifmm in Sy zygiis, ab hac cauia oriundum, ut 11023 5° quam proxime. Pergendo autem a Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excelTus momento- rum areiE in locis fingulis, fiipra momentum minimum in Quadra- turis, fit ut quadratum Sinus diftantise Lunae a Quadrantibus quam proxime ; 3c propterea differentia inter momentum in loco quo- cunque & momentum mediocre in Octantibus, eft ut differentia in- ter quadratum Sinus diff antiae Lunae a Quadraturis Sc quadratum Si- nus graduum 45, feu femiffem quadrati Radii j 6c incrementum temporis in locis fingulis inter OCtantes Sc Quadraturas, Sc decre- mentum ejus inter OCtantes Sc Syzygias eft in eadem ratione. Mo- tus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit fingulas Orbis particulas sequales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Eft enim motus ifte, dum Luna percurrit TM, (emeteris paribus) ut ML, & eft in duplicata ratione temporis. Qua- re motus Nodorum in Sy zygiis, eo tempore confeClus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri 1 1073 ad numerum 110235 eftque decrementum ad mo- tum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum vero totum ut 100 ad 11073 quam proxime. Decrementum autem in locis inter octantes Sc Syzygias, Sc incrementum in locis inter Ocliantes Sc Quadraturas, eft quam proxime ad hoc decrementum, ut motus to- tus in locis illis ad motum totum in Syzygiis Sc differenda inter quadratum Sinus diftanticC Lunae a Quadratura Sc femilTem quadrati Radii ad femiffem quadrati Radii, conjunCtim. Unde fi Nodi in Qtiadraturis verfentur, Sc capiantur loca duo aequaliter ab OCtante hinc inde diftantia, Sc alia duo a Syzygia Sc QLiadratura iifdem in- tervallis diftantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter Syzygiam Sc OCtantem, fubducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quae funt inter OCtantem Sc Qiiadraturam 5 decre- mentum reliquum aequale erit decremento in Syzygia : uti ratio- Ggg ^ nem C 451 3 nem ineunti facile conflabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodorum motu mediocri fuoduci debet, efl pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzy- giis ( ubi Luna radio ad Terram du6lo aream tempori proportio- nalem defcribere fupponebatur ) erat 41'". ii\ Et decre- mentum motus Nodorum, quo tempore Luna jam velocior de- Icribit idem 1'patium, diximus efle ad hunc motum ut 100 ad 11073,- adeoque decrementum illud efl 17"'. 43’’. 10% cujus pars quarta 4'". 2 5^ 48', motui horario mediocri fuperius invento 16". 2 i'". 2"'. 36''. fubdu6la, relinquit 16". 16"'. 36"'. 48''. motum mediocrem horarium corre6lum. Si Nodi verfantur extra Quadraturas, dc fpet^lentur loca bina a Syzygiis hinc inde ^qualiter diflantia ; fumma motuum Nodorum, ubi Luna verfatur in his locis, erit ad fummam motuum, ubi Lu- na in iifdem locis & Nodi in QLiadraturis verfantur, ut qu. ad ^ T qu. Et decrementa motuum, a caufis jam expolitis oriunda, erunt ad invicem ut ipfi motus, adeoque motus reliqui erunt ad invicem ut AZqu. ad AT qu. Sc. motus mediocres ut motus reli- qui. Efl itaque motus mediocris horarius corred:us, in dato quo- cunque Nodorum fitu, ad 1 6". 1 6". 3 6'\ ut A ^ qu. a.d AT qu. j id eft ut quadratum Sinus diflantix Nodorum a Syzygiis ad qua- . dratum Radii. Prop. XXXII. Prob. XfL Invcmre 7iiotum 77ied'ium 'N.odwu77i Lunk. Motus medius annuus efl fumma motuum omnium horariorum mediocrium in anno. Goncipe Nodum verfari in N, dc fingulis horis completis retrahi in locum fuum priorem, ut non obflante motu luo proprio, datum femper fervet litum ad Stellas Fixas. In- terea vero Solem 5', per motum Terrae, progredi a Nodo, 6c cur- fum annuum apparentem uniformiter complere. Sit autem A a arcus datus quam minimus, quem re^a T ut area circuli totius ad redangulum fub circumferentia tota & xx- dio ; id eft ut i ad 2. Motus autem horarius, re(ftangulo maximo refpondens, erat i6". i6'". 36''. 48''. Et hic motus, anno toto fi-, dereo dierum 3^5.6 hor. 9 inin. fit 39^^. 3 8'. 5". 39"'. Ideoqqe hu- jus dimidium i9^r. 49. 2". 49" eft motus medius Nodorum . circulo toti refpondens. Et motus Nodorum, quo tempore Sol pergit ab Nad^, eft ad 49'. 1". 49"'^ ut area ad cir- culum totum. Hsec ita fe habent, ex Hypothefi quod Nodus horis fingulis in locum priorem retrahitur, fic ut Sol anno toto completo ad No- dum eundem redeat a quo fub initio digrelTus fuerat. Verum per motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, & . compu- tanda jam eft abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat , 360 gradus, dc Nodus motu maximo eodem tempore conficeret. ^9^r. 38'. 5". 39'''feu 39,6549 gradus5 <3c motus mediocris Nodi [ 454 3 in loco quovis' ?^ fit ad ipfius motum mediocrem in Quadraturis /ilis, ut AZl[. ad ST erit motus Solis ad motum Nodi in N, ut 1^60 JTq. sA ^p,6?49 AZq.; 'id eft ut 9,0819051 ATq. iid A Z q. Unde fi circuli totius circumferentia NJn dividatur in particulas aequales A a, tempus quo Sol percurrat particulam Aaj n circulus quiefceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, fi cir- culus una cum Nodis circa centrum T revolvatur, reciproce ut 9,0819051 ATq. ad 9,0819051 -f- AZq. Nam tempus eft reciproce ut velocitas qua particula percurritur, Sc haec velocitas eft fumma velocitatum Solis & Nodi. Igitur fi tempus, quo Sol abf- que motu Nodi percurreret arcum exponatur per Sedtorem KT A, Sc particula temporis quo percurreret arcum quam mini- mum A 4, exponatur per Sedtoris particulam AJ a \ Sc ( perpendi- culo a Tin Nn demiflo) fi in ^2" capiatur dZ, ejus longitudinis ut fit redlangulum dZ 'm ZY2.d Sedtoris particulam ut AZq. ad 9)0819051 ATq. AZq. id cdut fit d Z zd^A Z ut ATq. ad 9,0819051 ATq. -I- AZq.'^ redtangulum d^in ZY defignabit decrementum tempoYis ex motu Nodi oriundum, tempore toto quo arcus //4 perairritur. Et fi pundtum d tangit curvam NdGn^ area curvilinea NdZ erit decrementum totum, quo tempore ar- cus totus NA percurritur; Sc propterea exceflus Sedtoris N^Tfii- pra aream NdZ erit tempus illud totum. Et quoniam motus Nodi tempore minore minor eft in ratione temporis, debebit etiam area AaYZ diminui in eadem ratione. Id quod fiet fi capiatur in AZ longitudo e Z, quae fit ad longitudinem AZ ut AZq. ad 9,0819051 ATq. -|- AZq. Sic enim redtangulum eZ'in ZY erit ad aream AZY a ut decrementum temporis, quo arcus A a percur- ritur, ad tempus totum, quo percurreretur fi Nodus quiefceret: Et propterea redtangulum illud refpondebit decremento motus No- di. Et fi pundtum e tangat curvam NcF?i, area tota Ne Z^ qux lumma eft omnium decrementorum, relpondebit decremento toti, quo tempore arcus N percurritur 5 Sc area reliqua NAe refpon- debit motui reliquo, qui verus eft No Ji motus quo tempore arcus totus [•455 ] totus per Solis Se Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam vero fi circuli radius ^Tponatur i, erit area femicirculi 1,^079^; Sc area figurae Ne F?t T, per methodum Serierum infinitarum quae- ■fita, prodibit 0,1188478. Motus autem qui refpondet circulo toti erat i^gr, 49'. i'\ 49'"^ ; Sc propterea motus, qui figura: NeFnT duplicatae refpondet, efl: i gr, 29'. 57". 5 i ''j. Qui de motu pri- ore £ibduCtus relinquit 1 8^r. 1 9'. 4". 5 8'". motum totum Nodi in- ter fui ipfius Conjunctiones cum Sole Sc hic motus de Solis motu annuo graduum 360 fubduCtus, relinquit 541 gr. 40'. 55". 2"'. motum Solis inter eafdem ConjunCtiones. Ifte autem motus eft ad motum annuum 360 gr. ut Nodi motus jam inventus 1 8 gr. 19'. 4". 58 ". ad ipfius motum annuum, qui propterea erit 19^^. 18 . o'l22"'. Hic efl: moms medius Nodorum in anno fidereo. Idem per Tabulas Aftronomicas efl 19^1'. 20'. 3 1". \ '". Differen- tia minor efl parte quadringentefima motus totius, Sc ab Orbis Lunaris Excentricitate Sc Inclinadone ad planum Ecliptica: oriri videtur. Per Excentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acce- leratur, Sc per ejus Inclinationem viciffim retardatur aliquantulum^ Sc ad juftam velocitatem reducitur. Prop. XXXIII. Prob. XIII. Invenire motum verum Nodorum Lun^e. In tempore quod efl ut arca NTA —NdZy {in Fig. pneced.) motus ifte eft ut area NJeN, Sc inde datur. Verum ob nimi- am calculi difficultatem , prieftac lequentem Problematis con- ftruCtionem adhibere. Centro C, intervallo quovis C D, deferiba- 'tur circulus iSiSF 2). Producatur DCad J, ut fit ad JC ut motus medius ad femiffem motus veri mediocris, ubi Nodi fiint in Qi-iadraturis : (id eft ut \^gr. 1 8'. o". 22'". ad 19^^. 49'. 2 ',. 49 '5, atque adeo ® C ad JCut motuum difterentia ogr. 3 f. 2". 27!' admotum fuperiorem 1.9 49'. 2". 49'''^, hoc eft, ut v fjfj/fr/jTem - rl [45'^]. ad ^ 8‘ ) dein per pundum D ducatur infinita Gg^ quae tangat cir- culum in 2) ; (Sc n capiatur angulus lBC£vel CF «qualis femi/Ii diftantiae Solis a loco Nodi, per Q motum medium invento j & aga- tur A E vel AF ^ fecans perpendi- ^ culum 'DGinG-j . 6c capiatur an- gulus qui fit ad motum Nodi inter ipfius Syzygias (id efl: ad ^gr. lo'. 40".) ut tangens DG ad circuli ‘BED circumferentiam totam, atque angulus ifte ad motum medium Nodorum addatur ; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus fic inventus congruet quam proxime cum motU vero qui prodit exponendo tempus per aream fZT A — TSLd &c mo- tum Nodi per aream NAeNj ut rem perpendenti conftabit. Haec' efl: aequatio annua motus Nodorum. £fl: &c aequatio menftrua, fed quae ad inventionem Latitudinis Lun« minime neceflaria efl:. Nam cum Variatio inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticae du- plici inaequalitati obnoxia fit, alteri annuae, alteri autem menftruae ; hujus menftrua inaequalitas «quatio menftrua Nodorum ita fe mutuo contemperant & corrigunt, ut amb« in determinanda Lati- tudine Lun« negligi poftint. Coro/. Ex hac & pr«cedente Propofitione liquet quod Nodi in Syzygiis luis quielcunt, in Qtiadraturis autem regrediuntur motu horario 16". 18"'. 41"'^. Et quod «quatio motus Nodorum in octantibus fit i gr. 3 o'. Qu« omnia cum Ph«nomenis coeleftibus* probe quadrant. Prop. & producatur ea donec occurrat Tling, 8c jungatur etiam T ^ • erit angulus p inclinatio orbis Lunaris ad planum Eclipticie, ubi Luna verfatur in 'Pj & angulus ^gp inclinatio ejufdem pofl; mo- mentum temporis completum, adeoque angulus Gfg Variatio H h h mo- l 3 Prop.XXXIV' Prob.XiV. Invenire Variationem horariam inclinatioms Orhis Lunaris ad planum Eclipticte, Defignent A 8c a Syzygias ; Q^8c q Quadraturas ; N 8c n No- dos y *P locum Lunae in Orbe Tuo ^ p veftigium loci illius in pla- no Eclipticae, 8cmTl motum momentaneum Nodorum ut fupra. Et fi ad lineam Tm demittatur perpendiculum *P G, jungatur p G, E 458 ] momentanea inclinationis. Eft autem hic angulus G ad an- gulum G Tg ut TG ad P G & 'Pp ad PG conjun^lim. Et prop- terea fi pro momento temporis jubftituatur hora ; cum angulus GTg ( per Prop. XXX. ) fit ad angulum ^3". i o"'. 33'’. ut IT x T Gx J Z 2id JT cuh. erit angulus G T g ('feii inclinationis horaria Variatio ) ad angulum 3 3". i o'". 3 3*'. ut IT xJZxTGxj^Sid JTcnh.Q^E.L Hxc ita fe habent ex Hypothefi quod Luna in Orbe circulari uniformiter gyratur. Quod fi orbis ille Ellipticus fit, motus me- diocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majo- rem uti fupra expolitum eft. Et in eadem ratione minuetur eti- am Sinus IT. Inclinationis autem Variatio tantum augebitur per decrementum Sinus IT, quantum diminuitur per decrementum motus Nodorum 5 Sc propterea idem manebit atque prius. CoroL i. Si ad erigatur perpendiculum TF, fitquepM'mo- tus horarius Lunae in plano Eclipticae j Sc perpendicula p Mk in ^T-demifta & utrinque producta occurrant TF in H 8c h : erit ad Mp ut pl^kn IT AT, Sc TZ^d ATut TG ad H p ; ideoque iTxTG arquale hoc eft aequale areae TZ rz p_p Mp ^ PG Hp Mh dudtae in rationem : dc propterea inclinationis Varia- tio horaria ad' 3 3'. i a'". 3 3 ^ ut Hp Mh dudla in A Zx ad AT cuh. CoroL 1, Ideoque fi Terra Sc Nodi fingulis horis completis re- traherentur a locis filis novis, Sc in loca priora in inftanti femper reducerentur, ut ficus eorum, per menfem integrum periodicum, datus maneret ; tota Inclinationis Variatio tempore menfis illius fo- ret ad 3 3". 1 o". 3 3'', ut aggregatum omnium arearum HpMh, m revolutione pundti p genetarum, Sc fub lignis propriis Sc conjLindarum, dudum in ^^'x T.Zx , ad Mp x AT cuh. id eft ut circulus totus ^A cj a dudus inJZ xTZx^^dMpxAT cuh. C 45P 3' cuh, hoc eft ut circumferentia q a du(5fa in^^xT^x^ad z9rj9xJf9U Cor-ol. 3. Proinde in dato Nodorum fitu, Variatio mediocris ho' raria, ex qua per meniem uniformiter continuata Variatio illa menftrua generari pofTet, eft ad 33". 10"'. 33^ ut AZxT Zx ^ ad a id eft (cum fit ad ad arcum G g ; id eft ut diameter S 2) ad femicircumferentiam: BGT> tempus horarum 2080, quo Nodus pergit a Quadraturis- ad Syzygias, ad horam unam conjun^tim ; hoc eft ut 7 ad 1 1 &: 1080 ad I. Quare fi rationes omnes conjungantur, fiet Variatio- tota ;B2) ad 3 3". lo". 3 3"". ut 224x7 x 2080 ad 1 10000, id eft ut 2965 ad 100, & inde Variatio illa B 'D prodibit rd'. 24". Haec eft inclinationis Variatio. maxima quatenus locus Lun^e in Orbe flio non confideratur. Nam inclinatio, fi Nodi in Syzygiis veriantur, nil mutatur cx vario fitu Lunae. Ac fi Nodi in- C^iadra- turis confiftunt, inclinatio major eft ubi Luna verfatur in Syzygiis, , quam .ubi ea verfatur in QLiadraturis, exceflu i , 44 "; uti in Pro- poficionis fuperioris Corollario quarto indicavimus. Et hujus excef- llis dimidio 1'. 22 ’ Variatio tota mediocris B D in. Qiiadraturisi» Lunaribus diminuta fit 15'. 2", in ipfius autem Syzygiis aii(5ta fit 17'. 46". Si Luna igitur in Syzygiis conftituatur, Variatio tota, im tranfitu Nodorum a Qiiadraturis ad Syz.ygias, erit 1 7'. 46". adeo- que fi Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis veriantur, fit gr. 17'. 46",. eadem, ubi Nodi lunt in QLiadracuris, & Lima in Syzygiis, erit gr. Atque haec ita fe habere confirmatur ex Obfcrvationibus, Nam; ftatuunc Aftronomi Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclip- ticiB,; [ ] ticae, ubi Nodi fuiit in Qiiadraturis 6c Luna in oppofitione Solis, effe quafi 5 gr. Ubi vero Nodi fune in Syzygiis^ eandem docent efle 5 ^r. i y'\ vel 5 gr. \ 8'. Si jam defideretur Orbis Inclinatio illa, tibi Luna in Syzygiis & Nodi ubivis verlantur; fiat ad AT> ut Sinus ^gr. ad Sinum 5^r. i7'.46",& capiatur angulus AEG aequalis duplicatae diftan- tiae Nodorum a Quadraturis j & erit Sinus In- clinationis quaefitae. Huic Orbis Inclinationi aequalis ell ejufdem In- clinatio, ubi Luna diftat <)ogY. a Nodis. Aliis in Lunae locis inae- qualitas menftrua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lunae compenfatur dc quodammodo tollitur per inae- qualitatem menftruam motus Nodorum, (ut fupra diximus) adeo- que in calculo Latitudinis illius negligi poteft. Scholium. Hadenus de motibus Lunae quatenus Excentricitas Orbis non confideratur. Similibus computationibus inveni, quod Apogaeum, ubi in Conjun^lione vel Oppofitione Solis verfatur, progreditur lin- gulis diebus 23' refpe6hi Fixarum j ubi vero in Quadraturis re- • greditur fingulis diebus 1 circiter : quodque ipfius motus medius annuus fit quafi 40 Per Tabulas Aflronomicas a CLFlamfledw ad Hypothefin Horroxii accommodatas, Apogieum in ipfius Syzygiis progreditur cum motu diurno 24. 28", in QLiadraturis autem re- greditur cum motu diurno 20'. 12”, 6c motu medio annuo 40 41' fertur in confequentia. Quod differentia inter motum diur- num progrefTivum Apogaei in ipfius Syzygiis , motum diur- num regreffivum in ipfius Quadraturis, per Tabulas fit 4'. 1 6", per computationem vero noftram 6|,vitioTabularum tribuendum effe fufpi- C 4* nuus Nodorum foret ad 20 gr. 1 1'. 46". ut dies fidereus horarum 2 ^ . 5 6'. ad tempus periodicum Lun« diemm 27. 7 hor. 43' ; id eft ut 1436 ad 39343. Et par eft ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis,- fi ve Lunas illae fe mutuo non contingant, five licjuercant &c in annulum continuum fognentur, five denique an- nulus ille rigeicat & inflexibilis reddatur. Fingamus igitur quod annulus ifte quoad quantitatem materiae asqualis fit T erras omni T apJT e p E, quas globo ^apEfupenor eft; 8c quoniam globus ifte eft ad Terram illam fuperiorem ut aCqu,2jd AC qu. — a Cqu, id eft (cum Terrae diame- ter minor “P CveU C fit ad diametrum majorem AC ni 689 ad 692) ut 4143 ad 474721 feu 1000 ad 114584; fi annulus ifte Terram fe- cundum aquatorem cingeret, q^. C^c C 471 ] ‘DSdsyi^c, quarum diametri lint in progreflione Geo- metrica : quoniam figurae confimiles funt, vires Solis & Lunae, quibus punda aequinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum reliquarum feorfim (pedatarum punCta eadem aequinoCtialia eadem cum velocitate regrederentur. Et par eft ratio motus orbium fin- ^u\oxum A r ^CS cs, qui funt figurarum illarum differentiae. Orbis uniufcujuf- que, fi folus effet, punCta aequi- noctialia eadem cum velocitate regredi deberent. Nec refert u- trum orbis quilibet denfior fit an rarior, fi modo ex materia uni- formiter denfa confletur. Unde etiam fi orbes ad centrum denfiores fint quam ad circumferenti- am, idem erit motus aequinoCtiorum Terrae totius ac prius 5 fi modo orbis unu(qui(que leorfim (peCtatus ex materia uniformiter denfa confiet, 3b j c ic 4c id C 481 ] 1 f, 2 c, 4 f, cjrr. tertias 3 d^ id eft ip»\tium longitudini vel M{^ aequale. Q^E, D. Prop. XLL Prob. XX. Cometa in Parabola moventis TrajeCtoriam ex datis tribus obfervationibus determinare. Problema hocce longe difficillimum multimode aggrefliis, corrr- pofiii Problemata quaedam in Libro primo quae ad ejus folutioneni? Ipecftant. Poftea folutionem fequentem paulo fimpliciorem exco- gitavi. Seligantur tres obfervationes tequalibus temporum intervallis ab invicem quamproxime diftantcs. Sit autem temporis intervallum il - lud ubi Cometa tardius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia fit ad fummam temporum iif fumma tempo- porum ad dies plus minus fexcentos. Si tales obfervationes naa praefto fint, inveniendus eft novus Cometae locus per Lemma lextum. Defignent 5 Solem, T, r, t tria loca Terrae in orbe magno,. TAy tBjT-C obfervatas tres longitudines Cometae, F tempus inrjer obfervationem primam 6c fecundam, W^tempus inter fecundam ac ter- C 488 ] tertiam, X longitudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris a Sole diftantia, defcri- bere poflet, &ctV perpendiculum in chordam T t. In longitudine media t !B fumatur utcunque pundlum IB, 6c inde verfus Solem S ducatur linea quae fit ad Sagittam tVut contentum fub S © & S t quadrato ad cubum hypotenufe trianguli redtanguli, cujus latera funt S 'BSc tangens latitudinis Cometae in obfervatione fecunda - ad radium t E, £c per pun^Stum E agatur re6ta AEC^ cujus partes A E, £C ad redas TA &.rC terminatae, fint ad invicem ut tempora V Sc W: Tum per punda A, S, C, duc circumferentiam circuli, eam- que bifeca in i, ut Sc chordam ACin 1. Age occultam S i fecantem AC m X, ^ comple parallelogrammum i / ^ Cape I cr aequalem 5 7 A, & per Solem S age occultam a- 1 aequalem 3 S o- 3 i Et deletis jam literis Aj Ey C, 7, a pundo E verfus pundum j duc oc- cultam [48? 3 cultam novam 2 H,qu« fit ad priorem !SZ in duplicata ratione di- ftanticC !B «S ad quantitatem S i a. Et per pundum E iterum duc rectam AEC eadem lege ac prius, id eft, ita ut ejus partes A E 6c E C fint ad invicem ut tempora inter obfervationes, F6c IV. Ad AC bile^lam in I erigantur perpendicula AM, CN, 10, qua- rum AMSc ClSl fint tangentes latitudinum in obfervatione prima ac tertia ad radios TA & t Jungatur MN fecans 10 mO. Con- ftituatur redangulum ut prius. In IA produda capiatur I T> aequalis 5/^ -f- ^ ^ a, & agatur occulta 0 D. Deinde in MN verius Ncapiatur M"*?, quae fit ad longitudinem fiipra inventam X in dimidiata ratione mediocris diftantiae Telluris a Sole ( feu iemi- diametri orbis magni ) ad diftantiam 0T>. Et in AC capiatur C G ipfi N aequalis, ita ut pundla G Sc *P ad eafdem partes redae NC jaceant. • Eadem methodo qua punda E, A; C, G, ex affumpto pundo inventa funt, inveniantur ex affunhptis utcunque pundis aliis h &c (B punda nova e, a,c,g, &ce,cc k, y. Deinde fi per G, g, y du- catur circumferentia circuli Gg y fecans redam t C in erit Z lo- cus Cometae in plano Eclipticae. Et fi in A C, ae, capiantur AF, af, «-(p ipfis CG, cg, y^y refpedive aequales, Sc per punda F, /, 9 ducatur circumferentia circuli F/ 9 fecans redam ATinX; erit pundum X alius Cometae locus in plano Eclipticae. Ad pun- da erigantur tangentes latitudinum Cometae ad radios TX & T ^5 & habebuntur loca duo Cometae in orbe proprio. Denique ( per Prop. XIX. Lib. I. ) umbilico per loca illa duo defcribatut Parabola, & haec erit Trajedoria Cometae. F. 1. Conftrudionis hujus demonftratio ex Lemmatibus confcquitur : quippe cum reda A C fecetur in E in ratione temporum, per I.em ma YIII :&cBE per Lem. XI. fit pars redae !BvS in plano Eclipticae arcui AB C dc chordae AEG interjeda ; dc jVf (P ( per Lcm. V Ili. ) longitudo fit chordae arcus, quem Cometa in orbe proprio nitcr obfervationem primam ac tertiam defcribere debet, ideoque ipli MN aequalis fuerit, fi modo B fit verus Cometae locus iii plano Eclipticae. M m na Cae- C 490 ] Caeterum pun6la h, /3 non quaelibet, (ed vero proxiuia eligere convenit. Si angulus in quo veftigium orbis in plano Eclip- ticae defer iptum lecabit redtam t B praeterpropter innotefeat, in an- gulo illo ducenda erit redta occulta A C, quae fit ad | T r in dimi- diata ratione S r ad 5 Et agendo re<5tam S EB cujus pars E B aequetur longitudini V r, determinabitur pun(^^um B quod prima vice ufurpare licet, j Tum ‘re6ta deleta 6c fecundum praece- dentem conftrudtiohem iterum du6ta, &c inventa infuper longitu- dine in t B capiatur pundlum b, ea lege, ut fi T^, TC le mirub fecuerint in I, fit diftantia ad diftantiam TfB in ratione compofira ex ratione MN ad MB ratione dimidiata ad S b. Et eadem methodo inveniendum erit pun6tum tertium /3 j fi modo operationem tertio repetere lubet. Sed hac methodo ope- rationes duae ut plurimum fuffecerint. Nam fi diftantia B h perexigua obvenerit, poftquam inventa funt pun(5ta aS, T loca Cometae in obfervationibus fupra deferipris : Sc exiftente diftantia JB partium 8oJ,, erat J C partium 58J, JX> 57r=, Ur„CDii\, JEi^% CE^7'-,T)E^^'i, 2^43, 3 15, 2p, F® 13, fC)6^, AH 18I, 2)H53S, SN46S, CK-^x'-, ®L4j’,NL3i^ LM erat ad L ® ut j ad p & produda tranfibat per ftellam H. His determinabantur pofitiones fixarum inter Te. Mmm 2 Dic [ 49* 3 Die Veneris Fek 15. St. vet. Hor. 2,} P. M. Cometae in'/> ex- iftentis diftantia a ftella E erat - major ^ minor quam f jiEy adeoque aequalis JE proxime j ^ angulus Ap E nonniKil ©btuius erat, fed fere re(5lus. Nempe fi demitteretur ad p £ perpen- diculum ab Ay diftantia Cometae a perpendiculo illo erat \pE. Eadem node, hora Cometae in (P exiftentis diftantia a ftella E erat major quam A E, minor quam 'f^AEy adeoque aequalis A E, leu I ^^quamproxime. A perpendiculo autem a Stella ad redam (P E demifto diftantia Cometae erat E. Die 1, hor. 1 1. P. M. Cometa in exiftens, ftellis 6c C accurate interjacebat, c?'** ^ inclinatio chordae caudas ad circulum illum Jan. Sc 16 luce tenui micabat ad longitudinem graduum 6 vel 7 5 Sc ubi coelum valde lerenum erat, luce tenuilTima dc asgerrime fen- libili attingebat longitudinem graduum duodecim & paulo ultra. Dirigebatur autem ejus axis ad Lucidam in humero orientali Au- rigas accurate, adeoque declinabat ab oppolitione Solis Boream ver- ius in angulo graduum decem. Denique Fek 10. caudam oculis armatis afpexi gradus duos longam. Nam lux prasdi<5ta tenuior per vitra non apparuit. FonthAus autem Fch, 7. fe caudam ad lon- gitudinem^r. 1 2. vidilTe Icribit. ' . :■ / Orbem jam deferiptum fpe^lanti Sc reliqua Cometas hujus Phae- nomena in animo revolventi haud difficulter conllabit quod cor- pora Cometarum lunt lolida, compadta, fixa ac durabilia ad in- ilar corporum Planetarum. Nam li nihil aliud elTent quam vapo- res vel exhalationes Terra:, Solis & Planetarum, Cometa hicce in tranfitu luo per viciniam Solis Ifatim dilfipari debuilTet. Eli enim calor Solis ut radiorum denficas, hoc elf reciproce ut quadratum dilf antias locorum a Sole. Ideoque cum dillantia Cometas a Sole Vec. 8. ubi in Perihelio verlabatur, elTet ad dilfantiam Terras a Sole ut 6 ad 1 000 circiter, calor Solis apud Cometam eo tempore erat ad calorem Solis xftivi apud nos ut 1000000 ad 36, feu 28000 ad 1. Sed calor aqux ebullientis elf quali triplo major quam calor quem terra arida concipit ad aslfivurn Solem; ut exper- tus lura : Sc calor ferri candentis ( fi re6te conjector ) quali triplo vel quadruplo major quam (jalor aquas ebullientis ; adeoque calor quem terra arida apud Cometam in perihelio verfantem ex radiis So- r r 499 1 Solaribus concipere poflet ; quafi 2000 vicibus major quam calor ferri candentis. Tanto autem calore vapores Sc exhalationes, om- nifque materia volatilis ftatim confumi ac diHlpari debuilfent. Cometa igitur in perihelio fuo calorem immenfum ad Solem concepit, & calorem illum diutiffime conlervare potefl:. Nam globus ferri candentis digitum unum latus, calorem fuum omnem fpatio horas unius in aere confiftens vix amitteret. Globus autem major calorem diutius confervaret in ratione diametri, propterea quod luperficies ( ad cujus menfuram per contagium aeris ambi- entis refrigeratur) in illa ratione minor eft pro quantitate materias fuas calidas inclufe. Ideoque globus ferri candentis huic Terras asqualis, id cft pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem, Sc idcirco annis 50000, vix refrigefeeret. Sufpicor tamen quod duratio Caloris. ob caufas latentes augeatur in minore ratione quam ea! diametri; & optarim rationem veram ^per experimenta invefth gari. ' ' Porro notandum eft quod Cometa MenCc Vecemhriy ubi ad So- lem modo incaluerat, caudam emittebat longe majorem & fplen- didiorem quam antea Wicnk Novembri; ubiperihelium nondum at- tigerat. Et univerfaliter caudas omnes maximas Sc fulgentiffimx e Cometis oriuntur, ftatim poft tranfitum eorum per regionem Solis. Conducit igitur calefactio Cometas ad magnitudinem caud.^. Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud fit quam vapor longe tenu- iflimus, quem caput feu Nucleus Cometas per calorem fuum emittit. Casterum de Cometarum caudis triplex eft opinio, eas vel jubar efte Solis per tranfiucida Cometarum capita propagatum ; vel oriri ex refractione lucis in progreflu ipfius a capite Cometas in Terram : vel denique nubem efle feu vaporem a capite Cometas jugiter fur- gentem Sc abeuntem in partes a Sole averias. Opinio prima eorum eft qui nondum imbuti liint fcientia rerum opticarum. Nam jubar Solis in cubiculo tenebrofo non cernitur ni fi quatenus lux reflectitur e pulverum Sc fumorum particulis per aerem Icmpcr volitantibus : adeoque in aere fumis craflioribus infeCto Iplendidius eft,C<: fenfum N n n 2 for- C 500 ] fortius ferit ; in aere clariore tenuius eft Sc aegrius fentitur : in coelis autem abfque materia refle<5tente nullum elTe poteff. Lux non cernitur quatenus in jubare eft, fed quatenus inde refle<5fitur ad oculos noftros. Nam vifio non fit nifi per radios qui in oailos impingunt. Requiritur igitur materia aliqua refledtens in regione Caudae, ne cadum totum luce Solis illuftraaim uniformiter Iplen- deat. Opinio fecunda multis premitur difficultatibus. Caudae nun- quam variegantur coloribus : qui tamen refradionum folent effe comites infeparabiles. Lux Fixarum & Planetarum diftindfe ad nos tranfmifla demonftrat medium calefte nulla vi refradtiva pollere. Nam quod dicitur fixas ab comatas • nonnuncpiam vifas fuiffe, id quoniam rariffime contingit, afcribendum eft nubium re- fractioni fortuitae. Fixarum quoque radiatio & Icintillatio ad refra- ctiones tum Oculorum tum aeris tremuli referendae fiint r quippe qux admotis oculo Telefcopiis evanefcunt. Acris &• afcend^tium vaporum tremore fit ut radii facile de angufto pupilli (patio per vi- ces detorqueantur, de latiore autem vitri objeCtivi apertura neuti- quam. Inde eft quod fcintillatio in priori cafu generetur, in po- fteriore autem ceflet : ceflatio in pofteriore cafii demonftrat re^ gularem tranfmiffionem lucis per coelos abfque omni refraCtione (en- iibili. Nequis contendat quod caudx non 1'oleant videri in Come- tis cum eorum lux non eft latis fortis, quia tunc radii (ecundarii non habent (atis virium ad oculos movendos, & propterea caudas ftxariim non cerni : (ciendum eft quod lux fixarum plus centum vi- cibus augeri poteft mediantibus Telefcopiis, nec tamen cauda? cer- nuntur. Planetarum quoque lux copiolior eft, caudae vero null^ : Cometae autem faepe caudatiffimi 1'unt, ubi capitum lux tenuis eft valde obtufa: lic enim Cometa Anni 1680, Menfe quo tempore caput luce fua vix aequabat ftellas fecundae magnitu- dinis, caudam emittebat fplendore notabili ufque ad gradus 40, 5 o, 60 longitudinis dc ultra : poftea/^». 27 dc 28 caput apparebat ut ftella feptimjc tantum magnitudinis, cauda vero luce quidem per- tenui fed latis fenlibili longa erat 6 vel 7 gradus, dc luce oblcuriffima, quae C 50> 3 qu^e cerni vix pofTec, porrigebatur ad gradum uique duodecimum vel paulo ultra : ut fupra di(Sum eft. Sed &c Feh. 9. & i o ubi caput nudis oculis videri defierat, caudam gradus duos longam per TeleA copium contemplatus fum. Porro fi cauda oriretur ex refradione materia: coeleftis, Sc pro figura coelorum defledreretur de Solis oppo- fitione, deberet deflexio illa in iifdem coeli regionibus in eandem femper partem fieri. Atqui Cometa Anni 1680 Decemh. 28 ho- ra 8j P. M. Londiniy verlabatur in x 8^r. 41 cum latitudine bore- ali 2 8^r.6',Sole exiftente in 1 8^r. i6\ Et Cometa Anni 1 577 Dec. 2^. verfabatur in x 41' cum latitudine boreali 2 8^r.4o'. Sole etiam exiftente in i 8^r. 26' circiter. Utroque in calu Ter- ra verfabatur in eodem loco & Cometa apparebat in eadem coeli- parte : in priori amen cafu cauda Cometa: ( ex meis &c aliorum, obfervarionibus ) declinabat angulo graduum 47 ab oppofitione So- lis Aquilonem verius ; in pofteriore vero ( ex Oblervationibus Ty- chonis ) declinatio erat graduum 2 1 in auftrum. Igitur repudiata coelorum refractione, fuperefl: ut Phaenomena Caudarum ex mate- ria aliqua refleCtente deriventur. Caudas autem a capitibus oriri Sc in regiones a Sole averlas af- cendere confirmatur ex legibus quas obfervant. Ut quod in planis orbium Cometarum per Solem tranfeuntibus jacentes, deviant ab oppofitione Solis in eas femper partes quas capita in orbibus illis progredientia relinquunt. Quod IpeCtatori in his planis conflituto ap- parent in partibus a Sole direCte averfis ; digirediente autem IpeCta- tore de his planis, deviatio paulatim fentitur, Sc indies apparet ma- jor. Quod deviatio catteris paribus minor eft ubi cauda obliquior eft ad orbem Cometa:, ut Sc ubi caput Cometa: ad Solem propius accedit ; pra:fertim fi IpeCtetur deviationis angulus juxta caput Co- meta:. Pra:terea quod cauda: non deviantes apparent reCta:, devi- antes autem incurvantur. Qi-iod curvatura major efl: ubi major efl: deviatio, Sc magis fenfibilis ubi cauda caeteris paribus longior efl: : nam in brevioribus curvatura a:gre animadvertitur. Qiiod devia- tionis angulus minor eft juxta caput Cometa:, major juxta caudae extre-» C ] extremitatem alteram, atque adeo quod cauda convexo (ui latere partes refpicit a quibus fit deviatio, quxque in redta fiint linea a Sole per caput Cometae ia infinitum du(3;a. Et quod caudae quae proli- xiores llint & latiores, &c luce vegetiore micant, fint ad latera con- vexa paulo Iplendidiores 6c limite minus indiftindo terminatae quam ad concava. Pendent igitur Phaenomena caudae a motu ca- pitis, non autem a regione coeli in qua caput conlpicitur ,* 8c prop- terea non fiunt per refradlionem coelorum, fed a capite fiippeditante materiam oriuntur. Etenim ut in aere noftro fumus corporis cu- jufvis igniti petit fuperiora, idque vel perpendiculariter fi corpus quiefeat, vel oblique fi corpus moveatur in laais ; ita in coelis ubi corpora gravitant in Solem , fumi 6c vapores afccnderc debent a Sole (uti jam di6lum eft) Sc fuperiora vel re6ta petere, fi corpus fu- mans quiefcitj vel oblique,fi corpus progrediendo loca femper deferit a quibus fuperiores vaporis partes alcenderant. Et obliquitas ifia minor erit ubi afcenfus vaporis velocior eft : nimirum in vicinia So- lis 6c juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diverfitate in- curvabitur vaporis columna : &c quia vapor in columnae latere prae- cedente paulo recentior eft, ideo etiam is ibidem aliquanto denfior erit, lucemque propterea copiofius refle(5let, 3c limite minus indi- ftindto terminabitur. De caudarum agitationibus fubitaneis & incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quan- doque defcribunt,hic nihil adjicio ; propterea quod vel a mutationi- bus aeris noftri, Sc motibus nubium caudas aliqua ex parte obfcu- rantium oriantur j vel forte a partibus Vi^eLaifteae, quae cum caudis praetereuntibus confundi poflint, ac tanquam earum partes lpe(ftari. Vapores autem, quifpatiis tam immenfis implendis fuffidant, ex Cometarum Atmoipheeris oriri poffe, intelligetur ex raritate aeris noftri. Nam aer juxta fuperficiem Terrae fpatium occupat quafi 8)0 vicibus majus quam aqua ejufdem ponderis, ideoque aeris co- lumna Cylindrica pedes 850 alta ejuldem eft ponderis cum aqux columna pedali latitudinis ejufdem. Columna autem aeris ad fum- mitatem Atmofphaerae afturgens aequat pondere luo columnam aquae pedes C 505 ] pedes 3 ^ altam circiter; Sc propterea fi columnae totius aerea: pars inferior pedum 850 altitudinis dematur, pars reliqua fuperior aequa- bit pondere fuo columnam aquae altam pedes ^ 2. Inde vero (ex Hy- pothefi multis experimentis confirmata, quod comprefiio aeris fit uc pondus AtmofphaErae incumbentis, quodque gravitas fit reciproce ut quadratum diftantiae locorum a centro Terrae ) computationem per Corol. Prop. XXII. Lib. II. ineundo, inveni quod aer, fi alcen- datur a luperficie Terrae ad altitudinem femidiametri unius terreftris, rarior fit quam apud nos in ratione longe majori, quam fpatii omnis infra orbem Saturni ad globum diametro digiti unius delcriptum. Ideoque globus aeris noftri digitum unum latus, ea cum raritate quam haberet in altitudine femidiametri unius terreftris, impleret omnes Planetarum regiones ad ufque fphaeram Saturni Sc longe ul- tra. Proinde cum aer adhuc altior in immenfum rarelcat ; & coma feu Atmofphaera Cometa:, aficendendo ab illius centro, quafi de- cuplo altior fit quam fiiperficies nuclei, deinde cauda adhuc altius alcendat, debebit cauda elfe quam rarifiima. Et quamvis, ob longe crafliorem Cometarum Atmolpha:ram, magnamque corporum gra- vitationem Solem verfus, gravitationem particularum Aens 8c vaporum in fe mu‘uo, fieri poflit ut aer infpatiis ccelefiibus in- que Cometarum caudis non adeo rarefcat; perexiguam tamen quantitatem aeris 6c vaporum ad omnia illa caudarum phaenome- na abunde fufficere ex hac computatione perfpicuum eft. Nam & caudarum infignis raritas colligitur ex aftris per eas tranflucentibus. Atmofphaera terreftris luce Solis fplendens, crafiitudine lua pauco- rum milliarium, Sc aftra omnia Sc ipfam- Lunam obfcurat decurrant in fontes 6c flumina : lic ad confervationem marium & humorum in Planetis Cometas requiri videntur^ ex quorum exhalationibus 6c va- poribus condenfatis, quicquid liquoris per vegetationem Sc putrefa- ctionem conliimitur Sc in terram aridam convertitur, continuo fup- pleri 6c refici poflit. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omni- no crefeunt, dein magna ex parte in terram aridam per putrefad:io- nem abeunt , limus ex liquoribus putrefadis perpetuo decidit. Hinc moles Terras aridas indies augetur, liquores, nifi aliunde augmentum fumerent, perpetuo decrefeere deberent, ac tandem de- ficere. Porro fiilpicor Ipiritum illum, qui aeris noftn pars miaima eft fed lubtiliffima 6c optima, &c ad rerum omnium vitam requiri- tur, ex Cometis praecipue venire. AtmoJphasras Cometarum in defcenlu eorum in Solem excur- rendo in caudas diminuuntur, ( ea certe in parte qtias Solem re- Ipicit) C 507 ] ipicit) anguftiorcs redduntur: & viciflim inreceflli eorum i Sole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur,* fi modo Phaenomena eorum Hevelius re(5i:e notavit. Minimae autem apparent ubi capita jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas 6c fulgentiffimas abiere, Sc nuclei fumo forlan craffiore &c nigriore in Atmofphaera- rum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus craffior 3c nigrior efle folet. Sic caput Cometa: de quo egimus, in aequalibus a Sole ac Terra diftantiis, obfcurius ap- paruit pofl: perihelium fuum quam antea, Menfe enim Decem. cum ftellis tertiae magnitudinis conferri folebat, at Menfe Novem. cum ftellis primae ad E, deg ad i ut ad e, 6cy ad i ut ad e ,* fitque S tempus verum inter obiervationem primam ac tertiam ; & fignis + ^ — probe obfervatis quaerantur numeri w & n, ea lege ut fit 0 C = mG mg nG ?i ScT — S aequale mT — mt 71 T — nr. Et fi, in operatione prima,! defignet inclinationem plani Trajedoriae ad planum Eclip- ticae, 6c longitudinem Nodi alterutrius: erit 1 -j- w^vera in- clinatio Plani Traje^toriae ad Planum Ecliptiese, & q- mB ve- ra longitudo Nodi. Ac denique fi in operatione prima, fecunda ac tertia, quantitates (^, r defignent Latera redla Trajedf oriae, & quantitates 7, 7 ejuldem Latera tranfverla refpedlive: erit (?^q- m r — w np — n verum Latus re6lum,& ^ verum Latus tranfverfum Trajedloriae quam Cometa deferibit. Dato autem Latere tranfverfo datur etiam tempus periodicum Co- metae. (l^E. L F I Errata Setjfum turbantia ftc Emenda. Pag. 14 lin, lege, ut OK ad OD feu O L. p. 1 8 1. 1 reBa. p. 6 1 ♦; 22 & p. 62 1. 2 pro A C lege AB. p. 8 1 i . crurum B L, C L vel B A-l , C M interfe^iOy ^uajam fit m, incidat Jempcrin r eidam illam infinitam M N, & crurum BA, C h&c. p. 84 1. 1 7 polt verba Nam fi lege A P fiint PuniU cont altuum ubivis i» tangentibus jit a, p. 9 1 1. ulc. M L, I K. p. 9 5‘1'. 5 poli majori adde, & perpendicularia minori, p. 96 1. 50 91 lege A B C d e f, & \. 92 abc D EF. p. 104. 1. 16 pro G O^.-f-HG — P O^'.^ lege HP^.= GOq. -f- PO — H G p. 105 1. 7 ^ToGfcribe H. p. 1 18 1. 17 pro C P lege P ^B & 1. 19 pro C P lege B P. p. 1 22 1. 28, pro L fcrile M. p. 123 1. 13, pro D F lege D F vel E G. p. 12 5 1. 16 pro omnibus altitudi- nibus^ lege omnibus aqualibus altitudinibus, p. 152 1. 7 per cujus, p. 153 1. 16 C^L G. p. 178 1. penult. y?/' ^«4^; duplo major quam. p. 209 1. 18 proS L X S I *, lege S Lx S I \ p. 226 1. 1 1 pro 2 B ^ feu lege 2 B ^ & de- le reciproce. Pag. 242 lin. 2, 8f p. 262 1. 1 3, Sr p.- 3 36 L 5, pro E. D. lege Q_. E.I. p. 243 1. IO 2 C D X Q^B. p. 246 1. t Of proportionalia, p. 249 1. 12 reji~ Jlenti a tempus, p. 250 1. i -rum inverfe^ amittent, q. 257 1. 4 praeter itiy fi neodo Sectorem tangentes Apd“ AP fint ut velocitates, p. 274 b •? data quadam, p. 283 1. ult. T Q_x P S. p. 296 in Schemate proO fcribe T. p. 307 9 arcus auferantur, p. 3 f 2 l. 26 corpus in D. p. 3 1 9 b 3 Defer ibat. p. 9 1 4 p 2 1 & 28, pro 4 B Kk S lege 4 B K k T. p. 3 25 b 26 B E 4t5^ B C. ib. b ult. nquilis ^ p. 1. iq & longitudo C Z. Pag. 41 1 1. 27 plufquam duplicata, per Prop. LXXXD Lib. I. p. 415 1. 28 3,^0 p. 4’ b 17 3 jio P* 439 b 9 aquales pertinentium p. 442 1. ii 69;-;- 4468,4. ib. 1. 18 ad p. 449I, 5 area^pDdm p. 450 I. 9 ada- rcatn D P M d. p. 4 5 5 b 39 n-otum pofieriorem. p. 459 1. 2 2M Px A T^/^. p. 482 t. 3 dtin b — 2b — c dfc. & fic pergatur ad differentiam ultimans, qua hicefip. ib. in Schemate infra d 2d ^dPcdib^ p. 494 1. 4 pro ?n 27 -lege t ‘zq. t ' 1 y\ UuC v-u, \-j6 L\'.. \\>i .;jf 5 :.;4i v-CT -,i 'J ,1 U .1 J .'a ••, i - •< «I- ■- ; ’ ; ». ■ . . . , t, -:-' * jV^ } /• i ji - *... V.^ . ' ’’ , ‘ ■- . ■ . . ‘ _ t . J .. ■ * '. . -/v. '1 ■ /i y: •;! \\ /\ f d l-*v ’ Vj^A^<. "b V \r«f.x , . „ f — . -i»* '^J - 'w! **' ~ '• •> o*' -q, -i jc s X ' Z 6 i .q .H :i \\\tJ T d po . { A- j O O i ^ O 0 “'•*: !..v.v.,'- 1 ofl .e< .1 '. -q >-;''l*-l •iG mq.il Ij^ a'I ., « ,f , . - li^i /' ,^v•v.<^V* .\V. xAii' '-'V- ■ ) ^ ■ i.'. .r. .i ;.. fi .q .G.,’ . i; V»- «i II .i .q . '1 cJ d i V X ° - ,, 'V • :( ! P i. A t; , -’!•■ ; 1 .foi : ■■< .\tuwx" VA s- .i • !■ -'J -S/ ' '■ ••; -J ^ .O' ,;l t.r^ •'.; : .■. J.l ■''■ J -M-v I /) .w4v«4'0««V.„ iH ■- 1 ‘-a- q .‘.X.v.iivr '» v-Vl '' ‘tqA ■.■,^,rt5J^t.•, »w’.,W.aV» . ^ ‘ , A ■ ( '! . • ;: r, i ! • t; 2 .f ; .8 / 1') ' 1' . llu .! s .q "J _ • ' /’ A V •' d i q .q .•^.■ ••^•^ V -1 .c; . ..i • 'iy, ' •'! ^ ^h:i^ >.c- q - *! \' b 1 Jrt' •' ’ ''•* r *■ I ^ .5.U i *i^ : M ^v.,»VvVf' \ •' • ^ . - .i ii- ^ •<■. 1 . \,\ AY./’/ .1 . .< ^ •,'•■" . ) .ii. ‘WP.V . . • - -r. 1 ff r.„v;-v>ia.v' UV : . '.;> .q 1 i 'b- ' A .. \^;jx,r?A5 ??f.q .t . ^ ' ’ ■' . '/v^- " "• -■ - ' • / ■ ** ;■ ff. A r'^r ' i Y " 3v:i:-i Vi? A.: i.'i! 7’’ ••‘V/^’ - >«> - t» T • ■*.. .'N ■ / r ; : 9 1 ft i |j|tj V i v\i i '■' i. •' ' }’Ti': 'K \ :‘f 't f / v-f V :' v<' " ''^■jV-: ‘'.w*'V ' ,v^-s ''■'■• ■■■'■■*' .«‘■■i-’ H/':' ■/ f ^- ■• '•■ •■' ^ *► '. \ ■ ^ . ■ . . : . ;^''-^.r'-^ V-H ■ V i'Vs V x’ ■. /-V'^-: /'' ' '■■ ^' ■•■; ■ '"■ ■• . • '. ! ' V '^- 1 :t‘- >■ ■ ■■ •' i’ l. :-i ‘ . ■• i .> f,"- >■•■ ^ ■' - ( ,■ •• ■ ■ ' '• ; • . , . ■ ; ■ ■,■•-'■- '■'v- ' ''■:,•'■■ >•. ■•• > ■ V ^ ''i : ' ‘ f ■■ :.■-. ^ . •;• , ^ X-//;,’:.- ; > ■ / T./ X/ / ' - a ■/ f . /X ’ ^ , - ; V :' ?v •?■>-•- VV.' X, %:^-'> .■.rXrVv-V^>'^.< ‘•'■y X z' / ■ 'j -r) '■: ... ',■, „ ^ r y'- •' ■• ‘- 'i-' X'-'-' / i > ' i-' ■ '■" ■ '> <•' f . ■ V- • / y y ' ■ / \- ■' '•• \ . v*’ 'v '-l , ■ » '\C' ■ \ \ ' ■• ■- ’*•.['■ J ' '■ t ' ' • > '• ''i *.' . ■* - • • vf" -..K: AVv tSv- •. ‘‘i X.,V.'y.-'; %. ;•'. ■.■■; ;. ^ t. . y';,; ',•■ 4 ■X— • V;' 'v '/x-':. X ■ V ■■' , ', ■ '• '• ' ■'■ '■ ' • ■ • •' 'v.. "r'‘ " v- ^ '■. ; ■ , ^ '■ ,■. - '