( urlsruUt* <^v / y k^l^PCU. -2-^//^ ti^- li-^t.-J^ r tr-^t^ ^ Oj^/-tX L- ^ ô^t^e'. i- ^/-/ û^-^-^ '^-t-^ OAu^i^l^^-- i^i^ti^. > ^ / ' -- RECHERCHES ARITHMÉTIQUES. V- -•*- * O •^> T' RECHERCHES ARITHMÉTIQUES, Par M. Gh:-Fr: gauss (de Brunswick); Traduites par A.-C.-M- POULLET - DELISLE , Professeur de Mathématiques au Lycée d'Orléans. 3 C A PARIS, "^"^^ CHez CoTTUClER, Imprimeur - Libraire pour les Mathématiques, quai des Augustins, n^ 57. 1807. Digitized by the Internet Archive in 2009 with funding from University of Ottawa http://www.archive.org/details/recherchesarithmOOgaus Je n'aî eu d'autre but, en traduisant cet Ouvi^age, que de contribuer à répandre les excellentes Recherches de M. Gauss, sur la Théoiie des nombres. Je m'abstiendrai d'en faire ici l'éloge; déjà sa place a été assignée par le jugement des plus illustres Géomètres, et il y aurait de la présomption de ma part à joindre ma voix à la leur^ Je ne me suis permis aucune altération du texte, parceque j^ai voulu donner au Public l'ouvrage de M. Gauss, et non me l'approprier. C'est par cette raison, et d'après des conseils que j'aurais dû respecter, quand même ils auraient été contraires à mon opinion, que j'ai conservé rigoureusement les dénominations et la notation, qui peuvent étonner au premier abords .Mon intention était même de ne mettre aucune note ; le très-petit nombre de celles que l'on rencontrera signées du traducteur , fait voir avec quelle réserve j'ai cru devoir user de cette faculté ; leur nature indique assez le motif qui m'a déterminé, et le lecteur jugera si c'est avec raison. Il m'aurait été possible de remplacer quelques-unes des démonstrations que l'auteur a supprimées, dans l'intention d'abréger; mais par-là je serais tombé dans l'inconvénient qu'il a voulu éviter. Enfin, conduit naturellement par mon travail même, à quelques considérations nouvelles, j'avais été tenté de les placer à la fin des Recherches arithimétiques ; mais j'ai préféré attendre que le temps et a la meditation me missent dans le cas de les presenter aux Géomètres d'une manière plus complète et plus digne de leurs regards. Je prie le lecteur de corriger d'avance, d'après V Errata, les fautes d'impression qui n'ont pu manquer de se jglisser dans un ouvrage de ce genre^ A MONSIEUR LAPLACE, Chancelier du Sénat -Conservateur; Grand- Officier de la Légion d'Honneur ; Membre de l'Institut et du Bureau des Longitudes; des Sociétés Royales de Londres et de Gottingue ; des Académies des Sciences de Danemarck , de Suède ^ d'Espagne , d'Italie, etc. Monsieur, Le mérite de l'Ouvrage dont j'ai l'honneur de vous offrir la traduction, et l'intérêt que vous avez daigné accorder à mon entreprise , sont les seuls titres qui la rendent digne de vous être présentée ; mais quoique je sente combien cet intérêt doit influer sur l'accueil que mon travail pourra recevoir , ce n'est pas pour m'appuyer de votre illustre nom que j'ai désiré vous en fliire homînage. Cet ho '' mage était dû à l'homme de génie qui , pénétré d'un noble amour pour la science , non content d'en reculer chaque jour les limites , accueMle tous les travaux utiles , encourage les talens , applaudit à leurs efforts et n'aspire qu'à répandre le feu qui l'anime. C'est à celui qui aime la science pour elle-même , que doivent s'adresser ceux qui les cultivent ; et si l'on recherche avec orgueil à mériter son approbation , on s'estime heureux d'être en quelque sorte , auprès de lui , l'interprète de la reconnaissance et de l'admiration publique. Tel est , Monsieur, le double motif qui m'a fait ambitionner l'honneur que je reçois aujourd'hui ; mais je sens aussi toute l'étendue des engagemens qui en résultent pour moi ; en consacrant ma vie entière à cette science sublime , mon seul désir est de prouver un jour que je n'étais pas tout-à-fait indigne d'une aussi grande faveur. Je suis avec le plus profond respect , MONSIEUR, Votre très-humble et très-obéissant serviteur, POULLET-DELISLE. ÉPITRE fePITRE DÊDICATOIRE DE L'AUTEUR. A SON ALTESSE, SÉRÉNISSIME, MONSEIGNEUR CHARLES-GUILLAUME-FERDINAND , DUC DE BRUNSWICK ET DE LUNEBOURG. Prince sérénissime, Lorsque la reconnaissance m'impose le devoir sacré de vous offrir cet Ouvrage, vous mettez le comble à ma félicité, en me permettant de placer à la tête votre nom illustre et respectable. En effet, prince SÉrénissime, eussé-jepu me dévouer tout entier aux sciences mathématiques, vers lesquelles une ardeur irrésistible m'a toujours emporté, si votre faveur ne m'en eût ouvert l'entrée, si vos bienfaits continuels n'eussent incessamment soutenu mes travaux. Par vos seules bontés, libre des soins étrangers, et maître de consacrer mon temps à l'étude, j'ai pu entreprendre les recherches dont cet Ouvrage renferme une partie , et m'y livrer pendant plusieurs années. Lorsque j'ai désiré de le mettre au jour, votre munificence a écarté tous les obstacles qui en retardaient la publication. Il m'est plus facile de conserver au fond de mon cœur et d'admirer en silence, b que de célëbrer clignement cet intérêt si grand et si généreux que vous avez bien voulu accorder à mes efforts : non-seu- lement je me sens au-dessous dune telle entreprise, mais je pense que personne n'ignore quelle est l'étendue de votre libéralité à l'égard de ceux qui semblent portés vers l'étude des sciences, et que votre protection est également accordée à celles qui paraissent les plus abstraites et d'une application moins directe aux usages ordinaires de la vie, parceque dans la profondeur de votre sagesse, habile à profiter de tout ce qui tend au bonheur et à la prospérité de la société , vous avez senti la liaison intime et nécessaire qui unit entre elles toutes les sciences. Si cet Ouvrage, PRINCE SÉRÉNISSIME , témoignage de ma reconnaissance pour vous , et des travaux que j'ai consa- crés à la plus noble des sciences , ne vous semble pas indigne de la faveur dont vous m'avez si long- temps environné, je me féliciterai de n'avoir pas perdu ma peine et d'avoir mé* rite cet honneur, celui de tous qu'ambitionnait le plus. Prince sérénissime, De votre Altesse, le très-dévoué serviteur, ch.-f. gauss. Brunswick j juillet iSoij PRÉFACE DE L'AUTEUR. Xj E S Recherches contenues dans cet Ouvrage appartiennent à cette partie des Mathématiques où Ton considère particu- lièrement les nombres entiers, quelquefois les fractions, mais où l'on exclut toujours les nombres irrationnels. L'Ana- lyse indéterminée^ ou de Diophante , qui apprend à distin- guer, parmi les solutions d'u ' problème indéterminé, celles qui sont entières, ou du moins rationnelles et le plus souvent positives, ne constitue pas cette doctrine, mais elle en est une partie très-distincte; elle a avec elle à-peu-près le même rapport que l'Algèbre, c'est-à-dire, l'art de réduire ou de résoudre les équations, avec l'Analyse universelle. En effet, de même que l'on rapporte à l'Analyse toutes les recherches que l'on peut faire sur les affections générales des quantités, la considération des nombres entiers et des fractions, quand ces dernières s'expriment au moyen de nombres entiers, constituent proprement l'objet de ï Arithmétique ; mais on ne donne ordinairement sous ce nom que l'art de former les nombres et de les calculer, c'est-à-dire, l'art de repré- senter les nombres par des signes convenables (par exemple, suivant le système décimal), et d'exécuter les opérations arithmétiques, en y ajoutant quelques points, dont les uns n'appartiennent pas à l'Arithmétique, comme la théorie des logarithmes et les autres ne sont pas particuliers aux nombres entiers, et ont lieu pour toutes les quantités. On voit par là que l'on doit distinguer deux parties dans l'Arith- métique , et que les considérations dont nous venons de parler se rapportent à l'Arithmétique élémentaire, taudis fcîj PREFACE. que les recherches générales sur les affections particulières aux nombres entiers sont revendiquées par V Arithmétique transcendante. Ce qyiEucUde a présenté dans le Liure VII de ses Êlé' mens , avec l'élégance et la rigueur ordinaires aux anciens , appartient à l'Arithmétique transcendante , mais se borne aux premiers élémens. Le célèbre Ouvrage de Diophanie y qui est consacré tout entier aux problèmes indéterminés , contient un grand nombre de questions qui^ par leur diffi- culté et la subtilité des artifices, donnent une grande idée du génie et de la pénétration de l'auteur, surtout quand on considère le peu de ressources qu'il pouvait employer; mais comme ces problèmes demandent plutôt de l'adresse et des procédés ingénieux que des principes difficiles, et qu'en o utre ils sont trop particuliers et conduisent rare- ment à des conclusions générales, cet Ouvrage semble plutôt avoir fait époque dans l'histoire des Mathématiques, parcequ'il fixe les premiers vestiges de l'Algèbre , qu'avoir enrichi l'Arithmétique transcendante par de nouvelles dé- couvertes. La Science est bien plus redevable aux modernes, parmi lesquels peu d'hommes à la vérité, mais tous dignes d'une gloire immortelle. Fermât, Euler, Lagrange, Le GENDRE (et un petit nombre d'autres), ont ouvert l'entrée de cette science divine , et ont découvert la mine inépuisable de richesses qu'elle renferme. Je n'entre pas ici dans l'énumération des découvertes de ces géomètres, d'autant qu'on peut les connaître par la Préface des Addi- tions dont Lagrange a enrichi V Algèbre d' Euler ^ et par celle de l'Ouvrage de Legendre, dont nous parlerons bientôt. D'ailleurs nous rendrons hommage à ces différentes découvertes, lorsque l'occasion s'en présentera dans nos Recherches. Mon but en publiant cet Ouvrage , annoncé depuis cinq PRÉFACE. xiij ans, a été de faire connaître les recherches dont je m'étais occupé avant cette époque , et celles que j ai faites depuis. Mais afin que l'on ne s'étonne pas de voir ici la Science prise presque dès son principe, et que je sois revenu sur des recherches faites déjà par plusieurs autres, j'ai cru qu'il n'était pas inutile d'avertir que, lorsqu'en ijg5 , j'ai commencé à m'appliquer à ce genre de considérations , je n'avais absolument aucune idée de tout ce qui avait été fait sur ce sujet, même par les modernes, et que j'étais privé de tous les secours que j'aurais pu tirer de leurs travaux. Occupé dans ce temps d'une autre matière , je tombai par hasard sur une vérité imj^ortante de l'Arith- métique (c'était, si je ne me tz'ompe , le théorème du n° io8) ; comme elle me sembla très- belle par elle-même, et que je la soupçonnais liée à d'autres plus importantes, j'employai toute la contention d'esprit dont j'étais suscep- tible, à découvrir les principes sur lesquels elle s'appuyait, et à en trouver une démonstration rigoureuse; le succès ayant répondu à mes vœux, je me sentis tellement en- traîné par l'attrait de ces questions, qu'il me fut impos- sible de les abandonner, et comme une vérité me conduisait à une autre, la plus grande partie des quatre premières Sections était déjà terminée avant que j'eusse rien vu des travaux des autres géomètres sur ce sujet. M'étant ensuite trouvé à même de lire les ouvrages de ces hommes de génie, je ne tardai pas à reconnaître que j'avais employé la plus grande partie de mes méditations à des choses faites depuis long-temps; mais animé d'une nouvelle ardeur, je m'efforçai , en suivant leurs pas , de cultiver plus avant le champ de l'Arithmétique, et telle a été Torigine des Sec- tions V, VI et VIL Quelque temps après, je demandai des conseils sur le projet que j'avais de publier le fruit de mes veilles, et d'après le désir de plusieurs personnes, je me xW PREFACE. laissai d'autant plus facilement persuader de ne rien suppri- mer de mes premières recherches^ qu'à cette époque il n'existait aucun ouvrage dans lequel on pût trouver les travaux des autres géomètres^ épavs dans les Mémoires des Académies; que d'ailleurs elles renfermaient un grand nombre de choses nouvelles, et d'autres présentées d'une manière qui m'appartenait; qu'enfin toutes ces recherches étaient tellement liées entre elles, et avec celles qui leur étaient postérieures, qu'il aurait été très- difficile d'expliquer les choses nouvelles sans reprendre les autres dès leur principe. Dans cet intervalle , il a paru un excellent ouvrage d'un homme qui avait déjà rendu de très - grands services à l'Arithmétique transcendante ( Essai sur la Théorie des nombres y Legendre, an P^I), dans lequel il a non-seule- ment rassemblé et mis en ordre tout ce qui a paru jusqu'à présent sur cette science, mais ajouté beaucoup de choses nouvelles qui lui sont propres. Gomme cet ouvrage m'est parvenu trop tard, et lorsque la plus grande partie de mes Recherches était imprimée , je n'ai pu en faire mention dans les endroits où l'analogie des matières m'en aurait donné l'occasion. Les Additions renferment seulement quelques observations qu'il m'a paru nécessaire d'y placer, et j'espère que son indulgence et sa franchise les lui feront interpréter avec bienveillance. Pendant l'impression, que diiFérens obstacles ont plu- sieurs fois interrompue, et qui s'est prolongée pendant quatre années entières, non-seulement j'ai continué les re- cherches entreprises auparavant, et dont je m'étais décidé à retarder la publication, dans la crainte que l'ouvrage ne devînt trop volumineux, mais j'en ai entrepris de nou- velles. Plusieurs points que je n'ai fait, par la même raison, que toucher légèrement ( par exemple, aux n*" '3j , 82 et sui- PREFACE, ty vans, et en d'autres endroits), ont été repris ensuite, et m'ont donné lieu de faire des recherches plus générales , qui me semblent mériter d'être connues. ( Voyez encore ce qui est dit dans les Additions , par rapport au n° 3o6. ) Enfin , comme le volume devenait plus considérable que je ne m'y étais attendu , surtout à cause de la Section V, j'ai été forcé de retrancher beaucoup de choses que je me proposais d'y faire entrer, et partie uhèrement la Section VIII toute entière , qui traite en général des congruences algébriques de tous les degrés, et qui se trouve souvent citée. Tout cela formera facilement un volume égal à celui-ci, que je pu- blierai lorsque les circonstances me le permettront. Si, dans plusieurs questions difficiles, j'ai employé des dé- monstrations synthétiques, et supprimé l'analyse qui m'y avait conduit, je m'y suis déterminé parle désir d'abréger, auquel je devais me conformer autant qu'il était possible. La théorie de la division du cercle, ou des polygones réguliers, qui compose la Section VII, n'appartient pas p^r elle-même à l'Arithmétique, mais ses principes ne peuvent être puisés que dans l'Arithmétique transcendante. Ce ré- sultat pourra sembler aux géomètres, aussi inattendu que les vérités nouvelles qui en dérivent, et qu'ils verront, j'es- père, avec plaisir. Telles sont les choses dont j'ai cru devoir prévenir le lec- teur. Quant à l'Ouvrage lui-même, il ne m'appartient pas de le juger; ce que je desire surtout, c'est qu'il .plaise à ceux qui s'intéressent aux progrès des sciences, soit en ne laissant plus rien à désirer sur quelques points qui manquaient jus- qu'à présent, soit en frayant la route pour d'autres décou- vertes. xvj TABLE DES MATIÈRES. Section première. Des Nombres congrus en général. Nombres congrus , modules , résidus et non-résidus ...... n° i — 3 Résidus minima 4 Propositions élémentaires sur les nombres congrus 5 — il Applications ii et la Section SECONDE. Des Congruences du premier degré. Théorèmespréliminaires sur les nombres premiers, les diviseurs, etc. n° i3 — a3 Résolution des congruences du premier degré 2,4 — 3i De la recherche d'un nombre congru à des nombres donnés suivant des modules donnés 32 — 3S Congruences du premier degré à plusieurs inconnues Zj Différens théorèmes 38 et suiy. Section troisième. Des résidus des puissances. Les résidus des termes d'une progression géométrique qui commence par l'unité, forment une suite périodique n' 45 — 4^ Des modules qui sont des nombres premiers. Si le module est un nombre premier p , le nombre des termes de la période divise nécessairement p — 1 49 Théorème de Fermât 5o , 5i A combien de nombres répondent les périodes dont le nombre des termes est un diviseur donné de p — 1 52 — 55 Racines primitives , bases , indices 5/ Algorithme des indices . . , 58 , 69 Des racines de la congruence a;" ^ ^ 5o — 68 Relation entre les indices pour différens systèmes 69 — 71 Bases choisies pour des usages particuliers 72 Méthode pour trouver les racines primitives * • 7^ » 74 Divers théorèmes sur les périodes et les racines primitives 75 — 8i Théorème TABLE DES MATIERES. xvi] Théorème de TTH-lson. -.- n* 76 Des modules qui sont des puissances de nombres premiers 82 ^ 8q Des modules qui sont des puissances de 2, qo qi Des modules composés 03 ^ q3 Section quatrième. Des congruences du second degré. Résidus et non-résidus quadratiques. . ; n" 04 , q5 Toutes les fois que le module est un nombre premier , le nombre des résidus moindres que lui est égal au nombre des non-résidus . . 96 , 97 La question de savoir si un nombre composé est résidu d'un nombre premier donné, dépend de la nature de ses facteurs qS , oo Des modules composés loo— io5 Caractère général auquel on peut reconnaître si un nombre donné est résidu ou non-résidu d'un nombre premier donné 106 Recherches sur les nombres premiers qui ont pour résidus ou non- résidus des nombres premiers donnés T07 et suir. Résidu — i , .... 108 — 111 Résidu -f- 2 et — 2 112 n6 Résidu + 3 et — 3 117 120 Résidu + 5 et — 5 . . . . . . . , . . . . . 121 ia3 Résidu -I- 7 et — 7 124 Préparation à une recherche générale 126 — 120 Le théorème général (fondamental) s'établit par induction; con- clusions qu'on en dédujt. i3o — i34 Démonstration rigoureuse de ce théorème i35 — . 1X4 Méthode analogue de démontrer le théorèijie du a° 1 14 145 Solution du problème général i/g Des formes linéaires qui contiennent tous les nombres premiers dont un nombre quelconque donné est résidu ou non -résidu 147 i5o Travaux des autres géomètres sur ce sujet i5i Des congruences complètes du second degré iSa Section cinquième. Des formes et des équations du second degré. Objet de la recherche ; définition et notation àiÇ,?, formes . . . . n" i53 Représentation des nombres ; déterminons i5/ Valeurs de l'expression v/(ô* — ce) (mod. ilf), auxquelles appaitient la représentation du nombre ilf parla forme (a, ô, c) i55 iSg Forme qui en contient une autre , ou qui y est contenue ; transfor- mation propre ou impropre 15» Equivalence propre et impropre i58 Formes opposées 15^ Continués , . . . . iSo xvîij TABLE DES MATIERES. Diviseurs communs des coefficiens des formes n" i6i Relation entre les transformations semblables d'une forme donnée en une autre forme donnée 162 Formes ambiguës i63 Théorème relatif au cas où une forme est contenue à-la-fois dans une autre proprement et improprement ^^4 > i65 Considérations générales sur les représentations des nombres par les formes et leur liaison avec les transformations 16G 170 Des formes de déterminant négatif 171 i3a Applications particulières à la décomposition des nombres en deux quarrés , en un quarré et le double d'un autre , en un quarré et le triple d'un autre 182 Des formes de déterminant positif non quarré 1 83 — ao5 Des form.es de déterminant quarré 206 212 Des formes qui sont contenues dans d'autres, auxquelles elles ne sont cependant pas équivalentes 2i3 , ai4 Des formes de déterminant =0 2i5 Solution générale en nombres entiers de toutes les équations indé- terminées du second degré à deux inconnues. ........ 216 — 221 Remarques historiques . . 22a Recherches ultérieures sur les formes. Distribution par classes des formes de déterminant donné . . . n" 228 — 226 ' ■ Des classes en ordres 226 227 Diviiion des ordres en genres r . . 228 sSt De la composition, des formes 238 zAÂ Comparaison des ordres ^, 2^5 des genres 246—248 ■ des classes 2/q ^Si Pour un déterminant donné , chaque genre d'un même ordre contient le même nombre de classes 262 Composition des nombres de classes contenues dans deux genres d'ordres différens 253 256 Du nombre de classes ambiguës 25/ ^60 Il y a toujours une moitié des caractères assignables pour un détermi- nant donné, à laquelle ne répond aucun genre proprement pri- mitif ( positif quand le déterminant est négatif) 261 Seconde démonstration du théorème fondamental, et des théorèmes relatifs aux résidus — i,-}-2et — 2 a6a On déterminera plus exactement cette moitié des caractères assi- gnables auxquels ne répond aucun genre 263 — 264 Méthode particulière pour décomposer un nombre premier donné en deux quarrés . 266 TABLE DES MATIERES. xix Digression contenant un traité des formes ternaires, n° 265 — 285 Quelques applications à la théorie des formes binaires. Trouver une forme de la duplication de laquelle résulte une forme binaire donnée 28S Il répond effectivement des genres à tous les caractères , excepté à ceux qui (n°' 262, 263) ont été démontrés impossibles 287 (o") Théorie de la décomposition des nombres et des formes binaires en trois quarrés 288 — 293 Démonstration des théorèmes de Fermât, que tout nombre entier est decomposable en trois nombres triangulaires ou en quatre quarrés 2g3 Résolution de l'équation aj;" -f" ^^* + C2.* = o 2^^—2^S Sur la méthode par laquelle Legendre a traité le théorème fonda- mental 29G — 298 Représentation de zéro par des formes ternaires quelconques .... 299 Résolution générale en nombres rationnels des équations indétermi- nées du second degré à deux inconnues 3oo Du nombre moyen de genres 3oi — de classes 3o2 — 3o4 Algorithme particulier des classes proprement primitives ; détermi- nans réguliers et irréguliers 3o5 — 3o8 SECTION SIXIÈME. Application des recherches précédentes. Décomposition des fractions en fractions plus simples Sog — 3ii Réduction des fractions ordinaires en fractions décimales 3i2 — 3 18 Résolution de la congruence x^^A par une méthode d'exclusion . 3 19 — 322 Résolution de l'équation indéterminée mx* + ny^-=i A par exclusions, 323 — 326 Autre méthode pour résoudre la congruence x'^^A, quand A est négatif 327 , 328 Deux méthodes pour distinguer les nombres composés des nombres premiers , et pour chercher leurs facteurs 329 et suiy. Section septième. Des équations qui déterminent les dii>isLons du cercle. On réduit la recherche au cas le plus simple , où le nombre des parties en lesquelles on doit diviser le cercle, est un nombre premier. . . n'' 336 Équations pour les fonctions trigonométriques des arcs qui sont une ou plusieurs parties ahquotes de la circonférence. Réduction des fonctions trigonométriques aux racines de l'équation x" — i = o. . 337 Théorie des racines de cette équation, en supposant n un nombre pre- mier ; si l'on omet la racine i , les autres (Q) seront données par l'équation X = x""' ■+■ x"-^-f etc. -f- x -f- 1 = o 339 , 3^0 La fonction X ne peut être décomposée en facteurs de degré moindre dans lesquels les coefficiens soient rationnels 3^1 XX TABLE DES MATIERES. Objet des recherches suivantes n* S^a l'outes les racines Q. sont distribuées par périodes 343 Divers théorèmes sur ces périodes 344 — 2i5i Solution de l'équation ^"=0, établie sur ces recherches 352 Exemples pour n= 19, où la difficulté est réduite à deux équations du troisième degré et une du second, et pour zi = 17 , où elle est réduite à quatre équations du second degré 353 , 354 Recherches ultérieures sur ce sujet. Les valeurs des périodes dans les- quelles le nombre de termes est pair, sont toujours réelles. . . 35S De l'équation qui détermine la distribution en deux, ou en trois périodes 3^7 , 358 Les équations qui donnent les racines O. peuvent toujours être rame- nées à des équations à deux termes Sôg , 3Go Application des recherches précédentes aux fonctions trigonométriques ; Méthode pour distinguer les angles qui répondent aux différentes racines Q ^r 3ffi On tire des sinus et cosinus les valeurs des tangentes , cotangentes , sécantes , cosécantes , sans se servir de la division 3Ga Méthode pour abaisser successivement les équations qui donnent les fonctions trignométriques 363 , 364 Divisions du cercle qui peuvent s'effectuer par de seules équations du second degré, c'est-à-dire, par des constructions géométriques, 365 , 5£S ADDITIONS DE L'AUTEUR. Notes {du Traducteur) sur les n°' 16a et 164. TABLES. FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES, ERRATA. Pages. 16 21 20 43 5i 53 55 59 gi 89 98 102 104 n5 116 120 122 140 141 i54 162 178 182 186 133 floS 207 212 214 4 20 20 7 Lignes. 8(en rem.) (note) f iG ^■ i2(en rem.) 7(enrem.) 11 et 12 (en rem.) 2 et 3 (en rem.) 21 6 3 (note) i5 2(en rem.) 14 20 i4(enrem.) 7 (en rem.) i2(enrem.) 21 6 (en rem.) 7(en rem.) 3(enrem.) [(note) lO n 13 6 (en rem.) 11 (en rem.) 12 8 (en rem.) 10 (idem.) Fautes. et le sera . . . — i5x ^ 26 X ^ 2 . . . 2'3' i.-5' ' • ' - '. • • • ' ' son correspondant les exposans auxquels ils appar- tiennent b' on voit aussi act . . . . dans . . . 19. . . . ^ y etc. '}. n'est. fondamental, il nous, es. r. transformation. ^', /, lA, V. et =~Z>. des. réduites, et de (a*). kq — pl=z 1. kq -\.pl rA'. 42. le nombre. D. qu'à prendre. (ni ; m' — 1 ) . est. Pages. I Lignes. 220 Z2l 323 224 234 239 z4o 267 a63 268 269 274 277 295 007 321 322 334 344 365 375 378 385 401 438 441 453 457 i5 22 12 (en rem. 6 (en rem. 5 (en rem. dernière 7 et 22 (note) et 2 dernière 10 9 7 2 9 9 (en rem, 10 (idem) 16 lidem) 20 12 4(enrem, i3 19 12 et i3 18 9 12 19 19 8(en rem 12 4 Fautes. par la solution se trouver X pair • . . entières représentatives. ... . membre. .... . . . forme =h J'', B'^, & . Respectivement . ordre pq'—p'q = o. . . . . . .; . des formes yy /", F par. . . . .' . . . . . T -f • binaires. . . . . .'..■. . . représenter zx'^ -f- yz a, b',b"

\:^i des indéterminée. . . . . (2, 9) =s 0,80, etc. Corrections. ?e trouver par la solution. n pair. fractionnaires. représentantes. terme. classe. respectivement, genre. des formes f, f\ r> F- par' ^ + «', '^'±J', etc. m' étant = M trouvera. improprement. __ F et/. k, k\h!'. g' . teïn&ires. présenter. b, V, P'. par /. donnent. ab — b'b"z= B. pénétration. Ainsi il est clair que de la compo- sition de tant de classes C^, Cs\ C^" , etc. qu'on voudra , il ré- sulte une classe C^-+-g'-t-f"H-et'-^ contenue dans la même pé- riode. classe. non-résidus. que A. de. déterminée. (2,9)== — 0,80, etc. RECHERCHES RECHERCHES ARITHMÉTIQUES. SECTION PREMIÈRE. Des JSomhres congrus en général* I. !^i un nombre a divise la différence des nombres h etc, b et c sont dits congrus suivante, sinon incongrus, a s'appellera le mo- dule j chacun des nombres betc, résidus de l'autre dans le premier cas, et non résidus dans le second. Les nombres peuvent être positifs ou négatifs , mais entiers,- Quant au module il doit évidemment être pris absolument^ c'est-à- dire, sans aucun signe. Ainsi — g et + i6 sont congrus par rapport au module 5; — 7 est résidu de i5 par rapport au module 11 , et non résidu par rapport au module 5. Au reste o étant divisible par tousles nombres, il s'ensuit qu'on peut regarder tout nombre comme congru avec lui-même par rap- port à im module quelconque, 2. Tous les résidus d*^n nombre donné a suivant le module m ^ sont compris dans J^^ijy^ijjile a-^-km, k étant un entier indé- terminé. Les plus faciles des propositions que nous allons exposer A 3 R E CHERCHES peuvent sans peine se démontrer par-là j mais cliacuu en sentira la vérité au premier aspect. Nous désignerons dorénavant la congruence de deux nombres par ce signe ^, enj joignant, lorsqu'il sera nécessaire, le module renfermé entre parenthèses^ ainsi — 16=9 (mod. 5), — 7 = i5 ( mod. 1 1 ) (*). o. Théorème. Soient m nombres entiers successifs a, a+i, a-f-2, ....a-f-m — i et un autre A, un des premiers sera congru auec Ky suii^ant le module m, et il n'y en aura qu'un. En effet, si est entier, onaura û^^; s'il est fractionnaire, soit k le nombre entier , immédiatement plus grand ou plus petit , suivant que sera positif ou négatif, en ne faisant point d'at- tention au signe, A-^-km tombera nécessairement entre ^ et û!+77z 5 ce sera donc le nombre cherché. Or il est évident que les quotiens 0- — A a-^\—A ^ .771 ra ' '^ > etc., sont compris entre A:— i et k-\'\ 3 donc un seul d'entr'eux peut êfre entier. 4« II suit de là que chaque nombre aura un résidu, tant dans la Suite G, \j 2, . . .(/Tz — i), que dans celle-ci o, — i,— '2, . . . — {in — i)-, nous les appellerons résidus 77zz/zz77za; etiJ-^^^st clair qu'à moins que o ne soit résidu, il y eii aura toujours dear l'un positif, l'autre né- gatif. S'ils sont inégavix, Pun d'eux sera < —•, s'ils sont égaux , cha- cun d'eux = — sans avoir égard au signe j d'où il suit qu'un nombre quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module, etnjue nous appellerons résidu minimum absolu. ■■- "^f.!/ Par exemple —-15 suivant le module 5 , a pour résidu minimum (*) Nous avons adopté ce signe à cause dçh. grande analogie, gH\ exista entre rggalité et la congruence. C'est pour la .même raison quQ Legendre , dans des Wénioires q_ue nous aurons. souvent occasion de citer ^a employé lé signe même de l'égalfté; ^tir' désigner la corlgrUëiïcej~iroùfe eh'flL«'*itVWîf'ré uri autre , 'po^r' pré- venir toute 'âmbigôité. ■ ' ARITHMÉTIQUES. 3 positif 2, qui est en même temps minimum absolu , et — d pour ré- sidu minimum négatif-, + 5, suivant le module 7, est lui-même son résidu minimum positif-, — 2 est le résidu minimum négatif et en même temps le minimum absolu. 5. Des notions que nous venons d'établir, nous tirerons d'abord les conséquences suivantes : Les nombres qui sont congrus suiuant un module composé, Is sont également suii^ant un quelconque de ses diviseurs. Si plusieurs nombres sont congrus à un même suivant le même module , ils seront congrus entre eux ( toujours suii^ant le même On doit supposer la même identité de module dans ce qui suit. Les nombres congrus ont les mêmes résidus minima; les nom- bres incongrus les ont dijfférens* 6. Si les nombres A, B, C, etc, a, b, c, etc, sont congrus -^ . a chacun à chacun , c'est-à-dire , 5/ A ^ a, B = b, etc, on aura . . . A 4- B + C 4- etc. = a + b + c + etc. Si A^a, B^b, on a aussi A — B^a — b, j. Si A^SL, on a aussi kA ^ ka. Si k est positif, ce n*est qu'un cas particulier de l'article précé- dent, en posant A - B := C , etc. , a=:b = c , etc. . Si k est négatif - k sera positif 5 donc — kA^-^ ka, et par- tant kA '^ ka. Si ^ = a , B^^b , AB ^ab-, car AB ^Ab^ ha. 8. Si les nombres A , B, C , etc., a, b,c, etc. sont congrus cha- cun à chacun , les produits ABC , etc., et abc, etc. seront congru;?. Par l'article précédent, ^.& ^a/^ 5 par la même raison ^^C^tzZ't;, et ainsi de suite. En prenant tous les nombres A, B, C, etc., égaux entr'eux, ainsi que les correspondans a , b, c , etc. , on déduit ce théorème : Si A^ a et que k soit entier positif , on aura A* ^ a''. 9. Soit X une fonction de V indéterminée x, de cette forme Ax^-I-Bx*-}- Cx% 'Z-:?., A, B, C, etc, étant des nombres entiers quelconques , a, \ c, etc, des nombres entiers positifs. Si l'on A * 4 RECHERCHES donne à x des valeurs congrues, suivant un certain module, les valeurs résultantes pour X , le seront aussi, Soien/yet^ les valeurs congrues de x; par les articles précédens ya^^" et A^'^Ag^-y de même Bf^^Bg\ etc. ; donc yif'' ^Bf'-j- Cf' + etc. = Ag"" -j- Bg'' -f (%-^ + etc. Au reste on conçoit aisément que ce théorème peut s'étendre à des fonctions de plusieurs indéterminées. 10. Si donc on substitue à la place de x tous les nombres entiers consécutifs, et que Ton cherche les résidus minima des valeurs de X, ils formeront une suite dans laquelle * après un intervalle de m termes (m étant le module) , les mêmes termes se représenteront; c'est-à- dire que cette suite sera formée d'une période de m termes répétée indéfiniment. Soit par exemple: 'X-=.x^ — 8.r-f-6et w=5, pour:c=o, 1,2, 5,etc, les valeurs de X donnent pour résidus minima positifs : i , 4> ^^ 4* 3, 1,4* etc., où les cinq pjeraiers i, 4^ 5> 4* ^ se répètent in- définiment; et si l'on continue la série en sens contraire , c'est-à- dire , si l'on donne à x des valeurs négatives , la même période reparaît en sens inverse ; d'où il suit que la série ne renferme pas d'autres termes que ceux qui composent la période. 11, Donc dans cet exemple, X ne peut devenir ^ o , nr^2, (mod. 5) , et encore moins = o ou = 2 , d'où il suit que les équations ^3 — g^_^5__Q et .r^ — 8jc-|-4=o n'ont point de racines entières, et parconséquent point de racines rationnelles. On voit en général que lorsque X est de la forme ^"-f- -^j:"-'+i5^"-*+etc. -f- iV; A , B f Cf etc. étant entiers, et Ji entier positif, l'équation X=o, (forme à laquelle toute équation algébrique peut se ramener) n'aura aucune racine rationnelle , s'il arrive que pour un certain module la congruence X^ o ne soit pas satisfaite ; mais ce caractère qui se présente ici de lui-même , sera développé davantage dans la section V.TII. On peut au moins se former par cette esquisse une idée de l'utilité de nos recherches. 12. Plusieurs des théorèmes que l'on a coutume d'exposer dans les traités d'arithmétique , s'appuient sur ceux que nous avons pré- ARITHMETIQUES. 5 sentes ; par exemple , la règle pour reconnaître si un nombre est di- visible par g, 11, ou tout autre nombre. Suivant le module 9 toutes les puissances de 10 sont congrues à l'unité j donc si le nombre est de la forme a'^\oh-\-\ooc-\-\o(iod-\-tiQ,. y il aura, suivant le module 9, le même résidu minimum que ûi+^-j-c+etc. Il est clair d'après cela, que si l'on ajoute les figures du nombre , sans avoir égard au rang qu'elles occupent , la somme que l'on ob- tiendra, et le nombre proposé auront les mêmes résidus minima'^ si donc ce dernier est divisible par 9, la somme des chiffres le sera aussi, et seulement dans ce cas. Il en est de même du diviseur 5. Comme suivant le module 11 , 100^-}- i, on aura généralement lo^^'^i, io''*"^'^io^ — I, et le nombre delà forme û+ 10 Z>H-i 00 c •4- etc. , aura le même résidu minimum, que a — b-\'C — etc.; d'où dérive sur-le-champ la règle connue. On déduira facilement du même principe toutes les règles semblables. Ce qui précède donne encore la raison des règles que l'on prescrit ordinairement pour la vérification des opérations arithmétiques ; savoir, lorsque de nombres donnés on doit en déduire d'autres pan addition , soustraction , multiplication ou élévation aux puis- sances. On n'a qu'à substituer dans les opérations, à la place des nombres donnés , leurs résidus minima , suivant un module quelconque ( ordinairement 9 ou 1 1 , parceque dans le système dé- cimal , comme nous venons de le voir , on trouve facilement les résidus relatifs à ces modules); les nombres résultans devront être congrus à ceux qu'on déduirait des nombres donnés, sinon il y aurait un vice dans le calcul. Mais il serait superflu de nous arrêter plus long-temps sur ces ré- ^ sultats très-connus , ainsi que sur ceux du même genre. RECHERCHES SECTION SECONDE. Des Congruences du premier degré. ïD. xhÉorème. Ze produit de deux nombres positifs plus pe» tits qu'un nombre premier donné , ne peut être dii^iséparce nombre premier» Soit/7 le nombre premier et a , plus petit que /?, qui rende ab^o ( module p ). En effet , s'il peut y en avoir, supposons que ce soient les nombres h, c, d, etc, tous plus petits que p, ensorte qu'on ait ab^o, ac^o, etc., (mod./?), soit b le plus petit de tous, desorte qu'on n'en puisse supposer un plus petit que b , on aura évidem- ment Z> >> I ; car si ^=i , on aurait ab=:a, inb et (772+ i ) b. Soit p — J7ib:=:b' , b' sera positif et ' devrait être rais au rang des nombres b , c, d, etc., et serait plus petit que le plus petit de tous, ce qui est contre la supposition. 14. Si aucun des deux nombres a. et h n'est divisible par un nombre premier p , le produit ab ne le sera pas non plus. Soient a et /3 les résidus minima positifs des nombres « et 3, s ui- vant le module /?, aucun d'eux ne sera nul par hypothèse. Or si l'on avait ab^o, comme ab^a^f on aurait ct/3^o, ce qui serait contraire au théorème précédent. ARITHMÉTIQUES. 7 La démonstration de ce théorème a déjà été donnée par Euclide , 1E.I. VII, 52. Nous n'avons pas cependant voulu l'omettre, tant parce- que plusieurs auteurs modernes ont présenté des raisonnemens vagues au lieu de démonstration , ou bien ont négligé ce théorème j que dans le but de faire mieux saisir , par ce cas très-simple, l'esprit de la méthode que nous appliquerons par la suite à des points bien difficiles. i5. Si aucun des nombres a, b, c, d, etc, n'est divisible par le nombre premier Tp,le produit abcd, etc. ne le sera pas non plus. Suivant l'article précédent, ab n'est pas divisible paryf?^ donc il en est de même de abc , et ainsi de suite. 16. Théorème. Un nombre composé ne peut se résoudre que d'une seule manière f en facteurs premiers. Il est évident par les élémens, que Ton peut toujours décom- poser un nombre quelconque en facteurs premiers ; mais on suppose à tort tacitement que cette décomposition ne soit pos- sible que d'une manière. Imaginons qu'un nombre composé ^ ./4.:=:a b c etc., a, b , c, etc. étant des nombres premiers inégaux, soit encore decomposable d'une autre manière en fac- teurs premiers. Il est d'abord manifeste que dans ce second système de facteurs il ne peut entrer d'autres nombres premiers que a^bfC, etc. , puisque quelqu' autre que ce fut ne pourrait di- viser ^,qui est composé des premiers. De même aucun des nombres premiers a, b, c, etc. ne peut y manquer, car sans cela il ne divise- rait pas ^ ( n" i5 )^ la différence ne peut donc porter que sur les exposans. Or soit un nombre premier p , qui ait dans l'un des sys- tèmes l'exposant m, et dans l'autre l'exposant Ji, m étant > tz : di- visons de part et d'autre par p"" , p restera dans l'un affecté de l'ex- A posant 772 — ?i y et disparaîtra de l'autre, donc -7 pom-rait se décom- poser de deux manières, dans l'une desquelles /? n'entrerait pas, tan- dis qu'il resterait dans l'autre , ce qui est contre ce que nous avons démontré. 17. Si donc le nombre y4 est le produit de ^, C, Z), etc. , il s'en- suit que les nombres B , C , D , etc ne peuvent avoir de facteurs premiers différeus de ceux de ^; et que chacun de ces facteurs doit 8 RECHERCHES se trouver autant de fois dans les nombres B, C , D , etc ; pris en- semble, que dans ^. On déduit de là le caractère pour reconnaître si le nombre B divise ou non un autre nombre ^. Il le divisera s'il ne contient aucun facteur premier étranger k ^, ni aucune puis- sance plus grande d'un des facteurs premiers de y4. Si une de ces conditions manque, B ne divisera pas ^. A l'aide du calcul des combinaisons , on verra aisément que si. . . ^z=za b c etc, a, b, c, etc. étant comme ci-dessus des nom- bres premiers différens , le nombre des diviseurs différens de -4, en j comprenant i et^, est ( ct+ j ) (/3^-i ) (>+ ^ ) ^^c. 18. Si donc ^ = ^ b c^ etc., K=:k / /wf* etc., et si tous les facteurs «, b, c, etc. diffèrent des facteurs i?:, /, ttz , etc. ; -«^ et K n'auront d'autre diviseur commun que i, ou bien seront premiers entr'eux. Le plus grand commun dwiseur entre plusieurs nombres donnés \A, By c, etc. se trouve de la manière suivante : On décompose les nombres en facteurs premiers , et l'on prend ceux qui sont com- muns à tous les nombres ué , B , C , etc. ( s'il n'j en avait pas de tels, les nombres donnés n'auraient pas de commun diviseur ) ; alors on remarque quels sont les exposans de ces facteurs, dans chacun des nombres A, B , C, etc. 3 on donne à chaque facteur le plus pe- tit des exposans qu'il a dans A, B , C , etc., et l'on compose un pro- duit des puissances qui en résultent 3 ce sera le plus grand commun diviseur cherché. Si l'on cherchait au contraire le plus petit nopibre divisible à-la- fois , par les nombres A , B , C , etc. , on prendrait tous les nombres premiers qui diviseraient quelqu'un des nombres -df, ^, C, etc, et on donnerait à chacun d'eux le plus haut exposant qu'il ait dans les nombres AjB, C , etc. Le produit de toutes ces puissances serait le nombre cherché. Soient, par exemple, ^=5o4=2^3\7 j ^ = 288o=2^3^5J C=864==25.5*. Pour trouver le plus grand diviseur commun , on a les facteurs premiers 2 et 3 , qui doivent être affectés des exposans 3 et 2 , d'où il vient 2^ . 3^:=72. Quant au plus petit nombre divisible pa.rA,Bj C^ il sera 2 ^3^ 5, 7 = 6048. Nous ARITHMETIQUES. 9 Nous omettons les démonstrations à cause de leur facilité ', d'ail- leurs on sait par les élémens comment on résout ces problêmes , quand les nombres A. , B , C, etc. ne sont point donnés tout dé- composés en facteurs. 19. Si les nombres a., b,c, etc. sonl premiers af^ec k, leur produit l'est aussi. En effet, puisqu'aucun des nombres a,h y c, etc. n*a de fac- teurs premiers communs avec k , et que le produit de ces nombres ne peut avoir de facteurs premiers qui n'appartiennent à quelqu'un d'entr'eux, ce produit n'aura non plus aucun facteur premier commun avec k. Si les nombres a, b, c , etc» sont premiers entr''eux , et que k soit dii^isible par chacun d'eux , il le sera aussi par leur produit. C'est une suite des n<^s 17 et 18. Soit eu effet p un diviseur premier quelconque du produit abc etc. et qu'îl ait l'exposant tt, quelqu'un des nombres a ,b , c, etc. sera divisible par p , parconséquent k, qui est divisible par ce nombre, le sera aussi par^t»' : il en sera de même des autres diviseurs du produit. Donc, si deux nombres ra,n sont congrus suivant plusieurs modules a , b, c, etc. premiers entfsux , ils le seront aussi sui- vant leur produit. En effet, puisque m — n est divisible par cha- cun des nombres a, b , c , etc. , il le sera aussi par leur produit. Enfin , si a est premier avec h , et que ak soit divisible par b , k sera aussi dit^isible par b. En effet, puisque ak est divisible par a et par b , il le sera par leur produit j donc —r=-r sera un entier. 20. Quand A=. a. b c etc.( a , h , c , etc. étant des nombres premiers inégaux) , est une puissance parfaite , par exemple, quand A = k", tous les exposans a, /3, ^, etc. sont divisibles par n. En effet, le nombre k n'est pas divisible par d'autres nombres premiers que a, b , c, etc j soit a l'exposant de a dans k, dans k" ce sera noL : donc n/x =^ ot et - est un entier. On démontrera de même n $ ' ^ que -, — , etc. sont des nombres entiers. 2 ï . Quand a , b , c, etc» sont premiers entreux , et que le produit B ,0 BECHERCHES abc etc, est une puissance parfaite k" , chaque nombre a , b , c , etc. est une puissance semblable . Soit a = l^rrtp^ etc. , /, m,pj etc. étant des nombres premiers dif- férens,dont aucun par hypothèse ne divise les nombres ^, c, etc., puisque le produit abc etc. est divisible par / ttî jd etc. , on se con- vaincra, comme dans l'article précédent, que KffXy'Tt , etc. sont divisibles par n , et partant que / a est entier. Il en sera de même pour b, c, etc. Après ces notions nécessaires sur les nombres premiers , nous allons nous occuper de ce qui peut nous conduire plus directe- ment à notre but. 22. Siles nombres a et h dii>isibles par k sont congrus suivant le module m premier avec k , ^ ^/ ^ sont congrus suii^ant le même module» En effet a — b est évidemment divisible par k , et, suivant Phj- pothèse, par 772 ; donc^^ sera divisible par m (19) , c'est-à-dire , que T^r ( niod. m ). Mais si , toutes choses d'ailleurs égales , m et k ont un divi- a h / , m\ k , m seur commun e, on aura -r^jimod.—j', car - et— sont premiers h entr'eux ; mais a — b est divisible par k et par m ; donc est di- visible par -et par — , et par conséquent par -7-5 c'est-à-dire que ^^ est divisible par j, ou que I^^Tmod.^Y 25. Si a est premier ai^ec m, que e et ï soient des nombres in- congrus suii^ant le module m, di.e et af seront aussi incongrus. Cette proposition est l'inverse de celle du n° précédent. Il est évident d'après cela, que si l'on multiplie a par tous les nombres entiers, depuis o jusqu'à m-^ i , et qu'on cherche les restes minima des produits, suivant le module m y ils seront tous inégaux 5 mais le nombre de ces résidus est m , et comme aucun d'eux n'est > 772 > ils se trouveront tous dans la série depuis o jusqu'à m. ARITHMÉTIQUES. h ■ 24. L'expression aa:'{-b, ael b étant des nombres donnés et x un nombre indéterminé ou variable , peut devenir congrue à un nombre donné quelconque , suivant le module m , premier avec a. Soit c le nombre auquel l'expression ax-{-b doit être congrue , et e le résidu minimum positif de c — Z>. Par le n° précédent on trouvera nécessairement une valeur de a: < ttz, telle que le résidu minimwn du produit ax , suivant le module m , soit e. Nommons ^ cette va- leur, on aura au^e^c — b; donc ai>-\-b^c ( mod. m). 25. Nous appelons congruence l'expression de deux quantités congrues, à l'instar des équations j si elle renferme une inconnue, la résoudre, c'est trouver pour cette inconnue une valeur qui sa- tisfasse à la congruence, c'est-à-dire la racine de cette congruence. On conçoit par là ce que c'est qu'une congruence résoluble , et une congruence irrésoluble. On voit enfin que nous emploi erons les mêmes distinctions qui ont lieu dans les équations. Nous verrons plus bas des exemples de congruences transcendantes. Quant aux congruences algébriques, elles se divisent selon la plus haute puis- sance de l'inconnue , en congruences du premier, du second degré etc. On peut même proposer plusieurs congruences qui renferment plusieurs inconnues, et de l'élimination desquelles nous traiterons, 26. La congruence du premier degré ax-\-b^c se résout tou- jours par le n° 24, quand le module est premier avec a) et si 2^ est la valeur convenable de x y ou la racine de la congruence, il est évident que tous les nombres congrus à i', suivant le module de la congruence, seront aussi des racines (n° 9). Il n'est pas moins évi- dent que toutes les racines doivent être congrues à u : en effet, si t est une autre racine, on di\\YQiau-\-b^at-\-b\ donc au^at, et par- tant ^^/. On peut conclure de là que la congruence jt^p» (mod. 772) , donne la résolution complète de la congruence ax-\-b'^c. Comme les résolutions de la congruence par les valeurs de jr con- grues à ^, se présentent d'elles-mêmes, et que sous cet aspect les nombres congrus doivent être considérés comme équivalens , nous regarderons ces solutions comme une seule et même. C'est pourquoi nous dirons que la congruence ax^b^c , qui n'en admet pas d'autres , ne peut être résolue que d'une seule manière ou n'a qu'une seule racine. Ainsi, par exemple, la congruence 6^4-5^1 3 ( mod, 11), n'admet pas d'autres racines que celles qui B2 ja RECHERCHES sont^Sfmod. ii ). La même chose n'a pas lieu dans les con- gruences des degrés supérieurs, et dans celles du premier degré où le coefficient de l'inconnue n'est pas premier avec le modale. 27. Il nous reste à donner quelques détails sur la manière de ré- soudre ces congruences. Observons d'abord que la congruence ax -i-l^u , dans laquelle le module est supposé premier avec^ , dé- pend de celle-ci, ax^zt:\. En effet, sïx^r satisfait à celle-ci, x^-àz?^ (^u — t) satisfera à la première; mais en désignant le mo- dule par by la congruence ax^-±z i équivaut à l'équation indéter- minée ax-:=.hyà=. I , dont la solution est connue ; aussi nous nous contenterons de donner ici l'algorithme du calcul. Si les quantités A,B , C, eic. dépendent de cl, ^,y, etc. de manière qu'on ait^=a, B:=^A-\-i , r=>^-f.^, D=J^C-{-B, etc. ; nous lesreprésenterons pour abréger, par ^= [et] ,^= [a, /S], C=[ci, fB,y],D=lct, /3, j/jcT], etc. (^). Soit maintenant l'équa- tion axz= bjdtzi , où a et b sont positifs. Supposons , ce qui est permis , que a n*est pas < b. Alors en opérant comme on le fait ordinairement pour la recherche du plus grand diviseur commun , on formera par la division les équations a=xoi,b-{'C , b=.^C'\-d, c=zyd-^e, etc, dans lesquelles a , /3 , 5/ , cT , etc. , sont entiers et positifs : et b, c, d , etc. vont en diminuant continuellement jusqu'à ce qu'on (*) On peut considérer cette relation de quantités d'une manière plus géné- rale , ainsi que nous pourrons le faire dans une autre occasion. Nous ajouteron's seulement ici deux propositions qui trouvent leur application dans la question pré- sente, savoir : OÙ l'on prendra le signe supérieur, lorsque le nombre des quantités a ^C ,y . . .K, [^y sera pair, et le signe inférieur dans le cas contraire. î2°. On peut renverser l'ordre des quantités a, C, y, etc. ; desorte que ict,C,y^ ...^,^]=[//,A, ...y,C,A-]. Nous supprimons ici les démonstrations qui n'offrent aucune difficulté. ARITHMETIQUES. i5 parvienne à m:=.iM7i-\-i ; ce qui doit toujours arriver. Il en résultera «=[«, /A y, ^, et] -, Z?=[/z, //-....>, /B] -, et si l'on prend x=[u,,. . .y, /S] , r=[A«'^. • -y y 1^ , a], on aura «,r=Z)/-|- 1 , quand le nombre des lettresût,/3 ,y,. ,fx, n est pair, et axz=.hy — i, quand il est impair. 28. Euler est le premier qui ait donné la résolution de ces équa- tions ( Comment, de Petersb. T. VII, p. 4^). La méthode qu'il a employée consiste à substituer d'autres inconnues à la place de x et de y , elle est d'ailleurs assez connue. Lagrange a traité le problême d'une manière un peu différente. Il observe que si l'on réduit la fraction t en fraction continue 0 1 y -f- etc. _^ _ 1 /y. -\- -. n etqu'aprèsaVoirefFacé sa dernière partie -, on la ramène à une frac- tion ordinaire — , on aura axzz^hy:^ i. Au reste les deux méthodes y ^ . conduisent au même algorithme. Les recherches de Lagrange se trouvent dans V Histoire de V Académie de Berlin , année 1 767 , pag. 175 , et avec d'autres, dans les Additions à f Algèbre d' Euler, 39. La congruence ax-\-t^u , dans laquelle le module n'est pas premier avec a , se ramène facilement au cas précédent. Soit jn le module et J' le plus grand diviseur commun entrer et 7;z ; il est clair d'abord que toute valeur de x qui satisfera à la congruence , suivant le module m , y satisfera aussi suivant le module J' ( n° 5 ), Mais puisque J' divise a , on a toujours ax^o ( mod. S" ) ; donc on doit avoir i^u ( mod. J' ) , ou t-^u divisible par é" , pour que la congruence soit résoluble. ; Posons donc iz == J"^ , m = cT/, t — u-=z.^k\ e tïf seront pre- miers entr'eux, et la congruence proposée J'^jT + cTA'^o ( mod. ciy)^ équivaudra à celle-ci, ex-\-k'^o (mod,/")-, c'est-à-dire, que toute Valeur de x qui satisfera à la seconde , satisfera aussi à la première, et vice versa. En effet, ex~\'k sera divisible par/, quand J^jr-f--:^^ le sera par jy^ et réciproquement. Mais nous avons résolu la congruence ,4 RECHERCHES ex-^k^o ( mod. /) ; il suit de là que si i^ est une des valeurs de :ir, la congruence x^u ( moâ,f) , donne la résolution complète de la proposée. 3o. Quand le module est composé , il est toujours avantageux d'eraplojer la méthode suivante : Soit le module = 77in , et la congruence proposée ax^b. Résol- vons d'abord la congruence suivant le module jn , et supposons qu'elle soit satisfaite si jr ^ f^ (mod. -^j ; cT étant le plus grand commun diviseur des nombres m et a. Or il est évident que toute valeur de x qui satisfera à la congruence ax^b ( mod. 77271 ) , sa- tisfera aussi àla congruence ^a:^Z»(mod. 77i) , et que partant elle sera comprise dans la formule p'-f--r«^^ ^' désignant un nombre indéter- miné. La réciproque de cette proposition n'est pas vraie j a:' doit donc être déterminé de manière à rendre ^+-j ^', racine de la congruence ax^b ( mod. ttztz ) ; on aura donc — j }- ^p ^ b ( mod. 77177 ) ou-tjï:'^-^^^^^^ — ( mod. 7i), Il suit de là que la résolution d'une con- gruence quelconque du premier degré , suivant le module 77771 , peut se ramener à celle de deux congruences, suivant les modules m et/z. On voit facilement que si ti est lui-même le produit de deux facteurs, la solution de la congruence, suivant le module 7i , dé- pend de la solution de deux congruences dont ces facteurs sont les modules; et généralement, que la résolution d'une congruence sui- vant un module composé quelconque , dépend de la résolution d'autres congruences, dont les modules sont les facteurs du pre- mier. Ces modules peuvent être choisis de manière à être des nom- bres premiers, si on le trouve plus commode. Soit par exemple la congruence 19 .2:^1 (mod. t4o)> si on la ré- sout d'abord suivant le module 2, on aura 0:^1 (mod. 2)*, en faisant ^=i-j-2ji:', il viendra 38.2:'^ — 18 (mod. 140) où 19^1:' ^ — g (mod. 70). Si l'on résout celle-ci encore suivant le module 2, on aura x'^i (raod.2),eten posant x' z=i -\- :ix" , on aura 38ji:"^ — 2^ (mod. 70) ou \^x"^ — i4(mod.35). Cette congruence résolue suivant le module 5, donne x''^/^ ( mod. 5) j prenant ^"=4-1- 5^«^'% il vient AKITH MEXIQUE s. t5 g5:j:*^-,9o(mod.35)oui9:c"=— i8(raod.7), qui donne j;''^ 4 ( mod. 7 ) , d'où x'"=2-{-7Jc'\ Or en remontant à la valeur de x , on trouve x=5g-\-i4ox'", donc ;c =59. 3i. De la même manière que la racine de l'équation «jc = 3 , s'exprime par - , nous désignerons par - la racine d'une congruence ax=b, enyjoignantle module pour la spécifier. Ainsi ^ (mod. 12) représente un nombre quelconque qui est = 11 ( «lo^» 12 ), et qui, par analogie , peut s'exprimer par — ( mod. 12 ). Il suit de là généralement que le symbole - ( mod. c ) ne signifie rien de réel , ou si Ton aime mieux, est une expression imaginaire, si û et c ont un diviseur commun qui ne divise pas b ; mais, ce cas excepté , l'expression ^ ( mod. c ) a toujours des valeurs réelles, et en a même une infinité : elles seront toutes congrues suivant c,%ïc est premier avec a et suivant y quand cT est le plus grand commun diviseur de a et de c. Ces expressions se calculent presque de même que les fractions ordinaires , et voici quelques propriétés qui se déduisent facilement de ce qu'on a vu. 1°. Sia=ot, Z?=/3 suivant le module c, lesexpressions^(mod,0> I ( mod. c ) sont équivalentes. 2°. ^ C ^^^* ^<^ ) et ^ ( mod. c ) sont équivalentes. 5°.?^C mod. c ) et ? C mod. c ) , sont équivalentes quand k est premier avec c. Nous pourrions rapporter plusieurs propositions semblables -, mais comme elles n'ont aucune difficulté , et qu'elles sont inutiles pour ce qui suivra , nous passerons à autre chose. 32. On peut facilement, au moyen de ce qui précède, ironiser fous les nombres qui ont des résidus donnés, suii'ant des modules 'I' '^ RECHERCHES ffue/coj,ç!^s ; prMême qui sera d'nn fréquent usage dans la suite' Soient d'abord deux uiodnlps ^ » • .1 . * cherché zdoif Ah-. '"°""'^'' ^'^' «"i^anf les<|«eis le nombre Cherchez doit eue congru aux nombres a et ^. Toutes les valeurs de .son nécessairement renfermées dans la formule J+J, Ïù " SI d est le plus grand diviseur commun de ^ et de B, la résolution complete de cette congruence prendra cette forme :csv (mod.^), ou ce qui revient au même, a:=.+ ^,K étant unnombre entlr indéterminé; donc la formule a+^.+^ renferme toutesles va- •lenrs de z, ce qui revient à z=a+^.( mod. f ). S'il y avait un troisième module Ç, suivant lequel le nombre cherché dût nremT ' "" j" •'"'^" '^ "''™" "'"'^'^ ' "P'^' ^^°'^ ^éuni les deux premieres conditions en une seule. Ainsi soit . le plus grand com- mun diviseur des nombres f et C, on obtiendra la congruence. . . -j-^-^^-h-^P^cCmod. C) , qui sera résolue par une con- gruence de la forme jc—j^ fmod.-^ et le <^Pr^ n^r in . y^iiiuu. ^j, et le sera par la congruence , yJB I >* / ABC\ — —«'+«4-^^ (^raod. -^)- on procéderait demême, quel que- fût le nombre des modules. Il convient d'observer que :^ et ^'^^ sont respectivement les plus petits nombres divisibles à-Lfois tac' si e °'T\ ' T?' '' ''"" "" conclut facilement, quel que so le nombre des modules ^,5, C, etc., que si l'on représeiife lesolution complete, en prenant z=r (mod. M). Au reste, si l'une des congruences n'est pas résoluble , il faut en conclure que le pro- blême est impossible; mais il est évident que cela ne peut arriver^ les nombres ^,B,C, etc. sont premiers enlr.'eux. ^oient par exemple ^z=5o4, B=^'o5,C=,G, a=in , b=-A c_33; ICI les deux conditions que z = ,7 ( mod. 5o4), et = -4 ( mod. 5c, ) , se réduisent à une seule z = 52i ( mod. aSao ) , qui ARITHMÉTIQUES. ,, 55 Qcand fous les nombres A, B, C, etc. sont premiers entre eux, leur produit est le plus petit nombre divisible par chacun d'eux- et^ans ce casilestévidentque toutes lescongruencesz=a(mod a{ 2=6 (mod. B), etc. se ramèneront à une seule z=r (mod. R) qui leur équivaudra , R étant le produit des nombres A,B, C etc • Il suit de là réciproquement qu'une seule condition z~r (m'od K\ peut être décomposée en plusieurs z=r (mod.^) , z~r fmod By 2 = r Cmod. C), etc. si A, B, C, etc. senties diflFérens facieurs premiers entr'eux qui composent i?. Cette observation nous donne non -seulement le moyen de découvrir l'impossibilité lorsqu'elle existe mais encore une méthode plus commode et plus élégante pour determiner les racines. ^5 Soient comme ci-dessus les conditions z = a(raod.^), z==6Cmod. 5),z=c(raod. C), etc. On résoudra tous les modules en facteurs premiers entr'eux; A en A' A" A' etc. ; B en B'B'B'ttc ■ de manière que les nombres A, A', etc. , lï , B- , etc. soient pre- miers ou puissances de nombres premiers; si l'un des nombres A,B, t.ete. était premier lui-même ou puissance d'un nombre premier, i n'y aurait, pour lui, aucune décomposition à faire. Alors ce qui precede fait voir que l'on peut, aux conditions données, substituer les suivantesz = a ( mod. A),z = a (mod. A'). z=â (mod. A ) , etc. ; . = è ( mod. 5' ) , . ^ i (:nod. B-) , etc!, eT^. ; Or a moms que tous les nombres A, B, C, etc. ne fussent premiers entr eux ; par exemple, si A n'est pas premier avec B, il est évi- dent que tousles diviseurs premiers ne peuvent être différens dans A etdans5, mais qu',1 doit j avoir quelqu'un des diviseurs ^',^' etc qui trouve son égal , son multiple , ou son soumultiple parmi les diviseurs fi', S' , etc. Soit d'abord A = B' , les conditions z = l (mod. A), . = 6 Cmod.^-), doivent être identiques, et7o" de ces deux conditions peut être rejete'e; mais si l'on n'a pas a^b (mod A) le problême est impossible. Soit ensuite /un mul- cet ci f-rr f«M^'^^"°''•"''^''°•'^'-<=-'--dat celle.c. , 2 = i ( mod. S' ) , ou bien celle-ci , z~b ( mod. A 1 d'où 11 st" '' ^ '"."''" ' '°^' '''' ^'^"-'-'^ ^ '^ P--Ï- \ 3i elle ne ' ''T '"""^f °° ' ^" ^ "■°'^- ^' ^ ' P^"' ^'^ -<-'- elle ne contrarie pas l'autre, auquel cas le problême serait iml i8 R E C H E H C H E S possible. Quand foutes les conditions superflues sont ainsi rejetees, il est évident que tous les modules qui restent sont premiers entr'eux ; on est sûr alors de la possibilité du problême , et on peut procéder d'après la manière enseignée plus haut. 35. Si nous supposons comme au n' 32 z^ 17 (mod. 5o4), ^-^4 ( mod. 35), ^33 (mod. 16); ces conditions peuvent se décom- poser en celles qui suivent : z^ 17 ( mod. 8 ), =17 ( mod. 9 ) , ^i7(mod.7);zs--4(mod.5), = — 4(mod.7);z— 35(mod.i6). De ces conditions on peut rejeter z^i 7 (mod. 8) et 2^17 (mod. 7), car la première est renfermée dans la condition 2 = 55 (mod. 16), et la seconde est équivalente à z^ — 4 ( mod. 7 ) : il reste ainsi 17 (mod. 9) J / r A \ > d'où Ton tire z=:3o4i (mod.5o4o). 53 ( mod. 16 ) } Au reste il est clair qu'il sera souvent plus commode de ramener à une seule les conditions qui restent et qui proviennent de la même, ce qui se fera sans peine. Par exemple, quand on a rejeté quelques-unes des conditions z^a (mod. A') , z^a (^moà. A" ) , etc. celle qui se composera des conditions restantes sera z^^, suivant le module formé par le produit de tous les modules qui restent. Ainsi dans notre exemple, des conditions z^ — 4 (mod. 5), z^ — 4 (mod. 7); on tire sur-le-champ la condition z^ — 4 (mod. 35), d'où elies dérivent; il s'ensuit qu'il n'est pas indifférent, quant à la brièveté du calcul , de rejeter l'une ou l'autre des conditions équivalentes ; mais il n'entre pas dans notre plan de parler de ces détails ni d'autres artifices pratiques que l'usage apprend mieux que les préceptes. 36. Quand tousles modules A, By C, etc. sont premiers entr'eux, il est préférable le plus souvent d'emplojer la méthode suivante. On déterminera un nombre cl congru à l'unité suivant ^, et à o suivant le produit des autres modules-, c'est-à-dire, que cl sera une valeur quelconque de l'expression !^ ( mod.^ ), multipliée par BCD etc. (n°32); mais il vaut mieux prendre la plus petite de ces valeurs. Soit de rnême/3^i (mod, .6), et=o(mod,.^CZ?etc.)5 %■ :« ARITHMÉTIQUES. ,9 >=i f mod. C), et~o (mod. y4BD etc.). Alors si l'on cîierche un nombre z qui soit congru aux nombres a, b, c, etc. suivant les modules A,B , C , etc. respectivement, on pourra poser z = a.r4-/3 3-f->c + etc. (mod.^^C7Z)etc.); en effet onaévV- demment aa—a ( mod. ^ ) , et les autres termes sont = o (mod. ^) ; doncz = a (mod. A), La démonstration est la même pour les autres modules. Cette solution est préférable à la première -, quand on a à résoudre plusieurs problêmes du même genre, pour lesquels les valeurs de ^, ^, C, etc. sont les mêmes j car alors on trouve pour a, ^, etc. des valeurs constantes. Ceci s'applique au problême de chronologie dans lequel on cherche le quantième de l'année pour la- quelle l'indiction, le nombre d'or et le cycle solaire sont donnés. Ici A=i5 , B=ig, €=28; ainsi comme la valeur de l'expression 7j;^(mod. i5), ou ^( mod. i5) est i5, on aura «=6916; on trouvera de même/3=420o, y=4845. Donc le nombre cherché sera le résidu minimum, du nombre 6916 a +4200 3-f-4845 c, a re- présentant l'indiction, b le nombre d'or, et c le cjcle solaire. 37. Nous n'en dirons pas davantage sur les congruences du pre- mier degré, qui ne renferment qu'une seule inconnue; il nous reste à parler des congruences qui renferment plusieurs inconnues j mais, comme il faudrait donner trop d'extension à ce chapitre , si nous voulions exposer chaque chose en toute rigueur , et notre projet n'étant pas d'épuiser ici la matière , mais seulement de présenter ce qui est le plus digne d'attention ; nous bornerons notre recherche à un petitnombre d'observations, réservant l'exposition complète pour une autre occasion. 1°. De même que dans les équations , on voit qu'il faut avoir autant de congruences qu'il j a d'inconnues à déterminer. 2% Soient donc proposées les congruences ax-irby^cz =/( mod. 772). . .(^) • :• a:x'\-b'y-^dz. . . . =/ (^'j a!'x^by + c''z. . . . =/" (^"^ etc. en même nombre que les inconnues x,y,Zy etc. ^o RECHERCHES On déterminera les nombres g, ^ y ^ , etc. de manière qu'on ait: /, j 4- h'^' + b"^' + etc. = o , c^ + c'^' + c'^' + etc. = o , etc. et que ces nombres soient entiers et n'aient aucun diviseur com- mun à tous , ce qui est toujours possible par la théorie des équa- tions linéaires. On déterminera de même v,\j , u" , etc., Ç, J', ^"^ etc., etc., de manière qu'on ait rtK-j-aV-f- aV + etc. = o, eu -|-cV-|-cV-f-etc.=:o, etc. aÇ-|-a'Ç' + a''$"-f-etc.=o, Z»? -|- ^''^'-f- Z>V+etc.=o, etc. etc. 3'. Il est évident que si l'on multiplie les congruences ^ , A'^ A", etc., d'abord par Ç, Ç', 5", etc., ensuite par u, rj' , v", etc. etc., et qu'on les ajoute , on obtiendra les congruences suivantes : ( ^? +«'r 4- «T 4- etc. ) sc^f^ -H/'r -f-/T 4- etc. ( ^v -f- Z^'u' -H Z>V + etc. ) ,r =/w -f-/V +/V + etc. ( ^Ç -h^'C + ^T + etc. ) z^fC H-/C +/r + etc, etc. que, pour abréger, nous représenterons ainsi : :c.2C^Ç)=2(/O.J-2C^0=2(/b),z.2(c0=2:(/0, etc. 4% Il y a plusieurs cas à distinguer en premier lieu quand les coefficiens des inconnues , c'est-à-dire quand 2 (aj), 2 (Z>y), etc. sont premiers avec le module des congruences , ces congruences peuvent être résolues par les méthodes déjà exposées , et la solution, complète du problême s'obtient par des congruences de cette forme X ^p ( mod. 7n) fj^^q ( mod. m ), etc. (*). Si l'on propose, par (♦) Il faut observer que cette conclusion manque de démonstration que nous I ■upp rimons ici -, car il ne suit rigoureusement rien autre cKose de notre analyse , si ce n'est que les congruences proposées ne peuvent être résolues par d'autres va- leurs de X ,y, z etc. mais non pas que celles-ci satisfassent i il serait même possible qu'il n'y eût aucune solution. Le même paralogisme se présente dans là solution des équations linéaire*. ARITHMETIQUES. it exemple , les congruences ^ -f- 3/ -f- z ^ i , l^x H-y -4- 5z ^ 7 , 2:c+3r + x=3 (mod. 8 ), oa trouvera Ç = 9, g'=i,|^=--i4; donc X(ar.)= — i5,2(/Ç)= — 26-, donc — i5jt;^26, et partant :i;^2(niod. 8). Delà même manière on trouvera i^j^ — 4> i5z^ i , et de là, y ^4, z^7 (mod. S). 5% Si tous les coefficiens 2 (a^ ) , X(bu) , etc. ne sont pas premiers avec le module, soient a, /3, ^> etc. les plus grands divi- seurs communs de m et de 2 (a^) , 2 (bu) , 1 (cQ , etc. respective- ment j et il est évident que le problême est impossible , six, ^,y, etc. ne divisent aussi 2 (/g ), 2 (/u ), 2 (/Q , etc respective- ment; mais quand ces conditions auront lieu , le problême sera ré- solu complètement par des congruences telles quex^p f mod • ~ J » j^^^raod. yV, z^r ( mod. — V etc.; ou si l'on aime mieux, on aura ce valeurs différentes pour x^ savoir : p ^p-^ , pj^ ifZliiJ!^^ ^ valeurs ponr^, y valeurs pour z , etc. qui satisfe- ront aux congruences. Toutes les solutions de la question , s'il y en a quelques-unes, devront se trouver parmi celles que nous venons d'indiquer ; mais il n'est pas permis de renverser la conclusion ; car souvent toutes les combinaisons des en valeurs do. x , avec celles de^et celles de z, etc. ne satisfont pas au problême, mais seulement quelques-unes dont la liaison s'exprime au mojen d'une ou de plusieurs équations de condition. Au reste comme la solution com- plète de ce problême n*est pas nécessaire pour la suite, nous ne nous étendrons pas davantage ici sur ce sujet , et nous nous con- tenterons d'en donner une idée par un exemple. Soient proposées les congruences 3:c«-{-5y-f-z^4^ 2jr-f-3jr'-f-2z^7, 5a:-{-j + 3z^6 ( mod. 12 ), on aura ici g= i , g' = — 2 , 5''=i*, if=i , u'=i , v=. — I ; Ç=— .i3, Ç'=22, J''=— I ) d'où 4-^^ — 4> 7^^5, et 282^96; d'où l'on tire quatre valeurs de x, savoir > x^2, 5, 8, II-, une seule de^,/^ii5 quatre de z> savoir, z^o, 3,6, 9 (mod. 12). Or pour découvrir quelles combinaisons des valeurs de :i: et de z on peut admettre, substituons à la place de a: , j , z , 2 -f- 3/ , II, 3z^ , ce qui change les congruences proposées en 57H- 9^-1-5^=0^ 3o-J-6/-f-6«=o et i5H-i5/-|-9«=o(aiod. la), 23 HE CHERCHES congruences qui reviennent à ig-f-S^-f-z/^o, lO-j-sZ-f^az/^o 5^5/+3m^o (mod. 4). Chacune d'elles sera évidemment sa- tisfaite, si u^t-i-i ( mod. 4 )• Concluons de laque les valeurs de x^2, 5, 8, II que l'on obtient en faisant successivement /=o, I, 2, 3, doivent être combinées respectivement avec les valeurs 3, 6, g, o de z } desorte qu'il y a quatre solutions. j:^2,5,8,ii ,j^ II, II, II, II, j z^3,6,9,o (mod. 12). A ces recherches qui remplissent la tâche que nous nous étions proposée dans ce chapitre , nous joindrons quelques propositions qui se rapportent aux mêmes principes , et qui seront d'un fréquent usage par la suite. 38. Problème. Trouver combien il y a de nombres plus -petits qiûun nombre donné A, et premiers avec lui? Désignons, pour abréger , le nombre cherché par le caractère (p placé avant le nombre donné j le nombre cherché sera (pA. i". Quand A est premier, il est évident que tous les nombres, depuis I jusqu'à A — i, sont premiers avec^, et partant, dans ce cas , on a (pAz=:A — i. 2'. Quand A est une puissance d'un nombre premier p , p"" par exemple -, tous les nombres divisibles par p ne seront pas premiers avec A , les autres le seront ; c'est pourquoi de p"" — i nombres, il faut rejeter ceux-ci :p, 2p,5p,.,( ;?'»—— i) p. Il en restera donc ■p^ I — (;?'""" — I )=/?'" — yo"'-* =/?'"-' (yt7— I ) donc (pp"'z=p"'^\(p — i). 3°. Les autres cas se ramènent facilement à ceux-ci , au moyen de la proposition suivante : Si on décompose A en facteurs .... M, N, P, etc. premiers entr*eux ^ onaura(pA=:(pM,(p'î^ .(pF., etc., qui se démontre ainsi qu'il suit. Soient m, m', m", etc. les nombres premiers avec Met plus petits que lui. Soient de même 72, n% n", etc., p, p, p", etc., etc. les nombres premiers avec iV, F, etc. respecti- vement, et plus petits qu'eux j il est évident que tous les nombres premiers avec A le seront aussi avec les facteurs M, N, P , etc. , et réciproquement ( n° 19 ) , et que tous les nombres qui seront con- grus à l'un quelconque des nombres m, m' , etc. suivant le mo- dule M, seront premiers avec M) de même pour Nf Pi etc. L^ ARITHMÉTIQUES. 2^ question est donc réduite à déterminer combien il y a de nombres au dessous de A y qui soient congrus à quelqu'un des nombres 772, m' , eic. suivant le module M, à quelqu'un des nombres n, n'y etc. suivant le module iV, etc. j mais (n°32) tous les nombres qui ont des résidus donnés suivant chacun des modules M, N , P f etc. doivent être congrus suivant leur produit A , et parconséquent il ne peutj en avoir qu'un seul congru à des rési- dus donnés suivant les modules M, N, P, etc. , et qui soit plus petit que A. Ainsi le nombre cherché sera égal au nombre des combinaisons des différens nombres ttz, m' , ttz" , etc. avec les nombres n, 7i' , n' , etc. et les nombres ;?, ;»', p' y etc., etc. Or par la théorie des combinaisons, ce nombre est (p {M) . mais dans tous les autres cas il n'j aura rien de changé. En adop- tant cette définition ; nous aurons le théorème suivant ; 34 RECHERCHES SI a, a', a', etc. sont tous les diviseurs de A, l'unité et Af compris, onaura ^ et B seulement, et soit A leur plus grand diviseur commun. Alors la congruence Ax^X ( mod. B) sera résoluble ( n" 5o ). Soit la racine ^ot , et que l'on fasse "^ "^^ /3 . on aura a.^-f-j85=A. S'il ARITHMÉTIQUES. j5 S'il y a un troisième nombre C , soit A' le plus grand diviseur commun de A et de C , il sera en même temps celui des trois nombres A, B , C, C^). On déterminera les nombres k ety àe ma- nière qu'on ait àà-|-;/C=A', et l'on ama. ket.A'^kôB'j'yC=^?^\ S'il y a un quatrième nombre D , soit X' le plus grand diviseur commun de A' et de D , il sera en même temps celui des quatre nombres A, B , C, D, On fera â:'A'-|- ^ cTZ) = A'. On procéderait de la même manière s'il y avait plus de nombres. Si les nombres -^, B , C , etc. n'avaient pas de diviseur commun, il est clair qu'on aurait a^-4-ôjB-|-cC+ etc. = i. 4i . «S"/ p est un nombre premier , et qu'on ait p choses parmi les^ quelles il peut s* en trouver un certain nombre d'égales entr* elles, pourvu que toutes ne le soient pas : le nombre des permuta- tions de ces choses sera dii^isible par p. Par exemple , cinq choses A, A, A, B, B peuvent se disposer de dix manières diflférentes, La démonstration de ce théorème se déduit facilement de la théorie connue des permutations. En ejBPet, supposons que, parmi ces p choses, il y en ait a égales kA^b égales k B^c égales à C, etc. , desorte qu'on ait a-(-ô-|^c+ etc.=/7, les nombres^, b,c, etc, pouvant aussi désigner l'unité. Le nombre des permutations sera = i.3..a.i.'2.%.V.2^...c. etc. ' ""^ ^^ numérateur est évidemment di^ visible par le dénominateur , puisque le nombre des permutations est entier -, mais il est divisible par p , tandis que le dénomina- teur, qui est composé de facteurs plus petits que p , n'est pas divi- sible par;? ( n'. i5) ; donc le nombre des permutations sera divi- sible par p. Nous espérons cependant que la déxnonstration suivante ne dé- plaira pas à quelques lecteurs. C) En eîFet si a' n'était pas le plus grand commun diviseur de ^, B, C, il y en aurait un plus grand que k'. Or celui-ci divisera A et B , partant il divisera *-^-f-^j5 ou A , ce qui est absurde. D ^6 HECHETICHES Lorsque dans deux permutations l'ordre des choses ne différera qu'en ce que celle qui tient la première place dans l'une, en occupe une différente dans l'autre , mais que du reste toutes les autres choses, à partir de celle-là, suivent le même ordre dans cha- cune des permutations , de manière que la dernière de l'une se trouve placée immédiatement avant la première dans l'autre-, nous les appellevons permutations seuib/ables (*). Ainsi ABCDE GtDEABC, ABAAB et ABABA seront semblables. Or comme chaque permutation est composée de p choses , il est clair qu'on pourra en trouver p — i , semblables à une quelconque d'entre elles, si l'on met successivement à la seconde , à la troi- sième place, etc. , la chose qui occupait la première ; donc si au- cunes de ces permutations semblables ne sont identiques , il est évident que le nombre total des permutations sera égal à p fois le nombre des permutations dissemblables , et conséquemment sera divisible par p. Supposons que deux permutations semblables PC . . . TV. .,YZ, V,., rZPQ ...T puissent être identiques , et que P qui occupe la première place dans la première , occupe la 71 -|- i^'^'"*^ dans la seconde : on aura dans la dernière série le „ ^ litme ferme égal au i^s le /z+2'^™*= égal au s'^™*', etc., d'où résulte que le a/z-f-i'"'"^ est encore égal au premier, et par- conséquent le 3/2+ i^*^*"^, et généralement le A-/z + 77z>^'"« égal au ;^^icme ^ où quand kn-^^m^p , il faut imaginer qu'on reprenne tou- jours par le commencement , la série V. . . VZPQ. . . .T, à moins qu'on ne retrapche de kn-^jn, le multiple de/7, qui en approche le plus en moins ). Cela posé , si on détermine k de manière que kn^i (mod.p), ce qui peut toujours se faire, puisque p est premier, il suivra de là que généralement le W*'^^ terme serait égal au 772_j-.iième ^ c'est-à-dire qu'un terme quelconque serait égal au, sui- vant , ou que tous les termes seraient égaux entre eux, ce qui est contre l'hypothèse. 42 Si les coefficiens 2iy b, c, etc» , n^ a% b'„c', etc, , fi^yd0_ deux fonctions de la forme (*) Si l'on écrivait en cercle les permutations semblables, de manière tjûfe" la dernière chose touchât à la première, il ii'y aurait aucune différence ejitxe elleay parcequ'aucune place ne peut s'appeler la première ai la dernière. / „. ''\l -j-K» ARITHMÉTIQUES. 27 50«^ /oz/5 rationnels , mais non pas tous entiers , et que le pro- duit soit x'"-+-'"'+Ax'"-+-"''-'-f.. . .-{-^JescoefficietisA, B,C; etc. , N ne peui^entêtre tous entiers* En effet, réduisons à leur plus simple expression tontes les frac- tions qui peuvent se trouver parmi les nombres a^ by c , etc. j a' f h' y d , etc. j et choisissons un nombre premier/? qui divise un jou plusieurs des dénominateurs de ces fractions. Supposons que p divise le dénominateur d'un coefficient fractionnaire de (P), il est clair qu'en divisant (Ç) paryt?, on aura aussi dans ^-^ au moins un coefficient fractionnaire dont le dénomi- P nateur sera divisible par p ( le coefficient du premier terme -, par exemple ). Or on voit facilement qu'on pourra toujours trouver qn terme fractionnaire de (P) dont le dénominateur contienne yo élevé à une puissance plus grande que dans tous les termes qui précèdent, et non moindre que dans tous ceux qui suivent. Soit ce terme Gx^ et t l'exposant de p dans le dénominateur. On trou- vera un terme pareil dans ^^^ , que nous supposerons être Yx^ , l'exposant de p dans le dénominateur , étant t ; on aura au moins /-f-T=2. Cela posé, le terme x^ ^ du produit de(P)par (>2. Admettons donc que la con- gruence Ax'"'^Bx'^-'-\-eic.'\-Mx-\'N^^o ,3tii au moins 7724-1 racines ^^ a, x^^, x^y, etc. 5 et supposons que tous les nombres a, /S , y, etc., sont positifs et plus petits que p , ce qui est permis , et en outre que a soit le plus petit. Faisons dans la congruence proposée jc^y-f-a, elle deviendra ^^"'H-iB>"':r' 4- etc. 4-ilfy4-iV'=o. ARITHMÉTIQUES. ^^ Or il est évident que cette congruence sera satisfaite si^-^o ou ^/3 — a, ou ^y — CL, etc., racines toutes différentes, et en nombre ^-f-i; mais de ce que j—o est une racine, il suit que IS' est divisible par p , on aura donc jK (^j-->-|-^'jK--^+ etc. H- M') ^o ( mod.;;) ,^.^ , . ^ congi'uence qui sera satisfaite, en y substituant à la place de r une quelconque des m valeurs : /3 —oc, 5. — et, etc., qui sont toutes > o et <;7. Parconséquent , dans ces différens cas,. :^j'"--f-^>'"--|-etc. +M' deviendra =o(n° 22); c'est-à-dire que la congruence ^JK—' +i5>'"- + etc. 4-iI/' = o qui est du degré '^y i^, aurait 772 racines; ce qui ne s'accorde pas avec notre théorème , quoique nous ajons supposé que toutes les congruences d'un degré inférieur à ttz, 7 satisfissent; ce qui est absurde. 44. Nous avons supposé ici que le module p ne divisait pas le coefficient du premier terme; mais le théorème n'est pas restreint a ce seul cas. En effet, si le premier coefficient, et même quel- ques-uns des suivans étaient divisibles par ;;, on pourrait les né- gliger sans erreur, la congruence serait réduite à un degré in- teneur,^ et le coefficient du premier terme ne serait plus divisible par;;, à moins que tous les coefficiens ne le fussent, auquel cas la congruence deviendrait identique , et l'inconnue serait ab- solument indéterminée. Lagrange est le premier qui ait proposé et démontré ce théo- reme (Mémoires de l'Académie de Berlin, ann. 1768, p 102) J T 'T'Z T'' ^^"' ^^ Dissertation deLegendre, int'ituiéê Recherches d^ Analyse indéterminée ( Histoire de l'Académie de Pans , 1785, p. 466 ). Euler dans les Nouveaux Commentaires Académiques. Pétersb. XVIII, ;;. gS , a démontré que la con- gruence ^''-. 1 ^o ne pouvait pas avoir plus de n racines. Quoique cr ne soit qu'un cas particulier, la méthode dont ce célèbre Géo- «.etre s'est servi,peut s'appliquer facilemen t à toutes les congruences. 11 s était déjà occupé d'un cas plus particulier ( Comment. Ac. retersb. V. p. 6); mais cette méthode ne peut s'employer gêné- 5ô RECHERCHES ' ralement. Dans la section VIII, nous démontrerons ce tliéorême d'une autre manière-, mais quoique toutes ces méthodes puissent paraître différentes au premier aspect, les gens instruits qui vou- dront les comparer, s'assureront aisément qu'elles partent toutes du même principe. Au reste ce théorème ne devant être consi- déré ici que comme tin lemme , et l'exposition complète n'appar- tenant pas à cette section , nous ne nous arrêterons pas à parler des modules composés. 1 .' • ■ Lia ?.:v> \ 1 . .1 ^"' !''r;hn'3i7or' .ovîîirfv '.'.•) .t j'JUOiJjg Mni'i'^ ifr i(jqi;'&l;jO(j,iv'j j^. j. ARITHMETIQUES. 5î SECTION TROISIÈME. Des Késidus des Puissances, 45. Ihéorème. Dans toute progression géométrique . . . . i , a% a^ etc. , outre le premier terme i , il y en ^ encore un autre a' congru à l'unité suii^ant le module p premier ai^ec a , Vex* posant t étant < p. Puisque le module /7 est premier avec a, et parconséquent avec une puissance quelconque de a, aucun terme de la progression ne sera ^o ( mod. /? ), mais chacun d'eux sera congru à quelqu'un des nombres i, 2, 3, 4'--yP — i» Comme le nombre de ces der- niers est p — I y il est évident que si l'on considère plus de;?^i , termes de la progression , ils ne pourront pas avoir tous des résidus minima difFérens. Ainsi parmi les nombres \ ^ a" , a^ . . .a^~^ , on en trouvera au moins deux congrus. Soit donc a'^^a" etm^/z , on aura, en divisant par rt" (n'^a2), a"^""^'!-^ oà m — 7z<;?et>o. Exemple. Dans la progression i, 2^, 4> ^ f ^tc. le premier terme qui est congru avecl'uuité suivant le module i3, se trouve être 2"=4o96, mais suivant Iç module 23 , on a dans la même pro- gi'ession /2"=2o48=i ; (^e même 5^= i5625^ i ( mod. 7 ) 3 et 5^ ^ 5i25^ I ( mod. i l'j.^'Ainsi dans^quelques cas la puissance de ^congrue av&c l'unité y est plus pétiïb cjue'û'^^V^tdi^ns d'autres, il Fatatt remonter jusqu'à la puissaùce^^)D^-v-'i^^ëlle-raême. 46. Quand la progression est coi^tinuée au delà du terme jqui est congru à l'unité , on reti*6uvéra les mêmes résidus cju^on avait Aip€H-tir du conïmenrcement, Aifï&i > is^t a'^ ï , on atiraa'^^'^a, :«^"*''^3flt^!, «te, ^ jusqu'à ee qii'bn pa^t^iennôaii terme «^S dont le résidu minimum sera de nouveau ^ i j -tt^tt péri'ûd^ i^i résidus 52 RECHERCHES recommencera. On aura ainsi une période de t résidus qui se ré- pétera continuellement, et l'on ne pourra trouver un seul résidu qui ne fasse partie de cette période. On aura en général «""^i et a™'*'"^a" j ce qui peut se présenter ainsi suivant notre notation : si r ^ p ( mod. / ) , on aura a^^a ( mod. p ), 47. Ce théorème fournit le mojen de trouver facilement les résidusdes puissances, quelle que soit la grandeur de l'exposant dont elles sont affectées , en même temps qu'on découvrira la puis- sance congrue à l'unité. Si, par exemple, on demande le reste de la division de 5'°°° par i3, comme 3^^i (mod. i3) , on a / = 3 , et comme d'ailleurs 1000^ i (mod. 3), on trouvera 3'"°° ^5 (modi 3), 48. Si a' est la plus petite puissance congrue à l'unité, (en exceptant «"= i , cas que nous ne considérons pas ) , les / restes qui composent la période seront tous différons, comme on le voit sans difficulté par la démonstration du n° /^S, Alors la proposition du n" 4^ psut être renversée. Savoir, si a'^^a'' {moà. p) , on aura m^n (mod./) : car si w et tz étaient incongrus suivant/, leurs résidus minima fi et v seraient différens. Mais a ^ «"• , a ^"j donc a ^a , c'est-à-dire, que toutes les puissances au dessous de a' ne seraient pas incongrues, ce qui est contre l'hy» pothèse. Si donc a^^i (moà.p), on aura ^^o (mod./), c'est-à-dire que k sera divisible par /. Nous avons parlé jusqu'ici de modules quelconques, pourvu qu'ils fussent premiers avec a, A présent examinons à part les mo- dules qui sont des nombres premiers absolus, et établissons sur ce fondement des recherches plus générales. 49. Théorème. Si p est un nombre premier qui ne divise pas a^ et que a} soit la plu^s petite puissance de a congrue à r unité » l'exposant t sera =p — i , ou une partie aliquote de p — i. Voyez pour des exemples le n*" 4^» Comme nous avons déjà prouvé que / est c=: ;t7 -** i ou <^pr-^ir^ il reste à faire voir que dans le dernier cas il est toujours une partie aliquote de/?-^— i. ')7ijon ;:>j hvjî \\\\i\\\\\^\M ubiè^i ARITHMETIQUES. 55 I*. Rassemblons les résidus minima positifs de tous les termes, I, «, a% a'. . .a'"', et désignons-les par et, a', a.\ etc. desorte qu'on ait cL^ i , ot! ^ a y ai ^ a" f etc. il est visible qu'ils seront tous difFé- rens ; car si deux termes a"", a" donnaient les mêmes résidus , on aurait ^-"'~" = i (en supposant m'^n et m — n<:it)', ce qui est absurde , puisque a* est la plus petite puissance de a congrue à l'unité. Au reste tous les nombres a , a , a" , etc. sont compris dans la série 1,2, 5, 4 p — i, série qu'ils n'épuisent pas lorsque t<,p — I. Nous désignerons par (^) la somme de tous ces résidus, et {A) comprendra un nombre t de termes. 2'. Prenons un nombre quelconque /3 , parmi ceux de la série I, 2, 5. . ./? — I qui manquent dans {A), Multiplions /3 par a, a, a.', etc. et nommons /3, /S', /S", etc. les résidus minima qui en proviendront , et qui seront aussi en nombre t. Ces résidus seront différensentr'eux , et différeront des nombres a, a,', cl", etc. En effet, si la première assertion était fausse, onaurait^û'"^/3«",d'oii l'on tire, en divisant par /3, a'"^a": ce qui est contre ce que nous venons de démontrer : si la dernière l'était, on aurait /2û'"^û"j d'où, quand 7z>77z, /S^û"""*, c'est-à-dire que /3 serait congru à quel- qu'un des nombres et, a', a.", etc. : ce qui est contre l'hjpotbèse ; mais si n<^m, on aura, enmultipliant par a'~'", /3^'^ «'"*'""'", ou, comme a'^i, /3^<2'~<^'"~"5, d'où résulte la même absurdité. Désignons par {B) la somme des nombres /3, /3', ff, etc. qui sont en nombre /; on aura déjà 2t nombres parmi ceux-ci i, 2, Z..,.p — i» Donc si {A) et (jB) épuisent cette série, on aura tz=. ^ — . 3\ Mais s'il en manque quelques-uns , soit y un de ceux-là. Multiplions a, af, ce", etc. par y , et soient y, y' y y y etc. les ré- sidus minima de ces produits , dont nous désignerons l'ensemble par (C); (C) comprendra ^nombre pris dans la série 1,2, ^,..p — i qui seront tous différens entr'eux et non-compris dans {A) et {B). Les deux premières assertions se démontrent comme ci- dessus (2°)-, quant à la troisième, si l'on avait ya'^^jea", on en tirerait ^^/Sa"""*, ou ^^/3a'~<^'"~"^, suivant que m <« ou >7z. Dans l'un ou l'autre cas y serait congru à quelqu'un des nombres qui composent {B) -, ce qui serait contre l'hypothèse. On aura ainsi 5^ 54 RECHERCHES nombres pris dans la série 1,2, 3...yo — i,et s'il n'en reste plus , f =:^^^, conforme m -Mit au théorème. o 4°. Mais s'il en reste encore quelques-uns , on arrivera de mêm^ à une quatrième somme de nombres (D) , etc. j et comme I4 série i ,2 ,5 , etc. p- — i est finie, on voit que l'on parviendra né- cessairement à l'épuiser, et p — i sera un multiple de ^ j donc t sera une partie aliquote de p — i. 5o. Puisque ^^ est un nombre entier , il suit qu*en élevant chaque membre de la congruence «'^i (mod.;;) à la puissance ^^ , on aura a''~'^ i (mod.p)', c'est-à-dire, que af~^ — i sera touJQur^ divisible par p quand p est premier et qu'il ne diuise pas a. Ce théorème remarquable , tant par son élégance que par sa grande utilité, s'appelle ordinairement théorème de Fermât, du nom de V inventeur. (F ermatii opera Mat h, Tolosœ iG'j^.FoLp, i63.) Fermât n'en a pas donné la démonstration, bien qu'il ait assuré qu'il l'avait trouvée. Euler en a le premier publié une dans la Dissertation intitulée : Démonstration de quelques théorèmes relatifs aux nombres premiers. ( Comra, Ac. Pétrop. T. viii) (*); elle est tirée du développement de (a-|-i)% qui fait voir par la forme des coefficiens, que (a-f-iy — a^ — i est toujours divisible par p, et que parconséquent («-|-i)^ — (^a-\'\') le sera si a^ — a l'est. ^Of comme i''— • i est divisible par/7, 2P — 2 le sera donc, et partant S'' — 3, et généralement a^-^a. Donc si p ne divise pas a, on aura aussi a^"' — i divisible par p. Ce que nous venons de dire suffit pour faire connaître l'esprit de la démonstration. (*) Antérieurement (Comm. Petr. T. VI. p. 106) ce grand homme n'était pas parvenu encore au but. Dans la fameuse discussion entre Maupertuis et Konig , *ur le principe de la moindre action , discussion qui les fêta dans des digressions étrangères , Konig assura q.u'il avait entre les mains un manuscrit autographe de Leibnitz, qui contenait une démonstration de ce théorème conforme à celle d'Euler {Appel au Public, p. 106). Quoique nous ne ypulioijis pas refuser de croire à ce témoignage, il est sûr cependant que Leibnitz n'a jamais pujslié s» démonstration. {Voyez Hist, de l'Acad. de Berlin. 1750. p. 53o). ARITHMÉTIQUES. 55 Lambert en a donné une semblable, { Acta eruditorwn, 1769, p. 109. ). Mais comme le développement de la puissance d'un binôme semble étranger à la théorie des nombres , Euler (Comm. nov. Petrop. T. viii, p. 70.) donna une autre démonstration qui est conforme à celle que nous venons d'exposer. Dans la suite il s'en présentera encore d'autres : ici nous nous contenterons d*en donner encore une déduite du même principe que celle d'Euler. La proposition suivante , dont le théorème en question n'est qu^iu cas particulier, nous sera utile pour d'autres recherches. 5i. 5/ p est un nombre premier , la puissance p du -polynôme' a-{- b -j- e-f- etc, e^^ ^ aP -j- bp^- cp + etc, suivant le module p. On sait que (a-f-Z'-j-^+etc.)'' est composé de termes de la forme Pa^b c^ etc. où l'on a a-f-/3 + ^+ etc. =;r7 , /^ étant le nombre de permutations de p choses, dont a, /S, y, etc. sont respectivement égales à a, b, c , etc. Mais nous avons fait voir (n° 40 que ce nombre était toujours divisible par p, à moins que toutes les lettres ne fussent égales entr'elles 5 c'est-à-dire, à moins que l'un des nombres a, /S, y, etc. ne fût égal kp, et les autres égaux à zéro j d'où il suit que tous les termes du développement , excepté flP, b^ , etc. sont divisibles par p , et que parconséquent (a -f- ^ 4- c -4- etc. y ^ a^ -{- b^ -\- cP -{- etc. ( mod. p). Si toutes les quantités a, b , c , etc. sont supposées =r i, et que leur nombre soit X: , on aura kf^k, comme dans le n'* pré- cédent. 52. Comme les nombres qui sont diviseurs de ;? — i sont les seuls qui puissent servir d'exposans aux plus petites puissances congrues avec l'unité , on est porté à chercher si tous les diviseurs âe p — I jouissent de cette propriété ; et , quand on classe tous les nombres non divisibles par ;; suivant l'exposant de leur plus petite puissance congrue à l'unité , combien il j en a pour chaque exposant. Nous observerons d'abord qu'il suffit de considérer les nombres positifs depuis i jusqu'à p — i : il est évident en effet que les nombres congrus doivent être élevés à la même puissance pour devenir congrus à l'unité , et que parconséquent un nombre quel- conque doit être rapporté au même exposant que son résidu ininimum 5(5 RECHERCHES positif; ainsi nous avons à rechercher comment les nombres 1,2,5 p — I, doivent être distribués sous ce point de vue, relativement aux facteurs de p-^ i. Pour abréger, si d est un des facteurs deyO — i, entre lesquels on doit compter i et ;; — i, nous représenterons par %[/f/ la multitude des nombres positifs plus petits que p , dont la puissance d est la plus petite qui soit congrue à l'unité. 53. Pour nous faire entendre plus facilement, nous présente- rons d'abord un exemple. Soit p=ig, les nombres i , 2, 5. . . i8 peuvent se distribuer de la manière suivante relativement aux diviseurs de 18 : Ainsi dans cas 41 = 1, 42=1, 43 = 2, 46=2, 4.9=6,: 4.18 = 6. Avec une légère attention on voit qu'il j en a, rela- tivement à chaque exposant, autant qu'il j a de nombres premiers avec cet exposant et non plus grands que lui , ou bien , en reprenant le signe du n° 40 , que ^d= çd. Mais on peut démontrer géné- ralement cette observation de la manière suivante : 1°. S'il J a un nombre a appartenant à l'exposant d, c'est-à-dire dont la puissance d soit congrue à l'unité , et les puissances infé- rieures incongrues , toutes les puissances de ce nombre , savoir a, a% a^, a^ a"^^ ou leurs résidus minima, auront leur puis- sance d congrue avec l'unité ; et comme cela peut s'exprimer en disant que les résidus minima des nombres a, a% a^, ... a^ qui sont tous différens sont les racines de la congruence jc'' = i , qui ne peut avoir plus de d racines différentes , il est évident qull n^j a pas de nombres autres que les résidus minima de a, a"" a% . . . a^ dont les puissances d soient congrues à l'unité ; d'où il suit que les nombres appartenans à l'exposant d se trouvent tous entre les résidus minima des nombres a , a\ a% , . . a\ On déterminera comme il suit quels ils sont et quel est leur nombre. Si k est un nombre premier avec d, toutes les puissances de a', dont les exposans sont ^d, ne seront pas congrues à l'unité. Soit en cffet^(mod. û?} = w (vojez n* 3i); on aura a"^~a) donc si la ARITHMÉTIQUES. 5; puissances de fl'^ était congrue à l'unité, et que Ton eûts <«?, on au- rait aussi ^^'"' ^ I , et parconséquent a'^ijCe qui est contre l'hjpo- thèse. Il est évident , d'après cela , que le résidu minimum de a' appartiendra à d; mais si â: a un commun diviseur é' avec d , le résidu minimum de a" n'appartiendra pas à l'exposant d. Car ^ est divisible par d, ou bien y = o ( mod. d) -, parconsé- kd d quent a '^ = I ; c'est-à-dire (a'/= i. Nous conclurons de là qu'il y a autant de nombres appartenans à l'exposant d , qu'il j a de nombres premiers avec d dans la série i , i, Z. ..d. Mais il faut se souvenir que cette conclusion suppose qu'il existe déjà un nombre a appartenant à l'exposant d) parconséquent il reste dou- teux s'il ne pourrait pas se faire qu'aucun nombre n'appartînt à un exposant donné, et la conclusion se réduit à 'vj/r/=o^ ou ;=(^d, 54. 2% Soient d, d' , d", etc. les diviseurs de ;? — i ; comme tous les nombres 1,2, Z.,.p — i doivent être distribués entre ces diviseurs, on aura '\>d'\-'^d' -{--^d" -{-eic.z^p — 1. Mais (n° 40) nous avons démontré que (p^ j ce qui s'étend à -nJ/^/ et (pd', etc. Si donc un ou plusieurs des nombres -^d, -^d' , etc. étaient plus petits que son correspondant parmi les nombres (pd , (pd', etc. , la somme des premiers ne pourrait être égale à la somme des derniers. D'où nous concluons enfin que dans tous lés cas, '\^d=. i . Il suit de là que ce quotient sera un ARITHMÉTIQUES. ^ âes nombres premiers a, b, c, etc. , ou du moins qu^ii sera .divi- sible par quelqu'un d'eux (n° 17) , par a, par exemple, car le r^ison- nement est le même pour les antres, t divisera ainsi ^—^-j donc le produit ABC etc. serait encore congru à rimitç,.^.^; l'élevant à Ja puissance ^ ~^ ^ ( n° 4^). Mais il est évident ^ue loué les nombres, B , C, D, etc. (excepté A) deviennent congrus àruuité, $i on les élève à la puissance ^"" ^ , puisque les exposans auxquels ils appartiennent b , c^, etc. divisent^ — — . Donc y^ " . B t* Is'jJifl'iii C " . etc. =-^ " —l'y donc a^ doit diviser ^^=^ (n^ 48), c'est- à-dire que ^^\ doit être entier, ce qui est absurde (u° i5). Donc a enfin notre supposition ne peut subsister, c'est-à-dire que le pro- duit-^^SC etc. appartient réellement à l'exposant p — 1. La dernière démonstration semble un peu plus longue que la première , mais elle est plus directe. 56, Ce théorème nous fournit un exemple remarquable de la circonspection dont on a besoin dans la théorie des nombres,, pour ne pas regarder comme démontrées des choses qui ne le sont pas. Lambert, dans la Dissertation que nous avons citée plus haut , fait mention de cette proposition , mais ne dit pas un mot de la nécessité de la démontrer. Personne même n'a tenté de le faire , excepté Euler ( Comm. nop» Ac, Pétrop. T, xvjii ^ p. 85)^ dans son Mémoire intitulé : Demonstrationes circa residua ex divi- sione potestatum per numéros primons resultantia. On peut voir surtout l'art. Sy , dans lequel il a parlé avec étendue de la nécessité de démontrer cette proposition. Cependant la démon^ration de cet homme pénétrant présente deux défauts ) l'un tient à ce qu'il sup- pose tacitement , art. 5i et suivans, que la congruence a"^!, (en ramenant ses raisonnemens à notre notation) a réellement n racines différentes, tandis qu'il était seulement démontré que cette congruence ne peut en avoir davantage j l'autre , à ce qu'il ne déduit que par induction la formule du n° 54. 4o RECHERCHES 5/. Nous nommerons avec Euler, racines primitives les nom- bres qui appartiennent à l'exposant/? — i. Si donc a est une racine primitive , tous les résidus minima des puissances a, a*, a^, . . .W~^ seront difFérens \ d'où l'on déduit facilement qu'ils se trouvent tous parmi les nombres i,2,3,..,;p-— i qui sont en même nombre qu'eux , c'est-à-dire que tout nombre non divisible par p est congru à quelque puissance de a. Cette propriété remarquable est d'une bien grande utilité , et peut considérablement abréger les opérations arithmétiques relatives aux congruences , à peu près de la même manière que l'introduction des logarithmes dans l'arithmétique ordinaire en abrège les opérations. Nous prendrons arbitrairement pour Z>a^^ une racine primitive a, à laquelle nous rap^ porterons tous les nombres non divisibles par p ; et si on a «^ ^ ô ( mod.^p ) , nous appellerons e 17/2^/^^ de b* Par exemple, 2 est une racine primitive suivant le module 19 ; si on la prend pour base , aux nombres 1 , 2 , 3,4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 répondront f _ ^ , „ „ ' ^ ^ lesindicesl°' ^' ^^'^' ^^' ^'^^ 6,3,8,17,12,16, 5, 7,11, 4,10, g. Au reste il est évident que pour la même base chaque nombre a plusieurs indices, mais qui seront tous congrus suivant le mo- dule p — I j aussi quand il sera question d'indices , ceux qui seront congrus suivant le module p — i, seront regardés comme équivalens, de même que les nombres sont regardés comme équi- valons lorsqu'ils sont congrus suivant le module p, 58. Les théorèmes qui regardent les indices sont absolument analogues à ceux qui regardent les logarithmes, Uindice d'un produit de tant de facteurs gu*on voudra , est congru à la somme des indices des differ ens facteurs y suivant le module p — i , L* indice de la puissance d*un nombre est congru , suivant le module p — \ y au produit de V exposant par V indice du nombre donné. Nous omettons les démonstrations à cause de leur simplicité. On voit par là que si nous voulions construire une table qui donnât ARITHMÉTIQUES. ^i donnât les indices de tous les nombres pour dijBférens modules, nous pourrions nous dispenser de tenir compte de tous les nombres plus grands que le module et de tous les nombres composés. On trouvera à la fin de cet ouvrage un essai de cette table ( Tab. Ii). Dans la première colonne sont rangés les nombres premiers et les puissances de nombres premiers depuis 5 jusqu'à 97, qui doivent être regardés comme des modules: à côté de chacun d'eux, dans la colonne suivante, les nombres pris pour bases \ suivent alors les indices des nombres pre- miers successifs , qui sont écrits par tranches composées de cinq cha- cune \ en tête se trouvent les nombres premiers disposés dans le même ordre. Desorte qu'on peut trouver facilement l'indice qui répond à un nombre premier donné , suivant un module donné. Soit par exemple ^0=67^ l'indice de 60, en prenant 12 pour base, sera =2lnd.2 + Ind. 3-i-Ind. 5 (mod. 66) = 584-94-39=40. 59. L'indice de la valeur d'une expression quelconque r (mod. p) , (n° 3i ) est congru suivant le module /t? — i , à la différence des indices du numérateur a et du dénominateur h , pourvu que les nombres a et Z> ne soient pas divisibles par p. Soit en effet c une valeur quelconque de cette expression, on aura hc^^a (mod./?)^ donc Ind. b-^-lnà, c^Ind. a (mod. p — i ) , et Ind. c ^ Ind. a — Ind. b. Si donc on a deux tables , dont l'une donne les indices qui ré- pondent à chaque nombre pour un module quelconque , et dont l'autre donne les nombres qui répondent à des indices donnés , on pourra résoudre facilement toutes les congruences du premier degré , puisqu'on peut toujours les ramener à d'autres dont les modules soient premiers (n° 5o). Soit par exemple la congruence 29:1: 4-7^0 (mod. 47 )> on aura Delà înd.a:=Ind.— .7— Ind.29=Ind.4o— Tnd.29=i5— 45=i8(mod.46)j F b 4a RECHERCHES or 5 est le nombre qui a pour indice iS-, done :c^5 (mod. 47)» Nous n'avons point ajouté la seconde table , mais on verra dans la section VI comment on peut la remplacer par une autre. 60. De même que dans le n° 3i nous avons désigné par un signe particulier^les racines des congruences du premier degré, dans ce qui va suivre, nous représenterons par un autre signe les racines des con- n gruences à deux termes des degrés supérieurs -, et comme \/^ ne signifie autre chose que la racine de l'équation jc"=^', en ajou- n tant le module , \/^ ( mod. p ) représentera une racine quel- conque de la congruence x''^A ( mod. p ). Ainsi nous dirons que n l'expression {/y4 (mod. ^) a autant de valeurs qu'elle en a d'in- congrues suivant p-, car toutes celles qui sont congrues suivant ;t7 doivent être regardées comme équivalentes (n° 26), Aureste il est clair n que si ^ et ^ sont congrus suivant p, les expressions v/^ (mod. p) , n y/B (mod./?) seront équivalentes. n Maintenant si l'on fait \/A^a: (mod. ;t7), on aura n Tnd. :r ^Ind. ^4 ( mod. /?— i ). On déduit de cette congruence , d'après les règles de la section II , les valeurs de Ind. :r, et de là les valeurs correspondantes de x; mais on voit facilement que x a autant de valeurs qu'il j a de racines dans la congruence n n Ind. jr^Ind. A ( mod. p — i ) j donc \/A n'aura qu'une va- leur, quand n sera premier avec;»— i , mais lorsque /z et p — i, au- ront un commun diviseur, et que J" sera le plus grand , Ind. x n aura cT valeurs incongrues suivant p — i , et parconséquent {/A aura autant de valeurs incongrues suivant p , pourvu que Ind. A soit n divisible par cT. Sans cette condition, \^A n'aurait aucune valeur réelle. Si l'on cherche par exemple les valeurs de l'expression \/ 11 (mod. 19), il faut résoudre la congruence iSInd. ^r^Ind. 11^-6 (mod. 18), on trouvera trois valeurs de Ind, 0:^4^ lo, 16, (mod. 18), d'où il résulte" :r^6, 9, 4* ARITHMÉTIQUES. 4^ 61. Quoique cette méthode soit très-expéditive , quand on a les tables nécessaires, nous ne devons cependant pas oublier qu'elle est indirecte j il sera donc utile de chercher ce que peuvent donner les méthodes directes. Nous allons exposer ici les observations que l'on peut déduire des notions précédentes j quant à ce qui exige des consi- dérations plus profondes , nous le réserverons pour la section VIII. Nous commencerons par le cas le plus simple j celui 011-^=1, c'est- à-dire, dans lequel on cherche les racines de la congruence x"^i (moâ.p). En prenant pour base une racine primitive quelconque, on doit avoir n Ind. jr^o (mod./?— «i ). Quand n est premier avec j)- — I , Cette congruence n'aura qu'une seule racine, savoir R Ind. 0:^0 (mod. p — ^i)-, donc, dans ce cas \/i (mod./?) n'aura ••■- jr^ j ou qu il aura J^ valeurs incongrues suivant le module/? — i; donc aussi, dans ce cas , x aura J' valeurs incongrues suivant p. On voit aussi que l'expression \/i (mod. p) a aussi J" valeurs dont les indices sont absolument les mêmes que les précédens ; donc l'expression [/i n (mod. p) est tout- à-fait équivalente à l'expression \/i (mod./?), ou ce qui revient au même, la congruence x ^i (mod. /?) et la congruence x"^! (mod./?) ont les mêmes racines-, mais la première est d'un degré inférieur à moins qu'on n'ait S =71, i5 Ex, y/i (mod. 19) a trois valeurs, parceque 5 est le plus grand commun diviseur de i5 et 18^ elles seront également celles de l'ex- 3 pression \/i (mod. ig). Ces valeurs sont i , 7, 11. 62. Cette réduction nous offre un grand avantage, puisqu'on n'a plus besoin de résoudre parmi les congruences de la forme .i"^ i(mod./>) 44 HECHEKCHES que celles où ?i est diviseur du module diminué de l'unité. Mais nous ferons voir plus bas que les congruences de cette forme peuvent encore s'abaisser davantage, quoique ce qui précède ne suffise pas pour cela. H J a cependant un cas que nous pouvons traiter ici à fond , celui où n = 2. Il est évident en effet que les valeurs a de l'expression \/i (mod. p) seront -\-i et — i , puisqu'elle n'en peut avoir plus de deux, et que +1 et — i sont incongrus, à moins que le module ne soit =2, cas auquel il est clair que \/2 n'aurait qu'une seule valeur. Il suit de là que+i et — x sont aussi les valeurs de l'expression \/i (mod. p)t quand m est premier avec '- , ce qui arrivera toujours lorsque le module sera tel que ^^ soit un nombre absolument premier-, par exemple, quand ;?=3, 5, 7, 11,23, etc. ,, à moins que p^- 1 =3/72, cas auquel tous les nombres 1,2, 3. . ./? — I sont racines. Remarquons, comme conséquence, que l'indice de — 1 est toujours ^^ — ^ (mod./? — i), quelle qu» soit la racine primitive que l'on prenne pour base j car 2 Ind* ( — 1)^0 (mod.y» — I )*, donc Ind. (—1) sera^o ou ^ 2^; mais G est toujaurs l'indice de -j-i, et +1 et — 1 doivent avoir des indices différens, excepté dans le cas où/7=2 , qu'il n'est pas nécessaire de considérer, n 63. Nous avons fait voir (n^ôi) que l'expression \/^(mod.;7)a«r valeurs différentes ou n'en a absolument aucune, si ^ est le plus grand commun diviseur des nombres neip — i . Or de même que nous avons trouvé que \/A et \/'A étaient équivalentes quand on a^a ^ i , nous n prouverons plus généralement que l'expression ^A peut toujours être ramenée à une autre \/B , à laquelle elle est équivalente. Soit en effet :r"^^, et / une valeur quelconque de l'expression - (mod./) — 1) qui aura toujours (n^ 3i ) des valeurs réelles. De la congruence x^^A on déduit a;'" ^-^'j mais à cause de tn^^^ (mod. p — i) f x'^^x^ \ donc x^^A\ Ainsi une valeur quelconque ARITHMETIQUES. 45 de \/A sera aussi une valeur de \/A'', et toutes les fois que \/A aura des valeurs réelles, elle sera absolument équivalente à Fexpres- sien \^A', puisqu'elle ne peut avoir de valeurs différentes, ni en moindre nombre. Il est vrai cependant que \/A' peut avoir des valeurs réelles, sans que pour cela \/A en ait nécessairement, -^'^^ ai Exemple. Si Ton cherche les valeurs de l'expression \/2 (mod. 3i), le plus grand commun diviseur des nombres 21 et 3o est 3 , et 5 est une valeur de ^ ( mod. 3o ) ; donc si \/2 a . ^ 3 des valeurs réelles, elle équivaudra à l'expression \/2.^ ou \/8; on trouve effectivement que les valeurs de la dernière qui sont 2, 10 et 19, satisfont aussi à la première, 64. Mais afin de ne pas entreprendre inutilement cette opération, il est nécessaire de chercher le caractère auquel on pourra recon- n naître si y^A admet ou non des valeurs réelles. Si on a une table d'indices la chose est facile, car (n*' 60) \/A aura des valeurs réelles quand Ind. A sera divisible par S" , en prenant pour base une racine primitive quelconque, et dans le cas contraire elle n'en aura pas j mais on peut aussi le découvrir sans le secours de cette table. Soit en effet it = Ind. ^, si k est divisible par J^, -^-7^-^ à sera divisible par ;? — i et réciproquement 5 mais l'indice du nombre A est ^ ^ ~" ^ ^ ; donc si \/A (mod./?) a des valeurs P— 1 réelles,^ sera congru à l'unité-, sinon, il sera incongru. Ainsi dans l'exemple de l'article précédent, on a 2'°= 1024^1 21 (mod. 3i), d'où l'on conclut que l'expression ^/2 (mod. 5i)a des valeurs réelles. De même nous voyons par là que y/ — i (mod./?) a toujours deux valeurs réelles, quand/? est de la forme 4'7z-i-i , et n'en a aucune quand /? est de la forme 4'7z-f-5, car. . . (•—I )"'"=! et (— 1)*'"-^' = — I. Ce théorème élégant qui ^B " Recherches s'énonce ordioairement ainsi: Si p est un nombre premier de la forme 4mH-i y on peut trouver un quarré a* qui rende a*-^-i divi' sihle par p*, mais si p est de la forme 4ni — i fOnne le pourra pas, a été démontré de cette manière par Euler ( Comment, noi^. A.c, Petrop. T. XVIII, p. 112, lyyS). Il en avait donné une autre dé- monstration bien antérieurement ^ Co77z^. tzc?/^. T,v , p. 5, 1760); dans une première dissertation (T. iv,p. 25), il n'était pas encore parvenu au but. Lagrange a depuis donné aussi une démonstration de ce théorème (Noui^. Mem. de VAc, de Berlin. ijjS ,p. 542), Nous en exposerons encore une différente dans la section suivante, qui sera consacrée à ce genre de considérations. 65. Après avoir examiné comment on peut réduire toutesles exprès- sions \/A(moà.p) à d'autres dans lesquelles n soit diviseur de /^ — i, et après avoir trouvé le caractère auquel on reconnaît s'il y a des ra- n cines réelles ou non , considérons avec plus de soin les expressions \/A. ■(mod./;), dans lesquelles 72 est diviseur de/? — i. Nous ferons voiï d'abord quelle est la relation qu'ont entr'elles les différentes valeurs de cette expression, ensuite nous indiquerons quelques artifices au mojen desquels on peut le plus souvent trouver une des valeurs. n lO. Quand A^\, etquersera une des valeurs de l'expression \/i (mod. p) , ou que r"^i (mod./»), toutes les puissances de /• se- ront aussi des valeurs de cette expression ; et il y en aura autant de différentes qu'il j a d'unités dans l'exposant auquel r appartient (n° 4^)'^1 donc r est une valeur appartenant à l'exposant n, les puissances r, r" , r^ , r'^.../" (où l'unité peut remplacer la der- n nière) renfermeront toutes les valeurs de rexpression l^i (mod./?). Nous expliquerons plus en détail dans la section VIII comment on petit trouver ces valeurs qui appartiennent à l'exposant /z. 2^. Quand -f4 est incongru à l'unité, et que Ton connaît une R valeur 2 de l'expression \/A (mod. /?), on trouve les autres de la n manière suivante : soient i , r, r*,r^ , ... r"~' les valeurs de ^/i, on aura ;z, zr, zr", zr^ . . .zr''~' pour les valeurs de {/ué", car il est évi- dent que tous ces nombres satisferont à la congruence x"^A', puis-» ARITHMÉTIQUES. 7{ij qu'en effet, si zr^ est un des nombres de la suite; comme r^-^i et que z'^^A , onaurar"*^!, et partant zY"'=(2r')"^-^. Il est aisé de juger que toutes ces valeurs sont différentes (n° 25)j donc l'ex- pression \/ A ne peut avoir d'autres valeurs, puisqu'elle ne peut^n a avoir plus de n. Par exemple, si une valeur de y/ A est Zj l'autre sera — z.,Ou doit conclure de ce qui précède, 'que l'on ne peut trouver toutes les valeurs de \/A , à moins qvi'on ne puisse avoir n toutes celles de }/\, 66. La seconde recherche que nous nous étions proposée, con- siste à déterminer le cas où l'on peut trouver directement une valeur de l'expression }/ A ( mod. /?), dans laquelle n est diviseur de p — I. Cela arrive quand il y a une valeur congrue à une puis- sance de A f et comme ce cas est très-fréquent, il ne sera pas déplacé de s'y arrêter un instant. Soit z cette valeur, si elle existe, on aura z^A" et z^^A (mod. p)-j donc ^^/4^v ©* si l'on peut déter- miner k de manière que cette condition soit remplie. A'' sera la valeur cherchée j mais la condition précédente revient à celle-ci kn^i (mod. f), /étant l'exposant auquel^ appartient. Or pour que cette congruence soit possible, il faut que n soit premier avec^, et dans ce cas on aura ^=^ ( mod. if )j si au contraire / et tz ont un diviseur commun, aucune valeur de z ne sera congrue à une puissance de A. 67. Mais comme il est nécessaire pour cette solution de con- naître /, voyons comment il faut procéder quand on ne le connaît pas. On voit d'abord facilement que t doit être diviseur de ^""^ n ' n lorsque \/A (mod,p) a des valeurs réelles, ce que nous supposons ici. Soit en effet j- l'une quelconque de ces valeurs, on aura (n° 5û) y-'=i^ ety^AÇinod. p); en élevant à la puissance ^—^ les deux membres de la congruence j"^y^, on aura j^-' ^A " ^ i ; d'ailleurs ^'^13 donc^=o (mod. /) (n^ 48). Or si ^^=^ e«t ^ RECHERCHES premier avec n, la congruence kn^i pourra être résolue suîranÉ le module - — , et toute valeur de k qui y satisfera suivant ce module, y satisfera aussi (n^ 5) suivant le module / diviseur de ^-^i donc on trouvera alors ce qu'on cherchait. Si ^^ n'est pas premier avec n , soit q le produit des facteurs premiers de ^^ qui divisent en même temps n) ^^^ sera premier avec n, et si la con^ dition que t soit premier avec n a lieu , t sera aussi premier avec a , et comme il divise - — i-, il divisera donc ^^-— ^; ainsi en résolvant la congruence k?i ^ i Tmod. ^^^V ce qui peut se faire puisque n est premier avec ^ — ^ , la valeur de k satisfera aussi à la con- gruence , suivant le module /. Tout l'artifice consiste à trouver ua nombre qui puisse remplacer t, que nous ne connaissons pas j mais il faut se souvenir que dans le cas où^^ n'est pas premier avec Ug nous avons supposé n premier avec t-, et si cette condition manque, toutes les conclusions sont fausses-, c'est pourquoi, si en suivant té- mérairement les règles, on trouve pour z une valeur dont la puissance n ne soit pas congrue k A',\q résultat prouvera que cette conditioa n*a p^s lieu, et que partant la méthode n'est pas applicable. 68. Mais dans ce cas même , il est souvent avantageux de faire cette recherche: elle offre l'avantage de faire trouver de vraies va- leurs au moyen des fausses. Supposons en effet que les nombres k Qt z aient été convenablement déterminés, mais qu'on n'ait pas z"^-^ (mod./!?). Alors si on pouvait seulement déterminer les valeurs de y/^;» (mod. ;?), ces différentes valeurs étant multi- n pliées par z donneraient celles de \/A : en effet , si ^ est une valeur de ^^ on aura /^"2"^-^; mais l'expression v^— est n A . y {)lus simple que \/ A^ parceque le plus souvent — appartient a un exposant moindre que A \ car §i d est le plus grand commun divj- seup ARITHMÉTIQUES. 49 senrde /et de ç-, — (mod. yy)appar(iendra à l'exposant r/, ce qui se dé- A montre ainsi: puisque ^^y^*, il vient 7^. -r4''"~'^i (mod./c'); mais kn — I est divisible par ^-—^ (n^préc), ^^^ l'est par /,ou^^ P^"^ ^■ D'ailleurs -^ est premier avec ^i donc aussi ^—^ est divisible par -4, ou ^ — ^ par ^, et partant ^/z — i par ^, ou (A'/z — i)r/par/. Donc ^c^n-Oi^j (niod./?)j d'où l'on déduit facilement que — élevé à la puissance r/ est congru à l'unité. Il serait facile de démontrer que — ne peut pas appartenir à un exposant plus petit que d\ mais comme cette démonstration ne peut nous être utile, nous ne nous y arrêterons pas. Nous sommes donc certains que -^ ( mod. p ) ap- partient toujours à un plus petit exposant que A, excepté dans le cas unique où l'on aurait dz=.t. Mais à quoi sert cjue — appartienne à un plus petit exposant que Al II y a plus de nombres qui peuvent être A qu'il n'y en a qui peuvent être —, et quand on a occasion de résoudre plusieurs expressions de la forme y^A, suivant le même module, on y gagne de pouvoir tirer d'une même source la solution de plusieurs. Ainsi,' par exemple, on déterminera au moins une valeur de v/^(mod. 29); si l'on connaît seulement les valeurs de y/ — i ( mod. 2g ) , qui sont ±12, en effet l'on voit sans peine, par les articles précédens, que l'on déterminera d'une manièie directe une valeur quand / est impair, et que d sera = 2 quand t est pairj or il n'y a que — I qui appartienne à l'exposant 2. Exemples, 3 Soit v/3i (mod. 37)-, on a ^ — 1=36, 7z = 3, ^ — =12, et partant 7=5) il faut donc qu'on ait 5X:^i (mod. 4)* ce qui G 5o REGTTERCHItS donne k^5. Donc 2^3 1^ (mod. 37)^6-, l'on trouve effective- 3 vement6^=3i (mod. Sy). Si les valeurs de \/i (mod. 5j) étaient 3 connues, on pourrait aussi determiner les autres valeurs de y/Si: 3 3 or les valeurs de \/i (mod. 5j) sont i , 10, 26) donc celles de \/3i seront 6, 25 , 8. a Soit maintenant \/5 (mod. 37) ; on aura' p — 1==36 , 72=2, —^=18, et partant 9' = 23 donc on doit avoir ak^i (mod. 9), d'où X:^ 5; donc z^ 35^21 (mod. ^j); mais 21* n'est pas congru avec 3, mais avec 34; or on a ^^ ^^ mod. 37)=^ — i et \/ — i (mod. 57) ^±6; d'où l'on tire les vraies valeurs ±6.21 ^dbi5. Yoilà à-peu-près tout ce que nous pouvions exposer ici sur la ré- solution de ces expressions» Il est clair que lé^ méthodes directes de- viennent souvent assez longues-, mais cet inconvénient a lieu dans presque toutes les méthodes directes de la théorie des nombres : Aussi nous n'avons pas cru devoir négliger de faire voir ce qu'on peut en attendre. Il convient aussi d'ohserver que les artifices par- ticuliers qui se présentent à un homme exercé, n'entrent pas dans notre plan. 69. Revenons maintenant àtit racines que nous aVons appelées primitwes. Nous avons fait voir que , si l'on prenait pour base une racine primitive quelconque , tous lés nofmbres dont les indic€$^ sont premiers avec p — 1, étaient aussi des radîhès prinïitives, et qu'il n'j en aurait pas d'autres, d'où nous avons conclu le nombre de ces racines (n° 53) : et comme le choix de celle que l'on prend pour base est en général arbitraire, oh Voit qu'ici, cdrtifiie danslèsloga^ rithmtes, on peut avoir plusieurs systèmes Ç). Chérrfcbons les relation^; qui les lient eritr'eux. Soient aet b deux racines primitives, et miiix> autre nombre. Soitde pluslnd. Z^^/S, quand a eist pHs pcfiit ba^è*,^ Ind. 7n^/À> (mod. p — i }. Soit au conttaire Ind; a^d ylnû. m^v (mod .;7 — I ) dans l'hypothèse où l'on prend Z> pour base; on aura a ^b. (*) Mais ils diffèrent en cela, qxie dans les logàritlrnïes le il'ôthb're ^(fes-systêtUes eet infini , et qu'il est ici égal au nombre des racines J^riBÙtlteé^ c^ les-baaes eoa- gruès prodùièéût évideiruuent les mêmes systèmes. ARITHMETIQUES. 5i ^oncaa ^Z> ^a, d'oùa/3^i (mod./? — i). On trouvera de même v^cLfj., /uL^^v (mod. yD — I ). Si donc on a une table d'indices cons- truite pour la base iz , on pourra facilement la changer en une autre dont la base est b. En effet, si lad. Z>^/3 pour la base a, lad. a sera ^ r (mod. ;?— . i ) pour la base b, et multipliant par ce nombre -tousles indices de la table, on aura tous les indices pour la base b, 70. Mais quoiqu*un nombre donné puisse avoir plusieurs indices, en prenant pour base différentes racines primitives, tous ces indices auront cette propriété commune, que leur plus grand commun divi- seur avec p — I sera le même. En effet , ^ étant un nombre donné , si Ind. A^m pour la base a, et Ind. ^^n pour la base Z», et si leurs plus grands communs diviseurs /-t et v avec p — i sont sup- posés inégaux; soit jtA>-i', ft ne divisera pas n\ mais si Ind. ^^.a pour la base b, on aura (art. précéd.) n^cLin (mod./? — i), et partant ^c divisera aussi ?i. On peut encore s'assurer que ce diviseur commun des indices d'un nombre donné et de /; — i , est indépendant de la base en observant qu'il est égal à^~" ^ , t étant l'exposant auquel appar- « tient le nombre dont il s'agit. En effet, si l'indice est â: pour une base quelconque, ,^ sera Je plus petit nombre (zéro excepté), qui multiplié par^, donne un produit divisible par/7 — :i,ouiaplus petit© valeur de l'expression -r- (mod. p — i)-, mais on déduit sans peine du n° 29 que celte valeur est égale au plus grand commun divi- seur des nombres k et p — i. C^) . _ (*) ï*a dernière (phy^se de L'auteur ne me semble point prouver ce qu'il a avancé ; , iL, s'y. e^t sans dqute, glissé, quelques. f^u,tçs d'impression qui lui ont échappé. Au reste je crois que l'on peut y suppléer de la maaière suivante : Puisque t est le plus petit nombre qui repde kt divisible par p — 1 , ce sera aussi celui qui rendra —r divisible par " , - , d étant le plps grand commun diviseur entre k et p — 1. Or -j et" , - étant premiers entre eux, la plus petite valeur -^e t convenable est' ^^^ ;'doii pii la même table sera- employée à d'autres usages. Mais commeâl. peut -encore rester ici quelque chose d'arbitraire, ainsi qu'on le voit par l'article, précédçj[;i^ nous avons toujours choisi , parmi toutes les racines primitives qui satisfont à la question, la plus petite pour base: ainsi pour ^=r:y3,;on a /=8 et r/=g, 6 a ^-^ = 6 valeurs qui sont 5', 14, 20, 28^ 3g, 40, et nous .avons pris 5, pour base. 73 . La plupart dés niétliôcfëâ qui servent a'trouver les racines primi- tives reposent en grande partie sur le tâtonnement. 6i l'on réunit ce que nous avons dit (n^ 55 j avec ce que nous dirons plus bas sur la résolution de la congruence .r"^i> on aura à-peu-près fout ce qui peut se fa ire, par les méthodes générales. Fluler avoue ( Opus- cula analyt, T. i , p. i52.) qu'il lui semble extrèmenienf difficile d'assigner ces nombres, et que leur nature doit être rangée dans les points les plus épineux de la théorie des nombres; mais on les trouve assez facilement par la méthode suivante. Les hommes exercés préviendront facilement la longueur du calcul par beau- coup d'artifices j mais l'usage les indique mieux que les préceptes. fîH loJiQh'prèn^ra à volonté un nom'br^'jTremieraV&le mocî^iîe/^^^ et souvent le calcul devient plus simple lorsqu'on prend ^ le plus 'petit possible, 2 par exemple; on déterminera sa période ('no46}, c'est-à-dire les résidus minima de ses puissances , jusqu 'à ce que l'on parvienne à une puissance tv', qui aif i pour résidu minimum {^^'^^, Si l'on B.t-=p — I, a sera une racine primitive. (*) Nous désignerons toujours le module par p. ( ) Il est aise de voir qu'il n'est pas nécessaire de connaître ces puissances, car on peut obtenir le résidu minimum d'une puissance au moyeu de la puissance précédente. 54 RECHERCHES 2®. Mais si t/, ou bien enfin par son moyen on déterminera un nombre appartenant à un exposant ^j* : donc, comme les nonibrçs qui résultent de la répétitioa de cette opération ,. apparti^nent à dçs :[ir.i 1 !i :; i. (■•■) On voit facilement parlé ^^ i8 comment on peut ràire cette décomposition: On décomposera^ en facteurs qui soient des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers diîFérens; cbacun d'eux divisera t ou u, ou tous les deux. On écrira sous t ou sous u ceux qui .divisent iouiu. ,Quant,à ceux qui diviseront apt (, peu importe sous lequel on les écrive. Si l'on fait nj.==\e. produit de ceyx qui sont écfits sôus f , n= le produit de ceux qui ppnt écrits sous ,u,, il est évide^it que fn di- visera" f , que n dvviserà ù et quê mn'z==y. ARÎTHMÉTIQUMS. ^ exposans qui vont toujoiirs en augmentant, et sont "ôêàirtïïiôms'clîvi^' seurs de p — i , il est évident qu'on en trouvera enfin un qui appar- tiendra an maximum p*^\ y ce sera la racine primitive. 74. Eclaircissons ceci par un exemple. Soit pp;=.j'^y pour lequel on demande une racine primitive. Essayons d'abord le nombre 2.^ dont la période e§t •' 1.2.4.8. 16.32.64.55.57. I etc. 0.1.2.5. 4- 5. 6. 7. 8.9, etc. Donc puisque 29^ i-, 2 n'est pas racine primitive; Essayons le nombre 3 qui ne se trouve pas dans la période de 2^, sa période est 1 .3. 9.27. 8.24. 72. 70. 64. 46. 65, 49- i- et<;. 0.1.2» 3.4. 5. 6. 7. 8. 9. 19. II . 12 etc. Donc 3 n'est pas non plus racine primitiv^ej mais le plus petit nombre divisible à la fois par les exposans 9 et 12, auxquels 2 et 3 appartiennent, est 36 , qui douce /w=9 et ;2=4» Donc élevant 2 à la puissance | = i, 3 à la puissance ^ = 3, le produit de ces deux puissances est 54, qiii appartiendra à l'exposant 56. Si enfin on cal- eule la période de 54 j et qu'on essaye un nombre qui n'y soit pas contenu, 5 par exemple, on trouve qu'il est racine primitive. 7^. Av^nt d^âbandonner ce sujet, nous présenterons quelques propositions qui ne nou¶issent pa-s indignes d'^attention, à cause de leur simplicité. Le produit de tous les termes de la période d'un nom.hre qiœl'- conque est ^i quand leur nombre ou V expo saut auquel appar- tient le nombre dont il s'' agit est impair y et ^ — i quand il ets pair. Par exemple, pour le module j^>,J'a période de 5 est composée des termes 1 , 5, 12, 8, dont le produit 480^ — i (mod. i5), sui- vant le même module, la période de 5 est composée, des termes 1, 3, 9, dont le produit 27^1 (mod. i5). ' ,- • Soit if l'exposant auquel le nombre appartlentj on peut toujour»^ t*«M*ver (»o 71 ) ujîe base pouf lai]r>elle J'indiiîe du nombre- soit. ^^^- 5^ I^r;ÇHERCHF,S Of^Ii'Âi^ç.e 4i*/prQ^uit.de tpus les tecmes sera donc il. sera- ^ôT'niod. p-^rX, quand. Test impair: et ^" — , quand / est pair. Dans le premier cas, le produit est ^i (mod. p)} dans le second, ^ — i (^moâ.p). 76. Si le nombre du tliéoj'ème précédent est une racine primitive, sa période comprendra tous les nombres 1,2. 5, 4, • • • P — ^ > dont le produit sera parconséquent toujours ^ — .i*, car p — i est ton-' jours pair, excepté dans le cas 011/7=2 , et alors on a indifféremment -f- I ou — I. Ce tliéorème élégant qu'on énonce ordinairement de cette manière : Le produit de tous les nombres plus petits qu'un nombre premier étant augmenté de l'unité , est divisible par ce nombre premier , a été publié par iP^^zri/z^ qui l'attribue à TVilson (^Meditationes Algeb. Ed, 5, /?. 38o)*, mais aucun des deux n'a pu le démontrer, et Waring avoue que la démonstration lui eit» semble d'autant plus difficile qu'il n'j a point de notation par laquelle on puisse exprimer un nombre premier*, pour nous, nous pensons que la démonstration de cette sorte de vérités doit être puisée dans les principes plutôt que dans la notation. Lagrange en a depuis donné ime démonstration (^Noui^. Mém,de F Ac, de Berlin, 1771), dans laquelle il s'appuie sur la considération des coefficiens que l'oa trouve pn dévelçppant le produit (a:+i)Ca:-f-2)(^-f3)... (^4-;,— i): et il fait voir qu'en supposant ce produit ■ ' ===^''-'4-^jcP-^+5a;P-34-etc.+iW!r4-iV', les coefficiens ^, ^, etc. M sont divisibles par pj or sîj^oqmor) ' iV=i .3.3, . . p— - I. Maintenant si ^=1, le produit est divisible par/?; mais alors il sera^i+ iV( mod. />), donc i-|-iVest divisible par/?. Enfin 'Euïer (Opusc. analyt. T. i, /?. 329) en a donné une démons- tration qui rentre dans celle que nous venons d'exposer-, ainsi puisque de tels hommes n'ont pa$ cru ce sujet indigne de leurs méditations ARITHMÉTIQUES. 5; méditations, nous espérons qu'on ne nous désapprouvera pas d'offrir encore ici une autre manière de démontrer ce théorème. 77. Nous dirons que deux nombres sont associés, comme l'a fait F.uler , lorsque leur produit sera congru à l'unité. Cela posé, par la section précédente, tout nombre positif moindre que;^, aura tou- ■jours un nombre associé moindre que p et il n*en aura qu'un-, or il est facile de prouver que parmi les nombres i,2,3,...;9 — i,iln'j a que I tip — I qui soient eux-mêmes leurs associés, car ceux qui jouiront de cette propriété seront donnés par la congruence x'^^x qui ne peut avoir que deux racines i Qlp — i. Supprimant donc ces deux nombres, les autres 2, 3, 4. . . yt?— .2, seront associés deux à deux; donc leur produit sera ^i ; enfin multipliant par p — i, le produit de tous 1.2.3.4.. .p — i^/? — i ^ — i. Par exemple, pour/?=:i3, les nombres 2, 3, 4, 5,. ..11 s'as- socient de la manière suivante: 2 avec 7, 3 avec 9, 4 avec 10, 5 avec 8,6 avec 1 1 \ donc 2.3.4.. .11^1, et partant 1 .2.3. ... 12^12^— I, 78. Le théorème de Wilson peut être rendu plus général en l'énon- çant comme il suit : Le produit de tous les nombres premiers auec un nombre donné A et moindres que ce nombre j est congru suivant A , à l'unité prise positivement ou négatit^ement. L'unité doit être prise négativement quand A est de la forme p"" ou 2/?"*, p étant un nombre premier différent de 2, ou encore quand A=z/\, et positivement dans tous les autres cas. Le théorème de Wilson est contenu dans le premier cas. Exemple, Pour A=iiS, le produit des nombres i , 2, 4, 7, 8, 11 , i3, 14, est ^i (mod. i5). Nous supprimons, pour abréger, la démonstration. Nous observerons seu- lement qu'on peut y parvenir comme dans l'article précédent , excepté que la congruence jc"^i peut avoir plus de deux racines, ce qui demande certaines considérations particulières. On pourrait aussi la tirer de la considération des indices, comme dans le n* 75, si l'on y joint ce que nous dirons tout à l'heure des modules com- posés. 79. Revenons à l'énumération des autres propositions (n' 75). La somme de tous les termes de la période d'un nombre quel- conque est ^o, H BS KECHERCHES Ainsi dans l'exemple du n° j5 1+5+12+8 = 26^0 (mod. i3). Soit a le nombre dont il s'agit , et / l'exposant auquel il appartient, La somme de tous les termes de la période sera ^i + ^ + «^+«^+ +a'^'^;^3j^(mod. /7)jQr a' — 1=0, donc aussi " ~ ^o, si a — i n'est pas divisible par p ; il faut donc excepter ce cas, si nous voulons regarder même un seul terme comme une période. 80. Le produit de toutes les racines primitit^es est ^ ï , excepté le cas où ;t7=5, car alors il n'y a qu'une racine primitive 2. Si l'on prend pour base une racine primitive quelconque, les indices de toutes ies racines primitives seront des nombres premiers avec p — I et moindres que lui; mais la somme de tous ces «om- bres , c'est-à-dire l'indice du produit de toutes les racines primi- tives, est ^o (mod. yt? — 1)3 donc le produit est ^i (mod.;o). En effet on voit facilement que si k est un nombre premier avec p — I, p—'i — k\e sera aussi, et que parconséquent la somme des nombres premiers avecyt? — i est composée de couples dont la somme est divisible par/? — i. Il est bon d'observer que k ne peut être égal kp — I — k, à moins que ^ ne soit premier avec p ■— i , ce qui exige que p — 1=2 ou f'=3, cas que nous exceptons. 81. La somme des racines primitii^es est ^o quand p—^i est divisible par un quarré, ou^dizi quand/? — i est le produit de facteurs premiers inégaux. Le signe + appartenant au cas où le nombre de ces facteurs est pair, le signe — au cas où il est impair. Ex. 1°. Pour;?=i3, on a les racines primitives 2,6, 7, 11 dont la somme 26^0 (mod. i3). 2°. Pour/>=: 11 , les racines primitives sont 2, 6, 7, 8, dont la somme 23^+i (mod. 11). 3°. Pour /?=3i, les racines primitives sont 3, n, 12, 1 3, 17,21,22, 24^ dont I4 somme i23^ — i (mod. 3i). Nous avons démontré plus haut (n" 55, 2°) que si Ton a...' /?— I ■=^a'h cy etc., et que A , B, C y etc. soient des nombres quel- conques qm appartiennent aux exposans^ yb,Cf etc. respecti- vement, tous les produits ABC etc, seront des racines primitives. ARITHMETIQUES. 59 mais on peut aussi démontrer facilement qu'une racine primitive quelconque peut s'exprimer par un produit de cette espèce et d'une seule façon (*). Il suit de là que ces produits peuvent être pris au lieu des racines primitives; mais, comme dans ces produits il faut combiner toutes les valeurs de A avec toutes celles de J5, etc. , la somme de tous ces produits sera égale au produit de la somme des valeurs de A , mul- tipliée par la somme des valeurs de ^, etc. Désignons toutes les valeurs de Ay By Cy etc. par A y A' y A\ etc. By B' y B" y etc. C, Cy C% etc. La somme de toutes les racines primitives sera congrue au produit {A-^A' '\- etc.) (5-^^'-|-etc.) etc.; or je dis que si a=:i , la somme ^-|-^'-}- v^"-f- etc., sera^ — i (mod. p), que si a>>i, cette somme sera^o, et de même pour/3, y y etc. Si ces (*) On déterminera des nombres <*! y ^' , y\ etô. tels qu'on ait a! ^\ (mod. a ) et ^o (mod. b^ c^ etc.) ; /S'sei ( mod. b^) et ^o (mod. a* c^ etc. ) , etc. (v. n°32); donc on aura «t' + /S' + ■),'-{- etc. ^ i (mod. p — i), (n° 19). Or si l'on doit exprimer une racine primitive quelconque r par un produit de la forme ABC etc. \ on prendra A^r'^' , B^r^' , C^r^', etc. A,B, C appartiendront respectivement aux exposans a*, b , c^, etc., et le produit ABC etc. sera ^r (mod. p"). Or il est facile de voir que A^ B , C, etc. ne peuvent se déterminer d'une autre manière (1). (0 Cette noté nous semble avoir besoin de quelques éclaircissemens. Il est aisé de voir que tous les nombres , excepté *', sont divisibles par a* ; que partant leur somme l'est aussi, ou est ^o (mod. c*); mais comme at' ^ 1 (mod. a*), il \àent donc *'+iS'-f-/-f etc. = i (mod. a*), de même a -f/3' 4-5,' -f etc. ^1 (mod.Z?^), etc.; donc (*'-f-i8-{-y-f- etc. = 1 (mod. a** b^ c^ , etc.) ^ 1 (mod.p — t ). Or si l'on fait A^r yB^r ,C^r^ , etc. ^,5, C,etc. appartiendront aux exposans a*; 6 ,c5^, etc. respectivement. En effet ^'^ ^/•*'«*^ 1 (mod. p), a.'a'^ étant ^o (mod. p — 1), et il est visible que l'on ne peut supposer ^'^1 (mod.p), tétant ^a , etdemêmepourZ?, C, etc., car on aurait at^o (mod.p — i),ce qui ne peut avoir lieu à moins que fne soit = a* ou ^ o ( mod. a* ) . Or il est aisé de s'assurer encore qu'on ne peut trouver de nombres A' , B' , C^, etc. respectivement incongrus à A, B , C, etc., et qui puissent les remplacer. En effet on aurait A' ^r'^ , a." étant un nombre déter- miné comme a' ; mais on a aussi A^r'^ \ or comme et' et a," sont congrus au même nombre suivant le module p — i , ils sont congrus entr'eux suivant ce même module; donc r'^^r'^' (mod. p) ^ et partant A^A'. {Note du traducteur. ) n 6o RECHERCHES tlcnx asserdons sont démontrées, la vérité du théorème sera manî- fesle. En effet, quand ^ — i est divisible par un quarré, quelqu'un des exposans &., f^ty y etc. sera > i , et partant un des facteurs dont le produit est congru à la somme des racines primitives, sera ^0, c'est-à-dire que le produit lui-même le sera. Quand/? — i ne pourra être divisé par aucun quarré , tous les exposans a, /3, y, etc. seront égaux à l'unité, et la somme des racines primitives sera congrue au produit d'autant de facteurs dont chacun ^ — i , qu'il j a de nombres a, bjC, etc. •, donc partant le produit sera ^ zh i , suivant qu'ils seront en nombre pair ou impair j or ces deux assertions se prouvent ainsi qu'il suit : 1°, Quand ct= i , et que A est un nombre appartenant à l'expo- sant a , les autres nombres qui appartiennent aussi à cet exposant 8ont^% A\ A''-'; or i +^H-v^"-{-^5-{-^^-|-. . .^''— est la somme delà période complète, et partant ^o (n° 79)^ donc 2'. Quand ct>> I et que A est un nombre appartenant à l'expo- sant a j on aura les autres nombres appartenans au même exposant, si de la suite A"^, A^ , A^,,, .^"V'^on VQir anche A%A^%A^% etc» (n" 55), leur somme sera donc c'est-à-dire congrue à la différence de deux périodes, et par- conséquent ^ G. 82. Tout ce q^ue nous avans exposé Jusqu'à présent, suppose que le module soit un nombre premier. Il nous reste à considérer le cas où l'on prend pour module un nombre composé ; mais comme il n'en résulte pas des propriétés aussi élégantes qUe dans le premier cas , et qull n'y a pas besoin d'artifices bien délicats pour les trouver , tout se déduisant presque de la seule application des principes pré- cédens , il serait superflu et fastidieux d'épuiser ici tous les détails. Aussi nous exposerons en peu de mots ce que ce second cas a de commun avec le premier, et ce qui lui est propre. 83. Les propositions des n«* 4^ — 4^ ont déjà été démontrées géné- ralement , mais celle du n° 49 doit être changée ainsi : ARITHMÉTIQUES. Gt^ ■ Si î' désigne combien il y a de nombres premiers avec m et moindres que lui , c'est-à-dire siï-=^(pm {art. 38), V exposant t de la plus petite puissance d'un nombre donné ^premier avec m, qui est congrue à V unité suiuantle module m sera^=zï^ ou une partie' aliquote de ï. La demonstration de la proposition du n° 49 peut servir également dans ce cas-ci, en y substituante pour;7,/pour/;— i,etau lieu des. nombres 1 , 2 , 3 , . . . ;? ~ i , les nombres premiers avec 772 et moindres que lui; ainsi nous j renvoyons le lecteur. Mais les autres démons- trations dont nous avons parlé (n°s 5o, 5i ), ne peuvent s'appliquer à ce cas sans beaucoup d'embarras. A l'égard des propositions sui- vantes (no 52 et suivans), il j a une grande différence entre les modules qui sont les puissances d'un nombre premier et ceux qui sont divisibles par plusieurs nombres premiers. Nous considérerons donc à part les modules du premier genre. 84. Si le module m^p% p étant un nombre premier, on aura f—P" ' (p—ï), (n° 38). Or si l'on applique à ce cas les recherches contenues (n«« 53, 55), mutatis 77iutan dis comme dans l'article précédent, on trouvera que tout ce qui y a été démontré aurait lieu également, s'il était prouvé que la congruence a:'— i ~o (mod p") .ne peut avoir plus de t racines différentes. C'est d'une proposition plus générale (n°43) que nous avons déduit cette vérité pour un mo- dule premier : mais cette proposition n'a lieu que pour les modules premiers, et partant ne peut s'appliquer à ce cas. Nous allons donc la démontrer par une méthode particulière, et plus bas (sect, y m) nous le prouverons encore plus facilement. • S5. Nous nous proposons de démontrer ce théorème: Si le plus grand commun diviseur des nombres t et p"— (p — i ) ^^t e hi congruence x'^ i ( mod. p" ) aura e racines différentes. Soit ez=kp\ desorte qu€ k ne renferme point le facteur », et qu'il divise parconséquentyp— I. Alors la congruence a;'=i suivant le module ;;, aura k racines différentes , et si on les désigne par A,B,C, etc., une racine quelconque de cette même congruence suivant le module p\ devra être congrue à quelqu'un des nombres -^y By C, etc., suivant le module ;;. Or nous démontrerons que la congruence ^'^i (mod.;;^), a/ racines congrues à ^, autant. 62 HECHEÎICIIES à B , efc. suirant le module ;p, d'où il résultera que le nombre de toutes les racines sera kp ou e , comme nous l'avons avancé. Cela posé , nous allons démontrer que 1°. Si et est une racine congrue à A , suivant le module p y n — ;' o.'-\'p ycf.'-\'ip , ot 4-5/7 . . . ot-f-/7 ,p , seront aussi des racines. 2". Aucun nombre congru avec A ne pourra être racine, s'il n'est de la forme a.-\-hp , /z étant un nombre entier quelconque) d'où il suit qu'on aura p racines différentes, et qu'on n'en aura pas davantage ; la même chose aura lieu par rapport k B , C , etc. 3°. Nous ferons voir comment on peut toujours trouver une racine congrue à A suivant le module /?. 86. Théorème. Si t est comme dans Varticle précèdent un nombre divisible par p et nonpar^ ,onaura{cL'\r-h^ )' — a'^o (mod. ;o^ ) , et ^ cC~^hp ^(mod. /? ). La seconde partie du théorème n'a pas lieu quand ;?=2 et /xz=:i, iq On pourrait déduire la démonstration de ce théorème du dévelop- pement de la puissance d'un binôme, si on faisait voir que tous les termes, après le second, sont divisibles par ;? *, mais comme la considération des dénominateurs des coefficiens jette dans quelque embarras, nous préférons la méthode suivante: Supposons d'abord />t,>i et >'=i, on a généralement x' — jr\ = (a;— j)(a;'-'-|-Ji;'-^/ + a;'-3j' + ...+y-*)j donc (A'\-hp^y—'^'=hp"'{(oL-i-hpy-'-^(oL-^hp^^)'-^A-^etc, -f-a'"'} j mais on aa+/z/? ^a (mod./?'}j donc chaque terme (a.'\-hp )""$ {cL-\-lip^y~^&., etc. sera ^a'""* (mod. p*), et parconséquent la somme de tous ^ta.'~' (mod/?'), ou bien cette somme sera de la forme ^oc' t • -|- F/>* , P^ étant un nombre quelconque. Donc (oL-\-hp^y—'X' sera de la forme cc'-'hp^i-^Fhp^''^^ , c'est-à-dire qu'il sera ^ a' -'/z/?""/ (mod. z?'^) et =o (mod./?^"^^ ). Ainsiy pour ce cas, le théorème est démontré. ARITHMÉTIQUE S. >65 Or si le-théorème n'était pas vrai pour les autres valeurs de i' , //. restant >i, il y aurait nécessairement une limite jusqu'à laquelle le théorème serait vrai^ et passé laquelle il serait faux. Soit (p la plus petite valeur de v qui se refuse au théorème. On voit facilement que le théorème est vrai si / est divisible par p et non par p ; mais que si l'on substitue //? à la place de /, il ne l'est plus. On a donc {a,-^hp^y=%'+ci:'"hp'^t{moà.p'^ ), ou =x'-j-xT.7z;?' Z+z/p ^ , u étant un nombre entier quelconque ) mak comme Pe théorème est déjà démontré pour j' = i , on aura {cL'-\-a'-'hp t-^-up y^ct'P + a'''-' V t-^-oL'P-'up^^ ^ (mod.;? ^ ),etpartant (^oL ^ hp^ y f ^ ct'p -{- oL'P-'hp^ip (mod, p'^'^'^); c'est-à-dire que le théorème est encore vrai si on substitue ip au lieu de i ou ^4- 1 au lieu de(p, contre l'hjpothèse^ donc le théorème est vrai pour toutes les valeurs de v. 87. Il reste le cas où /i= i. Par une méthode absolument sem- blable à celle de l'article précédent, ou démontrera, sans faire usage du développement du binôme , que (a + Z?;?)'- '= a'- ' -I- a' - = ( ^-- I ) 7zyy ( mod. ;?*) çt(ût + /z;7)'-^ = a'-' + a'-"(/ — 2)/z;7(mod.jD=) pt*(,*+A;7)'-^=fit'-'+cc'-V(2:-- 5)7zyf?(mod.;?^), efcj donc (puisque le nombre des termes est /) la somme sera ^icC~ 4- ^^""^^^ fit' -* hp (mod. ;?*) j mais, comme / est divisible par/?^ ^ ~^ ■ le sera aussi, excepté le cas oii;? = 2 j que nous avons exclu, et dans les autres cas, la somme sera ^/cc"~' (mod. /?*), puisque ^ ~^^ aJ~''hp est divisible par ^*. Le reste de la démonstration est comme dans l'article précédent. Il résulte de là généralement qu'en exceptant le cas oùpz=z2, on a {a-j-'7z;7'^)'^a'(mod.;?" ) et (ct^hp^ ) non^a' pour un module qui estime puissance de;? plus haute que ;?^ \ pourvu toutefois 64 RECHERCHES que h ne soit pas divisible par p, et que p soit la plus haute puis- sance de p qui divise t» De là suivent sur-le-champ les deux premières propositions que nous nous étions proposé de démontrer (n° 85), savoir: 1°. Si a'^i , on aura aussi (a-f-Zz/? )'^i (mod. /?"). 2". Si un nombre ol congru à y^ et partant à a , suivant le module p, mais incongru k cl, suivant le module p , satisfesait à la congruence x'^i (mod. ^"), supposons a'=a-f-/y^ j desorte que /ne soit pas divisible par p , on aura À << /z — v ; alors (a,-\-/p y^oL' (mod. p )et non suivant p" , qui est une puis- sance de;? plus haute que/? ; donc a' ne peut être racine de la congruence a;'^i, 88. Nous devions en troisième lieu trouver une racine de la con- gruence a;'^i (mod. p") , qui fut congrue à A, Il nous suffira de faire voir ici comment on peut y parvenir, si l'on connaît une ra- cine de la congruence suivant le module /?"""', puisque l'on pourra passer du module p, pour lequel ^ est racine, au module /?% et de là à toutes les puissances consécutives. Soit donc aune racine de la congruence x'^i (mod.;?""') et que l'on cherche une racine de la même congruence suivant le module /?", nous la supposerons =ct+7?/? , forme qu'elle doit avoir d'après l'article précédent: nous considérerons à part le cas oil v=^n — i , et v ne peut-être >« — i. On aura donc (^ ci-\-hp "^^ )' ^ I ( mod /?" ) ', mais ( cL-^-hp ) ' ^ ^ i ^aL*~'htp"^~'^~~ (mod. ;t?'')-, si donc on détermine h de manière qu'on ait i^a'-f-ot'-'/z^/?'^"^""^ (mod./?"); ou, comme par hjpo- y thèse 1 ^a' (mod. p"-' ) et que / est divisible par/? , de manière qu'on ait ^-^^ -|-a'~' /z -7 divisible par/?, le problême sera résolu; P • r or il est prouvé, dans la section précédente, que cela est toujours possible, puisque / ne peut être divisé par une puissance de/? plus haute c[ue p" , et que partant a'~' - est premier avec/?. Mais ARITHMÉTIQUES. 65 Mais si v = n — i, c'est-à-dire si / est divisible par p^^^ ou par une plus haute puissance de p, toute valeur v^ qui satisfera à la con- gruence x'^i, suivant le module p, y satisfera aussi suivant le module p". Soit en effet t=p''~'r, on aura t^r (mod. p — i); donc puisque A'^i (mod./?), on aura aussi ^ ^i (mod. p). Soit donc ^ :=i-{'hp, on aura ^'=( i +/z/?)/?"~'^i (mod. />>"), 8g. Tout ce que nous avons démontré (n°^5j et suivans) à l'aide du théorème du n° 4^, a lieu pour un module qui est une puissance d'un nombre premier, et si l'on appelle racines primitipes les nom- bres qui appartiennent à l'exposant p''~^ (p — i ) , c'est-à-dire ceux dans la période desquels se trouvent tous les nombres non divisibles par/7, il j aura également ici des racines primitives-, tout ce que nous avons dit des indices et de leur usage, ainsi que de la résolu- tion de la congruence jc'^ i, peut s'appliquer à ce cas : comme toutes les démonstrations n'ont aucune difficulté , il serait superflu deles répéter. Nous avons en outre fait voir comment on déduit des racines de la congruence jc'^^ i (mod.^o), celles de la congruence x'^i {mod. p")-y mais il faut ajouter quelque chose sur le cas oit pz=2, que nous avions exclu dans ce qui précède, go. Si Von prend pour module une puissance de i plus haute que la seconde, 2" par exemple , la puissance 2!"z^ de tout nombre impair sera ^i. Par exemple, 5* = 656i^i (mod. 32). En effet tout nombre impair est de la forme i -\'l\li ou de celle-ci — i -\-^h, d'où la proposition suit immédiatement (86). Ainsi l'exposant auquel appartient un nombre impair quelconque suivant le module 2", doit être un diviseur de2"~*jce nombre appar- tiendra donc à l'un des suivans i , 2 , 4 , 8 , . . . . 2" ~ ^ j et d'ailleurs on jugera facilement auquel il appartient. Soit le nombre proposé =:4/ïii, et 2"* la plus haute puissance de 2 qui puisse diviser h (jn est=o quand /zest impair). Alors l'exposant auquel appartient le nombre donné sera =2" ~ "' - % si /?> /;2-f-2 ; mais si /z = ou < 7n-\-2f le nombre proposé sera^rti , et partant appartiendra àTexposant I ou à l'exposant 2. En effet i^h-±ziz=-±zi-\-2'^-^''k , el ce nombre élevé à la puissance 2"""-* devient congru à l'unité suivant le mo- I 66 R E C H E R C Tî E S du\e p"', ov on déduit sans peine du n° 86 que si on élevait ce nombre à une puissance de degré moindre, le résultat serait incon- gru à l'unité. Ainsi tout nombre de la forme ::t:l-\-/^h, où h est impair, c'est - à - dire tout nombre de la forme SA + S ou Sk-j-5y appartient à l'exposant /;"""*. 91 . Il suit de là qu'il n'y a pas dans ce cas-ci de racines primitif^es, dans le sens que nous avons donné à cette expression, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de nombres dont la période renferme tous les nom- bres premiers avec le module, et plus petits que lui; mais on voit facilement qu'il arrive ici quelque chose d'analogue. En effet toute puissance impaire d'un nombre de la forme 8y^-|- 3 est elle- même de la forme S/c-}'^, et toute puissance paire est de la forme 8A-|-i j donc aucune ne peut être de la forme 8A-f-5 ou SA-f-y; donc comme la période d'un nombre de la forme 8A-f-3 est com- posée de 2"~* termes difFérens, dont chacun est de la forme 8^4- 1 ou 8k-\-5 , et qu'il n'j a pas plus de 2"~^ de ces nombres qui soient plus petits que le module , il est évident que tout nombre de la forme 8/t-|-i ou 8A-j- 3 est congru suivant le modules", à- ime puissance d'un nombre quelconque de la forme 8A-f-5, On peut faire voir de la même manière que la période d'un nombre de la forme Sk-^-S comprend tous les nombres de la forme 8/^-f-r et 8A-{-5. Si donc on prend pour base un nombre de la forme 8A.-f-5, on trouvera des indices réels pour tous les nombres de la- forme 8/i:-|-i et 8k-\-5 pris positivement, et pour tous les nombres de îa forme SA-f-o et 8A:-f-7 pris négativement : on doit encore re- garder comme équivalensJesindices congrus suivants""^. C'est ainsi qu'on doit entendre la table I, dans laquelle pour les modules 16, 52 et 64 (car il n'j, a besoin d'aucune table pour le module 8), nous avons toujours pris 5 pour base. Par exemple, le nombre 19, qui doit être pris négativement, puisqu'il est de la forme 8/z-j-3, a pour ie module 64 l'indi<îe 7 , ce qui signifie que 5-^ — 19 (mod. 64). Si l'on prenait négativement les nombres de la forme 8«-f-i et 8^4-5, et positivement ceux de la forme 8/2 + 3 et 8/z 4-7^ il fau* drait leur donner des indices pour ainsi dire imaginaires; en les in-^ troduisant dans le calcul des indices, on le réduirait à un algo- rithme très-simple-, mais comme nous serions conduits trop loin si nous voulions traiter ce sujet en toute rigueur, nous réservons ARITHMÉTIQUES. 67 ce point pour une autre occasion, quand peut-être nous entrepren- drons de traiter plus en détail la théorie des quantités imaginaires, qui nous semble jusqu'à présent n'avoir été réduite par personne à des notions claires. Les gens instruits parviendront aisément à ce* algorithme 3 ce:ux qui sont moins exercés pourront néanmoins sfe servir de cette table, comme ceux qui ne sont point au fait d^ connaissances modernes sur les logarithmes imaginaires se ser- vent des logarithmes, pourvu qu'ils possèdent bien les prinoip^ antérieurement établis. 92. Presque tout ce qui a rapport aux résidus des puisisances, suivant un module composé de plusieurs nombres premiers, peut se déduire de la théorie générale descongruences j mais colnme nous exposerons plus bas une manière de ramener les congruences dont le module est composé de plusieurs nombres premiers, à d'autres dont le modufe est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier, nous ne nous arrêterons pas beaucoup ici sur cette matière. Nous nous con- tenterons d'observer que la belle propriété qui a lieu pour les autres modules, savoir : qu'il existe toujours des nombres dont la période renferme tousles nombres premiers avec le module, n'a pas lieu ici, excepté dans le seul cas où le module est double d'un nombre premier, ou d'une puissance d'un nombre premier. En effet si l'on ramène le module m à la forme A'^ B^ C' etc. , y4 , B,C , etc. étant des nombres premiers différons , qu'on fasse eu outre A'-'-{A—i) = cf., Z^*— (Z?— 1) = /3, C^-'(C— 1) = >, etc. et que z soit un nombre premier avec 7n , on aura z ^i (mod.^^^), z ^i (mod. 5*), etc.', si donc //-est le plus petit nombre divisible par ^9 ^f y» etc., on aura z =1 suivant chacun des modules A" , B^ , etc., et partant, suivant m qui est égal à leur produit-, mais excepté le cas où m est double d'un nombre premier ou d'une puis- sance d'un nombre premier, on a toujours jx^CcL^y etc., puisque les nombres a, /3, etc. ne peuvent être premiers entre eux^ ayant au moins le diviseur commun 2. Ainsi la période d'aucun nombre ne peut com- prendre autant de fermes qu'il j a de nombres premiers avec le mo- dule , et moindres que lui, puisque leur nombre est égal au produit çL^y elc,Ainsi,parexemple, pour;7z=iooi=7. 1 1 . r5, la puissance 2 C.5 RECHERCHES " Go d'un nombre quelconque premier avec m, est congrue à l'unité, puisque 60 est le plus petit nombre divisible à-la-fois par 6, 10 et 12. Le cas oà ie module est double d'un nombre premier ou d'une puissance d'un nombre premier, est tout - à- fait semblable à celui où le module est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier. 95. Nous avons déjà cité en plusieurs endroits les ouvrages dans lesquels les autres géomètres ont parlé du sujet que nous avons traité dans cette section-ci ; mais nous renvoyons ceux qui vou- draient avoir plus de détails que le désir d'abréger ne nous a per- mis d'en donner, aux ouvrages suivans d'Euler, recoramandables par la perspicacité qui a toujours distingué ce grand homme. Theoremata circa residua ex diuisione potestatum relicta (Comm. nov. Petrop. T. vu, p. 49)* Demonstrationes circa residua ex dii^isione potestatum per nU' mer os primas resultantia» (Ibid. T. xviii, p. 85). On peut j joindre les dissertations 5 et 8 des Opuscula analj-^^ Cica* T. I. A R I T H M É T I Q U r. s. 69 SECTION QUATRIÈME. Des Congruences du second degré* 94. IhÉorème. Un nomhre quelconque m étant pris pour viodule , il ne peut y ai^oir dans la suite 1,2, 5. ..m i , plus f/e Im-f-i nombres , quand m est pair , et plus de -m-^-l, quand m est impair , qui soient congrus à un quarré. Comme les qiiarrés des nombres congrus sont congrus entre eux , un nombre qui peut être congru à un quarré, le sera à un autre quarré , dont la racine est plus petite que in. Il suffit donc de considérer les résidus minima des quarrés o, i,à, g. . . ~m î - mais on voit facilement qu'on a (772—1)^^1^ Cm lY — 2^ (m— '5 y ^5% etc. Donc aussi, quand 7n est pair, les quarrés (r— 0' ^* (t-^ ' J' (f -"0' ^^ (^'"^^)'' ^^^- ' ^^'^o"t les mêmes résidus jninima-jet quand 7n est impair, ("^ .-Y et (^^"^^V (p-^^ ^* (^^V~) ' ^^^' ^^^0"^ congrus. D'où il suit évidemment qu'il n*y a pas d'autres nombres congrus à un quarré que ceux qui le sont à l'un des quarrés : o, i , 4, 9,. . . .Ç—J, quand m est pair j et que quand m est impair , il n'y en a pas d'autres que ceux qui sont congrus à l'un des quarrés o, i , 4, 9. . . Y^^^V, Donc il 3^ aura au plus ^ + 1 résidus minima , difïéreus dans le premier cas , et "^ dans le second. Exemple, Suivant le module 1 5 , les résidus minima des quarrés des nombres o, 1,2, 3;. ..6^ sont o, i;4, 9, 3, 12, lo, et après I 70 RECHERCHES cela ils reviennent dans l'ordre inverse 10, i2, 5, etc. Ainsi uri nombre qui n'est pas congru avec l'un de ceux-là , ou qui l'est à l'un des nombres 2, 5,6, 7 , 8, 1 1 , ne peut être congru à aucun quarré. Suivant le module i5, on trouve pour résidus minima o, i," 4,9, I, 10, 6, 4f <^iui reviennent ensuite dans l'ordre in- verse j ainsi le nombre des résidus qui peuvent être congrus à un quarré , est ici moindre que — — -, puisqu'ils sont o ^ i , 4> ^j9f ^^* Les nombres 2, 3 _, 5, 7, 8 , 11, 12 , i3 , 14, et ceux qui leur sont congrus, ne peuvent être congrus à aucun quarré. 95. Il résulte de là que pour im module quelconque , tous les nombres peuvent se distinguer en deux classes , dont l'une ren* ferme tous ceux qui peuvent être congrus à un quarré , et l'autre tous ceux qui ne le peuvent pas. Nous appellerons les premiers résidus quadratiques (*) du nombre que nous prenons pour mo?* dule , et les derniers non-résidus quadratiques ; ou même plus simplement toutes les fois qu'il n'en résultera pas d'ambiguité , résidus et non-résidus. Au reste il est évident qu'il suffit de classer les nombres o,i,2...77z — i : car les nombres congrus doivent être rapportés à la même classe. Nous commencerons aussi dans ces Reclierches par les modules premiers, ce qui doit toujours être sous-entendu, quand nous n'en avertirons pas expressément. Mais il faut exclure le nombre 2, ou ne considérer que des nombres impairs. 96. Le nombre premier p étant pris pour module , la moitil des nombres i, 2, 3...p — i, sera composée de résidus qua- dratiques , et l'autre moitié de non-résidus , c'est-à-dire quHl y aura - (^^ — i) résidus , et autant de non-résidus. (*) Dans ce cas-ci , nous donnons à ces expressions un sens un peu différent de celui qu'elles ont eu jusqu'à présent, car lorsque 7'^a'^ (mod. m) , il faudraildire que r est résidu du quarré a^ , suivant le module m; mais pour abréger, nous appelle- rons dans cette section r, résidu quadratiquie de m , et il n'y a pas d'ambiguité à craindre, car n.nis n'emploîrons plus dorénavant l'expression nsidu , quand elle signifiera un nombre congru, à moins qu'il ne soit question de résidus minima , et dans ce cas il n'y aura pas d'obscurité. A HI T H M É T I Q U E s. 71 On prouve facilement que tous les quarrés i , 4^ 9> • • 'V ~ ^Y sont incongrus j ear si l'on pouvait avoir r^^r'^ (mod.;?) et que les nombres r et r fussent inégaux et <^ î-, soit r^r , on au- rait (r — ?•') (r+r), divisible par ;7 ; mais chaque facteur étant 10^ 12 3; 4; ^> 9> ï5^ ^^) ^^> 72 RECHERCHES et les autres nombres moindres que ces modules sont non-résidus; j;; 98. Théorème, he produit de deux résidus quadratiques d'un nombre premier p est un résidu; le produit d'un résidu et d'un non-résidu est non-résidu ; enjin le produit de deux non-résidus est résidu » 1°. Soient AetB les résidus qui proviennent des quarrés a'' , Z>*, ou soient A^a"" ( mod. ;? ) et B^b"" , on aura^-5^a^Z>" , c'est- à-dire qu'il sera un résidu, 2". Quand ^ est résidu , ou que ^^^*, mais que 5 est non- résidu, u4B est non - résidu. Soit en effet, s'il se peut^^^^* et - ( mod./;)^^, on aura a*-S^a^^% et partant B'^.b'' i contre rhypothèse. Autrement^ Si Ton multiplie par A les ^ nombres de la suite \ j 2,'S. . .p — I, qui sont résidus , tous les produits seront des résidus quadratiques , et ils seront tous incongrus. Or si l'on multiplie par A un nombre B non-résidu, le produit ne sera congru à aucun des précédens: donc, s'il était résidu, il y aurait \ (^p-\-i) résidus incongrus , parmi lesquels ne serait pas o, ce qui est im- possible ( n° 96 ). 5% Soient A et B deux nombres non-résidus , en multipliant par -i4 tous les nombres qui sont résidus dans la suite 1,2, 3,. . .p — i, on aura^ — - non-résidus incongrus entr'eux (2°). Or le produit -<^i? ne peut être congru à aucun de ceux-là; donc s'il était non-ré- sidu, on aurait ^ ' non-résidus incongrus entr'eux; ce qui est impossible (n°96). Ces théorèmes se déduisent encore plus facilement des prin- cipes de la section précédente. En effet, puisque l'indice d'un résidu est toujours pair, et celui d'un non-résidu toujours impair, l'indice du produit de deux résidus ou non-résidus sera pair , et partant, le produit sera lui-même un résidu. Au contraire, si l'un des facteurs est non-résidu , et l'autre résidu, l'indice sera impair, et le produit non-résidu. Oa ÀRITHMÉTIOtTES. ^5 On peut aussi faire usage des deux méthodes pour démontrer ce tliéorème : la valeur de V expression ^ ( mod. p ) , sera un résidu , quand les nombres a et h seront tous les deux résidus ou non-rési» dus. Elle sera un non-résidu , quand Vun des nombres a ^/ b sera résidu et Vautre non-résidu. On le démontrerait encore en ren- versant les théorèmes précédens. Q^. Généralement, le produit de tant de facteurs qu'on vou- dra est un résidu , soit lorsque tous les facteurs en sont eux- mêmes , soit lorsque le nombre de facteurs non-résidus est pair; mais quand le nombre des facteurs non-résidus est impair, le produit est non - résidu. On peut donc juger facilement si un nombre composé est résidu ou non; pourvu qu'on sache ce que sont ses difFérens facteurs. Aussi dans la table II, nous n'avons admis que les nombres premiers. Quant à sa disposition, les mo- dules sont en marge i^) , en tête les nombres premiers successifs ; quand l'un de ces derniers est résidu, on a placé un trait dans l'espace qui correspond au module et à ce nombre ; quand il est non-résidu , on a laissé l'espace vide. loo. Avant de passer à des sujets plus difficiles, nous devons ^ire un mot des modules composés. Si l'on prend pour module la puissance ;d" d'un nombre pre- mier /7, p étant >> 2 , une moitié des nombres non-divisible par p et •<;?" seront des résidus, et l'autre des non-résidus 3 c'est-à- dire qu'il j en aura ^ . p^~'- de chaque espèce. En effet, si r est un résidu, il sera congru à un quarré dont la racine ne surpasse pas la moitié du module (n"'g4)j et Ton voit facilement qu'il y a t;?""' (;? — i) nombres <<— et non di- visible par p. Ainsi il reste à démontrer que les quarrés de tous ces nombres sont incongrus, ou qu'ils donnent des résidus diffé- rens. Or si deux nombres a et b non-divisibles par p et plus pe- tits que la moitié du module , avaient leurs quarrés congrus , on (*) On verra bientôt comment on peut se passer des niodiiles composés. K 74 RECHERCHES aurait or — Z/'' ou (a+Z») ( /a et non plus grand que a;*. Supposons que la racine du quarré cherché soit=ba-i-a:yt7^; et il est aisé de s'as- surer que c'est là la forme qu'elle doit avoir. 11 faut donc qu'on ait a"d=2fl^p^-h^>^'^^ '^ (mod, p)^ ou comme 3/*>''; on aura» ARITHMÉTIQUES. ^ 75 rtajjr^ "^^— «^''(mod./; ). Soit^ — a^-z=.p .c/, on aura-zh 2a x^d (raod.y~"^')jdonc a; serala valeur de l'expression d=— (mod. ;?''^'''') Ainsi étant donné im quarré congru à u4, suivant le module ;?, on en déduira un quarré congru à ^ , suivant le module p" j de là au module p^j au module ;0*, etc. Exemple. Etant proposé le résidu 6 congru au quarré i , Sui- vant le module 5, on trouve le quarré 9^ auquel il est congru suivant le module 25^ 16" auquel il est congru suivant le mo- dule 125, etc. 102. Quant à ce qui regarde les nombres divisibles par /7, il est clair que leurs quarrés seront divisibles par p^ , et que partant tous les nombres qui seront divisibles par p et nonpar ;?•, se- ront non-résidus de p". Et en général, si l'on propose le nombre p^A , ui. n'étant pas divisible par p , 'û y di trois cas à distinguer: 1*. Si >^ := ou > 7z , on aura p'^A^o (mod. /?"), c'est-à-dire qu'il sera résidu. 2*. Si k<^n et impair , p^A sera non-résidu. En effet, si l'on avait ;t7*y^=;?»*'-^'^^ 5* (mod./?"), 5* serait divisible par z?'*'"^' , ce qui ne peut avoir lieu , à moins que s ne le soit par p^''^^', donc alors s^ serait aussi divisible par p'""''^^ , ce qui conduirait , à cause de 2k' -f- 2 non plus grand que Ji, à p^A aussi divisible par p'^^!'^'' j ce qui supposerait A divisible par p , contre l'hypothèse. 5°. Si k^j mais on voit aisément que r-i-s et r — s ne peuvent être à-la-fois divisibles par 4 , et si l'un est seulement divisible par 2 , l'autre doit l'être par 2"~' , ce qui est absurde, puisque chacun d'eux est <2"-*. 4°. Si l'on ramène ces quarrés à leurs résidus minima positifs , on aura 2"""^, résidus quadratiques difïérens, et plus petits que le module j mais comme il j a précisément 2"""^, nombres de la forme 8X:+i plus petits que le module, nécessairement tous cej pombres se trouveront parmi les résidus» ARITHMETIQUES. 77 Pour trouver un quarré congru à un nombre donné de la forme 8k-^i , suivant le module 2", on peut eraplojer une mé- thode semblable à celle du n° loi , ou suivre le procédé du n° 88. Pour les nombres pairs , on peut faire usage de ce que nous avons dit généralement n" 102. 104. Pour ce qui regarde le nombre de valeurs différentes , c*est-à-dire incongrues suivant le module , que peut admettre Texpression T^= y/ A ( mod. ;p" ) , pourvu que A soit un résidu de ;c", on déduit facilement de ce qui précède , les conclusions suivantes. Nous supposons toujours que p est un nombre pre- mier et, pour abréger, nous considérons en même temps le cas où ;z = i, i". Si A n'est pas divisible par p, F'n*a qu'une seule valeur pour ;d=2 et 7z=i • ce sera V^\ \ il en a deux quand /7 est im- pair, ou bien quand on a ;7=2 et 7z=:2 ; et, si l'une est^^, l'autre sera ^ — ^; il en a quatre pour p=.2 et tz > 2 ; et si l'une est ^^, les autres seront ^P'-|-2''-*, — p»_|-2''-', — ^. 2°. Si^est divisible par ;c7,maisnon par;?", soit ;j7^'^ la plus haute puissancede p qui divise ^,car cette puissance doitêtre paire (n° 102), GtAz=:ap ', il est clair que toutes les valeurs de /^doivent être divisibles par p , et que tous les quotiens donnés par ces divisions seront les valeurs de l'expression Vz=\/a. (mod./? ); on aura donc toutes les valeurs différentes de f^, en multipliant par p , toutes celles de y contenues entre o et p ~'^, Elles seront; par conséquent, t^p^^çp^^p ^,t^p^^2p ^, (jp^^(pf'^j) p t"-^ V étant une valeur quelconque de V: suivant donc que V aura i , ou 2 , ou valeurs, Ken aura/? , ou 2p , ou 4p^ (^°-)» 5°. Si A est divisible par ;»", on voit facilement , en posant nz=2m ou =2772—1 , suivant que n est pair ou impair, que tous les nombres divisibles par p"" sont des valeurs de /^ , et qu'il n'y en a pas d'autres j mais les nombres divisibles par /?"• sont p; /?"", 2/?-". . . (/?"-'"—. i) yD'" , dont le nombre est p"'""» ^ ' RECHERCHES io5« Il reste à examiner le cas où le module ui est composé de plusieurs nombres premiers. Soit mz=zabc etc. ,a,b, c y etc. étant des nombres premiers différens, ou des puissances de nombres pre- miers difFérens. Il est clair d'abord que si n est résidu de ttz , il le sera aussi des difFérens nombres a, b, c, etc., et que partant il sera non-résidu de m , s'il est non-résidu de quelqu'un de ces nombres. Réciproquement, si n est résidu des difFérens nombres aj b, c, etc. , il le sera de leur produit m; en efFet, si l'on a n^A'', B"" , C, etc. , suivant les modules a, b, c, etc. respectivement, et qu'on cherche un nombre iV congru aux nombres A,B,C, etc. , sui- vant le&modules^, hfC, etc. respectivement (n" 32), onaura/z^iV*, suivant tous ces modules, et conséquemment suivant leur produit. Comme on voit Facilement que la valeur de N résulte de la combinaison d'une valeur quelconque de ^, ou de l'expression V^n, (mod. a) , avec une valeur quelconque de j5 , avec une va- leur quelconque de C, etc, que les difFérentes combinaisons don- neront des valeurs dijOférentes , et qu'elles les donneront toutes 5 le nombre des valeurs de N sera égal au produit des nombres de valeurs de A, B, C, etc. que nous avons appris à déterminer dans l'article précédent. Il est évident que si l'on connaît une valeur de l'expres- sion \/n (mod. m), ou de N , ce sera aussi une valeur de u^, B, C, etc.*, et comme par l'article précédent on peut en dé- duire toutes les autres valeurs de ces quantités, il s'ensuit que l'on pourra trouver toutes les valeurs de N, lorsqu'on en con- naîtra une. Exemple, Soit le module 3i5j on demande si 4^ est un résidu ou un non-résidu. Les diviseurs premiers de 5i,5 sont 3,5,7, et 46 est résidu de chacun d'eux*, donc il est résidu de 5i5. Or comme 46^1 et ^64 (mod. 9), ^i et ^16 (mod. 5), ^4 et ^^^5 (mod. 7), on trouve pour les racines des quarrés congrus à 4^ sui- vant le module 5 1 5, les nombres 19, 26, 44> ^9^226, 271, 289, 296. 106. On voit par ce qui précède, qu'il suFfit de reconnaître si un nombre donné est résidu ou non -résidu d'un nombre premier donné, et que tous les cas reviennent à celui-là. Nous devons donc chercher pour ce cas des caractères certains j mais avant d'en* A K I T H M'B:T ItJ U E S. .^ freprendre cetfe recherehe, nous presenteroiis un caractère, qui se déduit delà section précédente, et qui est,digpe d'être conservé à cause de sa simplicité et de sa généralité, quoiqu'il ne soit presque d'aucune utilité dans la pratique. Un nombre quelconque A, nàn divisible par Un^ nombre pre- mier 2m+i, est résidu ou non-résidu de cç no'mhre pretnîgr suivant que A'"=-i-i ou ^— i- f^mad. 2W-|-|J», , . . .^^..^ Soit en effet, pour le module 27)2^1 ', ArindiceSû nombre 1//^' 3 an s un sjstème quelconque, a sera pair quand A sera un résidu, et ira- pair quand A sera non-résidu 3 mais l'indice du nombre.^'" est ma , c'est-à-dire ^o ou ^m (mod. 2w) suivant que a est pair bu im- pair. Donc dans le premier cas on aura ^=1 et d'ans le seëond ^— I (mod.2772-j^i) (n-<57,62)* .,; .s...;.:; ,:;^l .;, ,,:,,,„,^. Exemple, 3 est résidu de i3, parceque 3^=1 (mod. iS); au contraire 1 n'est pas résidu de i3, parceque 2^ = — i (mod. id); mais pour peu que les nombres à examiner soient grands, ce carac- tère devient tout-à-fait inutile à cause de l'immensité du calcul, ^ 107. Il est très-facile d'assigner tous les nombres qui sont ré- sidus ou non-résidus d'un nombre donné. Soit en effet 772 ce norribre; on déterminera les quarrés dont les racines ne surpassent pas ^ ', ou des nombres congrus à ces quarrés suivant le module m (pour la ■pratique il 7 a encore des méthodes plus expéditives); alors tous les nombres congrus à quelqu'un de ceux-là , suivant le module m, seront résidus > et tous ceux qui ne seront congrus à aucun, seront non-résidusj mais la question inverse, étant donné un nombre quel- conque y assigner tous ceux dont il est résidu ou non-résidu, est d'une bien plus grande difficulté j aussi nous allons nous occuper de ce problême, de la solution duquel dépend ce que nous nous sommes proposé dans l'article précédent ; et nous commencerons par les cas les plus simples. 108. Théorème. — -i est résidu de tous les nombres premiers de la forme /^u-{-l,et non-résidu de tous les nombres premiers de la forme /^n-^-'S. exemple. — i est résidu dés nombres S^ i5, 17, 29, 37, 41 , 53, So hecherches 6i>> 75> S9, 97, etc.-, il provient des quarrés des nombres 2, 5, 4, 12, 6, 9, 25, II, 27, 54, 22, etc., respectivement. Il est au con- traire non - résidu des nombres 5 , 7, 11, 19, 23, 3i, 4^^ 47> %* ^7i 7ï> 79> ^^* ^*^- Nous avons déjà fait mention de ce théorème (n^64) j mais on le démontre facilement par le n' 106. En effet, pour un nombre pre- mier de la forme 4«-f 3, on a (— i)*"=+i, et pour un nombre de la forme 4/Î+3, on a (— i)^""^'— — i. Cette démonstration revient à celle du n" 64*, mais à cause de l'élégance du théorème et de son utilité, il ne sera pas inutile de le démontrer encore d'une autre manière. 109. Désignons par C la somme de tous les résidus du nombre premier p-^ leur nombre, en excluante, est ^-^, qui sera paie toutes les fois que p sera de la forme 4/2 + 1 , et impair lorsque p sera de la forme 4«-|-3. Par analogie avec la nomenclature adoptée dans ie n' 77 , dans lequel il était question de nombres en général, nous appellerons, résidus associés, ceux dont le produit sera ^ i (mod./'); en effet il est évident que si rest un résidu, i (mod. p) en sera ua aussi, et comme le même résidu ne peut avoir plusieurs associés dans C, il est clair que Cpeut être distribué en classes, dont cha- cune contiendra deux résidus associés. Or il est évident que , s'il n^ avait aucun résidu qui n'eut d'autre associé que lui-même, c'est-à- dire si chaque classe contenait deux résidus difFérens, le nombre des résidus serait double de celui des classes. Si donc il y a des nombres qui soient eux-mêmes leurs associés, c'est-à-dire quelques classes qui ne contiennent qu'un résidu, ou, si on aime mieux, qui contiennent deux fois le même-, soit a le nombre de ces classes, h le nombre des autres, le nombre de tous les résidus sera =a 4-2^ : donc a sera pair ou impair suivant que p sera de la forme 4/z + i ou 4«H-5j mais (n° 77) il n'y a pas de nombres plus petits que p, autres que 1 et ;7— 1 qui soient eux-mêmes leurs associés, et le pre- mier i fait certainement partie des résidus-, ainsi dans le premier cas ;? — I ou, ce qui revient au même, — i doit être résidu, et dans le second il doit être non-résidu-, autrement dans le premier cas on aurait a= i ; et dans le second «;=3 , ce qui est impossible. 110, ARITHMÉTIQUES. 8i no. Celte démonstration est encore due à Euler, ainsi que la précédente qu'il a donnée le premier (Oyr7i/6'c. «/zû/j/. T.i,p i35). JI est aisé de voir qu'elle repose sur des principes semblables à ceux sar lesquels nous avons appujé notre seconde démonstration du théorème de Pf^i/son (n» 77). Mais en supposant ce théorème, la demonstration précédente se simplifierait beaucoup. En effet, entre les nombres i, 2, 5...;,-i, il j en a ^ qui sont résidus et autant de non-résidus ; donc le nombre des non-résidus est pair ou impair suivant que ;; sera de la forme 4«+ 1 , ou de la forme 4n+Z', donc Je produit de tous les nombres i,2,5,..,p^i sera résidu dans le premier cas et non -résidu dans le second (n° 99). Or ce produit — — i^ Cmod. p)'^ donc enfin — i est résidu dans le premier cas et non-residu dans le second. III. Si donc r est résidu d'un nombre premier de la forme 4«H-i, — r le sera aussi, et tous les non-résidus seront encore non-residus en changeant les signes (*). Le contraire arrive pour les nombres premiers de la forme 4^ + 3, dont les résidus devien- nent non-residus, et réciproquement, quand on change le signe Au reste on déduit facilement de ce qui précède cette règle gêné- raie : - 1 est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par 4 m par aucun nombre de la forme 4^ + 3. Il estnon-résidu de tous les autres. ( N"^ io3 et loS). n^. Passons aux résidus +2 et 2. Si dans la table II on prend tous les nombres premiers dont k module est H-., on trouvera 7, 17, :^3, 3x, 4,, 47, 7,, ^3, 79, 89 ,97 Or on remarque facilement qu'aucun d'eux n'est de la form^ o/2-f-3 ou on-\-5. Voyons donc si cette induction peut devenir une cerlifude. Observons d'abord que tout nombre composé de la forme 8« + 3 ou 8/.+5renFermenecessairement un facteur premier de l'une ou l 'aulre rhl'Tl rt "r ,Pf "™^ '•'""■ "<""bre, en tant qu'il sera résidu ou non- L S^ RECHERCHES forme; en effet les nombres premiers de la forme 8^2 + 1 et 8/2+7 ne peuvent former que des nombres de la forme 8/z+i ou 8/2 + 7. Si donc notre induction est généralement vraie, il n'y aura aucun nombre de la forme 8/z+3, Sn-h^, dont le résidu soit +2. Or il est bien certain qu'il n'existe aucun nombre de cette forme et J^u- dessous de 1 00 , dont le résidu soit + 2 -, mais s'il y en avait au-dessus de cette limite, supposons que t soit le plus petit de tous; t sera de la forme 8// + 5 ou 8// + 5, et +2 sera son résidu; mais^Ll sera non- résidu de tous les nombres semblables plus petits. Soit a^r= 2 (mod. /), on pourra toujours prendre a impair et <^, car a a au moms deux valeurs positives plus petites que t, dont la somme =/, et dont par- conséquent l'une est paire et l'autre impaire (n"^ io4, io5). Celapose, soit a^ = 2-\-ut ou ut=a'^-^2, a^sera de la forme 8/z+ 1 , et par- conséquent ut de la forme 8/z— i ; donc u sera de la forme^8/z + 3 ou 8// +5 suivant que t sera de la forme 8/2 + 5 ou^8/2 + d; ma^is de l'équation a^ = 2 + tu, on tire la congruence «^ = 2 (mod. Uj, c'est-à-dire que +2 serait aussi résidu de u. Il est aise de voir qu'on a // 98 ). 1 1 5. Il ne sera pas inutile d'ajouter encore une autre démonstration de ce théorème , qui a le même rapport avec celle que nous venons de donner , que la seconde démonstration du théorème du n° 1 08 , a avec la première. Les gens instruits s'appercevront facilement que ces deux démonstrations ne sont pas aussi différentes qu'elles le paraissent au premier aspect, tant dans le premier cas que dans le second. 84 RECHERCHES 1*. Pour un module premier quelconque de la forme 4^72 -f-i, parmi les nombres i , 2, 3, 4/7z, on en trouvera m qui peuvent être congrus à un biquarré, et les "Sm autres ne pourront pas l'être. On peut le conclure facilement des principes de la section précé- dente j mais on peut aussi s'en passer sans difficulté. En effet nous avons démontré que pour un pareil module, — i était toujours résidu quadratique. Soit donc/'*^ — i , il est clair que si z est un nombre quelconque non divisible par le module , les biquarrés des quatre nombres -^z, — Zj-^fz, — ;/z (qu'on voit facilement être incongrus) seront congrus entre eux. Or il est évident que le biquarré de tel nombre qu'on voudra, qui ne serait congru à aucun de ces nombres, ne pourrait pas être congru à leurs biquarrés j autrement la con- gruence x^^z"^ àmsiït plus de quatre racines (n° 43). On déduit facilement de là que les nombres i , 2 , 3 , . . . .^m fournissent seu- lement m biquarrés incongrus, pour lesquels, parmi les mêmes nombres , on en trouvera m qui leur sont congrus^ les autres ne pourront être congrus à aucun biquarré. 2°. Suivant un module premier de la forme 8/z-|-i , — 1 peut être rendu congru à un biquarré ; c'est-à-dire que — i sera résidu hiquadratique de ce nombre premier. En effet le nombre des résidus biquadratiques moindres que 8/z-f-r (zéro excepté), sera = 2/z, c'est-à-dire, pair. Or on prouve facile- ment que, si r est résidu biquadratique de 8/z-f-i , la valeur de l'ex- pression - (mod. 8/z-f-i ) est un pareil résidu. Donc on peut dis- tribuer les résidus biquadratiques par classes, comme nous l'avons fait, au n° 109, pour les résidus quadratiques, et le reste de la démonstration est exactement le même qu'à l'article cité. 3° Soit maintenant g''^ — i et h la valeur de l'expression - (mod. 8/2 + 1). On aura alors {g-à:zhyz=g''-^h'":t:2gh^g''-\-h''zk.2, puisque gh^i ; mais g^^ — 1; donc g'^h"^ — /z*: d'ailleurs. . . g^h'=g\g^h''^g% donc g^^—h^ ou^'+A'=o, et (^•=fc/z)'==fc2; c'est-à-dire que +2 et — 2 sont des résidus quadratiques de 87z-|- 1. 1 16. Au reste on tire facilement de ce qui précède la règle géné- rale suivante: -4-2 est résidu de tout nombre qui n'est dii^isible ni par 4 ni par aucun nomlpre premier de laforme 8n4-3 (?« 8ûHr5, AKITHMÉTIQUES. S5 et non-résidu de tous les autres , par exemple, de tons ceux de la forme 8/z + 3, 8/2-f-5, tant premiers que composés. — 2 est résidu de tout nombre qui n'est divisible ni par 4 ni par aucun nombre premier de la forme 8n-l-5 ou 8/2-1-7, ^^ non^ résidu de tous les autres. Ces théorèmes élégans étaient connus ^q Fermât {Op» mathém., p, 168); mais il n'en a point donné la démonstration, qu'il a dit avoir trouvée. Depuis, Euler l'a toujours cherchée en vainj mais Lagrange en a publié le premier une démonstration rigoureuse (^Noui^. Mém, de VAc, de Berlin. i/yS, p. 349/ 35 1 ); et il paraît c^xCEuler ne la connaissait pas encore quand il a écrit la dissertatiou que renferme le T. i des Opuscula analyt,, p. 259.' ^*^'^' 117. Passons aux résidus +3 et — 3^ et commençons par le dernier. On trouve par la table II que les nombres premiers dont *-3 est résidu, sont 3, 7, i3, 19, 3i, 37, 43,61,67,-73, 79, 97, parnii lesquels il n'y en a aucun de la forme 6/z -f-5. On démontre comme il suit qu'au-delà des tables il n'y a pas de nombres de cette forme dont — 3 soit résidu: il est d'abord évident que tout nombre com- posé de la forme Çin-\-S renferme un facteur premier de la même forme; ainsi, quand il sera démontré qu'il n'y a pas de nombres premiers de la forme 6/z-|-5 dont — 3 soit résidu, il demeurera prouvé qu'il n'y a pas non plus de nombres composés. Si donc au-delà des limites de la table il y avait de tels nombres, soit /le plus petit de tous, et qu'on ait û''= — "S-^-tw, alors en prenant a pair et moindre que /, on aura un ^ tu se,rait de la forme 56/Z + 3, et partant f /:/ de la forme i2/z-|-i; donc|z^ serait de iâ forme 6/2 + 5-, or il est clair que — 3 serait aussi résidu de ^z/, ce qui est absurde, puisque \u^t\ donp — j3.,ne sera résidu d'aucun nombre de la forme Q^n-^IS. . ^_,^^^^^^.^ ]^ tab oJaîiô Comme tout nombre de la forme 6/z -|-5 est contenu sous la forme 86 RECHERCHES i2;z-f-5, ou i2n-\-ii, et que la première revient à 4^2+1 et la seconde à 4^-|-3, on a les théorèmes suivans: I. — 3 et +.3 sont non-résidus de tout nombre premier de la forme i2n-{-5>. II. — 5 est non-résidu 3 ^/4-3 résidu de tout nombre premier de la forme lan-f-n» ' 1 16. On trouve dans la table II, que les nombres dont 3 est résidu sont Z, II, i3, nZj 37, 47^ ^9* 61 > 71 ^ 73 , 83, 97, parmi lesquels aucun n'est de la forme 12/2 + 5 ou i2/z-|-7', or on démontrera, comme dans les n'^s 112, 11 3, 117, qu'il n'j a absolument aucuns nombres de cette forme dont le résidu soit +3 j ainsi nous ne nous y arrêterons pas. Nous en conclurons donc à l'aide du n" xii , les théorèmes suivans : I. ^- 3 e/ — 3 sont non-résidus d'un nombre premier quelconque de la forme i2n-f-5. ■II. -f-3 est non-résidu, — 3 résidu de tout nombre premier de la forme i2n+7. 119. Cette méthode n*apprend rien pour les nombres de la forme i2/z-f"i j qui demandent des artifices particuliers. L'induction fait voir aisément que -|-5 et — 3 sont résidus de tous les nombres pre- miers de cette forme. Or il suffit de démontrer que — 3 l'est effecti- vement, puisqu'alors +3 le sera aussi (n" m)*, mais nous allons faire voir plus généralement que — 3 est résidu de tout nombre pre- mier de la forme 3/z-f-i. Soit p un de ces nombres premiers , et a un nombre appartenant àl'exposant 3, suivant le module p: et il est évident qu'il existe de tels nombres, puisque 3 divise /? — i (n°55). On aura ainsi <2^ — 1^0 (mod.;p), c'est-à-dire a^ — i =(^ — i )(a*-f-«-f-i ) divisible par/?; mais on ne peut pas avoir a^i (mod. /?), parceque i appartient à l'exposant i ; donc a — i n'est pas divisible par p , et partant «''+(2-4-1 le sera. D'où il s'ensuit que 4^'-f-4^H~4 le sera aussi, c'est-à-dire qu'on aura (2^+1 )'^ — 3 (mod. p),ou que — 3 sera résidu de />. Au reste il est clair que cette démonstration, qui est indépen- dante des précédentes, renferme aussi les nombres premiers de là forme la/z + y, cas que nous avons résolu dans le n" précédent. ^ ARITHMÉTIQUES. 87 Nous observerons encore qu'on pourrait employer ïâ méthode des n"'^ 109 et u5j mais pour abréger nous ne nousy arrêterons pas. 120. On déduit facilement de ce qui précède les théorèmes sui- vans (n°* 102, io5^ io5): I, —5 est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par S, ni par 9, ni par aucun nombre premier dç la forme Çm-^S , et non-résidu de tous les autres* II. +5 est résidu de tous les nombres qui ne sont dii^isibles ni par 4} ni par 9, ni par aucun nombre premier de la forme i2n + 5 ou i2n-f-7, et non-résidu de tous les autres. On doit remarquer surtout ce cas particulier : — 5 est résidu de tous les nombres premiers de la forme 5/z.-f- 1 , ou, ce qui est la même chose , de tous ceux qui sont résidus de 5; et il. est non-résidu de tous les nombres premiers de la forme 6«-{-5, ou de tous ceux de la forme 5«-f-2 (2 excepté), c'est-à-dire de tous ceux qui sont non-résidus de ^ , et l'on voit facilement que tous les autres cas suivent naturellement de celui-là. Les propositions relatives aux résidus 4- 5 et -^Z, étaient con- nues de Fermât (Opera TVallisii , T» 11 y p, SSy)*, mais Euler est le premier qui les ait démontrées ( Comment. Jioi^.Petrop» T, viu , p. io5), c'est pourquoi il est encore plus étonnant que la démons- tration des propositions relatives aux résidus -{- 2 et — 2 aient f ou- JQurs échappé à sa sagacité, puisqu'elles sont appuyées sur les mêmes principes. On peut voir aussi les Recherches de Lagrange (Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin. lyyS, p. ^Sj). 121. L'induction fait voir que +5 n'est résidu d'aucun nombre impair de la forme 5n-^2 , ou 5;z -j- 3, c'est-à-dire d'aucun nombre impair qui soit non-résidu de 5 lui-même. Or nous allons démontrer que cette règle ne souffre aucune exception. Soit, s'il est possible,/ 1er plus petit nombre à en excepter, 5 sera résidu de /, et t non-résidu de 5, Soita'=5-f-^"> desorte que «soit pair et < 4-11 » +15, 4-17, 4- 19 , il est clair que l'on peut juger de tous, excepté de ceux qui sont de la forme 20/z4- 1 > 0^1 20/z-f-g. 123. Par induction, on trouve facilement que 4-5 et — 5 sont résidus de tous les nombres premiers de la forme 20/z-f-i et20/z-f-9; et si cette proposition est généralement vraie, on aura cette loi élégante que 4- 5 est résidu de tous les nombres premiers qui sont résidus de 5 lui-même , ( car ces nombres sont contenus dans les formes S/z-f-i , ou 5/z-f-4, ou ce qui revient au même dans les formes 20/24-1 ,4-9, -f-ii, 4-19, parmi lesquelles la troisième et la quatrième ont déjà été traitées), et non-résidu de tous les nombres premiers impairs , qui sont résidus de 5 , comme nous l'avons déjà démontré plus haut. Or il est clair que ce théorème suffit pour juger si -|- 5 et partant — 5, qui n'est autre que 4-^X — I , sont résidus ou non-résidus d'un nombre donné quelconque. On peut observer aussi l'analogie de ce théorème avec celui du n" 120 sur le résidu — 3. Mais la vérification de cette induction n'est pas facile. Quand le nombre proposé est de la forme 20/24-1 > ou plus généralement de la forme 5n-\~i , on peut employer une méthode semblable à celles des n°' 114, 119. Soit en effet a un nombre quelconque appartenant A R 1 1 H M É T J Q U E s. 8^ apparlenant aTexposant 5, suivant le module 5/2 -f- i, nombre qu'on a appris à trouver dans la section précédente, on auraa^^i, ou (a—i) (a^+a^+a"-i-tz-|-i)^o (mod. 5/2 + 1). Mais comme on ne peut avoir a^i , il s'ensuit qu'on àiira a^-\-a^-^a^'^a c'est-à-dire, que Sa^ est résidu de 5// + i -, et partant 5 lui-même , puisque a^ est un résidu non-divisible par S/z-f-ij car, à cause de a^^i , a n'est pas divisible par 5/z+i. Comme le cas où il est question d'un nombre premier de la forme 5/2-1-4 demande des artifices particuliers de calculs, et comme nous traiterons par la suite, d'une manière générale, les propositions au moyen desquelles on peut résoudre ce problême , nous nous contenterons d'en parler ici en passant. 1 o. Sïp est un nombre premier,et b un nombre aussi donné non-résidu de /?, la valeur de 1 expression ^^ — —^ — -j^ — = -4 , dont le développement ne contiendra pas d'irrationnelles, sera tou- jours divisible par p , quelque valeur que l'on attribue kx. En effet il est clair, par l'inspection des coelïiciens qui naissent de ce développement, que tous les termes , depuis le second jusqu'à l'a- vant-dernier inclusivement, sont divisibles par/?, et que partant A^2. (p-^j) fst''-{-a:b^-^^^\ (mod. p) ', mais parceque Z> est non- résidu de;», on aura b^^^^^ — i (mod./?), ( n" io6)jor on a toujours x^^a: (section précédente), d'où s'ensuit yi^o. a°. Dans la congruence A^o, l'indéterminée x aura p dimen- sions , et fous les nombres o, 1,2, 3..../? — i , seront racines de cette congruence. Soit e un diviseur Ae p-\-\ , l'expression. . . i^ — ■ '■ — -^ =^, que nousrepresenterons par iî, sera rationnelle, X jaura e — i dimensions, et il est constant parles premiers élémens d'analjse, que ^ est divisible par B. Or je dis qu'il ja^ — i va- leurs, qui rendent ^ divisible par;;. En effet, soit Az=.BC, x aura dans C, p — e-|-i dimensions, et partant la congruence C^o ( mod. p ), ne pourra avoir plus de/7r— ^-|-i racines, d'où il suit M c)ô R E C H E R C H E S que Jes ^ — 'I autres nombres pris dans la série o^ i, 2, .. .;j—i^ seront racines de la congruence B^o, 5°. Supposons maintenant p de la forme 5/z4"4> ^=5, h nn iion-résidu de y^, et le nombre a déterminé de manière à rendre ia-\-\/by—(a-~\^bY ,...11 ^ - ^ • ^ > — - — j — ^ divisible par /?. Cette expression devient =ioa^-|-2oa'Z>+2Z>^=2 {(Z>+5a^)' — 20iz^ }•, donc (Z?+5ii^) — soa^^o (mod. p)'., c'est-à-dire que 20^*^ est résidu de;;; mais comme 4'^^ est im résidu non-divisible par p , ( car on voit facilement que a lie peut être divisible par /? ) , 5 sera lui-même résidu de /7. Il est clair par là que le théorème énoncé au commencement de cet article est généralement vrai. Observons encore que les démonstrations des deux cas sont dues à Lagrange, {Mémoires de l'Académie de Berlin, lyj^, p. 352 ). 124. On démontre par une méthode semblable que — 7 est non-résidu de font nombre premier qui est non-résidu de 'j , et Von peut conclure par induction, que — 7 est résidu de tout nombre qui est résidu de 7 ; mais personne n'a encore démontré rigoureusement cette seconde partie. Pour les nombres qui sont résidus de 7 et de la forme /^n — i, la démonstration est facile, car on peut démontrer par la méthode précédente qui est main- tenant assez connue, que -f- 7 est toujours non-résidu de ces nombres, et partant — 7 résidu. Mais nous sommes peu avancés parla, car les autres cas ne peuvent être traités par cette mé- thode. Il J a cependant un cas qui peut être résolu de la même manière qu'aux n''^ 119, isS. Soit/7 un nombre de la forme 7//+ 1 , et a un nombre appartenant à l'exposant 75 on voit facilement que l^^^=(2a^+a'— -a — 2)^ + 7 («=^ + ^z)^ = o, et que partant ■' — 7 (fl^ + ^y est résidu de/?. Mais {a^-\-ay comme quarré, est ré- sidu de/7-, de plus il est non divisible par/7. En effet tz n'est ni^o, ni ^ — I (mod. p) , cest-à-dire que ma, ni a-f-i ne sont divi- siblespar/7, et partant le quarré {a — i )^ ^zMie l'est pas nonplus. Donc 7 lui-même est résidu de p. Mais les nombres de la forme 772 + 2, ou 7/Z + 4 échappent à toutes les méthodes que nous avons fait connaître jusqu'à présent. Au reste, cette démonstration est encore due à Lagrange , ( ibidem ). Nous montrerons plus bas gé- ARITHMÉTIQUES. 91 néralement, section Y II , que l'expression -'^^/ pent toujours être ramenée à la forme X'=p;?jr% X et T étant des fonctions rationnelles et entières de x , et où l'on doit prendre le signe su- périeur, quand p est un nombre premier de la forme 4'z-f-i,et le signe inférieur, quand p est de la forme 4/2-{-3. Lagrange n'a pas poussé cette analyse au-delà du cas où ;? =7 ( Ployez ibidem), 125. Puisque les méthodes précédentes ne suffisent pas pour établir des démonstrations générales , il est temps d'en exposer une autre exempte de ce défaut. Commençons par un théorème dont la démonstration nous a long-temps échappé, quoique au premier aspect il paraisse si facile, que plusieurs auteurs n'ont pas même cru qu'il fût nécessaire de le démontrer. C'est celui-ci : Tout nombre, si Von en excepte les quarrés pris positi^>ement , est toujours non-^ résidu de quelques nombres premiers» Mais comme ce théorème ne nous servira que d'auxiliaire pour d'autres démonstrations , nous ne présenterons que les cas dont nous pourrons avoir besoin; les autres se trouveront démontrés par la suite. Nous allons donc fliire voir que tout nombre premier de la forme 4'i~l~ i ^^^i V^' sitify soit négatif, est non-résidu de quelques nombres premiers, et même de nombres premiers plus petits que lui (^), Quand le nombre premier/? de la forme 4^^+ i est pris négative- ment, soit 2^ le nombre pair immédiatement plus grand que \/p. On voit facilement que J^a" est toujours < 2/7 i^"^) ou que 4^^ — P d'^"^ ^1 ^"it 4a*— 2p=i — 2/i-f 2m— m^=2(i — k) — (m — i)* ou 4a'- — 2p=2(4 — k) — (m — 2)» or dans le premier cas on a évidemment 4a* — 2/7 <;o, puisque k ne peut pas être plus petit que 4- Dans le second cas , l'assertion est en défaut pour tous les nombres dans lesquels k <^4 (ce qui exige qu'on ait k=n , puisque k est de la forme 4«+i)> ^t fm — 2,y<^S , c'est-à-dire , pour les nombres pour lesquels m = 2 ou m = 4'> ces nombres sont donc 2^-f- 1 =5 et 4*+ 1 ^= 17 j ^^'^^ pour tout autre on aura 4«''— -2p<;o. On peut substituer la démonstration suivante qui n'offre aucune exception. 92 RECHERCHES Mais 4^* — p est de la forme 4/?-|-5 et -^ p est résidu quadratique de /^a^ — p , puisque /^a'^p (mod. /^a" — p)> Si donc ù^a'' — p est im nombre premier, — p sera non-résjdii j dans le cas contraire l^a"" — p renfermera un facteur de cette forme*, donc -j-;? sera ré- sidu, et partant — p non-résidu. Quand le nombre premier est pris positivement , il est néces- saire de distinguer deux cas ;, celui où p est de la forme S/z-f- 5, et celui où il est de la forme S/z-f-i. Soit d'abord y[? de la forme 8/z -f- 5 , prenons tin nombre po- sitif quelconque a 5, g, 5, on trouvera dans (I) 2, i , 3 , i , i, termes divisibles, et 2 1,5, I , I dans (IJ) respectivement -, or le produit de tous les termes de (l)=9720 qui est divisible par 5240, produit des termes de (II). Démonstration. Soit Q le produit de tous les termes de (I), et Q' le produit de tous les termes de (II), il est évident que tout nombre premier diviseur de Q' le sera aussi de Q. Prouvons main- tenant que tout fdcteur premier de Q' est au moins élevé à la même puissance dans Q. Soit p ce diviseur, et supposons qu'il j ait dans la suite (I) a termes divisibles par p et nou par p'' , h par /?" et non par p'^ , c par p^ et non par p^ , etc. \ a, b' , c' , elc. a^-ant la même signification dans la suite (II). On verra facilement que a-\-ih •+-3c + etc., est l'exposant de/? dans Ç, et a'-|-2Z;'-f-5<:'-j-etc., l'ex- posant de p dans Ç'; mais d n'est cerlainement pas ]> iZ , ni Z>' >> ^, etc. par hypothèse j donc aussi d-\-'ih'-\-'^c'-\- ç:\çi. , ne sera pas '^ a-\-ih'\-'^c-\- etc., ainsi, comme aucun nombre premier ne peut avoir un exposant plus grand dans (^ que dans Q , Q est divi- sible par Ç' ( n° 17). 127. Lemme. Dans la progression 1,2, 3, 4. . . . n, z7 ne peut y auoir plus de termes divisibles par un nombre quelconque h , que dans la progression a,a4-i, a-j-2, a-f-n — i, qui a le même nombre de tei'mes. En effet on voit sans peine que si n est divisible par hy'ûy a dans chaque progression j termes divisibles par h j sinon soit 72= /z^-f-y, /étant '} sera divisible par p *, car sera entier et pair, puisque (bjp. ) a est de la forme S/z-f- 1 , et b* l'est aussi comme quarré d'un nombre impair , tandis que p est au plus divisible par 4» On conclut enfin de là qu'il J a dans la série (I) autant de termes divisibles par/7, qu'il J en a dans la série (III) de congrus avec r suivant le mo- dule p , c'est-à-dire autant ou plus qu'il y en a de divisibles par/^ dans la série (II ). 3°. Soit p de la forme 8/z , ei a^r" { mod. 2/7) ', car on voit faci- lement que a étant résidu de /;, le sera aussi de 2/?, Alors dans la ARITHMÉTIQUES. 95 5érie (HI), il j aura au moins autant de termes congrus à r suivant p y qu'il j en a dans (II) de divisibles par/>, et ils seront tous iné- gaux; mais à chacun d'eux, il en correspondra un dans la série (J) qui sera divisible par/?. Si en eiïetzbZ>^r (mod. p), on aura b^^r'^ (mod. 2yy) (^), et partant ^ ( ^—Z>" ) , et à plus forte raison a {a — b"") seront divisibles par p. Donc il y aura au moins autant de termes divisibles par ;t; dans (I) que dans (II). 129. Théorème. Si a est un nombre premier de la forme 8n+ 1 , il y aura nécessairement au-dessous de 2\/a, un nombre premier dont a est non résidu* En effet, soit s*il se peut a résidu de tous les nombres premiers plus petits que \^:ia, il est clair que a serait aussi résidu de tous les nombres composés plus petits que 2\/a (n° io5). Soit m le nombre immédiatement plus petit que \/a. Alors dans la série (I) il J aura au moins autant de termes divisibles par un nombre quel- conque <2 v/a que dans la série (II) du n°. précéd.; d'où il suit que le produit Ç de tous les termes de (I) est divisible par le pro- duit Ç' de tous ceux de ( III) (u° 126); mais le premier est a {a i) {a — 4) . . . (^ — 772^) ou la moitié de ce produit, suivant que m est pair ou impair. Or puisque Ç est divisible par Ç' et que tous les facteurs de (II) sont premiers avec«, il s'ensuit que -2. est di- Visible par Ç'. Or Ç' peut être mis sous la forme (77z-|-i).(772+r — i)(77zH-r— 4) (^J^^' -^m^^ ^ et l'on aurait ^ ^ — ' « — 4 a — m' , " 7714- 1 * ^=^^ — • î — • • • • X = un nombre en- ~ 7714-1 1 /?l-(-l —4 771-fl Tfi" tier, quoique ce soit le produit de plusieurs fractions plus petites que l'unité, puisque \/ a étant irrationnel, on ain-^i^y^aet par- tant (m-^-iy-^a. Il suit de là que notre supposition ne peut avoir lieu. Or comme a > 4 , on aura 2 \/a , b' y b", etc. les nombres premiers de la forme 47z4-3, par y4 , A' , A\ etc. les nombres quelconques de la forme 4/z+i , par By B' y B" y etc. les nombres quelconques de la forme 4«-|-3. Enfin la lettre R placée entre deux quantités, indiquera que la première est résidu de la seconde, et la lettre N indiquera le contraire. Par exemple, 5jR i i, 2iV5, indiqueront que 5 est ré- sidu de 1 1 , et que 2 est ziou-résidu de 5. Maintenant, ARITHMETIQUES. 97 Maintenant, à l'aide des ihéorèmes du n° m, on déduira du .ihéorèmo fondamental les propositions suivantes: Si on aura I . . rt aPiii i±: a Ma 2 . . rir aJSa ± uNa ^••;^:a =-^- ^•■{tS} =^^-^^ 5.. ±:bRa {-haRb l—aNb 6.. zhbNa i-h^iNl> l—aRb ^-hbRb'i i-j-b'Nb' "' ' l—bNb'S \—b'Rb' g i+bNb') i-\-'b'Rb "l-^bRb') l—b'Nb i52. Ce tableau renferme tous les cas qui peuvent se présenter quand on compare deux nombres premiers; le tableau suivant ren- ferme ceux qui conviennent à la comparaison des nombres quel- conques. Si on aura ^.•àzaRA dzAR'cz lO.ztbRA {-^ARb X — ANb ii.-^aRB dizBRci 12. -~aRB zàzBNa lo.-i-bRB i—BRb \'\-BNb i^.^bRB i+^^^ X'-BNb. N 98 R il CHERCHES Comme les mêmes principes conduisent aux demonstrations â& ces propositions, il n'est pas nécessaire de les développer toutes; la démonstration de la proposition 9 que nous plaçons ici, peut servir de modèle; mais, avant tout, il faut observer que tout nombre de la forme 4'?-}-i ne renfermera aucun facteur de la forme 4^^4-3, on en renfermera un nombre pair parmi lesquels il pourra y en avoir d'égaux; tandis que tout noiTibre de la forme /^n-j-S doit en ren- fermer un nombre impair. Le nombre des facteurs de la forme 4'?4-i reste indéterminé. Passons à la démonstration de la proposition 9. Soit v^ le produit des facteurs premiers a, a", a", etc. b , b' , b" , etc. ; le nombre de ces derniers sera nul ou pair. Or si a est résidu de ud , il sera résidu de tous les facteurs a' , a" y a" , etc. b , b' , b" , etc.; donc, par les pro- positions I et 3 du n° précédent, chacun de ces facteurs sera résidu de a y et partant leur produit A\ donc (n° m) — 'A le sera aussi; mais si — a est résidu de ^, il le sera de tous les facteurs de A y et chacun des nombres a\a"y etc. sera résidu de a y tandis que chacun des nombres b , b' , etc. sera non-résidu; mais comme ces derniers sont en nombres pair, le produit total -d? sera résidu de a , et par conséquent aussi — A., i53. Donnons encore plus de généralité à nos recherches. Consi- dérons deux nombres quelconques P et Q impairs et premiers entre eux, affectés de signes quelconques. Concevons P, abstraction faite du signe, décomposé en facteurs premiers, et désignons par p le nombre de ceux dont Q est non-résidu, en comptant plusieurs fois les facteurs qili entrent plusieurs fois dans P et dont Q est non- résidu. Soit de même ç le nombre des facteurs de Q dontP est non- résidu. Les nombres /? et ç auront entre eux une certaine relation dépendante de la nature des nombres P et Q ; savoir, si l'un des nombres pç est pair ou impair, la forme des nombres P et Q apprendra si l'autre est pair ou impair. Cette relation est présentée dans la table suivante: • petq seront à-la-fois pairs ou impairs quand les nombres P et Q seront des formes : i-f-^ et -\-A' a-^Aet—A' '6-\- A et -f i? 4+ A et —D b — A et —A' . . . . 6-f ^ et — B'. Au contraire, l'un sera pair et l'autre impair quand P et Q au- ARITHMÉTIQUES. 99 r-ont iinç des formes y_,^et-+-/; 8 — ^et-^ 9-f 2? et-^£' ic — 5 et— B' . ILxemple. Soient les nombres proposes — 55el-f-ii97 cjni doi- vent êti'e rapportés au If cas. 1197 est non-résidu d'un seul facteur premier de 55 savoir, 5^ mais — 55 est résidu de trois facteurs pre- miers de 1197, savoir, 5, 5, 19. Si P et Ç désignent des nombres premiers, ces propositions re- viennent à celles dun^iSi. En effet, dans ce cas yy et , il y en ait m non-résidus de/, rtï non-résidus de/', ni non-résidus def, etc. On voit facilement que l'on aura s-=:jn-\-m'-\-jn-\-Qic. , ett^ue^y exprimera combien il y a de nombres impairs parmi m, ni , ni etc, d'où il suit que ^^ est pair quand/? est pair, et impair quand p est impair. loo RE CITER CITES 2°. Ce que nous venous de dire a lien de quelque manière qu'on» décompose Q en facteurs. Passons aux cas particuliers. Consi- dérons d'abord le cas où l'un des nombres P est positif, et l'autre Q, de la forme -f--^ ou — B; décomposons P et O en facteurs pre- miers, en donnant à tous les fadeurs de P le signe + , et le signe + ou le signe — à chacun de ceux de Q , suivant qu'ils seront de la forme a ou l? , et Q sera alors de la forme -f-v^ ou — B , comme l'hypothèse l'exige. Combinons chacun des facteurs de P avec chacun des facteurs àe Q , et désignons comme ci-dessus par s le nombre des combinaisons dans lesquelles le facteur de Q est non- résidu du facteur de P , et semblablement par / le nombre de celles oil le facteur de P est non-résidu du facteur de Q. Il suit du théo- rème fondamental que ces combinaisons doivent être identiques^ donc s = t. Enfin de ce que nous avons démontré tout-à- l'heure, il suit que p^s (mod. 2) et q^t (mod. 2 ), d'où p^ç (mod. 2). Les propositions i, 5, 4j ^ ^"^i n° i55 se trouvent dé- montrées par là. On peut démontrer les autres propositions directement de la même manière; mais elles exigent une considération nouvelle, et il est plus aisé de les déduire, comme il suit, des précédentes. 5°. Désignons de nouveau par P et Q des nombres quelconques^ impairs et premiers entre eux , par /? et ç le nombre de facteurs pre- miers de P et Ç, nombres dont Q et P sont respectivement non- résidus. Soit enfin p' le nombre de facteurs de P dont — Q est non- résidu : quand Q sera négatif par lui-même, il est évident que ^-Ç indiquera un nombre positif. Distribuons maintenant les fac- teurs de P en quatre classes. (1) En facteurs de la forme a, dont Q est résidu. (2) En facteurs de la forme ù, dont Q est résidu ^ soit leur nombre %. (5) En facteurs de la forme a, dont Q est non - résidu ; soit leur nombre -4^. (4) En facteurs de la forme b , dont Q est non - résidu 3 soit leur nombre co. On voit facilement que ;; = -vj/ -f- « , et ;t?' = x4-4'7 ^'°^ p' — p = X — ^- ARITHMETIQUES. ,oi Quand P sera de la forme ±^, on aura x+^^o (mod 2), (n°i52), et parcoDséqiient % — ce^^M, ou % — cù^o (mod. 2); donc/— -;7 = o (mod. 2). Quand P est de la forme rfc^ on trouve par un raisonnement semblable que p et p sont incongrus suivant le module 2. 4% Appliquons cela aux différens cas. Soient d'abord P et Ç de la forme 4-^, on aura (prop. i)p^^q (mod. 2); mais (5\ );?'== ;?; donc p^q (mod. 2), ce qui s'accorde avec la proposition 2. De même si P est de la forme —A et Q de la forme -\-A, on aura p^q (mod. 2), par la proposition 2 que nous venons de démon- trerj donc ^ comme p'~p, on aura p'^q; ainsi la prop. 5 est démontrée. On déduira de la même manière la prop. 7 de la prop. 5, la 8e de la 4e ou de la 7% la ge et la lo^ de la 6e. i35. Les propositions du n° i55 ne sont à la vérité pas démon- trees par le n° précédent j mais nous avons fait voir que leur vérité dépend de la vérité du théorème fondamental que nous avons sup- posé; et par la méthode que nous avons suivie pour les déduire, il est évident qu'elles ont lieu pour les nombres P et Ç, si le théorème fondamental a lieu pour tous les facteurs premiers de ces nombres comparés entre eux, quand même il ne serait pas généralement vrai. Passons maintenant à la démonstration du théorème fondamental. Pour rendre plus clair ce qui suivra, il est bon de prévenir d'avance que lorsque nous dirons que le théorème fondamental est vrai jus- qu'à un nombre M, nous entendrons par là qu'il a lieu pour deux nombres premiers quelconques dont aucun n'est plus grand que M. On doit entendre la même chose, lorsque nous dirons que les théo- rèmes des n- i3i, i32, i53 sont vrais Jusqu'à une certaine limite. Au reste, on voit que si la vérité du théorème fondamental est cons- tatée jusqu'à une certaine limite, ces propositions xiuront aussi lieu jusqu'à la même limite. i36. La vérité du théorème fondamental pour de petits nombres, se découvre facilement par l'induction ; ainsi on aura une limite jus- qu'à laquelle il aura lieu. Nous supposons cette induction établie, et il est absolument indifférent jusqu a quel point on la pousse. Ainsi il suffirait de la continuer jusqu'au nombre 5, ce qui se fait par une seule observation, puisqu'on a ±5A"3 et =b53'5. ïoa PvE CHERCHES Or si le théorème fondamental n'est pas généralement vrai , il existera ime limite T jusqu'à laquelle il le sera; desorte qu'il n'ait pas lien pour le nombre immédiatement plus grand T-f-i : ce qui revient au même que si nous disions qu'il y a deux nombres premiers dont le plus grand est 2'-f- i > q"i sont contraires au théorème, quoique deux autres nombres quelconques s'accordent avec lui , pourvu qu'ils soient plus petits que J"-}-!* D'où il suit que les propositions des n°^ i5i , i52, i53 auront lieu jusqu'à T. Nous allons voir que cette supposition ne peut subsister. H j a plusieurs cas à distinguer, suivant la forme qu'affectent T-f- 1 et le nombre premier plus petit que lui qui , comparé à T-f- 1 , contrarie le théorème. Désignons ce nombre par p* Quand T+i et p sont de la forme /^n-\-i , le théorème fondamental pourrait être faux de deux manières, savoir, si l'on avait à-la- fois, ou d=;^i?(T+i) et ±(r4-i)iV;?, o}izt:pN{T-\-i) et =t:(r+i)Z?/7. Quand T+i et p sont de la forme 4^-f-5, le théorème fon- damental est faux, si l'on a en même temps ou pR(T-j-i) et — ÇT-i-i)Np , (ou, ce qui revient au même, — p]\(T-{~i) et 4_(r+i)/?/?, ouH-;?A'(^+0 et — (r-f-i)/?;^, ou^-pRiT+i) et^(T-{-i)Np. Quand T-j-j est de la forme 4^ + i f et ;y de la forme 4^+S, le théorème fondamental est faux, si l'on a à-la-fois ou r±:yyi?(T'-f-i) ei^(r-^i)Np) ou--(7H-i)i?/? ou ^b;?A(r+i) et— (7H-i)^>. ou -f-(J'-|-i )/?/;. Quand T+i est de la forme 4^-^-5, et p de la forme 4«-ri^ le théorème fondamental est faux, si l'on a ou pR{T-\-i) , ou— yt7iV(r-f-i) el'd=.{T-i-i)Np; on -{-pN{T-\-i) , on—pR{T-\-i) et àz(T'^i)Rp, Si l'on peut démontrer qu'aucun de ces cas n'a lieu, il sera, certain que la vérité du théorème fondamental n'est limitée par aucun -terme. Entreprenons donc cette tâche*, mais comme plu- sieurs de ces cas dépendent des autres , nous ne pourrons conserver l'ordre dans lequel nous les avons présentés. 137. Premier cas. Quand T+i est de la forme 4^i-i-i(=a) » ARITHMÉTIQUE S. loS et p de la même forme , et que Von a dzpRa ^. on ne peut pas avoir -baNp. C'est le premier cas du n° i5i. Soit -\'p^e'' (m.Q>à , a) et e pair et <^ay ce qui est toujours pos- sible. Il j a deux cas à distinguer : 1°. Quand e n'est pas divisible par ;!?. Soit e'^-=p~\-af, f içva. positif et de la forme /\tî-\-o, (on de la forme B) ^ p de la forme 4»+ 5, et quezi=:^'R(Ji-\-\) , oti jie peut pas apoir H-(T-|-i)N"p, ou — (T-j-i)Rp. C'est le cinquième cas du n° i3i. Soit, comme ci-dessus, e'^-=p-\-fa, e pair et <^a\ 1°. Quand e n'est pas divisible par p , f ne le sera pas non plus; d'ailleurs y sera positif, de la forme /\n-\-i (ou A) et <). De (a) il suit que \^pd^ /2]=o, et partant (P^'op* ^ ^^3, n° i33) IJiypd] pair, c'est-à-dire que h sera résidu ou non-résidu de/? et de d. Dans le dernier cas, il suit de (/S) que dzapNd et comme par lijpothèse dszaNd , on aura dszipRd \ donc, par le théorème fondamental qui a lieu pour les nombres p et d moindres que T+i, àzdRp. De là et de ce que JiNp entire, au mojea de (>), zkzaNp. Dans le premier cas, de (/i) on tire zhapRd , d'où zhpNdy ztdNp; de là enfin et de hRp on déduit, au mojen de y, draNp» 5\ Quand e est divisible par d et non par p , la démonstra- tion ARITHMÉTIQUES, ,o5 «ion procède presque de la même manière que dans l'hypothèse précédente, et ne pourra pas arrêter celui qui l'a bien concne J Quand . sera divisible à-la-fois par a' et par ;, , il le sera aussi pai le produit ap; (en effet nous supposons les nombres a' et ;, iné- gaur, sans cela l'hypothèse aNa' contiendrait la relation «A>, qu'il s agit de démontrer). Soit e=ga'p et g'a'p=r±ah, h sera <« e premier avec^ et a'; il sera pour le signe supérieur de la forme jn+Z, et pour le signe inférieur de la forme 4« + ,. Or on voit laciiemeat que de cette équation on peut déduire a'pRh, ±ahpRa', ±aa'hRp, relations qui s'accordent avec celles trouvées (l'X Quant an reste, la démonstration est la même. ' ^ II. Quand le nombre premier est de la forme An + Z la dé- superflu de la placer ici. Nous observerons seulement, en fa- veur de ceux qui veulent la faire eux-mêmes (ce que non" e- tion e -bp±f, dans laquelle b représente le nombre premier de considérer séparément les deux signes. ^ ' 140. Quatrième cas. Qua,2d T+i est de la forme 4n + i(-=a) p ^e la forme 4n+3 ., ±pNa, .„ „. peut a.cir ^J^o- — alMp. Sixième cas du n» i3i. t-^np, ou Nous omettons la démonstration de ce cas, parcequ'elle est absolument semblable à celle du troisième. 141. Cinquième cas. QuandT:+, est de la forme An + ZC-hS et p delà même forme , et gue l'on a pRb. ou-Jtoa ne peut a.o.r +bRp, ou -bNp. Troisième cas dun» i 3..' Soit p=e' (mod .b), e étant pair et <ô. I. Quand e n'est pas divisible par;.; soit e'=p+bf /-.era positif, il s^en- suitque b/=p-{-e^<:,b^ — b, ou fi6, et le plus petit nombre premier de la forme 8/z-f-i (i excepté) est 17. Soit ce nombre =p , on aura, par le théorème fonda- mental, pNa^, d'ailleurs dz2Na, donc zkzupRa. Soit donc e^~2p (mod. a), e étant impair et <â^^ alors il j a deux cas à distinguer. T. Quand e n'est pas divisible par p. Soit e'' = 2p-^aqy q sera positif, »», on aura QRa , mais si ^<<ût et impair, on aura QNa y enfin si ^ (^i? par exemple, le résidu minimum de a (tnod.^) n'est divisible par aupUn nombre impair), ou que cette relation dépend de celle de ^ à des nombres premiers plus petits que lui. Il en est de même des autres facteurs p , p% etc. Or on voit facilement qu'en continuant ces opérations, on arrivera né- no E E CHKRCHES cessairement à des nombres dont les relations seront déterminées par les numéros précités. Un exemple éclaircira cetle méthode. Soit proposé de trouver larelation de 4^5 à 12^6; 1256=5.4. io5, et 455i?4 (IL .-3.) (A), 455R5 (IL i.)-, il reste donc à trouver la relation de 455 à io5j or elle sera la. même que celle de 4^ à io5, puisque ^^S^^i (mod.ioS), ou (Théor. fond.) que celle de io5 à 4i j ou encore que celle de — 20 à 4i 7 puisque — 20^ io5 (mod.40j lîiais — 20= — 1.2,2.5-, or — 1R41 (n° io8);5/?4i> car 4i ^i (mod. 5) et est parconséquent résidu de 5 (théor. fond.)j il suit de là que +4^5 R io5, ou enfin +4^5 R i256. 147. Etant proposé un nombre quelconque .^, on peut trouver de certaines formules qui contiennent tous les nombres premiers à ^ dont ^ est résidu , ou tous ceux qui sont diviseurs des nombres de la forme x^ — ^, x^ étant un quarré indéterminé. Nous appellerons simplement ces nombres diuiseurs de a;* — A', l'on voit facilement ce que sont les non-d'wiseurs. Mais pour abréger jBous ne considérerons que les diviseurs qui sont impairs et pre- miers h,A, les autres cas se ramenant sans peine à celui-là. Soit d'abord A un nombre premier positif de la forme 4^+1, ou négatif de la forme /\n — i. Suivant le théorème fondamental, tous les nombres premiers qui, pris positivement, sont résidus de A, seront diviseurs de x''—A\ mais tous les nombres premiers non- résidqs de A seront non-diviseurs de x"" — A y si pourtant on en. excepte 2 , qui est toujours diviseur. Soient r, r\ r\ etc., tous les résidus de A qui sont plus petits que lui, et n, n! , n", etc. , tous les non-résidus-, alors tout nombre pi'emier contenu dans une des formes Ak-^r, Ak^/, Ak-j-r", etc. s.ejra divjseur de x^ — A*, mais tout nombre premier contenu dans une des formes Ak^j-n, Ak-\-ri, etc. sera non-diviseur de x^ — A, k étant un nombre entier indéterminé. Nous appellerons les premièresybr/TZ^^ des dwl- seiirs de x^—^A, et les dernières /or/7z^^ des non-diviseurs. Le nombre de chacune d'elles sera égal au nombre de résidus ;-, /, etc* ou de non-résidus n, n', etc., et;4Dartant, (n° 96) =^(^— i}. Or si B est un nombre composé impair et que l'on ait ARB , tous les facteurs premiers de B seront contenus dans une des premières formes, et parconséquent ; B lui-même j donc tQut sombre com"* AKITHMÉTIQUES. tit posé impair qni sera contenu dans la forme des fion-diviseurâ sera non-diviseur de x^ — ^f mais on ae peut pas dire que les non-divi- seurs de a;'' — A sont tous compris dans la forme desnott-diviseWs, ear en supposant -5 non-diviseur de:i:^ — A, quelques-uns de ses facteurs premiers seront non-diviseurs de jc^ — -^r et si te nombre de ces facteurs est pair, £ sera compris dans quelque forme d-e diviseurs' (ft' c^S). Ainsi, soit ^ = — ii; on trouvera q^eleà formes des drviseiU'S de x'^-i-ii sont iiA + i, 2, 5, 4, 5,9, et que celles des non^ diviseurs sont 11A+2, 6, 7, 8, 10. Ainsi —11 sera résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des premières formes, et non-résidu de ceux qui sont contenus dans une des dernièreâ. On peut trouver des formes semblables pour lesdiviseursetlesrron- diviseurs de x^—^, quel que soit^>mais on voit aisémentqu'on il'â à considérer que les valeurs de ^ qui ne sont divisibles par aucun quarré-, car si A^^za^^A' , tous les diviseurs de x^-^A premiers avec A, seront diviseurs de x'-^A, et de même ponr les non- diviseurs. Or nous distinguerons trois cas ï 1°. quand ^ est de la forme 4/2-f-i ou —(4^2—1). 2°. quand ^ est de la forme4«— -i ou — (4«-|-i)- 3^ quand A est pair ou de la forme d=(4« + o). 148. Premier cas. Quand ^ est delà forme 4/z-f-i ou —(472—1). On résoudra A en facteurs premiers, a, h, c, d, etc., en affec- tant du signe + ceux de la forme 4/z-f.i , et du signe — ceux de la forme 4/z— i qui seront en- nombre pair ou impair, suivant que A sera de la forme 4/z-|-r ou — (4/2 — i) (n- 152). On dis- tribuera en deux classes les nombres plus petits que A et premiers avec lui; en mettant dans la première ceux qui ne sont non -ré- sidus d'aucun diviseur de A, ou qui sont non-résidus d'un nombre pair de ces diviseurs, et dans la seconde ceux qui sont non-résidus d'un nombre impair des mêmes diviseurs. Désignons les premiers par T, r, f , etc. et les secondes par /z, n' , n% etc.; alors Ak-^-r, '^k'^-r', etc., sont les formes des diviseurs de x"^ — A, et Ak-\'n, Ak-i-y, etc. celles des non-diviseurs. C'est-à-dire que /out nombre premier, excepté 2 , sera diviseur ou non- diviseur de x»— A, suiuant qu'il sera contenu dans l'une des premières ou l'une des dernières formes. En effbt , si ;; est un nombre premier résidu ou non-résidu 112 RECHERCHES d'un des facteurs de ^ , ce facteur sera résidu ou non-résidu de p (théor. fond.)*, donc si parmi les facteurs de v^, il j en a m dont p soit uon-résidu, ii y en aura autant qui seront non- résidus de /?, et partant, lorsque ^t? sera contenu dans l'une des premières formes, m sera pair et ARp , et lorsque p sera con- tenu dans une des dernières, m sera impair et ANp, Exemple, Soit ^=-f-io5= — '^X~\S>c — y, les nombres r, r', T"y etc, sont : 1, ^, iQ, /fi, 64, 79, qui ne sont non-résidus d'aucun fact. ; 2, 8, 23, 32, 53, 92, qui sont non-résidus de 3 et 5; 26, 4i, 59, 89, loi, 104, 5 et 7; 23, 62, 73, 82, 97, io3, 5 et 7; les nombres n, tï, n", etc. sont: II, 29, 44* T^ y l^f 86, non-résidus de 3; 22, 37, 45^ ^^ i 67, 88, de 5j 19, 3i, 34, 61, 76, 94, de 7J 17, 38, 47> 62, 68, 83, de 3, 5 et 7, On déduit facilement de la théorie des combinaisons et des n°* (32, 96) que la multitude des nombres r , r, etc. sera ,(. + fCZzii) + 'Ii^iK^4(i=i2 + etc.) . \ ' 1 .2 ' 1 .2.0.4 «^ «t celle des nombres n, n' , etc. A ^Ki-^W-^) + /(£^.)(i-.)(/--3)(/-_4) ^j^ N , V ' 1.2.0 1.2.3.4.5 / ^ désignant le nombre des facteurs a , ^ , c , ^, etc. , t étant s=2~'(a— i) (ô — i) (^ — i) etc., et chaque série devant être continuée jusqu'à ce qu'elle s'arrête d'elle-même. (En effet il y B. t nombres résidus de a, b, c, d, etc., i'-\ non-rési^ dus de deux de ces facteurs, etc. Mais pour abréger, nous sommes forcés de ne pas donner plus de développement à la démonstra- tion^. Or chacune des séries a pour somme ^.2'"*'} car la pre- mière A K I T H M É T I Q U E S. ii3 miere provient de i H h — - — - H- ^^ — — — -r — - + etc. r 1 1.2 1.2.0 en prenant le premier terme, puis la somme du second et du troi- sième, puisîa somme du quatrième et du cinquième, etc. : la seconde provient aussi de la même série , en joignant le premier terme au second , le troisième au quatrième, etc. Jl y a donc autant de formes de diviseurs de Jt^ — ^, que de formesde non-diviseurs; et ils sont en nombre 2' ~*./ de chaque espèce, ouj^(a — i)(Z> — i)(c — 1)(^ — 1) etc. 149. Nous pouvons traiter ensemble le second et le troisième cas. En effet on pourra toujours poser A = Ç — 1)«9> ou = (+2)Ç, ou =( — 2) Ç, Q étant un nombre de la forme -\-^n-^i ou — (4/z — i). Soit généralement y4 = cLQ, ensorte que a soit ou — I ou ±2. Alors yi sera résidu de tout nombre dont a et Q seront tous deux résidus , ou tous deux non-résidus : au contraire il sera non-résidu de tout nombre dont l'un d'eux seulement sera non- résidu. De là on déduit sans peine les formes des diviseurs et des non- diviseurs de ce'' — yl. Si a= — i ; nous partagerons tous les nombres plus petits que 4^ ^t premiers avec lui, en deux classes. La pre- mière renfermera ceux qui sont dans quelque forme des diviseurs de :i;* — Q^ et en même temps de la forme 4'^-|- i , et aussi ceux qui sont dans quelque forme des non-diviseurs de x'' — Q et en même temps de la forme 4'z — i : la seconde renfermera tous les autres. Soient 7*, r', 7'", etc. les premiers , et 7z , «', n", etc. les derniers ; yi sera résid 11 de tous les nombres premiers contenus dans une des formes 4-^^'-f-^> 4-^X:-f-r',4^^ + ^^ etc., et non-résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des formes /^u^k-{-7z, /\Ak'\-iî , l^Ak-^-n", etc. Si et L2, nous distribuerons tous les nombres plus petits que 8Ç et pre- miers avec lui en deux classes: la première renfermera tous ceux qui sont contenus dans quelque forme des diviseurs de x" — O, et qui sont de la forme 8/z-f-i ou 8^. -f-7, pour le signe supé- rieur, et de la forme 8/z + i ou 8/z -|-5 pour le signe inférieur; cette classe comprendra aussi tous ceux qui sont contenus dans quelque forme de non-diviseurs de .r* — Ç et qui sont, pour le signe su- périeur, de la forme 8zz-|-5, 8/z 4-5, et pour le signe inférieur, de la forme 8/z-|-.5, S/z-f-y, et la seconde tous les autres. Alors dé- signant les nombres de la première classe par r, r, r\ etc. , ceux de la seconde par n, n'y n% etc., dtsÇ sera résidu de tous les nombres P ttt ii4 RECHERCHES premiers contenus dans les formes SQk^r, SÇA-f-?', SQk-\-r''j etc. > et non-résidu de fous ceux contenus dans les formes SÇ^-f-'^^ 8Qk-{-n', BÇk-j-n", etc. Au reste, on peut démontrer facilement qu'il j a au- tant de formes de diviseurs qu'il y en a de non-diviseurs. Mxemple, On trouve ainsi que lo est résidu de tous les nombres premiers contenus dans les formes 4oA^-j-i, +5, -I-9, 4-i3, -f-27, -f-5i, +37, -f-Sg, et non-résidu de tous les nombres premiers contenus dans les formes 4o^+7> -|-ii> -j-iy^ -|-i9> 4-21, +25, +29, 4-35. i5o. Ces formes ont plusieurs propriétés assez remarquables; nous n'en citerons cependant qu'une seule. Si B est un nombre composé premier avec ^ , tel qu'un nombre mn de ses facteurs premiers soient compris dans quelque forme de non-diviseurs de ^* — A, B sera contenu dans quelque forme de diviseurs de x"" — A\ mais si le nombre de facteurs premiers de B con- tenus dans quelque forme de non-diviseurs de ^c* — -^ est impair, B sera aussi contenu dans quelque forme de non-diviseurs. Nous omettons la démonstration, qui n'a rien de difficile. Il suit de là que non-seulement tout nombre premier, mais aussi tout nombre composé impair et premier avec A est non-diviseur dès qu'il est contenu dans une des formes de non-diviseur; car nécessairement quelque facteur premier de ce nombre sera non-diviseur. i5i. Le théorème fondamental que nous avons présenté d'une manière très-simple et qui le met au nombre des théorèmes les plus élégans dans ce genre, n'a été jusqu'ici démontré par personne; ce qui doit d'autant plus étonner, qu'£«/^r connaissait quelques propositions qui en dérivent et desquelles il était facile de revenir à ce théorème. Il avait en effet découvert qu'il existait de cer- taines formes sous lesquelles se présentaient tous les diviseurs pre- miers de a:* — A y et d'autres qui comprenaient tous les non-divi- seurs, de manière à s^exclure réciproquement; il avait même donné le moyen de les trouver. Mais il avait envain cherché à démon- trer sa méthode, et ses efforts n'avaient eu d'autre fruit que de donner un plus grand degré de vraisemblance à cette proposition , qu'il avait trouvée par induction. A la vérité, dans un Mémoire lu à l'Académie de Pétersb. le 20 novembre lyyS, intitulé : 'Novœ ARITHMÉTIQUES. ii5 Demonstration es circa diuisores numerorum formœ x*+dj', et imprimé (T. i. Jioi^. act. Ac, Peterb. , p. 47), il paraîf croire qu'il a atteint son but; mais il s'j est glissé une erreur; car il suppose tacitement l'existence de ces formes de diviseurs et de non-diviseurs (149) : et de cette supposition il n'était pas dif- ficile de déduire quelles devaient être ces formes; mais la mé- thode qu'il a employée pour démonlrer cette supposition ne pa- raît pas convenable. Dans un autre écrit intitulé : De Criteriis œquatioîiis ï\'^-\-^y'^-=\\z utrumque resolutionem admitlat necne (Opusc. anal. T. i), dans laquelle équation /*, g, ^ sont donnés et :r, y y z indéterminés; il trouve que si l'équation est réso- luble pour une valeur de h-=zs, elle le sera pour tout nombre premier congru avec s ^ suivant le modale ^fg, proposition de la- quelle on pouvait aisément déduire la supposition dont nous avons parlé. Mais la démonstration de ce théorème a toujours échappé aux recherches de ce grand géomètre (*), ce qui n'est pas éfonnant, puisqu'à notre avis il fallait partir du théorème fondamental. Au reste, la vérité de cette proposition résultera naturellement de ce que nous exposerons dans la section suivante. Après Euler , Legendre s'est livré à la même recherche, dans un excellent Traité intitulé : Recherches d'Analyse indétermi' née (Hist, de l'Acad. des Sciences, 1785, p. 4^5). Il y est par- venu à un théorème qui, dans le fond, revient au théorème fondamental; savoir, que si /? et q sont deux nombres premiers q—\ p — i positifs, les résidus minima absolus des puissances p =* , q^ sui- vant les modules q,p, respectivement, seront tous les deux -j-i ou — I , quand l'un des deux est de la forme 4^+1 j maïs que (*) Comme il l'avoue lui-même, p. 216. <.<■ Hujus elegantlssimi theorematis demons tratio ad hue desidcratur , postquàm à plurihus jamdudàm frustra est in- vestigata Quocirca plurimùm. in prœstitisse censendus erit, cui successerit demonstrationem hujus theorematis invenire ii. On peut voir dans les Opusc. anal. ( T". I , Additamentum ad dissert. VUI, et T. Il, dissert. XUl), et dans plusieurt Dissertations des Comment, de Pétersb. , avec quelle ardeur cet homme immortel a cherché la démonstration de ce théorème, et de quelques autres qui ne sont que des cas particuliers de notre théorème fondamental. iiG RECHERCHES si p et (/ sont de la forme 4^2+5^ l'un des résidus minima sers. -f-i et l'antre — i (p. 5i6)j d'où, au moyen du n° io6, il s'en- suit que la relation âe p &. ç est la même que celle de g k p, quand p ou ç est de la forme 4^ -j- i ^ et qu'elle est inuerse quand p ei q sont de la forme 4'? + 5 C*^)- Cette proposition est contenue parmi celles du n" i5ij elle suit aussi des propositions 1 , 3, 9 du n° i55 ^ réciproquement, le théorème fondamental peut se déduire de la proposition de Legendre. Ce célèbre auteur en a donné la démonstration , et comme elle est très - ingénieuse , nous en parlerons plus amplement dans la section suivante. Comme il y suppose plusieurs choses sans démonstration (ainsi qu'il en. convient lui-même, p. 520 : Nous aidons supposé seulement , etc.) dont jusqu'à présent une partie n'a été démontrée par personne, et dont l'autre parlie ne peut, selon nous, l'être que parle théorème fondamental. Il nous semble que la route qu'il a prise ne peut pas lui faire éviter la difficulté , et notre démonstration peut être regardée comme la première. Au reste, nous donnerons plus bas deux autres démonstrations de cet important théorème, absolument différentes entre elles ,^ et de la précédente. i52. Jusquà présent nous n'avons traité que la congruence simple x^'^A (mod. 777), et nous avons appris à reconnaître les cas où elle est résoluble. Par le n° io5, la recherche des ra- cines elles-mêmes est ramenée au cas où m est un nombre pre- mier, ou une puissance d'un nombre premier*, et par le n° loi, ce dernier cas est ramené à celui où m est un nombre premier. Quant à celui-ci, en comparant ce que nous avons dit (n°^ 61 et suiv.) avec ce (jue nous enseignerons sect. V et VIII, on aura presque tout ce qui peut se faire par les méthodes générales. Mais dans les cas où elles sont applicables, elles sont infiniment plus; longues que les méthodes indirectes que nous exposerons dans la section VI , et partant elles sont moins remarquables par leur utilité dans la pratique que par leur beauté. (* ) Le mot relation reçoit ici le sens que "Hous lui avons donné n° 14S. ARITHMÉTIQUES. Les congruences complètes du second degré peuvent être ra- menées tacilement a des congruences simples. Soit la congruence ax'^bx+c-^ (mod. m) ; elle sera équiva- lente a celle-ci : ha^x'+^^abx+/^ac~o (mod. i^am). Celle-ci neut se mettre sous la forme {■.ax+bY-l^-l.ac (mod. 4«m), et donnera SX elle est résoluble, toutes les valeurs de .a^^+i moindres queT„ Désignant une quelconque d'entre elles par r, les solutions de là congruence proposée se déduiront de la solution de la congruence 2^ = r— ô(mod.4am), que nous avons exposée sect. II Au reste uous observerons que le plus souvent la solution peut se Mmphfier par divers artifices; par exemple , on peut, au lieu de la congruence proposée, en trouver une autre, a'x' +lb'x+c'~^ qui lui soit équivalente et dans laquelle d soit divisiblTpa?;;,' k^:cHon Vlir 7^''^^''-^!'°-' -^ '-'ï-"- -- peut coLulte; la section vni, alougeraient trop cette section, nous la sud- primons ici. " n8 RECHERCHES SECTION CINQUIÈME. Des Formes y et des Équations indéterminées du second degré. i53. iNous parlerons surtout dans cette section des fonctions de deux indéterminées de la forme ax'^-{-ibxy-\-cy^y où a, b,c sont des nombres entiers donnés, fonctions que nous appellerons /brm^^ du second degré , ou simplement formes. Ces recherches nous conduiront à trouver toutes les solutions d'une équation indé- terminée quelconque du second degré à deux inconnues, soit qu'on puisse en obtenir la solution en nombres entiers, ou seulement en nombres rationnels. Quoique ce problême ait déjà été résolu dans toute sa généralité par Lagrange , et qu'il ait trouvé plusieurs pro- priétés des, formes y auxquelles il faut encore joindre celles décou- vertes par Euler , ou démontrées par lui et annoncées par Fermât: cependant un examen plus approfondi àa formes nous a fait voir tant de choses nouvelles , que nous avons cru utile de reprendre ce sujet en entier , avec d'autant plus de raison que nous avons remarqué que les découvertes de ces hommes illustres, répandues dans divers ouvrages , étaient connues de peu de personnes. D'ailleurs la méthode que nous avons employée nous appartient presque en entier , et les choses que nous pouvions ajouter n'au- raient pas été entendues sans une nouvelle exposition. Au reste nous placerons en temps et lieu ce qui a rapport à l'histoire des vérités remarquables. Nous représenterons la forme ax''-^2bxy'\-cy'' par le symbole («, b, c), quand il ne s'agira pas des indéterminées x et y. Ainsi cette expression désignera d'une manière indéfinie la somme de trois parties, dont la première est le produit d'un nombre donné a ARITHMÉTIQL'ES. ng par le quarré d^une indéterminée quelconque, la seconde le doubla du produit de b et de cette indéterminée multipliée par une autre , et la troisième le produit de c par le quarré de cette seconde indéterminée. Par exemple, (i, o, 2) exprimera la somme d'un quarré et du double d'nu quarré. Au reste, quoique les formes {a , b , c) et {cyby a) soient les mêmes, quant à leurs parties, elles diffèrent cependant si l'on fait attention à l'ordre de ces par- ties*, aussi nous les distinguerons avec soin , et la suite fera voir l'avantage qui en résultera. 154. Nous dirons qu'un nombre donné est représenté par une forme donnée, si l'on peut trouver pour les indéterminées de cette forme des valeurs qui la rendent égale au nombre donné. Théorème. Si un nombre M peut être représenté par Informe (a , b , c) , de manière que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles; b* — ac sera résidu quadratique de M. Soit m et n les valeurs des indéterminées, et qu'on ait. . am*-{'2bmn'{-cn'' = M, et prenons les nombres yw. et r tels qu'on ait p.m'\-vn=z\ (n° /^o). On prouvera facilement par la multi- plication , que ou M{a,^'—zhy.v-^Ci/J')=^{u(jnb-\-nc) — v(jna-{-nb)y — (b''--ac')\ donc Z)*— cc = {/.:(m6-fnc)— t'(mc-j- nZ»)}* (mod. iT/), c'est-à-dire que Z>^ — acest résidu quadratique de M. Nous appellerons par la suite déterminant de la forme (a, b, c) le nombre Z»^ — ac ^ dont nous verrons que dépendent en grande partie les propriétés de cette forme. i55. Il suit de ce qu'on vient de voir (\ue fJi-^mb^nc^-^v^ma-^nb) est la valeur de l'expression \/{b'' — ac) (mod. M). Or /^t et v peuvent être déterminés d'une infinité de manières pour satis- faire à l'équation 77z/A-f-/zj=i -, il en résultera donc dififérenfes va- leurs pour cette expression, examinons quelles relations elles ont entre elles. I JO HECRKRCHES Soienfc mfjf. -}- wv = 1 , m/// -j- nv' = i ', Si l'on multiplie la première équation par f/, la seconde par/^c, et qu'on retranche l'un des résultats de l'autre, il vient f/ — fjLz=:r2(/uL'v — /*/)*, en multipliant par / etv , on tirera de même j/' — )' = m(/A/ — //f). Mais les deux dernières donnent alors et substituant pour fjtf — ja., v — v leurs valeurs Ainsi, de quelque manière que ^t et j^ soient déterminés, la for- mule /ui(mb-{-nc) — v(ma-\-nb^ ne peut donner des valeurs dif- férentes, c'est-à-dire incongrues, de l'expression V{b'- — ac) (mod. M). Si donc v est une valeur quelconque de cette for- mule, nous dirons que la représentation du nombre M par la forme ax'^-{-2bxy -^cj , dans laquelle x=.m et y'z=.n, appar- tient à la valeur V de V expression \/(h'' — ac) (mod. M). Au reste on peut faire voir facilement que si V est ime valeur de cette formule , et que V ^V (mod. ilf ), on pourra prendre à la place de p. ei v d'autres nombres p! et \ qui donnent V , II sufnt de faire p=fji-\ — ^ — ^ — -, r = r ^-^ — -^, et Ion aura pJm-{-vn=pm'{-vn=:.i\ mais la valeur de la formule résultante de p,' et / surpassera celle qui résulte de /^ et v de la quantité {f/v—'pv')M qui devient :=z{pm'i-vn) (F'— /^)= V'—V; donc cette valeur sera V, i56. Si l'on a deux représentations du même nombre par la même forme {a, b, c) , et que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles, elles peirvent appartenir à la même valeur de l'expression \/{b'' — ac) (mod. M)j ou à des valeurs différentes. Soit il est clair que si l'on a y. (mb 4- ne) .— p (ma -f- nb) s {/(ni'b-i-nfc) — /(m'a-|-7i'^) (mod. M) , la congruence aura toujours lieu quelques valeurs convenables que l'on prenne pour p, et v , pf et /, auquel cas nous dirons que la représentation ABITHMÉTIQUES. 121 représentation du nombre M appartient à la même valeur de l'ex- pression s/ijb'' — ac) (mod. M). Mais si pour quelques valeurs de /a et v, pu et i»', cette con- gruence n'a pas lieu, elle n'aura lieu pour aucune, et les repré- sentations appartiendront à des valeurs différentes. Et, si l'on avait nous dirions que les représentations appartiennent à des valeurs opposées. Nous nous servirons de toutes ces dénominations lorsqu'il s'agit de plusieurs représentations du même nombre par des formes différentes, mais qui ont le même déterminant. Exemple. Soit (3, 7,-8) la forme proposée dont le détermi- nant = 73. Elle donne pour le nombre 57 les représentations sui- vantes : 5.i3"+i4.i3.25 — 8.25^j 3.5^ + 14.5.9— 8. 9\ Pour la première on peut prendre ft=2, r^— i,d'où résulte la valeur de v/7^ (mod. S-]) , k laquelle la représentation appartient = 2(i3.7-|-25.8)-f-(i3.54-25.7)=— 4. De la même manière, en faisant //,=: 2, v^= — i, on trouve que la seconde représen- tation appartient à la valeur +4. Donc les deux représentations appartiennent à des valeurs opposées. Avant d'aller plus loin , nous observerons que les formes dont le déterminant est zéro doivent être exclues des considérations sui- vantes, parcequ'elles nuiraient à l'élégance des théorèmes, et qu*elles exigent qu'on les traite en particulier. 157. Si la forme F , dont les indéterminées sont x, y, peut être changée en une autre F\ dont les indéterminées soient x\ y, en y substituant :r=ajc'+^j', y:=zyx' -{-Sf , ol, ^, y, j' étant des nombres entiers, nous dirons que la première r^/z/^/v/ze la seconde , ou que la seconde est contenue dans la première. Soient Fz=zax'''\-:ihxy-\-cy\ F':=.a'x''-\'iih'x'y'^cy\ On aura les trois équations suivantes : Multipliant la seconde par elle-même, la première par la troi- sième, et retranchant, il vient 122 RECHERCHES d'où il suit que le délerminant de la forme F' est divisible par celui de la forme F y et que le quotient est un quari'é; ainsi ces déterminans seront de même signe. Si, de plus, la forme F' pou- vait être changée en la forme F par ime transformation semblable, c'est-à-dire, si F' était contenue sous F ti F sons F' , les déter- minans seraient égaux et {clS" — (^yy = i. Dans ce cas, nous les appellerons formes équwalentes. L'égalité des déterminans est une condition nécessaire pour l'équivalence des formes, mais il s'en faut bien qu'elle soit suffisante. L'analjse précédente fait voir clairement que la même chose aura lieu pour les formes dont le déterminant est = o*, mais l'équation («cT — /3^)^=i ne peut pas s'étendre à ce cas-là. Nous nommerons la substitution /nzTz^or/TzaZ/aw propre, quand oteT — l^y ^o, et transformation impropre, quand ad' — /3>-^)» qui reviennent à (xj' — l^y)x et (xS — fày)r' C)r ce résultat serait évidemment (otj' — ^yY F=:F, puisque par hypothèse (aJ' — (Byy=j, Or il est aisé de voir que la seconde transformation est propre ou im- propre en même temps que la première. Si F' est contenu proprement dans F, et improprement dans F/^ nous dirons que ces formes sont proprement équit-'ulentes ; et si elles ARITHMÉTIQUES, ii"^ se contiennent improprement, nous dirons qu'elles sont îinpro- prement équli^alentes. On verra bientôt l'utilité deces distinctions. Exemple, Par la substitution x-=^:ix' -\-y' , j = 5x'4-2/, la forme 2^*— S^j+oj* devient — 1 5x'^ — i ix'y' — ly'"- ; et celle-ci se change en la première, par la substitution :r'=2:r — y, y== — ^x-^2y. Donc les formes (2, — 4> "f"^) ^^ ( — ^^ f — ^f — ^) sont pro- prement équivalentes. Nous allons maintenant nous occuper des problêmes suivans : 1°. Etant données deux formes quelconques qui ont le même déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la- fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si l'une ne renferme pas l'autre, proprement, impropre- ment, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transforma- tions tant propres qu'impropres de Tune dans l'autre. 2°. Etant donnée une forme quelconque , trouver si un nombre donné peut être représenté par elle , et assigner toutes les repré- sentations. Mais comme les formes dont le déterminant est négatif exigent une autre méthode que celles dont le déterminant est positif, nous présenterons d'abord ce qu'il y a de commun aux deux cas > que nous considérerons ensuite séparément. 1 5g, Si la forme F renferme la forme F' , et que la forme F' renferme la forme F", F renfermera F". Soient x, y\ x', y; x\ y" les indéterminées des formes/^, F', JF" respectivement, que F devienne F' en posant x-=.a.x' -\-9>^' 9 yz=:yx'-\~è'f, et que F devienne F" en posant x'=.a!x" -^fb'y", yz=zy'x"-\-S'x\ Il est clair que F se changera en F" , en faisant et j=>(ct'x"+^y) +J (>'x"+j y) = (ot>H-j>o^''+ (/^ >+^^ ')f ' clone F renfermera F", Comme (aa -{-/3y)(,^V + J^J') — (aiÊ'+,SJ')(aV+ycr). . . . =(aJ'~/3^)(ay— /By), qui sera positif si les deux facteurs «ont de même signe , et négatif dans le cas contraire, la forme F 2 124 RECHERCHES renfermera donc F" proprement , si F renferme F', et T' ^ F" de la même manière, soiipropj'ementounon, etla forme jP renfermera 2*' improprement, dans le cas contraire. H suit de là qne si l'on a tant de formes F, F', F", F'", eie». qu^on voudra, telles que chacune renferme la suivante, la pre- mière renfermera la dernière , et la renfermera proprement ou improprement, suivant que le nombre des formes qui renferment la suivante improprement sera pair ou impair. Si la forme F est équivalente à la forme F', et la forme F' a la forme F", la forme F sera équivalente à la forme F", et le sera proprement ou improprement , suivant que F et Y', F' et F" seront équivalentes de la même manière ou d'une manière différente. En effet, puisque F, F' sont équivalentes aux formes F', F^ respectivement, les premières renferment les dernières , et partant jF renferme F"', mais les dernières renferment aussi les premières,, donc F et F" sont équivalentes. Or, de ce que nous avons vu tout-à-l'heure, il suit que F renferme F" proprement ou impro- prement, suivant que F et F', F' et F" sont équivalentes de même ou de différente manière , et il en est de même de F"' et Fj donc, dans le premier cas, F et F" sont proprement équi- valentes, et dans le second, improprement. Les formes (a, — b, c), (c, b, a), (c, — b, a) sont équiva- lentes à la forme (a, b, c), savoir , les deux premières impro-: prement et la dernière proprement. En effet ax'^-^ihxy-^-cy'^ se cbange en ax'^ — ihx'y' -{■■cy'^y en faisant xz=zx-\-o .y' et yz=.o .x' — f , ce qui donne clS — ^y=: — 1> et partant, la transformation est impropre; elle se change en cx'''-\-2.bx'y' -{-ay'' par la transformation impropre x=:o.x-\-y', yz=^x'-\-o.y' , et en ex"- — 2bx'y-\-ay''' par la transformation propre xz=o.x'—'y', y=x'-{-o.y. Il suit de là qu'une forme quelconque équivalente à (a, b, c) est proprement équivalente à cette forme ou à la forme (a, — b, c). De même, si une certaine forme renferme la forme (a , b, c) , ohy est contenue, elle renferme proprement l'une des deux formes ARITHMÉTIQUES. 12^ {a, h, c), {a, — h^ c), ou bien elle est renfermée proprement dans l'une des deux. Les formes (^a^ b, c), ((ï, — b^ c) s'appel- leront formes opposées. 160. Si les formes (a, h, c), (^a' , b' , c') ont le même déter- minant, et qu'on ait c^=zd et b-\-b'^o (mod.c), nous dirons qu'elles sont cojitigué's , et quand une désignation plus exacte sera nécessaire, nous dirons que la première est contiguë à la seconde pa?' la première partie i etque la seconde est contiguë à la première par la dernière partie. Ainsi la forme (7, 3, 2) est contiguë à la forme (5, 4, 7) par la dernière partie, la forme (5, i, 5) est contiguë par les deux parties à son opposée (3, — i, 3}. Les formes continues sont toujours proprement équwalentes» Car la forme ax''-\-ihxy'\'Cy^ se change en la forme con- tiguë cx'^'^:ib'xy -{-0'/" en faisant x=: — y et j =:x'-\ — ^ y Toù, par hjpothèse, — ^ — est un entier j, comme on s'en assurera parle développement. Or o.-^ 1.( — i) = i; donc la transfor- mation est propre. Au reste , ces définitions et ces conclusions n^au- raient plus lieu si c=a'=0} mais ce cas n'arrive que lorsque le déterminant des formes est un quarré. Il suit de là que les formes (a, b, c) , (^', b', c') sont pro- prement équivalentes, si a = a' et b^b' (mod. a), car la pre- mière est proprement équivalente à (c, — b , a) (n° précéd,)j or celle-ci est contiguë par la première partie à la forme {a, b', c'), 161. Si la forme (a, b, c) renferme la forme (a', b', c'), tout dii^iseur commun des nombres a, b, c, le sera aussi des nombres a!, h', c', et tout diviseur commun de a, 2b, c, le sera, aussi de a', 2b', c\ L'inspection des trois équations du n° 157 suffit pour le dé- montrer, en ajant soin de multiplier la seconde par 2 pour la seconde partie de la proposition. Il suit de là que le plus grand commun diviseur des nombres a, b, (2Z>), c doit diviser celui des nombres a! y b' , i^b'), c\ laG RECHERCBTES Si done les formes sont équivalentes, ces deux plus grands com- muns diviseurs sont égaux , puisqu'ils doivent se diviser mutuel- lement, et si dans ce cas l'un des deux groupes n'a pas de commun diviseur, l'autre n'en aura pas non plus. 162. Problème. Si la forme AX^H-2BXY + CY\ . .F ren- ferme la forme ax^ + 2bxj+cj^. . .f, et qiûon connaisse une quelconque des transformations , déduire de celle-là toutes les transformations qui lui sont semblables. Soit la transformation donnée, Xz^cLX-^-Sy-y T'^^yx-^S'y, supposons d'abord qu'on en connaisse encore une autre semblable, X=a'a:;-}-j6j', F''=:yx-\~ = ^, aJ' — /5y = e', on aura (n° 1 57) ^=Z)^^ = />£'% et partant e=.e', puisque etie' sont de même signe par hypothèse. Or on aura les six équations suivantes : Aa.^ + ^BAy-\-Cy'' = a (1) Ja^ -\- aBcty' + Cy^ = a (9) Aa^ -f B{a^ -f- &y-) -\- Cyè~T=b . . (3) jA'(l'-\.B{ct'i'-if fi' y') Cy' y =z è . . . (4) A9>''-\-iB9>^-\-Cy^z=zc (5) A9!^-\-^B&S' -\-Ch'^^c (6). Si l'on multiplie la première par la seconde, on en déduira ( AcL^ +^(cty+ oly ) 4- Cyy' y -^ D {a! y — ^y'J- ;= a" , ou si l'on fait Aclo,' -^B((:it,y-{-cLy) + Cyy'z=za\ . . . a'=__. /)(«,'>— ct>')==a^ . .(7). Si l'on multiplie la première par la quatrième , et la seconde par la troisième, et qu'on ajoute, on trouvera G'{^(«iS'4-*'/g) J^B{cty+'—£)(a>'— a»(otcr— a'cT+iSy— /3»=2a3 (8). Si l'on multiplie la première par la sixième, la seconde par la cinquième, la troisième par la quatrième, et qu'on ajoute les deux premiers produits et le double du troisième, on trouve ARITHMÉTIQUES. ' 127 ou bien comme ztDeé =2d=2h^ — ac Si l'on mnltiplie la troisième par la quatrième, il vient et comme D{a,è' —y^') {^y' -^cL'^)^B{xy' -^^y){^è'-^ ^'S) l'on fait d'ailleurs -^/3/3'+^(,/3J'+/Sg) +6^^^^ = ^', on aura aV~ D {cLy'-^ aJy) (/ScT'— /g'cT) ~ac (10) ; ' en ajoutant le produit de la troisième par la sixième à celui de la quatrième et de Ja cinquième, on aura en multipliant la cinquième par la sixième, on trouvera ^'*--^(/S/-/3'c^)^ = ^^ (12). Supposons, maintenant que 772 soit le plus grand commun divi- seur des nombres a, 2.h, c, et que les nombres A', B' , C soient déterminés de manière qu'on ait A'a-^2B'b'{- Cc=:m Cn° 40). Multiplions les équations (7), (8), (9), (10), (n), (12), respective- ment par ^'% :iA^B', B'% ^AUC, :iB'C, C% et ajoutons les pro- duits, en faisant pour abréger, A'a' + iiB'¥ +Cc' =T .(i3) et A\cty'-^ c.'y) ^D' {-xè' - ^'.^+ dy'- d'y) ^ C (,5/'— /S'^) =U... (i 4) , on trouve T^—DU^ = 7?i% T et U étant mauiFëstement entiers. Nous sommes donc conduits h. cette conclusion élégante, que la solution de l'équation indéterminée V — Du= = m' en nombres entiers dépend de deux transformations quelconques semblables de la forme F en la fanitçi, en prenant /^= T., z^=C7-. Au reste, comme dans nos raisonnemens no«& n'avons: pas supposé que les transformations fussent différ^^ntes, ui+e seule transfor- mation prise deux fois doit donner une solution; mais alors a' = a, /3'=/3, etc., a'z=iay b' =.b , etc., et partant Tz=.m et ?7=o, solution qui se présentait d^ellermôme. Considérons maintenant comme connue la première transfor- matipn, et la solution de l'équation indétefmince , et chei-çho^is 128 KECHERCHES comment on peut en déduire l'autre transformation, ou comment ^'> 9^' i y' } ^^ dépendent de a, j8, y, cT, T et U, Pour y parvenir, mulli plions d'abord l'équation (i) par a'^T — /3/, l'équation (2) par cl^' — ^'y, l'équation (5) par cLy — a';/, et l'équa- tion (4) par a! y — a.y , et ajoutons les produits, il en résultera (^-fe')rt' = (aj'-f-a'cr — /3/— iS'j.)^ (i5). De même si nous multiplions (i) — (2) par jS'cT — jôcT', (5)-{-(4) par (acT'-HaJ'— .|S>'— jS» et (5)— (6) par (a>'— -a» , nous aurons en ajoutant, 2(^H-e')Z»'=:2(acr'+a'cr— /3y— /3»^ (16). Enfin si nous multiplions (5)— (4) par ^^'-^^^^ (5) par acf'— /S^, et (6) par a'cT — /Sj.', on aura en ajoutant les produits, (e + ^')c'=(ctJ^'+a'J^— /3/— /S»c (17). Substituant ces valeurs de a, b', d dans l'équation (i5), il vient OU 2eT=(tfr+rt^— /Sy— jS';.)m (18); d'où l'on peut tirer la valeur de T plus facilement que de l'équa- tion (i3). Combinant cette équation avec les équations (i5), (16), (17), on en tire ma = Tu , 2mh' = 2 TZ» , mdz=: Te, Ces valeurs substituées dans les équations (7), etc. (12), en y mettant d'ailleurs m'' -{'DU'- pour T", elles deviennent (ay — çLy^m"- = «" Z7'' (a/— aV^CacT'^ a^J'^ /S/— /3'>)m» = 2^^ Z7» \a.S'^ ct'cT-l- /S>'— /S^^'/yz^ = 4Z.* ?7*, De là, à l'aide de l'équation (i 4) et de celle-ci A'a-{-iB'b-^Ca=rmp en déduit facilement, en multipliant la V", la 2^ et la 4'J la 2% la 3' et la 5'> la 4'; la 5' et la 6' par A', B', C respectivement, et en ARITHMÉTIQUES. 129 en ajoutant les produits icty—d'y) Um^=maU\ {cty—A'^-\-$y—^'y) Um^—2mb U'0$'^^'^) Um'^mcU^ ; équations qui, divisées par ttzC/ f^), deviennent aUz=.m{çLy' — a 5.) (19) 2Z»Z7= 772(acr'— a'J^ + /3/— /S» (20) cU^m{^^'-'^'è') (21) dont une quelconque peut donner la valeur de TJ plus facilement que l'équation (i4)- H suit aussi de là que de quelque manière qu'on détermine -4", B' , C, et ces quantités peuvent être déterminées par plusieurs méthodes différentes , on aura toujours les mêmes valeurs, pour T et pour U Or en combinant l'équation (18) avec l'équation (20), on en tire par soustraction et par addition les deux suivantes eT— bU= Tn(cL'c^ — l^y) (22) eT-+. bU= mlar — ^y) (25), et à l'aide des quatre équations (19), (21), (22), (25), qui ne sont que dupremier degré , on obtiendra sans peine les valeurs de ce', /S', y, S' i au moyen des équations suivantes qui en dérivent, Twea = ae r-f- (.z/S — ho) U, me^'z= (3e T-^ (bfè — ca) U, mey:=yeT'^laS'—by)U, mer=^S'eT+\bS'—cy)U, ou, en y substituant les valeurs de a, by c, tirées des équa- tions CO. (5), (5), my=yT-{- lAcL-\-By) U, mJ'^^ 7^4-(^/3+5 J^) U. Il suit de l'analjse précédente, qu'il n'y a pas de transforma- tion de F en f, semblable à la proposée , qui ne soit contenue dans les formules X=-{dLt—(,Ba.+Cyu)x-it - [^t'-{_B^-\-CS')u] y) ? • A^y # Y— -\yt^{AA'\-By')u')x-ir ^{ Jt-f-(^/S-f 5c^)u}y^ (*) Cette division ne serait pas possible si l'on avait f/=o-, mais alors les équations (19), (20), (21) naîtraient immédiatement de la première, de la troisième et de la sixième des équations précédentes. R ,5o RECHERCHES / et u désignant indéfiniment tous les nombres qui satisfont à l'équation U" — Du'^^^^vV, Nous ne pouvons pas encore conclure que toutes les valeurs de t et de u qui satisfont à cette équa- tion donnent des transformations convenables, lorsqu'on les substi- tue dans les formules (/). Mais, 1°. On s'assurera par le développement , que la susbtitution de valeurs quelconques de t et de u change F enfy au moyen des équations (i), (3), (5) et f — Du^x=:m'', Nous omettons, ce calcul plus long que difficile. 1". Toute transformation déduite des formules sera semblable à la proposée j car - { a.t—{BcL-\-Cy)u } X- { «rf+(^i3+5cr)u } — - {9>t'-{B^-^CSr)u'\ S^". Si les formes jP et f ont des déterminans inégaux, il peut se faire que les formules (7) renferment des fractions , par la substitution de certaines valeurs de / et de i/, et que partant il faille les rejeter : mais toutes les autres seront des transformations convenables, et seront les seules. I\, Si les formes F et f ont des déterminans égaux , et que parconséquent elles soient équivalentes, les formules (7) ne pour- ront jamais donner de transformations qui renferment des frac- tions, et parconséquent elles donnent la solution complète du problême. • En effet, par le théorème du n° précédent, on sait que dans ce cas 772 sera aussi diviseur commun de ^ , iB , C\ or puisque r — Du^z=zTn^ , on a r — B^iL'i=in' — ACu^; donc i" — ^^i^'' sera divisible par 7?2% et partant, ^V" — ^B^u"" , ou, puisque 2B est di- visible par 772, 4^" sera divisible par 772* ou 2t par m» Donc — {t-^Bu) et ~(t — ^z/) seront entiers, et partant, comme la dif- férence de ces deux quantités est paire, elles seront ou toutes deux impaires, ou toutes deux paires j si elles étaient impaires, ARITHMÉTIQUES. iZi leur produit -^ (r — B^u^) le serait aussi-, mais puisque t" — BHi*- est divisible par m", ce produit est nécessairement pair; donc cette supposition ne peut subsister, et les deux quantités sont paires^ donc leurs moitiés -(t-\-Bii), —{t — Bu) sont des en- tiers, et parconséquent - et—. Il suit de là, sans diflficulté, que les quatre coefficiens des formules (7) sont toujours entiers. Concluons de ce qui précède, que si l'on connaît toutes les solutions de l'équation r — Du''=m\ on en déduira toutes les transformations de la forme (^, jB, C) en (a, b , c) , semblables à une transformation proposée. Nous donnerons plus loin le mojen de trouver les solutions de cette équation-, observons seulement ici que leur nombre est fini quand D est négatif, ou positif et en même temps un quarré; mais qu'il est iufini, si B est positif et non un quarré. Quand ce cas a lieu, et qu'on n'a pas Dz=d (Voyez 3'.), il faudrait encore chercher comment on peut, à priori, distinguer les valeurs de t et de u qui donnent des transfor- mations entières, et celles qui n'en donnent pas. Mais nous don- nerons plus bas, pour ce cas-là, une autre méthode qui n'aura pas le même inconvénient (n^2i4). Exemple, La forme x^-^-y^ se change par la transformation propre a: = 2x'+ 7/, j = x'-f-5/, en (6, 24, 99). On demaude toutes les transformations propres de (i , o, 2) en (6, 24, 99). Ici ■0== — '2, m = 5', ainsi l'équation à résoudre est /^+2zz^=9. On peut y satisfaire de six manières: i = '5. . .11 = 0 , tz= — 5. . .u=o, La 3' et la 6' donnent des résultats fractionnaires et sont parconsé- quent à rejeter des autres. Résultent les quatre substitutions: — 2;c'4-7/ — 2Jt:'+9/ dont la première est la solution proposée. i63, Nous avons dit plus haut, en passant, qu'il pouvait arriver 2 œ=\ ^_, , - , yz= i32 lîE CHERCHES qn'nne forme F en renfermât une autre F', tant proprement qu*im- proprement. On voit que cela aura lieu , si l'on peut interposer une autre forme G , telle que F renferme G, et que G renferme i^', et que la forme G soit de nature à être proprement équivalante à elle-même. Car si l'on suppose que F renferme G proprement ou improprement, comme G se renferme lui-même improprement, i** renfermera G improprement ou proprement, selon la supposi- tion primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, pro- prement ou improprement (n° iSq). On trouvera de même que de quelque manière que G renferme F', F doit toujours renfer- mer F' des deux manières. Or on reconnaît qu'il existe des formes improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-évident, celui de la forme (a, o, c) , qui se change en {a^o y c) en fai- sant x-=:x-\-o .y' et y=.o.oG — y'. Plus généralement, toute forme («, h , c) jouit de cette propriété lorsque ih est divisible par a-^ en effet la forme (c, h, a) est contigu'ë à [a y h , c) par la première partie (n° 160), et partant lui est proprement équi- valente, mais {c ,h y a) (n° iSq) équivaut improprement à {a, h, c); donc {a, b , c) équivaut improprement à elle-même. Nous nom- merons formes ^/tzZ'/^y/^?^ les formes {a y h, c) dans lesquelles 2a est divisible par a. Nous avons donc le théorème suivant: La forme F renfermera la forme F' proprement et impropre" ment j si on peut trouver une forme ambiguë que F renferme et qui renferme Y\ La réciproque est également vi'aie, et c'est l'ebjet du numéro suivant. 164. Théorème. Si la forme Ax='-{-2BxyH-Cj'. . .(F) , ren- ferme tant proprement qu' improprement la forme A'x'''-+-2B''x'y -f- C'j''' . . . (F') , on pourra trouver une forme ambiguë que F renfermera et qui renfermera F'. Supposons que jF devienne F' par la substitution a:=:ajt'-f-/è'j, yz=^yx'-\'S^y' , et par la substitution dissemblable :c = a V-|-iè'y, j-= 5.V -f-cTy. Soit ctJ' — ^y=ze , ctV — /Sy = ^, on aura B'' — ACz=ze\B'—AC)=e''{B^—AC) ; donc e"-z=e'% et comme e et e sont de signe contraire^= — e' ou ^+^'=03 or il est clair ARITHMÉTIQUES. i5Z qu'on arrivera à la même forme en substituant dans F% pour .t% J'o;" — &y" 9 pour y, — yœ"^ciy" , qu'en substituant dansi^ ''^^''"{pourj...>(<^V'-^'jO+^(~>''^''-f-^y)=(><^'-->')^'' f pour X. . .^'(«^ V'— /S'j/'0+ :'^'(— >'>r''-f-*>'')=(*'^'~^y )^-''=e'x'' ''^ ^'^''ipour^'...>'(<^'x"— ^y)+crC— >V+=iy)=(«'c5'— ,5>')^"=ey. Ainsi en faisant ctj'— /3/=^, a'/3 — aie'=^, ^cT'— ycr=c, a'/— ,iS'> = ^, la forme -F se changera en une même forme par les substitutions xz=ax" -{-bj", yz=cx" -\-dy" et x^=:e'x% y:=.ey'', ce qui donne les trois équations suivantes : Aa'' + 2Bac + Cc^ — Aé^ (i) , Aah'\- B{ad -f- Z'c ) + Ccd= Be" (2) , Ab' -Jr^Bbd-}- Cd' = Ce'' (5) ; mais des valeurs à^ a, h , c , dy on tire ad — bc=:iee' =: — e^ = — e'^ (4). Si l'on multiplie l'équation (i) par d, l'équation (2) par c , et qu'on retranche, on trouve (Aa-j-Bc^Çad — bc)=(Ad — Bc^e", et partant A{a^-d)=:zo. En multipliant l'équation (2) par a-^-d, et en retranchant le produit de l'équation (i) par b et de l'équation (5) par c, on trouve {Ab-^B{a-^d)-\~Cc) \ad—bc) = (^^Ab-\-B(a-\-d)—Ccy^^ , d'où B{a'\-d')=:.o, Enfin en retranchant du produit de l'équation (5) par c celui de l'équation (2) par by on trouve (Bb-{'Cd){ad — bc)=( — Bb-\-Cd)e"y d'où C(cz 4-^) = o. Or comme A, By C ne peuvent dans aucun cas être nuls en même temps, il s'ensuit que rt-j-û? = o (5). Si l'on multiplie l'équation (2) par a , et qu'on en retranche l'équation (1) multipliée par by il vient {Ba'-\~ Cc){ad-{' bc) ^{Ba^Ab)e'\ d'où Ab — iBa-- Ccz=zo (6). Des équations :e-{-c'=o, a-\-d=^Oy ou ùl^ — /S^-f-a'cT' — .5>'=o et«J"+*'J^— /3^'— /3';.=o, ondéduit (ct+a)(J'+crX/2+C- ')(>+>'), ï^4 RECHERCHÉS ou (*+*'): (>+y) = (/3+/3'): (^+*^')- Représentons par ~ ce rapport, réduit à sa plus simple expression, de manière que m et 72 soient premiers entre eux (*) , et soient pris fx, v desorte qu'on ait /-t77z + »'« = i • Soit d'ailleurs r le plus grand commun diviseur àe a , b , c, son quarré divisera bC'\-à'z=^hC'\-ad-=: — e'; donc r divisera e* Cela posé, si la forme F y par la transforma- tion ^ = 772/ -{-—«, y=-nt — '^u, se change en Mi'' '\- 2.Ntu + Pw*...(G), cette forme G sera ambiguë et renfermera F\ Démonstration. I. Pour faire voir que la forme G est ambi- guë, nous démontrerons que Mibfju" — 2afjLv — cv^)=2A>5 car alors r divisant a, b, C) -(JbfjJ" — 2aiJLv--'Cv'^ sera entier, et partant nN un multiple de M. Or Mr=^Ant'^2Bmn-\'Cn'', Nrz={Amv — BQnfJL — nv) — Cnij)e -, d'ailleurs il est facile de s'assurer que l'on a 2e + 2a = e — e' + a — r/ = (ût— a')(^+J")— (/3—/S0(>+>') " 2^. = (oc+ot')(/3-/30+(«.-a)(/3 + ^0> et comme 77z (>+>') = 77 (ot-f-a) , 772 (cT+cT') = tz (/3=/5') , il en ré- sulte {2c -|- 2a) n •\- inb = o , ou me'\-ma'\-nb-=^o .(7). De même 2e— 2a=e— ^'~£2+^=(ûc+a')(cr~cr')— (>+>o(^— ^) d'où 77(2^ — 2a) -|-2772c=o. . . ou ne — 7za+772C=o (8). Maintenant si l'on ajoute à nï'^bfjJ' — sa/Av — ci'*) la fonction (i — m}j. — nv){im{e — a)-\-{m}X'\-\)h}'\'{rne-\-ma'\-nb){m}j.V']rv) ^(jic — na'-\-'mé)mv^ , qiri se réduit à zéro, puisque i — 777/a — 77^=0, (*) Si l'on avait à-la-fois ct4-a'=:o, y-\-y'=zo, /2 + /3'=o, J'-j-J'rrto, le rapport — serait indéterminé , et partant la méthode inapplicable. Mais une légère attention sulTit pour voir qu'on aurait alors e-=e\ et comme d'ailleurs on a er= — e', il s'ensuivi^ait err:e' = o; donc alors le déterminant de la forme F serait nul , et nous excitions ici les formes de déterminant zéro. ARITHMÉTIQUES. i55 vi6-\-ma'\-nbz=zo , ne — na-\-mc:=o, et qu'on effectue les pro- duits en effaçant les termes qui se détruisent, on trouvera zmve-i-bj donc 772* (bpL^ — 2afJLv — cv'') = 27nve -i- b (9). De même, si l'on ajoute à mn{b/x'--^2afjLv — cv") la fonction on trouve mn^bjjJ' — 2afjLV''^cv'):=:{nv'—'mijC)e — a (10), Enfin si l'on ajoute à n^ipiAJ" — aj/^tj/ — cv'') la fonction (mi^-i-nv- 1 ) { fii^ (e-}-a) + (nc-f-i 1 ) c } — (7ne+ma+n6)n/A* — (ne-na-f me) (n,a»-f-/^) , on trouve n^Çb/JL" — 2aiu(,v — cv") = — 2nju(,e ^- c (i i). Donc si l'on multiplie l'équation (9) par ^, (10} par 2B et (11) par C, il vient Ç^Am''+2Bmn+Ca'')Q)iJ.''~2a^v-cv'')=L2e^Amv+B{nv-mi^.)-CmiJi'\-\-Ab-2Ba-Cc^ ou à cause de l'équation (6), M {bfJL * — 2afJLv — cv'')^=. 2Nr, II. Pour prouver que. la, forme G renferme la forme F', nous démontrerons 1°. Que G devient F' en posant t={jl^A-^vy)x'+{ii^-\'vi)y' . . .7i==- (na.—my)x-{-- (n.3— . mS)y (5), 2\ Que -{net — jny) et -(nfè — mê') sont entiers, I'. Puisque F devient G en posant a;=7;2/ +— ;/, y = 77/ — tî-u la forme G se changera par la transformation {S) en la même forme que celle en laquelle F se changerait en posant xz=:m (/Aa+;^>)x'+ 772(^/S+> J')/4- y(nci-^my)x-^ , (n(2—mé ) / = (/77^-|-7zy)a:c'-|- {mfJL-\-nv) /3y= (ix'-\~^y, i56 RECHERCHES Mais par cette substitution, F se change en F'; donc par là substitution {S) la forme G se change en F\ 5'. On déduit facilement des valeurs de e, b, d l'équation t^'e^yj) — 3t^=o, ou comme d=. — ^, a ^+atû[-{-;.Z'==o, éliminant b au mojen de l'équation (7) , il vient QicL'^my)a = {iny—^nciL)e (12) j or on a Mib = — ff.m (^ -f- a) , ymb = — m {&!e + aa) -, donc {n(*.'—'my)b^=.(c^' — 0L)me (i^)? enfin on trouvera ye— 5^fl + ac;=;o, éliminant a au moyen de l'équation (8) , il vient (ncL-~^7ny)c:=:{y^^y')ne (ï4)' On trouve de même fi'e-^<^b — /3^=o , ou /3'^-f-cr^ + /3a = o; éliminant b au moyen de l'équation (7) , il vient {n^~^mê')az=:{mS'—n^')e (i5): or on a P>nb=, — /3/7z (^-|-a) , S'mbz=. — m(/3'^+/3a) j donc («jS — mS^)b^{^''-^)me , .(16): enfin on trouve cT'^ — £r^z-|-jSc=o, et en éliminant a au moyen de l'équation (8), on a (n^^mS')c :==:(J'-^r)ne (17). Le plus grand commun diviseur des nombres a, b, c étant r, si Ton détermine A", B", C'de manière qu'on ait A"a+B"b-{'C"c=:r, on trouvera au moyen des équations (12), . , . ,(17), A" (my-. n:t') +^"(ct — aO m-^C"(y — y)n= - («*— m^). . . . et partant, -(«ot — my) et -(«/3 — /tzcT) sont entiers. i65. Exemple, La forme 5:c*-|-i4^^jr — 4j° se change en la forme —-12a;'* — i8a:'y+59y% proprement en faisant x = 4-^'4-^y'> ^= — x' — 2y, improprement en faisant a:=— 74-^'+ 8gj^', ^=;= i5jc' — i8y. On a donc a+a'= — 70, /3+/3'=ioo, ^-j-^=i4* «r-f-cr'= — 20; et — ^= •^^;= — . Faisons donc 7ws=5, w=: — i» Comme ARITHMÉTIQUES; i^; Comme on doit avoir 5^ — v = i , on satisfera évidemment à cette équation en faisant ^=o et v=: — i j d'ailleurs on trouve ez=5f a= — 2^7, b= — 1170, c=48j leur plus grand commua diviseur r=5 : ce qui donne pour la transformation qui change F en G, a:=:5t — u et y=: — t, La forme ambiguë G est elle- même ^ — i6lu-\-5u''. Si les formes F et F' sont équivalentes, la forme G sera aussi renfermée dans F' puisqu'elle l'est dans F', mais comme elle ren- ferme cette même forme, elle lui sera équivalente, et partant à la forme F, ainsi dans ce cas le théorème s'énoncera ainsi: SI F et F' sont équîi^alentes tant proprement qu'impropre" ment f on pourra trouper une forme ambiguë équivalente à cha- cune d'elles. Au reste, dans ce cas ^:;=d=i , et partant r qui divise e doit être aussi =1. Ce que nous avons dit suffit pour la transformation des formes en général j passons à la représentation des nombres. 166. Si la forme F renferme la forme F', tout nombre qui •pourra être représenté par Y pourra Vêtre aussi par F. Soient x, y, x' , y' les indéterminées des formes F et i^' res- pectivement, et supposons que le nombre M puisse être représenté par F' en faisant x'-=.m et y=:c, et que la forme i*'se change en F' par la transformation ;c = a:c' -j- /3y , jz=:yx -{-S^f , il est évident que i^ deviendra Men faisant :r=:A77z-|-/37z, jj=^7;z-|-J 77. Si M peut être représenté de plusieurs manières par F\ savoir, en faisant encore x:=:m' , y=.n' ^ il pourra l'être aussi de plusieurs manières par -F: en effet, si l'on avait à-l a-fois y=^o y et partant, que le déterminant de la forme i*''soit=o, contre i'hjpothèse, ou que mz=:m' et n-=.n' , il suit de là qu'il j a au moins autant de manières de représenter M par F que par i^'. Si donc F et F' sont équivalentes, tout nombre qui pourra être représenté par l'une pourra l'être par Tautre et d'autant de manières. S ,58 RECHERCHES Observons enfin que dans ce cas le plus grand diviseur com- mun des nombres m et n est égal au plus grand diviseur com- mun des nombres etm-^^fin, ym-j-^n. Soit en effet A ce diviseur, prenons les nombres fji et v tels qu'on ait ya/TZ-j- i'W=A, on aura Donc le plus grand diviseur commun des nombres cam + /3/z , ym-\-(^n divisera A; mais A le divise, puisqu'il divise évidem- ment a7n-{-^n, yin -{-(^n; donc ce plus grand commun diviseur est égal à A. Il suit de là que si m et n sont premiers entre eux, oLm-^-^/i et ym-^Sn le seront aussi. 167. Théorème. Si les formes ax' + ^bxy-f-cx*. . . .(F), a'x'''+2b'xy-f-c'y*. . . .(F') so7it équivalentes j que leur déter- viinant soit D , que la dernière se change en la première en faisant x' = ax+/3y , y' i=iy^-\' S'y y que d'ailleurs le nombre M soit représenté par la forme F en faisant ^•=: va, y = n, et par- tant, par la forme '^' en faisant x'=3im+^n=m', j'=;/m-|-£rn=n', m et Vi. et p arçons équent m' et n' étant premiers entre eux, les deux représentations appartiendront à la même valeur de Vex- pression \/D (mod. M), ou à des valeurs opposées, sui^'ant que la transformation de ¥' en F sera propre ou impropre. Soient déterminés les nombres /a, v de manière qu*on ait L c •. "V — yv , 0u4-ee.v f.^. ^^ fjLm-{-'VJi:=^i, et soient raits ^ ^ =-1^3 V ^ =^ ( ). Un aura (n°précéd.)^'772'-|-)/V=:i. Soit d'ailleurs //(èm 4- ciï) ^ ! (am 4- hn) ^F. . l^' {b'm!-^ c'ri') ^ /(à'*n'=f Vti^) z^F'^- ' ^ V et V sont les Valeurs de l'expression \/D (mod. ik/) auxquelles appartiennent la preniière et la seconde représentation. Cela posé, si dans V on met pour m!, lï , y!, v leurs valeurs, et dans V pour ^. . .€LêJ'-\-'3J/a.y'\-dy^, pour b. . .a'aL^-^h'^a-S-^^yyircyS, pour c. . .a'/3^ + ^^'/S cT-j-c'cr^" , on trouve , toutes réductions faites , /^=2=^'(ctfr-- /3>), et partant V:=zV' ou F"=:— -F', suivant que ^-^^y sera =+i ou = — i. Donc, etc. Si donc on a plusieurs représentations d'un nombre M" par la forme (a, b,c) au moyen des valeurs de x, y premières entre elles et qui appartiennent à des valeurs différentes de l'expres- ("^) /!// et / sont des nombres entiers puisque c^ — /3î/=±: 1 AKITHMÉTTQUES. i^g sîon \^D (mod. M) -, Jes représeutafions par la forme (à\ h', c') appartiendront aux mêmes valeurs , et s'il n'y a aucune repré- sentation du nombre M par une certaine forme , qui appartienne à une certaine valeur donnée, il n'y en aura aucune non plus qui appartienne à cette valeur pour une forme équivalente. i68. Théorème. Si le nombre M -peut être représenté par la forme ax''+2bxy-|-cj* en donnant à x et y des valeurs m et n premières entre elles , et que N soit la valeur de V expression y/D (mod. M.) à laquelle cette représentation appartienne y les formes (a, b, c)e/f M, N, — =^ — \seroniproprementéquii>alentes. Il suit du n'' i55 qu'on peut trouver des nombres entiers }l et V qui satisfassent aux équations m//,-f-72v= I . . . .}ji{hm-\-cn) — v(am'\-hn) = N. Cela fait, la forme (a, h, c) se change, au moyen de la substi- tution X =: 772^'' — vy', y = nx' -\-^y, ea une forme dont le dé- terminant :=. D(mix -\- nvy z=: D , c'est-à-dire en une forme équi- valente. Si on suppose cette forme = (^ , B , C) , on aura C= — -^ — , d ailleurs A^=uim''^2h?n7i-}-cn*=z:M, B=Z'-^mva'\-(m}jL — 7iv)h-\-nfxc'=. N', donc la forme (^, ^ , C) revient à [M^ N, ^ J. Au reste, des équations 7»/* + 7ZK=i fJi{mh'\-nc) — v{ma-{-nb)z=:If , jfj ., ma 4- nb 4- nN mb 4- ne — ml^ on déduit. . ./*= j^ . . .j; = j. -, qui Siéront ainsi des nombres entiers. 11 faut observer que cette proposition n*a pas lieu quand M=:o , car dans ce cas on doit avoir N'' — Z)^=o, d'où il suit que " ,^ est indéterminé. Irl . i6g. Si l'on a plusieurs représentations du nombre M par la forme (a, b, c) qui appartiennent à la même valeur N de l'ex- pression \/V (mod. M), en supposant toujours les valeurs de.r, j^ premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres i4o RECHERCHES de la forme {a, h , c). . .{F) en (m, N, :i^^). . .(61); savoir^ si une de ces représentations provient des valeurs ao=:m', yz=n', F se changera en G par la substitution ^.=;;»V+ "''^'~^'°~"' ...r=n'cc' [ ■''^'+'-^^^ + '''\ Réciproquement, une transformation propre de i^" en G étant donnée, on en déduira une représentation de M par la forme i*^, qui appartiendra à la valeur N. Si F se change en G en posant œz=7nx — vj et y=:mx -{-f^yf on représentera iW par la forme ^ en posant œ=7n, y=.n, et comme 77z/-t,-f-7Z)'=i , la valeur de l'expression \/D (mod. M) à laquelle appartient la représentation sera fj.{bm--\-cri) — v{am-^b7i)=zN. En outre de plusieurs trans- formations propres différentes ^ on déduirait autant de représen- tations diverses appartenantes à la valem* N ; car si l'on sup- posait que la même représentation pût dériver de deux transfor- mations propres différentes , ces deux transformations étant œ-=.moc — vy et y=inoo' -^-ii.y y xz=.mx' — v'y, y;=,no(î -{^fx'f'^ de* deux équations TniJ.-\-nv=:^vn,u!-\-m' . . . . (Ji.{mb -^ ne) — v(Tna-^nb) = yf(mb-}-nc) — /(jna-^-nb') , on déduit sans peine qu'il faudrait qu'on eût il/=o, ou bien IJ.:=:f/, v:=Vy or Ja première condition est déjà exclue, et nous avons supposé m' et n' différens de m et n. Il résulte de là que si on avait toutes les transformations propres de F en G , elles donneraient toutes les représentations de M par F, qui appar- tiennent à la valeur iV. La recherche des représentations d'un nombre donné par une forme donnée, dans lesquelles les valeurs des indéterminées sont premières entre elles, se réduit donc à trouver toutes les transformations propres de cette forme en une autre forme équivalente donnée. En appliquant ici ce que nous avons dit n" 162 , on conclut facilement que si une représentation du nombre M par la forme F appartenante à la valeur N, est donnée par les valeurs jr = a, yz=.y , la formule générale qui comprend toutes les représentations du même nombre par la forme F , sera 2 l/^-g y Bnon > y A, C non<. A, Nous supposons que ces trois conditions ne soient pas réunies dans la forme proposée , autrement il serait inutile de chercher la seconde forme. Soit l/' le résidu jninimum absolu du nombre — h. L'a i_ r) suivant le module a\*) et a"=- ,- > q^^i sera entier, puisque ï4^ RECHERCHES U^ = h' y d'oii h'' + D^l?'-\-D^ aa! ( mod. a'), Mainf enant ', si a" % suivant le module a", et «'" = — ;; — . Si a' <, ol' , soit de même Z'"' résida absolu minimum de — U' , suivant le module d", et à"^ = 3; — ; en continuant celte opération jusqu'à ce que l'on parvienne à un. terme a*^"**^'^ de cette progression qui ne soit pas plus petit que le terme précédent a*^'"^, ce qui arrivera nécessairement, sans quoi on aurait une suite de nombres entiers plus grands que zéro et décroissans à l'infini. Alors la forme (a'", b"^ , a"^-^') satisfera à toutes les conditions. En effet, 1°. dans la suite de formes {a,b, a'), {a'fb'ja'), (a% b" y a"^ , etc. , une quelconque est contigu'ë à celle qui la pré- cède; donc la dernière est proprement équivalente à la première (n^s i5g et 160). 2". Comme b^""^ est le résidu minimum absolu de — h^"'~^'^, suivant le module a^""^ , il ne sera pas plus grand que ^ a^'"^ (n° 40' 5". Puisque a^"'\a<^"-+-'^ = Z>+Z^<^'"^*, et que a^'"-*-'^ non <, a^""^ , ^(m)2 jie sera > D -{- ^^'"^^ -, et comme b^"''^ est non > f a^'"^ , a^""^* ne sera pas > Z) + i ^^"''"' > ou f a^'"^* ne sera pas plus grand que D j donc enfin a^'"^ non > 2 1/ -g-. Exemple. Soit la forme (3o4^ ^17* i55) dont le déterminant ;= — . 5i , on trouve la suite de formes : ( 3o4 * 217 , i55 ) , (i55,— 62, 25), (25, 12, 7), (7, 2, 5), (5,-2, 7)5 et la dernière est la forme cherchée. De même, pour la forme (i2i,49>2o) dont le déterminant est — 19, on trouve les formes équivalentes : (20,-9,5), (5,-1,4), C4> i>5)-, donc (4, i, 5) est la forme cherchée. Nous appellerons ybr/Tze^ réduites\e% formes (^y4,B, C), qui sont telles que , le déterminant étant négatif, on ait A non > 2 1/^ -^ , >H non > 7-^, et C non <.A; ainsi on peut trouver une forme ("♦") Il faut remarquer que si a ou a' étaient zéro, le déterminant serait un quatre positif , ce qui est contre l'hypothèse , par la même raison c et a ne peuvent être de signe contraire. ARITHMÉTIQUES. 145 réduite proprement équivalente à une forme donnée quelle qu'elle soit. 172. Problème. Trouuer les conditions nécessaires pour que deux formes réduites non identiques et de même déterminant négatif, soient proprement équivalentes. Soient les formes {a, b , c) , {a\ b', c') dont le déterminant est — Z) j supposons, ce qui est permis, que a' ne soit pas > a, et que la forme ax^ -\^ 2bxy -^ey'' se change en aV^'-f- sZ? Vjk'-j- c'y*, par la substitution propre x =£ eux' + ^y' > J^ = 7^' + ^J* On aura les équations L'équation (i) peut se mettre sous la forme aa'z=.(acL-^hyy-{-Dy^, donc aa' est positif j et comme on a d'ailleurs ac :=: D ^h^ , OLc'z^.D-^b''^, il s'ensuit que ac, ad , aci sont positifs, et partant que a, a! , c, d sont tous de même signe. Mais a et a sont non > 2 \/ ^ ; donc aa' , et à plus forte raison Dy'' ne sera pas > f J9 5 mais y doit être entier, il sera donc o ou db i. I. Si y=o, l'équation (5) donne a.S'zzz i , et partant ct=rfci, et cf = d= 1 : dans les deux cas, il résulte de l'équation (i), a=za', et de l'équation (2) Z>' — ^ = dz/3ii- niais b est non ^ {a, U non > \a' , et partant non > -a-, donc l'équation b' — b:=zt:^a ne peut avoir lieu si b est dô même signe que b' , à moins qu'on ii'aitZ'^Z^', d'où s'ensuivrait c'= — ^ — == — — — =:c, et partant , à moins que les formes (a,b,c), (xi! , b' y c') ne soient identiques , ce qui est contre l'hjpothèse. Si ^ et b' sont de signe contraire, cette équation n'aura lieu non plus qu'en supposant b = — b' dz ^ a, ce qui donne de même c' = c ; la forme (a', b', c) sera donc (a, — b, c), c'est-à-dire opposée à la forme (a, b, c). On voit d'ailleurs que ces formes sont ambiguës, puisque zbz=.-{-a (n° i63). II. Si 5/ = ± I , l'équation (i) devient aa'+c — a'=dz2bsL-y mais c n'est pas -< û: , et parconséquentpas a! et non < c , il s'ensuit que a = a = c : or i44 RECHERCHES l'équation (5) donne jS;. = — i , et partant l'équation (2) devient Z»-!- ^' = d=crc==rtJcz. On pourra supposer seulement ici, comme dans le cas précédent, bz=b\ ou ô = — b\ Par la première suppo- sition, les formes (^z, b, c), (a', b' , c*) seraient identiques, par la seconde elles seront opposées. 2% Si a = =bi, réquation (i) donne « *f-c — a'=:=p2^; mais a et c sont tous deux non <,a' , donc 2.b sera non << a et non > a et non >• c\ donc né- cessairement a = c= =h 2b. L'équation a + c — < a' = =f; 2^ donne alors d= 2Z> = a'i ainsi l'équation (2) devient ou comme ens' — fiyz=.if ce qui exige, comme ci-dessus , que b-=.U , ou que 3 = — b' . Or , dans le premier cas , les formes seraient identiques contre l'hjpothèse ; dans le second, elles sont opposées et ambiguës. Il résulte de cette analyse que les formes (^, b, c) , (^', ¥, d) ne peuvent être équivalentes , à moins qu'elles ne soient opposées et en même temps ambiguës, ou telles que a z=z c zzz^ a' z=. c\ Il était évident, à priori , que dans ce cas les formes sont propre- ment équivalentes; car , comme opposées , elles sont improprement équivalentes, et comme ambiguës, elles le sont aussi proprement. Mais si an=:c, la forme, ( v ^^~" ^ a-^b, a\ sera contiguë, et partant équivalente à (^ï, ^, c) j mais comme Z>+3*==fl<:=^% on a — ^ = 2g — ib i et la forme {p.a — 2b , a-^b, d) est ambiguë, donc Qa, b, c) sera aussi proprement équivalente à son opposée. On juge facilement par là si deux formes réduites (a, b, c), (a', b'j c') non opposées, peuvent être improprement équivalentes. En effet, elles le seront, si (a, b, c) et (a\ — Z^', d) qui ne sont pas identiques, sont proprement équivalentes; sinon elles ne le seront pas. Il suit de là que les formes proposées, pour être improprement équiva- lentes, doivent être identiques, et en outre ambiguës, ou telles qu'on ARITHMÉTIQUES. i45 qu'on ait a == c. Mais les formes qui ne sont ni identiques , ni opposées, ne peuvent être équivalentes ni proprement ni impro- prement. 175. Problème. Etant données deux formes F et F' de même déterminant négatif , chercher si elles sont équii^alentes. Cherchons deux formes réduitesyet/' proprement équivalentes aux formes F^ F' respectivement. Si les formes/",/' sont équiva- lentes proprement ou improprement, ou des deux manières, F et F' le seront aussi j mais si f et f ne sont équivalentes d'aucune manière, F et i^'ne le seront pas non plus. Par le n" précédent , il peut arriver quatre cas : 1°. Sifetf ne sont ni identiques ni opposées, F et F' ne seront équivalentes d'aucune manière. 2°. Sifetf sont d'abord identiques ou opposées, et ensuite ambiguës, ou telles que leurs termes extrêmes soient égaux, F et F' seront équivalentes proprement et improprement. 5°. Sifetf sont identiques , mais qu'elles ne soient pas am- biguës, ou qu'elles n'aient pas leurs termes extrêmes égaux, F et F' ne seront que proprement équivalentes. 4". Sifetf sont opposées, mais qu'elles ne soient point am- biguës, ou qu'elles n'aient point leurs termes extrêmes égaux, les formes i*" et F' seront seulement improprement équivalentes. Exemple. On trouve pour les formes (4i , 35, 5o), (7, i8, 4?) dont le déterminant est — 5, les réduites (1,0, 5), (2, i, 3) qui leur sont respectivement équivalentes ; donc les formes pro- posées ne sont équivalentes en aucune manière. Mais les formes (25, 38, 63) , (i5, 20 , 27) ont la même réduite (2, i , 5} , et comme elle est en même temps ambiguë , les formes proposées seront équivalentes proprement et improprement. Les formes (37, 53, 78), (53, 73, 102) ont pour réduites (9, 2,9) et (9, — 2,9)-, comme elles sont opposées et que leurs termes extrêmes sont égaux, les formes proposées sont équivalentes tant proprement qu'improprement, i74« Le nombre des formes réduites qui ont un déterminant donné — D, est toujours fini, et même assez petit par rapport an nombre D , et il y a deux manières de trouver ces formes i4G RECHERCHES- elles-mêmes; désignons indéfiniment par (^a y h, c) les formes ré- duites dont le déterminant est —D, il s'agit de déterminer toutes les valeurs de a , b et c. Première Méthode. On prendra pour a tous les nombres tant positifs que négatifs qui ne sont pas plus grands que \/^D , et dont — Z) est résidu quadratique; et pour chaque valeur de ^ <2 , en les prenant tant positivement que négativement. Quant à c , on le fera = —^ — . S'il résulte de là quelques formes dans lesquelles c tous les nombres positifs ou négatifs q^i ne surpassent pas!/ ^; pour chaque valeur de b , on décomposera b^ -^ D de toutes les manières possibles, en deux facteurs pris positivement ou négativement , et non plus petits que 2b j en prenant l'un des deux , le plus petit s'ils sont inégaux,' pour la valeur de a , et l'autre pour la valeur de c. S'il en résulta quelques formes dans lesquelles a^al/^r, elles seront à re- jeter ; les autres seront visiblement des formes réduites. Il est d'ailleurs évident qu'il n'j a pas une forme réduite qui ne puisse se trouver par fchacune des deux méthodes. ^^ Exeinple, Soit Z) = 85. Par la première méthode, la limite dés valeurs de a est \/ ^ qui tombe entre lo et ii. Or les nombres compris entre i et lo, et dont le résidu est ^^ , sont: I , 2 , 5, lo, d'où résultent les douze formes suivantes: (i,o,85),(~.i,o, — 85); (2, 1,45), (3, — 1,43), (—2,4- 1,-43), (—2, — 1,-^45); (5, o, 17), ( — 5, G, — 17); (irO^ 5, II), (10, — 5, ii),( — 10, 5, — II), ( — 10, — 5, — II).. Par la seconde méthode , la limite des valeurs de h est |/^ qui tombe entre 5 et 6. En supposant ^ = o, on trouve les formes : (i , o, %^), (—1, 0, — 85), (5, o,. 17), (—5, 0,-1.7); pour ^ = :=t I : (2, db I, 4^% ("^^^ ^ti, — ^). Il n'j en a aucune pour ^=^3, parceque 89 n'est pas decomposable en deux facteurs dont chacun soit non < 4. La même chose a eu lieu pour ^=dt 3 et ;±: 4* ARITHMÉTIQUES. ,4^ Enfin, pour h = -±:5, il vient (10, d=5, 11), (— lorfcS, — n). 175. Si parmi toutes les formes déduites d'un déterminant donné, on supprime une des deux qui sans être identiques sont proprement équivalentes, celles qui resteront jouiront de cette propriété remar- quable, qu'une forme quelconque de même déterminant sera pro- prement équivalente à quelqu'une d'entre elles, et à une seule; car, sans cela', il resterait encore des formes réduites proprement équivalentes entre elles. D'où il suit que toutes les formes de même déterminant peiwent se distribuer en autant de classes au" il sera resté déformes réduites, en comprenant dans la même classe les formes qui sont proprement équivalentes à la même réduite. Ainsi, pour D = ZS, il reste les huit formes réduites , (1,0, 85), (2,1,43), (5,0,17), (la, 5, II), (--1,0,^85), (-2,1, -45), (^5,o,-.i7),(-io,5,~ii). Donc foutes les formes dont le déterminaiît est —85, peuvent se distribuer en huit classes, suivant qu'elles sont proprement équi- valentes a la première, à la deuxième, etc.; et il est clair que les formes d'une même classe sont proprement équiA^alentes, tandis que deux formes prises dans deux classes différentes ne sauraient être proprement équivalentes. Mais nous traiterons ci-après avec plus de détail, le sujet de la classification des formes ; nous n'ajou- tons ICI qu'une observation. Nous avons déjà fait voir que si le determinant de la forme {a, b, c) est négatif, a et c sont de même signe, et on s'assurera, comme nous l'avons fait pour les formes réduites, que si (^, h, .)> (./, ^^ C) sont deux formes équi- valentes, a a,c c seront de même signe (^). II suit de là que les fbrmes dont es termes extrêmes sont positifs, sont absolument distinctes de celles dont les termes extrêmes sont négatifs, et ou'il suffit dans les formes réduites , de considérer celles qui ont leur termes extremes positifs, car les autres sont en même nombre !€€ on aura acû + ^Uy -f- cy z=: a' , d'où aa! =( act4. bS Y ^ n ^ soient de même signe. ^ ^ 2 i48 RECHERCHES . elles naissent des premières , en changeant les signes des terme*^ exfrêmes. La même chose a lieu pour les formes réduites à rejeter et à retenir. „ 176. Voici en conséquence une table qui contient, pour quelques déterminans négatifs , les formes suivant lesquelles toutes celles du même déterminant peuvent se distribuer en classes*, mais, suivant la remarque du n° précédent, nous n'en avons mis que la moitié, c'est-à-dire celles dont les termes extrêmes sont positifs. Déterm 1 . 2. 3. 4. 5. 6. 7- 8. 9- 10. 1 1 . 12. (i, o, 2). (1,0, 3), (2, I.Î2). (1,0, 4), (2,0, 2). (i, o, 5), (2, I, 3). (1,0^ 6), (2,0, 3). (^>o, 7), (2, 1,4), (1,0, 8), (2, 0,4), (3, I, 3>. (1,0, 9), (2, 1,5), (3, o, 3). (1,0, 10), (2,0,5). (1,0, 11), (2, 1,6), (3, 1,4), (3,-1,4). (1,0, 12),(2, o, 6),(3, o, 4),(4, 2,4). Il serait superflu de continuer plus loin cette table, puisque nous donnerons plus bas une bien meilleure manière de la disposer. Il résulte de cette table que toute forme dont le déterminant est — I, équivaut proprement à la forme œ'''\-y'', si les termes extrêmes sont positifs , et à la forme — x'' — y' , s'ils sont néga- tifs j que toute forme dont le déterminant est — 2, et dont les termes extrêmes sont positifs , équivaut à la forme :r*-f-2j'% etc, que toute forme dont le déterminant est — 11 , et dont les terme» extrêmes sont positifs, équivaut à l'une des quatre : ^r'' + nj'*^ 2X^ -j- 2xy -H ^y" , 3:c* -f- 2xy + /^y"" , 3jc' — ixy + 4r% etc. 177. Problème. Etant donnée une suite de formes telle que chacune soit continue à celle qui la précède par la dernière partie, trouver une transformation propre de la première en une quelconque de la suite* ARITHMÉTIQUES. 149 Soient les formes (a, b,a')=F, (a\ h', a")=zF, {a", h\ a')z=^F% (a\ b"', «■v)=:F''...etc. Faisons ^-±-^- = H, ^= U\ ^-^^h\ etc. nommons x , y . . , x'^ y . . . x", y", etc. les indéterminées des formes F, F', F", etc. et supposons que F se change en F' par la substitution xz=:ol' x' -{-^' y y y:=y x' -{-S'y F" ^=£t"a;"+/3y' . . .Y=y"x"-\-ry" F* a:=flt"jc"+/Sy . . .j==5,'^x'^+ J^y. Cela posé, comme F se change en. F' en faisant xz= — y' et yz=x'-\'h'y, F en F" en faisant ^'=— /'. . ./=x"4-/zy , F" en F" en faisant x"=: — y"" et y" :=^od' -{-If y" , etc. on trouvera facilement les équations suivantes: etc. a =0 a" =/3' a* =/3'' tt'^=/3" etc. d*où l'on tire ■y = ■J' y '=é", etc. S' =/z' S"' ^Ji!" r —y" etc. a =0 etc. /3"=;2''/3' etc. etc. etc. il suit du n° iSg, et de la formation de ces quantités, que les différentes transformations sont propres. Cet algorithme très-simple, et auquel on applique facilement le calcul, est analogue à celui du n° 27 Ç^) , auquel même il (*) On aurait , d'après la notation du n° 27 , où les signes ambigus doivent être — , — ; — ,-f-;-fj — \+ i -f> suivant que r» est de la forme 4A' , 4A: + 1 , 4/^ -f- 2 , 4/v -f- 3 , cr"=:rh[/i', — A", h', It A(«)] , où les signes , dans les mêmes cas , doivent être -|-, — \ -f-, -\-; — , — ; —, -f-- Mais le désir d'abréger nous empêche d'insister davantage sur ces forraiiles , qu'au reste chacun pourra confirmer aisément. i5o KECHERCHES est facile de le ramener. Au reste, cette solution n'est pas res- treinte au cas des formes de déterminant négatif; elle convient à tous les cas, pourvu qu'aucun des nombres a', a!', a", etc. ne soit égal à zéro. 178. Problème. Étant données deux forme s Y et ï de mémù déterminant négatif et proprement équwalente.s.,. tromper une transformation propre de l'une en Vautre, Supposons que F soit la forme {A, B, A')\ par la méthode du n° 171, on cliercheca la suite des formes {A! , B' , A"), (A", B", A"'), etc. jusqu'à la réduite (A^'"\ B^'"\ ^^'"-+-'5;. Soit (iz, b^ a) l'autre forme/; on cherchera de même la suite {a', b', a"), {a\ b\ (h"') y etc. jusqu'à {aS^'^y b^"'^, a^"-^'^), qui est la réduite. Alors il peut se présenter deux cas : 1°. Si les formes {A^^\ B^^\ A^'"'^'^), {a'^"\ 1^"^ a^^-^'^) sont iden- tiques , ou à - la - fois opposées et ambiguës , les formes /^(m-t)^ ^Cm-i)^ A"^), {a^"^, b'*~'^, a<^"~'^) seront contigues, A^"^-'^ désignant l'avant-dernier terme de la suite A, A', A", etc. (il en est de même de B^—^\ a^'^-^\ Z^f—'^); car ^«=^^"5, j^c— o^5(m) = o (mod. ^'") , ^Cn-o^^w^o (mod. a^'"5=^<^'")), d'où 5^'"-'^— Z>^''~'^-i-jB^"'^ — Z>^''^^^o*, mais si les formes réduites sont identiques, B^'^ — ^w^^o; si elles sont opposées et ambiguës, £Cm) ZjC"):^^^; donc dans les deux cas ^^"'r'^ — ^"-'^=0. Il suit de là que dans la suite de formes: (^, B, A'), {A\ B\ A") .... (^C- 0, i5C— 0, ^C-)) , (aC"), — 6C-0, aC""')) , (aC"-')^ — .M"-^), aC"-^)) . . . (a , — Z», a), (a, h, a'). Une quelconque est contiguë à celle qui la précède, etparconséquent (n° précéd.) on pourra trouver une transformation propre de F enf. 2% Silesformes(^t'"), iS^'"),^^'"-^'^), (.^w ^w ^(-^O) n'étant pas identiques, sont opposées et que leurs termes extrêmes soient égaux, on aura ^w = ^C'"-^'5 = a^''^ = «^"■^■^ à'ohA^-^^^=:a^"\ei ^m ^cn-o_- (M"^-f-Z><^"-'^), et partant divisible par û^"^; donc la forme (^^""^ B^"''^, A^'"-^'^) est contiguë à la forme (a% -—b"-', a""), et la suite: C^, £, A'), {A', B\ A"). . . .(^C-n), fiO"), ^C-^O), (ûC"), -iCt-0, aC-O), (a^l''\ — 6C«-^), a^"-^^). .,.{a\ ^b, a) , (a, b , a') AKITHMÉ TIQUES. i5i jouît de la même propriété que la précédente. Oa pourra donc trouver une transformation propre de F en f. Exemple. Soient les deux formes {2Z , 58^ 63), (i5, 20, 27); On trouvera Ha i^.. (23, 38, 63), (63, 25, 10), (10, 5, 3),(3,i,2),(2,— 1,3) P°"^\la2%... (i5, 20, 27), (27, 7, 2), ( 2, 1, 3). Les deux réduites sont opposées et ambiguës; les deux formes proposées se rapportent parconséquent au premier cas. La suite de formes contigu'és sera donc (25, 2^, 63), (63, 25^ 10), (10, 5, 3), (5, i, 2), (2,-7, 27), (27,— 20,i5), (15,20,27). Il en résulte //=52±H2=i, h"z=:^^^:=^, W^^^lt^^-^-Z, /j'==— I, ;z"=o, d'où l'on déduit a"=— 13, jS^'srr— 18, >"=8> cr^'=ii. Donc en faisant a;= — 13/ — \^il et j'=8/-f-ii«, la forme 23;i:'+76:c)^-|-63j* se change en i5/*-|-4<^/w+27Z/''. De la solution du problème précédent on déduit facilement la solu- tion de celui-ci : F et ïétant deiixforines improprement e'quii^'alent es, trouver une transformation impropre de F en f. Soit en effet f:=:iat''-\-2btu-\-au^, la forme g^zap"" — 2hpq'{-a'(^* , <\\iï estop- posée à y sera proprement équivalente à F. On n'a donc qu'à cher- cher une transformation propre de F en g', soit xt=ia.p^^q ^ y=:yp-\'j'q cette transformation; il est clair (n*^* i58 et 159) que F deviendra f par la transformation a:=a/ — l^u, yz=:yt^^^Ut qui sera impropre. Si donc les formes F, f sont équivalentes tant proprement qu'improprement, on pourra trouver une transformation propre et une transformation impropre. 179. Problème. Etant données deux formes équii^alentes F, f, iroui^er toutes les transformations de F en f. Si les formes F etfne sont équivalentes que d'une manière, c'est-à-dire, proprement ou improprement, on cherchera par le n° précédent une transformation de F en f, et il est clair qu'il ne peut y en avoir d'autres que celles qui sont semblables j52 recherches à celle-là. Si les formes F, f sont équivalentes des deux ma- nières, on cherchera deux transformations, l'une propre, l'autre impropre. SoitF=(^, By C), B^ — AC=. — D et m le plus grand commun diviseur des nombres A^ n^B , C Alors , par le n° 162 il est constant que toutes les transformations de F enf se déduiront d'une seule dans le premier cas, et que dans le second toutes les transformations propresse déduiront d'une transfor- mation propre, et toutes les transformations impropres, d'une transformation impropre, pourvu qu'on ait toutes les solutions de l'équation i^'\'Du'=jn\ Dès qu'elles seront trouvées, le pro- blème sera résolu. Or comme on a D=zAC^-'B'', il s'ensuit que 4Dz=/^AC — 4-S% ou -— = ^^-7 {— - ) ; donc -— est un nombre entier. Cela posé, 1°, Si -— >4> on aura Z)>77i% et partant, dans l'équation i^'{-Du' = T7i''f on a nécessairement 11=0 et tz=.'±im. Donc si F Qi f hq sont équivalentes que d'une manière , et qu'on ait une transformation x=zcilx' -{-^y , y:=yx'-\-S'yf on n'en trouvera pas d'autres que celle-là même qui résulte de la supposition tz=.in (n° 162) , et la transformation ^=: — cf^x — /3y,jK = — yx' — S'y ', mais si F ei f sont équivalentes des deux manières, et qu'on ait une transformation propre x:=.clx' -^^y , yz^yx'-^-S'y' , et une impropre a: = a':c'-|- /S'j'', y^y^'-h^'f > on n'en trouvera pas d'autres que ces deux, qui naissent de la supposition t=.jn, et les deux a:= — ct.x' — ^y', y=z — yx' — jy, . . . ^=^-aV — /2y, yz=: — y'x' — jy, que fournit la valeur /= — m* 2°. Si -—=4 ou D=:m'', l'équation ^'^--D^^''=77^' admettra quatre solutions; izrzm, «=o*, /= — m, «=o; / = o, w=i; /=o, «;=— I. Donc si F,f sont équivalentes d'une seule manière, et qu'on ait la transformation a: = ax''+/3/', ^=5.a;'+cry, on en tirera en tout les quatre suivantes : ce =rfc: eux' ± jSy , yz=z^yx'zt.Sf, ^ m "^ m ^ ' y = de -^ x;àz — v ; mais ARITHMÉTIQUES. ,55 toiais si 2^ et /sont équivalentes des deux manières, c'est-à-dire si, outre la transformation donnée, il j en a encore une qui soit dissemblable, cette dernière en fournira encore quatre, desorte qu'il y aura huit transformations. Au reste il est aisé de démon- trer que si Dz=zm\ F et/ sont toujours équivalentes des deux manières. En effet, comme on a alors iri'^AC B\ B lui- même sera divisible par m, et si l'on considère la forme (A B C\ ^, . \m' m' m)' ^°^ determinant sera — i, et partant elle sera équi- valente à l'une des formes (i^ o, i), (—1, o, — -i). Or on voit facilement que la même transformation qui change f-, - -^ en (=fci. G, ±1), changera la forme {A, B, €) en {zt:m, o, -azm), qui est ambiguë^ donc la forme (^, B, C) étant équivalente à une forme ambiguë, sera équivalente des deux manières, à la forme {a, b, c) (pp^ i63 et suiv.). ^°* ^^ 1^'^'^ ^^ 4^=^^rn% 771 sera nécessairement pair, et comme dans l'équation /^+Z)z/^=:m% il faut que z^"| M". Cela posé, comme une quelconque de ces représentations appartient à quelqu'une de ces valeurs, nous considérerons chacune en particulier. Si les formes F, (M, N, ^ J ne sont pas proprement équi- valentes, il n'y aura aucune représentation de M qui appartienne à la valeur N {n" 168) -, mais si elles le sont, on n'a qu'à cher- cher une transformation propre de F en (M, N, —jf—j 9 qui soit:i: = ajr'4-/3y, y=>^'+ciy, et l'on aura ^ = a, j=^ pour la représentation du nombre M par la forme F , qui appartient à la valenr N, Soit m le plus grand diviseur commun des nombre? ,'j iO A , nB, C, et nous pourrons distinguer trois cas: ' ' AD - : uù '"> j°. Si -— >4, il n'y aura pas d'autres représentations quecee deux-ci : ;ç=a, J=;^J ;r5=:— ce, y^'-^y (u"* 169, 180). ARITHMETIQUES. ï55 2*. Si —=4> il y aura quatre représentations : ^=d=ct^j=:rfc;/j m ' ^ m ' o". Si ~=5, il y aura six représentations: On cherchera de la même maiiièreles représentations que donnent les valeurs — iV, 4-iV% — W, etc. i8i. La recherche des représentations du nombre M par la forme F y dans laquelle .-c et^ ont des valeurs quelconques, peut se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait lieu en faisant x^=zjxe, y^if^f, ensorte que fJL soit le plus grand diviseur commun des nombres /^e, fjif , ou que e et /soient pre- miers entre eux -, on aura M^z/x" {Ae'-^ ^^^-f. Cf^), et parconsé- quent iJi"est divisible par/A»j et la substitution ^=e, y^=f four- nira une représentation du nombre — par la forme F, dans la- quelle X etjr ont des valeurs premières entre elles. Si donc M n'est di- visible par aucun quarré, il n'y aura pas de telles représentations ; mais s'il renferme des diviseurs quarrés , que nous appellerons /A% v^, ttS etc ', On cherchera d'abord toutes les représentations du M nombre — par la forme (A, B, C), dans lesquelles les valeurs de X, y sont premières entre elles; ces valeurs multipliées par /t, donneront toutes les représentations de M, dans lesquelles yL est le plus grand commun diviseur de x et de/*, de la même ma- nière on trouvera toutes les représentations dans lesquelles v est le plus grand commun diviseur de ^ et de j, etc. On peut donc, par les méthodes que nous venons d'exposer, trouver toutes les représentations d'un nombre donné, par une forme donnée de déterminant négatif. 182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remar- quables autant à cause de leur élégance, que par l'assiduité avec laquelle Euler s'en est occupé. i56 RECHERCHES 1°. Aucun nombre, à moins que son résidu quadratique ne soit — I , ne peut être représenté par la forme ^r^+J'* t dans laquelle X Qt y sont premiers entre eux , ou sont décomposables en deux nombres quarrés premiers entre eux ; mais tous les nombres qui jouiront de cette propriété pourront se décomposer en deux quarrés. Soit iV/ un de ces nombres, et rfciV", ±iV', ±iV", etc. les valeurs de l'expression \/ — i (mod. M) 5 alors par le n** 176 la forme {M, N , ^ j sera proprement équivalente à la forme (1,0, i)j soit :r=aa;'+/3j', y^^-yx^^ê^y' une transformation propre de la forme (i , o, i) en la forme [M, N, — 1^— -) j on aura les quatre représentations suivantes du nombre Af par la forme •^''-f-J% savoir, a? ==bct,y=db^j x:==py , yz=zi=ci.(2\ — n°i8o). Comme la forme (i , o, i) est ambiguë, il est évident que la forme (M, — N, — 5-~) lui ^st aussi proprement équivalente , et que la première se change en la seconde par la transforma- tion propre x-=a.x' — ^y , y=: — T'^'-f-cT^", d'où naissent quatre représentations de ikf appartenantes à — N , x=zt:cL, yz^zpy; a: = zfc5/,/ = =pa. Il suit de là qu'il y a huit représentations du nombre M, dont quatre appartiennent à la valeur iV, et quatre à la valeur — iV. Mais toutes ces représentations donnent la même décomposition du nombre M en deux quarrés, M:=: «-'' + >*, tant qu'on ne considère que les quarrés , et non Tordre et les signes des racines. Si donc il n'y a pas d'autres valeurs que Net — iVpour l'expres- sion \/ — I (mod. M) , ce qui arrive, par exemple, toutes les fois que M est un nombre premier, ili"ne pourra être décomposé que d'une manière en deux quarrés. Or comme — i est résidu de tous les nombres premiers de la forme 4^+ i (n° 108), et qu'un nombre premier ne peut évidemment se partager en deux quarrés non premiers entre eux, nous aurons le théorème suivant. Tout nombre premier de la forme 4^ -^i peut être décomposé en deux quarrés , et ne peut Vêtre que d'une seule manière* Ainsi : ARITHMÉTIQUES. 157 1= 0-1- 1, 5=1+ 4, 13= 4-f- 9, 17=: 1-I-16, 29= 4 + 25, 37 = 1+36, 41 = 16 + 25, 53= 4 + 49, 6i=25 + 36, 731=9 + 64, 89 = 25+64, 97=16 + 81, etc. Ce théorème élégant a été donné par Fermât , mais Euler est le premier qui l'ait démontré, Comm, nou, Petj\ T.v. ann, ijS^et 1755. p. 3. Dans le T. iv , il existe une dissertation sur le même sujet, p, 8 ; mais alors il n'était pas parvenu à son but. Si donc un nombre de la forme 4^^ + i ne peut pas être dé- composé en deux quarrés , ou peut l'être de plusieurs manières, on sera sûr que ce n'est pas un nombre premier. Mais réciproquement, si l'expression \^ — i (mod.Af) a encore d'autres valeurs que iV et — iV, il y aura d'autres représentations de M, Ainsi, dans ce cas, M peut se décomposer en deux quarrés de plusieurs manières j par exemple : 65 = i + 64 = 16 + 49 , 321 =25+196= 100 + 121. Les autres représentations dans lesquelles x ç^i y prennent des valeurs non premières entre elles , se trouvent facilement par notre méthode. Observons seulement que si le nombre M renferme des facteurs de la forme 4^ + 3 , dont on ne puisse pas le délivrer en le divisant par un quarré , ce qui arrivera toutes les fois que le nombre M renfermera des puissances impaires de ces facteurs , il ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés (^), /* It ^ y (*) Soit le nombre M" =2 .S. a b c , etc., ensorte que a, b, c, etc. soient des facteurs premiers inégaux de la forme 4'^-f-i , et 5 le produit de tous les facteurs premiers de la forme 4«+3; cette forme donnée au nombre il/ convient dans tousles cas ; pour M impair , il suffit de faire //-— o; si M ne renferme au- cun facteur de la forme 4n-\-5 , on fera 3= 1 : si S n'est pas un quarré , M ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés ; mais si S est un quarré, il y aura i(A-(.i) (.S-f-i)(;.-f.i), etc. décompositions de 31, lorsque quelqu'un des nombres*, /S, y, etc. sontimpairs, et il y en aura|(«-f-i) (/S^- 1) C^+O» etc. -f-i, quand tous les nombres ct,^,-y, etc. serontpairs, tant qu'on ne fait attention qu'aux quarrés eux-mêmes. Ceux qui ont quelque habitude du calcul des combinaison? , déduiront sans peine de notre théorie générale la dé- monstration de ce théorème , auquel nous ne pouvons nous arrêter , non plus qu'à d'autres particuliers. (Voyez n° io5). ,58 RECHERCHES 2''. Pour qu'un nombre puisse être représenté par la forme ^1 ^ 2y'' , X et y étant premiers entre eux , il faut que ce nombre ait — 2 pour résidu. Soit donc M un nombre qui ait — 2 pour résidu, et soit iV une valeur de v/-— 2 (mod. M)-, alors (n" 176)168 formes / N^ 4- 2\ (i, o, 2), (M, N, "'m' ) ^®^'°"* proprement équivalentes. Sup- posons que la première se change en la seconde par la transfor- mation propre a: = cf.x' + /3y , y = yx' -f- «ÇkS on aura deux représentations xz=:zh oL,y=::t:y du nombre M appartenantes à la valeur N, et il n'jen aura pas d'autres (n° 180 — i°.) D'ailleurs on voit, comme ci-dessus, que les représentations qui appartiennent à — iV,sont a:== d= oc ,y = rp 5/. Mais ces quatre représentations ne donnent qu'une seule décomposition du nombre M en un quarré et le double d'un quarré; et si l'expression \/ — 2 (mod. M) n'a pas d'autres valeurs que iV et — iV, il n'y aura pas d'autre dé- composition. De là, à l'aide des propositions du n° 116, on déduit facilement le théorème suivant : Tout nombre premier de la forme 8n -|-i o« 8n -f- ^ ^ /?^^^^ être décomposé en un quarré et le double d'un quarré , et cela d'une seule manière ; ainsi , 1= 1+ o, 3= i-{- 2, 11= 9-f- 2, 17= 9 + 8, 19= 1-I-18, 41= 9+52, 45 = 254-18, 59= 94-5o, 67 = 49+18, 73= 1 + 72, 83 = 8i+2, 89 = 81+ 8, 97=25 + 72, etc. Ce théorème, ainsi que plusieurs autres semblables, était connu de Fermai -, mais Lagrange l'a démontré le premier ( Suite des Recherches Arithmétiques, Noui^, Mém, de VAc, de Berlin, ijjS, p. 525). Euler avait déjà trouvé beaucoup de choses qui appar- tenaient à ce sujet (Specimen de usu obsen^aùionum inmathesi purd. Com, nov, Peir, T, VJ. ) ; mais la démonstration com- plète lui a toujours échappé, p. 220. On peut voir aussi , T. vin , la dissertation intitulée : Supplementum quorumdam theorema- turn arithmetic or am. 5°. Par la même méthode on démontrera que tout nombre dont — 5 est résidu quad., peut être représenté par la forme a;'+3/», ou par la forme 2jc' + 20:^^ + 2/% de manière que x Qi y soient ARITHMÉTIQUES. i5g premiers entre eux. Donc, comme — 5 est résidu de tous les nombres de la forme S/z-f- 1 (n" iïq), et qu'il n'y a que des nombres pairs qui peuvent être représentés par la forme 2Z^ -\^ 2xj -\' 2^" , oa aura, comme plus haut, le théorème suivant : Tout nombre premier de la forme 3n-|- i , peut se décomposer en un quarré et le triple d*un quarré , et cela d'une seule manière , 3i = 4H-27, 37=25-{-i2, 45 = 164-37, 61=494-12, 67=644- 3, 75 = 254-48, etc. Euler a donné le premier la démonstration de ce théorème dans le mémoire déjà cité ( Comm, noi^, T* VJii, ). Nous pour- rions continuer de la même manière, et démontrer, par exemple, que tout nombre premier de la forme 2on 4- 1 > 20724-8, 20n -f- 7, 20/24-9 (ceux dont — 5 est résidu) peuvent être représentés par l'une ou l'autre des formes x*4-5j* et 2^' 4- sjtk -^- 5j-» -, savoir, les nombres de la forme 20/2 +1 , 2on 4- 9> par la première ; ceux de la forme 20/24- 3, aon^j , par la seconde j tandis que les nombres doubles de ceux de la forme 20/2 4- ^ f ^on -}- 9 seraient représentés par la forme 2x'^ -^ 2xy -i- ^y , et que les nombres doubles de ceux de la forme 2on 4- 3 , 20/2 4- 7 > le seraient par la forme a;* 4- 5/* ' mais chacun déduira facilement cette propo» sition, et une infinité d'autres particulières, tant de ce qui précède que de ce que nous allons exposer. Nous passerons donc aux formes de déterminant positif, et comme leur nature diflère quand le déterminant est quarré , et quand il ne l'est pas, nous commencerons par exclure ici le premier cas, que nous considérerons ensuite à part. i83. Vroblème, Étant donnée une forme quelconque (a,b,a') dont le déterminant soit un nombre D positif et non quarré, trouver une forme (^ A, B, C) qui lui soit proprement équii^alente , et dans laquelle'Bsoitpositifety etdans laquelle A, s'il est positif ou — A, si A est négatif, soit compris entre y/D 4- B ^/ j/D — B, Nous supposons que les deux conditions ne se trouvent pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile d'en chercher •ï6o RECHEnCHES une aufre \ ef nous observerons qu'aucun des termes exfrêmes ne peut être nul , car , sans cela , le déterminant serait un quarré (n° 171 ). Cela posé, soit b' ^ — Z?(mod. «'), et compris entre \/D et \/D qp a" (en prenant le signe supérieur quand a' est positif, et le signe inférieur quand il est négatif) -, il est aisé de démontrer que l'opération est possible , par un raisonnement semblable à celui du n' 5. Soit ensuite a" z=: -, — . a" sera un nombre en- tier , parceque Z>" — D^b" — D^ aa! ^ « ( mod. a!). Si a" < a\ on prendra encore h" ^ — ^'(mod. a"), et compris entre \/D et x/D'Tf.a' (suivant que a" sera positif ou négatif), et û"' = — -, — ; si l'on a d" <. a" , on prendra encore V""^ — b{moA, a" ) , et compris entre \/D et \/D q: a" , et a^'' = — ^, — , etc. On conti- nuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à un terme a^""^'^ qui ne soit pas plus petit que le précédent d-""^ , ce qui doit arriver nécessairement , car autrement une progression de nombres entiers pourrait décroître à l'infini. Alors en faisant a<^'"^ = ^, b^'"^=Bf ^(.m-hO—-Q^ la forme (-^, B, C) satisfera à toutes les conditions. En effet : 1°. Puisque dans la suite déformes (a,b,a'),(a\b\a"),(a'',b",a'"), eic, une quelconque est contiguë à celle qui la précède ', la dernière (A, B , C) sera proprement équivalente à la première. 2\ Comme B est compris entre \/D et v/-D=t2-^j en prenant toujours le signe supérieur quand A est positif, et le signe infé- rieur quand il est négatif, il est clair que si l'on fait \/D — B=:p et 5 — ( y/D z:f.yiï)=iq , p et (/ seront des nombres positifs, quel que puisse être le signe de \/D =f: -^. Or on s'assurera aisé- ment que <7" + 2pq -f- 2py/D z=: D -i- A^ — B^; or le premier membre est essentiellement positif, donc le second l'est aussi; et comme D^=:B^ — AC y il s'ensuit que A^ — AC^ o -, mais A n'est pas plus grand que C, donc nécessairement A et C sont de signe contraire-, donc aussi , puisque B^:=D'i-AC, on a B^<.JO etB<\/D, 5% Puisque D <,B' et que -^ AC z=i D -^ B"^ , on a AC C, on a aussi AKITHMÉTIQUES. lÔi aussi A < \/D ; donc ^D rp A sera positif, et partant , B qui est compris entre \/D et ^/Z) q= A, 4". Donc , à plus forte raison , \/D + ^ qp ^ > o • et comme \/D — BzizA = — g , ^ {^^^> — 97y^7) * (67, — 37, 20), (20, — 3, — i), ( — I, 5, 4). La dernière est la forme cherchée. Nous appellerons /brw^^ réduites les formes (A , B, C), dans lesquelles A , pris positivement, est compris entre ^D--\-B et \/D--^B , B étant positif et < \/D , et le déterminant Z) étant positif et non quarré. Ces formes réduites diffèrent un peu de celles dont le déterminant est négatif j mais à cause de leur grande analogie , nous n'avons pas voulu introduire des dénominations différentes. 184. Si l'on pouvait reconnaître l'équivalence de deux formes réduites, de déterminant positif, aussi facilement que nous l'avons fait pour celles de déterminant négatif (n" 172), on reconnaîtrait sans peine l'équivalence de deux formes quelconques de déterminant négatif: mais ici la chose est bien dififérente, et il peut arriver qu'un grand nombre de formes réduites soient équivalentes entre elks. Ainsi, avant d'entreprendre cette recherche, il est néces- saire d'examiner plus à fond la nature des formes réduites ( de déterminant positif non quarré, ce qu'on doit toujours sous-entendre dans ce que nous aurons à dire ). 1°. Si (^2, if y c) est une forme réduite, a et c seront de signe contraire j car en nommant D le déterminant, on aura acz^zb'' — />, et partant négatif, puisque b<^\/D. 2°. Le nombre C pris positivement, est, ainsi que a, compris entre \/D + ^ et \/D"^b j car — c = ; donc , abstraction a faite du signe , c sera compris entre J], = y^D — Z' et D 6» ,62 llECHERCHES 3°. Il suit Se là que (c , b , û) est aussi une forme réduîfe. 4°. a et c seront < 2 {/D ; car chacun d'eux est < {/D -^ b , et A plus forte raison < 2{/D, 5". b est compris entre y/D et v/-0=F^ (©" prenant le signe supérieur lorsque a est positif, et le signe inférieur quand il est négalif). En effet, comme rfc « est compris entre \/D-^b et y/D — Z> , on aura rt: a > {/D — b , ou ^ > \/D =f: « : d'ailleurs b •< \/D , donc b est compris entre v/Z> et \/D rpa. On démon- trerait absolument de la même manière que b est compris entre \/D et y'Dqpc (suivant que c est positif ou négatif). 6". Pour toute forme réduite ( a , b , c ) , otz peut en troui^er une également réduite qui lui soit contigue par Vune ou Vautre partiel mais on n'en pourra trouver qu'une. Soit a'-^=^Cy b' ^' — h [moA. a' ), et compris entre \^D et \/D-=çia , 6'' = — ; — •, la forme {a', b'y c') sera contiguë par la dernière partie, à la forme (^a, b, c) \ et il est clâif que s'il ^iste une forme réduite contiguë à la forme {a, b, /D '\'b'=ç.a! —p , =ir^'--( /ZJ — 3) r=^, \/D — h-=.r\ il suit de la définition des formes réduites de (a*^), que />, q i r sont positifs; et si l'on fait encore h' -^ \/{Dzjpa') :=.(/', |//> — b^tzztr' , q' et / seront positifs, puisque b' tombe entre \^D et \/D-=f.a'; soit enfin b-\-b' z^ztima' , m sera entier. Or il est clair que p -{- q' z=z h '\' b' , d'où il suit que d= ma' > o , et partant ttz >» o , et m—'i non +Z?=pa% donc y^ n'{-b>dza' ; d'ai\\emsq'=d=a—(i/IJ—b'), donc d=a'>\//^ — b'-, donc enfin =ba' est compris entre y'D-^-è et \/D — b, La forme (a\ b' , c') est donc une forme réduite. On démontrera de la même manière, que si l'on fait 'a^:=ia9 ARITHMETIQUES. i63 *h^ — ^ (mod. 'c), et compris entre \/D et \/Dzf.c /a-=. — ^^— , (^'a,*by'c) sera nue forme réduite. Il est manifeste d'ailleurs qu'elle est contiguë par la première partie à la forme (a, Z», c), et que nulle autre forme réduite ne peut jouir de la même propriété. Exemple, Soit la forme réduite (5, ii, — • i4) dont le déter- minant est 191 , on trouvera les réduites ( — 14, o, i3) ( — 22, 9, 5), dont la première est contiguë à (5, 11,^ — .14) par la dernière partie, et la seconde par la première partie. 7°. Si la forme réduite (tz', Z>', c") est contiguë parla dernière par- tie à la forme (a, hj c), la réduite ( , on décomposera b"" — D de i64 RECHERCHES toutes les manières possibles en deux facteurs qui soient comprii entre \/Z) -f- ^ et \/D — ù, abstraction faite du signe, et l'on fera l'un d'eux =« et Tautre = c. Il est évident que chaque décomposition en facteurs donnera deux formes, car l'un quel- conque des deux facteurs peut être pris pour a , et l'autre pour c. Exemple. Soit Dz=jg; par la première méthode , on trouve pour a vingt-deux valeurs : ± i , 2, 5, 5, 6, 7, 9, 10, i3, 14, i5, d'où résultent les ig formes suivantes : ( i,8,-i5),C 2,7,-i5),C 5,7,-io),( 3,8,- 5),( 5,7,-6), ( 5,8,- 3),( 6,5,— 9),( 6,7,- 5;,C 7,3, — io),C 7,4,-9)» ( 9,4,— ?)>( 9'5,— 6),(io,3,— 7),(io,7,— 5),(i3, 1,— 6), (14,3,— 5),(i5,2,— 5),(i5,7,— 2),(i5,8,— i). On en trouvera encore autant en changeant les signes des termes extrêmes, par exemple : ( — i, 8, i5), ( — 2, 7,4- i5) , etc., en- sorte qu'on en aura trente-huit en tout. Mais comme ± a doit être compris entre les limites \/D-{'b et \/D — b, il faut rejeter les six formes: (=i=i3, i,=p6), (=±:i4, 3, =p:5), (dbi5,2=f:5) 5 et les trente-deux qui restent, forment toutes les formes réduites. Par la seconde méthode, on déduit les mêmes formes dans l'ordre suivant : (±7,3,=f:io), (=i=io,3,=p7),(db 7,4,=p 9), (=4= 9^4=F ?)> (d=6,5,=p 9),(± 9,5,=F6),(db 2,7,=pi5;, (=b 3,7,=pio), (±5,7,=+: 6),(=b 6,7,=f:5),(dbio,7,rp 3),(±i5,7,q= 2), (±i,8,=pi5),(=fc 5,8,=f:5),(d= 5,8,zp 3), (±i5,8,=ï= i).; 186. Soit F une forme réduite de déterminant D , et la forme réduite F contiguë à F par la dernière partie ; soit de même la réduite F' contiguë à F', F" à F\ etc. , il est clair que toutes les formes F', F", F", etc. sont absolument déterminées, et qu'elles sont proprement équivalentes entre elles et à la forme F, Mais comme le nombre des formes réduites de déterminant donné est toujours fini, il est manifeste que toutes les formes F, F', F", etc. ne peuvent pas être différentes. Supposons que F<^'"^ et F^""^"^ soient identiques, J"Cm-o g^ ^(m-+-n-o sont réduites et contiguës par la première partie à la même forme réduite ; et partant identiques , on a de même jF*^""-»^ = J'*^'"■^"-*^ etc., et enfin i?' = i^^''\ Aia«i ARITHMETIQUES. iB5 dans la progression F , F', F", efc.^ pourvu qu'on la continue assez' loin , on retrouvera enfin la forme F '^ et si nous supposons que F^""^ soit la première identique avec F , c'est-à-dire que toutes les formes F', F\ . . . F*^"-'^ soient différentes de F, il est aisé de voir que toutes les formes F, F' , . . . F^"-'^ seront dififérentes entre elles. Nous appellerons l'ensemble de toutes ces formes /a péjiode de la forme F j si donc on continue la suite après la dernière forme: de la période, les formes F', F", etc. reparaîtront de nouveau, et' la suite entière sera composée de cette période répétée à l'infini. La progression F, F', F' t etc. peut aussi être continuée en sens inverse, en plaçant avant la forme F une forme 'F qui lui soit contiguë par la première partie, avant celle-ci une forme F'f etc. On aura de cette manière une suite de formes infinie dans les deux sens^ ' "F, "F y 'F, F, F, F", F% , et l'on verra facilement que 'F est identique avec F'^''~'^, "F avec jTdn—i-)^ etc. et que parconséquent la suite est aussi formée, vera. la gauche, de la période de la forme F répétée à l'infini. Si l'on attribue aux formes F, F', F", etc. 'F, "F, etc. les in- dices o, I, 2, etc. — I, — 2, etc., et généralement à la forme jp^'"V l'indice m, à la forme ^'"^/^ l'indice — m, il est clair que des formes que/conques de la suite seront identiques ou diffé- rentes , selon que leurs indices sont congrus ou incongrus , suii^ant le module n. Il ne faut pas confondre les indices dont il est question ici , avec ceux du n° 67. Les premiers ne sont que des accens , et les derniers de véritables exposans. Exemple. La période de la forme (3, 8, — S), dont le déter- minant est 79, se trouve ainsi être : (5, 8, —5), (—5, 7, 6), (6, 5, —9), (—9, 4, 7), (7, 3, —10), (—10, 7, 3)j après la dernière, la première (3, 8, — 5) reparaît , et l'on a ici /z = 6. 187. Voici encore quelques observations générales sur ces périodes. i\ Si les formes F» F', F\ etc. 'F, "F y etc. sont présentées i66 BE CHERCHES comme il suit: {a, b^ — a'), ( — a^ h', «"), {a', h', — a'') y etc. ( — 'a, 'b y a) y ("a y "by -— V)> (r^"^* '"^ > "^)> ^tc. tous les nombres a, a', a", a" y etc. 'a, "a, "a , etc. auront le même signe (n° 184 — 1°,)» et les nombres b, b', h", b", etc. 'b, "by etc. seront nécessairement positifs. 2". Il suit de là que le nombre n des formes de la période est toujours pair; car le premier terme d'une forme quelconque F^"'^ de cette période, aura évidemment le même signe que le premier jj terme de la forme F %\tn est pair, et le signe contraire si tti est impair j or F et F" sont identiques, donc n est un nombre pair. 3^ Dans le calcul indiqué (n" 184 — 6°.) , pour trouver les différentes formes F ^ F', F", etc. , au lieu des expressions a, _ -; , CL .r— — 7p , CL 5= -^j , etc» on peut substituer les suivantes, qui sont plus commodes, lorsque jD est un grand nombre , et qui s'en déduisent facilement : . _i^+h^ib-b') .._ib'+b")ib'-b") ^^_^b''-\-b"')ib"-b"') a a a "4"* Une forme quelconque i^^"*^ contenue dans la période de F conduit à la même période qu'elle j ensorte que la période de cette forme sera i^<^"'^ F^"'-^'\ . .F^''-'\ F, F\..F^"*t'\ dans la- quelle les mêmes formes reviennent dans le même ordre, et qui lie diffère de la première que par le commencement et la fin. 5°. Il suit de là que toutes les formes réduites de même dé-, terminant D peuvent être distribuées en périodes. On prendra une quelconque F de ces formes, et l'on cherchera sa période que nous désignerons par P, Si P ne renferme pas toutes les formes réduites dont le déterminant ^stD, soit G une des formes qui n'j egt pas contenue , et Q sa périio<3ç> il est çl^ir qt^e P et Q n'ont aucune forme commune, car autrement G serait contenue dans P et les périodes coïncideraient. Si P et Ç n'épuisent pas encore toutes les formes réduites, une de celles qui y manquent fournira une troisième période R , qui n'aura aucune forme com- mune avec P et Ç, et ainsi de suite, -jusqu'à ce que toutes les ARiTfiMÉTI Q UteS. 1^7 Formes rédnUes soient épuisées. Ainsi, par exemple, les formas réduites dont le déterminant est 79 se distribuent en six périodes, i....Ci,8,— 15), (— 15,7,2), (3,7, — 15), (— î5,8, 1). 2....(— i,8, 10), (i5, 7,— 2), (— 2, 7, i5), (i5, 8,— 1). 3. . . .(3, 8,— 5 ), ( —5, 7, 6). (6, 5,-9), (—9,4, 7)> (7> 3, —10), (—10, 7, 3), 4. . . . (-3, 8, 5 ), ( 5. 7, -S), (-6, 5,9), (g, 4, -7)> (-^. 3, 10), (ib; 7, --5). 5. ... (5, 8, —3 ), (-3, 7, 10), (10, 3,-7), (—7, 4. g), (g, 5, —6), ( -0, 7. 5> 6. . . . (-5, 8, 3 ), (3, 7, -10), (-lo, 3, 7), (7, 4, -9), (-9, S, 6), ( 6, 7, -.5).. 6'. Nous nommerons /br77î(?J associées, celles qui sont com- posées des mêmes termes , mais placés dans un ordre inverse , comme (tz, h j — a'), . ( — a, b, a). On voit alors facilertïdnc (n° 184, 7°.) que si là période de la forme réduite F est F , F', F", etc, que/ soit associée k F, f' à irc«-'), /" à F^''-^\ etc. yen-.) à F", /f"-'5 à F, la période de / sera f, f, /". . /^"-^ et contiendra, partant, le même nombre de formes que la pé* riode de F, Nous nommerons périodes associées celles qui sont ainsi composées de formes associées. Les périodes 3 et 6 , 4 et 5 de l'exemple précédent sont dans ce «.as-Ià. 7°. Mais il peut arriver aussi que la forme /"se trouve elîe-inêmé dans la période de son associée, comme aux périodes i et 2 de notre exemple, et que parconséquent la période de la forme F coïncide avec celle de la forme y, C'est-à-dire que la période de la forme F soit elle-même son associée. Toutes les fois que cette circonstance a lieu, la période renferme deux fornaes ambiguës. Sup- posons en effet que la période de la forme i^ contienne 2 /i^ former, ou que F=:F^''"^, Soit 2/7z-|-i l'indice de la forme f dans la pé- riode de F (car F et y ont leurs premiers termes de signe con- traire, (2°.), c'est-à-dire que irc^m-M) ^j. f soient associées; il est évident qu'alors F' et F'^'""^ seront aussi associées , de même F" et ^C»m~o^ etc., et partant F^""^ et F^'"-^'\ Soit /^'">=(^<^'"\ Z't'">— a^^'"-^'^), jPQm+o :-_ ^_ ^(m -+- o ^ ^cm -+- 1)^ ^(m -+- ») ^ -^ qu aura ù^'"^^b^"' -^ '^ ^ o (mod.a^""^'^)-, mais parla définition des formes associées Z»'^*^=-Z'*^'"'^'^; donc 2h^'"-*-'^^o (mod. a<^'"^'^), c'est-à-dire que la forme F^""-^'! est ambiguë De même, les formes i*"*^'"^ et Z^'^^'"'*"^ sont associées, donc aussi i^'C^m-^a) ç^ /rtn-o^ /rcm+s) ^^ /7(^«-o^ gt^^ çt ej^fin p-Cm-t-n) cf. ^(„,4.„+,)^ j^^^ j^ dernière sera ambiguë, comme on le prouvera par un raisonnement semblable. Mais comme ;7i-i-i 1^8 RECHERCHES- a et w-f-72 + i sont incongrus suivant le module un, les formes jfCm-t-o gt ^(m+«-+-o ne seront pas identiques (n° i86, où n représente ce que représente ici27z). Dans la période i , les formes (i, 8, — 15), (2,7, — 15)-, dans la période 2, les formes ( — i, 8, i5), ( — 2, 7, i5) sont ambiguës. S''. Réciproquement, toute période qui renferme une forme ambiguë sera elle-même son associée. En effet, on voit aisé- ment que si F^""^ est une forme réduite ambiguë, sa forme asso- ciée, qui est aussi réduite, lui sera en même temps contiguë par la première partie, c'est-à-dire que F'^"'~''^ et jF^'"^ sont as- sociées. Mais alors toute la période sera elle-même son associée. Il suit de là que dans une période , il faut nécessairement qu'il y ait plus d'une forme ambiguë ; mais il ne peut y en avoir plus de deux. En effet, supposons que dans la période de la forme F, il se trouve trois formes ambiguës F , F , F , X,/x, v étant <2«, et inégaux. Alors les formes/'^ et F seront associées 5 de même F^'^""^^ et-F^^"^'^ etc. et enfin /^ et i^^'''''~'^3 parla même raison, JF* et i*" , F et F , seront associées. Donc les formes F , F '" y P seront identiques, et partant leurs indices seront congrus suivant le module 2/2 ; donc aussi T^^^^v (mod. 2/z), ce qui est absurde, puisqu'il est évident qu'il n'y a pas trois nombres différens congrus suivant le mo- dule 27Z, et plus petits que lui. 188. Comme toutes les formes de la même période sont propre- tnent équivalentes, en est porté naturellement à chercher si deux formes prises dans des périodes différentes peuvent être équiva- lentes. Mais avant de prouver que la chose est impossible , il -est nécessaire que nous nous occupions de la transformation des formes réduites. Comme dans ce qui va suivre il sera souvent question de la ti-ansformation des formes, et afin d'éviter autant qu'il est possible la prolixité, nous nous servirons dorénavant de la manière sui- vante d'écrire. Si une forme /.jr*+2M. Xi^+iVJT* se change i en ARITHMETIQUES. 169 en la forme /^* 4- 2^0:/ -j- «y* par la substitution Xz=:oLX-\-IBjf jr=yx^(^y , nous dirons plus simplement que (L, 31, N) se change en (/, m, n) par la substitution a, /S, y, «T. De cette manière il ne sera pas nécessaire de représenter par des carac- tères particuliers les indéterminées des formes dont il sera ques- tion; mais il est clair qu'il faut bien distinguer dans toutes les formes la première et la seconde indéterminée. Soit proposée la forme réduite (^, b, — a')z=f et dont le dé- terminant estZ?; on formera comme aun° 186 une suite de formes réduites qui s'étende indéfiniment dans les deux sens, ' > ""f>'fi fy f, f".... ensorte que l'on ait /^= (— a', h\ a"), f^{a\ h% —a"), etc. /=(~'^/^, a), 7=C^/^,-.'a), etc. Faisons Il est clair que si Ton calcule les nombres et', et", etc., /3', jS", etc. par le moyen des relations suivantes (comme au n° 177). et, =0.. . . ct''=/3^.. etc. /3'=-i ^"=JÏ'^' /3'"=^"/5"— /3'. etc. y =1.. y" =.^", y^^r. etc. f se changera en par la substitution etc. a', ^\ y', r ^% /S", /, r etc. et toutes ces transformations seront propres. Comme y se change en y par la substitution propre o, i, i, h (n° 161), /"se changera en y par la substitution propre h, i, — 1,0; par la même raison [f se changera en "f parla substitution propre *hf I, — 1, G, y'en "y par la substitution propre"/^, i, — i, o, etc.j de là, et au raojen du n° iSg, on déduira comme au n^ 177 les relations suivantes entre 'cl, "a, etc. '/3, "/3, etc. Y '(X = /2 etc. et 5 RECHERCHES '/3=i ''/3='* '^/3 = "ût ''/3=="'a etc. 7 >=^^> >= iiy—y '>=;'7z'V— > etc. etc. 1 "/" f / se changera en par la substitution etc. V, '/3, V. '^ -^oc, "13, "y, 'S^ '"cL, '"fè, >, V etc. et toutes ces transformations seront propres. Si l'on fait a = i, J0=o, >:=o, «r=i, ces nombres auront la même relation avec la forme / que a, /3', y', J' avec /', a', /3% >", J" avec la forme/", etc., V, '/3, >, '.T avec /, etc. C'est-à-dire, que par la substitution a, /3, ^, cT, la forrae/se change en/; mais alors les suites a', a", a*, etc/ot, "a, "'cl, etc., par l'intercalation de a, se joindront parfaitement, et n'en fe- ront plus qu'une seule allant à l'infini dans les deux sens, et dont tous les termes suivent la même loi : ,„J"af,"cc, 'a,, cl, cl', cl", cl'"*.,,* La loi de cette suite est celle-ci : ''ct-^'a,z="h"ct,, A"-^A=.'hU, 'ct+a'—hct, ct'\-^=h'A\ af-^ar=h"cL", etc. ou généralement , en regardant l'accent négatif écrit à droite comme l'accent positif écrit à gauche, fl«,Cm-o^«,Cm+i5-_/j(m)^(m)^ De même la suite "/S, '/3, j0, j0', jô", etc. sera continue, et la loi de ses termes sera /3C'»-o^^('nH-o_/^(m+o^C"'). cette suite est la même que la précédente, en remplaçant 'cl par jô", a par '/S, «f par j0, etc. La loi de la progression "y, 'y, y, y' , y", etc. sera ^(m-o^^(m-hO--/jCnO^(m)^ ct cellc dc la progrcssîon : "J , 'S", S", è', à\ etc. sera JCm-o ^ jc^n+o^^^/iCm-t-o^Cm)^ et en outre géné- ralement J^'")=;^<^'"-^'\ Exemple. La forme (3, 8,' — 5)=/ se changera ainsi AKITHMÉTIQUES. '7' .'■/ = •■/ = '/ = '/ = "f = '/ = ■f = f = /' = /" = /• = /" = /' = /" = /'■' = en —10, 7, 3) 5, 8, -5) -5, 7. 6) 6, 5, —9) --9> 4. 7) 7> 5, — lo) —10, 7, 3) 3, 8, -5) -5, 7. 6) 6, 5, —9) —9* 4, 7) 7, 3, — lo) -lo, 7, 5) 5, 8, ~5) -5, 7, 6) par la substitution , 8o5, — l52. + 145, + 27 l52. 4- 45, + 27> 8 + 45, + i7> — 8, — 5 + ^7. — II. 3, + 2 — II, — 6, + 2, + I - 6, H- 5, + i> — I + 5, + I. i> 0 + I, 0, 0, + I o. — I, + I, — 5 — I, — 2, 3, — 7 — 2, + 3, 7> + 10 + 5, + 5, + 10, + 17 + 5, — 8, + i7> — 27 - 8, — 45, 27* l52 - 45, + 143, — l52. + 483 etc. 189. A l'égard des calculs précédens, nous ferons plusieurs remarques. 1% Tous les nombres a, a' , a, etc. '(2, "a, etc. auront le même signe, tous les nombres b, U, b% etc. 'b, 'b, etc. seront posi- tifs, et les nombres . . .7z, 7z, h, h', h", etc. seront alternatifs, c'est-à-dire, que si a, a\ etc. sont tous positifs, /j^*"^ ou "^""Vï sera positif quand m est pair, et négatif quand m est impair; et le contraire aura lieu, si a, a! y etc. sont tous négatifs. 2'. Si a est positif et partant h' o, etc., on aura a'=— I, ou zzrot"; a" = //a"— a\ >o et >a'^, puisque h"'o(,"':>o et a" o et >• a", puisque /z'^oc" >o et a"' si a est négatif, on trouvera par un raisonnement semblable que les termes vont en augmen- tant, et que le signe du terme ot^'"^ est -{-, — , — , +, suivant que 77î=o, I, 2, 3 (mod. 4). 173 RECHERCHES ù\ On trouve de même que les quatre suites infinies a/, cl y^, ç^ic. ; ") > y i y" 3 ^^^'i ^ ) ^> '^j "'^i etc.j y, 'y y "y, etc., vont en aug- mentant, ainsi que les suivantes, qui leur sont équivalentes, /3, /3', /S", etc.; 'J^, cT, è' , etc.; /3, '/3, "/S, etc.; S^,"^, V, etc., et suivant que m^o, i, 2, 3 (mod. 4)^ le signe de a*^'"^ est: +, d=, —, =p; celui de jS^""^: =b, —, zp, +; celui de >^'"^ : =fc, -f., q=, — ; celui de J*^"^: +, rp, — , =*=; celui de <^'"^ct : +, ±, —, =î=; celui de ^"'^/3 : zp, +, d=, — ; celui de ^'"'>y i =p, — , itr, +; celui de ^'^'^S' : +, =p, — , ±; en prenant les signes supérieurs quand a est positif, et les inférieurs quand a est négatif. Il est surtout important de remarquer que m indi- quant un accent positif quelconque, a*^""^ et 7*^'"^ auront les mêmes signes quand a est positif, et des signes contraires quand a est négatif; il en est de même pour /S'^'"^ et J^"*^, et le contraire a lieu pour <^'"^a et <^'"5>, «^"^iô et ^-"^cT. 4°. On peut présenter, d'après la notation du n° 32, les valeur» de aS-'^\ ^^-\ etc. En posant =f:/i'=A', ±/i"=A", =p/z"'=r, etc.> dth = k, zp'h='k, dz"h^'k, etc., de manière que k', k", etc., k, 'k, etc. soient positifs, on aura a^-) = ± [A", r, ;t'' . . . . A^'"-'^] .... ^^"^ = =t [^', r, A" . . . . ^t-j] ^w ^ -t 1";^'^ A"^ r . . . . A^-"-^] . . . . J t'"^ = ± [A% A", W .... A^-^J c-^ot ^ d= [A , 'A, "k ... .t—'^A] . . . .c-^/S = db [A- , 'A, "A . . t^-^^A] (-îj. = ± ['A, "A, '"A .... ^-"-'^A] .... (-^J^ = =b [A, "A, "'A . . c--^^]. Quant aux signes, ils doivent être déterminés d'après ce qui vient d'être dit (3°). Au mojen de ces formules , dont nous omet- tons la démonstration parcequ'elle est très-facile, le calcul de- vient extrêmement simple. igo. Lemme. .S"/ m, ft, m', n, v, n' désignent des nombres entiers quelconques , mais tels qu'aucun des trois derniers ne soit = o , que - soit compris entre — et —r , et qu on ait jnn' — nm' = q=i, le dénominateur v sera plus grand que n etn\ En effet fjinn' sera compris entre vmn' et vm'n, et partant différera de chacune de ces limites d'une quantité plus petite que leur propre différence, ainsi vmn' — ym'n'^fA,nn''^vmn'f et ARITHMÉTIQUES. 175 '^fjLTin'—'vm'n', ce qui donne v'^n'{ixn — vm) et ';>n{fxn' — vm) , et comme f^n — vm, ni f^n' — vm' ne peuvent être égaux à zéro, car il en résulterait — = -, ou -^=:-, ce qui est contre l'hy- pothèse , et qu'ils ne peuvent être plus petits que i , il s'ensuit qu'on a V > /^' et >> n. Il est donc clair que l'on ne peut avoir v=.\\ c'est-à-dire que si mn' -—rdn:=:zt:\ j aucun nombre entier ne peut être compris entre les fractions — et -7, et qu'à plus forte raison zéro ne peut y être compris , ce qui prouve que ces fractions ne peuvent être de signes contraires, 191. Théorème. Si la forme réduite (a, b , — • a'), dont le dé- terminant est D, se change en la forme réduite (A, B, — A'), de même déterminant, par la transformation ci,l3, y, J" : 1°, ~^ ~~ tombera entre - et -^ , (^pouri^u que Von n'ait niy:=o , niS:=o , c'est-à-dire que les deux limites soient finies'), en prenant le signe supérieur , quand les deux limites sont de même signe que a , et le signe inférieur , quand elles sont toutes deux de signe con- traire à celui de a Ç*); 2°. = — j^ tombera entre ^ et ^ ^ & et ;, ' (pouri^u qu'on n'ait ni ct = o, 72/ /3=o), en prenant les signes comme ci-dessus. On a les équations aa^-^-^bcx.y—a' y^^A . . .(i) a^^'\-2hP>S''—a'ê''z=:-~^A', . .(2), d'où l'on tire l^ a'^ C^) î= ^ . "^ (4) ,_Mfr^^ ._^^±^^^ ^^^ «— a' ^^-^ fi â' W» (*) Il n'y a pas d'autre supposition à faire, puisqu'on a aS' — (iy = dzi, et que d'après cela, par le n*> précéd. , les limites ne peuvent être nulles toutes deux en même temps, ni de signe contraire. 1^4 RECHERCHES Il faudrait rejeter celle de ces quatre équations dans laquelle le dénominateur du premier membre serait nul; mais il faut déter- miner ici les signes dont les radicaux doivent être affectés. Or il est évident que dans les équations (5) et (4) » on doit prendre le signe supérieur quand - Qt ^ sont de même signe que a, car en prenant le signe inférieur — et -r- deviendraient négatifs; mais comme A et A' sont de même signe , \/D tombe entre l/^f£)-j--— j et l/^ (D — -jr)> et parconséquent , dans ce C3l%,- entre - et -. 'a y à' On voit de même, dans les équations (5) et (6), qu'il faut prendre nécessairement les signes inférieurs quand -et ^ sont tous les deux de signes contraires k a ou a, puisqu'en prenant le signe supérieur, les produits —, -^- deviendraient positifs; d'où il suit sans difficulté que — , tombe dans ce cas entre - et T. Si l'on pouvait faire voir avec la même facilité, dans les équations (5) et (4), que l'on doit prendre les signes infé- rieurs quand - et -. sont de signe contraire à ^, et dans les équations (5) et (6), que l'on doit prendre les signes supérieurs quand - et 3 sont de même signe que a ou « 5 il s'ensuivrait de la même manière, que dans le premier cas tombe entre - et -„, et que dans le second — — r— tombe entre ^ et r, y ô^ *■ a. et (6 ce qui compléterait la démonstration du théorème. Mais quoique cela ne soit pas difficile, comme pour y parvenir on ne pour- rait éviter certains embarras , nous préférons la méthode sui- vante. fit Q> Quand aucun des nombres a, /3, cT, y n'est =0, - et ^ ont les mêmes signes que ^ et ^ , et l'on sait que si ces deux dernières ARITHMÉTIQUES. 175 quantités sont de signes différens k a' ou a, "^^ — i— tombe entre ^^ et ;; ; mais alors les deux quantités 7 et t seront aussi de signes contraires à ^^ et — ^r— -^ tonibera entre - et t. Or comme on a D-^b^zzzaa', il en résulte ^ " ^ = — — ^— -^ qui tombe et & . . parconséquent entre - et y Ainsi la première partie du théo- rème est démontrée pour le second cas, en supposant que l'on n'ait ni ot=o, ni /3=o. De la même manière, quand aucun des nombres a, /3, y, crn*est=o_, et que - et t sont de même Signe que a ou a, tombe entre - et -r» et partant — ^ entre - et ^', d'ailleurs . J^ , = ^ /" , donc^ J^- tombe entre - et ^, qui sont de même signe que a\ Ainsi la seconde partie du théorème est démontrée pour le premier cas^ en supposant que l'on n'ait ni y=:o, ni «^ = 0, Il ne reste donc plus qu'à faire voir la vérité de la première partie pour le second cas, même en supposant cc = o ou /S = o, et celle ,dè la seconde partie pour le premier cas, même en sup- posant y = o ou J'^^O] mais tous ces cas sont impossibles. Sup- posons en effet, pour la première partie du théorème, qu'on n'ait ni ^ = G , ni cT = o , que '^ et r soient tous deux de signe contraire k a , et qu'on ait en premier lieu a=o. Alors l'équation aJ" — yfiz=±\ donne /3=±i et ^=±1 ; donc l'é- quation (1) devient A:= — a' \ ainsi A et a' et partant a et -^' sont de signes contraires, ce qui rend \/ (d — ^)>\/Z)>^; donc dans l'équation (4), il faut nécessairement prendre le signe inférieur, car en prenant le signe supérieur, il s'ensuivrait que ^aurait le même signe que a, et l'on a alors j > ~~v^~ ^i f puis- que, pat la définition de la forme réduite, a<^\/D-^b), Or ^ ne peut êtte plus grand que i, puisque /3=±i et que cT n'est Î76 RECHERCHES, pas égal a zero. En second lieu, soit /3 = o; l'équation otJ' — /3j.=dri donne «==£-! et cl'=d=ij donc l'équation (2) devient a'' = -f4'; ainsi a et ^ sont de même signe, ce qui rend V/ {P '^^^>V J^>^* Donc dans Péquation (3) on doit prendre le signe inférieur, puisque en prenant le signe supérieur, il s'ensuivrait que et a seraient de même signe j on a donc - > — ^ > I , ce qui est absurde par la même raison que ci-dessus. Pour la seconde partie du théorème, si nous supposons qu'on n'ait ni a = o, ni /3.:=;o j que - et -g aient le même signe que a' et qu'on ait, en premier lieu, >=o, l'équation a.S' — /3;^=:± donne ût=±i, cr=zh I ; donc l'équation (i) devient ^ = ^, ainsi cC et A' sont de même signe, ce qui rend J/^(d+^)>/D>Z>. Partant, dans l'équation (6), il faut prendre le signe supérieur, et l'on a ^> ^ /" > i, ce qui est absurde puisque cr==dbi, et que /3 n'est =0. Enfin, en second lieu, si l'on a «r=:o, l'équation cl^ — jS^/^ii donne /3=±i, > = =fc:i. Donc l'équation (2) devient •— ^'=:fl, ce qui rend I^^Tz?— ^J>V/-0>^. Ainsi dans l'équation (5), il faut prendre le signe supérieur, et Ton a - > — — ?-—>■ ï î ce qui est absurde. Le théorème est donc maintenant démontré dans toute sa généralité. Puisque la différence entre - et t est -j, la différence entre — • et - ou -^ sera < — ^. D'ailleurs entre et -, ou a y à- yà^ a y' entre cette quantité et -., il ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur ne soit >}/ et '^S' {lemme' préùe'd.). Dé la même manière, la dirierence entre — - — ,— — et - ou ^ spra y y qui a été dit n° 189 (3°. à la fin) qu'aucune de ces limites ne sera désigne contraire au signe de^, et que partant on doit prendre posi- tivement le radical \/D). Ainsi toutes les fracîions dont les accens sont impairs différeront de i dans un sens, et toutes celles dont les accens sont pairs en différeront dans le sens contraire. Mais et cl!" a!' *'^ comme y' K^y" , — tombera hors -^ et X, et de même —7, hors -7;; y y y y et Ij\ -^, hors L et —, etc.; ainsi ces quantités se trouveront évi- demment placées dans l'ordre suivant : a' y y y y y y d'ailleurs la différence entre — et L sera plus petite que la diffé- / " rence entre -7 et ^» c'est-à-dire, etc. y y y y y y approcheront de plus en plus de la limite L , et comme y , y\ y" , etc. vont toujours en augmentant indéfiniment, la différence de ces fractions à L peut être rendue aussi petite qu'on le voudrat r n w Il suit du n° 189, qu'aucune des quantités -, r- » t^j îr- n'aura le même signe que a% on déduit de là, par des raisonnemens absolument semblables aux précédens, que ces fractions et ^ , ^=.U doivent être placées dans l'ordre suivant : > !> !> T' 'y. "y. 'y et CL A ^A A A D'ailleurs la différence entre- et U est moindre que r---,ladif- Z j^B RECHERCHES férence entre f^ et L' est moindre que 7r-7~f etc. Ainsi les frac- <* ^ et ce lions - > -^ , etc. approchent de // de plus en plus et continuel- lement, et la différence peut être rendue plus petite qu'aucune quantité donnée. Dans l'exemple du n* i88, on a Z =^^-Z|ZL= 0^2960648, et les fractions convergentes sont: 7, §, f , -^t -^, ^, y^, ^J|> etc. Or cette dernière est égale à 0^2960662. De même L' z=z'~ ^^"^ - = -^ o, 1 776588 , les fractions convergentes sont: • t I î_ 3_ __^_8_ ___lZ_ __ ï^A fitc flnnf la dpr- J> 5^ ç> TTf 17 f 45 > i5î> 805^ eiC, UUUL Id UCl- nière est égale à 0^1776397. 193. Théorème. Si les formes réduites ïetF sont proprement équipalentes f chacune d'elles est contenue dans la période de Vautre, Soitf=(a, by —a'), F^{A, B , ^A'), J> leur détermi- nant commun, et supposons que la première se change en la deuxième par la substitution propre k, l , p, q. Je dis qu^en cherchant la période de la forme f , et en calculant dans les deux sens la progression indéfinie des formes réduites et des transformations de jf en ces dijfférentes formes , comme au n° 188 , ou bien k sera égal à un des termes de la suite . , ."a, 'a, et, al, cl'.,., et en le supposant = a'", on aura-Âr^jS", p-=:,y'^, q=:S'"''j ou bien — ^ sera égal à un certain terme a,'", et — /, —p, — ^ à /E™, y"^, S""^, respectivement. Dans l'un ou l'autre cas, F sera évi- demment identique avec y*. T. On a quatre équations : ( I ) . . . a A*-f-2 bkp—a'p'^^zA , (2) ... « kl-\-h(^kq-\-kp)'\'a'pq=B , (3) . . .al'''^2blq'-a'q':=^A' , (4) . . . kq-^klz=:i ; considérons d'abord le cas où quelqu'un des nombres k^ l, p ^ q est = o. 1°. Si kz=.o, l'équation (4) donne Ip-:^ — i , et partant /=±i , p-=zzç.\. Donc l'équation (1) devient — a!-=.A\ l'équation (2) -^biÙLcîq-ss^.B ou B^ — b (mod. a' ou -r^). D'où il suit que la AltlTHMliTIQUÈS. ijç^ forme (A, B, — ^') es£ contiguë à la forme {a y h, ^a!) par la dernière partie; mais puisque i^ est une forme réduite, clic sera nécessairement identique avec/' (n^ 184, 6\). Donc Bz=:^h' et partant l'équation (2) donne h^h' ^dt^dq; et comme d'ail- leurs on .4^ = //, on en tire q^-z^lï. Il suit de là qu'on a ^^y =pl, =pp, =F^=o, —I, 4-1, J/, ou =a^ /3', y, cT', res- pectivement. 2'. Si /zr:o, l'équation (4) donne A-=:±:i, ^^^^^j. p^qua- tion (5) a'=^'; l'équation 0) l^zpa'p=B, ou ^=^(raod. a'); mais comme /et F sont des formes réduites, ^5 et ^^ tomberont entre /Z) et \/D=pa', suivant que a' sera positif ou négatif (n° 184, 5°.); ainsi on aura nécessairement B = b etp = o, doue les formes/ et F sont identiques, et dzk, db/, zhp, ±^=i, 0, o, i=za,, fi, y, S", respectivement. ^ 3°. Si ;7=o, l'équation (4) donne /;=±i , ^=±1 ; l'équa- tion (i) a=zA', l'équation (2)=t:«/+Z' = ^. Mais comme B et b tombent entre v/^et v/^=pa, on aura nécessairement B^b /= o. Ainsi ce cas ne diffère pas du précédent. ^ 4°. Si q = o, l'équation (4) donne /=dbi, ;7==pi ; péqua- tion(3)a==:— ^', et l'équation (2) ■àzal—b=zB, ou B^^b (mod. a). Ainsi la forme i^ est contignë à la forme /par la pre- mière partie, et partant elle sera identique avec la forme /: et comme on a^ = ^ et B=^b, on aura /=/z. Il suit de là que d^k, ±/, ±,p^ ±:q:=:h, 1,-1, o='cc, '/3, >, 'cT respec- tivement. Il reste donc le cas oh aucun des nombres k, l, p, q n'est =0. Or par le lemme du n» 190, les quantités-, -, ^, | auront le même signe , et il en résulte deux cas ; celui où leur signe est le même que ce*ui de a et a', et celui où il est contraire. II. Si^ et - ont le même signe que a y la quantité ^^-^^=Z tombera entre ces fractions (n» 191). Nous allons démontrer que -est égal à quelqu'une des fractions 4 ^. -.1 etc., et i à y y y q 2 ^So RECHERCHÉS celle qui la suit immédiatement, c'est-à-dire, que si-=:— . ^ p yi-'O > l et"'"*"' on aura -:=:—j^^^. Nous avons fait voir dans le n° précédent que ' " III les quantités — ,, -;;, -^r,, etc. (que nous désignerons par (p', (p", 0 , etc.) et L sont placées dans l'ordre suivant: cp', (p", (p\...Z:....(p-, (p'v, (p" (I). La première de ces quantités est =o (puisque a'=o)', toutes les autres ont le même signe que L ou a; mais comme par lijpo- thèse - et - ont le même signe, ils tomberont, par rapport à (?', du même côté que L , et comme d'ailleurs L tombe entre ces deux mêmes quantités, elles seront l'une à droite, l'autre à gauche oe L, Mais on peut faire voir aisément que - ne peut tomber après a^', autrement - tomberait entre (p' et L; d'où il suivrait, 1°. que cp" tomberait entre - et-, et que partant le dénomina- teur de la fraction cp" serait plus grand que q (n° 190) j 2°. que - tombe entre (p' et (p", et que partant q est plus grand que le dénominateur de (p\ ce qui implique contradiction. Supposons que - ne soit égal à aucune des fractions cp", (p", P ç'% etc., et vojons ce qu'il en résulterait. Alors il est évident k que si - est situé à gauche de L , il tombera entre *-"''^'^>/?; mais comme -tomberait entre cp*^"'^ ef (pCm^-o ^ il s'ensuivrait qu'on aurait en même temps ;? >>'^'""*''^, ce qui implique contradiction. Si - était à gauche de (p''^""^'^, il tom- berait entre ^'""^^^j mais comme (p^""-*-^^ tombe lui-même entre - et - , on aurait en même P V temps ^"^""^^^ > ç' , ce qui implique contradiction. On aura donc _■—— /7s (.">+! ; __- — q — ^ — yQn+o -— J^W Puisque X:^ — lp = i , l et ç seront premiers entre eux, et par la même raison /S<^'"^ et S'^"'^ le sont aussi j d'où l'on voit facile- ment que l'équation - = j^^ ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait l=(B^-^ et 9' = c^C'"^ ou /==— /S^-") et ç=-^S^-\ Or comme h forme^se change par la transformation propre o'S'"^, Z^*-'"-*, >*^"^, ^^'"\ en la forme /^"P= (zha^'"^, b^-\ =pa^'-^^^) ou aura lel équations £^('n)J^0'0 ^(mym) __ j ,g. Mais en substituant /S^"^ et cT^-") pour / et 5.<^'"^) (9), ou comme /==i=/3<:"'5 et ^ = =fccrC'"), szzbC;;^^'")— V"'0^^ ou ^^Z»^""^ (mod. .4') ; mais B et Z>^"'^ tombent entre y/D et ^/Z)=h^'j on aura donc nécessairement Bz=zb^"''^, partant po.^'"'^ — â;,<^'"5 = o, ou k aS-'"^ („) Ainsi, de la supposition que - n'est égal à aucune des quan- r tités *^'"\ on aurait eu évidemment A=ifc:a^'"^, /jzzzdb}/^'"^; dans les deux cas, la comparaison des équations (i) et (5) donne ^=dba<^'"5, et de l'équation (9), ^ — Z»^'")==h(/cr^'"^— ^jS^'"^), ou -5=Z?<^'"5(mod. ^); on conclut de là, comme plus haut, que 5=^^""^, partant - = ^j, et comme /et <7, /3^'"^ et cJ^""^ sont premiers entre eux, /=±/3'^'"\ 9'=±c^'"\ L'équation (7) donne alors, en la comparant à l'équation (3), —  zzzLzi^a^""^"^ i ainsi les formes F et y^"*^ sont identiques. A l'aide de l'équation kq — /;7=ûc<^'"^cr<^"'^— /3<^'"^;.'^'">, on prouve sans difficulté que si l'on prend A et /? avec le signe 4" ou avec le signe — , il faut prendre / et q de même. laT^ — qy'" z= i ; si l'on eu retrancJie l'équation (4)> o» a et comme l et q sont premiers entre eux , on a généralement et"" zp ^ = ri, y'"::^p=zrq, ou fit"" = d: /£ + r/ , 5.'" = d:p + r^. Substituant dans l'équation (6) les valeurs de *'", iS'", >'", ir^, mj, etc., et en supposant donc | = ^, on aura J= ^-. La première de ces deux assertions se prouve comme il suit : si ? n'est pas égal à une de ces fractions, elle devra tomber entre deux (^ et ^„+,>,n' Or on démontre, comme plus haut, qu'alors J sera nécessairement z=z ■^j^^:ç^':=: ç^-, et partant /?=t:'-"'-'^ et A = dz <^'"^ct. Mais /, par la substitution propre ^"^ot, ^'"^Q,^'"^y, ^""^cT, se change en ^'"y=z (zf^'^^a , ^""^b, =b^"*-^'^ii), d'où naissent trois équations qui, jointes à l'équation f'"^a^"'^cr — ^'"^l2^'"^yz=j ^ et aux équations (i), (2), (5) et (4)^ prouvent d'abord que le terme ud de la forme F est égal au premier terme de la fc-rme ^"y, ensuite que le terme mojen de la première est congru à celui de la seconde, suivant le module ^, et que comme les deux formes sont réduites, chacun d'eux tombe entre \/D et y^Dzp^, ces deux termes moyens sont égaux j et de là on conclut que y = ç^. Ainsi la vérité de cette première assertion est dérivée de la sup- position même qn'elle fût fausse. Or en supposant |= ^^, on démontre absolument de la même manière et par les mêmes équations, que Ç=;^, et au mojen de l'éqnation^^ — /^=('"W'"^cP — ivù^i^')^^ oji prouve que si l'on prend pour q et /, "^""^cT et ^""^/S avec le signe -j- ou le signe — , il faudra pour p et k prendre ^""^y et ^""^0, avec le même signe, et partant que les formes F et ^""y sont identiques. 194. Comme les formes que nous avons appelées associées (n° 187, 6^), sont toujours improprement équivalentes (n" i5g, à la fin) , il est clair que si les formes réduites F et f sont im- proprement équivalentes , et que la forme G soit associée à F , ,84 RECHERCHES les formes jT et G seront proprement équivalentes, et partant, la forme 6 sera contenue dans la période de la forme y ; si donc les formes i^ety sont équivalentes tant proprement qu'improprement, on devra trouver F et G dans la période de J^. Cette période sera donc elle-même son associée (n'^ 187, 7°. )> ^® 9"^ sert de confir- mation au théorème du 11° i65 , par lequel nous nous étions con- vaincus qu'on pouvait trouver une forme ambiguë équivalente à deux autres F etj, 195. Problème. Etant données deux formes ^ et

et cpw soient des formes réduites j et comme O et tp sont supposées équivalentes, O*:") doit se trouver dans la période de . Cette liaison entre les formes est évidente depuis cp jusqu'à /^-"-'^ et depuis '^^"—^ jusqu'à $. Quant aux formes/t'"-'^ et^^"-':», on la prouvera comme il suit : soit/^'"'-'^ = (^, h, i); /c-") = (") — {§', h'y i')y 0^-0= i^g\ h" y i"). La forme {g\ //, V) sera contigue par la dernière partie à chacune des formes {g y h, i) , {g\ h\ i')-^ ainsi i^g=^i% et —h ~ U — h' (mod.) i=g'^i"; don'^c'la forme (i',—h'',g")=z'^^'' o est contigue par la dernière partie à la forme (g, h, i) =/C'"-'.) Si les formes O et cp sont improprement équivalentes , la forme <3 sera proprement équivalente à la forme dont O est l'opposée ; ainsi on pourra trouver une transformation de

par la substitution a, < — jS, ^, — cT. II suit de là que si ^ et

— 56, 76 , 87 la changera en (4^ , 59, 81 ). 197. Si l'on connaît une transformation d'une forme cp =(a, 3, c) en une autre qui lui est équivalente , on pourra déduire de celle-là toutes les transformations semblables , pourvu qu'on con- naisse toutes les solutions de l'équation indéterminée r — Du^^=:m'', dans laquelle D est le déterminant des formes ^ et (p, et 772 le plus grand diviseur commun des nombres a , 2b , c (n' 162). Nous allons attaquer, en supposant D positif, ce problème que nous avons déjà résolu pour le cas de D négatif. Mais comme il est évident que toute valeur qui satisfera à l'équation, y sa- tisfera aussi avec un signe contraire , il suffira d^assigner les valeurs positives de t et de u , et chaque solution en nombres positifs fournira quatre solutions effectives. Pour j parvenir, nous chercherons d'abord les plus petites valeurs de t et u ( excepté 1 = 771, w=:o qui se présentent d'elles-mêmes); et celles-ci une fois connues, nous indiquerons le raojen d'en déduire les autres. 198. Problème. Trouper les plus petits nombres qui satisfont à r équation indéterminée V '^ Du"" '=s,m* , pourvu qu'il existe une forme (M, N, P), dont le déterininant soit D , et que m soit le plus grand diviseur commun des nombres M , 2N , P. On prendra à volonté une forme réduite /= (a, h, a!) dont le ARITHMÉTIQUES. 187 déterminant soit D , et telle que 772 soit le plus grand diviseur commun des nombres a ^ :ib i a y ce qui ne peut manquer d'arriver, puisque l'on peut trouver une forme réduite équivalente à la forme {M, N, P) , et qu'alors ( n" 161 ) elle jouira de cette pro- priété. Mais pour la proposition actuelle , on pourra employer une forme réduite quelconque , pourvu qu'elle satisfasse à cette con- dition. On formera la période de y, où nous supposerons qu'il y ait n formes -, en reprenant tous les signes dont nous nous sommes servis au n° 188 _, onaura/<^''^=(a"^"^:, b^"\ — a^""^'^), parceque n est pair, et y deviendra y^"^ parla substitution propre ct*^"^, iS<^"^ >'^"-', é''^"^; mais comme y" ety*^"^ sont identiques, /"deviendra aussi /"^'^ par la substitution propre i, o, o, i. De ces deux transforma- tions semblables de f en f^"^ , on peut déduire, au moyen du n° 162, une solution en nombres entiers de l'équation i* — Du*:=m^j savoir, / = i(a^"^+ J^''^)/7z (équation (18), n' 162), r/ = ^-^ (équation (19)) C^). Désignons par T et U ces valeurs prises po- sitivement, si elles ne se présentent pas telles, et T, U seront les plus petites valeurs de t, u (excepté /=:77z et zz = o, auxquelles elles ne pourront jamais revenir, parcequ'on ne peut pas avoir 5.W — o. Supposons en effet qu'il existe des valeurs t et i» plus petites que 7* et U ei parmi lesquelles on n'ait pas î7=o. Alors, par le n° 162, la forme /"se transforme en elle-même par la substi- tution propre — (t — hv)j —au y —au, —(T-\-bu)* Or (n* 193,11) ± — (t — bv) doit être égal à l'un des nombres a", a", a'% etc. , = a , par exemple. En effet, comme.... T* = Z)y"4-77z' = ^*u' + û!ai»"-f-772% on aura T'>Z)'y% et partant T — bu positif j donc la fraction ~" , qui répond à la frac- (*) Les quantités qui étaient, au n° 162 , et, 0, y, «T; a! , (^ , y , V ; A , D , C\ A', B\ C\ e; sont ici 1, o, 0, 1; a", /S", y", J"; a, b, —a ; a, b, -a'; 1. ,88 RECHEHCHES iioû - (n* 190) , aura le même signe que a ou a'; ainsi l'on aura r i-yy, ^avy l(/4-^u)==/3^''^ ;.^^\ ^^^"-^ respectivement; mais comme on a. u<,u, cest-a-dire, v <,- , et >-o, on aura y <> et >► o*, d'où il suit que les quantités y y y\ y", etc. allant toujours en croissant, /a tombera enire o et « exclusive- ment j mais la ïovme f , qui correspond à l'accent fx est iden- tique avec la formel", ce qui est absurde, puisque toutes les formes y, y, y, etc. jusqu'à y '^""'^ sont supposées différentes. Donc T et U sont les plus petites valeurs de t et u , excepté. 772 et o. Exemple. Si Dz^zjg et 772=1, on pourra employer la forme réduite (3, 8, — 5), pour laquelle 7i=6 et aS"^= — 8, y'^"^=: — 27, cr^''^= — 152 (n° 188); d'où résultent 7'=8o et I7=g, qui sont les plus petites valeurs de if et u qui satisfassent à l'équation 19g. On peut trouver des formules encore plus commodes pour la pratique. En effet, on aura 2by^''^= — a(cc^"^ — c^*-"-^)^ en multi- pliant (n° 162) l'équation (19) par 2b , l'équation (20) par^, et changeant les caractères comme nous l'avons fait , on tire de là ^W4-cr(");==:2j^oo— ^^(")^ et partant On tirera de même des équations (20) et (21) ± r=/72 (ctw+^/sw), =fc c7-=:^;i. Ces formules deviennent très-commodes, parcequ'on a y^"^=:S'^''-''>^ a'"^=:/3^"~"^, et qu'en se servant de la première, il suffira de calculer la suite S', ^\ S"", etc. , et qu'en se servant de la seconde , il suffira de calculer la suite /3', ^", /S"', etc. En outre, on dé- duit facilement du n" 189, 3%, que/z étant pair, a*^:'^ et-7 /S*^"? au- ARITHMÉTIQUES. 189 ront le même signe, ainsi que <^^"^ et -y^"^, desorte que dans la première formule, on doit prendre pour Tune différence absolue et une somme dans la seconde, sans qu'il soit besoin de faire attention au signe. Ejcempîe, Pour Z)=6i et 772=2, on peut employer la forme (2, 7, — 6); on trouve 7îz=6, h'z=. — 2, 72"=2, //' = — y, 7z>'=2, ;z*=: — 2, ]i"=.'j. De là J^'=i444 et y^'^S'^iCf^ (abstraction faite du signe)^ d'où T=2(i444 — ^.i95)=i525 et £^=195. On trouve la même chose par l'autre formule. Au reste, il J a plusieurs autres artifices par lesquels on peut simplifier le calcul; mais le désir d'abréger ne nous permet pas d'en parler avec plus d'étendue. 200. Pour tirer toutes les valeurs de jf et de « de la connais- sauce des plus petites, nous mettrons l'équation T^ — DU^=m* sous la forme ( — + — v/Z>J . ( — — — ^D ) = i ^ d'où l'on tire a+iv'^y-c—^^^)^' ('). e étant un nombre quelconque. Faisons pour abréger , ensorte que ces expressions soient représentées par /' et u*' quand ^=0 (elles sont alors 77z, o); par /', 11 quand c=i (elles sont alors Tet27);par t" et z/" quand ^=23 par i* et z/ quand ^=3, etc. Nous allons démontrer qu'en prenant pour e tous les nombres entiers po- sitifs depuis o jusqu'à ^ : 1°. toutes les valeurs de ces expressions satisferont à l'équation proposée; 2°. toutes ces valeurs sont en- tières; 3°. il n'j a pas de valeurs de / et u qui ne soient con- tenues dans ces formules, I. En substituant pour /^ et u^''^ leurs valeurs, on prouve sans peine qu'on a {f'^ + z^w //;)(/"— z/^> y^D ) = m' , c'est-à-dire , il. Oïl démontre facilement de la même manière qu'on a gé- igo RECHERCHES iiéralement f'-^-'^-}- &~'^ = — &\ et zz^'-^", -f w^'rO = îZ ,,«. Ji TU m suit de là que les deux progressions : i% i', t", f, etc. -, ii% ii, ii"j û" f etc. sont récurrentes, et que l'échelle de relation est pour chacune d'elles —, — i, savoir, ^''=—/' — t\f-=::^—t" — ^.elc. u = — u — u, etc. m Or, par hypothèse, il existe une forme (M, N, P) dont le dé- terminant est D et dans laquelle M , 2N, P sont divisibles par m, et l'équation t^=zDu^-\-m^ donne T^:=(N^—'MP)U^'\-m% ainsi 47^* sera divisible par m^; donc — est un nombre entier et po- sitif. Comme d'ailleurs t''z=m, i'z=z T, ^^°=o, z/'=?7, les termes des deux séries sont entiers-, il est clair aussi que T^ étant '>7n'', ces mêmes termes sont tous positifs, et vont en augmentant à l'infini. III. Supposons qu'il y ait d'autres valeurs positives de ^, w qni ne soient pas contenues dans les progressions i", /, f, etc. u°f II, u", etc. j J" et U', par exemple. Puisque la série u°, u', etc. croît à l'infini, U' sera nécessairement compris entre deux termes consécutifs u" et u"^\ ensorte qu'on ait U' >«" et U' ), ce qui peut se confirmer sans peine par la substitution. Représentons ces valeurs par T et y, nous prouverons, comme il suit, que ce sont des nombres entiers. Si (71/, iV, P) est une forme dont le détermi- nant est X>, et que m soit le diviseur commun des nombres M, iNy p, T'-\-lSU' et /«^"^-f-iVz^^"' sont divisibles par 772 , et par- tant V'{f"^-\-]Su^"'^)—u^"\T—NU')=U'f'''^—u^"'^T l'est aussi j donc u sera entier et r par suite, puisque T^'^r/^o'-f-T/z'. 2^ Il est clair que k ne peut être =oj en effet, il s'ensuivrait d'où l'on tire U'*=^U"^ ,uS"^, contre l'hypothèse par laquelle ^^mmm ARITHMÉTIQUES. ,^f r7'>iiW. Mais comme TJ est la plus petite valeur de u] après zéro, u ne sera certainement pas -~iC'^+'V"^j donc C/^7W-.rV«) „e sera pas plus pe- tit que z/"-*-'/" — r-^'z^". 4». L'équation T'-^DVc^m'^ donne p=rr/C/)^^A et l'on a de même ^^ ^ j/(^ + ^^c^^S^)) '• d'où l'on con- dut facilement que ^ > ^^. De là et de la conclusion précé- dente f il suit que En développant, et remplaçant 2^% &\&\ /^""^'^^^"-^'^ par leurs valeurs DU''-^m% Dii'^"\ù'^''^^m\ i^z/f^+o.^/.+o^^»^ o^^ ^ ou transposant, ce qui est permis puisque les quantités sont positives , résultat absurde , puisque U' < z,C"+o ^ et que partant ^cn+i) < — î7 — • Amsi la supposition ne peut avoir lieu, et les séries /% t', t^etc; u% z/, u% etc.; renferment toutes les valeurs positives de t et zz. Exemple, Pour Z)=6i et 772=^2, nous avons (rolivé que les plus petites valeurs àQ tQiu étaient i525, igS-, ainsi toutes les valeurs positives seront données par les formules '=(— +f ^6.)'+(i^^_i|5^6,y..... et l'on trouve /°=2, ?'=i523, r=i523i'-f^23i9527, f'^iSaSi'-t =353^618098, etc. u«=o,u'=: i95,u"=i523u'-^iz'= 29€985, r."=i5a3u'-.tt'= 4525079S0, etc. *''o.. Relativement au problème résoU, dans le^érospréce- dentnous aiouterons encore ,uel ''''' ™^ „fie pU,s grand quadratique, ce .u'on obtiendra en P- J-^^J^^P^ ^^^^^ quarré qui puisse diviser V. M ^ ne quadratique, il faudrait prendre 7z=i. o c- n' .st de la forme 4A+1 > tout diviseur de ^n sera un« I». Si i^ est de la loim 4--r- ^^ ^^ aura valeur de m et réciproquement. En ettet, si^, ^ , . -n-CD-0\ dont le déterminant est D , et dans laforme^^,-,- , J^ , ,,,i,eur commun entre ^, laauelle s est évidemment le plus granu uiv ^ ..mt-O . n^CD'-O __ 4'^: ^jri est évideramentun nombre entleri/Héciproquenfnt.si.estu^v..^^^^^^^^^^^^ 3, , e-le Plus^^a^^commun^d^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^ ai^rr^r'.., et.il ^^^i^- te-;=rpot visible par g; car ^^ -^ "«/^"'^'' P^'„X'e S< C, et en faisant plus grand commun diviseur un nombre d _L ^_J>.',!i::£ serait un nombre entier; mais «' est pre- S"rni.^;:i.i^:pXr^' - ^^ *-' ^-'^-^ ''"^■ "tt D' est de la forme 4^+^^ j^+'^ir LtSeÏ ^ sera valeur de m, et réciproquement toute valeur ae ^ En effet, si g est diviseur de «, on aura la forme (5-, . , -^j - dont le déterminant est D, et où g est évidemment le plus grand commun diviseur des nombres , s o, ^. Béciproquement, si^ est supposé valeur de ,n. c'est-à-dire, le plus g-nd commun^di- ARITHMETIQUES. 195 viseur des nombres M, 2N, P, pour lesquels on a N' — MP=:D, on prouvera, comme ci-dessus, que — est un nombre entier. Or a Supposons que ce quotient soit impair, le quarré ~ sera ^ i o (mod. 4), et partant ^^ = -D' = 2 ou = 5 (mod. 4). Mais -jr- = |r = |r— ^=^ (mod. 4)-, ainsi |^ serait =2 ou ^5 (mod. 4)> ce qui est absurde, puisqu'un quarré doit être con- gru à zéro ou à l'unité, suivant le module 4» Donc —étant pair, o - sera entier et n divisible par §;• Ainsi il est clair que i est toujours valeur de m , c'est-à-dire ^ue l'équation i^~~>Du''= 1 est toujours résoluble par ce qui pré- cède, pour toute valeur de D positive et non quarrée. Ce nombre 2 ne sera valeur de 772 que dans le cas où B sera de la forme 4^ ou de la forme 4^-|-i» II. Si m est plus grand que 2, mais qu'il soit un nombre con- venable , la solution de l'équation r — Du'^=:m* pourra être rame- née à celle d'une équation semblable où ttî = i ou 2. En effet posons, comme plus haut, D^=.n^D\ si m divise n, vV divisera D» Alors si l'on suppose que pour l'équation p^-^—i 9''*= i , les plus petites valeurs de p et q soient p=:P, gz=:Q', les plus petites va- leurs de /, u, dans l'équation t" — Du^-==.ni^ seront t=.mP , u=Q. Mais si 772 ne divise pas n, il divisera au moins 2n', alors il sera pair, et partant —- sera un nombre entier, et si les plus petites valeurs de;;et^ dans l'équation;?* — ^9*=4sont/7=P, <7=Ç, les plus petites valeurs de t, zi, dans l'équation r — Du''=m*, seront t =—P, u = Q, Au reste, dans les deux cas, on peut déduire, non-seulement les plus petites valeurs de t, u, de la connaissance des plus pe- tites valeurs d© /?, q, mais toutes les valeurs des premières de toutes les valeurs des secondes. Bb 194 RECHERCHES IIL En désignant par t% w-, t', ii-, f, u", eic, f ouf es les valeurs positives àe t , u dans l'équation T — Du^^zm", comme dans le n" précédent, s'il arrive que certaines valeurs dans cette série soient congrues aux premières, suivant un module quelconque donné /•; si, par exemple, on a ^ ^f'^m, ir ^z^'^o (mod.r;, et que les valeurs suivantes le soient aux secondes , t ^t\ ^(/^•+0^^^,. ^^ ^^^^ ^g j^.j^e /^"^'^^/% u^^^^^^u\ etc., ce qui se déduit facilement de la loi même des deux séries. En efi-et, puisque «"^îZ^/'-i-, et que /''+'^^ =^/'^+'>-/''^oii aura /"^r , et ainsi des autres. Il suit de là qu'on a gé- néralement r ^ =r , u ^^^^ii (mod. r), h étant un nombre quelconque, et plus généralement si -tt^v (mod, fc), on aura r ^^r et w ^= w^ (mod. r). IV. Or on peut toujours satisfaire aux conditions de Tobser- vation précédente, c'est-à-dire, on peut toujours trouver un in- dice fJi pour lequel on ait f ^t° , t ^i t u ^—^u", u ^u^ suivant un module quelconque donné r. En effet, 1°. On peut toujours satisfaire à la troisième condition, puis- qu'il est aisé de s'assurer, par les caractères présentés dans la première observation, que l'équation /?*-—r''Z)9*= m'' est réso- luble j et si les plus petites valeurs de p, q sont p^=P, ç=Q ^ on en déduira t=P, uz=zrQ', ainsi P et rQ seront contenus dans les suites /% f, etc., u", u% etc, et si P=i , rQ=:u , on auraw =o^w° (mod. r). En outre on voit facilement qu'entre 2/° et u aucun terme ne sera congru à u°, suivant le module r. 2°. Il est clair que si dans ce cas les trois autres conditions sont remplies, c'est-à-dire, si u ^ii,t ^/% t ^t', on pourra prendre A'^=A; mais si l'une de ces conditions manque, on pourra prendre à coup sûr />t=2A. En effet, de l'équation (i) et des formules générales qui donnent f'^ et u^*^ dans le n" pré- cédent, on déduit ARITHMÉTIQUES. igS et partant ^ — = : — -, qui est un nombre entier*, puisque r divise u ,et que, 772* divisant 4^, à plus forte raison m divi- sera al). On trouvera de même u"^ ^ =s ^i^^^ur^s et comme 4^ t =:4Du w +4'^^' et est parconséquent divisible par m% 2i le sera par 77Î, et partant u par r, c est -a -dire que 2^^ '^^i^^ (mod, r). On a encore r ^ ''=^-| , et comme, parla même raison, — 7- est un nombre entier, on en déduit r^'' ""^^^^'(mod. r) : enfin on trouve w^^''"^^^:=z^'4-- ^ , et comme 2r est divisible par 7» et u' par r, il s'ensuit que u ^u (mod. rj. Au reste, on reconnaîtra par la suite l'usage de ces deux der- nières observations. 202. Le cas particulier où l'équation est t^ •"' Du^zzzi a déjà été traité par les géomètres du siècle dernier. Fermât avait proposé ce problème aux analystes anglais , et TVallis rapporte ( Aigèb» chap, 98 , T. II deses Œuures, p. 4i8), une solution qu'il attribue à Brounker, De son côté, Ozanam prétend qu'elle est de Fermât; enfin Euler , qui s'en est occupé, {Comm, Petrop. VI, p, ij5; Comm. Nou» XI y p. 28 (*); Algèbre y T. II, p» 226; Opusc, Anal, /, p, 3io), dit que Pellius l'a trouvée le premier, ce qui a fait donner par quelques-uns à ce problème le nom de Pellien* Toutes ces solutions , en n*en regardant que l'esprit , retombent dans celle (*) Dans ce Mémoire, l'algorithme que nous avons exposé n* 32, est présenté avec les mêmes signes, ce que nous avons négligé de remai-quer alors. 196 RECHERCHES que nous obtenons, si, dans le n° 198, nous nous servons d^une forme réduite dans laquelle a=i; mais personne, avant Lagrange, n'avait démontré rigoureusement C^ ) que l'opération qu'elles prescrivent devait nécessairement finir, c'est-à-dire, que le pro- blême était toujours résoluble {Mélanges de la Société de Turin, T. IV , p, 19, et d'une manière plus élégante , Hlst. de VAcad, de Berlin, 1767, p. 237). Cette recherche se trouve encore dans les Supplémens à V Algèbre d*Euler. Au reste, notre méthode, tirée de principes absolument différons, ne se borne pas au cas de m==i, et donne le plus souvent difïérens moyens de parvenir à la solution, puisque dans le n° 198, nous pouvons partir d'une forme réduite quelconque {a, h , — a')* 2o5. Problème. Si les formes <^ et

où Ton doit prendre pour e tous les nombres entiers positifs» 204. Il est évident que la formule générale qui donne toutes les transformations, devient d'autant plus simple, que la transforma- tion initiale d'où elle est tirée l'est elle-même davantage, et comme il est indifférent de quelle transformation on parte, on peut souvent rendre la formule générale plus simple, si de la première qu'on trouve, on déduit une transformation plus simple en attribuant h t, zi des valeurs déterminées, et si l'on forme avec une autre formule. En faisant, par exemple, dans la for- mule de l'exemple précédent, ^=80, ziz=z — 9, il en résulte une transformation plus simple que celle d'où nous étions partis, savoir, 29* 47 > — 37, — 60^ d'où l'on déduit la transformation générale 29^— ,263i/, 47^ — 424^, ^Sjt-^Soju, — 6o/-f-545:/. Ainsi, lorsqu'on a trouvé la formule générale au mojen de ce qui précède, on pourra essayer si en attribuant k t, u les valeurs igS R E C H Ë R C: H E S .\ déterminées =4=^', dtf, z^zt", etc, =fcz/, dcu", ztu", etc. on obtient une transformation plus simple que celle d'où l'on a dé- duit la formule , et dans ce cas on pourra trouver une formule plus simple. Au reste, il y a quelque chose d'arbitraire dans le choix , desorte qu'il serait utile de l'amener à une règle certaine et d'assigner dans la progression t', ii\ t" , u\ etc. des limites après lesquelles on n'obtient que des transformations moins simples , desorte qu'il fût suffisant de faire les essais parmi elles. Cependant comme le plus souvent, par les méthodes que nous avons données, on obtient la transformation la plus simple, soit sur-le-champ, soit en employant les valeurs d=/', zi=;/, nous supprimons cette re- cherche. 2o5. Problème. Trouver toutes les représentations d*un nombre donné M. par une forme donnée ax*-{-2bxy-f-cy% dont le détermi- nant positif non quarré est =D. Observons d*abord que la recherche des représentations par des valeurs de r, / non premières entre elles, peut se ramener ici absolument de la même manière que pour les formes de détermi- nant négatif (n° i8i), au cas où ces valeurs sont premières entre elles. Or pour qu'il soit possible de représenter le nombre M par des valeurs premières entre elles, il faut que D soit résidu quadra- tique de M, et si les valeurs de l'expression \/D (moà,M) sont: JV, — N, N', — N', etc. qu'on peut prendre telles qu'aucune ne soit >7il^, toute représentation du nombre ili"par la forme pro- posée appartiendra à une de ces valeurs. Ainsi, avant tout, on devra chercher les nombres N, N', etc. et ensuite les représenta- tions qui appartiennent à chacun d'eux. Il n'y aura pas de repré- sentations appartenantes à la valeur N, si les formes (a, b, c) , (m, n, ^^Tf^ ne sont pas proprement équivalentes j mais si elles le sont, on cherchera une transformation propre a, /3,>/,crdela première en la seconde, alors on aura, en faisant x:=za,y y=^y une représentation du nombre ilf appartenante à la valeur iV, et toutes les représentations seront données par les formules xz=.^^cKt-^{cLh-\'yc)ii') j=i(5.f+(«a-H>^)«}. ahithmétiques. ,9^ Au reste, il est évident que cette formule générale sera d'autant plus simple, que la transformation et, /S, ;., cT, dont elle est dé- duite, le sera elle-même davantage. Ainsi il sera utile de trouver d'après le n° précédent, la transformation la plus simple de la forme (a, b, c) en la forme (ilf, N, ^^~). On trouvera abso- lument de la même manière les formules générales qui donnent les représentations appartenantes aux valeurs — N, N', A^' etc. s'il en existe. Exemple. On cherche les représentations du nombre 585 par la forme 42^'*-i-62jrj+2ij*. Pour ce qui regarde les représentations par des valeurs de x, y non premières entre elles, il est clair qu'il ne peut y en avoir d'autres que celles où le plus grand diviseur commun des nombres x,y serait 5, puisque 9 est le seul diviseur quadratique de 6^5, Ainsi quand on aura les représentations du nombre 65 = A-8i par la forme 4^x'^-\-Ç>2xy+:iiy^, dans lesquelles x' et/ sont preniiers entre eux, on en tirera toutes les représentations du nombre S^^, par la forme 42x*+62xy+2ij% en posant x=5x' etj=Zy, Les valeurs de l'expression v/79 (mod. 65) sont ±12, ±27. On trouve que la représentation du nombre 65 appartenante à la valeur — 12, est x'=2,yz=^i, d'où il suit que toutes les re- presentations de 65 appartenantes à la même valeur seront données par la formule œ'z=:2t-^4iu, y=-./^-55^., et parlant toutes les représentations du nombre 585, parla formule :i:=6/-.i25^, y=—^t-hi5gu. De la même manière, on trouve que les repré- sentations du nombre 65 appartenantes à la valeur 12 sont données parla formule générale ^'=22^-199^/, y=:_:,3/H-2i u/, et celles qui en naissent pour 585 par :r=66/--597M, ^=-.69/+ 635^/. Mais il n'j a aucune représentation du nombre 65 appartenante à la valeur ±27. Pour trouver les représentations de 585 par des valeurs de x, y premieres entre elles, il faut d'abord trouver les valeurs de l'ex- pression v/79 (mod. 585) qui sont ±77, ±io3, ±157, =3=248. On trouve qu'aucune représentation n'appartient aux valeurs ^77, =tio3, =±1248. Mais pour la valeur — 157 on a la repré- 200 RECHEHCHES sentation xz=:Z, y=i, d'où Ton tire la formule générale .r=5/— ii4«> y^=t'^i5'ju. Pour la valeur -f- 1^7, on a de même la représentation a:=85, j^== — 87, et la formule qui contient toutes les transformations semblables est x = 83/ — 746;^ , yz=. — 87/ + 789M. On a donc quatre formules générales, dans lesquelles sont con- tenues toutes les représentations du nombre 585 par la forme 420;^ -{- 62 JC/+ 2 1 j% x=^6t — i25u, y= — Zt-\-i5gu, x=66t — 597;/, j= — 69^+633^/, x = 5t — ii/^u, yz=, t-i-iBju, x=:8St — 746^^, j= — Sjl-i-ySgu, Pour abréger, nous ne nous arrêterons pas davantage aux appli- cations particulières des recherches précédentes, parceque chacun pourra y parvenir de lui-même, en imitant ce qui a été fait n°*i76, 182, et nous passons aux formes de déterminant positif quarré qui nous restent à examiner. 206. Problème. Etant donnée une forme (jSij b, c) de de'termi' nant quarré h' dont h est la racine positwe, trouver une forme (A, B, C) qui lui soit proprement équivalente , dans laquelle A tombe entre o e/ 2h— * i inclusii^ement , et où l'on ait B=:h, C=o. I. Puisque y^*=i^' — ac , on aura -^=__.^ , ^y Soit fait ce rapport =^> iS étant premier avec «T, et déterminons a, 7/ de ma- nière queûtcT — jSv:=:i, ce qui peut se faire. Par la substitution a, /3, y, cT, la forme {a, b, c) se changera en une autre (a', b', d) , qui lui sera proprement équivalente. Or on aura Si donc û' est situé entre o et 2/2 — i , la forme {a', b', d) satisfera à toutes les conditions. II. Mais si a! tombe hors de ces deux limites , soit A le résidu minimum positif de A', suivant le module 0.I1, A sera évidemment entre o, et a/î — i ; soit posé A — a'=:2hk, alors la forme {a, b', c)z=z{a'y /z, o) , se changera, par la substitution 1 , o, A, i, en (^A f hj o) qui sera proprement équivalente aux formes (a', U, d), (a, ARITHMÉTIQUES. 201 (a, b , c) , et satisfera à toutes les conditions. Au reste, il est aisé de voir que la forme (a, b, c) se change en (A, h, o) par la substi- tution ût+/3A', /S, y-hJ'k, cT. Exemple, Soit la forme (27, i5, 8) dont le déterminant est g-, ici /z=3 et -:=.-^\ en prenant donc /3 =4^ cr= — 9> <=<•= — ^> 3^=2 , la forme (a', Z»' c') se trouve être ( — i, 3, o), qui se change en (5, 3, o) par la substitution i , o, i , i. Cette dernière est par- conséquent la forme demandée, et la proposée se change en elle par la substitution propre 5, 4^ "~"7^ """Q* Les formes telles que (^A, h , o) , dans lesquelles A est compris entre o et 2/z — i inclusivement, s'appelleront yt7r;?z^5 réduites; mais il faut bien les distinguer des formes réduites de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré. 207. Théorème. Deux formes réduites (a, h, o), (a', h, o) «e ■peuvent être proprement équiualentes sans être identiques* En effet, si on les suppose proprement équivalentes , soit a, /2, ^, «T la transformation qui change la première en la seconde, on aura les équations a%'''\-^hcLyz=za! (i) fla/34-/2(Aj'4-^5.)= Ji (2) a^'-i'2h^S:=o (3) aJ^ — /3;.=:i (4). De l'équation (3) on tire /3=o ou a/3 -f- 2/2/ =0; mais si l'on sup- pose que (B ne soit pas zéro , comme l'équation (2) peut se mettre sous la forme asLlB-\~2h(^y=zo , qui donne alors nécessairement ca+2/z3/ = o, il s'ensuivrait par l'équation (i) que a' = o. Donc on doit seulement supposer /3 =0, ce qui réduit l'équation (4) à ctcr=:i, d'où a=rbi. Ainsi l'équation (i) devient «±2^5.=^', ce qui ne peut avoir lieu qu'en supposant y=:o , puisque a et a sont tous les deux compris entre o et 2/2 — 1; ainsi on a donc az=:a\ c'est-à-dire que les deux formes sont identiques. On résout par là sans difficulté les problèmes suivans, qui en offraient beaucoup pour les autres déterrainans. I. Déterminer si deux formes F, F', de même déterminant quarré, sont équivalentes ou non. Ce 505 RECHERCHES On cherchera deux formes réduites équivalentes aux formes F et F' respectivement, et suivant que ces réduites seront ou non iden- tiques, les formes proposées seront ou non équivalentes. II. Déterminer si deux formes F, F' sont improprement équi- valentes* ■ Soit G la forme opposée à l'une des deux formes, à jP, par exemple; si G est proprement équivalente à i^', F et F' seront improprement équivalentes. 208. Problème. Étant données deux formes F et F' de même déterminant h* proprement équivalentes , trouver une transforma- tion propre de Vune en Vautre. Soit (p la réduite équivalente à F et à i*"'; on cherchera par le n" 106 une transformation propre et, /2, ^, cT de i^ en cp , et une transformation propre a', /S', y' ^ S' de F' en (p. Alors (p se changera en F' par la substitution propre S'y — /3', — y' y a!, et partant -F en F' par la substitution propre ctcT'-— /3;/', /3ot'— ajS', j/J'— cTj.', Il peut être utile de donner pour cette transformation de F en F' une autre formule, pour laquelle il n'est pas nécessaire de connaître la réduite (p elle-même. Soit F^=^{a, bj c), F'z=:(ay h', c'), ^-=:(^Ay hy 6)\ puisque r est la plus simple expression de la frac- tion -r^ ou, de la fraction __^,v ,., on aura -^ = - égal à un entier que nous supposerons =/*, et de même g = — j — =^. Or on a Az=:a^''+:^ha,y-\-Cy% d'où (B^=aoL'^'i-2boLlBy-\-Cy*(B , ou en svibstituant pour a(B, S{h — b) , pour c , ^g, ^A = ct^cT/î + b(i^y-'OL = r-^. 0! À -^. ' On a de même^ relativement à la forme F, «'= — r-s- et En substituant ces valeurs de a, 7/, c/, 5/ 'dans la formule précé- dente, elle se change en la substitution suivante : r=£g /g^g-%^ £fz£f ££zi£' d'où A a disparu. Si l'on propose deux formes F, F' improprement équivalentes, et qu'on demande une transformation impropre de l'une en l'autre, soit G la forme opposée à F, et et, /3, y, cT une transformation propre de G en F', il est clair que a, /3, —yj — J^, sera une transformation impropre de F en F\ Enfin on voit que si les formes sont proprement et improprement équivalentes , on pourra trouver de cette manière deux transforma- tions, l'une propre et l'autre impropre. 209. Il ne nous reste plus parconséquent qu'à déduire d'une seule transformation toutes celles qui lui sont semblables, ce qui dépend de la solution de l'équation /* — h^u''z=m*. Mais cette équation ne peut se résoudre que de deux manières , savoir, en fai- sant tz=i7n, i£^=o, ou /= — m, u^=.o. Supposons en effet une autre solution i=T, u-=,U où Z7ne soit pas zéro} comme /tî* di- vise 4^i% on aura -î-^=:-î-^ — f-/, et ^^—r-, ainsi que - — -- sont des quarrés entiers*, mais on voit facilement que la différence de deux quarrés entiers ne peut être 4> à moins que le plus petit ne soit =o*, si donc la forme F se change en F^ par la transforma- tion a, /3, y, J'y on ne trouvera d'autre transformation semblable que — -:t, — j8, — y, — S", et si elles ne sont équivalentes que d'une manière, il n'j aura que deux transformations) il y en aura quatre si elles sont équivalentes des deux manières , savoir, deux propres et deux impropres. 2o4 RECHERCHES 210. Théorème. SI deux formes réduites (a, h, o), (a', h, o) sont improprement équivalentes , on aura aa'^m' {mod, 2mli) , m étant le plus grand commun diviseur des nombres a, 2h ou a% ahj et réciproquement si 2i , ah; a', 2 h ont le même plus grand diviseur commun VA i et qu^ on ait aa'^m' {mod. 2lira), les formes (a, h, o), (a', h, o) seront improprement équivalentes, I. Si la forme {a, h, o) se change en {a, h y o) par la transfor- mation impropre a., ?>} y» ^ t on aura les équations ac/J" -{- ihcLy =1 a' (i), aa^ -^^hÇoLj"-}- l^y')=:h (2), a/S^-j-2/2/3J = o .(5) , acT — /35.=:--i (4). On déduit de l'équation (i) (aA-\-2hyy — (^oci-}-9Â))Qhy =aa , ou {aa, -\- 'ihyY =^ aa (mod. 2A^.(a*-f-2//>)) Or en combinant les équations (2) et (4) , on tire (^/3 + 2/zJ ):t =0 , et comme la supposition ct=o réduirait l'équation (i) à a'=o, contre Ihypothèse, on doit avoir rt/3-|-2/2cr=:o , ou 7,= , et O et partant /2=zh— , cr=:=p--, l'équation (4) donne alors =t^^^=tf-^= — 1> ou aci-\- 2hyz=z:à=:m, Ainsi la congruence que nous avions trouvée devient ni'^aa (mod. 2mh). II. Si m est le plus grand diviseur commun des nombres a , 2/z ; , n . , 'if ,/ 1 T ^ a Q.h d ad — vn^ a, 211 y et quonaitû!^ '^m'' (mod. 2/72 /î) , —, — , —, ; — se- 2.171 ront entiers, et l'on s'assure aisément que la forme (a, h, o) se chan2;e en Ca', h y o) par la substitution — — , , cm^-m _ ^^ ° v-'^^r mm zmh m que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront impro- prement équivalentes. On peut aussi juger sur-le-champ si une forme réduite (ay h, o) est improprement équiv^alente à elle-même, puisqu'on aura alors û" ^ m" (mod. 2înh). 211. On trouve toutes les formes réduites de déterminant 7z* en prenant pour A dans la forme {A, h, 0) tous les nombres entiers depuis et y compris o, jusqu'à 2/z — i inclusivement; ainsi le nombre en sera 2/7. Il est évident que l'on peut distribuer toutes les formes de déterminant U en autant de classes, et qu'elles joui- ront de la même propriété que ci-dessus (n»* 175, i85), pour les formes de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré. ARITHMÉTIQUES. 2o5 Ainsi foufes les formes de déterminant =25 peuvent se distribuer en dix classes, qui se distingueront par les différentes formes ré- duites qui j seront contenues. Ces formes réduites sont : (o 5 o) (i. 5, o), (2, 5, o), (5, 5, o), (8, 5, o), (9, 5, o), qui sont impropre- ment équivalentes à elles-mêmes j (5, 5, o), qui est improprement eqmvalente à (7, 5, o)^ (4, 5, o^, qui est improprement équiva- lente a (6, 5, o). ^ 212. Problème. Tz-o^z^jr /oi^/^5 les représenta/ions d^un nombre donné M, par une forme donnée ax" 4- 2bxy + cy= de déterminant h^. j j On peut tirer la solution de ce problème, des principes de lart. ib5, absolument de la même manière que nous l'avons fait plus haut (nos 180, 181, 2o5), pour les formes de déterminant né- gaut, et positif non quarré, et comme il n'j a en cela aucune difficulté, il serait superflu de le reprendre ici. Mais il ne sera pas hors de propos de déduire la solution d'un autre principe qui est propre a ce cas particulier. Ajant fait comme aux n°* 206, 208 ^~~^ = <^ /? ^ h—b a r c —h—b ^ ^ J & j^— /^ ^ J~-— -^j on prouve sans peine que la forme proposée est le produit des deux facteurs cTor—^j et/r— ^j- d'où il suit évidemment que toute représentation du nombre M par la lorme proposée donne la résolution du nombre 31 en deux facteurs. Si donc tous les diviseurs du nombre A/ sont d, d' , d", etc. (i et My compris et chacun d'eux étant pris positivement et négative- ment), il est clair que l'on obtiendra toutes les représentations du nombre il/, en posant successivement <^X'^^y:=zd, fx-^gyz^ë.. èx—^y=^d', fx'^gy:=.^-L, etc. On tirera de là différentes valeurs de X et de J parmi lesquelles on rejettera celles qui ne sont pas entières. Or les deux premières équations donnent évidemment '^(^f-^g:id y==(jf~j^> valeurs qui sont toujours déterminées parceque ^f-^^g:=2li , et que parcoDsequent le dénominateur des fractions n'est jamais =0. 2oG RECHERCHES On aurait pu tirer de la décomposition en deux facteurs , les problêmes précédens -, mais nous avons préféré employer ime méthode analogue à celle que nous avions suivie pour les autres déterminans. Exemple. Clierclions les représentations du nombre 12 par la forme 3jc^-f-4-^/ — yj*. Cette forme se décompose en deux fac- teurs :c — y et '5x-\'']jy les diviseurs du nombre 12 sont: ±1, :2, 5, 4> 6' 12. Faisons x — /=: i, 3ji:-f-7/=: 12, on tire x:=.\% , y=iYZy valeurs à rejeter comme fractionnaires. Les diviseurs — I, db3,=t:4j =t6> d=i2 donnent aussi des valeurs inutiles -, mais le diviseur -f-2 donne x=. — 2, y=:o, et le diviseur — 2 donne x=: — 2, ^ = 0. Ainsi il n*y aura exactement que ces deux représentations. Cette méthode ne peut s'employer si M=zOj mais dans ce cas, il est clair que toutes les valeurs de x et y doivent satisfaire à l'une des équations Soc — (^y=:o, fx — gyz=.Q. Or toutes les so- lutions de la première équation sont contenues dans la formule a; = /3z , y =crz, en désignant par z un nombre quelconque, si )8, cT sont premiers entre eux, comme on le suppose. De même, nommant m le plus grand diviseur commun des nombres f , g, toutes les solutions de la seconde équation seront données par la formule ^=^, r=— . Ainsi ces deux formules contiendront 771 •' Ta toutes les représentations du nombre M=.o, Dans ce qui précède, tout ce qui appartient à la recherche des caractères de l'équivalence des formes, à leur transformation et à la représentation des nombres donnés par des formes données, a été expliqué de manière à ne rien laisser à désirer. Il ne nous reste plus parconséquent qu'à prendre deux formes de déterminant difiFé- rent, qui parconséquent ne peuvent être équivalentes, et à ensei- gner le moyen de juger si l'une est contenue dans l'autre, et dans ce cas, celui de trouver les transformations de l'une en l'autre. 21 5. Nous avons déjà fait voir (n"* iSy et i58) que si une forme/* de déterminant D renferme |a forme F de déterminant E , et se ARITHMETIQUES. io; cLange en Fpar la substitution &., /3, y^ J", on a E=:i(a,<^'^PyYD , et que si l'on a otJ' — jS; =:± i , la forme/'iion-seulement renferme la forme F, mais lui est équivalente, et que partant, si/renferme F sans lui être équivalente, le quotient — sera entier > i. Ainsi le problème à résoudre est : Juger si une forme donnée f de déter" minant D renferme la forme donnée de déterminant De*, où e est supposé un nombre positif >• i. Pour y parvenir, nous assi- gnerons un nombre fini de formes contenues sous la forme f, et telles que /^ soit équivalente à l'une d'elles, si elle est contenue dans f I. Soient 772, 772', m", etc. les diviseurs positifs du nombre c (y compris i et e) et mn = m'n':=zm''n"=. . .=e. Désignons, pour abréger, par (m; o) la forme en laquelleyse change par la substitution propre 772, 0,0,72; par (772; 1) celle qui résulte de la substitution propre 772, i, o, 72, etc., et généralement par (772; k) celle qui résulte de la substitution propre 772, k, o, n. On entendra de même les expressions (772'; o), (772'; i), etc. Qn; k), etc. Toutes ces formes seront contenues proprement dans la forme /, et le dé- terminant de chacune d'elles sera De*, Nous représenterons par XI l'ensemble de toutes les formes (772J0), (772; i),». .(772; 772 — 1)5 (772'; o), (m'-, \),.,.{m'y m-^i), etc., dont le nombre est 772+ 772'+ 772"-!- etc., et qui sont toutes différentes, comme on le verra aisément. Si l'on a, par exemple, /'=(2, 5, 7) et e = 5, il comprendra les six formes (i^ o); (5; o), (5> i), (S-, 2), (5; 5), (5; 4), qui sont, calcul fait, (2, 25, ijS); (5o, 25, 7), (5o, 55, 19), (5o, 45, 35) , (5o, 55, 55) , (5o, 65, 79). II. Or je dis que si la forme F de déterminant De*^ est con- tenue àansf, elle sera nécessairement propremerit équivalente à une des formes XI. Supposons en effet que^se change en F pat la substitution propre a, |S, >-, «T; on aura acT — /3> =z. e (*). Soit n (*) L'auteur a été probablement conduit à sa démonstration par l'analyse suivant» qui peut la remplacer. Supposons la forme F renfermée dans la forme/, et que /se change en F par 2o8 RECHERCHES le plus grand commun diviseur des nombres y, /, qui ne peuvent être nuls tous les deux , et -= m. Soient les nombres g, h tels que yg-\-'J'hz=:n, k le résidu minimum positif du nombre oLg-^-^h^ suivant le module m. Alors la forme (/tzj A) , qui est évidemment une des formes H , sera proprement équivalente à la forme F, et se changera même en elle par la substitution propre ^ • ^^^"^"^ ~~^~~' " I ■ » *■ 1 ~" • — — ^^— — ^-"" ir m —, — 4 77 777 • ' 77. 7T7 w ' 77 ' TI m ' ' n m "^ ' n ' n la substitution a, /3, •)', ', ^, de manière qu'on ait ma,' -^ ky = a. , 7n/S'4-W = /3, ny^=y, n<^' = ^, il est clair que (p sera équivalente à F. Or les équations ny' = 7 , ntT' = «^ donnent 7' = ~ ^ /^ = - : et comme 7', J^ doivent être premiers entre eux, n sera le plus grand commun diviseur de« nombres y, S'. Des deux autres équations, on tire en éliminant m ou k, ^ = «'/3 — a/3', mz=.cty — ^y \ et comme la seconde de ces équations revient évidemment à Aê"--^y= e:=:mn, a ne reste plus qu'à satisfaire à la première et à l'équation «'<^' — /S'y = 1 . Si l'on suppose que a' z=h et 0 ■= g soit une solution quelconque de cette dernière , on aura en général «t' = ^ -f- py' , ^'=g +P«^'i substituant ces valeurs dans celle de k , elle devient kz=zh^ — gA-^p($y^-r'AS')T=h$--ga~^pîny ou k^h(i~^gA(^mod.m.), Ainsi en prenant pour k le résidu minimum positif de h^-f^ga, suivant le mo- dule 771, la forme 0 ou (m; k) se trouvera parmi les formes Q. On a pour lors * m m ce qui est, au signe de g près, le résultat de l'auteur. Il est aisé de voir que la forme 9 restera la même de quelque manière que p et ç soient déterminés ; elle serait encore la même , quand on aurait d'autres valeurs de a, /S, 7, iT, pourvu que le diviseur commun de , J'y n'eût pas changé , non plus que le résidu minimum positif de h^ — gA : mais dans tout autre cas la forme

", etc. Les propositions que l'auteur démontre dans le n° suivant , sont évidentes d'après ces obsen'ations. {Note du traducteur)^ Cac ARITHMÉTIQUES. 20^- Câr, ï*. il est évident que c^s quatre nombres sont enlîetâ; 2°. on s'assure aisément que la substitution est propre; S'*, il est clair (n" 159) que la forme en laquelle se cliange (^m; ^), par la transfor- mation précédente, est la même que celle en laquelle /"se change par la transformation mf^.-sJl h^OH — -i m(-,-^-^ g)-^ — ,y, «T, Or le premier de ces quatre nombres se réduit sur-le-champ à ~(^oLyg-\-(^y-\-m72)h) , le second à - ((ûtcT — mn)g'\-^Sh); d'ailleurs on a 77z/z=:e==««r — l^y: donc ^y'-{'mn-==zaiJ' et aJ^ — mnz=:fiy, ce qui donne pour les deux expressions précédentes -(7-^-+ cT/z), a -{yg-h<^à) , qui se réduisent évidemment kct, (B, puisqu'on a yg'\'^h-=in» Ainsi cette transformation est a, /S, y, cT-, donc {m; k) se change en F, et partant (^m) k) et F sont proprement équi- valentes , puisqu'elles ont d'ailleurs le même déterminant. On pourra toujours Juger par là si une forme /"de déterminant D renferme proprement une forme de déterminant Z)*?''*, mais quand on cherche siy* renferme F improprement, on doit chercher si la forme opposée à F est renfermée dans/i 2i4' Problème. Etant données deux formes f et F , dont les déterminans sont respectiuement D et De*, et dont la pre- mière renferme la seconde proprement', trouver toutes les trans" formations propres de f en F. En représentant par €1 le même ensemble de formes qu'au numéro précédent, on en extraira toutes les formes auxquelles F est proprement équivalente. Désignons-les par

', ^J' de ^ en F ^ et de la transformation a", /3", y" , J " de (p' en F. Soit

'= n^" .:. .;(4X' e^'^ f fr-*ia: ce qui exige qu'on ait 7i s± %• , jfJiïîs'c^tïe ">i 'et tz^ sont supposés tous les deux positifs. Donc -aussi 'm ^f72-'> >'=ïi:'>''', cT' =£tiel''v Or en élirainajût m entre les équations (i.)iet i(2)!^>Dn troiive ARITHMÉTIQUES. ju donc k^k' (mod. 772) ; ce qui ne peut avoir lieu à moins que l'on n'ait kz=zk\ puisque k et k' sont compris entre o et w— i. Donc les for^s 9 et (p' sont les mêmes contre l'hjpothèse. Au reste , il est clair que si Je déterminant D est négatif, ou positifet quarréj,on fr^nvera effectivement par cetteraéthode , toutes les transformations propres de /en F-, mais que s'il est positif et non quarré , on trouvera certaines formules générales qui contien- dront toutes les transforiiiations propres , dont le nombre est infini r ;£nfinsi la forme /^ est;- contenue improprement dans la forme/, ,on peut trouver, pai- la même méthode toutes les transformations de/en, F. Soit en ,efi*et a, p> , y , ^ une transformation indétec- minée de /en la forme opposée à F , toutes les transformations impropres de /e^jF seront, représentées par a, — /3, >, — cT. Exemple. On demande toutes les -transformations de la forme i^} ^> 7) en (275, o, — i), qui j es^ cputeniœ des deux manières. Nous avons donné au n° pr^édent ^ siùte a de formes pour h. proposée. Examen fait, on trouve que dans cette suUe les formes (5; i)et (Sj 4) sont proprement équivalentes à la forme (275,o,-~i). Toutes les transformations de la forme (5j i) = (5o, 35, 19) en (275, o, — . i) se trouvent, par la théorie que nous avons expliquée plus haut, être contenues' dans la formule générale, 16/— 2757/, — ."/^'i6«,l^i5/-|-275^^, t^ i5u, où t, u désignent les nombres entiers qui satisfont à l'équation indéterminée r r- 275//^ == i j ainsi toutes les transformations _ propres de la forme (2 , ^, 7) en (275, o, — - 1) qui en résultent , seront, comprises, dans la formule générale 1nr7i.v^5^p-,i?^ft<»Éj-^4^'3h?5^^,--^i5/-f-275>^, /— xSu. -«He^raêmiê:, toutes les transformations propres de la forme (5; 4) = (5o, 65,^79) en/275, 9, — i) sont contenues dans la formule ^ 14^+275^^, /+i4M,'-Ui5^--.275z/, — ./^i5i^, ce qui donne encore la suivante pour les transformations propres dé (2,5, 7) en (275,0,-1), 213 H E C H F R C H E S Ainsi ces deux formules embrassent toutes les transformations propres cherchées. On trouve de la même manière que les transformations im- propres sont données par les de^ixforniule?, 65t — 1 1 oou , 4' — ' 6^" > ^'tSt -^ 'iifSii , ^- 1 + i5u , I0^+ 2j5ll,'-^ ïO—' lOU , -^i^i-^ 2j5u , t^\5u, 21 5. Jusqu'à présent nous avons écarté de nos recherches les formes dont le déterminant = o. Pour compléter notre théorie , il nous reste à ajouter quelque chose à leur sujet. Comme il a été démontré généralement que si une forme de déterminant /) renferme une forme de déterminant Z>', D' étant multiple de D y îl s'ensuit qu'une forme de déterminant = o ne peut renfermer au- cune forme dont le déterminant ne soit aussi i= o. Il ne nous reste donc que deux problèmes à résoudre j .^ajVoii; :^ [j .jv v 1°. Etant données deux formes f et ¥ i éàntlW ëëcôHdè cto pour déterminant , découvrir si la première renferme la seconde '^ et dans ce cas y trouver toutes les transformations de f en F. ' 2°, Trouver toutes les représentations d'un nombre donné p,ar une forme donnée de déterminant ■= o» ^ Le premier problème doit être traité différemment , quand le déterminant de la première forme est aussi = o , et quand il rie l'est pas. I. Observons avant ioiit. qu'une forme ax* -\~ 2bxy -|- cy^ dont le déterminant =0, peut se représenter ainsi: m, (^gcç-^hyy , g et h étant entiers et premiers entre eux, et 772 îin nombre entier. Soit en effet m le plus grand commiin diviseur des nombres a y c, en lui donnant le même signe qu'à ces nombres, qiii doivent évidemment en avoir un semblable, ~ et — sçr,Qia,t ÇntiçtSuoPb^ Tn ÎTL 'S m m sitifs et premiers entre eux j leur produit doit être égal à —^ qiii est un quarré, et partant, chacun d'eux en doit être un' aussi. Soit — =g* , — =; /i* , ^ et h seront aussi premiers entre jeux, e't l'4?n ARITHMÉTIQUES. 2i5 aura §*7z»=— ,, ou gh=zt~. D'où il suit qu'on a ûo;' -f- 2bxj- -f- cj* = 77Z (gx dt hy^. Soient proposées maintenant deux formesyet i*" de déterminant :=o, elfz:^m{gX'^hyy,Fz=:M{GX'\'Hry, dans lesquelles g est premier avec h , et G avec H, Je dis que si y renferme F , ou aura mz=M', ou que du moins m divisera M , et donnera pour quotient un quarré, et réciproquement. En effet, si f se change en F par la substitution ;i: = aX+/3i^, J = >X+ cTj^, on aura d'où il suit évidemment que — est un quarré j faisons — =:e% on aura et partant, eGz=-±: (ci,g-\'yh) , e£r==b(/%'+crA); comme G, H sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres G', H', tels qu'on ait G .G' -\- H.H' z= i) et partant, =t: ^ = G'(cig-{-yh) '^ H' (^ ^g -\^ Sli) , ou égal à un entier. Réciproquement, si l'on M suppose que — soit un quarré entier =. e^ , la forme y renfermera la forme F y c'est-à-dire qu'on pourra toujours déterminer des va- leurs entières àa,/3,^,cr, de manière à satisfaire aux équations <^g'\-yh:=^zheG, lèg'\-S^hz=±:eH, car ces équations sont toujours résolubles en nombres entiers. Il suffit, comme on sait, de résoudre l'équation g'g -\- lLh=: i, et ' on aura en donnant k z, z' des valeurs entières quelconques. Il est clair eu même temps que ces formules donnent toutes les transformations de y en F^ poiu'vu qu'on attribue à -; et ^' toutes les valeurs entières, II. Supposons maintenant que tout restant le même d'ailleurs, la forme /:= ax^^Pibœy-^ cj* n'ait pas o pour déterminant. Je dis que, 1°. si/ renferme jF, le nombre M pourra se représenter 5i4 RECHERCHES par la forme /"j 2". si M peut être représenté par /, la forme F sera renfermée dans f-, 3*. si , dans ce cas , la formule a; = ^ ', y = \\j donne indéfiniment toutes les représentations du nombre Af par la formey*; les transformations dey* en F seront contenues dans la formule G^ , H^, Gv , Hu, Supposons que /' se change en F par la substitution ot, jS, y, cT; en prenant les nombres G', H', tels qu'on ait GG''\'HH'==,i't si l'on fait x^=zcilG' -{-^H' , y:=.yG' -{^ê^H', la valeur de la forme y devient M , et partant, M peut être représenté par/l 2". Si l'on suppose «g* -f- 2^Çu -|- ^^* = -^> il &st évident que par la substitution G^, H^, Gv , Hu, la forme y se change en F. 3\ Pour démontrer que la substitution G^, H^, Gu, i^u donne toutes les transformations de / en F, si ^ , u représentent toutes les valeurs de x, y qui rendent y ==ifefj soit a, /3, y, cT une trans- formation quelconque de y en i^, et, comme plus haut, GG' -\- iJH'=i, parmi les valeurs de jc,/ seront les suivantes: j:=:xG'+^iff', j-ss^G'-f- J^-fiT', qui donneront la substitution- G(olG'+^H'), H{cLG'+fèH'), GÇyG'+ê'H'), H(:yG'-{'m')s d'où l'on tire mais comme on a on en tire au moyen des trois équations qui en dérivent, M(I^G-^ ciHy = c(oLc^ — (^yy , M{S'G'-'yHy;=za{ ^> c); 2°. que s'il est représentable , la transformation de_fen F est possible; 3°. qu'elle se fait par la substitution |G , |/f, vG, vH, et en même temps qu'on obtiendra ainsi toutes les transformations. {Note du traducteur). ( ) Si l'on proposait une équation dànsJaquelle le 2*^, le 4' et le 5*= coefficien» ne fussent pas pairs , cette équation, multipliée par 2, prendrait la forme que nous lui supposons. 2ia RECHEKCHES ou a, b, c, etc. sont des nombres entiers quelconques^ Si Ton introduit à la place des inconnues x ^ y , d'autres in- connues p :=: (b* -^ ac) X '\~ be -^ cd , q :=, {b"" -^ ac) y -{'bd-^ ae , qui seront évidemment entiers quand a; , y le seront , on aura l'équation ap^'\-2bpq'^cq^ •\-{b*^^ac){ae*'^2bed'\-cd'')+f(J)'' — û!c)*=o, ou , en faisant pour abréger ( ô* — ac ) ( ^e* — 2 bde + cd^ ) H- f{b-^acy:=r-'M, ap* H- 2bpq -|- cq'' = M. Or nous avons donné la manière de trouver toutes les solutions de cette équation, c'est-à-dire, toutes les représentations du nombre M par la forme {a, b, c); mais on a par les relations entre p y q^ x etj, p-^cd — be q-^ae — bd ^— • b^ — ac ' y"-" b^ — ac ' Si donc on rejette de toutes les valeurs qui en résultent pour x et / , celles qui sont fractionnaires , il ne restera que les solutions cliercliées. A l'égard de cette solution , il j a plusieurs observations à faire.' 1°. Si M ne peut être représenté par la forme (a, b , c) , ou si aucune représentation ne fournit de valeurs entières pour x , jy > l'équation n*est pas résoluble. 2°. Quand le déterminant Z>* — ac de la forme (a , b, c) est né- gatif ou positif quarré , et qu'on a en même temps de M"^ o , les représentations du nombre M par la forme (a, b , c) sont limi- tées, et parconséquent aussi les solutions de l'équation proposée, s'il en existe. 3°. Quand b^ — ac est positif non quarré, ou qu'il est quarré, et qu'on a en même temps M=o, si le nombre M peut être représenté par la forme (a, b,c), le nombre des représentations sera infini. Mais comme il est impossible de trouver alors toutes ces ARITHMETIQUES. 217 ces représentations, et partant, d'essajer si elles donnent pour oc y y des valeurs fractionnaires ou entières , il est nécessaire d'éta- blir une règle par laquelle on puisse s'assurer, quand cela arrive, qu'il n'j a aucune représentation qui donne des valeurs entières pour X y y\ car, sans cette règle, quel que fût le nombre des repré- sentations essayées, on n'arriverait jamais à la certitude, et quand une partie des représentations donne des valeurs entières, et l'autre des Valeurs fractionnaires , il faudra savoir distinguer les premières représentations des dernières. 4^ Quand h"" — acz==.o, les formules précédentes ne déterminent pas les valeurs ^qx, y. Ainsi , dans ce cas , il faudra avoir recours à une méthode particulière. 2 17. Dans le cas où^* — ac est un nombre positif non quarré, noua avons fait voir plus haut que toutes les représentations du nombre M par la forme (a, b, c) , s'il y en a quelques-unes, peuvent être données par une ou plusieurs formules telles que Ai By Ci D étant des nombres entiers donnés, m le plus grand diviseur commun des nombres a, 2b, c, enfin t, u des nombres entiers qui satisfont à l'équation V- — (^» — ac) u"" :=. m" , Comme les valeurs de /, « peuvent être prises positivement et négativement, au lieu des formules précédentes, on peut prendre les quatre suivantes: Ill in fji jji ensorte que le nombre de toutes les formules soit quatre fois plus grand qu'auparavant , mais que u et t soient positifs , examinons donc séparément chacune de ces formules , et cherchons quelle* sont les valeurs de /, w qui donnent des valeurs entières pour x, y, La formule P^^^At^Bu), ç^^(Ci + Duy (i) donne pour x et y £e 3i5 RECHERCHES ^t -f- Ba -f- mcd — mbe Ct -\- Du -f- ritae — mbd m(b'^ — ac) ' -^ m{b'-— ae) * Or nons avons fait voir plus haut que toutes les valeurs positives de t forment une suite récurrente t, t', t", etc., et que les valeurs correspondantes de u en forment une autre z/, z/, z/, etc. j qu'en outre on pouvait toujours trouver un nombre fjL tel qu'on eût, suivant un module donné quelconque , r ^t°, t ^t , r ^t , etc., u'^^u°, u ^u , u ^u , etc. Prenons pour ce module le nombre m(lf'^—^ac), et désignons par x°,j° les valeurs qui résultent pour a:,y- de la substitution de t°, ii°; par x% y celles qui résultent de t', ii, etc. On voit alors sans peine que six'^''^, y*^ sont des nombres entiers^ et que /* soit con- venablement déterminé , les valeurs x ^, y ^ j x \ y , etc.j X y y seront des nombres entiers, et qu au contraire si x" ou y" est iractionnaire x , ou y le sera aussi. Il suit de là que si l'on cherche les valeurs de x, y de- puis x^, y° jusqu'à :i;^ ^ > J^ > et qu'aucunes d'elles ne soient entières, la formule (i) ne donnera absolument aucunes valeurs entières pour a;, j. Mais si l'on en trouve quelques-unes, par exemple, x , y ; x , y , etc., toutes les valeurs entières données par la formule (i) seront celles âe x, y , dont les accens seront y-^k//,, /-\-k//,, etc., k désignant tous les nombres entiers po* sitifs, j compris zéro. Les autres formules dans lesquelles sont contenues les valeurs de Pj q doivent être traitées absolument de la même manière, et s'il arrivait que d'aucune d'elles on n'obtînt des valeurs entières pour X, y , l'équation proposée ne serait pas résoluble en nombres entiers*, mais toutes les fois qu'elle le sera, les solutions entières pourront s'obtenir par ce que nous venons d'exposer. 2x8. Quand Z»* — ac est un quarré et qu'on a Mz=:o , toutes les valeurs de ;7, q sont comprises sous deux formules de cette forme j)z=^Azy q^Bzy pt=:iA'z, q^^B'z où z est un nombre entier quelconque, A^ B , A% B' , des nombres ARITHMÉTIQUES. 219 entiers premiers entre eux-, c'est-à-dire A avec B^ ^'avec JB' ( n' 212). Il en résulte Az-^cd — he Bz-\-ae — bd . . ■^■~" b-'-ac ' y^ b^—ac ^^^' A'z-^cd — be B'z-\-a&'—bd b-" — ac * *' "" b^-^ac Mais comme c€s formules peuTent conduire a des valeurs frac- tionnaires pour X , y y k moins que l'on n'ait h^ — û<7= i; il sera utile de distinguer les valeurs de z qui rendent xei y entiers dans chaque formule; d'ailleurs il suffira de considérer la première, parceque la même méthode s'appliquera à la seconde. Puisque A ei B sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres A^y ^, , tels qu'on ait AA^-\-BB^=.\\ substi- tuant A ç,i B leurs valeurs tirées de la formule (i), ou a {A^x 4- B^y) {b^^ac) ^ z -f A,{cd— he) +B^{ae—bd) ; d'où il suit que les valeurs de z qui rendront x, y entiers, doivent être congrues à A^{be — cd)-{--B ^{hd — ae), suivant le module h'' — aCy ou être contenues sous la formule (Z>" — ac)z' -^A^{be — cd)-\-B^(bd — ce), z étant un nombre entier quelconque. On obtient facilement par là^ au lieu de la formule (i), la formule suivante: A{bd-ae)-B{be-cd) A(bd-ae)^B{he-cd) . ^^^+B,. ^-^^ , y^Bz^A,. ^.-^^ , qui donnera évidemment des valeurs entières pour toutes les va- leurs de z' , si elle en donne pour une seule. Or il suffit pour cela, qu'on ait A{hd — ae)^B{be — ad^ (mod. Z>* — ac). Si cette con- gruence n'a pas lieu, la formule (i) ne donnera pas de valeurs entières. On traitera de même la formule (a). 2ig. Quand Z>* — acz=.Oy la forme «jc^'s^xz-f-'^/* peut se chan- ger en 772(ota:-f-/3r)% où m, cl, /3 sont des entiers (n" 2i5). Soit fait aLX^^y=.z f l'équation proposée devient T/zz' -\-idx-\- 2ey -{-/'==■ o ) éliminant entre cette équation et l'équation (Xvr+/3/ = z, on a /3mz'-|-2ez4-,5/ Amz^-\-cidz-^a.f Or il est clair que ces valeurs satisferont à l'équation , en donnant 220 RECHERCHES à z une valenr quelconque , à moins qu'on n'ait cte=:l^<^, cas que nous considérerons tout-à-l'heure à partj il ne reste donc qu'à faire voir quelles doivent être les valeurs de z, pour qu'il en ré- sulte des valeurs entières de o) et de y. Comme ajr-f-/3y = z, on ne peut prendre pour zque des nombres entiers; en outre, il est évident que si une valeur de z rend a: et y entiers^ la même chose aura lieu pour toutes les valeurs de z congrues à celle-là, suivant le module 2{xe — (2>(/). Si donc on substitue pour z tous les ijombres entiers depuis o jusqu'à db2(x^ — /3./) — j, suivant que oLe — j^d sera positif ou négatif, et qu'aucune de ces substitutions ne rende x et y entiers,, l'équa- tion proposée ne sera pas résoluble en nombres entiers; mais si quelques-unes de ces valeurs ont cette propriété , supposons que cesoient les valeurs ^, ^', ^', etc., on aura toutes les solutions, en prenant z = ^Çae — (^d)k -{- ^ ,z = 2(ae — /3t/)A-|-^', etc., k étant un entier quelconque. Les valeurs de z, C^ ^'> etc. peuvent aussi par la solution se trouver des congruences du second degré» ( Voyez Section IV. ) 220. Pour le cas où a ARITHMÉTIQUES. 521 ^=:i5/ + 6, on en tire l'équation p^-{-8pÇ'-^ç^ r=i — 54o. Or on trouve que toutes les solutions de cette équation sont renfer- mées dans les quatre formules pz=: 6t , ^= — 24t — 90Z/J p= 6t, ç^=z — 24i~\-gou, pz= — 61, ç= 2^1 — 9oir, p= — 6t, ^= 24^+90;/, i, u étant des nombres indéterminés qui doivent satisfaire à l'équa- tion V — i5i/'=i^ et qui sont donnés par la formule î = l {(4+K'i5)"+(4-V/i5)"}, z^ = ^^{(4+l/i5)«-(4-i/i5)"),(n°2oo). Ainsi toutes les valeurs de x, j* seront contenues dans les formules a:=i(2f -f 3), j'=— f (8f+3oz/+2)-, 3:r=i(2i + 3), y= — i(8f— Sci/^-s) a:=i(— 2f-f-3), ^= ](8f— 3ou— 2); x=f (— 2f-f 3), ^=r i (8f+3oi/— -s) . En appliquant convenablement ce que nous avons dit plus haut, on trouvera que pour avoir des nombres entiers il faut prendre pour t , u, dans la première et la seconde formule, les valeurs qui ré- sultent en supposant x pair, et au contraire, dans la troisième et la quatrième, celles qui résultent en le supposant impair. Les solutions les plus simples sont x:==.i , — i, — ijj- = 2, o, 12, respectivement. Au reste , nous ferons remarquer que Ja solution du problème précédent peut le plus souvent s'abréger par un grand nombre d'artifices , surtout quand on en vient à l'exclusion des valeurs entières ; mais nous sommes obligés de ne pas nous y arrêter pour éviter les longueurs. 222. Comme beaucoup des choses que nous avons traitées jus- qu'ici l'ont été aussi par d'autres géomètres, nous ne pouvons passer sous silence leurs travaux. Lagrange a fait des Recherches générales sur V équivalence des formes {noui^. Mém. de VAcad, de Berlin y lyyS, ;?. 263, et lyyS, p. 323), où il prouve surtout que, pour un déterminant donné quelconque, on pey^ trouver un nombre fini de formes telles , que toute forme de même détermi- nant soit équivalente à une d'entre elles , et qne partant , toutes les formes d'un déterminant donné peuvent se distribuer par classe?. Ensuite Legendre a découvert plusieurs propriétés élégantes de cette classiEcation , mais pour ia plus grande partie par imluction^ 222 RECHERCHES et nous les danuerons plus bas avec les démonsfrations. Au reste, personne n'avait encore songé à faire la distinction de Téquiva- lence propre et impropre , dont l'usage est sensible dans les re- cherches délicates. Le fameux problème du n° 216 a été résolu complètement, pour la preuiière fois, par Lagrange (Hisù. de VAcad. de Berlin y 1767, jc>. i65 , et 1768, p. 181 ). Sa solution existe aussi, mais moins complète, dans les Supplémens à r Algèbre d'Euler. Euler lui- même avait auparavant attaqué le même sujet (^Comm. Petr, T. vi, p.iq^; Comm. jjov.T,jx, p.^\ ibid. T, xviu , p. i85)^ mais il a toujours borné sa recherche à déduire toutes les solutions d'une seule qu'il suppose connue; et d'ailleurs ses méthodes ne donnent toutes les solutions que dans un petit nombre de cas. Bien que le dernier de ces trois mémoires soit postérieur à celui dans lequel est renfermée la solution de Lagrange qui embrasse le problème dans toute sa généralité, et à cet égard ne laisse rien à désirer-, il paraît cependant qu'Euler à cette époque ne la con- naissait pas encore. Au reste , notre solution , ainsi que tout ce qui a été donné dans cette section , est fondée sur des principes tout-à-fait différons. Ce que d'autres, tels que Diophante, Fermât, etc. ont fait connaître à ce sujet, n'appartient qu'à des cas très-particuliers; aussi , comme nous avons rappelé en temps et lieu ce qui était le plus digne de mémoire , nous ne nous arrêtons pas à parler de chaque chose en particulier. Ce que nous avons dit jusqu'à présent sur les formes du second degré, ne doit être regardé que comme les premiers élémens de cette théorie. Nous avons vu le champ s'agrandir considérable- ment , en poursuivant nos recherches avec persévérance ; nous donnons dans ce qui va suivre les choses qui nous ont paru les plus dignes d'attention. Car la fertilité de ce sujet est telle , que nous sommes forcés pour abréger, de passer sous silence une grande partie de ce que nous avons pu découvrir; et une plus grande partie sans doute est encore cachée et attend de nouveaux efforts. Nous prévenons que les formes dont le déterminant = o sont excluses ARITHMÉTIQUES, :?23 ^e nos Kechercbes ^ à moins que nous n'avertissions spécialement du contraire. 225. Nous avons déjà fait voir plus haut, (n°^ lyS, ig5 , 211), qu'étant donné un nombre entier quelconque D, on pouvait assigner une suite de formes F, F' , F", etc. de déterminant/) , telles que toute forme de déterminant D soit proprement équivalente à l'une d'elles , et à une seule. Ainsi toutes les formes de déterminant donné D , dont le nombre est infini, peuvent se classer d'après ces formes , en composant la première classe de toutes les formes équivalentes à F, la seconde, de toutes les formes équivalentes kF' , etc. On pourra clioisir dans chaque classe de formes de détermi- nant D , une d'entre elles que l'on considérera comme forme Teprésentante de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la sim- plicité d'une forme {a, b, c) dépend évidemment de la grandeur des nombres a^ b , C) et on dira à Juste titre que la forme {a ^ h , c) est plus simple que la forme (a, h' , cf) , si l'on sl a <^a , b estnégatif, on prendra les formes réduites pour formes représentatives dans chaque classe j mais s'il y a deux formes ré- duites dans la même classe, elles seront opposées (n° 17^), et l'on prendra celle où le terme du milieu sera positif II. Quand D sera positif non quarré , on formera la période d'une forme réduite contenue dans la classe proposée j cette période renfermera deux formes ambiguës , ou n'en renfermera aucune (n» .87). 1°. Dans le premier cas^^ soient (^A , B , C) , C-^', B' C) ces formes ambiguës *, M , M' les résidus nÙTiima des nombres B , B' , suivant les modules A. , A! , résidus qu'on prendra positivement S ils ne sontt=0', ennn Ac= — -j — , iV = — -j, — . Cela pose, on choisira celle des deux formes ( A^ 31, — N), ( A', M', — A'),. 324 . RECHERCHES qui paraîtra la plus simple pour forme representanfe. Dans ce choix , on préférera la forme dont le terme du milieu, = o ; mais quand cela arrive dans les deux formes, ou que cela n'arrive dans aucune, on doit choisir celle dans laquelle le premier terme est le plus petit, et quand il y a égalité au signe près, celle où le premier terme est positif. 2°. Dans le second cas , on choisira dans toute la période la forme dont le premier terme est le plus petit, abstraction faite du signe , de manière cependant que si dans la même période deux formes avaient le premier terme au signe près , on préférerait celle où il est positif. Soit (A , B , C) cette forme , on en déduira, comme dans le cas précédent, une autre forme (-^, M, — N) (en prenant pour M le résidu minimum absolu de B , suivant le mo- dule ^, et en faisant iV" = — ^ — ), et on la choisira pour re-, présentante. S'il arrivait que plusieurs formes de la période eussent le même plus petit premier terme , on les traiterait toutes comme il vient d'être prescrit, et parmi les formes qui en résulteraient, on pren- drait pour représentante celle dans laquelle le terme du milieu serait le plus petit. Ainsi, par exemple, pour D = 3o5, on a entr'autres la période (17^ 4— "i7)> (— 17>^^' ^)y ( 8,11,-23), (—23,12, 7), ( 7*1^^— l)> (— 7*^2,23), (23,11,— 8), (— 8,15,17), dans laquelle on choisit d'abord la forme (7, 16,-7), ^'^^ ^'^^ tire ensuite la forme représentante (7, 2, — 4^)« III. Quand le déterminant sera un nombre quarré=^*, on cher- chera une forme réduite {A,K,o') contenue dans la classe proposée ; et %\ u4 A^, on prendra à sa place la forme (A, — 2 A", K^ o) dont le premier membre sera négatif, mais < K, Exemple. De cette manière, on distribuera en 16 classes toutes les formes de déterminant — 235, classes dont les formes repré- sentantes seront (1,0, 235), ( 2, I, 118), ( 4, I, 59), ( 4,-1, 59), (5,0, 47), (10,5, 26), (i3, 5, 20), (i5,— -5, 20), efc ARITHMÉTIQUES. 225 et huit aufres qui ne different des précédentes que par le signe des termes extrêmes : (—1,0, — 235), (-—2, i, — ii8), etc. Toutes les formes de déterminant 79 se distribuent en six classes dont les représentantes sont (i> 0,-79), (—1,0,79), (5, — 1,-26), (—3,-1,26), (—3, I, 26), (3, 1,-26), 224. Par cette classification , on sépare des autres toutes les formes qui sont proprement équivalentes *, ainsi deux formes de la même classe sont proprement équivalentes -, .tout nombre qui peut être représenté par l'une d'elles, peut l'être par l'autre -, et si un nombre M" peut être représenté par la première en donnant des valeurs premières aux indéterminées, il pourra être représenté par la seconde de la même manière, desorte même que les deux repré- sentations appartiennent à la même valeur de l'expression {/D (mod. M), Mais deux formes qui appartiennent à des classes dif- férentes, ne pourront être proprement équivalentes, et l'on ne peut pas conclure de ce qu'un nombre est représentable par l'une d'elles, qu'il le soit par l'autre ; au contraire , nous sommes en droit d'affirmer que si un nombre M peut se représenter par la première, en donnant k x,y des valeurs premières entre elles, on ne pourra pas trouver de représentations de ce nombre par l'autre forme , appartenant à la même valeur de l'expression \/Z^ (mod. M), (no^ 167, 168). Au contraire, comme il peut arriver que deux formes F, F', prises dans deux classes differentesilL, A', soient improprement équi- valentes, auquel cas toute forme de la première classe sera impro- prement équivalente à toute forme de la deuxième ; chaque forme de i^ aura son opposée dans A', et les classes K, A7, se- ront àilea opposées. Ainsi, dans le premier exemple de l'article précédent, la troisième classe des formes de déterminant — 235 est opposée à la quatrième, et la septième à la huitième ; dans le second exemple, la troisième l'est à la sixième, et la quatrième à la cinquième. Etant donc proposées deux formes prises dans des classes opposées, tout nombre qui pourra être représenté par l'une d'elles, pourra l'être aussi par l'autre. Si pour l'une la représentation a lieu par des valeurs premières, il eu serade même pour l'autre, de manière Ff 226 RECHERCHES cepenc^ant, que les représentations appartiendront à des valeurs opposées de l'expression \/D (mod. M). Au reste, les règles que nous avons données pour le choix des formes représentantes, sont établies de manière que les classes opposées obtiennent des repré- sentantes opposées. Enfin , il y a aussi des classes qui sont elles-mêmes leurs op- posées; savoir, si une forme et son opposée sont contenues dans la même classe, on voit facilement que toutes les formes de cette classe sont équivalentes entre elles, tant proprement qu'impropre- .^ ment, et qu'elles ont toujours leurs opposées dans la même classe. Toute classe jouira de cette propriété, lorsqu'elle contiendra une forme ambiguë, et réciproquement on trouvera une forme ambi- guë dans toute classe qui est elle-même son opposée (n^** i63, i65); aussi cette classe s'appellera ambiguë'. Ainsi, parmi les classes de déterminant — 255, on trouve huit ambiguës^ dont les représen- tantes sont : ( i,o, 235), C 2,1, ii8), ( 5,0, 4j),( 10,5, 26), (—1, G, --235), (—2, I, — n8), (—5, o, —47)^ (— lo, 5, —26). Parmi les classes de déterminant 79, il y en a deux: (i, o, —79), (—1, o, 79). Au reste, si l'on détermine les formes représentantes d'après les règles que nous avons données, on trouvera saus peine les classes ambiguës; pour le déterminant positif non quarré, on trouvera nécessairement des représentantes ambiguës pour des classes qui le sont (u° 194)', pour le déterminant négatif, la forme représen- tante d'une classe ambiguë sera elle-même ambiguë, ou bien ses termes, extrêmes seront égaux (n° 172). Enfin , pour les formes de déterminant positif quarré, il est aisé de juger (n° 210) si la forme représentante est improprement équivalente à elle-même^ et par- tant, si la classe est ambiguë. 225. Nous avons déjà fait voir plus haut (n" 175) que dans une forme (a, b, c) de déterminant négatif, les termes extrêmes doivent avoir le même signe, non-seulement entre eux, mais encore, que les termes extrêmes de toute autre forme qui lui est équivalente. Si a, c sont positifs, nous appellerons positit^e la forme {a, b, c), et la classe qui la renferme^ et qui ne contiendra que des formes ARITHMÉTIQUES. 227 positives, s'appellera classe positii^'e. Au contraire, û. a , c sont négatifs, (a y b, c) sera une forme négative, et elle sera conte- nue dans une classe négative. Les nombres négatifs ne peuvent être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs par une forme négative. Si (a, b , c) est la représentante d'une certaine classe, la forme ( — a, b, — c) sera celle de la classe négative, et il suit de là qu'il y a autant de classes positives que de négatives, et que les dernières seront déterminées, lorsque les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent faci- lement aux classes négatives. Au reste, cette distinction n'a lieu que pour les formes de dé- terminant négatif; les nombres positifs et négatifs peuvent être représentés également par des formes quelconques de déterminant positif, ensorte qu'il n'est pas rare que les deux formes (a, b, c'), ( — Œj bf — c) doivent être rapportées à la même classe. 226. Nous appelons forme prunîtwe une forme quelconque {a, b y c) y lorsque les nombres a , b , c n'ont pas de diviseur com- mun, autrement elle s'appellera dérwée y de manière que la forme (ji y by c) sera dite dérh'ee de la forme primitive ( — , —, — )>' si m est le plus grand commun diviseur des nombres a y b , c. Il suit de là que toute forme sera primitive, si son déterminant n'esÉ divisible par aucun quarré (i excepté). Or, par le n" 161, il est clair que s'il y a une forme primitive dans une classe donnée, toutes les formes de cette classe le seront également, et on l'ap- pellera classe primitive. Il est d'ailleurs évident que si une forme F de déterminant D est dérivée d'une ferme primitive/' de déterminant — ^, et que K ei k soient respectivement les classes qui renferment les formes Fyf, toutes les formes de K seront dérivées de la classe Aj ainsi la classe K sera dite dériuée de la classe primitii^e k. Si (a, by c) est une forme primitive, et que a y c ne soient pas tous les deux pairs, on voit facilement que a y 2b, c n'aurontpas non plus de diviseur commun. Dans ce cas, la forme {a, b, c) sera 2 228 RECHERCHES dite proprement primitli^e f ou plus sim^Xemeni forme propre; mais siiZ, c sont pairs, les nombres^, 2b, c auront 2 pour com- mun et même pour plus grand commun diviseur -, alors la forme (tz, b , c') %QXd^ improprement primitive, ou plus simplement z/n- propre (*). Dans ce cas, b sera nécessairement impair, car autre- ment la forme (tz, b, c) ne serait pas primitive-, ainsi l'on aura ^*^i (mod. 4)^ et partant, puisqne ac est divisible par 4> b''—-ac^i (mod. 4) ' les formes impropres auront donc des dé- terminans de la forme 4^ + 1 ou — (4/z-|-3), suivant qu'ils se- ront positifs ou négatifs. Mais, par le n° 161, il est clair que s*il y a dans une classe une forme proprement primitive, toutes les autres le seront, et que de même, une classe qui renferme une forme improprement primitive, n'en renfermera que de cette espèce. Ainsi nous appellerons cette classe, dans le premier cas, propre- ment primitii^e ou propre , et dans le second cas , improprement primitive ou impropre. Par exemple, parmi les classes positives de déterminant — 235, il y en a six propres, savoir, celles dont les représentantes sont : (i, o, 235), (4, 1, 59), (4, —I, 59), (5, o, 47), (i3, 5, 20}, (i3^,-— 5, 20), et autant parmi les classes négatives; il y en a deux impropres de chaque espèce. Quant aux classes de déterminant 79, elles sont toutes propres, puisque 79 est de la forme 4^-4-3. Si la forme (a, b, c) est dérivée de la forme primitive ( — , —, — j; cette dernière peut être propre ou impropre. Dans le premier cas m, dans le second 2m, sera le plus grand com- mun diviseur des nombres a, 2b , c, ce qui fait entendre la dis- tinction entre une forme dérivée dune forme proprement primi' îive y et une forme dérivée d'une forme improprement primitive, et partant (n" 161) entre une classe dérivée d'une classe prO' prement primitive , et une classe dérivée d'une classe impro- prement primitive, (*) Nous ne nous sommes servis de ces termes de propre et d'impropre qu'à défaut d'autres plus convenables , car ils n'ont aucun rapport avec ceux que »oas avons employés depuis le n" 157. Aoi reste, il n'y a pas à craindre qu'où puiwe les confondre. I ARITHMÉTIQUES. 229 Par cette distinction nous avons trouvé le principe qui nous servira à distribuer par ordres toutes les classes de formes de dé- terminant dt)nné. Nous rangerons dans le même ordre les deux formes (a, hy 0")^ (a, b' , c'), si l'on a à-la-fois le même plus grand diviseur com- mun pour a, b, c, a', b' , d , pour a, :ih ^ c et a' ^ iib\ c'\ mais si l'une ou l'autre de ces conditions n'a pas lieu, les classes se rapporteront à des ordres djfférens. Il suit de là immédiatement, que les classes proprement primitives composent un ordre , et toutes les classes improprement primitives, un autre. Si nv" est le quarré qui divise le déterminant D , les classes dérivées des classes proprement primitives de déterminant D composeront un ordre particulier, et les classes dérivées des classes improprement primitives de déterminant — en composeront un autre. Si par hasard D n'est divisible par aucun quarré (excepté 1), il n'y aura pas d'ordres de classes dérivées, et partant il n'y aura qu'un ordre, lorsque 1)^2 ou 3 (mod.4)> celui des classes proprement primitives, ou deux, lorsque Z?^i (mod. 4)> celui des classes proprement primitives, et celui des classes improprement pri- mitives. On déduit sans peine la règle suivante par le calcul des com- maisons (n^ 17). En supposant Z) = D'. 2 '^ .a .b .c ^ , etc. , desorte que I>' ne renferme aucun facteur quarré, le nombre des ordres sera (ft+i) (a + i) (/3-f.i) (^-f-i). . .si i>' = 2 ou =3 (mod. 4); ou (At-|-2)(t-|-i)(/3H- i)(;.-f.i). . .si Z)'=i (mod. 4). Exemple V\ Si £)=45=5.3% on aura six classes dont les re- présentantes sont : (1, o, —45), (—1, o, 45), (2, 1, —22), (—2, 1, 22), (3, o, —15), (S, 3, —6) , et elles peuvent se distribuer en quatre ordres, 1°. (i, 0,-45), (—1,0,45), propres; 2^ (2, 1,-22), (—2, i, 22), impropres-, 3». la classe (3, o, — 15) dérivée d'une classe propre de déterminant 5 ; 4°. la classe (6, 3, —6) dérivée d'une classe impropre de déterminant 5. Exemple II, Les classes positives de déterminant — 99=— 1 1 . 5* 25o RECHERCHES peuvent se disfrlbuer en quatre ordres, en désignant les classes par leurs représentantes. Le premier contient les classes propres suivantes : Of o, 99)> (4 i^ 35), (4, —i, 25), (5, I, 2o), (5, —i, 20), (9, o, ii); Le deuxième, les classes impropres: (2, i, 5o), (10, i, 10); ; Le troisième, les classes dérivées de classes propres de déter- minant-- 11 : (3, o, 33), (g, 3, 12), (9,-3, 12) j Le quatrième, une classe dérivée d'une impropre de détermi- nant — II : (6, 3, 18). On distribuera par ordre, de la même manière^ les classes né- gatives de même déterminant. On voit sans peine que les classes opposées se rapportent au même ordre, 22J. Parmi tousles ordres, celui des classes proprement primi- tives mérite la plus grande attention; car toutes les classes dérivées tirent leur origine de certaines classes primitives de déterminant moindre, de la considération desquelles suit le plus souvent de soi-même ce qui regarde les premières. Or nous ferons voir plus bas qu'une classe improprement primitive quelconque répond tou- jours à une ou à trois classes proprement primitives, et l'on sait que les classes négatives répondant toujours à certaines classes positives, on pourra ne pas s'en occuper. Afin d'examiner plus à fond la nature des classes proprement primitives, nous expliquerons avant tout une certaine différence essentielle, d'après laquelle un ordre entier de classes peut se subdiviser en genres, et comme nous n'avons pas encore parlé de cet important sujet, il faudra prendre la chose dès l'origine. 228. Théorème. Il y a une infinité de nombres non diul-^ sihles par un nombre premier donné p quel qu'il soit, qui peuvent être représentés par une forme proprement primitii^e F. Soit Fz=:ax'^"\'2bxy'\^cy'', il est évident que p ne divisera pas à-la-fois les nombres a, 2b, c. Or, quand a n*est pas divisible par p y 'A suffira de donner à x une valeur non-divisible par p , et à/ une valeur divisible. Quand c n'est pas divisible par p » ARITHMÉTIQUES. ^Si on pourra donner ky une valeur non-divisible et à a; une valeur divisible j enfin, quand a et c sont divisibles par p, et que partant 2b ne l'est pas, on pourra donner à a; et à j des valeurs non- divisibles. Dans ces trois cas, il est évident que la valeur de la forme F ne sera pas divisible par p. Le théorème a lieu également pour les formes improprement primitives, pourvu qu'on n'ait pas/? = 2, Comme plusieurs conditions de celte espèce peuvent exister à-la-fois, de manière qu'un nombre soit divisible par de certains nombres premiers, et qu'il ne soit pas divisible par d'autres, on voit facilement que les nombres x, y peuvent être déterminés d'une infinité de manières qui rendent F non-divisible par tant de nombres premiers qu'on voudra (excepté 2 lorsque la forme est improprement primitive). Ainsi le théorème peut être énoncé plus généralement ainsi qu'il suit : On peut représenter par une forme primitipe quelconque, une infinité de nombres premiers à un nombre donné quel- conque ( impair , quand la forme est improprement primitive), 229. Théorème. S oit Y une forme primiti^^e de déterminant J}, p un nombre premier qui divise D; alors tous les nombres no?'- divisibles par p, qui peuvent être représentés par la forme F, seront tous résidus quadratiques de p, ou tous non-résidus. Soit Fx=^{a, b, c); m, m' deux nombres quelconques non-divi- sibles ^ox p, et qui peuvent être représentés par la forme F , on aura mz=ag'^'\'2bgh-i-ch', m':=:ag''+2bg'h''Jrch'', et partant mm' = {agg' + h (gh' +g'h) + chh' y — I)(gh^ — hg'y j donc mm' sera congru à un quarré, suivant le module D , et parconséquent suivant le module ;t7, c'est-à-dire que 772/72' est ré- sidu quadratique de p. Il suit de là que m et 77/ seront tous deux résidus ou non-résidus (n° 98). On prouve de la même manière, que si D est divisible par 4, les nombres impairs qui pcuvejit être représentés par F, a52 RECHERCHES sont tons =i, ou tous ^3 j en effet, le produit de deux d'entre eux sera résidu de 4* et partant ^i (mod. 4); parconséquent ils seront tous les deux ^i , ou tous les deux ^3. Enfin , quand D est divisible par 8 , le produit de nombres ira- pairs qui peuvent être représentés par F , est résidu de 8, et par- tant ^i (mod. 8)', ainsi dans ce cas les nombres impairs qui peuvent être représentés par F sont tous ^i, ou tous ^3, ou tous ^5, ou tous ^7 (mod. 8). Par exemple, le nombre lo, qui est non-résidu de 7, pouvant être représenté par la forme (10, 3, 17), tous les nombres non- divisibles par 7 qui pourront être représentés par cette forme se- ront non-résidus de 7. Comme— -3 peut être représenté par la forme ( — 5, i, 49) ^^ qu'il est ^i (mod, 4)^ tous les nombres im- pairs qui pourront être représentés par cette forme seront aussi ^i (mod. 4). Au reste, s'il était nécessaire pour notre objet, nous pourrions démontrer facilement que les nombres représentables par la forme F n'ont pas ainsi une relation fixe à l'égard d'un nombre premier qui ne divise pas D , et que l'on peut représenter par la forme F des résidus ou non-résidus de ce nombre premier indifféremment. Mais quant aux nombres 4 et 8, il j a dans les autres cas quelque chose d'analogue que nous ne pouvons pas passer sous silence. I. Quand le déterminant D d'une forme -primitive F est^S (mod. 4) , i^s nombres impairs représentahles par F seront tous ^\ y ou tous ^3 (jnod.l\). Soient, en effet, m y m' deux nombres représentables par F j on pourra , comme ci-dessus, ramener leur produit à la forme p^ — Z)^% et les deux nombres m, iri étant impairs, l'un des deux nombres p y q sera pair et l'autre impair, et partant l'un des quarrés />*, 9» sera ^o, l'autre ^i (mod. 4)*> d'où l'on conclut aisément que ^»— . j0^»^i (mod. 4)> et parconséquent /7Z, rd tous deux ^i ou tous deux ^3 (mod. 4)' Ainsi , par exemple , par la forme (10, 5, 17) on ne peut représenter d'autres nombres impairs que ceux qui sont de la forme 4^-f-i' II. Quand le déterminant D d'une forme primitive F est ^2 (mod» 8) , tous les nombres impairs représentables par F seront ou, ARITHMÉTIQUES. :>53 eu enpanle^i et en partie- '^ , ou en partie =5 et en par- tie ^5 {mod, 8). '^ Soient m, /;.' deux nombres représentables par F-, leur produit peut être ramené a la forme p^-^D^, si ,. et ^' sont impairs, P do;t être puisque D est pair, et parconséquent on a «^ = i (mod. 8); orsi^ est pair, 9^ sera =0, ou ~4 (mod.S); s'il est impair, q^ sera-i (mod. 8); ainsi Z)^^ ne peut être que =0 ou ^2. Il suit de là que;.^-Z^,^=...,,'^o ou ^7, et "^ue SI 77Z:=. i^u ~7, on aura aussi //z'si ou =7 ; si 77z~3 ou =5, ^ sera =5 ou =5. Par exemple, tous les nombres représen- tables par la forme (3, t, 5) sont =3 ou -5 (mod.8), et au- cun nombre de la forme U^^ ou ^n-^^ ne peut être repré- sente par la forme (3, i, 5). ^ III. Ç«^«^ /^ déterminant D d'une forme primitii^e F ^^^ =6 (7720^8), /^^ Tzo/TzZ^re^ z/7z;7.zz>^ ^z,/ ;t7c.z.,ro,z^ être représentés par i^ ^^rc^/z/ c?.7 en partie ^x et en partie =3, (mod, 8), c?z. ^7z partie ~5 et en partie —7 (mod. 8). ChacLin pourra faire la démonstration, qui est absolument sem- blable a la précédente. Par exemple, par la forme (5, i, 7) on ne pourra représenter que des nombres qui sont =5 ou =7 (mod.8). 23.0. Ainsi tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme primitive donnée de déterminant D, ont une relation determmee avec les différens diviseurs premiers deZ>, par les- quels ils ne sont pas divisibles, et les nombres impairs qui peuvent être représentés par F, ont, dans certains cas, une relation avec les nombres 4 et 8, savoir, avec 4, toutes les fois que D~o ou =5 (mod. 4), et avec 8, toutes les fois que D^o, 011=2, ou —6 (mod.8). Cependant on pourra négliger la relation qui a lieu avec 4, lorsque D sera divisible par 8^ car cette relation est contenue dans celles qui ont lien avec 8 . Nous appellerons carac- tère ou caractère particulier cette espèce de relation, et nous l'ex- primerons de la manière suivante. Quand il n'y a que les résidus du nombre premier;? qui peuvent être représentés parla formel, nous lui attribuerons le caractère Il.p, et dans le cas contraire, le ^8 2^4 RECHERCHES caractère N.p\ de même nous écrirons 1,4^ quand on ne pourra repré- senter par la forme F d'autres nombres impairs que ceux qui sont ^i (mod. 4)^ d'où l'on voit clairement quels sont les caractères exprimés par les signes 3,4; 1,8; Z,S; 5,B; 7,8. Enfin quand on ne pourra représenter que des nombres qui sont ^i ou ^7 (mod. 8), nous attribuerons à la forme le caractère I et 7,8, d'où l'on voit ce que signifient les caractères 3 et 5,^) I et 3,8j 5 et 7,8. Les difîérens caractères d'une forme primitive donnée {a, b, c) de déterminant D peuvent se connaître au moins par un des nombres a, c qui sont évidemment représentables par cette forme. En effet , foutes les fois qu'un nombre premier p est diviseur de D, il y aura au moins un des nombres UfC qui ne sera pas divisible par p , puisqu'on a b"" := D -\- ac , et que d'après cela b'^ et parconséquent b sera divisible par tout diviseur premier de D et de l'un des nombres a, c, et que si tous les deux l'étaient, il s'ensuivTait que la forme (a, b, c) ne serait pas primitive. De même, dans les cas où la forme (a, b, c) a une relation détermi- née avec les nombres 4 et 8, il j aura au moins un des nombres a, c impair et dont on pourra tirer la relation. Par exemple , le caractère de la forme (7, o, ^3} à l'égard du nombre 2"^, se conclut du nombre 7, et il est iV.23, et à l'égard du nombre 7, il se conclut du nombre 23, et il est R-j', enfin le caractère de cette forme , à l'égard du nombre 4, P^ut se dé- duire du nombre 7 et du nombre 23. Comme tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme F contenue dans une classe K, peuvent l'être aussi par toute autre forme de la même classe, il est évident que les diffé- rens caractères de la forme F appartiennent aussi à toutes les autres formes de cette classe. Ainsi les caractères d'une forme primitive quelconque se connaissent par leur représentante. Les classes opposées ont toujours tous les mêmes caractères. 25i. L'ensemble des caractères particuliers d'une forme ou ,d'u»e classe donnée constitue le caractère complet de cette forme ARITHMÉTIQUES. 235 ou de cette classe. Ainsi, par exemple, le caractère de la forme (lo, 5, 17), ou celui de toute la classe qu'elle représente, est 1,4-, iV.7; iV.23. De la même manière, le caractère complet de la forme (7, i, —17) sera 7,8-, i?.3; N.5: car le caractère particu- lier de la forme 3,4 est compris dans le caractère 7,8. De là nous tirons une subdivision de tout l'ordre des classes proprement pri- mitives (positives, quand le déterminant est négatif) d'un déter- minant donné en plusieurs genres, en rapportant au même genre toutes les classes qui ont le même caractère complet, et à des genres difFérens toutes celles qui ont différens caractères complets. Nous attribuerons à ces genres les caractères complets des classes qui y sont contenues. Par exemple, pour le déterminant — 161, il y a seize classes positives proprement primitives, qui peuventse distribuer en quatre genres, de la manière suivante ; Caractère, | Formes représentantes des classes, 1,4-, i?.7;i2.23. j(i,o, 161), (2, i,8i),( 9, i, 18), ( 9,-1,18) i,4jiV,7îiV.23.. 3,4-,i?.7jiV.23.. 3,4jiV.7ji?.23.. (5, 2, 33), (5, —2, 33), (10, 3, 17), (10, —3, 17) (7,0, 23), (11, 2, i5),(ii,— 2, i5), (14, 7, i5) (3, I, 54), (3,-1, 54), ( 6, I, 27), ( 6,-1, 27). On peut faire les remarques suivantes sur le nombre des ca- ractères complets difFérens. I. Quand le déterminant D est divisible par 8, à l'égard du nombre 8 il peut y avoir quatre caractères particuliers difFérens ; le nombre 4 11e donne aucun caractère particulier (n° précéd.). En outre, à l'égard de chacun des diviseurs impairs et premiers de Z), il peut j avoir deux caractères, ainsi, si leur nombre est m y il j a 2'"-^* caractères complets dij0férens, en faisant 77z==o toutes les fois que D est une puissance de 2. II. Quand D n'est pas divisible par 8, mais par 4 et en outre par 771 nombres premiers impairs, il y aura 2"»+' caractères com- plets difFérens. III. Quand D est pair, mais non divisible par 4, il sera ^2 ou ^6 (mod. 8)j dans le premier cas, on aura à l'égard du nombre 8, savoir^ i et 7,8) 3 et 5fi, et autant dans le second. 256 RECHERCHES Si donc Pon suppose 772 diviseurs premiers impairs, il y aura 2m-Hi caractères complets. ly. Quand D est impair, il sera ^i ou ^3 (mod. 4). Le ca- ractère du premier cas n'entre pas dans le caractère complet. Dans le second cas, il j a à l'égard de 4 deux caractères. Ainsi m étant le même que ci-dessus , il y aura dans le premier cas 2'" , dans le second 2'"'^' caractères complets. Mais il faut bien remarquer qu'il ne suit pas de là qu'on ait autant de genres différens que de caractères complets possibles. Dans l'exemple précédent, le nombre des genres est moitié de celui des caractères, et il n'y a pas de classes positives qui aient pour caractère 1,4-, i2.7-, 7V.o5, ou i,4j ^.7•, iV.25, ou 5^4; -^'7? ^.23, ou 3,4j ^^-75 i2.23. Nous traiterons plus bas avec détail ce sujet important. Comme la forme (i, o, — U) est évidemment la plus simple des formes de déterminant D , nous lui donnerons le nom de forme principale , à la classe dans laquelle elle est contenue, celui de classe principale y et enfin au genre auquel cette classe appartient, celui de ^enre principal. Ainsi il faut bien distinguer la forme principale, de la forme d'une classe principale et de la forme d'un genre principal, ainsi qu'une classe principale et nne classe d'un genre principal. Nous nous servirons toujours de ces dénominations , même quand il arriverait que pour un certain déterminant il n'y eût pas d'autre classe que la classe principale, ou pas d'autre genre que le genre principal, comme cela a lieu souvent dans le cas où D est un nombre positif de la forme 4'^-f-i» 232. Quoique ce qui a été expliqué sur les caractères des formes l'ait été surtout dans le dessein d'en déduire la subdivi- sion en genres de l'ordre entier des classes positives proprement primitives, rien n'empêche qu'on ne l'applique aux formes et aux classes négatives ou improprement primitives, et qu'on ne subdi- vise en genres, tant l'ordre proprement primitif positif ou néga- tif, que l'ordre improprement primitif positif ou négatif. ARITHMÉTIQUES. riZ. Aiusi^ par exemple, lorsqu'on a partagé en deux genres l'ordre proprement primitif des formes de déterminant i45 R'^\R.i^ (i, o, — 145), (5, 0,-29) -^•5; ^-^9 (3, I, -48), (3, ~i, -48); l'ordre improprement positif peut se subdiviser de même eu deux genres , i^.5j i?.29 N.S-, N.2g (4, I, —56), (4, _i^ _56) (2, I, —72), (10, 5, —12) ou, de même que les classes positives des formes de déterminant — 12986 distribuent eu quatre genres. i,4j R.S-j R./^o i,4j ^^3; .V.43.... 5,4- R.5; N.45,.,. 3,45 ^.5> /?.43.... (i, o, 129), (10, i^ i5), (10, — .1, i3) (2, I. 65), ( 5, I, 26), ( 5, —i, 26) (P> o, 45), ( 7, 2, 19), ( 7, —2, 19) (^. 5, 23), (11, 5, i4), (il, -5, i4), les classes négatives se partagent aussi en quatre ordres. 3,4jiV^35iV.43... 5,4, R, 3, R. 45... i,4;iV.3-iR.43... 1,4-, i?.3;iV.43... C—^^ 0^ —129), (—10, I, — 13), (—10, —I, «.i3) (—2, 1, — 65), (— 5, I, —26), (— 5, -I, —26) (—3, G, — 43), (— 7, 2, —19), (— 7, _i, _ig^ (-6, 3,— 23), (-11, 5, — 14), (—11,-5, -i4). Mais puisque le sjstème des classes négatives se trouve toujours SI semblable à celui des classes positives, il semble qu'il est le plus souvent inutile de les considérer séparément. Quaut àPordre improprement primitif, nous enseignerons plus bas à le réduire a l'ordre proprement primitif. Pour la subdivision des ordres dérivés, il n'est pas nécessaire de donner de nouvelles règles^ puisque chaque ordre dérivé tirant son ongme de quelque ordre primitif de déterminant moindre , a subdivision d'un ordre dérivé suit nalureliement de celle de l'ordre primitif dont il provient. 233. Si une forme primitive F=:(a, h, c) est telle que Pou puisse^ trouver deux nombres g, h pour lesquels on ait E,^=a , ^ii^b, h'~c, suivant un module donné m, ou aura 238 RECHERCHES ~ (gx~{-hj)'^ax*-\-2ba:y-^cj'- (mod, fn), et partant on peut dire que la forme i^est résidu de ttz, et que hx-\-hy est la va- leur de l'expression \/ (ax"^ -\-2bxy -{- cy''^ (mod. 7Ji) , ce que nous exprimerons plus simplement en écrivant que (g, h) est une va- leur de y/ F (mod. 772); plus généralement, si un nombre M pre- mier avec 771 est tel qu'on ait ^''e^ Ma, gh^^ Mb, h^E^Mc (incd.m), nous dirons que iJ/i^ est résidu de 772 et (g, h)=\/MF (mod. 771). Ainsi, par exemple, la forme (3, i, 54) est résidu quadralicpie de 25, et (j, 10) est la valeur de V^(3, i, 54) (mod. w). De même (2, — 4) est la valeur de l'expression y'5(io, 3, 17) (mod. 23). On verra plus bas l'usage de ces expressions) ici nous ferons les remarques suivantes : 1°. Si 3J(a, b, c) est résidu quadratique de 7n, ?7i divisera lé déterminant delà forme (a, b, c), en efl'et^ puisqu'on a g^^aM, gh^bM, h" ^cM (mod. m), on en tire l^M^ — acM'' = (Z>* — ac)M^ = o (mod . tu). Mais comme M est premier avec m, il s'ensuit donc que b'^-^ac est divisible par 771. 2°. Si M(a , b, c) est résidu de îtî , et que m soit un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier, p ', par exemple, le caractère particulier de la forme (a, b, c), à l'égard du nombre p, sera R.p ou N.p , suivant que M sera résidu ou non-résidu de p. En effet, aM et cM sont résidus de p , Gi il j a au moins un des nombres a, c qui n'est pas divisible par p (n" 23o) j donc si 71/ est résidu ou non-résidu, un des deux nombres fl et c le sera aussi. De même, si toutes choses d'ailleurs égales, ^==.4^ ^^ carac- tère particulier de la forme (a, b, c) sera 1,4 ou 3,4» suivant que l'on aura M^i ou ^3 (mod. 4), et si 77z = 8 ou une plus haute puissance de 2, le caractère particulier de la forme (a, b, c) sera 1,8; 3,8 j 5,8 j 7,8, suivant que M^i', 3j 5j 7 (mod. 8). 3'. Réciproquement si m est un nombre premier ou une puis- sance d'un nombre premier "^p qui divise Z>* — ac, et que M soit résidu ou non-résidu de p , suivant que le caractère par- ARITHMÉTIQUES. 259 tîculier de la forme {d,b, c), à l'égard du nombre p, estR.p ou N.p respectivement, M(a, b, c) sera résidu de m. En effet, quand a n'est pas divisible par p, aM sera résidu de/7, et par- tant de 771 lui-même j si donc g est une valeur de l'expression \/aM (^mo(\. ni) et que h soit une valeur de -^ (mod. 771) , on aura g'^aM y ah^^bg , et partant agh^bg'^abM et gh^bM-, enfin ah^~bgh~b^M=b^M—'(b''-'ac)M~acM, d'où h'^—cM; donc (^, /z) est une valeur de l'expression \/(ci, b, c)M. Mais quand a est divisible par p , comme alors c ne Test sûrement pas, on voit qu'on arrivera au même résultat, eu prenant hh h= }/cM (mo(\.77i) et gz=. — (mod. ttz). On démontre de la même manière, que si 772=4, qu'il divise Z>* — ac j et qu'on prenne le nombre iLT^i ou ^5, suivant que le caractère particulier de la forme est 1,4 ou 3,4^ M(^a, b, c) sera résidu de 711, et que 77z=8 ou une plus haute puissance de 2, par laquelle b"" — ac soit divisible, et que l'on prenne il/^ i j 3; 5; 7 (mod. 8, suivant que le caractère particulier de la forme le demande, M(^a, b, c) sera résidu de 772. 4". Si le déterminant de la forme {a, b, c) est :==D , et que M(a, b j c) soit résidu de D, tous les caractères particuliers de la forme, tant à l'égard des diviseurs premiers de Z) , qu'à l'égard des nombres 4 ^^t 8, s'ils sont diviseurs de Z), peuvent se connaître sur-le-champ par le nombre M, Ainsi, par exemple, comme 3(20, 10, 27) est résidu de 44^^ c'est-à-dire que (t5o, — 9) est une valeur de l'expression v/3(20, 10, 27) (mod. 44^) ) ^^ qu'on a 5N.5 et 3i?.ii; les caractères de la forme (20, 10, 27) sont 5,8; N.5'j R.ii. Les caractères relatifs à 4 et à 8, toutes les fois que ces nombres ne divisent pas D , sont les seuls qui ne dé- pendent pas nécessairement du nombre M. 5\ Réciproquement, si le nombre ilZ premier avec Z> renferme tous les caractères particuliers de la forme (a, b , c) excepté ceux relatifs à 2 et à 8, quand ces nombres ne divisent pas £), MÇa, b, c) sera résidu de D. En effet, par ce qui a été dit (3%), il est clair qu'en mettant D sous la forme ±:^*, B , & ,,,A,B, C, etc.. 24o RECHERCHES étant des nombres premiers différens, M(a, h, c) sera résidu de chacun des nombres A , B , C , etc. 3 si donc la valeur de yM{a, by c) (mod. J") est {G, G'); que y'Mia, b, c) (mod. B^) soit (^, H'), que /il/(a, h, c) (mod. C^) soit (/:, V) , etc. et que les nombres g, h soient déterminés de manière qu'on ait g^G , H j L, etc., li^G' , H' ^ L' , etc., suivant les modules A y B , C , etc. Respectivement (if Z2) , on verra facilement que l'on aura g^^aM, gh^^bM, W^^cM , suivant chacun des modules A , B , C j çt parconséqnent suivant le module D , qui est leur produit. 6^ Pour toutes ces raisons, les nombres tels que 31, qu'on peut trouver sans peine, par ce que nous avons dit (5".), dès qu'on connaît les caractères particuliers de la forme, se nommera nombre cardctérlstique. On trouve sans peine les plus simples , par tâtonnement, dans un grand nombre de cas. Il est évident que siiii^ est le nombre caractéristique d'une forme primitive donnée de déterminant -D, tous les nombres qui lui seront congrus suivant le module D, seront caractéristiques de la même forme j que les formes d'une même classe, ou même de classes différentes, mais du même ordre, ont le même nombre caractéristique, et que parconséqnent tout nombre caractéristique de la forme donnée peut être attribué à toute la classe et à tout l'ordre j enfin que I est nombre caractéristique des forme , classe et genre princi- paux, c'est-à-dire, que toute forme principale est résidu de sou déterminant. 7°. Si (g-, //) est une valeur de l'e?;pression \/M(ii, b, c) (mod. m), et qu'on SlÏ^ g^^, li'^^h {moà. m) , {g, h') sera aussi valeur de cette expression. De telles valeurs peuvent êlre regardées comme équivalentes-, au contraire, si {g, h)et(g% h') Sont valeurs de l'expression \/M(ci , b , c) , et qu'on n'ait pas g^g, h' ^ h (mod. 777), on doit les considérer comme diffé- rentes. Il est évident que si (g-, h) est une valeur, ( — g, — h) en est une aussi, et on démontre facilement qu'elles sont diffé- rentes, à moins qu'on n'ait 77z = 2. On démontre aussi facile- ment que l'expression \/M(a, b, c) ne peut pas avoir plus de valeurs AHITHMÉTIQUES. 241 valeurs différentes que ses deux opposées, quand m est un nombre premier impair, ou une puissance d*un nombre premier impair, ou =4; mais quand w=8 ou une plus haute puissance de 2 , il J eu a quatre en tout. On conclut facilement de là , au mojeu de ce qui a été exposé (6\) , que si le déterminant D de la forme (a, h, c) est =d=2^.^V, etc, A, B, etc. étant des nombres premiers impairs dont le nombre est tz , et que M soit le nombre caractéristique de cette forme, il y aura en tout 2% 2"-+-' ou 2"-^» valeurs différentes de l'expression yM{a, b, c) (mod. D), suivant que /*<2, =2 ou >2. Ainsi, par exemple, on a 16 valeurs de l'expression 1/7(12, 6, -.17) (mod. 240), qui sont : (=t:i8,=Fii), (±18, ±29), (±i8,=p9i), (±,8, ±109), (d=78,±i9), (±78,^=59), (d=78,=p60, (±78, zpioi). Nous supprimons la démonstration, qui est assez longue, et qui n'est pas nécessaire ici. 8°. Observons enfin que si deux formes équivalentes F, F" ont V pour déterminant, que le nombre caractéristique soU M efc que F se change en F' par la substitution a, (^,y, J^, d'une va- leur (g, h) de y/3FF (mod.D), on tirera (xg-^yh, ^g-\-éh) pour la valeur de x/M.F' (mod. Z^), chacun pourra trouver sans peine la démonstration. 254. Après avoir exposé ces détails sur la distribution des formes en classes, en genres et en ordres, et avoir expliqué les propriétés qui naissent de ces distinctions , nous allons passer à un autre sujet très-important et dont personne ne s'est encore occupé, à la composition des formes; mais avant de commencer cette recherche, nous placerons le lemme suivant, pour ne pas être obligé d'interrompre l'ordre des démonstrations. Lemme. Si l'on a quatre suites de nombres entiers • a a' a%...an; b, b', b^...bn; c, c', c",...cn-, d, d^ d",...d% com'^ posées d'autant de termes , et telles qu'on ait cd'-dc'=:k(ab'-ba'), cd''--dc'' = k(ab''-.ba'), etc. c'd"-c''d' = k(aV-aV), etc., etc, Hh 242 RECHERCHES ou généralement cd — de =k(ab — ba ), k étant un nombre entier donné , fx^ v des entiers dlfférens dont jx est le plus grand , et compris entre o et w, qu'en outre, toutes les quantités de la forme a b — b a n'aient pas de dii^iseur commun; alors on peut troui>er quatre nombres entiers ol, /3, y, cT tels que l'on ait cta4-/3b=c, aa'-f-iSb' = c', cia!'-{-^h''^c'', etc. >a+crb=d, >a'+J^b' = d', etc. ou généralement aa -f-/Sb =c , y a. ^-^^b :=z à ; auquel cas on aura a J^ — - jS;/ = k. Puisque, par hjpotbèse, les nombres ah' — a'b , ab" — a"b, etc. ab"'^a"b' , etc. , dont le nombre est \{n'\-\)n , n'ont pas de di- viseur commun , on peut trouver autant de nombres entiers tels que la somme des produits des premiers par les derniers soit=i (n" 4o)' Désignons ces multiplicateurs par (o, i), (o, 2), etc. (i^ i") , etc.*, ou généralement désignons le multiplicateur de a b — b a par ( A , P-) t desorte qu'on ait 2 ( A, ^ ) (^a b — b a^-=.\ , 2 désignant la somme de toutes les va- leurs qui peuvent résulter de la quantité qu'il précède, lorsqu'on donne successivement à A et ;* toutes les valeurs comprises entre o et /z, de manière que //^>A. Cela posé, si l'on fait 2 (A, tx){c b — b c )=a, 2(A, ^)(a c — c a ) =/3, 2 (A, iJ.) {d^b"-— b'^d'' ) = y, 2(A, i^^Xad^-^d et ) ^cT, les nombres a, /3, y, cT jouiront des propriétés énoncées ci-dessus. I. V étant un nombre entier quelconque entre o et n, on aura tt^ + j0^ =2 (A, p) (c b a — b c a -^a c h — cab) z=zc X(K, /ji){a à — b c ) = c 5 V V V et par un calcul semblable, on prouve que ya -^S^b :=^d , ARITHMÉTIQUES. :s45 II. On a parconséquent o i=:aù -{-^b , c =rct«' + /3^ , et partant CD — oc =:eL{a b — a b )\ de même a c — c a =iS(a b — b a ) d }?^' — b d'^'7=i:.y(^a b — a b ) a d — d a z=(r(a b — a b ), d'où l'on tirera plus facilement les valeurs de ot, (^,y, cT, pourvu qu on prenne A et ;«< de maniera que a b — o a nesoitpas=o, ce qui est possible, puisque toutes les quantités de cette forme sont supposées ne pas avoir de diviseur commun, et que par- conséquent elles ne peuvent pas être toutes =0. On tire aisé- ment de ces équations d'où nécessairement otcT — (^y=zk, 255. Si la forme ^X'-f-aSXl^+CJ"* = F, se change en le pro- duit des deux formes ax''~\-2bxy'\-c^^ ?==/^ a'x'*-\-2b'xy'^'y^==f' par la substitution x=zpxx'-{-p'xy-i-p'xy+pyy, r^qxx'+q'xy+q'xy-^çyy, (ce que nous exprimerons d'une manière abrégée en disant : Si F se change en ff^ par la substitution p, p', p", p"; ç, q , y", q") la forme F sera dite transformable enff'f et si de plus cette transformation est telle que les six nombres P9-p'g* pq"-fq> pf-p^q. p'q"-pq. p'f-pW> pV-p'q' n'aient pas de diviseur commun, la forme F sera dite composéô des formes f , f. Nous commencerons par l'hjqjothèse la plus générale, celle où la forme F se changerait ^n ff' par la substitution p,p', p',p'\ Ç* q% q" f q'» et nous développerons les conséquences qui eu résultent. Cette condition est exprimée par les neuf équations suivantes ; a44 HECHERCHES Ap^ ^-nBpq 4- C(]^ = aa' (i) Ap'^ ^:2Bp'q' + Cq' ^ac' (2) Ap'^ +iBp"cf-\- Cq^^-^za'c (3) Ap""' J^-iEff-ir Cq'"^'^ cd (4) App' + B{pq' + p'q) + Cqq' = aV (5) App" + B{pq" H- p"q) + Cqq" z= a'b (6) '^Z;.'' + B(p'q'"-\^py) 4. e/./'"= Z,6-' (7) ApY 4- B{p'Y'^p"'cf) + OA; = cz^' (8) ^ {pp'"+P'p")+B{pq'''-\-p''q+p'q"^p\/)JrC{qq''-\-q'q")^^^ .(9). Soient iL>, d, d les déterrainans des formes F , f, f respective- ment*, M , m, rtî les plus grands communs diviseurs des nombres A, iBy C\ a, :ib, c, a, 2b', d respectivement, M, 7», ni étant pris positivement. Déterminons les six nombres A^y B^, Ci) A^, B^, C^ de manière qu'on ait A.a-^B.b-i- C,c = m , A^a! ^BJj'-^ C^d = 772'. Faisons enfin pq — pq=:P, pq" — p''q == Q , pq"' — p"'q:=^R, p'q"-^p''q'z=S, p'q^—fq'^^T, p"q''^p''q" = U , et Supposons que k soit leur plus grand commun diviseur (*). Posant maintenant App" ^B{pq"'-\-p''q) 4- Cqq^^hU^L .(lo), (*) On peut présenter cette recherche de la manière suivante. On tire des dernières équations que vient de poser l'auteur, en supposant connues P, Q , R, S, T, U , et par l'élimination entre les valeurs de Q, R, S, T, Pq"=Qq'^Sq, Pp"z=qp'^Sp, Pq"' = Rq' -- Tq , Pp" = Rp' - Tp ; et comme on a l'équation pq' — p'q=:o, il vient en substituant dans la valeur de U celles de q", q'", p", p'", l'équation de condition, QT—RS^PU. Substituant enfin les valeurs de ces mêmes quantités dans les équations (3), (4), (6) ; (?)> (8)^ (9) j ^^ obtient six équations que je désignerai par De (a) et {y) on tire en éliminante, et faisant |>^ -p^zy., ^ a a P P Les équations {^) , {$) donnent i" = — (1^^—^) , R-=— {p.b' -^h) , et l'on ARITHMÉTIQUES. ^45 l'équation (9) donne Ap'p''^B{p'q"-{-p''q') 4- Cq'q" = hU^ A (i ,). Deces onze équations on tire les suivantes, savoir : En élevant l'équation (5) au quarré et en retranchant le pro- a facilement /î+5, R-S : les équations (O, (O s'anéantissent d-elles-mêmes etilesjquations (i), (2) et (3) donnent sans peine, comme dans le n" x^-j', P^D — aH ; substituant dans les équations qui donnent Q, R, S T et dass l'équation de condition, et faisant ^X^ = «', J^^=,„. ii ^ient P=an\ Q=.a'n, R^S = 2bn', R + S = ab'n, T=c'n , U=zcn' (r). Comme P, Q R, 5, T, U sont entiers, on voit que 1° n etn' sont rationnels , et partant , ;^ , ;^ des nombres carrés ; a», si n est une fraction , son dénominateur doit être un diviseur de m' plus grand commun diviseur entre a' 26' c' et que parconséquent m'n est entier ; il en est de même de mn'. Or ces équations d=Dn- d=Dn'^ donnent dm'^ r=D {m'ny , d'm^ = Dimn'y; donc Z? ne peut pas être plus grand que le plus grand commun diviseur entre dm'^ et d'm\ Il est aisé de démontrer que le plus grand commun diviseur k des nombres t' , \J, £i,à, T, U doit diviser mn' et m'n. En effet, on a ' mn' = P:fi=(R^S):^=U' S.. ^ m ' m ' parconséquent ^:C^-Z^\-^'EÈ. ..?-'£ ~° . ^ . k \ k J m' m^"- k- k—m'm ' mais deux des trois nombres —, — , — «ont nécp (i5), (20), (21). Or si l'on fait ^^P+B.iR-^S)^^ U:=:mn', A,q-\'Bj^R-\'S)-\-C^T=zm'n , où Ji, n' peuvent être des fractions, pourvu que mn! et m'/z soient entiers^ on tire facilement des équations (12) (17), Dm*n'^:=:^d'{A,a-^2B,b'\'C,cyz=d:nV' , et des équations (18) i^^) t Dm^n'' :=d( A^a' + 2 BJJ + C^c' )* = diri^. On a donc dz=:Dn^ , d'z=:Djï\ d'où nous tirons une première CONDITION : les déterminons des formes F, f, î' sont entre eux comme des nombres quarrés\ et une seconde : D divise toujours dm'* et d'm*. Il suit donc de là que D, d , d' sont de même signe, et qu'aucune forme ne peut être transformée en le produit ^^' si son déterminant est plus grand que le plus grand diviseur commun des nombres (16), (17) par les mêmes nombres et de la même manière ; que l'on ajoute les trois produits en y remplaçant d' par Dn^ , on trouve, à l'aide de l'équation A,P + B,{R-'S)-{' CU,:=^mn\ Pz=zan', R-'Sz=^:tbn', Uz=:cn\ de même , en multipliant, 1°. les équations (18) , (19), (20) ; 2'. les équations (19), (21), (22)-, 3°. les équations (20}, (22J, (aS) par A^, B^y C^ respectivement , on a Qzzna'n, R + S=:2b'n, Tz=zdn. Ce qui donne une TROISIÈME condition ; les nombres a, 2b, c sont proportionnels aux nombres P^ R — S, V ) et en supposant 248 RECHERCHES que leur rapport est celui de i à u , n sera la racine quarrêô ^^ ^' àe méinet les nombres a', 2b', c' sont proportionnels aux nombres Q , R -f- S , T ; et si l'on suppose que leur rapport est celui de \ à n 3 n. sera la racine quarrée de =r. Au reste les quantités n , n' peuvent être les racines positives ou négatives de ^ et ^, d'où nous tirons une distinction qui pa- raît stérile au premier abord , mais dont l'usage se reconnaîtra par la suite. Nous dirons que dans Ja transformation de F en//', la forme y^ est prise directement quand n est positif, indirectement quand n est négatif, et de même à l'égard de/'. Mais en ajoutant la condition que A= i , nous dirons que la forme F est composée ou directement des deux formes/,/', ou indirectement de ces deux mêmes formes, ou directement de / et indirectement de /', ou directement de/*' et indirectement de/, suivant que les deux nombres n , n' seront positifs ou négatifs , ou que n sera positif et n' négatif, ou n négatif et n' positif. D'ailleurs on voit facilement que ces relations ne dépendent pas de Tordre dans lequel ces formes sont placées. Or nous observons que le plus grand diviseur commun It des nombres P, Q, R, S, T, £7 divise les nombres 7727/, m'n, ce qui résulte des valeurs établies plus haut pour ces nombres, et que parconséquent A^ doit diviser 7n^n'' , //z'"/?* , et Dk" les nombres r/Vi", dm'''-, mais réciproquement tout diviseur commun de mn^ , rdn divisera aussi k. En effet, soit ^ un de ces diviseurs, il divisera évidemment les nombres ant , :ibn' y en' , an, 2b' n , c'n , et partant, P,R^S ,U, Q,R^S, T, et d'après cela 2/? et 25. Or si ^ était impair , — le serait aussi, puisque la somme est paire ainsi que la différence 5 leur produit serait donc impair. Mais ce produit est^(Z»'^/z»~Z*^/2'^)==^(«f'/z*+aV/z=^~^/z'*~^c7/^)===|(^V/z»--«c«'0, et parconséquent pair, puisque e divise ^z'tz , c'n, an', en'. Donc — est nécessairement pair, et partant, Ret S sont divisibles par e. Donc I ARITHMÉTIQUES: 249 Donc e divisant les six nombres P , Q , R^ S y T", U, divisera aussi leur plus grand commun diviseur k. Donc k est le plus grand diviseur commun entre mn' et m'ji ', d'où l'on voit facilement que Dk^ est le plus grand commun diviseur des nombres c/mf*, d'uV, C'est la QUATRIÈME CONCLUSION. Il cst donc clair que toutes les fois que F sera composée ^efetf, comme on a A= i , D sera le plus grand commun diviseur des nombres dm''", d'm^ et récipro- quement. Cette propriété aurait pu être prise comme définition de la forme composée. Ainsi la forme composée des formes f\ f\ a le plus grand déterminant possible parmi toutes les formes qui peuvent être transformées en le produit^^'. Avant que nous puissions aller plus loin , il faut déterminer avec plus d'exactitude la valeur de A que nous avons trouvé = \/ dd = y/D'^îtn'^ y mais dont le signe n*est pas encore fixé. A cet efiPet, nous déduirons des équations fondamentales l'équation Z^PÇ^rrtza'A, en retranchant le produit de l'équation (i) par l'équation (2), de celui de l'équation (5) par l'équation (6)-, et partant, Daann'=:aa'^, ou T)nn! ■==. A, à moins qu'un des nombres <2, «' ne fut nul. Mais on tire des équations (i) (2) absolument de la même manière, huit autres équations dans lesquelles Dnîi' à gauche, A à droite, sont multipliés par 2,ah' , ac , 2ba\ 4^^% 2bc\ ca' , icb' , ce' ; et comme les nombres a, 2b , c ne peuvent être nuls en même temps, non plus que les nombres a, 2b', d , il s'ensuit qu'on aura dans tous les cas A = Dnn' , et que parconséquent A aura le même signe que T) , d^ d'y ou un signe différent, suivant que n et n' auront le même signe, ou un signe différent. Or les nombres aa! , lab' y ac' y 2b a' , l\bb' , 2c'b , ca\ 2cb' y ce' 2iZ'Z>'+2A, 2bb' — 2A sont tous divisibles par mm', La chose est évidente pour les neuf premiers ; quant aux deux autres , on les démontrera comme nous avons démontré plus haut que R et S étaient divisibles par e. En effet, /\bb' -{- /^^ et l^bU — 4A sont divisibles par mw! , puisque 4A = \/' \Ç)dd' , que 4/ est divisible par m", ^d par w!* , partant, \Ç)dd' par //zW* et 4A = y \Ç)dd\ par mwL •, la somme et la différence des quotiens sont paires ; et comme l'on démontre facilement que le produit des quotiens est également pair, chacun de ces quotiens l'est aussi, et parconsé- quent 2^Z>'-|-2A et 2Z>y — 3A sont divisibles par mm'. Ti 25o B E C H E R C H E S Maintenant, ou déduira facilement des équations fondanienlales les six suivantes : AP^ = aa(/^ — 2al/(/(/ -f- ac'ç\ AQ" = aa(]'"' — làbqcf -|- acq^, AR^^aaq"'''-2{bb'-\-L)qq''^cc'q\ AS^ z=i ac'q"^ — 2{bb' -f- ^)q'q"-\-a!cq' , AT' = acq"'' — zbc'qq"' + cc'q'% AU' z= acq"" — 2b'cq"q"^ cc'q"\ II suit de là que AP' , AQ' , AR" , etc. sont divisibles par mm' , d'où l'on conclut facilement que Ak" est divisible par mm' , puisquei A* est le plus grand commun diviseur entre P% Ç% ^% ^'c. ; mais P en substituant pour a, ib, c, etc. leurs valeurs ^ , etc., ou (^pq' — p'q^ 1, etc. Ces équations se changeront en six autres, dans lesquelles on aura à droite les produits de la quantité ■\(^q'q" — qq") par P% Ç% i?% etc j nous laissons à effectuer ce calcul qui est très-facile. Il suit de là qu'on z. Anri ■= q' q" — qq" , De la même manière on obtient six autres équations dans les- quelles A est remplacé par C , &i q , q' , q\ q"" par p , p',p', p", on parvient à l'équation Cnn' :=: p'p" — pp" , et l'on prouve que CK" est divisible par mm\ Enfin on déduit encore les six équations : BP' = ■— aap'q' -\' ab' {pq' '■\- p'q ) — adpq , JBQ' = — aa'p'q' + a'b{pq-^fq) — acpq , BR^:=^'- aa'p-'q-'-^- {bb' -\-^){pq"'+p"'q)--cc'pq , BS- ^--ac'fq" '^{bb'-^^){p'q''-\-p"q') — acp'q', BT^:= — ac'p'Y + bc'ipY-hp'V)'- ^^'/v' » BU' ^ — ac^q" ■^b'c{p"q'"+p'"q') — cc'p"q\ d'où l'on conclut que 2Bk^ est divisible par mm' \ on déduira aisément par les mêmes substitutions que ci-dessus, i'équation :iBnn'=pq"'-\-p'"q—p'q"—p"q'- Puisque Ak' , iBk', Ck' sont divisibles par mm' , il s*ensuit que ilfA' est divisible aussi par mm' \ mais on voit par les équa- tions fondamentales que Af divise les nombres aa', 2ab', ad, 2ba', ARITHMÉTIQUES. aîi l^bh' , 2hc, Cil y ih'c, cc\ partant, ani , nbm' , cm', qui sont res- pectivement les pins grands diviseurs communs des trois premiers, à^^ trois moyens et des trois derniers, et enfin 77777^' qui est le plus grand commun diviseur de ces trois nombres. Donc, lorsque F eu composée de fetf , c'est-à-dire lorsque /i=i, on a néces- sairement ikf=: 777772'. C'est la CINQUIÈME CONCLUSION. Si Je plus grand commun diviseur des nombres A , By C est M^, on aura M^=M, quand F sera une forme propre ou déri- vée d'une forme propre, et M, = \Mj quand F sera une formo impropre ou dérivée d'une forme impropre. Soient demêmeTTz,, 772',, les plus grands diviseurs communs des nombres a, b, c ', /Iff • '^ / / a, by Cy respectivement: on aura Tn\'=m ou ==— , mi=:m ou — . Or il est évident que 772/ divise d, que 772',* divise d' , que parconséquent Tn^^rr^ ^ divise dd' ou A% et que 772i772', divise A. Ainsi, des six équations -5P*=:etc., etc., il suit que 777,772', di- vise Bk" y et partant iî/,/t* , car il divise aussi Ak'' et CA*-, donc toutes les fois que F sera composée àe f ei f , 777,772', divi- sera M^ lui-même, et si, dans ce cas, les deux formes /,/' sont proprement primitives ou dérivées de formes proprement primi- tives; on aura m^m\=^mm'=:M ; âoac I\f^=M, c'est-à-dire que F sera une forme semblable. Mais si, dans le même cas, cha- cune des formes y, y, ou l'une des deux seulement , f par exemple, est improprement primitive ou dérivée d'une forme improprement primitive, il suit des équations fondamentales, que les nombres aa, 2ub'y ad y a'b y ihU , bd , a' c , "^.h'c, cd sont divisibles par il/,, et partant, viji^ ■=^\mrrLT=.\M\ donc M^z=z.^M-j ainsi la forme jp est improprement primitive, ou dérivée d'une forme impro- prement primitive. C'est la sixième conclusion. Enfin nous observons que si les neuf équations P = un', R^S—ibn\ V~cn', Ç=zdn, R-\-S=ab'n, Tz=ic'n , i Anii'=q'q"—qq'\ aBnn' z=pq"' ^fq—j/q" —p"q' , Ciin' =p'p" —pp'" j^ '^ sont supposées avoir lieu, pourvu que 7z, /z' ne soient pas =0, on s'assurera facilement, par la substitution , que toutes les équa- tions fondamentales sont satisfaites, c'est-à-dire que la forme (^, B, C) se change, par la substitution p, p, p", p"; q, /, a 255 RECHER CHES " \f, q" t cn le produit des formes {cif b, c) , (a', h', c') , et qn*oii a en outre h^ '- ac-=.nXB^ -^ AC) , U' -^a'c'^zn'XB^-^ AC). Nous laissons à l'intelligence du lecîeur ce calcul, qui est trop prolixe. 236. Problème. Etant données deux formes dont les déter- minans sont é^aux , ou du moins comme deux nombres quarrés , ironiser une forme composée de ces deux formes. Soient /= {a y b y c) y f s^ {a', b', c') les formes à composer ; d, d' leurs déterminansj m, m' les plus grands diviseurs communs des nombres a, ib y cj a! y ^U, c' respectivement, et D le plus grand commun diviseur des nombres dm''', d'ni", pris avec le même signe que d et d' . Alors -yr- et —rj- seront des nombres positifs premiers entre eux dont le produit sera un quarré , ainsi chacun d'eux sera un quarré (n° 21). Ainsi \/ -^ et l/^ seront des quantités rationnelles que nous représenterons par n et lï , en prenant n positif ou négatif, suivant que la forme y doit entrer directement ou indirectement dans la composition, et de même à l'égard de n' , miï et ir^n seront parconséquent des entiers premiers entre eux-, quant à /z, //, ils peuvent être fractionnaires. Cela fait, nous observerons que an' y en' y duy c'n^ bji'-^b'n, bn! — Un sont des nombres entiers , ce qui est évident pour les quatre premiers, et qu'on démontrera pour les deux autres, comme on a démontré que /? et «S étaient divisibles par e. Soient pris maintenant quatre nombres entiers A", K , K", K' à volonté, pourvu qu'ils ne rendent pas zéro à-la-fois les premiers membres des quatre équations suivantes, et qu'on suppose K'an' -\-K"a'n-\-K"Xbn'+b',i')= de manière que q , q' y q" y q"' soient des nombres entiers premiers entre eux , ce qu'on obtiendra en prenant pour /«, le plus grand commun diviseur des quatre premiers membres. On pourra alors trouver quatre nombres tt, ré , tt", tt"' tels qu'on ait -Tf 7 + 'n'q'-\' Try + ^"'q'"^=^ i , et cela fait on déterminera /?, p , p", p'" par les équations suivantes: ARITHMETIQUES. 253 fi'an' -^:r'a'n 4.-."'(in'+è'n)=p , — rran'-{-^"'c'n—'7r"(ibn'—b'n)-=p\ "» enfin en posant. q'q'^qq'^Amï, pq'"+p"'q—p'q'-'p''q'=^2Bnn', p'p''^pp'"^Cnn' , A, B, C seront des nombres entiers , et la forme {A, B, C)z=F sera composée des formes /" et f. En effet, i°. des équations (I) on déduit sans peine les sui- vantes : 9'c// ^q"c'n-q"'(bn'-^b'n') = 0, qcn' -^q^u'ii-q'^bn' -\-b'r{) = 0,1 q'an' -f- qcn—q' [bn-^b'n) = o , qan—q'a'n—q {bn'—b'iï) = o , ) '^ ^' 2°. Supposons que les nombres entiers A^, B^y C,, A^^ B^, C», 2V", N' soient déterminés de manière qu'on ait 'A,a-\-'2B,b'^C,c=:m, ^^a'+2S,è'+C7aC'=w^ Nm'n-\'N'mn':=.\i on en tire , par la substitution des valeurs de 77z , m' dans la troi- sième équation A,]S'an'+2B,N'bn'-\'C,N'cn''\'AJS^a'n'\-:iBJSb'n'\'CJSfc'n:==:i) de cette équation et des équations (111)^ en posant -^q'A,N'-^q''A,N--q"\B,N''^B,lS') = k, qAJS'-^q"' C,N-^q\B,N'^BJS) =zk', — q"'C,N'-\- qA,N—q\B,N''-'B,lS)=zk\ q^CN'-i- q'C^N'\-q {B,N''{-BJS)^k"', on trouvera facilement h' an' + k"a'n + h:"{bn' -^b'n) = q , — kan' + k' c' n—l k'^cv! — ka'n + k' ( bn'—b'n) = q" , — /c"cn'— k'c'n^k {bn'-\-b'n) —q" ]^^^^- Lorsque ft=i, ces équations ne sont pas nécessaires , et l'on peut prendre à leur place les équations (I) elles-mêmes, dont elles sont les analogues. Or si l'on substitue dans les valeurs de Ann' y ^Bnn' , Cnn' celles de q, q', q" , q", p, p , p" , p"» on trouvera, en réduisant , que les différens termes sont des entiers multipliés les uns par nri ^ les autres par dn'^ ou d'n* ; et que tous les termes de la valeur de ^Bniï contiennent le facteurs ; or dii!''-=^d'7ï^ et — r= — = \/dd' Donc A . B y C sont des nombres entiers. nn n ^ ' 5°. En substituant les valeurs de p, p', p% p", dans les six 254 RECHERCHES premières des équations (Q), on trouvera qu'elles sont satisfaites à l'aide de l'équation ^q'^'7c'q'-{''ïï''q"-{-^''q'' z=\ et des équa- tions (HT). Les trois dernières ont déjà lieu par hjpothèse ; donc la forme F se changera en ff par la substitution^, p', V * V" i ^1 > 9 ^ V^ 9^* ®^ SO" déterminant sera Z), qui est égal au plus grand commun diviseur des nombres dm'*, d'm^ , donc par la quatrième conclusion du n' précédent, inséra composée àef,f\ 237. Théorème. Si la forme Y est transformable en le -pro- duit de deux formes f, i' , et que la forme f renferme la forme f ', F pourra aussi se transformer en ff. Conservons pour les formes F, f,f' les signes du n" 235, soit y''=(a", b", c"), et a, /3, y, «T la transformation qui change /' enf". On voit alors sans peine que F se change en ff par la substitution ctp+yp', ^p-^-^p, (Lp" '\~yp'' , ^p" •\' S p" ^ aq-^-^q', /3^H-JV'. <^q''+yg'% /3/+J^^'. Représentons, pour abréger, ces coefficiens par r, r', r', r"', s, s', s", s", et faisons cté' — ^y^=.e , en appliquant ici les équa- tions n du n" 235. On trouve rs''-r's—an'e, rs''^r"'s—{r's'-^r''s'):=^bn'e, r''s''-'r's''z=^cn*et rs"'--r"s^a'n, Ts'''^r'"s^{r's"--r"J)^:ib''n, r's"'^r"'s'^e''n, s's"-^ss'':=zAhn'ey rs'''\-r"'s—rs"-^r"s';=2Bnn'e, ry'-rr"'z=Cnn'e', donc en représentant par d' le déterminant de f, et faisant d" „ „ r I Xd , , , I /d' — =,72 , on aura n ■=^11 e parceque \/^ n='^ > ^^ 1"^ ^ = zn:IX -^ suivant que la forme /' renferme f" proprement ou improprement ; ainsi dans la transformation de F enff la forme y" entrera de la même manière que y dans la transformation de F enff, ou d'une manière différente, suivant que e sera positif ou négatif, c'est-à-dire, suivant que f renfermera y" proprement ou im- proprement, 238. Théorème. Si la forme F' renferme F, et que Y puisse se changer en f f, la forme F' pourra aussi se changer en f f. Conservons pour les formes F , f, f les mêmes signes que plus haut, et supposons que F' se change en F par la substitution '^j i^> y) ^ y on voit facilement que F' se changera en ff par la substitution AHITHMÉTIQUÊS. ^Ç5i. yp-h^ç. yp'+^ç'^ yp"-^^q\ yp'"'\-^q\ On prouvera en outre, par un calcul semblable à celui du n* précédent, que si F' renferme F proprement, les formes y, y entreront dans la transformation de F' tn/f de la même ma- nière que dans la transformation de F en ff'\ et que dans le cas contraire, elles entreront d'une manière inverse. En combinant le présent théorème avec celui du n* précédent, nous obtenons le suivant, qui est plus général : Si une forme F est transformable en ff, que f, f renferment les formes g , g' respectivement, et que G renferme F , G se?^a transformable en gg'. En effet, parle théorème du n° présent, G se changera enff, donc par le théorème du n° précédent, G se changera en fg' et de même en gg\ Or il est évident que si les trois formes/", f, G renferment proprement les trois formes g, g', F, G se composera de la même manière en gg' que Fen ff-, de même, si les trois premières renferment improprement les trois dernières j et enfin ou déterminera facilement de quelle manière G doit se composer de gj g\ si une des transformations est différente des deux autres. Si les formes F, f,f' sont équivalentes aux formes G, g, g' respectivement, les premières auront les mêmes dérerminans que les dernières, et (n° i6i) m et rn' seront pour^-, g' ce qu'ils sont poury, f\ D'où il suit, par la quatrième conclusion du n° 235, que si F est composée de f, f, G sera aussi composée de ^^, ^, et même que la forme g entre dans cette dernière composition comme/dans la première, si F y G\fy g sont équivalentes de la même manière, ou au contraire. De même à l'égard àe f et g\ 259. Théorème. Si la forme F est composée des formes f, P, toute forme qui pourra se transformer en ff de la même ma- nière que F , renfermera proprement cette dernière. Conservons toujours pour F, f,f' les signes du n* 255, et sup- posons que la forme F' = (^', B', C ), dont le déterminant = Z)' se change en ff par la substitution p, p, //, p" ; q } q' , q", q" , ei :i56 HECHEHCHES repiésenfons pour cette composition, par P, , Qi, ^ly etc. les analogues ôe P , Q, R, etc. Dans la première on aura n,n\A'z=q\q\-q,q\, an,n\B'=p^q\-\-p\q.-p\q\-p\q\, Vft') , n,n\C=p\p\-p,p'\ ) 77, et n\ étant les racines de -^ et ^, et de mêmes signes que 71, 7i'. Soit donc 1/^ jj,= A pris positivement, on aura 77,= Atz; 7i\z=:zkn', On déduit alors des six premières équations de Q. et £1^, P,=kP, Q,=kQ, R,=:kR, S,=zkS, T,=kT, V\=kU; donc par le lemme du n" 25^, on pourra déterminer ce, ^, y, cT. de manière qu'on ait ^P+I^Ç=Pif ^p'-^rM^yy 6*<^' ?y"+^^=9'i> yp'+^q'^n etc. jfcj et acT — ^y=:k. En substituant maintenant les valeurs de;?,, p\, etc., q^y q\, etc.' dans les trois dernières équations de Qf, on trouvera, à l'aide des équations 77, = A7z, n\:=.kn'j et des trois dernières de il, ainsi la forme F^ se change en F par la substitution cl, ^,y, S", qui est propre, puisque asT — ^y:=zk, et que ^ est positif. Si donc F' est aussi composée de f, f , et de la même ma- nière que F y on aura Dz=.D , et partant F et F' sont propre- ment équivalentes. Plus généralement, si G est composée de gy g' de la même manière que F l'est de y*, /"', et que les formesy, /*' soient proprement équivalentes aux formes g, g', F et G seront proprement équivalentes. Comme le cas où les formes à composer entrent directement dans la composition est le plus simple de tous , et que les autres s'y ramènent facilement , nous nous y attacherons principalement, ensorte que lorsque nous parlerons d'une forme composée de deux autres , on devra toujours entendre que chaque forme entre di- rectement dans la composition*, il en sera de même pour les larmes transformables en produits d'autres formes. 240. ARITHMETIQUE S. 257 240. Théorème. Si la forme V est composée des formes ff et (p de F et (", que F' le soit de f , P et cp' de F', f ', les formes

b\'-^b'b\—hh'v"--Lvv'v\ r' s''''—r-'''s'z=.hc%'^b' c%; y V — r^s" = ac'v\ r"s'' — r''s" = a"b'y — a"bv , r»^^-^ , V= hh'v"^ b'b"v — bb"/ — Av//, rV — r^^'s" = a"c'v, /^.v. ^-r'^^i,"=bc'v"-\-b"c'v, r'"s''-r''s'"z=b'b"v-'bb'v"—bb"v''\-ù,vv'/, r'"s' — 1-8'" = b'c% — bc%\ r^s'^ — r'^s'" = b''c'v — bc'v\ r"'s'''—r'"'s"'z=c'c"v, r'^s^—r^s'^zz^a'cv", r'''s'"—r'"s'''=aW, T^iT^vn _ ^vM^:y-_ ^'^/ ^ Z,"^/^ ^Y^v. — r'"s^=b"cv' — b'cy", que nous désignerons par 0, et les neuf suivantes : s'/ — ^/' — av'i"G , r^" + r's — r'^" — r"/ := aavVff , r'r"— ri'" = av'v"L , s's''—ss'''—{s"s''-'s"s^)z=ib/v"G, r'r^'—rr'"'—{r"r'^—'r"r'')=ib/v"L , ^^^^'--^'^^^"= = i. VIT. De là, en substituant les valeurs de ûG, aH , aL tirées des trois premières équations SP* , et les valeurs de aG' , aW , atl tirées des trois premières équations '^' , on s'assure aisément que l'on a a{Gce-\-iHcLy-\-Ly-)z=:iaG' y a{Ga.^-\-B{ci.^'\-^y)-\-Ly$)=^ aH', a(G(i''i-2HlB<^^U^) = aL'', d'où il suit, si l'on n'a pas a = o, que la forme (p se change en (p^ par la substitution propre a, I2>, y, S'* Mais en prenant, au lieu des trois premières équations de *^ et 'ir', les trois suivantes ou les trois dernières, on obtiendra trois équations qui ne différeront des précédentes que parcequ'il y aura 2^ ou c à la place de ^ , et comme on ne peut avoir à-la-fois a, b, c=:o, la forme (p se changera nécessairement en , y , S'. 241. Une forme telle que (p ou (p', qui naît de la composition avec une troisième, d'une forme composée de deux autres, sera dite composée de ces trois formes, et par le n" p«'écédent, on voit qu'il n'importe pas dans quel ordre se fait la composition. On voit que de cette manière on composera une forme d'autant d'autres formes qu'on voudra, et l'on démontrerait facilement que l'ordre dans lequel ces formes sont composées est indifFéreiat; c'est à-dire, ARITHMÉTIQUES. ^61 que les formes composées des mêmes formes sont fonjours propre- ment équivalentes. Or il est évident que si les formes/ f f" etc sont proprement équivalentes aux formes g, g'^ g"^ etc. /la forme composée des premières est proprement équivalente à la forme composée des dernières. 242. f« propositions précédentes renferment la composition des formes dans sa plus grande généralité ; passons maintenant à des app ications plus particulières , par lesquelles nous n'avons oas voulu interrompre l'ordre du sujet. Nous commencerons par re- prendre le problème du n' ^56, que nous limiterons par les con- ditions suivantes : r. que les formes à composer aient le même dé ermrnant ou qu'on ait t, et retranchant du premier produit la quantité (a^ V H- a:hm' -f. (Z»^' + D)^'") (a^ + fl'cT '+ (h + b') <^'') , qui est évidemment =0, en vertu de la première équation, on trouvera, réduction faite, et partant , /a* A est divisible par aa' , ou A par — ^ = -^. a**. Si l'on rend 5= /3 en faisant tt =^, '7t'= ^\ 7r'='3r'', ^''=^'^, on peut trouver pour ces nombres d'autres valeurs qui rendent B égal à un nombre quelconque donné congru à /S, suivant le module u4 , c'est-à-dire , telles qu'on ait B = (B -{- kA, Observons d'abord que les nombres yu,, c, d,h — b' ne peuvent avoir de diviseur commun, car s'ils en avaient un, il diviserait les six nombres a, d y b-\-b' , Cf c' yh — h' , et partant, les six nombres a, ^.b, c, a', 2b', c' , et parconséquent m et m' qui sont premiers entre eux par hypothèse. Ainsi on peut assigner quatre nombres entiers h, h'. Il y h"' y tels qu'on ait hf/.-\'h!c'{-1ic'-\'Jï'\b'—b')z=:i : cela fait, si l'on prend kh—J^y k{h''{b+b')—'lfa'}z=:iJLS'y k{h'(b+b')-{-h"'a}—fA.<^, — k{h'a'-\-h"a)-=iJ.^''; il est clair que é", è', d", é" sont des nombres entiers, et l'on s'assurera facilement qu'on a aV -f air + (Z, + y ) r = o , ARITHMETIQUES. 265 La première équation fait voir que 'tt+J', Tr'-f-J', tZ-j-cT', 'Ti'-f-J"' sont des valeurs de 'tc , 'n'y ^n", -71"', et la seconde, que ces valeurs rendent B=P>-\rkA, Il suit de là que B peut toujours être déterminé de manière à tomber entre o et A — i^ si A est positif, ou entre o et — A — i, si A est négatif. 543. Des équations on tire donc B^^b Tmod. - V et -5^^' f mod. —j. Toutes les fois que - et — seront premiers entre eux, il n'y aura entre o et A — i (ou entre o et — A — i , si ^^^ b-\-b' seront res- pectivement = 10, i5, 5 et/.t=5j donc v-/ =6, ^^5 (mod. 2) et ^2 (mod. 5), d'où £=:5j et la forme (6, 5, 21) sera celle qu'on cherchait. Au reste, la condition que -et— soient prc- lïiîers entre eux, revient à ce qu*ils n'aient pas d'autre diviseur commun que le plus grand commun diviseur des trois nombres 'a,u, b-\-h', ou encore que le plus grand diviseur commun des .nombres a , d , divise b-\-h' , ►o'iÇ>n doit remarquer particulièrement les cas suivans : ^'- "1". Étant proposées deux formes (^, Z>, c) , (a', b' , c) de même dé- ^'tétminant D , telles que le plus grand diviseur commun des nombres ^0, 2byc soit premier avec celui des nombres a', 2b' , c', et que ii 264 ^^ ^^ C II E B C H E S soit premier avec a; on trouvera une forme composée de ces deux-là en faisant A:=-aa, B^b (mod. a) et ^b' (mod. a') , (7= — -^ — . Ce cas aura toujours lieu quand l'une des formes à composer est «ne forme principale, c'est-à-dire qu'on a û=i , b = o, c-=. — Z>. On aura alors A=za, B pourra être pris '=^h' , d'où l'on tirera C= d \ donc une forme quelconque est toujours composée d'elle-^ même et de la forme principale de même déterminant, 2°. Si deux formes opposées proprement primitives doivent être composées, par exemple, (tz, Z>, c) et (a, — b, c), on aura /'•=ii ; d'où Ton voit facilement que la forme principale (i, o, — D) est composée de ces deux formes. 3°. Etant données tant de formes qu'on voudra (/, b, c) , (t/, b\ c') , (a", W , c"), etc., proprement primitives et de niêiue déterminant D, et dont les premiers termes a, a', a", etc. soient des nombres premiers entre eux , on trouvera une forme (^, B, C) composée de celles-là, en prenant y4 égal au produit des nombres a, a', a", etc., B congru aux nombres b, b', b", etc., suivant les modules a, a', a", etc. respectivement, et C;= — ^ — , En effet, on voit facilement que (aa', B , 7— ] est composée des formes (a, Z>, c), (cl y b' y d), que (aa'a'^B , — -7-»-} estcomposéedecette dernière et de (a", b" , c") , etc, 4°. Réciproquement, étant donnée une forme proprement pri- mitive {A, B, C) de déterminant D, si l'on décompose le nombre A en facteurs premiers entre'eux a, a*, a", etc., et que l'on prenne les nombres b , b', b", etc. égaux à B, ou du moins congrus à B , suivftnt les modules a* a\ a', etc. , c = , c' = — ^— ' a ' a c' = -y—r, — , etc., la forme {A, B, C) sera composée des formes {a, b, c), {a' y b'y c'), (a\ b", c'), etc., ou sera decomposable en ces différentes formes. On prouve sans peine que la même pro- position a lieu également quand même la forme {A, B, C) serait improprement primitive ou dérivée. De cette manière on pourra décomposer toute forme en d'autres de même déterminant, dont les ARITHMÉTIQUES. ^65 les premiers fermes sont tous des aombres premiers on c^es puissances de nombres premiers. Cette résolution est souvent commode pour coirposer plusieurs formes en une. Soient, par exemple, à composer les trois formes (5, i, i54), (lo, 3, 4i), (i5, 1, 27)-, on décomposera la seconde en les deux (2, I, 201), (5, — 1, 81); la troisième en (5, — \, i54), (5, 2, 81)', et il est clair que la forme composée des cinq formes (5, \, i54), (2, I, 2ot), (5, —3, 81), (3,-1, i34), (5, 2, 8ï), en quelque ordre que ce soît, sera composée des trois formes données. INIais la composition de la première et de la quatrième donne (l^) la forme principale; la composition de la première et de la cinciuième la donne aussi; donc (2^) la forme composée définitive est (2, I, 201). 5\ Il nous semble qu'attendu l'utilité que présente ce procédé, il n'est pas inutile de lui donner ici plus de développement. L'ob- servation précédente prouve que pour composer tant de formes propreir.ent primitives qu'on voudra , on peut réduire la difficulté a n'avoir à composer que des formes dont les premiers termes soient des puissances de nombres premiers. Il convient de considérer sur- tout le cas où l'on doit composer deu% formes proprement primitives {a, h y c), (a, h\ c'), dans lesquelles a et a sont des puissances d'un même nombre premier. Soit donc a=h , a'=h , h étant un nombre premier, st soit c/-> = a', h sera le plus grand di- viseur commun des nombres a, a, et s'il divise l^-i-b', on ren- trera dans le cas considéré au commencement de ce numéro, et (A , B , C) sera composée des formes proposées, pourvu que Ion prenne A=^li'~"^ y B^h (mod. li'~"^), et ^b' (mod. 1), condi- tion qui peut évidemment s'omettre; enfin C= — -^ — .Mais si /i ne divise pas h-\-h\ le plus grand diviseur commun des trois nombres a, ci, b-\-b' divisera h , et sera une puissance de /î < /z ; supposons-le =h , il faudra déterminer les nombres 7t% 'tt', -tt* de manière qu'on ait -Tr'/z V 7r'/+ ^\b + b') = h^, Ll ^gg RECHERCHES B^—D t étant prîs à volonté; et la forme {A,B,C) sera composée des formes domiées, si l'on prend .__^_^*+»'-3^, B^h+n''~\-^h'' -^'i^-^')-"^"^' c=^ Mais on Toit facilement que dans ce cas V peut être pri^sjussi à volonté; donc en faisant * = ^'=o, on a ZJ = Z— ^"cfe' , ou plus généralement E=kA+l--'ch\\'^: ^'Tt^L^l formule trfes-simple ne renferme que ^', qui est la valeur de l'expression -gj-p (mod. h )• Soit, par exemple, à trouver une forme composée des de,« formes (16,3,19) et (8,1,37), on a ft = 2, «=4. "■-=' , !!; Donc ^ = 8, ^■' est la valeur de l'expression ^ (mod. 8) , qui est 1, d'où iJ=8A-37 , ou en faisant A=9, 5- C=37; donc (8,-1, Sy) est la forme cherchée. Étant donc proposées tant de formes qu'on ^°"^^^;/°"* ^^^ premiers termes sont des puissances de nombres premiers il faut exaXr si quelques-uns d'entre eux sont des puissances de même ToXs premiers, et comparer entre elles, par la règle que nous venons df donner, les formes auxquelles ils appartiennent. De Ltte manière ou obtiendra des formes dont les premiers termes ellntr:;, des puissances <^e -">bres preni Jrs mais e no^^^^^^^^ premiers différens; ainsi par l'observation (3) on pourra une forme composée de ces dernières. Par exemple, étant proposées les formes (3, 1, 47). (4. o. 55), (5, o, 28), (.6, ., 9). (9- 7. -)< ('6. 6, n); de la première et de la cinquième on tire la Jo-^J'' 7' 7' 7)^ de la seconde et de la quatrième, la forme (16,-0, nj, ûe tl: Lnière et de la sixième, la f,.rnu^(i, ^^t^LT^X ê,re négligée II -^ '-/ ^7 l^^f )^ pi 1^^ el e'ôii' peu't nnî nroduisent la forme (lao, — 20, 4;, jjuux j r Tend e 40. 35), qui lui est proprement équivalente. Ainsr Srô 55) est la résultante de la composition des six formes pro- posées. ARITHMÉTIQUES. 267 Au re^ife , on peut lirer de là plusieurs artifices utiles dans la piaticjue-, mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêler plus long-temps sur ce sujet, pour passer à des choses plus difficiles. 244- Si un nombre a peut être représenté par une certaine forme/, et un nombre ol par la forme y^', que d'ailleurs la forme F soit transformable en ff \ on voit sans peine que le produit aa peut être représenté par la forme F. 11 suit de là que lorsque les déterminans de ces formes sont négatifs, la forme F sera po- silive, si / et y sont ou toutes deux positives, ou toutes deux négatives, et négative, si l'une est positive et l'autre négative. Arrêtons-nous particulièrement sur le cas que nous avons consi- déré au n° précédent, où F" est composée de F,f\ et où F , fy f ont le même déterminant D\ supposons encore que les re- présentations des nombres a^ d par les formes fyf se fassent par des valeurs premières entre elles des indéterminées, que la pre- mière appartienne à la valeur b de l'expression \/ D (mod. a), et la seconde à la valeur h' de l'expression \/ D (mod. a'), et que l'on prenne c = , c'= — 7—5 alors (u° 168), les formes (tz, b, c) , (a, b' , c) seront proprement équivalentes aux formes ff f, donc F sera composée de ces deux formes ; mais la forme {^A , B , C) sera composée des deux mêmes formes si, /jl étant le plus grand commun diviseur des nombres a, a, b-^-h', ou fait A^=.^y B^b Tmod. - ), ^b' Tmod. — j et (7 = ^ ~ ; donc cette forme sera proprement équivalente à la forme F. Or le nombre aa' se représente par la forme Ax^'-^-^.bxy -\-Cy'', en fai- sant x=:fJLf y=.o y dont le plus grand diviseur commun est /a; donc aa' pourra être représenté par la forme F, de manière que les valeurs des indéterminées aient un diviseiu' conuuun fjL (n' 166). Donc toutes les fois que fjL=zi, aa' pourra être représenté par JP, au moyen de valeurs premières entre elles des indéterminées, et cette représentation appartiendra à la valeur B de l'expression \/D (mod. aa') , qui est congrue k b , b' , suivant les modules a y a', La condition //.=:i a lieu quand a est premier avec a', ou plus généralement, quand le plus grand commun diviseur de a, ti' est premier avec b-i^b'* :,6S HE CHER CUES' 2/p- Théorème. Si la forme ï est comprise dans le même ordre que g , que ï' soit comprise dans le même ordre que g' ; la forme F composée de f , i' aura le même déterminant , et sera comprise dans le même ordre que G composée de g, g'. Soxeni f=^{a, h, c),f^{a',b%c'), F=:{A,B, C) , et les dé.'ermiiians d , d' , D j soit m le plus grand diviseur commun des nombres a, 2b , c, /;/, le phis grand diviseur commun des nombres a, h , c\ et que ni, m\ y M, M, aier.t les mêmes signi- fications par rapport aux/' et F respectivement. L'ordre de la forme y sera déterminé par les nombres d, m, m^ , d'où il suit que les mêmes nombres auront lieu pour la forme i^; par la même raison, les nombres d\ m', m\ y seront pour la forme g ce qu'ils sont pour la forme/"'. Or (n° 235) les nombres D y M, M, sont déterminés par les nombres d , m, m, ; rf , m\ m\ \ savoir, D est le plus errand commun diviseur des nombres dm'"^ et d'm'', M=mm' et M, = mjn\ (si l'on a en même temps m ■= m^ , ni = m , ) , ou p=: 2777,77?', ( <>i 777 = 2/77,, OU 777' = 2/7/,). Comme CCS propriétés de D y M , M\y suivent de ce que F est composé ^q f, f, on voit sans peine que D , M, M^ seront pour (j ce (ju*ils sont pour F, et que parconséqueiU F et G sont de même ordre. Nous appellerons en conséquence l'ordre qui renferme la forme i^, ordre composé àç: ceux qui renferment/ et /"'. Ainsi , par exemple , l'o^.lre composé de deux ordres proprement primitifs est aussi un ordre oroprement primitif, et l'ordre composé d'un ordre proprement primitif et d'im ordre improprement primitif, est un ordre impropre- ment primitif. C'e-;t dans le même sens que nous pourrons dire qu'un certain ordre est composé de plusieurs autres, 246. Problème. Etant proposées deux formes priînitipe.^ quel' conques , f, f, de la coniposinon desquelles naît la forme ¥ , du ^enre auquel appartiennent f et f , déterminer le genre auquel appartient F. I. Considérons d'abord le cas où une des deux formes au moins^ la première/par exemple, est proprement primitive, et désignons par d, d'y D y les déterminans des formes- /", /', i^ ; a'ors D sera le plus grand commun diviseur des nombres drn'^^d'} m étant = i. Â K I T H I\I É T I Q U E s. 26g on = o , suivant que/' est proprement ou improprement primi- tive ; dans le premier cas , F appartiendrait à un ordre propre- ment primitif; dans le second , à un ordre improprement primitif. Maintenant le genre de la forme F se déterminera par ses carac- tères particuliers, tant à l'égard des différens diviseurs premiers impairs de D, que, dans quelques cas, à l'égard des nombres 4 ou 8. II fèuidra donc déterminer chacun d'eux. I^ Si p est un diviseur premier quelconque de B , il divisera nécessairement r/ et (/ -, ainsi la relation de la forme i^ avec p, se trouveront parmi les caractères des formes/, /'. Or, si le nombre a peut être représenté par la forme /", et le nombre a par /"' , aa pourra l'être par F. Si donc des résidus quadratiques de p , non divisibles par/?, peuvent être représentés, tant par /"que par/', il pourra y en avoir de représetités par la forme F-, c'est-à-dire, que si l'une et l'autre de ces àeu^ formes a le caractère Rp ^ la forme F aura le même caractère. Par une raison semblable , la forme F aura le caractère R,p. Si les deux formes/,/' ont le caractère ^ .p; au contraire F aura le caractère JS.p, si l'une des formes f^^J' a le caractère R.p , et l'autre le caractère IS .p. 2°. Si dans le caractère complet de la forme F , il entre \m^ relation à l'égard du nombre 4, cette relation doit entrer aussi dans les caractères des formes/,/'. En effet, cela ne peut arriver que lorsque Z)e=o (mod. 4) ou~3 (mod. 4): quand D e.l divi- sible par 4, àui'' et d' le seront aussi; donc/' ne peut p^is être improprement primitive (n° 226}, et partant on a ///= i ; donc d et d' sont divisibles par 4, et le caractère de chacune d'eiles renfermera la relation à l'égard de4. Quand Z^—S (mod. 4), D divi- sera r/etf/', lesquotiens seront des nombres quarrés, et parconséquent —, — J, que nous désignerons par (p , Ç)'j cela posé, s'il y a au moins une des formes

— 7> — 7 ) = ^, et le genre de F dépendra de celui de ^i mais on voit facilement que $ se change en çxp' par la même substitution qui change F en ff, et que parconséquent O est composée de tyU,', et la forme ^, qui ARITHMÉTIQUES. 273 qui est encore ici composée de (p , (p', est évidemment dérivée delà forme proprement primitive (- — 7, -y—,, — — 7J. Le genre de cette forme pourra être déterminé par le n** 246 , et comme F est dérivée de la même forme, son genre sera connu par là même. Il est évident par cette solution, que le théorème donné au n" précédent pour les formes primitives, a lieu pour des formes quelconques, savoir, si /' et g sont des mêmes genres que/" et g respectivement, la. forme composée de y, f est du même genre que la forme composée de ^, g\ 249. Théorème. Si les formes ï , î' sont des mêmes ordres y genres et classes que g, ^ respectiuement , la forme composée de ïet de f ' est de la même classe que la forme composée de g, g'. Ce théorème n'est qu'une conséquence immédiate du n° 259. On voit par là ce qu'on doit entendre par une classe composée de deux ou de plusieurs classes. Si l'on compose une classe quelconque K avec la classe prin- cipale, la classe composée sera K elle-même ; ainsi dans la compo- sition des classes de même déterminant, on peut négliger la classe principale. Or (n" 24^) il naît toujours une classe princi- pale de la composition de deux classes opposées proprement pri- mitives*, donc toute classe ambiguë étant sa propre opposée, en composant avec elle-même une classe ambiguë proprement pri- mitive, la résultante est la classe principale de même déterminant. La réciproque de la dernière proposition est également vraie: Si la résultante H de la composition d'une classe proprement primitii-'e K auec elle-même , est la classe principale de même déterminant t K sera nécessairement une classe ambiguë. Eu effet, si K' est une classe opposée à A, la résultante des trois classes K, Kf K' sera la même que celle de H et K' y c'est-à-dire, sera égale à A'-, mais la résultante de K et K' est H , et la ré- sultante de // et A est A ; donc K coïncide avec K', et est par- conséquent une classe ambiguë. Or on remarquera la proposition suivante : Si les classes K, L sont opposées aux classes K', L' respectit^ement, la classe Mm 274 RECHERCHES composée ^ est négatif, il j aura deux ordres , et dans le négatif la forme ( — 2/72 , — m , -^I-— ] sera la plus simple. Ainsi, par exemple, si l'on veut appliquer cela au cas où 772 = 1, dans les quatre ordres de formes de déterminant 4^, les suivantes seront les plus simples : (i, o, — ^5), (2, 1,-22), (3, o, — -i5), (6, 5, —6). Cette observation donne naissance au problème suivant: Problème. Etant proposée une forme quelconque F de Vordre O , trouver une forme primitive (^positii^e , s'il y a lieu à distinc- tion) qui, composée auec la forme la plus simple de Vordre O , ait pour résultante F. Soit F-=.{ma, mb , me) dérivée de la forme proprement pri- mitive/= (a, h y c) de déterminant d. 1°. Si/* est proprement primitive, nous observerons d'abord que quand a ne serait pas premier avec 2dm ^ on pourra toujours 27G RECHEKCHES trouver des formes équivalentes à f y et dont les premiers fermes jouissent de cette propriété. Car (n° 228) on peut trouver, des nombres premiers à 2dm y et représenlables par cette forme; or soit a un tel nombre, on aura a'-=:asL''-\-9.by,y -^cy"", où l'on peut supposer que a, y soient premiers entre eux; partant, on pourra déterminer deux nombres tels qu'on ait acT — /3j/=:i, et la forme y se changera, par la substitution a, /3 , y, cT, en une forme {a', b' , c') qui lui sera proprement équivalente et jouira de la propriété précitée. Maintenant, comme i^et (a'm, h' m, dm) sont équivalentes, on voit qu'il suffit de considérer le cas où a est premier avec idm. Alors ((Z , hm, cnf) sera mie forme pro- prement primitive, car si iz, ihin et cm'' avaient un diviseur com- mun, il diviserait nécessairement 2^^/72 = 2&*/72 — 2acm; elle sera de même déterminant que F , et l'on s'assurera facilement que F se change par la substitution i, o, — b, — cin , o, m, a, hm , en le produit de la forme {a, bjn,cm''), par {m, o, — dm) ^ qui sera la plus simple de l'ordre O , a moins que la forme F ne soit négative. 11 suit de là, par la quatrième conclusion du n° 235 , que F est composée de (772, o, — dm) et (a, hm y cm^y, mais quand F est négative , elle se changera , par la substitu- tion I, o, h, — cm', o, -—772, — a, hm , en le produit de la forme ( — m y o, dni) y qui est la plus simple de cet ordre, par la forme positive ( — a y hm , — cm"") y et parconséquent elle sera composée de ces deux formes. 2°. Si y est une forme improprement primitive, on peut sup- poser que \a soit premier avec 2^772, car si cette propriété n'a pas lieu pour la forme fy on trouvera toujours une forme qui en jouisse et qui soit proprement équivalente à f. Il suit de là que la forme (ia, huy icm'') est une forme proprement primitive de même déterminant que F, on s'assurera aussi facilement que F se change, par la substitution i, o, ^(irp^), — cm-, o, ±2772, d= \ay (hzhi)my en le produit des formes (±2772, ±772, ±^(772 — dm)), (dz^a, hiTiy ±2^772^), et que parconséquent elle est composée de ces deux formes, dont la première est la plus simple de l'ordre O, et ia seconde une forme proprement primitive positive. Les signes inférieurs doivent être pris quand F est ime forme négative, et ]es signes supérieurs dans les autres cas. ARITHMÉTIQUES. 277 aSi. Problème. Etant proposées deux formes V y î de même déterminant D et qui appartiennent au même ordre O, trouifer une forme proprement primitive de déterminant D , telle que la résultante de cette forme et de f soit F. Soit

p''!i^p''q";^^c—'~j-, d'où Ton déduit aussi facilement que p et 7?" sont entiers. Donc F est composée de f et F. 255. Ainsi le problème est réduit à assigner toutes les classes proprement primitives de déterminant D, par les formes desquelles le nombre ^^ peut être représenté. Or ^^ peut évidemment être représenté par toute forme dont le premier terme est ^' lui-même, ou le quarré d'une partie aliquote de A', mais réciproquement si ^' peut être représenté par une forme y, en donnant aux indé- terminées de cette forme les valeurs cte, ye, dont le plus grand diviseur commun est ^, la forme/" se changera, par la substitu- tion et, /3, y^ «T, en une forme dont le premier terme sera—, et cette forme sera proprement équivalente àjf, si /3, cTsont tels qu'on ait acT — ^y=.\\ donc toute classe par les formes de la- quelle A^ pourra être représenté , renfermera des formes dont le premier terme sera A."^ ou le quarré d'une partie aliquote de A, Tout consiste donc à trouver toutes les classes proprement primi- tives qui renferment des formes de cette espèce j ce qui se fait de la manière suivante: Soient a y a, a", etc. tous les diviseurs positifs de A; on cherchera toutes les valeurs de l'expression \/D (mod. (2*) comprises entre o et a^ — i inclusivement, et les repré- sentant par bj U , b", etc., on fera b* — D-=^a^c ^ b'" — D^^a'^d, jf^ — Dz=.a^c", etc.j désignons par V l'ensemble des formes (a^, by c) , (a% b' y c') , etc. On voit facilement que toute classe de déterminant D qui renfermera une forme dont le premier terme soit a"" devra contenir une forme de V, on déterminera de la même manière toutes les formes de déterminant D , dont le premier terme est a'' et le second compris entre i et a'^ — i, nous désignerons par V l'ensemble de ces formes. On aura de même l'ensemble V de formes qui commencent par a"", etc. On rejettera de V, V\ V", etc. toutes les formes qui ne sont pas proprement primitives, on réduira les autres en classes, et s'il y en a plusieurs qui ap- partiennent à la même classe , on n'en retiendra qu'une par classe. On aura de cette manière toutes les classes cherchées , et leur nombre sera à l'unité comme le nombre total des classes M ARITHMÉTIQUES. 2S1 classes proprement primitives positives aux nombreâ de classes de Tordre O. Exemple. Soit D=^ — 53i, et O Tordre positif dérivé de Tordre improprement primitif de déterminant — Sg, dans lequel la forme la plus simple est (6, 3, go). On a ^ = 6, a= i, a=z2, a''=o, a"'=6. /^ contiendra la forme (i, o, 55i)j y les formes (4, i, i33), C4, S, i35)j F' les formes (g, 'o, 5g), (g, 5, 60) , (g, 6, 63) j enfin /J^* contiendra les formes (36, 3, i5), (36, g, 17), (36, i5, 21), (36, 21, 27), (56, 27, 35), (36, 33, 45). De ces douze formes ily en a six à rejeter, la deuxième et la troisième de J^' , la pre- miere, la troisième, la quatrième et la sixième de J^", qui sont toutes des formes dérivées; on trouve que les six autres appar- tiennent à des classes différentes; en effet, le nombre des classes proprement primitives (positives) de déterminant — 53 1 est i8 , et le nombre des classes improprement primitives positives de dé- terminant — 5gj ou le nombre des classes de déterminant — 53i dérivées de celles-ci est 5, partant le premier est au second comme 6 est à I. 256. Cette solution sera mieux éclalrcie par les observations générales suivantes : I. Si Tordre O est dérivé de Tordre proprement primitif, A* divisera JDj mais si O est dérivé de Tordre improprement primi- tif ou improprement primitif lui-même, jd sera pair, D sera di- visible par ^^" et le quotient ^i (mod.4). Donc le quarré de tout diviseur de ^divisera D ou au moins 4^ , et dans le second cas, le quotient sera toujours ^i (mod. 4)« IL Si a* divise D, toutes les valeurs de l'expression {/D (mod. û*) qui tombent entre o et a* — -i seront o, a, 2a , etc. a(û— i) , et partant a sera le nombre des formes de T^; mais parmi elles il n'y en aura de primitives qu'autant qu'il y a de nombres j 1 • D D D . premiers avec a dans les suivans : — , — — 1,— — 4^ a^ ' œ a" — — (a — i)'. Ainsi quand a=i, ^n'aura qu'une forme (i, o, — D), qui sera toujours proprement primitive. Quand a = 2 ou une puissance de 2, la moitié de ces nombres seront pairs, l'autre Nn t 282 RECHERCHES moitié Impairs; ainsi V renferme \a formes proprement primi- tives. Quand a est un autre nombre premier/?, ou une puissance de ce nombre premier, on doit distinguer trois cas: i°. si— n*est ni divisible par /?, ni résidu quadratique de/?, ces nombres se- ront tons premiers avec a^ et partant, toutes les formes de V seront proprement primitives. 2°. Si p divise — , comme depuis o jus- qu'à a — I il y a - nombres divisibles par/7 (o compris), et par- r tant ^-^^ a non-divisibles , - — a sera le nombre des formes pro- V P ^ prement primitives que contient F'» 3°. Si -^ est résidu quadra- tique de /?, et non-divisible par /?, comme entre np et (n'^i)p il y a deux valeurs de l'expression l/— (mod./?), entre 1 et a il y en aura— j donc il y aura ^^^a nombres non - divisibles par p dans la suite —, — — i, etc., et partant, le nombre des formes proprement primitives de /^ est ^^^a. Généralement, si l'on a a=:2/? ç r .../?, ç, r, etc. étant des nombres premiers différens, le nombre de formes proprement primitives contenues dans /^ sera NPQR.,., où l'on doit faire i\^=i quand 1^ = 0, et iV^=2 si j'>o; P=:p si — n'est pas résidu quadratique de p et n'est pas divisible par /?, P:=(p — i)/?^""^ quand— est divisible par p , ou P^=^{p — 2)/?^""^ quand -r est résidu de p mais non-divisible par /?. Q, Rj etc. se déterminent de la même manière en 9' , r, etc. III. Si a" ne divise pas D, on aura ^ entier et =1 (mod.4)j les valeurs de l'expression \/D (moâ. a") seront \a, la, \a, a''^-^a., partant, le nombre des formes de F" sera ^, et parmi les formes, il y en aura autant de proprement primitives qu'il y aura de nombres premiers à a dans la suite ——^,^—|, ^—.^,. . . a ^ a * a ^ ' ARITHMÉTIQUES. 285 R. — (^a — ^)^ Toutes les fois que ~- ^ i , ( mod. 8) , tous ces nombres seront pairs ^ et partant P^ ne renfermera aucuue forme proprement primitive; mais quand —^^5 (mod. 8) , tous ces nombres seront impairs , et partant^ toutes les formes seront pro- prement primitives , si a est 2 ou une puissance de 2. En général, il j aura dans ce cas autant de formes proprement primitives qu'il y a de nombres premiers avec a dans la suite précédente. Le nombre de ces formes sera iV/'Ç/2...si^=2'/7^9 V...; iV étant =2 ; et P, Q, R, etc. se déterminant comme dans le cas précédent. Nous avons ainsi fixé le nombre des formes primitives con- tenues dans V, V, V% etc. Quant à la somme de ces nombres, on trouve sans peine la règle suivante : Si u4= 2 P Q R ... P'> Ç', R', etc. étant des nombres premiers diflférens , le nombre total des formes proprement primitives contenues dans V^, V y V, etc. ' ;y ' h sera ^p^ryL '" , où l'on doit faire w'= i dans le cas où ^=0, et dans celui où ~ ^ I (mod. 8), 72'= 2, si 21 est entier et y=o', 7^=5; si ^ = 5 (mod. 8) et v>o.a'=P', si P' divise ^; a=z P' ±: i , quand P'ne divise pas-^, en prenant le signe -{- ou le signe —, suivant que ^ est non-résidu ou résidu de P'. On déduit b% c', etc. de Ç', P', comme|(2' de P.Nous omettons, pour abréger, la démonstration. V. Quant à ce qui regarde le nombre de classes que fournissent ces formes proprement primitives , il faut distinguer les trois cas suivans : i*. Quand D est négatif, chaque forme proprement primitive fournit une classe particulière , excepté deux cas où l'on aurait -^=— •4ou= — 3, c'est-à-dire, Z) = — -4^ou = ^. Pour démontrer ce théorème , il suffit évidemment de faire voir qu'il ne peut arriver que deux formes différentes de ^, V , V, etc. soient proprement équivalentes. Supposons donc que (/z% /, A}, (//% i', U), soient deux formes proprement primitives de V, V, Nu 2 * 284 HECHERCHES V\ etc. apparfenanfes à la même classe , et que la pretniëre se change en la seconde par la substitution ot, /3, ^, J^ , on aura les équations On conclut facilement de là que y n'est certainement pas = o ; car on aurait a = nfc i , li'z=:.lï'', i' ^i (mod. A*), et partant , les formes (/z% /, k^ , (/z'*, i' , k') seraient identiques contre l'hypo- thèse. On voit ensuite que y est divisible par le plus grand di- viseur commun des nombres h , N -, en effet , en nommant r ce diviseur , il divise 2/ et 21' (II et III) , mais sera premier avec k'j en outre z'^ — z'* est divisible par r% puisqu'on a /* — ^''zzzli'k — H'^k' , et l'on en déduit facilement que î — i' est divisible par r. Or on a ai' — aLi:=.!iH^-\^ykf donc yk et partant 5/ est divisible par r. Enfin on a (^cLh^-^-yiy — Dy^zzzh^'H'', Donc en posant ûLh*'^yi^=rp, yzr=rç , p et ç seront des entiers dont le dernier ne peut être nul, et l'on a l'équation ;y* ^ — Dç^^: — ^— . Mais — j- est le plus petit nombre divisible à-la-fois par h* et //% parconséquent il divisera a* et par suite 4D', donc |^ sera un entier négatif que nous représenterons par — ^, il en résultera Dans cette équation le terme (i-p-j étant un quarré < 4^ ^e peut ttre que o ou 1 ; dans le premier cas on a ^^'=:4 et D = — (~ j ? 'AD donc —7^ est un quarré affecté du signe — , et partant non ^ i (mod. 4)j ainsi O ne sera ni un ordre improprement primitif, ni D un ordre dérivé d'un ordre improprement primitif. Donc -^ sera entier , d'où Ton déduit facilement que e est divisible par 4j donc <7= I et Z) = — ( — J , et partant -jy un entier j donc on a né- cessairement D ■=. — A'^ ou —j: = — • i , première exception. Dans le second cas , on aura t?^' = 5 3 donc ^ = i , ^ =; 3 et A Til T H M E T I Q U E s. '^85 4D=: — ^( — Y; done 3 (—j) sera un entier qui ne peut être que 5, puisqu'en le multipliant par le quarré entier \j^) > on a 3. Donc 4^== — ^^^ o" ^^^^ — ^' seconde exception. JDouc dans tous les autres cas, les différentes formes proprement pri- mitives de ï^, V , etc. appartiendront à des classes différentes. Quant aux cas exceptés, il suffira, pour abréger, de mettre ici le résultat, qu'on trouve sans peine, mais dont la recherche pro- longerait trop cette analjse. Dans le premier cas, les formes ap- partiendront deux à deux à la même classe, dans le second trois à trois; donc le nombre des formes est dans celui-là double du nombre des classes, et triple dans celui-ci. 2°. Quand D est un nombre quarré positif, les différentes formes proprement primitives] de Vy V , jf^", etc. appartiennent sans ex- ception à des classes différentes. Supposons en effet que (A^, z, A) et (//% i' i A') soient deux formes de cette espèce, et qu'elles soient équivalentes \ soit et, /S, j/, cP la substitution propre qui change la première en la seconde. Il est clair que tous les raisonnemens de l'observation précédente, où l'on ne suppose pas D négatif, ont également lieu ici; on aura encore jrff^ entier, mais positif e» quarré; faisons-le =ê% il en résulte \j^) — S^^*=4> ce qui est absurde; car la difference de deux quarrés ne peut être /\, à moins que le plus petit ne soit =o; or cette supposition est inadmissible, puisque y=:.rq ne peut être nul, et que partant q ne peut pas l'être non plus. 3". Quand D est positif non quarré, nous ne pouvons donner de règle générale pour comparer le nombre des classes avec celui des formes. Nous pouvons seulement affirmer que le premier sera égal au second ou une partie aliquote du second. Nous avons même découvert une certaine liaison entre le quotient de ces nombres et les plus petites valeurs qui satisfont à l'équation f" — Dii''-=^A% mais il serait trop long de l'expliquer ici. Mais nous ne pouvons pas décider s'il est possible dans tous les cas de connaître ce quo- tient à la seule inspection des nombres D , A. Nous joignons quelques exemples qu'il sera facile de multiplier à volonté. a86 RECHERCHES Ponri?=i5, A =12, le nombre des formes proprement pri- mitives de J^ , e(c. est 3, qui sont toutes équivalentes et né donnent qu'une seule classe. Pour Dzz^Zj y A=z2, le nombre des formes est 5_, qui appar- tiennent à trois classes dififérentes. Pour Z>= 588, ^=7, il j a 8 formes qui fournissent quatre classes. Pour Z) = 867, ^:=: 17, il j a dix-huit formes et deux classes. Pour Z>=i445 et A. = ij , il y a également dix-huit formes, mais elles fournissent six classes. VI. De l'application de cette théorie générale au cas où O est l'ordre improprement primitif, il résulte que le nombre de classes contenues dans cet ordre est à celui de l'ordre proprement primitif comme i est au nombre de classes différentes proprement primitives que donnent les trois formes (1,0, — D),f4, i, ^-7 — ), (4^ % ~ — ) Or il en résul tera une seule classe quand D^i (mod. 8), parcequa dans ce cas la deuxième et la troisième sont improprement pri- mitives. Mais quand D^5 (mod. 8) , ces trois formes serontimpro- prement primitives et donneront autant de classes différentes si D est négatif, excepté le cas où /) = — 5, dans lequel elles appar- tiennent à la même classe j quant au cas où D est positif de la forme Sn-^5, il appartient à ceux pour lesquels nous n'avons pas jus- qu'à présent de règle générale. Nous pouvons cependant affirmer que ces trois formes donneront ou trois classes ou une seule , ja- mais deuxj car on voit sans peine que si les formes (1,0, — £>), (^4, I, —r-^\ (4> 5, ^-7—) appartiennent aux classes K, K' ^ K", respectivement, on aura K.K'z=K' (.1° 343, 2°), K\K'=zK" (IbidS")', donc si l'on supposait K=:K\ on aurait aussi K"=:K\ et de même si K et K" étaient identiques, on aurait /sC'^ A"; d'ailleurs ou trouve K' .K"=: K\ donc si K' et K" étaient identiques, K et K" le seraient aussi. Ainsi les classes K ^ K', K" sont toutes difïé- rentes ou toutes identiques. Par exemple, au-dessous de 600 il y a 75 nombres de la forme Sn^S, parmi lesquels se trouvent dix-sept déterminans auxquels se rapporte le premier cas, c'est-à- dire que le nombre de classes proprement primitives est trois fois plus grand que celui des classes improprement primitives j ces déterminans sont: 37, ici, i4i, 189, 197, 269, 325, 333, 549, ABITHMÉTIQUES. 287 375, 58i, 389, 597, 4^5, 485, 55j, 5-jZ', pour les cinquanfe-lmifc autres, le second cas a lieu, c'est-à-dire qu'il y a le même nombre de classes dans l'un et l'au(re ordre. VIT. Il est presque superflu d'observer que non-seulement par la recherche précédente , on peut comparer les nombres de classes des ordres difFérens de même déterminant, mais qu'elle est appli- cable à tous les déterminans diff'érens qui sont entre eux comme des nombres quarrésj savoir, si O est un ordre quelconque de déter- minant dm", O' un ordre de déterminant dnï^, O pourra être com- paré avec l'ordre proprement primitif de déterminant û^w^ celui-ci avec l'ordre dérivé de l'ordre proprement primitif de déterminant d, ou, ce qui revient au même pour le nombre de classes, avec ce dernier Ini-même; et par une raison semblable, l'ordre O' pourra être comparé avec le même. 257. Parmi toutes les classes d'un ordre et d'un déterminant donné, les classes ambiguës demandent un plus grand développe- ment, et la détermination de leur nombre nous conduira à beau- coup de résultats inléressans. Or il suffit de chercher ce nombre pour l'ordre proprement primitif, puisque les autres s'y ramènent facilement. Nous y parviendrons en trouvant d'abord toutes les formes ambiguës proprement primitives (^, B , C) de détermi- nant Df dans lesquelles B=o ou ===^Ay et en déduisant ensuite de leur nombre celui de toutes les classes ambiguës proprement primitives. 1°. Toutes les formes proprement primitives (^, o, C) de dé- terminant Df se trouvent évidemment en prenant pour ^ tou$ les diviseurs de D, positifs et négatifs, pour lesquels C= -r- est premier avec -<4. Ainsi quand D =1 , il j a deux formes de cette espèce : (i, o, — i), ( — i, o, i); il y en a autant quand Dz= — i, savoir, (i, o, i), ( — i, o, — i). Quand D est un nombre pre- mier ou une puissance d'un nombre premier avec le signe -f- ou le signe — ^ il J ^ quatre formes (i, o, ~Z)), (—1, o,D), (D, o, — i), (—A o, i). Généralement, quand D est divisible par 77 nombres premiers, il y a 3"-^' formes de ce genre j en effet, soit D=zhPQR , a88 RECHERCHES V, Q,R, etc. étant des nombres premiers difFérens ou des puissances de nombres premiers difFérens, dont le nombre est n-, les valeurs de A seront: i, P, Q, R,...PQ, PR, QR,...PQR.., et en général le produit d'autant de ces nombres qu'on voudra j or, par la théorie des combinaisons, le nombre total de ces produits est 2", mais il faut le doubler, parceque chaque valeur de A peut être prise avec le signe + ou le signe — . 2'. On voit de même qiiè toutes les formes proprement primi- tives {2B, B, C) de déterininant £) s'obtiennent en prenant pour B tous les diviseurs de D, pour lesquels Cz=.\(B — — j est en- tier et premier avec 2B', ainsi, comme C doit nécessairement être impair, et que partant C'^i (mod.8)j comme d'ailleurs on a I>=B^-^2BC=:z{B—Cy--C% on aura i)= 3 (mod. 4) si ^ est impair, et ^o (mod. 8) si B est pair. Ainsi, toutes les fois que D sera congru à l'un des nombres : i, 2, 4> 5, 6, suivant le mo- dule 8, il n'y aura aucune forme de cette espèce. Quand Z)^5 (mod. 4)^ C est entier et impair, quel que soit le diviseur de D que l'on prenne pour B j mais pour que C n'ait pas de diviseur commun avec 2B , B doit être pris de manière que -jT soit premier avec B : donc pour £)= — i ily a deux formes de cette espèce (2, i, i), ( — 2, — i, — i), et en général on voit facilement que si le nombre de tous les diviseurs premiers de D est n , il y aura en tout 2""^' formes. Quand D^o (mod. 8), C est entier foutes les fois que Ton prend pour B un diviseur pair de {- D y quant à la condition qui exige que Csoit premier avec 2^, on y satisfera de deux manières, i**. en prenant pour 5 tous les diviseurs impairement pairs de \D, pour lesquels -^ est premier avec — , et dont le nombre est 2""^', si le nombre total des diviseurs de D est tz, et que l'on fasse attention au double signe. 2°. En prenant pour B tous les divi- seurs pairement pair? de \D, pour lesquels —z- est premier avec \B', leur nombre est aussi 2""^'; desorte qu'on a en tout pour ce cas 2"-^* formes. C'est-à-dire, que si l'on pose jD=±2^PÇi?, etc.. ARITHMÉTIQUES. ^ 289 fj. étant >2 et P, Qt Ry etc. des nombres premiers ou des puis- sancesde nombres premiers impairs dont le nombre soit n, on pourra prendre, tant pour \B que pour -^, lesnombres: i, iP, Ç,2?,etc. et les produits de tant de ces nombres qu'on voudra, avec le signe -|- ou le signe — , On peut conclure de tout ce qui précède, que si D est divisible par n nombres premiers impairs dififérens (où n doit être fait =0 si Dzzzzdz ï y dz2, ou db2 ), le nombre de toutes les formes pro- prement primitives (^, B, C) dans lesquelles B = o ou =i\A sera 2"-+" quand D~i, ou =5 (mod. 8) , 2"-^" quand D = 2 , 5, 4> 6, 7 (mod. 8) (^)-, enfin 2"-^^ quand D^o (mod. 8). Si l'on compare ce résultat avec celui que nous avons obtenu pour l-e nombre des caractères possibles des formes proprement primi- tives de déterminant D , on verra que dans tous les cas le pre- mier est double du dernier. Au reste, il est évident que, pour les déterminans négatifs, il y a parmi les premières formes au- tant de positives que de négatives. 258. Toutes les formes trouvées dans le n" précédent appar- tiennent évidemment à des classes ambiguës, et réciproquement dans toute classe ambiguë proprement primitive, il doit y avoir au moins une de ces formes. En effet, dans une telle classe , il y a nécessairement des formes ambiguës , et toute forme (a, b, c) ambiguë proprement primitive de déterminant D doit trouver au moins une forme qui lui soit équivalente parmi celles du n" précé- dent, c'est-à-dire , une forme fa, o, — -), ou une forme (a, j a, ^a ■ — — J, suivant que b^o, ou ^^ (mod. à). Ainsi le problème est réduit à trouver en combien de classes ces formes peuvent se distribuer. (*) Il est essentiel de remarquer que la conti'adiction qui semble se présenter ICI ne provient que de ce que n n'a pas la même signification qu'à l'article i* de ce numéro. En effet , dans le premier cas le facteur 2 ou a'* se trouve compris dans le nombre n , tandis qu'il ne l'est pas dans le second. ( Note du traducteur. ) O9 2f)o RECHERCHES i>i la forme (a, o, c) est comprise parmi les formes du n* pré- cédent, la forme (c, o, a) s'j trouvera aussi et sera toujours dif- férente de la première, excepté dans le cas où l'on aurait =;i.De cette manière, nous pouvons réduire toutes les formes (^, o, C) à moitié, et dans celles qui resteront, on aura toujours -4 < v/d=iD. De la même manière, si parmi les formes du ii° précédent, il se rencontre la forme (2Z», à , c) , on y trouvera aussi la forme (4^ — ^Z', 2C — ^, c) = r T-, — -r, c\ qui lui est propre- ment équivalente , mais qui n'est pas identique avec elle, excepté dans le seul cas où l'on aurait c:=b:=zt: i ou JD= — i. Il suffit de garder celle de ces deux formes dont le premier terme est le plus petit: d'où il suit que toutes les formes (2-5, B, 6") peuvent être réduites à moitié , et que dans celles qui resteront, on aura j5<— ou B v/Z>=p^, et parconséquent -r^> v^Z> — i5'j donc A pris positivement est compris entre vZ-^ + ^S'et \/D-—B\ S'\A:>\/D, B n'est pas = 0, puisque nous avons rejeté les formes dans lesquelles ces deux circonstances étaient réunies, mais il est ^z^A; donc B' est , en grandeur, z=:lA , et il sera positif, car on a ^<2\/Z), par- tant zh^A tombera entre les limites assignées à B' et sera con- gru à Bf suivant le module A; donc B'=.-^\ A , donc B'<^\/D ou iB'<:i}/D'{'B', et parconséquent A, qui produise K par sa duplication , elle sera nécessairement comprise parmi les classes k, k'y k" , etc.; en effet, en supposant X-=kh, dans lequel h est une forme proprement primitive de déterminant Z)(n"249), on aura k\h^ = K', mais k^ = K ; donc Kh^ = K , et partant h'' = H, h est donc ambiguë et se trouvera parmi les classes H^ H' y H% etc. ; donc X se trouvera parmi les classes k , k' , A", etc. Ainsi ces classes donnent la solution complète du problème. AHITHMÉTIOUES. 395 Au reste, il est évident que dans le cas où D est négatif, il y a parmi les classes K , K', K\ etc. autant de classes positives que de négatives. '' Puisque toute classe proprement primitive de déterminant D qui résulte de la duplication d'une certaine classe, peut résulter de la duplication d'autant de classes semblables qu'il j a de classes proprement primitives ambiguës de déterminant D , il est évident que si ie nombre des classes proprement primitives est r, et que le nombre des classes ambiguës proprement primitives soit «, 011 aura - pour le nombre des classes proprement primitives de déter- minant D qui peuvent résulter de la duplication de classes delà même espèce. On trouve le même résultat pour les déterrainans négatifs, en restreignant la signification de r et tz aux classes po- sitives seulement. Par exemple, pour Dz=z — 161, le nombre des classes proprement primitives est 16, celui des classes ambiguës 4 5 partant, le nombre de classes proprement* primitives qui peuvent résulter de la duplication d'une classe proprement primitive est nécessairement 4^ et l'on trouve effectivement que toutes les classes du genre principal sont douées de cette propriété j savoir, la classe principale (i, o, 161), qui naît de la duplication des quatre classes ambiguës; la classe (2, i, 18), de la duplication des classes (9, i, 18), (9, — I, 18), (11, 2, i5), (11, — 2, i5}-, la classe (9, 1, 18), delà duplication des classes (3, i, 54)j (6, 1, 27), (5, — 2, 33), (10, 3, 17); enfin la classe (9, — i, i8), de la duplication des classes (3, — i, 54), (6, —I, 27), (5, 2, 33), (10, —3, 17). 261. Théorème, lia moitié des caractères assignables y pour un déterminant positif non quarré, peut n'appartenir à aucun genre proprement primitif y et pour un déterminant négatif , à aucun genre proprement primitif positif Soit 772 le nombre de tous les genres proprement primitifs, po- sitifs s'il y a lieu , de déterminant D\ k \q nombre des classes de chaque genre, km sera (n° 252) le nombre total des classes proprement primitives, n le nombre de tous les caractères diflfé- rens assignables pour le déterminant D. Alors, par le n"* 258, le nombre de toutes les classes ambiguës propremexit primitives sera t. \ 296' % R K r HE R C II E s ~ j doue par le n° grécédeut le nombre de toutes les classes pro- prennent primitives .qui peuvent résulter de la duplication de classes semblable* est UH-^ mais (n" 247) toutes ces classes appartiennent au genre principal qui contient un nombre k de classes ; si donc toutes les classes du genre principal peuvent provenir de la du- plication de quelque classe, ce que nous prouverons par la suite , on attrait ^-^ = k ou mz=-. Mais il est certain que l'on ne peut avoir ——^ k ni parconséquent tzz >-. Ainsi, puisque le nombre des genres proprement primitifs ne peut être plus grand que la moitié du nombre des caractères assignables, il J a au moins la moitié de ces derniers qui ne répondent à aucun genre. Au reste, il faut bien remarquer qu'il ne suit pas encore de là , que les genres proprement primitifs répondent en effet à la moitié de ces caractères j mais nous pourrons, plus bas, tirer cette vérité des propriétés les plus abstraites des nombres. Comme pour un déterminant négatif, il j a autant de genres négatifs que de positifs , il est clair qu'il n'y a pas plus de la moitié de tous les caractères assignables qui puissent apparte- nir à des genres proprement primitifs négatifs, nous reviendrons plus bas sur ce sujet, ainsi que sur les genres improprement pri- mitifs. Nous finirons en observant que le théorème n'est pas ap- plicable aux déterminans positifs quarrés , pour lesquels on peut voir sans peine que chaque caractère répond effectivement à un genre. 262. Ainsi, lorsquepour un déterminant donné, non quarré, il ne peut J avoir que deux caractères, il n'y a qu'un genre proprement primitif ( positif ), qui est nécessairement le genre principal. Cela arrive pour les déterminans — i, -|-2, — 2 , —4, les nombres premiers de la forme 4'^+^ i etles nombres premiers de la forme 4'z+5pris négativement, enfin pour toutes les puissances impaires de nombres premiers de la forme '\n'\-i, prises positivement et pourtoutesles puissances des nombres premiers de la forme ^n-^'^, prises positive- ment ou négativement, suivant que les exposans sont pairs ou impairs. Nous pouvons déduire de là une nouvelle démonstration, non- ARITHMETIQUES. 297 non-seulement pour le théorème fondamental, mais encore pour les autres théorèmes de la section précédente, relatifs aux ré- sidus — I, +2, — 2, basée sur des principes tout-à-fait diffé- rens, et non moins élégante que la première. Nous ne nous oc- cuperons pas du déterminant — 4 ^t de ceux qui sont des puissances de nombres premiers, parcequ'ils n'apprennent rien de nouveau. Pourle déterminant]— I, il n'y a aucune forme positive dont le ca- ractère soit 3,4 ; pour le déterminant 2, il n'y a absolument aucune forme dont le caractère soit 3 et 5^8; pourle déterminant — 2, il n'y a aucune forme positive dont le caractère soit 5 et 7,8. Pour le déterminant p, si p est un nombre de la forme 4^2-1-1^ ou pour le déterminant—;?, si p est un nombre de la forme 4^ + 5, au- cune forme proprement primitive (positive dans le dernier cas) n'aura le caractère Np. Cela posé , nous démontrons comme il suit le théorème fondamental, et les autres précités: i'. — I est non-résidu de tout nombre positif de la forme 4^-^5, En effet, si — i est résidu d'un tel nombre ud , en faisant — i=iB^ — ^C, {A, B, C) serait une forme de déterminant r— I , dont le caractère serait 3,4. 2*. — I est résidu de tout nombre premier p de la forme 4ri-\-i \ car le caractère delà forme ( — i, o, p), comme celui de toutes les formes de déterminant p^ sera Rp y donc —-iR.p* 3". -I-.2 et — 2 sont résidus de tout nombre premier p de la forme 8«-|-i-, car les formes (8, i, -^ ) > ( — S, i, ^^) ou les formes Ts, 3, '^^j , ( — 8, 3, ^—^^ seront proprement pri- mitives de déterminant^, suivant que 7z est impair oupairj donc leur caractère est Rp; donc %Rp et — 8/?/?; d'où (n* 98) 2Rp et —•2Rp. 4°. -j-2 est non-résidu de tout nombre de la forme 8/2 -f- 3 ou 8/2-1-5 j car s'il était résidu d'un tel nombre A, il y aurait une forme (^A , B , C) de déterminant 2 dont le caractère serait 3 et 5,8. r 5'. De rtiême — 2 est nou-ré$idu de tout nombre de la forme 293 RECHERCHES 8/z+5j Sn-i-j', sans quoi il j aurait une forme (yi , B , C) ôe déterminant — 2 dont le caractère serait 5 et 7,8. 6°. — 2 est résidu de tout nombre premier p de la forme 8/2-}-3. On peut prouver cette proposition de deux manières. D'abord , 2 étant N.p et — i aussi, on aura nécessairement (n° gS) — 2Rp» Ensuite si l'on considère le déterminant -f-^;?, pour lequel il J a quatre caractères assignables: M,pf i et 0,8; B.p, 5 et 7,8; N.p , 1 et 3,8; N.p, 5 et 7,8-, la moitié au moins ne répond à aucun genre. Or la forme (1,0, — 2p) a le premier caractère, la forme ( — i, o, 2p) a le quatrième j donc le deuxième et le troisième doivent être rejetés. Ainsi, comme le caractère de la forme (pj o, — 2), relativement au nombre 8, est i et 3,8, son caractère, relativement k p, ne pourra être que JRp ; donc — 2jRp, 7°. 2 est résidu de tout nombre premier p de la forme 8n-\-j; on peut de même prouver cette proposition de deux manières. D'abord, — 2 étant non-résidu de y» et — i aussi, on a nécessairement •^iRp, Ensuite, comme l'une où rautre des formes (8, i, — 0^)» ^8, 3, ^î^j est proprement primitive de déterminant —^ , suivasj que n est pair ou impair, son caractère sera R.p^ donc SR.p , et partant 2Rp. 8°. Tout nombre premier p de la forme ^n-^i est non-résidu de tout nombre impair q qui n'est pas résidu de p. Car il est clair que si p était résidu de q y il y aurait une forme propre- ment primitive de déterminant p dont le caractère serait N.p, g". De la même manière, si un nombre quelconque impair q est non-résidu d'un nombre premier p de la forme 4^ + 5, — p sera non-résidu de q', autrement il y aurait une forme positive, proprement primitive, et de déterminant — p dont le caractère serait N.p, 10'. Tout nombre premier p de la forme 4^+1 est résidu de fout autre nombre premier q qui est résidu de p. En effet , si ^ est aussi de la forme 4^-1-1 , cette proposition est une suite de la huitième^ mais si q est de la forme 4?i-{-5, — q sera résidu de// par la deuxième proposition, et partant , par la neuvième, pR.ç» I ARITHMÉTIQUES. 39,3 11". Si un nombre premier quelconque q est résidu d'un liombrs premier/? de la forme 4^-}- 5, — p sera résidu de ç; en effet , si ç est de la forme 4^-}-i , il suit de la proposition 8 que pR.ç, ^t partant, par la deuxième , — pR-Ç', mais le cas où q est de la forme 4^-f-5 se soustrait à cette méthode^ cependant on peut fa- cilement le traiter, par la considération du déterminant -\-pq; car, des quatre caractères assignables pour ce déterminant: R,p, R.q; R.p, N.q-, N.p , R.q; N.p, N.q, il n'y en a que deux qui appartiennent à des genres, et les formes (i, o, — pq), ( — I, o, pq) ajant pour caractères, la première Rp, Rq, la seconde Np,Nq, les deux autres n'appartiennent à aucun genre. Ainsi, comme le caractère de la forme (q, o, — p) est par hypothèse R»p, le caractère de la même forme, à l'égard du nombre q, doit être R.q, et partant — pR.q, Si l'on suppose, dans la huitième et la neuvième proposition, que q désigne un nombre premier, et qu'on les réunisse à la dixième et à la onzième, on aura la démonstration complète du théorème fondamental de la section précédente. 265. Après avoir confirmé le théorème fondamental par une nouvelle démonstration, nous allons nous occuper de distinguer cette moitié des caractères, auxquels nous avons vu qu'il ne ré- pond aucunes formes proprement primitives positives pour un dé- terminant quelconque non-quatré. Nous y parviendrons d'autant plus facilement que les élémens de cette discussion sont déjà ren- fermés dans les recherches des n*^^ 147 — i5o. Soit e" le plus grand quarré qui puisse diviser le déterminant proposé D , et JJ=D'e*, desorte que D' ne renferme aucun facteur quarré. Soient encore a y bf c, etc. tous les diviseurs premiers impairs de D% D' sera, abstraction faite du signe, le produit de ces diviseurs, ou le double de ce produit. Désignons par œ l'ensemble des caractères parti- culiers N.a, N.h, N.c, etc., seul quand D'^\ (mod. 4)? et en y joignant le caractère 5,4» quand £)''^5 et que e est im- pair ou impairement pair-, ou en y joignant les caractères 3,8 et 7,8, quand Z)'^5, et que e est pairement pair; en y joi- gnant le caractère 5 et 5,8, ou les deux 5,8 et 5, S , quand Z>'^2 (mod. 8), et que e est impair ou pair, ou les deux 5,^ et 7,8, quand D'^6 (mod. 8), et que e est pair ou impair. Cela posé, il no 2 5oo RECHERCHES répondra aucun genre proprement primitif (positif) à tous les ca- ractères complets qui renfermeront un nombre impair des carac- tères particuliers w. Dans tous les cas, les caractères particuliers qui expriment la relation à l'égard de diviseurs de D qui ne sont pas diviseurs de D\ n'influent pas sur la possibilité ou l'impos- sibilité des genres. Or, par la théorie des combinaisons, on voit aisément que l'on exclut effeclivement la moitié de tous les ca- ractères complets assignables. La démonstration s'établit de la manière suivante : Des principes de la section précédente, ou des lliéorèmes que nous venons de démontrer pour la seconde fois, on déduit sans peine que si p est un nombre premier impair et positif qui ne di- vise pas D, et auquel s'applique un des caractères rejetés, jD' renfermera un nombre impair de facteurs qui sont non-résidus de p, et que parconséquent £)', et par suite D, sera non-résidu de p. Or on voit facilement (n" 228) qu'on ne peut supposer l'existence d'un quelconque des caractères rejetés, et à-la-fois que ce carac- tère n'appartienne à aucun facteur d'un produit de tant de nombres premiers avec D qu'on voudra-, d'où, réciproquement, il est clair que tout nombre impair positif premier avec D, auquel convient im des caractères rejetés, renfermera nécessairement un facteur premier auquel le caractère appartienne, et que partant D est non-résidu de ce nombre. Si donc il existait une forme propre- ment primitive (positive) de déterminant D auquel répondît ce caractère , D serait non-résidu de tout nombre positif impair pre- mier avec lui, qui pourrait être représenté par cette forme, ce qui est contradictoire avec le théorème du n° i54. On peut prendre pour exemple les classifications données aujT n^* 23o et 23 1. Chacun pourra d'ailleurs en augmenter le nombre à volonté. 264. De cette manière , fous les caractères assignables pour un déterminant donné se divisent en deux espèces P, Q, dont cha- cune est composée d'un même nombre, et de manière qu'aucune forme proprement primitive ne puisse avoir un des caractères de Q ; mais quant à P, jusqu'à présent rien n'empêche que cha- cun des caractères qui y sont contenus n'appartienne à des formes ARITHMÉTIQUES. 5ot semblables. A Tégard de ces deux espèces de caractères; on re- marquera la proposition suivante, qui se déduit facilement de la nature même de ces caractères : -SI l'on compose un caractèrs de y auec un caractère de Q (en feignant qu'il existe des genres qui répondent à cette espèce de caractère, et y appliquant ce qui a été dit n= 246) on ironisera un caractère de Q; si l'on com- pose deux caractères de P, ou deux caractères de Q,le carac- tère résultant appartient à P. A l'aide de ce théorème, on peut aussi exclure la moitié des caractères pour les genres négatifs et improprement primitifs , de la manière suivante : I'. Pour le déterminant négatif Z), les genres négatifs sont contraires aux genres positifs, c'est-à-dire , que les caractères de P n'appartiendront à aucun genre négatif, et que ces genres n'auront que des caractères de l'espèce Q. En effet, quand U ~i (mod. 4), —D' sera un nombre positif de la forme 4^2 + 3 , et parconséquent parmi les nombres a, b, Cy etc. il y en aura un nombre impair de la forme 4^ + 3, de chacun desquels — i sera non-résidu , d'où il suit que le caractère complet de la forme ( i, o, D\ renferme un nombre impair des caractères particuliers de L, ou qu'il appartient à Ç. Quand Z>'=3 (mod. 4), par la même raison, entre les nombres a, b, c, etc., il n'j en aura aucun, ou il y en aura un nombre pair de la forme 4^2 + 5 j mais comme dans ce cas le caractère complet de la forme (—1, o, B) renferme l'un ou l'autre des deux caractères particuliers 3,8 ou 7,8, il est clair que ce caractère complet appartient encore à Ç. On obtient sans peine la même conclusion dans les autres cas, desorte que le caractère de la forme négative (—1, o, D) est toujours compris dans Ç. Mais comme cette forme, composée avec une autre forme quelconque proprement primitive et négative, donne pour résultante une forme semblable positive, on voit facilement qu'aucune forme proprement primitive négative ne peut avoir un des caractères de P. 2°. On prouve de même, pour les genres improprement primi- tifs positifs, que la chose a lieu comme pour les genres propre- ment^ primitifs, ou d'une manière contraire, suivant que D~x ou =5 (mod. 8). Car dans le premier cas, on aura aussi D ~\ 5o« RECHERCHES (mod. 8) y d'où l'on conclut facilement que parmi les nombres a, h^ c, etc. , il n'y aura aucun nombre de la forme 8/z-f-3 , et de la forme Sn-\-5, ou qu'il y en aura un nombre pair, puisque le produit de tant de nombres impairs qu'on voudra, parmi lesquels les fac- teurs des formes Sn-^-"^ et Sn-^-S sont pris ensemble en nombre impair, est toujours ^3 ou ^5 (mod. 8), et que le produite, h , c, etc. doit être égal à Z)' ou à — D\ Il suit de là que le caractère complet de la forme (2, i, — — •) ne renferme aucun caractère de &>, ou en renferme un nombre pair, et que partant il appartient à P. Maintenant, comme toute forme positive, im- proprement primitive et de déterminant D peut être considérée comme composée de (2, i, j et d'une forme positive propre- ment primitive et de même déterminant D, on voit qu'aucune forme positive improprement primitive ne peut avoir un des caractères de Ç. Dans le second cas, où D^S (mod. 8), au contraire, D' qui sera aussi ^5 renfermera nécessairement un nombre impair de facteurs de la forme 8/2 -f- 3, et de la forme 8/z-f-5, d'où l'on conclut que le caractère de la forme (1, 1, -^^^^^j , et partant celui de toute forme positive improprement primitive de déterminant Z), appartient à Ç , et qu'il n'y en a aucun qui se trouve dans P. 3". Enfin, pour le déterminant négatif, les genres improprement primitifs négatifs sont encore contraires aux positifs; c'est-à-dire qu'ils n'auront aucun des caractères de P ou de Ç, suivant que Z) ^ I ou ^ 5 C mod. 8 ) , ou suivant que — D est de la forme 8/z -f- 7 j ou ^'^ -f- 3. On déduit facilement cette proposition de ce que la forme ( — i , o j Z)), dont le caractère est compris dans Q , composée avec les formes improprement primitives et négatives de même déterminant , donne des formes improprement primitives et positives ; et que parconséquent , quand on exclut pour ces dernières les caractères renfermés dans Q , on doit exclure pour les premières les caractères renfermés dans P , et réciproquement, 265. Les recberches faites aux n*^' sSy , 258, sur le nombre des classes ambiguës, et qui servent de base à tout ce qui précède, peuvent fournir beaucoup d'autres résultats très-dignes d'attention, ARITHMETIQUES. 5o5 que nous sommes forcés de supprimer, cependant nous ne pouvons passer sous silence le suivant, qui est remarquable par son élégance. Nous avons fait voir que pour un déterminant positif/?, qui est un nombre premier de la forme 4^ -|- i , il n'j avait qu'une classe ambiguë proprement primitive 3 ainsi toutes les formes ambiguës proprement primitives de ce déterminant, sont proprement équi- valentes entre elles. Si donc h est le nombre entier immédiate- ment au-dessous de y/p , et que l'on fasse j) — h*z=.a , les formes (i, b, — a'), ( — i,b,a') seront proprement équivalentes; et partant, comme elles sont évidemment toutes les deux réduites , l'une sera contenue dans la période de l'autre. En attribuant à la première l'indice o dans sa période , celui de la seconde sera néces- sairement impair , puisque leurs termes extrêmes sont de différeus signes; supposons-le =277Z-f-i. On voit facilement que si les formes dont les indices sont i, 2, 5, etc., sont respectivement (-./, h\ a"), {a% b% — àr), C^a", b% a-), etc. ; celles dont les indices sont 2/72 , 2m — j , 2m — 2,2/72 — 5, etc., seront (a% ^,-0, C— a', b', a'), (a% b'.-^a"), (-a-, b% a"), etc. Il sait de là que si la forme dont l'indice est m, est (^, B, C), la même sera (—C,B,--A)', donc 0 = — ^ et;7 = ^* + ^'; donc tout nombre de la forme /^n-\-i est decomposable en deux quarrés , proposition que nous avons déjà démontrée (n' 182), mais par des principes tout-à-fait différens. Et nous pouvons par- venir à cette décomposition d'une manière uniforme, en dévelop- pant la période de la forme réduite dont le premier terme est i , et dont le déterminant est le nombre à partager, jusqu'à ce que nous trouvions une forme dont les deux termes extrêmes soient égaux et de signe contraire. Ainsi , par exemple , pour p = 233, on a (i,i5,— 8), (—8,9,19), (19^10,-7), (—7^11,16;, (16, 5, — 15), (-,i3,8, i3), d'où 235 = 64 H- 169. Au reste, il est clair que la forme {A , B, — A^ devant être proprement primitive, A sera nécessaire- ment impair, et partant, B pair. Comme pour un déterminant 5o4 RECHERCHES positif p qui est un nombre premier de la forme 4^^ H- i , il n'j a non plus qu'une seule ambiguë dans l'ordre improprement pri- mitif; il est clair que si g est le nombre impair immédiatement au-dessous de ^py et qu'on fasse p — g*z=:^h, les formes réduifes {2, g, — 2^), ( — 2fg,2h) sont proprement équivalentes, et partant, l'une doit être comprise dans la période de l'autre: de là , par des raisonnemens absolument semblables aux précédens , on conclut que dans la période delà forme (2, g, — 2/i), il se trouvera une fornie dont les termes extrêmes sont égaux et de signes contraires, desorte qu'on peut encore tirer de là la décomposition du nombre p en deux quarrés. Mais il est clair que les termes extrêmes seront pairs, et partant, celui du milieu impair ; et comme il est constant qu'un nombre premier ne peut se décomposer que d'une seule manière en deux quarrés ; la forme trouvée par cette dernière méthode sera {B,'àzA, — B)^ ou (^—-ByZç.A, B). Ainsi, pour l'exemple précédent, où /? = 233 , on a (2, i5, -4), (-4, i5, 16), (16, 5, -i4), (-.14, 11,8), (8, i3, -8), et 233 ;=; 169 -|- 64, comme plus haut. 266. Jusqu'à présent nous avons restreint nos recherches aux fonctions du second degré qui ne renferment que deux indéter- minées , et il n'a pas été nécessaire de les distinguer par une dé- nomination particulière *, mais il est clair que ce sujet n'est qu'une section très-particulière des fonctions algébriques rationnelles , entières et homogènes , qui renferment plusieurs inconnues. Ces fonctions peuvent se distribuer en formes du premier, du deuxième, du troisième, etc. degré j et quant au nombre d'indéterminées, nous les distinguerons commodément en formes binaires y trinaires, quaternaires , etc. Ainsi , ce que nous avons appelé for?ne jusqu'à présent, prendra dorénavant le nom de y(7r77ze Z'/zz^zr^ du second degré, et les fonctions telles que Ax' + 2Ba:y + Cy* + 2Dxz + 2Eyz + Fz* ; A, B , C, D , etc. étant des nombres entiers, s'appelleront /b 7772 (7* trinaires du second degré y et ainsi de suite. Nous avions presque consacré la présente section aux formes binaires du second degré ; mais comme il nous reste à faire connaître quelques-unes de leurs plus ARITHMÉTIQUES. 3o5 plus belles propriétés , qui se déduisent naturellement de la théorie des formes trinaires , nous insérons ici une courte digression sur ces dernières, et nous exposerons des premiers élémeus de cette théorie , ce qui sera nécessaire pour compléter celle des formes binaires, pensant satisfaire davantage les Géomètres, que si nous les supprimions , ou si nous les déduisions de méthodes moins directes. Au reste , nous réservons pour une autre occasion l'examen plus exact de cet important sujet, tant parceque sa fertilité excé- derait de beaucoup les bornes de cet ouvrage , que dans l'espoir de pouvoir lui donner par la suite plus de développemens. Mais nous écartons absolument les formes quaternaires , quinaires y etc. du second degré et celles des degrés plus élevés, et il suffira d'avoir recommandé ce champ vaste à l'attention des géomètres, où ils pourront trouver un très-beau sujet d'exercer leurs forces , et les mojens de donner à l'Arithmétique transcendante de très-beaux développemens. Nous pourrons ainsi nous contenter de distinguer les formes en binaires et ternaires. 267. Il sera avantageux, pour l'intelligence , d'établir un ordre fixe parmi les indéterminées des formes trinaires, comme nous Tavons fait pour les formes binaires , de manière à distinguer la ■première , la seconde et la troisième. Quant à la disposition des différentes parties de la forme, nous suivrons constamment aussi le même ordre , en plaçant le premier le terme qui renferme le quarré de la première inconnue, et ensuite ceux qui renferment le quarré de la seconde , le quarré de la troisième , le double produit de la seconde par la troisième , le double produit de la première par la troisième, et enfin le double produit de la pre- mière par la deuxième. Mais , comme nous abrégerons en ne dé- notant pas toujours les indéterminées par des lettres particulières, nous représenterons la forme y par le sjmbole u' ^/' %<)> quand nous n'aurons pas égard aux indéterminées. En posant b^ — a'a=zA, h'^ — aa'^zA^ b"^ — aa'=: A% ab-^ b'b"=: B , a'b''^bb'z=zB'yab'---bb':=^B\ il résulte une autr« Qq > 5o6 RECHERCHES f forme -f = C « ^'' B"")' ^'^^ ^°"^ appellerons adjointe de la fû^nie f. Ces relations donnent aussi les suivantes^ en représen- tant par D le nombre B^—AA"^=^B, B'^---AA"z=::a!D, B"^—AA!^a'D, AB~B'B" ^hD, AB'-- BB" ^h'D , A'B'— BB' —^ h'D; d'oii il suit que la forme Ç^j^' ^,^' ^„^J est adjointe à la forme F. Nous appellerons déterminant de la forme/, le nombre D de la nalure duquel dépendent principalement les propriétés des formes ternaires. De cette manière, le déterminant de la forme FestZ)% ou égal au quarré du déterminant de la forme à laquelle elle est adjointe. Ainsi, par exemple, la forme ternaire (^^* J_^' ^\ a pour ad- jointe (j^ ' "~^ °' \0* ^^ ^^^^^ °^* toutes deux pour détermi- nant, I. Nous excluons de nos Recherches les formes ternaires dont le déterminant est o, que nous traiterons plus en détail dans une autre occasion , et qui ne sont ternaires qu'en apparence , se ré- duisant, comme on le verra, à des formes binaires. 26S, Si une forme ternaire f, dont les indéterminées sont a;, x', x", et le déterminant D , se change en une forme ternaire^, dont le déterminant est E, par la substitution .T=:tr-f.,VH->/, cr'^ccy+isy+^j", x''=.a,y+^y+yy, oiilescoefficiens a, (^, y,eL, etc. sont supposés des nombres entiers, nous dirons, pour abréger, que la formel se change en ^ par la substitution a. P> y, c.', /3', y-, a^ ^', y" (S), et que / renferme g , ou que g est contenu dans/. De cette sup- position dérivent six équations pour les six coefïiciens de g, qu'il est inutile de transcrire ici, et d'où Ton déduit facilement les - conclusions suivantes: ;» ARITHMETIQUES. ^07 1% En désignant, pour abréger, par A le nombre on trouve, réduction faite, E = k^D; d'où il suit que D doit diviser E et que le quotient doit être un quarré. L'on voit ainsi que le nombre k joue ici le même rôle que le nombre cl^ — (èy pour les formes binaires, d'où nous pourrions présumer que le signe de k établit aussi une différence essentielle entre les transforma- tions propres et impropres. Mais en examinant la chose de plus près , il est clair que f se change aussi en y par la substitution -a, -./3, -;.; -a', ~/3', -/; -a% -/3% -/, et que k devient alors — k, et que parconséquent cette substi- tution serait différente, et que toute forme ternaire en renferme- rait une autre tant proprement qu'improprement. Ainsi nous ne ferons pas usage de cette distinction, qui devient inutile pour les formes ternaires. 2,\ En désignant par F et G les formes adjointes aux formes /, y , les coefïiciens de F se déterminent par les coefficiens aef, et les coefficiens de G par ceux de g-, qui se connaissent eux- mêmes par les équations que fournit la substitution S. Or la com- paraison des coefïiciens de i^ et G prouve sans peine que F ren- ferme G et se change en elle par la substitution ^'y^ory^ yct''-^y"ct', .t'/S'— *"/S' ; ^"y—h"> >"*—>*', a'/S-^.fi', /3/— ^> , y^'—y'ct , *.S'— :t'^ (5'). Nous n'inscrivons pas ici le calcul, qui n'est sujet à aucunes difficultés. 3°. La forme g , par la substitution: /Sy— iS">', /3'V-~/3/, /3/— /S'y; y'ct"— /*', yV— >*', 7*'->'ci; «T— ^T, et"/?— «t.0", ct^'-A'^ (5"), se change évidemment en la même forme que celle en laquelle se change f par la substitution kf 0, oj o, k, o) o. G, A-, c'est-à-dire en celle qu'on obtient en multipliant tous les coeffi- ciens de la forme y par A*. Nous désignerons cette forme par/'. 3o8 RECHERCHES 4". On prouve absolument de la même manière^ que la forttie G 5e change , par la substitution CL, a!, cl"', /3, /3', /S"; >, /, / Ç^S'"), en la forme en laquelle se cbange F , en multipliant les difFérens coefficiens par k"-, nous désignerons cette forme par F', Nous dirons que la substitution S"' naît, par transposition , de la substitution S-, alors il est évident que la substitution *S résulte de la transposition de la substitution S"; de même 5' et S" naissent de leur transposition réciproque. On peut appeler la substitution S' substitution adjointe k S y d'où la substitution S', sera adjointe à la substitution S'", 26g. S'il arrive, non-seulement que la forme /" renferme la forme y , mais encore que la forme g renferme la forme /', ces deux formes seront dites équivalentes, et dans ce cas on voit que D et E devant se diviser mutuellement, on a nécessairement D:=:E) et réciproquement si une forme /"en renferme une autre g de même déterminant, ces deux formes seront équivalentes 5 en effet on aura Â=dbi, et partant la forme /' en laquelle se cliange g par la substitution S", sera identique avec/*, et par- conséquent y sera contenue dans g. Or il est clair que dans ce cas les formes F et G adjointes aux formes/" et g seront aussi équivalentes, et que la deuxième se change en la première par la substitution S", Enfin, si l'on suppose que les formes F, G soient équivalentes, et que la première se change en la deuxième parla substitution T, les formes/" et g seront aussi équivalentes, et/* se changera en g par la substitution adjointe k T, et g en /"par la substitution qui naît de la transposition de la substitution ad- jointe à T. Car par ces deux substitutions respectives, la forme adjointe à JP se change en la forme adjointe à G, et la forme G en cette même première forme; mais ces deux formes naissent de f et g, en multipliant chacun de leurs coefficiens par Z); d'où Ton voit sans peine que par les mêmes substitutions /'se change en g et g en y respectivement. 270. Si la forme ternaire/' renferme la forme ternaire/"' et celle-ci la forme/", la forme / renfermera aussi /". Car on voit ARITHMÉTIQUES. ^09 facilement que si f se change en f par la substitution a. p^ y, ^> py y j ^ > p > y , et f en f, par la substitution y se changera en y" par la transformation a'/+^V-+/j% cc"£+/3V+>V, ct"C-f-/3''4'+/4'j ainsi, dans le cas oùy est équivalente à/"', et y à y, la forme/" sera aussi équivalente à f , Au reste , on voit aisément comment ces théorèmes s'étendraient à im plus grand nombre de formes. 271. 11 suit évidemment de là que toutes les formes ternaires," ainsi que les formes binaires, peuvent se distribuer en classes, en rapportant à la même classe les formes équivalentes, et celles qui ne le sont pas, à des classes différentes. Ainsi les formes de dé- terminant différent appartiendront certainement à des classes diffé- rentes, et partant il y aura un nombre infini de classes de formes ternaires-, mais les formes ternaires de même déterminant donnent un nombre de classes tantôt plus grand, tantôt plus petit, maïs toujours Jini , ce qui peut être considéré comme une propriété principale de ces formes. Avant de traiter avec plus de détail cette proposition très-importante, nous expliquerons une différence essen- tielle qui a lieu entre les formes ternaires. Quelques formes ternaires sont telles, qu'on peut représenter par elles, sans distinction des nombres positifs et négatifs, par exemple, la forme x^-\-y''—z', et nous les nommerons formes z/z^V+ h'xy -— A"x'^ + ^Bx'x"-- A'x"' 5 multipliant ensuite par A', il vient h ^A'af:=:. A'{ax-\-V'x''ir b^xj-^ {A'x'-^^BxJ-iràDx'^ ; d'où il suit que A!af est négatif si aD et A! le sont , et par- conséquent que le signe de f est nécessairement opposé à celui de A'a^ c'est-à-dire quejTest de même signe que a ou de signe op- posé à Z?. Ainsi la forme y" sera définie dans ce cas-là, et sera positive ou négative , suivant que a est positif ou négatif, ou suivant que L> est négatif ou positif. Mais si aD et A! sont positifs, ou que l'un des deux le soit,' aucun n'étant =0, on voit facilement qu'en déterminant con- venablement les valeurs des indéterminées , h pourra être positif ou négatif, et que partant y pourra obtenir des valeurs, tant de même signe que de signe opposé à h 5 donc f sera une forme indéfinie. Pour le cas où ^'=0, sans qu'on ait aussi dr=ro, on aura af^ {ax'\-y'x'^ h'xy-^ x\A"x'-^ nBx") , en donnant à x' une valeur arbitraire, qui cependant ne soit pas =0, et prenant x" tel que le signe de — 0- — ^' soit le même que celui de Bx', ce qui est possible, car B n'est pas =0, puisqu'on aurait B^ — A'A"-=.aDz=^o, et partant D:=zO', alors cc{A^x' — ^Bx") sera une quantité positive, et l'on voit aisément que X pourra être déterminé de manière que af obtienne une va- leur négative j il est même évident que ces valeurs peuvent être prises, si l'on veut, de manière qu'elles soient toutes entières. Enfin, x' et x"* ajant des valeurs quelconques, on peut prendre ic assez grand pour que rz/" devienne positif. Donc, dans ce cas, la forme f est indéfinie. 'A T^ 1 T H M É T I Q U E s. 3if Enfin, si ^ = o, on a /== a'x' + 2bx'x''-{- a"x"'^ -f- 2x(h"x'-i- h'x") , et en prenant x' ^ x' à volonté, mais tels que h"x''\-h'x" ne soit pas zéro , il est évident que l'on peut déterminer x de manière que /'obtienne des valeurs positives et négatives^ donc/" est une forme indéfinie. De même que nous avons déterminé l'espèce de la forme f , d'après les nombres aD et ^ , nous aurions pu j parvenir au mojen des nombres aD et A" , desorte que la forme f sera dé- finie si aD et A' sont négatifs, et indéfinie dans tous les autres cas. On peut de même considérer les nombres ciD et A , ou aD et A% ou a'D et A , ou enfin a"!) et A\ Il suit de là que pour une forme définie les six nombres A , A' , A\ aD , a'D , a"D sont négatifs j pour une forme positive, a, a, a seront positifs et D négatif, et pour une forme négative, a, ci, a' seront négatifs et D positif; ainsi, toutes les formes ternaires de déterminant donné positif peuvent se distribuer en négatives et en indéfinies, toutes les formes d'un déterminant donné négatif peuvent se dis- tribuer en positives et en indéfinies. Enfin, il n'y a pas de formes positives de déterminant positif, ni de formes négatives de déter- minant négatif. On voit facilement, d'après cela, que la forme adjointe à une forme définie est définie et même nêgadue , et que la forme adjointe à une forme indéfinie est indéfinie. Puisque tous les nombres représentables par une forme ternaire donnée le sont également par toutes les formes qui lui sont équiva- lentes, les formes ternaires comprises dans une même classe seront toutes positives, ou toutes négatives, ou toutes indéfinies. Ainsi ces dénominations pourront être transportées aux classes elles-mêmes. 272. Nous allons démontrer que les formes ternaires d'un déter- minant donné peuvent se distribuer en un nombre fini de classes, et nous nous y prendrons comme pour les formes binaires , c'est- à-dire, que nous ferons voir d'abord comment une forme ternaire donnée peut être ramenée à une forme ternaire plus simple , et ensuite que le nombre des formes les plus simples auxquelles on parvient par ces réductions e§t toujours fini, quel que soit le déter- 5ii RECHERCHES rainaut. Supposons généralement que la forme /= ^^' ^/ ^N de déterminant D, se change en la forme équivalente g = C^' '^, ' "!, \ par la substitution a,^,y; cl\ ^' , y' -, ^\ ^% y" {S) il nous restera à déterminer a, jS, y y etc. de manière que g soit plus simple que/. Soient JP = (^^' ^/ ^„^, G:=:(^'^; ^-^-„ Mes formes adjointes kfet g , la forme i7 se changera en G par la substitution adjointe k S , et G en F par la substitution qui naît delà trans- position de S. Nous ferons le nombre cl^y 4- a'/3> + a^iS/ -< a'/SV — a/3 V — a'/S^" =; ± i = ;t. Cela posé, observons : 1°. Que si l'on fait y = o , 5^' = o , «" = o, /S" = o , 5^" =; i ; on a n =^/3'4.^'/35 7?'=^*'+^^'*, 7z" = aa/34-Z»"(*iÊ'+a'/3)-}-«V/3; on aura en outre a/S' — a'/3 = ± i. Il est évident par là, que la forme binaire (a, b", a') de déterminant ^" se change par la sub- stitution a, /3, a', /S' en la forme binaire (m, n", m') , et qu'elle îui est même équivalente, puisque a/3' — a'/3 = db 1 ; on aura donc ^" = M" , ce qu'on peut aussi vérifier sans peine directement; Si donc la forme (a, b", a') n'est pas déjà la forme la plus simple de sa classe, on pourra déterminer cl, (3, af, /3', de manière que (ttz , n", m') soit une forme plus simple ; et par la théorie des formes binaires, on sait que cette réduction peut se faire de manière que m ne soit pas plus grand que \/ — | ^"si -^^ est négatif, ou que y/ A" si ^' est positif, ou enfin de manière que 77z = o si -^" = 0, Desorte que dans tous les cas , la valeur absolue de m peut être abaissée ou au moins au-dessous jusqu'à V^ =i= | ^". Ainsi la forme/ peut se ramener à une autre, dans laquelle, s'il y a lieu , le pre- mier coefficient soit plus petit, et dont la forme adjointe ait le même troisième coefficient que la forme F adjointe à/. C'est en cela que consiste la première réduction. 2*. ARITHMETIQUES. 3i3 2\ Mais si Ton fait (X=i, /3 = o, > = o,ct' = o, «"=0, on aura 5^ = /3y — /Sy = d= i , et la substitution adjointe à S de- viendra d= 1,0,0; 0,^,^^"', o,— y, /S% par laquelle jF se change en (?. On a ainsi M'=:Ay^^2Byy-tAy% m=— ^'iSy+ B{^V'h^y)—A"^y, d'où il suit que la forme binaire {A', B, A) dont le déterminant est Da, se change par la substitution /S', _^'_, — /S", /_, en la forme (M", iV, M') de déterminant Dm-, ç,V k cause de l'équation ^V— /3V = d=i, ou de Da = Dm, ces deux formes sont équi- valentes. Ainsi, à moins que la forme {A', D, A') ne soit déjà la plus simple de sa classe, les coefficiens /S', >', /S", / pourront être déterminés de manière que {M% N, M') soit plus simple-, et même cette réduction peut se faire de manière que M" , sans égard au signe, ne soit pas plus grand que [/zh^D) ensorte que Von réduit la forme/ à une autre qui a le même premier coefficient, mais dans la forme adjointe de laquelle le troisième coefficient est moindre, s'il j a lieu, que celui de la forme F adjointe à/. C'est en cela que consiste la seconde réduction. 3°. Si donc/ est une forme ternaire à laquelle aucune de ces deux réductions ne soit applicable , c'est-à-dire , qui ne puisse par aucune se changer en une plus simple , on aura alors nécessaire- ment u^ < ou = f ^, et A'<:ou=zlaD , sans avoir égard au signe. Donc a^ sera < ou = ^ ^% et partant, a^ < ou = |i aZ?, et a' < ou =1^ D; donc a < ou =| /J9 , et ^* < ou = ^ ^D^, et parconséquent ^ < ou = | ^/Z)^ Ainsi, quand A et a surpassent ces limites, nécessairement l'une ou l'autre des réductions précé- dentes peut être appliquée à la forme/. Au reste, il ne faut pas renverser cette conclusion , puisqu'il arrive souvent qu'une forme ternaire dont le premier et le troisième coefficient sont au-dessous de ces limites, peut néanmoins être rendue plus simple par l'une ou l'autre de ces réductions. Rr _ V- _* j.^ J.V vj H E s 4°. Si donc on applique alternativement la première et la se- conde réduction à une forme donnée de déterminant D , c'est-à- dire qu'on lui applique la première ou la seconde , à celle qui en résulte la seconde ou la première, à celle qni en résulte de nou- veau la première ou la seconde, etc. , il est évident qu'on arrivera nécessairement à une forme à laquelle on ne pourra plus appliquer ni l'une ni l'autre , sans quoi on aurait deux suites de nombres entiers continuellement décroissans. Nous sommes donc parvenus à ce théorème important : Toute forme ternaire de déterminantX) , peut être réduite à une autre équivalente dont le premier coef- 3 * . ., Jicient ne soit pas plus grand que | yT> , et telle que le troisième 3 coefficient de la forme adjointe ne soit pas plus grand que | V^D% sans avoir égard au signe , à moins que la forme proposée nù jouisse déjà de ces deux propriétés. Au reste , au lieu du premier coefficient de la forme f , et du troisième de la forme adjointe, nous aurions pu traiter absolument de la même manière , le premier coefficient Je f et le second de la forme adjointe, ouïe second de/" et le premier ou le troisième de la forme adjointe, ou le troisième dey et le premier ou le second de la forme adjointe , et nous serions arrivés de même à notre but; mais il vaut mieux s'en tenir à une méthode unique , afin de pou- voir ramener plus facilement les opérations à un algorithme fixe. Nous observons enfin que les deux coefficiens que nous avons appris à abaisser au-dessous de limites fixes , peuvent avoir encore des limites moindres, si l'on distingue les formes finies des formes indé- finies. Mais cela n'est pasnécessaire pour ce que nous nous proposons. 273. Voici quelques exemples qui éclairciront ce qui précède. Exemple!, Soit/=(;^;^g; J, on aurai^=:( ^^^^ ^^3^ ^^J etZ) = — 1. Comme (19, i, 21) est une forme binaire réduite qui n'a pas de forme équivalente dont le premier terme soit moindre que 19, la première réduction n'est pas applicable ici; mais la forme binaire {A" y B ^ A') = ( — 398, 267, — 166) se change en ( — 2, I, — 10) qui lui est é(juivalente , par la substitution 2^ 7, 3, II. Ainsi, en faisant ^'==2, >-' = — j , /S^ss — 3, 5."= 11, on aura pour la forme y, la substitution ARITHMETIQUES. 3i5 I, O^ OJ O, 2, — 7; O, — 3, II, par laquelle on trouve qu'elle se change euf'= ( ^•^' '^' q]' Le troisième coefficient de la forme adjoinle k f est — 2, et partant, celle-ci doit être regardée comme plus simple que y. On peut appliquer à la formel la première réduction. La forme binaire (19, — 82, 354) se changeant en (i, o, 2) par la transformation l'S, /i, 5, i , on aura pour la forme y la transfor- mation i3^ 4, o; 3, I, o; 0,0,1, par laquelle elle se change en la forme (]j_ ^ g ^) =/'• On peut appliquer de nouveau la seconde réduction à la forme/' qui a pour adjointe (Z^J^^'^^s^iT^o)* ^^ ^^^^ > ^^ ^^^'"^^ ^^- naire ( — 2, — gS, — 4^1 5) se change par la substitution 47, i , — 1,0 en ( — I, I, — .2), d'où/" se change par la substitution I, 0, 03 o,47> — '5 o, I, G, en la forme /"= ( j ' ^^ ^'jg}« Le premier coefficient de cette forme ne peut plus être réduit par la première réduction , ni le troisième de la forme adjointe par la seconde. Exemple II, Soit/=(^°'^ ' ^^ qui a pour adjointe la forme — 3,-— 20, — 244\ . -, , . ^^ 70—28 8 )>^^^ pour determmant. On trouve successive- ment par l'application alternative des deux réductions , par lesquelles les Substitutions 1, 0,0; o, — 1,0; 0,4,-1 0/--i>oj ï> —2,0; 0,0, 1, 1, 0,0; 0,-1, OJ 0, 2, —1, I, o, 0; .1, 1, o; o, o, 1 les formes se changent en /•tf -^ /' ^' a, 2 \ '•^ ~\ 2, —I, o ) cm f ^t ^t 2\ '^ ~\— 3, 1, —27 ■> V— 3, —1, 0/ 5i6 RECHERCHES La forme y" ne peut être soumise à l'une ni à l'autre des deux réductions. 274. Quand on a une forme ternaire dont le premier coeffi- cient, ainsi que le troisième de la forme adjointe, sont abaissés autant que possible par la méthode précédente , on obtiendra comme il suit une plus grande réduction. En conservant toujours la notation du n" 172, et posant a=:i, ct'=o^ /S'=i^ «"=0^ l^"=:o, 3^"=!, c'est-à-dire en employant la substitution I; {^f >; Oy If y-, 0, O, i; on aura m=:a, m':=::a''\-2h"^-\^P>% 77z''=a''+2Z'yH-2Z»'>-f-«>*+2Z>V>'-|-«'>'% et en outre Wz:^A\ N^B-^Ay, N':=:B''-^A"y-'N^. Ainsi, par cette substitution les coefficiens a, A", qui sont déjà réduits , ne changeront pas ; il ne reste plus qu'à diminuer les autres coefficiens en déterminant convenablement les valeurs de /3, y, y. Observons d'abord que si l'on a A"z=:Of on doit avoir aussi c=05 car si a n'était pas =0, la première réduction serait encore applicable, puisqu'à toute forme de déterminant =0 ré^ pond une forme équivalente telle que (o, o, h) (n° 21 5), et dont parconséquent le premier terme =0. De la même manière, si azzzo, on aura A"=:o , ainsi les deux nombres a et -<^ seront tous deux nuls, ou aucun des deux ne le sera. Dans le second cas, il est évident que /3, y, y' peuvent être déterminés de manière que n", N, N' ne soient pas plus grands que {a, IA% {A" respectivement. Ainsi dans le premier exemple du n" précédent, la dernière forme f^'^'^' V qui a pour ad- jointe T"" ^ ' 3! g' "^ J > se change, par la substitution I, —16, i6j o, I, — l'y o, o, 1, en la forme />' ==x Q^ ^'^ J), qui a pour adjointe (""^^ ■"^^' ~^). ARITHMÉTIQUES. 3,7 Dans le premier cas, où az=:A"^o , et partant h'z=.Oy on aura ce qui donne D:=:a'b'^^mn'\ Or on voit facilement que l'on peut prendre /3 et y' de manière que n soit le résidu minimum absolu de h ,^ suivant le plus grand diviseur commun des nombres fl', h', c'est-à-dire, que n ne soit pas plus grand que la moitié de ce commun diviseur, abstraction faite du signe, et partant 77 = 0 toutes les fois que a! et h' sont premiers entre eux 3 /3 et y' étant ainsi déterminés, on pourra prendre y tel que 772" ne soit pas > h', à moins que l'on n'eût b'^o; mais alors on aurait Z) = o, cas que nous avons exclu. Ainsi, dans le second exemple, on a'pour la dernière forme 7z = — 2-/3+2/, et en faisant /;=o, > = i, il vient 77=0, partant 77z'=2— 2j. et 772^=0 en faisant y^i Ainsi, par la substitution I, —2, ij o, I, o; o, o, I, cette forme se change en C^' ^' °\ =:=:/", 2j5. Si l'on a une suite de formes ternaires équivalentes f,f\ /',/'% etc., et les transformations de chacune d'elles en la sui- vante, des transformations de/ en f et de /' en /", on déduira (n* 270) celle de / en f; de cette dernière et de la transfor- mation de/" en/", on déduira celle de /en/", etc. Ainsi, de cette manière on aura la transformation de/ en une forme quelconque de cette suite; et comme (n"* 268, 269) on déduit de la transformation d'une forme quelconque /en une autres-, Ja transformation àe g en/., on pourra obtenir la transformation d'une forme quelconque de la suite, en la première /. Ainsi, pour les formes du premier exemple on trouve les substi- tutions i5, 14, Q. 6, 2, — 7j —9,— 3, II.... i3, 188, —4; 6, Sj, ^2-, ~g, ^i3o, ; 3.... i3, —20, 16; 6,^9, 7; —9, 14.. —II, par lesquelles /' se change en /',/•;/-,- et de la dernière 6 n déduit la suivante : 3iS RECHERCHES ^} 4 4} 5, I, 5j 3, — 2, 5j par laquelle/'" se change en f\ De la même manière, pour l'exemple 2 du n* précédent, on trouve les substitutions i^ — 1> ij — 3, 4, — 3; 10, — 14, II 2, — 3, — i; 5, I, O'j 2j 4, I , par lesquelles la forme Ç^°' ^ ' M se change en (°' _^' ° J, et cette dernière en la première respectivement. 276. Théorème. Le nombre des classes en lesquelles peuvent se distribuer les formes ternaires de déterminant donné, est tou^ jours Jîni, I. Le nombre de toutes les formes ( ?' ?/ ?/, j de déterminant donné D, dans lesquelles on a ^ = 0, h"z=.o, b non plus grand que la moitié du plus grand commun diviseur entre a' et b', et a' non plus grand que b' , est nécessairement toujours fini. En effet, puisqu'on a dans ce cas Dz=zab''', on ne pourra prendre pour Z?' que +1, -— i et les racines des quarrés qui peuvent di- viser D f s'il y en a d'autres que i, prises positivement ou néga- tivement, et le nombre de ces valeurs est fini; or, pour chaque valeur de b', celle de a' est déterminée, et celles de b, a' sont évidemment limitées. y fi n rT^\. ir. Tln*j aura de même qu'un nombre fini de formes ( / ,/ ,„j 3 de déterminant Z) , dans lesquelles ^ n'est ni :==o ni >-| v^±/?, 3 y*^ — aa'^=iA" ni =0, ni >>^\/D% b' non plus grandque f^, ab'^b'b"z=zB et a'b'—.bb"=B' non plus grands que {A", Car le nombre des combinaisons des valeurs de a, b", A", B, B' sera nécessairement fini, et en les supposant déterminés, les autres coefficiens a', k, b', a" de la forme et les coefficiens A=^b'' — a^a"^ A'-=.b''' — ac^, B"^=a"b" — bb' de la forme adjointe seront déter- minés par les équations ,__b"'—J" Ar^B'—aD . B'^^a'D p/, BB'-^-h'D ARITHMETIQUES. ^ù b'^—A' b^—A bb'+B" y_AB—ÏÏB"_ Èa'4-B'b" y_A'B'^BB" _ Bb-^S'a D — A" ' ^ D •" 'J' > a 7—. Tn a a b Maintenant, comme foutes ces formes s'obtiennent en choisissant parmi toutes les combinaisons àe a, b\ A", J5, B' celles qui donnent des valeurs entières pour a' ^ a\ h, h', leur nombre sera nécessairement fini. m. Toutes les formes dont nous venons de parler (I et II) constituent un nombre de classes qui sera moindre que celui de ces formes , s'il s'en trouve parmi elles d'équivalentes. Or comme il suit de l'analysé précédente que toute forme ternaire de déterminant D est nécessairement équivalente à l'une de ces formes, les classes qu'elles déterminent renfermeront toutes les formes de déterminant Z> , c'est-à-dire que toutes les formes de détenuiuant D peuvent se distribuer en un nombre fini de classes. 277. Les règles par lesquelles toutes les formes de I et II peuvent se former, suivent naturellement de ce qui a été dit dans rartîclé prééédentj ainsi il suffira d'en donner quelques exemples. Pour D=: I , les formes (I) produisent les six suivantes, par l'ambiguité des signes , (^^^^, (oi-îi'o)' ^^^^ ^^^ formes II, rt et ^^ ne peuvent avoir d'autres valeurs que -f-i et — 1, et pour les quatre combinaisons qui en résultent, Z»", B ti Bf doivent être posés =0, ce qui donne les quatre formes ,. De même, pouri)=— i, il j a six formes (I) .. /°' ~'' °V C ;;; 0 > e^ ^> -;)^ 0> '> ï\ (-h -1, A \o, o, o/' Vs o, o, oj' Pour D = 2, il y a six formes (I). . ,(°' ^^ °V (""' ""' ~*> ' /> ^ Vo, ±11, oj' \o, ±1, qj' et huit formes C H ) • • • T' ""' ^\ (-^^ ^> ^\ /i, i, --a\ \ o, o, o)^ \o, o] o)' ( o,' l[ o)' C; o, ""o)^ Co, "X "'o)*' Sao RECHERCHFS Au reste, le nombre de classes est dans ces trois cas beaucoup moindre que le nombre des formes. En effet, on s'assure facileraenfe 1°. Oue la forme (°' ^' °) se change en i* ^' ], [* _J' ^V (°' . *' ""^V C' *' ""^V par les substitutions Vo, ±:j, o/V \o, o, c/' t- \,0, O'j Oy 1,0) o, o, I...O, o, I-, o, I, IJ ±1^ 1^0 o, o, i; o, I, ij =i=i,— I,— i...i,o^ —ij I, I, — "ij o^— i^T. La forme ( ' ^' "*" ) se change en (^' ~"'' j, {^' l' l) par \o, o, o/ o \o, o, o/' \ o, o, 0/ t^ la seule permutation des indéterminées. Ainsi ces dix formes de déterminant i se réduisent aux deux : {' ^' ), ( ^' "~ ' J, \0, 1 , O/ \ Of o, c/ pour la première, on peut, si l'on veut, prendre la forme (^'' °' °Y Or la première forme étant indéfinie et la seconde dé- finie, il s'ensuit que toute forme ternaire indéfinie de détermi- nant I équivaut à la forme a^'^ + a/z, et toute forme définie, à la forme — x* — ^* — z*. 2°. On trouve absolument de la même manière, que toute forme ternaire indéfinie de déterminant — i équivaut à la forme î— cc*-|-2/z, et toute forme définie, à la forme a;*+j*-f"2*. : 5% Pour le déterminant 2, on peut sur-le-champ rejeter des huit formes (II) la seconde, la sixième et la septième, qui pro- viennent de la première par la seule permutation des indétermi- nées*, par la même raison, la cinquième, qui naît de la troisième^ et la huitième, qui naît de la quatrième. Les trois qui restent avec les six formes ( I ) déterminent trois classes -, en effet j /o, 2, o\ change en (°' ^' ] par la substitution \o, +1, o) & Vo, —1, o/ ^ ï, o, oj O, I, oj o, o, —I, et la forme Q^ ^; ""^) en (°^ ^'^ J^), C; -t; 0' C: :: "O' C; 4 "O» C; "ô; :)> p- 1- -t^'^- tutions respectives I, o, I j 1, 2, Oj 1, I, o I, o, — I ; I, 2, oj 1,1,0 ^(i, I, o; 1,2,-15 I, 1,— I 1,0, oj I, 2, I) 1,1,1 1, 0, 05 o^ j, 23 o, I, I» Ainsi ARITHMÉTIQUES. 5^1 Ainsi toute forme ternaire de déterminant :i est' réductible à l'uni de ces trois .-f^'^'^V (^^'^'-n /-i,~i,-aN Vo, 1, cy^ Vo,o, o)*\ c, o, cj^^^^^^^de la pi-emière on peut prendre la forme (^' ^' ^^). Ainsi toute forme ternaire définie de déterminant 2 équivaudra nécessairement à la troisième--..^" ^-^_,,.. '""^^ ^^^"^^ i'^^^^^i^ ^ la première ou a la seconde. Elle équivaudra à la première ^x^ -\- :,yz si le premier, le second et le troisième coefficient sont paires tous les IZ 1 IT ''' '''^' r'"°' *'*^' ^^^'"^^ ^^ ^^^"§^^^ «« ^"e forme semblable par une substitution quelconque , et que partant elle ne peut pas être équivalente à la seconde. Enfin elle équivaudra a la seconde a;» ^^ - 2z« , si le premier, le second et le troisième coethcient ne sont pas pairs tous les trois; car il est visible oar «ne raison semblable, qu'une telle forme ne peut se chan^ei- par aucune transformation, en la forme 2:c'-|-2jz. On pouvait donc prévoir dans les exemples des n-^ ^^Z, 2^4 que la forme définie (;^;:;>/^) de déterminant - , , se réduirait à la forme 0.+^^+.^ et la forme indéfinie ( -; ^^; ^) de déterminant 2 a 2x'-^2yz, ou , ce qui revient au même , à '2x^ -f-jz. 278. Par une forme ternaire dont les indéterminées sont 07 x' x" on peut représenter des nombres en donnant des valeurs déter' minées k x , x', x\ et àes formes binaires par des substitutions de cette espèce : x :=^mt ^nu, x' ^ m't + n'u , z' = m't 4. n'a - m, n, m\ etc. désignant des nombres déterminés, t et u les in- déterminées de la forme binaire. Pour représenter d'une manière complete la théorie des formes binaires, il faudrait donner la solution des pi'oblèraes suivans. 1-. Trouver toutes les représentations d'un nombre donné par unejorme ternaire donnée. V. Trouver toutes les représentations d'une forme binaire donnée par une forme ternaire donnée. 1.11.^'"'"°""' "'/'^"^/'"-'"'^^ '"rnaires données sont équiva- lentes ou non et dans le premier cas. trouver toutes les Irans- formations de l'une en l'autre. Ss 5^2 RECHEHCHES 4'. Distinguer si une forme donnée renferme ou non une autre forme ternaire donnée ; et dans le -premier cas , trouver toutes les transformations de la première en la seconde. Nous traiterons plus en détail dans un autre lieu, ces problèmes qui sont bien plus difficiles que leurs analogues dans la théorie des formes binaires j nous nous bornerons ici à faire voir com- ment le premier problème peut se réduire au second , et le second au troisième, nous donnerons la solution du troisième pour quelques-uns des cas les plus simples , et qui peuvent éclairer la théorie des formes binaires. Mais nous excluons absolument le quatrième problème. 279. Le MME. Etant proposés trois nombres entiers quel- conques a, a', a", qui cependant ne soient pas tous = o, trouver six, autres nombres B, B', B", C, C, C", tels qu'on ait B'C — B''C = a, BX — BC = a% BC — B'C = a". Soit CL le plus grand diviseur commun des nombres a y a', a" , et les nombres entiers A, A , A\ tels que l'on ait Aa + -^ V. ^-^"a'' = a. Prenons à volonté trois nombres entiers Y, F', I", avec cette seule condition que les trois nombres VA'' -^\'A', Y" A — \A\ TA' — TA que nous représenterons par a^ b' , b' , et leur plus grand commun diviseur par /3, ne soient pas tous =0, Posant alorsa'^"— a"Z/'=ot/3C, a" b -^ ab" z= a^C , ab''^a'bz=%fiC', il est clair que C, C, C sont entiers. Et si l'on prend des nombres entiers K, K' , K" tels que Kb '\- K' b' -^^ K' b" z=. ^ , en po- sant Ka -|- K'a! + AV = ct/z , et prenant B-=.a.k'^ h A , B'^oLk' -^hA' y B" ^Ak"^hA'' , les valeurs de B, B' , B" , C , O, C satisfont aux équations proposées. Eneffet, on ixowv e aB + a B' -\- a" B''^o, bA'\-h'A'\-b''A"z=:o, d'où bB + b'B' 4- V'B" = a/S. Or des valeurs de C , C , on tire a/3 ( B'C'^B"C' ) = ab'B' — a'bB' — a'bB' + ab"B'' =za(ibB + b'B' + b''B'' )^b(aB-i- a'B' + a"^") = aa^; àoncB'C"-^B''C:=a; de même B''C-^BC"=:a' , BC'-^B'C=a\ Nous sommes forcés au reste de supprimer ici l'analjse qui a conduit à cette solution , ainsi que la méthode par laquelle on déduit toutes les solutions d'une seule. 280. Supposons que la forme binaire «r-f-2to + c«*s=(p dont ARITHMÉTIQUES. SaS le àéterm'ma.nt = D , soit représentée par la forme ternaire /"dont les indéterminées sont jr , œ' , x" , en posant x = mt -{- nu , x' :=zm' t -{' rî u f x" i^nî't-^ n"u, et que la forme F dont les in- déterminées sont X, X', X", soit adjointe kf. On s'assure facilement par le calcul, ou comme conséquence du n^ 268, 2". que le nombre D est représenté par la forme F, en posant X-=.TTiri — rrCiï , X' = rrCn — mn^ , X" = mii — rrin ; nous dirons que cette repré- sentation est adjointe à la représentation de la forme (p par la forme/! Si les valeurs de X, X', X" n'ont pas de commun divi- seur, nous appellerons pour abréger, cette représentation propre, et dans le cas contraire , impropre ; et nous transporterons aussi ces dénominations à la représentation de (p par y. Or la recherche de toutes les représentations du nombre Z? par la forme F , s'appuie sur les considérations suivantes : 1°. Il n'y a aucune représentation du nombre D par F qui ne puisse se déduire de la représentation d'une certaine fdrme binaire de déterminant D par la forraey, c'est-à-dire, qui ne soit adjointe à une telle représentation. Soit en effet X=L, X' = Z>', X''=L" une représentation quelconque de D par F \ on déterminera par le lemme précédent, les nombres m, m' , m", n, n' , ii" , tels que l'on ait m'n" — m'n' z=.L, m'n — mrî'-=zIJ , mn' — Ttîn-=iII \ et alors en représentant par

^^ partant , -F = — ■ X' '— X'* — X"* , Z> = — 20g : le nombre — 209 sera représenté par Ff en faisant X== i , X'=8, X''= 12 , on trouve pour les nombres m,, m! , m" ^ n^ n' , ji" , les valeurs — 20, 1,1, — 12,0, i respectivement , et (^ = 402^ + 4^2 tu-^-iJ^S z^*. 2°. Si (p , X sont des formes binaires proprement équivalentes , tonte représentation de D par F adjointe à une représentation de (p par/, sera aussi adjointe à une représentation de % par/*. 3 3:^4 HECHETICHES Soient p', (f les întléterminées de la forme %', supposons que (p se change enx par la substitution propre t-=.&.p-{'^q, uz=.yp'\'^q, et que la forme

=o, car alors les formes de détermi- nant D ne peuvent pas se distribuer en un nombre fini de classes ; nous résoudrons plus bas ce cas particulier par une méthode différente. 282. La recherche des représentations d'une forme binaire don- née de déterminant qui n'est pas =0, par une forme ternaire donnée, dépend des observations suivantes : I. De toute représentation propre d'une forme binaire (yp, ^, r) = (p de déterminant D par une forme ternaire y de déterminant A, on peut déduire des nombres entiers B, B' tels qu'on ait B^^Ap , BB'^ — A^, B'^^t^r (mod. £>} , et par- tant une expression de y/ b^(^p , — q, r) (mod.Z)). Soit en effet x=:At'\-^u, a:'=: ol t -^ (à' u , x"=a!'t'\-^"u une représentation propre de la forme

"=o , on trouve -^ = — 171* -^'=27, ou (—171, 27) pour une valeur de l'expres- sion / — 1(19^ — 3, 41) (mod. 770). Il suit de là que si Af;?, —q, r) n'est pas résidu quadratique de D, (p ne peut être représenté proprement par aucune forme ternaire de déterminant A. Ainsi, dans le cas où A et /) sont pre- miers entre eux, A doit être le nombre caractéristique de la forme ' 169 et 170, on trouvera que Ja forme H se change en la forme G par la substitution k, o, o; o, k, 0; (, vî, A, en taisant ?;28 RECHERCHES On tirera de]h B=:y)k'D-{-k//N, B'=:^k'D^kk'N', etpavtani ; comme kk'=^±:i , B~N, B' = N\ ou B~--N, B~^N' (mod. D), Dans le premier cas , ]es valeu s de (5, B') , (iV, N') seront dites équivalentes; dans le second, opposées. Nous dirons aussi d'une représentation de la forme

i; G, G, ±1, en la forme h. On verra sans peine que le déterminant de h est A, et que les coefficiens 4 et 5 de sa forme adjointe sont JV, N'. Or en faisant ct^+/3^=b>==cr, et'^ + ./3'>id=>'=J', et"(^-f-/S%d=/=J", on verra sans peine que f se change en h par la substitution S, et que l'équation Cl est satisfaite. 383. On déduit de ces principes la méthode suivante, pour trouver toutes ARITHMÉTIQUES. 5:29 foutes les représentations de la forme binaire (p = pi*-^:içtu-^ru\ de déterminaat D, par la forme ternairey de déterminant A. I. On chercliera toutes les valeurs différentes, c'est-à-dire ; non équivalentes de l'expression {/A(p, — q, r) (raod. Z>). Ce problème a déjà été résolu (n° 233) pour le cas où A est premier avec D , et où la forme (p, — ç, r) est primitive, et les autres cas se ramènent très-facilement à celui-là. La nécessité d'abré- ger ne nous permet cependant pas d'insister davantage sur ce sujet. Observons seulement que lorsque A est premier avec Dg l'expression ^(p, — ç, ?) ne peut être résidu quadratique de D, à moins que (p ne soit une forme primitive : supposons en effet ù.pz=B^-.DA' y ^^q—BB'—DB", Ar=^' — Z)^; on en dé- duit (DB''-^Açy = (DA'^Ap){DA~i-ù.r), ou en développant el remplaçant D par ç* — pr , (r—pr) (B''^'-^^')-'à(Ap+2B''ç^A'r) 4- A* = o. Si donc p, q f r avaient un commun diviseur, ce diviseur di- viserait A*, et parconséquent A ne pourrait. pas être premier avec D» Ainsi

, b' , a" sont nécessai- rement entiers, puisque les produits de ces nombres par Z) et A sont des nombres entiers j mais en général si l'un de ces trois nombres se trouve fractionnaire, ou si les formes f, g ne sont pas équivalentes, il n'y aura aucunes représentations deep par y appartenantes à la valeur {B , B')\ mais si^, U, a" sont entiers et que les formes/', g soient équivalentes, toute transforma- tion de f en g, comme ce, ^, y, a', /3^ y'; cl\ /S% y\ donne une représentation telle que x-^-o-t-^- ?>u, c(:z=.ii!t-\-p>^Uy x"z=OLt-\-'^'irj et de cette manière il n'y a aucune représenta- tion qui ne puisse se déduire d'une transformation. Ainsi la partie du second problème, relative aux représentations propres, est ra- menée au troisième problème. IV. Au reste, les différentes transformations de f en g pro- duisent toujours des représentations différentes, excepté le seul cas où (-5, B') est une valeur opposée à elle-même, dans lequel deux transformations ne donnent qu'une seule représentation. Sup- posons, en effet, que^se change aussi en g par la substitution oc, /3, J'j a, /3', J'; fit", /3", J", qui donne la même représentation que la précédente; et désignant ARTTîTMKTTOUES. 55i par kf k'y 2, -A les mêmes nombres qu'en II, n' précédent, on aura B = kk'B-\-'^k'D , B'=:kTîB'-\-lJCD', si donc chacun des nombres A, A' =+i ou — i, on aura »=o, <^ = o, d'où Ton déduit facilement J=>, J'=>', £}"=/. Ainsi ces deux trans- formations ne pourront être différentes que dans le cas où l'un des nombres k, K est +i et l'autre ■— i. Or alors B^—B, B'—'-^B' (mod. D), c'est-à-dire que la valeur (B, B') est op- posée à elle-même. V. Il suit facilement de ce que nous avons dit (n'ayi) sur les caractères des formes définies et indéfinies , que si A est po- sitif, D négatif et cp une forme négative, g est une forme dé- finie négative , et que si A est positif et D positif ou négatif, mais (p une forme positive, g est une forme indéfinie. Or comme /, g ne peuvent être équivalentes, à moins qu'à cet égard elles ne soient semblables, il est évident que des formes binaires de déterminant positif et les formes positives ne peuvent être repré- sentées proprement par une forme ternaire indéfinie de déter- minant positif, et que par une forme ternaire de la première ou de la deuxième espèce, on ne peut représenter que des formes binaires de la deuxième ou de la première respectivement. On peut conclure de la même manière , que par une forme ternaire définie de déterminant négatif (qui est positive) , on ne peut représenter que des formes binaires positives, et par une forme ternaire in- définie de déterminant négatif, que des formes binaires négatives et des formes de déterminant positif. 284. Comme les représentations impropres d'une forme binaire

t qui doit être égal à -, et sera néces- sairement un nombre entier. Soient trois nombres entiers k, k, k\ tels qu'on ait kA -|- k!A' -j- AVi' = i , les trois dernières équations 534 RECHERCHES (R) donnent , en faisant kB -f k'B' + k"B" = m ; d'où il suit qu'il n'y a qu'une seule valeur de X comprise en(re o et />t— I ; les valeurs de B , B' , B" , sont alors déterminées , et il ne reste qu'à démontrer qu'elles sont entières. Or on aura = - { U\A'^ — A^") — U {A?! — A^ )} + Am =:l{A"(a''iS — a/3") — Â:'( et/3' — • a /3 )} + ^w. Donc B est nécessairement entier. On le démontrera de même pour B'f B", Il suit de ces raisonnemens qu'il n'y a aucune repré- sentation impropre de

^^ ^^^ résulte des transformations par les- quelles/se change en/. En outre, on peut prouver facilement par le calcul, que toute transformation de/ en/' peut se déduire de cette manière, de la combinaison de la transformation (/) de /en/ avec une, et une seule transformation de la forme / en elle - même , et que parconséquent la combinaison de la trans- formation (0 avec les différentes transformations de / en elle- même , donne toutes les transformations de /en/', et ne donnera qu'une fois chacune d'elles. Nous bornerons ici notre recherche au cas où /est une forme définie dont les coefficiens /^, 5, Q sont =0 (*). Soit donc /=( ^' " ' ; > et représentons une substitution quelconque qui change / en elle-même , par ce, /3, y; *', /3', y'; cl% /3', /, on aura les équations G*/2-fa'*'/â'4-aV"^"=o, a*>^+a'«6';^'+a"ct'y=o, a^>+aT}''+aT>"=o ]^''^' Or on doit distinguer trois cas; 1*. Quand a, a! y a', qui doivent avoir le même signe, sont tous inégaux, nous supposerons a = o-, l'équation a donne /s"=o et /3'=rfci, et l'équation 6 exige qu'on ait y'=0', donc par l'équation 3, y=d=ij desorte que, à cause de l'ambiguité des signes, il J a en tout huit transformations différentes. (*) Les autres cas où la forme/est définie, peuvent se ramener à celui-là; mais si elle est indéfinie , il faut employer une méthode tout-à-fait différente , et le nombre des transformations est infini. AKITHMÉTIQUES. '^d; 2*. Quand parmi les nombres a, a, a" il j en a deux égaux, a' et a"j par exemple, supposons d'abord a<^a\ Alors, de la même manière que dans le cas précédent, ou aura a'=o, a''=o, a = ±i, /S = o, >=Oj les équations 2, 5, 6 deviennent g>''-ir^'^ — I ^ y^-f-y- = I , ,/3y+/Sy=o ^ d'où l'on tire /S = 0, ^^=±1, /=ifci, y'=o, ^ou /3'=±i, /B"=o, :^'=o, 5^"= it I . IVIais si a >> iz', les équations 2 et 5 donnent /3 = o , ;,=o et /3'=o, /2''=±i,>'=d=i,/=o, ou /3'=±i, /S"=o, 5.'=o, y=:=bi-, l'une ou l'autre supposition donnent, par les équations 4 et 5, a==o, «."=0, et par l'équation i, a = Hbi. Ainsi dans les deux cas il j a seize transformations différentes. Les deux autres cas où a = a", ou bien a-=za! se résolvent de la même manière, pourvu qu'on change *, cl, a", pour le premier cas, en /S, /3', /B"^ pour le second, en y, y', >" respectivement. 5'. Quand les nombres a, a', a" sont égaux, les équations i, 2, 3 exigent que des nombres a, a, a", ainsi que des nombres ^^ /3', /B", et des nombres y, y', y" deux soient égaux à zéro et le troisième égal hdszi', or , par les équations 4, 5, 6, on voit qu'il ne peut y avoir qu'un seul nombre ;=d=: i parmi a, /3, y, ou a, /5', ;/', ou a", /3", y. Il ne reste que six combinaisons, , et les six autres coefficiens = 0 j desorte que par l'ambiguité des signes il j a en tout quarante-buiÉ transformations. — Le même tableau renferme aussi les cas précé- dens^ mais des six colonnes il ne faut prendre que la première, quand a, a, a sont tous inégaux- la première et la seconde, quand a=:a"; la première et la troisième, quand a = a'j la pre- mière et la sixième, quand a^^z.a". Il suit de là que si la forme f:=ax'''\-a'x'^-\-a''x'' se cliauge en la forme équivalente /' par la substitution ^^^-=<^y+^y-hiy\ x'=jy^,y-^^y, x'=:ry^{y+?jy, toutes les transformations àe f en f sont contenues dans le ta- bleau suivant : Vr a a. a' CL cl" ^' H' /S f6" e> y" y' y y y 3C X x' x' x" x" of x" X x" X x' x" x' x" X x' X 333 RECHERCHES =±CJ'y+ey+cy)> avec cette différence que l'on doit employer les six colonnes lorsque a=.a'=Li"\ la première et la seconde, quand^'=:a"j la première et la troisième, quand a = a'; la première et la sixième, quand i2=a"j enfin la première seule, quand «, a', a" sont tous inégaux, et il y aura dans le premier cas quarante-huit transformations, seize dans le second, le troisième et le quatrième, et huit dans le cinquième. Après avoir exposé succinctement les premiers élémensdes formes ternaires, nous allons passer à quelques applications particulières, parmi lesquelles le problème suivant mérite la première place. :i^6. Problème. Eta?it donnée une forme binaire F=(A, B, C) âe déterminant D appartenant au genre principal , trouuer une forme binaire f qui donne F par sa duplication, 1°. On cherchera une représentation propre de la forme (^Ay —By C) = iF' par la forme ternaire x"^ — ^y-j supposons qu'elle soit Xz=.a.T-\~^LT, y — afT-^^'U, z=::ci"T-^(^'U. Il est aisé de voir, par la théorie précédente, que la chose est toujours possible. En effet, F étant, par hjpothèse, du genre principal, on pourra trouver une valeur de l'expression V^(^, B, C) (mod./)) (253, 6°), et parconséquent une forme ternaire (p de dé- terminant I , dans laquelle la forme (^, — B , C) entre comme partie, et dont l'on voit facilement que tous les coefîiciens sont entiers. Il est également clair que la forme (p doit être indéfinie, puisque, par hypothèse, F n'est certainement pas une forme né- gative*, donc (f) seta équivalente à la forme x^ — 2jzj on pourra parconséquent assigner une transformation de x'' — 2yz en (p, qui fournira une représentation propre de F' par la forme x' — 2yz 5 d'ailleurs on aura A = a,^ — 2x0,", — Bz=a,^ — a/B" — a."/3', C=iS»-~2/2^|Ô"5 d'où l'on voit qu'en faisant A^'^-c^'^^a, A Tl I T H M E T I Q U E s. Z5<^ a'/S' — a'|S'=^, «"/S — ol(B"=:c , ces nombres n'auront pas de com- mun diviseur, et qu'on aura D=:b^ — 2ac, 2\ De là et à l'aide de la dernière observation du n' 235, on peut facilement conclure que F , par la substitution 2/S', /3, /S, /S"; 2x', ce, a, cl", se change en le produit de la forme (2a, — Z», c) par elle-même, et par la substitution (6', /3, /3, 2/3" j et, Ci., Cf., 2% , en le produit de la forme (^a, — h , 2c) par elle- même. Or le plus grand commun diviseur des nombres 2a, 2b , ^c est 2; si donc c est impair, 2^, 2b , c n'auront pas de com- mun diviseur, et la forme {2a, — b , c) sera une forme propre- ment primitive. De même si a est impair ( = — 17, c=20. Et comme a est impair, /^ naît 54o RECHERCHES de ]a (îuplicadoii tie la forme (ii, 17, 40), et se cliange en le produit de cette forme par elle-même, par la substitution ^i> —li —1, —iSj 2, 5, 5, 2. 287. Nous ajouterons les observations suivantes sur le problème précédent. 1°. Si une forme F se change, par la substitution p , p' , p" , p"'-, q, q', q", q" , en le produit des deux formes (/z, /, A), (//, i', k'), toutes deux étant prises directement, comme nous le supposons toujours, on déduira facilement de la troisième conclusion du n° 235 les équations p"!!?! — p'Jin — p^hj' — i'n) = 0, (/— /) (^■«'+ ^^ri) -^p{kn'— Kn) -^p'\hi{-- lui) = o , p'hi—p"Un'-p"\iii!—i'n) = o, et trois autres qu'on obtient en remplaçant dans celles-ci p^ p'tp", p" par q, q' , q" , q" . n et rî sont les racines quarrées positives desquotiens qui résultent de la division desdéterminans des formes (Ji, i, k) , (Ji, i', A') par celui de la forme F. Si donc ces formes sont iden- tiques ou qu'on ait n:=:n , hz=z]i , iz=zi , k=^k\ les équations précédentes deviennent {p" — ;?')/z7z = o, {p" — •p)i?i:=io, (p" — p')knz=.0'j donc on a nécessairement pz=ip", et absolu- ment de la même manière, q'z=.q"-^ ainsi, en donnant aux formes (Ji, i, k) , (Ji, i', //) les mêmes indéterminées /et zi, et désignant par Ty U les indéterminées de la forme F, F se changera en (^ht''-\^2itu-\-ku''y, par la substitution Tz=ipe-\-2p'iu-\-p"'iâ, £/■"= ql^'\-iq'tu-\-q''u\ 1". Si la forme F naît de la duplication de la formel, elle naîtra aussi de la duplication de toute forme contenue dans la même classe que /, ou la classe de la forme F naîtra de la du- plication de la classe de la forme y^(n* 238). Ainsi dans l'exemple du n" précédent, (5, 2, 3i) naîtra aussi de la duplication de la forme (11, — 5, 16), proprement équivalente à (11, 17,40)» Une fois qu'on connaît une classe de la duplication de laquelle résulte la classe de la forme F, on les trouvera toutes, s'il j en a plusieurs, à l'aide du problème du n° 260. Dans notre exemple, il n'y a pas d'autre classe positive de cette espèce, parcequ'il i ARITHMETIQUES. Ht n'y a qu'une seule classe ambiguë proprement primitive et posi- tive de déterminant — i5i, qui est la classe principale. Comme de la composition de la seuleclasse ambiguë négative ( — i, o, — i5i) avec la classe (ii, — 5, 16), il résulte la classe ( — 11, — 5, — 16}; celle-ci sera la seule classe négative dont la duplication douae la classe (5, 2^ 5i). 3'. Comme la solution du problème du n° précédent prouve que toute classe de formes binaires qui est proprement primitive, positive et qui appartient au genre principal, résulte de la du- plication d'une classe proprement primitive de même déterminant. Je théorème du n° 261 , par lequel nous étions certains qu'il y avait au moins la moitié de tous les caractères assignables pour un déterminant D non quarré , auxquels ne répondît aucun genre proprement primitif-positif, reçoit par là plus de développement; puisque nous vojons qu'il y a moitié de ces caractères auxquels répondent des genres, et moitié auxquels il n'en répond aucun (Voyez la démonstration de ce théorème). Donc, puisque nous avons distribué (n° 265) tous ces caractères assignables en deux espèces P et Ç, composées d'un même nombre, desquelles la dernière, Ç, ne pouvait répondre aux formes proprement primi- tives positives, tandis qu'il était incertain si chaque caractère de l'espèce P répondait effectivement à quelque genre ; maintenant il ne reste aucun doute qu'il n'y a aucun caractère de cette es- pèce auquel ne réponde un genre. On déduit facilement aussi de là, pour le déterminant négatif dans l'ordre proprement primitif négatif, à l'égard duquel nous avons prouvé (n' 264, 1°) qu'il n'y avait d'admissibles que les caractères Ç, qu'ils le sont tous efi'ectivement. Soit en effet K un des caractères de Q, f une forme quelconque de l'ordre pro- prement primitif négatif de déterminant Z), et A' son caractère, A' appartiendra à l'espèce Q; donc le caractère composé de A et A', d'après le n° 246, appartiendra à l'espèce P, et parlant il y a des formes positives proprement primitives de déterminant D , qui lui répondent-, en composant donc une de ces formes avec la forme /', il en naîtra une proprement primitive négative de déterminant D dont le caractère sera A. 542 RECHERCHES On prouverait absolument de la même manière, pour Tordre improprement primilif, que les caractères démontrés seuls pos- sibles (n* 264, 2° et 5") sont tous possibles, qu'ils soient de l'es- pèce P ou de l'espèce Ç. Ces théorèmes, si nous ne nous trompons étrangement, doivent être rangés parmi les plus beaux de la théorie des formes binaires, surtout parceque, malgré leur grande simplicité , ils sont tellement cachés qu'il n'est pas possible d'en donner la démonstration ri- goureuse, sans le secours d'un grand nombre d'autres recherches. Nous passons maintenant à une autre application de la digres- sion précédente, savoir, la décomposition, tant des nombres que des formes binaires en trois quarrés. Nous résoudrons d'abord le problème suivant : 288. Problème. M étajit un nombre positif , trouuer les con' ditions auxquelles doii^ent satisfaire les formes binaires primitii^es négatives de déterminant — M , qui sont résidus quadratiques de M , ou pour lesquelles i est le nombre caractéristique. Désignons par cù l'ensemble de tous les caractères particuliers que donnent les relations du nombre i aux différens diviseurs pre- miers impairs de M^ et au nombre 8 ou 4* quand il divise D, Ces caractères seront évidemment i?;?, Rp , Rp", etc., p , p, p'',etc, étant les diviseurs premiers, et 1,4 ou 1,8, suivant que 4 ou 8 divise M'. Employons en outre les lettres P et Ç dans le même sens qu'au n" précédent ou qu'au n° 263. Nous distinguerons les cas suivans: 1°. Quand Tlf" est divisible par4> «sera le caractère complet, et il est clair (n" 233 , 5°) que 1 ne peut être nombre caractéris- tique que de formes dont le caractère est 00. Mais il est mani- feste que ct) est le caractère de la forme principale (i, o, 31) , que parconséquent il est de l'espèce P , et qu'ainsi il ne peut appartenir à aucune forme proprement primitive négative, et comme il n'y a pas de forme improprement primitive pour ce déterminant , il n'y a pas de formes primitives négatives qui soient dans ce cas résidus de M, 2'. Quand 7ÎJ^3 (mod. 4)> les mêmes raisonnemens ont lieu, ôvec celte seule différence que dans ce cas l'ordre improprement AKITHMÉTIQUES. 545 primitif négatif existe, dans lequel les caractères de Pespèce P seront possibles ou impossibles, suivant que ilf^S ou ^ 7 (mod. 8). (Vojez u° 264, 3°.) Si donc M=5 (mod. 8), il j aura dans cet ordre un genre dont ca sera le caractère , ainsi i sera nombre caractéristique de toutes les formes qui y seront conte- nues. Si Al^ 7 (mod. 8) , aucune forme négative ne pourra jouir de cette propriété. 3". Quand M^i (mod. 4)^ ^ n'est pas le caractère complet, il faut y ajouter la relation à 4* Mais il est clair que où doit nécessairement entrer dans le caractère de la forme dont i est nombre caractéristique, et que réciproquement toute forme dont le caractère est ca; 1,4 ou a>; ^,4, aura i pour nombre caracté- ristique. Or, ct); 1,4 est le caractère du genre principal, qui ap- partient à P et est parconséquent impossible dans l'ordre propre- ment primitif négatif. Par la même raison, le caractère ù), 3^4 appartiendra à Q (n" 263) ^ donc il y aura dans Tordre propre- ment primitif négatif un genre qui lui répondra et dont toutes les formes auront i pour nombre caractéristique. Dans ce cas, non plus que dans le suivant, il n'y a pas d'ordre improprement primitif. 4". Quand M^2 (mod. 4) > il faut joindre k ù) la relation au nombre 8, pour avoir le caractère complet. Ces relations sont I et 3,8 ou 5 et 7,8, quand M^2 (mod. 8), et i et 7^8 ou 5 et 5,8, quand M^6 (mod. 8). Pour le premier cas, le caractère &>; i c?/3.8 appartient évidemment à P, et partant le caractère û)-, 5 el 7,8 appartient à Q; donc il répond à ce dernier caractère un genre proprement primitif négatif. Par la même raison, pour le second cas, il j a dans l'ordre proprement primitif négatif un genre dont les formes sont douées des propriétés précitées j le caractère de ce genre est m; 3 et 5,8. Il résulte de tout cela qu'il n'y a de formes primitives de dé- terminant — M, dont le nombre caractéristicpie soit i, que quand M est congru à Tun des nombres i, 2, 3, 5, 6, suivant le mo- dule 8, et cela dans un seul genre qui sera impropre quand il/^3, desorte qu'il n'en existe aucune lorsque il/^o, 4 O'^ 7 ('^^od. 8). Au reste, il est évident que si ( — Uj — bj — c) est une forme 344 RECHEKCHES primitive negative qui ait -f- 1 pour nombre caractéristique , (a, b, c) sera uiie forme primitive positive dont le nombre ca- ractéristique sera — i. On voit par laque dans les cinq premiers cas (quand M^i, i, 5, 5_, 6), il existe un genre primitif positif dont le nombre caractéristique est — i , genre impropre si M^3, et que dans les trois autres (quand M^o, 4f j) il n'en existe aucune. 289. A l'égard des représentations propres des formes binaires par la forme ternaire x" -{- y"" -{- z'' z=:f , on peut déduire ce qui suit de la théorie générale exposée au n" 282, 1°. La forme binaire (p ne peut être représentée parla forme/", à moins qu'elle ne soit primitive , positive , et que son nombre caractéristique ne soit — i (déterminant de la forme /"). Ainsi aucune forme de déterminant positif, ou même de déterminant négatif — M, si 7ï/^o (mod. 4) ou ^7 (mod. 8), ne pourra être représentée proprement par/I 2°. Mais si ^ :=:(p, q, r) est une forme primitive positive de déterminant — M, et que — i soit son nombre caractéristique, il sera aussi celui de son opposée {p , — «7, r) , et alors chaque valeur de l'expression \/ — (^p, — q, r) fournira des représenta- tions de cp par f, c'est-à-dire que les coefficiens de la forme ter- naire ^ de déterminant — i (n" 283) seront nécessairement en- tiers, que g sera une forme définie et partant équivalente kf (n°285, I). 3". Le nombre des représentations qui appartiennent à la même valeur de l'expression \/ — (p, — Ç>^) ^st égal dans tous les cas, excepté dans ceux où il/= i ou 2, au nombre de transformations de y en g (n° 285, III), et sera parconséquent (n° 285) égal à 4^* H si^it de là que lorsque l'on connaîtra une représentation appartenante à une valeur donnée, on trouvera les 4? autres, tant en permutant les valeurs de x:,j, z entre elles de toutes les manières possibles , qu'en les affectant de dif- férens signes. Ainsi les quarante-huit représentations ne donnant qu'une seule décomposition de la forme cp en trois quarrés, si l'on ne considère que les quarrés, et non l'ordre et les signes des yacinea. 4-- ARITHMÉTTQtTES. 545 4*. Soit fx le nombre des diviseurs premiers impairs de iff • on déduit sans peine du n° 233 , que le nombre de toutes les valeurs différentes de l'expression /—(/?, -^, r) (mod. M) est 2 , dont on ne doit considérer que la moitié (quand Tkf >2)» ainsi le nombre de toutes les représentations propres de la forme '^ par /sera 48. a''""' =3 . 2^"^^; mais le nombre des décompositions en trois quarrés n'est que 2^^""*. Exemple, Soit ?»= 19/» +6/^^+4 1:^% et partant i»f= 770; on a ICI a considérer (n° 283) les quatre valeurs suivantes et l'ex- pression i/— (ig, —5, 41) (mod. 770) : (59. 237), (171, —27), (269, -85), (291, —127). Pour trouver les représentations qui appartiennent à la valeur (39, 237), on détermine d'abord la forme ternaire ^=C'^' "*'' ^), en laquelle on trouve que / se change, à l'aide des ikéthodes précédentes (n'^^ 272 et 275), par la substitution 1,-6, -oi —3, —2, ~i; ^3, —I, —I. D'où résulte pour la représentation de (p par/, 0:=?— .6//, >•=:— 3^— 2^^, z^-^Zt^u. Pour abréger, nous nous dispensons d'écrire les 47 autres repré- sentations qui naissent de celle-là par permutation et changement de signes. Mais ces 48 représentations ne donnent qu'une seule décomposition en trois quarrés , Z^— I2/^/ + 36z/% 9t' + i2lii-i^4u% 9Z>+6^5 4-?^\ Absolument de la même manière on tire : de la valeur (ijt, — 27) la décomposition (3f+5u)»-f-(3i— 4uy4.f» de la valeur (269, — 83) la décomposition ( t+6uy-^{5t+ w)^+(3^— 2tt)« de la valeur (231, —127) la décomposition ( «+3u)^-f-(3f-f 4u)»+(of— 4^^)». Chacune de ces décompositions répond à 48 représentations. Mais ces 192 représentations ou ces quatre décompositions sont les seules, parceque, 770 n'étant divisible par aucun quarré, il ne peut y avoir de représentations impropres. 290. Nous ajouterons quelque chose de particulier à l'égard des 546 H E C H E R C H E S formes de déterminant — i et — • 2 , qui sont sujettes à quelques exceptions. Observons d'abord généralement que si (p , -/+ cTw' )% et o ; cette décomposition équivaut à vingt-quatre représentations. 2*. Soit (p = r4-3z/% et (p' une autre forme quelconque de dé- terminant — 2, en laquelle

??)/+ (/St/z+J^tî);/, yx=:^{çfJVL'\'yn!)t'\'{fiiVL'\-S'n!)u , z = {o.m"-\''yn")t'\' {fiwH-^- Sn")u ; mais il résulte de la théorie exposée n° 179» sur les transforma- tions des formes binaires de déterminant négatif, qu'excepté les cas où l'on a M=i ou 71/= 3, il n'y a jamais que deux trans- formations propres de la forme (p en elle-même : i, o, o, i et — ij o, o, — I. On doit remarquer en efiPet que la forme cp étant primitive, le nombre désigné par m au n° 179 est ici i ou 2, et qu'ainsi le premier cas a nécessairement lieu, excepté pour les valeurs i et 2 du déterminant. Donc (/?) ne peut provenir que des seules représentations r et r, et parconséquent toute repré- sentation propre du nombre M est contenue deux fois dans H f ARITHMÉTIQUES. 549 mais ne peut l'être davantage. Lenombre des représentations propres différentes de M est donc { A: = 3 . 2''"^^k. Pour ce qui regarde les cas exceptés, le nombre des fransfor- mations de (p en elle-même sera (n' 179) 4 pour 31= i et 6 pour M=S: et en effet, on voit facilement que le nombre des représentations de i et 3 sont f^: et ^K respectivement, puisque ehacun de ces nombres ne peut se décomposer que d'une manière en trois quarrés, savoir, i en i^-o + o, et 3 en i-f-i+i. La décomposition de i donne six représentations , celle de 3 en donne huit. Or , pour 3/= I , on a A"==24 ( puisque ;/. = o et k^i)- pour M:= 5, on a A = 48 (puisque /^=: i et /^=i). ' Au reste , observons que si h désigne le nombre de classes du genre principal, qui (n° 252) est égal au nombre de classes de tout autre genre proprement primitif, on aura k = /i pour M^ i , :2>3 5, 6 (mod. O^mais^/: = 1/2 pour 3/= 3, excepté le seul cas ou M= 3, dans lequel ^^ = ^ = i. Ainsi, pour lesnombres de la forme 8/z -f 3, le nombre des représentations est en général 2^"^^ h - puisque dans le cas où J/==: 3, les deux exceptions le comprennent' 292. Nous avons distingué les décompositions en trois quarrés * tant pour les nombres que pour les formes binaires, des représe/ tations par la forme x^ + j* + z% en ne considérant dans les ore" mieres que lagrandeur des quarrés, et dans les dernières, en outrl de la grandeur des racines, leur ordre et les signes qui les affectent- de manière que nous regardons comme différentes les deux reoré' sentations.r=fl,jK=Z,, z=:c, et x=:a' , j = b\ - = c' Lf que ron n'a pas a^a^, h^U, c^d; tandis que les^décomp^ sitrons .- + ^^ + 0% .^^+Z,- + c- n'en font qu'une seuleT'Te's premiers quarrés sont égaux aux derniers, sans faire attention à leur ordre. Il suit de là , Jl^Z}^^- ''.^'°'"r'*'°° "^^ "<""bre M eu froi. quarre's . t r . "'"T ^ 1^^>-='°te.l,uit représentations, si aurun nest nul et qu'.ls soient tons inéganx; à vingt-qna.re , si l'un des quarrés est nul et que les autres soient inégaux , ou qu'aucun ne soit nul et que deux soient égaux. Alais si deux quarrés sont nul ou que lun d'eux soit nul. tandis que les deux autres sont égaux, ou enfin qu'ils soient tous trois égaux, la décon^position 55o RECHERCHES équivaudra à six, à douze ou à huit représentations. Or cela ne peut arriver que dans les cas particuliers où M=:i, ou 2, ou 5 respectivement , tant que les représentations doivent être propres. 3Excluons ces trois casj désignons par E le nombre total des dé- compositions du nombre M eu trois quarrés qui n'aient de commun diviseur , et supposons que parmi ces décompositions il y en ait e dans lesquelles un des quarrés soit nul, et e' dans lesquelles deux des quarrés soient égaux : on peut regarder les premières comme des décompositions en deux quarrés, et les dernières comme des dé- compositions en un quarré et le double d'un quarré. Alors le nombre total des représentations du nombre ilf par a;''-{-^'-f- ;2:* sera 24 (e H- e') -f- 48 ( £ ^- ^ — e' ) = 48E — 24 ( e + e'). Mais de la théorie des formes binaires on déduit facilement que e sera ou =0, ou = 2 , suivant que — i est non-residu , ou résidu quadratique de M, et que e' sera = o , ou = 2 , suivant que — 2 est non-résidu ou résidu de M, fji étant le nombre des facteurs premiers impairs de M (n° 182); nous supprimons le développement de cette conséquence : il suit de là que Ton a ^=a .^si — i,et— 2 sont non -résidus de M', jE= 2 (A-f- 1), si l'un des deux est résidu, et l'autre non-résidu; i;=2 (/c4-2), si — I et — 2 sont résidus de M, Ces formules ne sont pas applicables aux cas où iJi = i ou 2 , car elles donnent £ =|, tandis que l'on doit avoir £= i ; mais pour M=: 3 on trouve £=i, parceque les exceptions se compensent. Toutes les fois que M est un nombre premier , on a jm, = i , et partant, ^=f (^+2), si M~i (mod. 8). JS=i(X:H-i), si M~Z ou =5 (mod. 8). (n«s 108 et 116). Legendre a découvert par induction ces théorèmes particuliers ; et les a consignés dans le Mémoire que nous avons déjà cité souvent avec éloge. ( Hist, de VAcad. de Paris , 1 786 , p. 55o et suivantes'). S'ils sont présentés sous une forme un peu différente, c'est que ce savant géomètre n'a pas distingué l'équivalence propre ARITHMÉTIQUES. 55^ de l'équivalence impropre, et a parconséquent mêlé avec les autres les formes opposées. 2°. Pour trouver toutes les décompositions d'un nombre donné M en trois quarrés premiers entre eux, il n'est pas nécessaire de cher- cher toutes les représentations propres des formes (p , ç', (ç>% etc En effet, on voit d'abord facilement que les quarante-huit repré- sentations de la forme ^:=(p,ç,r) qui appartiennent à la même valeur de l'expression /-(/^^-^^O, donnent la même dé- composition du nombre M, et que parconséquent il suffit d'avoir «ne de ces réprésentations, ou, ce qui revient au même, de con- naître les différentes décompositions (*) de la forme (p en troi<î quarrés. Il en est de même des formes (?)% p\ etc. En outre, si p appartient a une classe non-ambiguë, on pourra ne pas s'occuper de la forme qui serait tirée de la classe opposée , c'est-à-dire que de deux classes opposées , il suffit d'en considérer une. Comme il est en effet indifférent de prendre telle ou telle forme dans chaque classe , supposons que dans la classe opposée à celle où est cp , on ait choisi la forme opposée à (p , que nous désignerons par (p'. On voit alors au premier abord, que si les décompositions propres de la torme cp sont représentées indéfiniment par les décompositions de la forme o, IM) ou à la forme (2, i, HM-^-i)) (suivant que M est pair ou impair), on pourra omettre la moitié des valeurs de l'ex- pression v/— (;7 — ^, ;.) . inais pour abréger nous ne donnerons pas plus de details sur cette simplification. ~ Au reste, on peut employer ces simplifications, même quand on veut avoir les representations propres de Mpar ^«+^«4-.», puisque l'on déduit tacilement celles-ci dès qu'on a les décompositions. exnrLl'n'^f' '"''°"'' sous-entendre décompositions ;.ro;,re., en ti-an.portont cette expression des representations aux décompositions, '^ ' ^ 552 RECHERCHES Cherchons^ par exemple, toutes les manières de décomposer en trois quarrés le nombre 770, par lequel //, = o, e=e'=:o, et partant E=.2k', par la classification des formes binaires po- sitives de déterminant — 770 , classification que chacun peut faire à l'aide de ce qui a été dit n° aSi, et que nous pouvons nous dispenser d'inscrire ici, on trouve qu'il y a trente-deux classes qui sont toutes proprement primitives et peuvent se distribuer en huit genres, desorte qu'on a â:=:4 et E=8. Le genre dont le nombre caractéristique est — i doit avoir, à l'égard des nombres 5j j, II, les caractères particuliers i?5j A^7 -, i\^ii : d'où (n" a65) l'on conclut facilement que le caractère de ce genre, à l'égard du nombre 8, doit être i et 5,8, Or le genre dont le caractère est I et ^jS'y R.5: N.j) N.ii, comprend quatre classes, pour re- présentantes desquelles nous prendrons les formes (6, 2, 129), (6, —2, 129), (19, 5, 41), (19, —3, 4i)-, mais nous rejetons la seconde et la quatrième classes, commô opposées à la première et à la troisième. Or nous avons déjà donné (n* 289) les quatre décompositions de la forme (19, 3, 40 > ^^ en résulte pour les décompositions du nombre 770 en trois quarrés 9-1-36 i-j-400, 16-I-25-I-729, 81-1-400-1-289, 5'j6'j-i6g"\^25', on trouve de la même manière, pour la forme 6iJ*-|-4^^H- 129^^*1 les quatre décompositions ( t—Suy-h (2/4- uy-i-it-i-Siiy , ( /— ioz/)»-f-(2/+5^0'+(^+2z^)» , (2^— 5zO^H-( t+iouy+ii+'îuy , (2/+ 7^0*+( /— 8^)^-|-(^— 44s qui résultent des valeurs respectives (48,369), (62,-149), (92,-159), (202,61) de l'expression v^— (6, — 2, 129), et donnent les décompositions du nombre 770 en 225-1-256-1-289, 1-I-1444-625, 64-f8i-f-625, 1 6-1-225-1-529. Ces huit décompositions sont les seules que l'on puisse avoi£. Quant à ce qui regarde celles dans lesquelles les quarrés ont des diviseurs communs, l'application de la théorie générale du 11° 281 est trop facile pour qu'il soit nécessaire que nous nous y arrêtions» 293, ARITHMÉTIQUES. 353 293. Les recherches précédentes servent aussi à démontrer que tout nombre entier positif est toujours decomposable en trois nombres triangulaires ; théorème célèbre trouvé par Fermât y mais dont la démonstration manquait jusqu'à présent (*). Il est évident que toute décomposition du nombre M en trois nombres triangulaires conduit à une décomposition du nombre 8ikf+3 en trois quarrés impairs et réciproquement. Mais par la théorie précédente, tout nombre entier positif 8i}/-f- 3 est decomposable en trois quarrés, qui se- ront nécessairement impairs (n' 291 , note), et le nombre des dé- compositions dépend, tant de celui des facteurs premiers de 83/-f-3, que de celui des classes suivant lesquelles peuvent être distribuées les formes binaires dont le déterminant est — (8^1/4-5). Nous supposons que le nombre |:c(x-f-i) soit regardé comme triangu- laire, quelque valeur entière que l'on donne à x\ si l'on voulait exclure zéro des nombres triangulaires, il faudrait énoncer le théorème de la manière suivante: Tout nombre entier positif est iriangulalre , ou decomposable en deux ou en trois nombres triangulaires. Il faut faire le même changement dans le théorème suivant, si l'on veut exclure zéro du nombre des quarrés. On démontre par les mêmes principes cet autre théorème de Fermât : Tout nombre entier positif est decomposable en quatre quarrés. En effet, si l'on retranche d'un nombre de la forme 4«+ 1 , un quarré pair; d'un nombre de la forme l\n-\-i , un quarré arbitraire; d'un nombre de la forme 4^2 + 3, un quarré impair; les restes seront décomposables en trois quarrés. Quant aux nombres de la forme 4^ y on peut les représenter par ^^N, N étant né- cessairement de l'une des trois formes ci-dessus; or quand on aura décomposé le nombre iV, en quatre quarrés ,1e nombre /\''N le sera aussi. D'un nombre delà forme 8/2 + 3 , on pourrait encore re- (*) Yoyez les Additions de l'auteur; à la fin. Y/ 35f RECHERCHES trancher le quané d'un nombre pairemejat pair j d'un nombre de îa forme 8/z-f-7, îequarré d'un nombre impairement pair-, d'un nombre de la forme 8n-\-4> -^ quarré d'un nombre impair, et le reste sera decomposable en trois qnarrés. Au rcsle, ce théorème a déjà été démontré par Lagrange (Noin^eaux Mémoires de fyicad, de Berlin, 1770, -p. i23). La démonstration de cet illustre géo- mètre, qui est entièrement différenfe de lanôti-e, a été exposée avec plus de détails par Euler {Acta Ac. Petr. Vol. II ^ p. 48). Les autres théorèmes de Fermât , qui font, pour ainsi dire, la continuation des précédens, savoir: que tout nombre entier est decomposable en cinq nombres pentagones, six nombres hexa- gones, sept heptagones, manquent jusqu'à présent de démonstra- tion et paraissent exiger d'autres principes. 294. Théorème, a, b, c éiajit des nombres premiers entre eux , dont aucun n''est z=:o y ni divisible parmi quarré, V équa- tion ax-+bj''-}-cz''=:o. . . .{où) n'admettra pas de solutions en-- iières {excepté la solution x=:j=z = o, que nous ne considé- rons pas), à moins que — bc, — -ac, — -ab ne soient résidus quadratiques de a, b, c respectivement , et que ces derniers ne soient affectés de signes différens; mais si ces conditions ont lieu, V équation (&>) sera résoluble en nombres entiers. Si (&)) est résoluble en nombres entiers, elle le sera par ^qs valeurs de a?, jy, z qui n'auront pas de diviseur commun; car toutes les valeurs qui satisferont à l'équation (a») , y satisferont encore après avoir été divisées par leur plus grand commun di- viseur. Supposons donc que l'on ait ap"" '\-bq'^ '^ cr"" z=.o , et que p, q, r soient premiers entre eux, ils le seront aussi deux à deux. En effet, si q et r avaient un commun diviseur /a, ce nombre serait premier avec p\ mais //<" divise ^z/?^, donc il divise- rait a , contre l'hjpothèse : parla même raison , p et r, p et q sont premiers entre eux ; — ap'' peut donc être représenté par la forme binaire by" -\-cz''f en attribuant à j, z des valeurs premières entre elles et qui seront celles âeqetàep; ainsi le déterminant — bc de celte forme est résidu quadratique de ap'' , et parconséquent de a (n" i54).On aura de la même manière — acRby — abRc. Quant à la condition qui exige que a, b , c n'aient pas le même signe, elle est si évidente qu'elle n'a pas besoin d'explication. ARITHMÉTIQUES. 355 Pour démontrer la proposition inv^erse, qui constitue la se- conde partie du théorème , nous commencerons par donner le moyen de trouver une forme équivalente à la forme (^' ^' *^ Vet telle que les deuxième, troisième et quatrième coefficiens soient divi- sibles par abc, et de là nous déduirons la solution de l'équation {où). 1°. On cherchera trois nombres entiers A , B ^ C qui n^aienè pas de diviseur commun , et tels que A soit premier avec b etc B avec a qï c , C avec a et b , tandis que aA^^bB^^cC*- sera divisible par abc , ce qui se fait de la manière suivante : Soient H, K , L respectivement des valeurs des expressions V/— ^^ (raod.a), / — ac (mod, b), / — a^(mod. c, on en obtiendra de nouvelles qui n'auront pas de diviseur commun , et qui satisferont à la con- dition de rendre ^^"4- ^5= +cC» divisible par abc, et parcon- séquent à toutes les conditions. 2°. A, B, C étant ainsi déterminés, Aa, Bb , Ce n'auront pas non plus de commun diviseur; en effet a étant premier avec Bb et Ce y il s'ensuivrait que le plus grand commun diviseur supposé, que nous désignerons par //. , serait premier avec iz; on 1 55G RECHERCHES prouvera de même que fju est premier avec h Qi c\ donc il de- vrait diviser ud, B , C, contre l'hypothèse. On pomTa donc trouver trois nombres oc, P», y^ tels que l'on ait ct^a+/3^^-f-^Cc = i : on cherchera six nombres cl, (è', y \ a", /3% y' tels qu'on ait ^'y^ (^y^ Aa , y' cl"— y'V:=: Bh , ct'/S"— a"/3'= Ce 5 la forme y se changera, par la substitution a, a, cl"; /3, /3', /S"; y, y', y", en une certaine forme g^=(^' ^/ „j qui lui sera équivalente, et dans laquelle ni y m' , n seront divisibles par abc. Posons en ' effet {i"y^^-/~A', y"cL—ycL"z=iB, a'/S — 06/3"=^, ièy'^^'y:=.A% ;^ot'— /ct=5% a/3'— .a'iS^Cj on aura ;z==3. La dernière devient plus simple, en divisant les valeurs par leur diviseur comumn 5, et elle donne a;=4; JK= — 5, z=:i. 295. La seconde partie du théorème du n" précédent peut en- core être traitée de la manière suivante. Conservons aux lettres H, A", X la même signification que dans le n' précédent 5 on cherchera un entier h tel qu'on ait ah^L (mod.c), et l'on fera ah'''\-h:=:ci. Il est aisé de voir que i est entier, et que — ab est le déterminant de la forme binaire (p-=.{ac, ah, i). Cette forme ne sera certainement pas positive, puisque a,b,G n'étant pas tous de même signe, ab et ac ne peuvent pas être tous deux positifs. Or — i sera son nombre caractéristique, ce qui peut se démontrer sjnthétiquement de la manière suivante : Si l'on détermine les entiers e, e' de manière à avoir c^o(mod. fl) et ^ A (mod. ^), ce ^,H {moà, ci) et^hK(moâ.b), (e , e') sera une valeur de l'expression \/ — (ac, ah, i); en effet, suivant le module a, on aura e* ^o^ — ac, ee'^o^ — ah,c^e'''^H''^ — ^c^ — c*/oue'*^ — /j et suivant le module b , Ê»^A*^ — ac, ceo'^liK^^—r-ach ou eé^ — ah, cV* ^li'K^ ^ — ach"" ^ — cH ou e'» ^ — /j mais puisque les trois mêmes congruences ont lieu à-la-fois pour les modules a et h, elles ont lieu aussi suivant le module ab. On conclut facilement de là, par la théorie des formes bi- naires, que (p est représentable par la forme { i' o o)* ^"PP*^" sons donc ac^ + 2^/z/z^ 4- zV = — (et/ + )S«)* 4- 2(^f -I- /«) (g^-f- f «) j on aura, en multipliant par c, aÇct'{-huy'i'bii'=:—c(cit'i-l^iiy'}-2c(yt-\-(tu)(el+^u)', donc si l'on donne à ^ et « des valeurs telles que l'on aîfc yt j^ Su =:o.Qu g/ -j-^i^ =: O, Qtt ftura ime solution de l'équa- A K I T H M E T I Q U E s. i^g don (ct>) , à laquelle parconséqnent on peut satisfaire de deux manières , eu faisant cc=!^c-^yh,y=:=:y, z=^Ae^ — 0y, ou a;=(^c—£/z, j=é, z=a^ — f^e. On voit en même temps qne ni les premières ni les secondes va- leurs ne peuvent être ensemble =o; en effets si l'on avait J'c — yh=:o et y=o, il s'ensuivrait aussi cr=o, et partant (p == — (a/ + /3i/)% d'où abz=iO, contre l'hypothèse : on démon- trerait de même pour les autres. Dans l'exemple que nous avons donné, on trouve pour la forme (p celle- ci (161, — 65, 24); en outre (j, — 5i) est une valeur de l'expression [/ — (p (mod. io5), et la représentation delà forme

z=: — 8; jr=:20, j'=i5, z=: — 5, ou en divisant par 5, et ne faisant pas attention au signe de z , x=:4, J' = 3, z=i. Des deux méthodes que nous venons de donner pour résoudre réquation (co) , la seconde est préférable, parceque le plus sou- vent on n'emploie que de petits nombres; mais la première, qui peut s'abréger par difFcrens artifices que nous passerons sous silence, paraît plus élégante, surtout parceque les nombres a, h, c sont traités delà même manière, et que leur permutation ne change rien au calcul. La même chose n'a pas lieu dans la seconde, où le calcul devient souvent plus commode en prenant pour a le plus petit , pour c le plus grand des trois nombres , comme nous l'avons fait dans notre exemple. 296. Le théorème élégant que nous avons exposé dans les n"* précédens, a été trouvé par Legendre (Hist, de ÏAcad, de Paris y 1^85, p. Soy), qui en a donné une belle démonstration, mais entièrement différente des deux nôtres. Cet excellent géo- mètre a cherché en même temps à tirer de là une démonstration des propositions qui reviennent au théorème fondamental de la section précédente , démonstration que nous avons déjà annoncé (n° i5i) ne pas nous paraître remplir le but qu'il s'était proposé. 566 11 E C H E R C H E S Il est donc à propos d'exposer ici en peu de mots cette démonstra- tion i qui est très-éiégante , et d'y joindre les motifs de notre jugement. Il commence par observer que si trois nombres a, b, c sont ^i {inod,l\)i V équation ax*+bj*4-cz' = o (oj) n'est pas résoluble. En effet, on voit facilement que la valeur de ^.x'-j-Z^y^ + cz* deviendrait nécessairement ^ 1 , 2, 3 (mod. 4)> à moins que l'on ne donnât à x^y-y z des valeurs paires: donc si (ie)) était résoluble, ce ne pourrait être que par des valeurs paires, ce qui est absurde, puisque toutes les fois que trois nombres satisfont à l'équation {où) , ils y satisferont encore après qu'ils au- ront été divisés par leur plus grand commun diviseur , et que par cette opération il résulterait au moins un nombre impair. Or les différens cas du théorème à démontrer se rapportent aux suivans : I. yy et <7 désignant des nombres premiers de la forme 4'^+^ positifs et inégaux, on ne peut pas avoir en même temps pRq et ql^P' En effet, si cela était possible, il est évident qu'en po- sant i = i2, — pz=zbj — qz=:c, toutes les conditions nécessaires pour la résolution de l'équation ^:c'4-^j'-f-cz^=:0 seraient rem- plies (n° 294). Mais d'après l'observation précédente , cette équa- tion n'admet aucune solution , donc la supposition ne peut sub- sister. De là suit sur-le-champ la proposition 7 du n* i3i, II. Si p est un nombre premier de la forme ^n-{-i , et ^ un nombre premier de la forme 4'zH-5, on ne peut avoir en même temps qRp } p^q f autrement on aurait — pl^(l> et l'équation ^s_|_^j=» — ^z= = o serait résoluble, tandis que l'observation pré- cédente prouve qu'elle ne l'est pas. De là suivent les quatrième et cinquième cas du n° i5i, III. Si ;y et q sont des nombres premiers de la forme 4^-1-1 t on ne peut avoir en même temps pRq et qlSfp'y en effet, pre- nons un autre nombre premier de la forme 4'z+5 , qui soit ré- sidu de ^, et dont p soit non-résidu. Alors, parles cas traités dans l'instant (II), on aura qRr et rNp : si donc on avait pRq et qNp , il en résulterait qrRp, pRq y pq^J^» et partant — pqRr, Donc l'équation /;x'-|-^/* — r;:';=o serait résoluble, contre ARITHMÉTIQUES. Z6i contre l'observation précédente, et partant, la supposition ne peut subsister. De là, suivent le premier et deuxième cas du n" i3i. On peut présenter ce cas d'une manière plus simple. Soit r un nombre premier de la forme 4'z -f- 5 , dont p soit non-résidu -, on aura rNp , et partant, puisque l'on suppose pRç, g^p > ou aura aussi qrRp ; d'ailleurs on a — pBq , — pRr et parconséquent — pRqi'f donc l'équation x^-^-py'' — çrz'^z^o serait résoluble, contre l'observation précédente , etc. IV. Si p est un nombre premier de la forme 4^^ i , et ç un nombre premier de la forme 4^-|-5, on ne peut pas avoir en même temps pRq et qNp. En effet, prenons un nombre premier r de la forme 4^ -\- i , qui soit non-résidu des deux nombres p et q : on aura (II) qNr, et (HI) pNr-, donc pqRr. Si l'on avait donc pRq , qNp f il s'ensuivrait 2iVmïprNq, — prRq , qrRp. L'équation px^ — qy^ -{-rz^ -=.0 serait donc résoluble, ce qui est absurde. On tire de là le troisième et le sixième cas du n'' i3i. Y. p et q étant deux nombres premiers de la forme 4^^ +5, on ne peut pas avoir en même temps pNq , qNp -, supposons en effet que la chose ait lieu, et prenons un nombre premier r de la forme 4^2 + 1 qui soit non-résidu de ;o et de ^ ; on aura qrRp , prRq ; or (II) on a pNr et qNr ; et partant , pqRr et — pqRr. L'équation — « px^ — qy"" -j- rz* = o serait donc possible , contre l'observation précédente. De là se déduit le huitième cas du n" i3i. 297. En examinant attentivement cette démonstration, on verra facilement que les deux premiers cas sont démontrés de manière à ne permettre aucune objection : mais les autres s'appuient sur l'existence de nombres auxiliaires , et cette existence n'étant pas prouvée , la méthode perd toute sa force. Quoique ces supposi- tions soient si spécieuses, qu'au premier abord elles semblent ne pas exiger de démonstration , et qu'elles ramènent bien certaine- ment le théorème à démontrer au plus haut degré de probabilité; cependant, quand on recherche la rigueur géométrique, il est impossible de les admettre gratuitement. Pour ce qui regarde la supposition des quatrième et cinquième cas , qu'il existe un nombre r de la forme 4^4-i qui soit non-résidu des deux autres nombres Zz 562 RECHERCHES premiers p et peuvent être distribués en quatre classes égales , dont l'une contient les non-résidus de p et de q y et les trois autres les nombres qui sont résidus de p ou de q seulement , ou de tous les deux : d'ailleurs, dans chaque classe, moitié des nombres seront de la forme 4^-^i , et l'autre de la forme ^^ri-^-S. Parmi ces nombres, il y en auradonc^(;7 — i) ( q — I ) qui seront non-résidus de p et de q , et de la forme 4^+1. Représentons -les par ^, g', g", etc., et tous les autres qui sont au nombre de J (p — i) {q — i) par h. H, H' , etc. Il est évident que tous les nombres de la forme 4pqt-{-g, 4pqt-\'g, /^pqt+g\ etc {G) seront à-la-fois non-résidus de p ei de q ^ et de la forme /^ri'^i. Or, pour établir la démonstration, il ne reste plus qu'à faire voir qu'il y a nécessairement des nombres premiers compris sous les formes {G)\ cette assertion paraît d'autant plus plausible, que ces formes jointes aux formes 4pqt-^h, ^pqt-^-lï , /ipqt + h" -{'e{c {H), renferment tous les nombres premiers k p et q , et parconséquent tous les nombres absolument premiers (excepté 2 , p et q) , et qu'il n'y a pas de raison pour que la suite des nombres premiers ne soit pas distribuée également entre ces formes, de manière que la huitième partie appartienne k (G) , et les autres à (^T). Cependant on voit sans peine combien un tel raisonnement est éloigné de la rigueur géométrique. Legendre avoue lui-même qu'il lui semble assez difficile de démontrer qu'il y a nécessai- rement des nombres premiers compris sous la forme kt-\-/, k et l étant deux nombres premiers entre evtxyet t un. nombre indéterminé, et il indique une autre méthode qui conduirait peut-être au but proposé. Mais il nous semblerait nécessaire de faire beaucoup de recherches préliminaires, avant de parvenir par celte dernière voie à une démonstration rigoureuse. — Il suppose encore (III, seconde méthode) qu'il existe un nombre premier r, de la forme 4'^4-5, dont un nombre premier donné p > de la forme 4^-f- ï ; soit non-résidu j mais il n'a. rien ajouté pour ARITHMÉTIQUES. 365 confirmer sa supposition. Nous avons démontré (n" 129) qu'il existe nécessairement des nombres premiers dont p soit non-ré- sidu; mais notre méthode ne paraît pas pouvoir démontrer l'exis- tence de tels nombres, qui soient en même temps de la forme 4^ + 5 (ce qui est exigé ici, et non dans notre première démons- tration ). Au reste, nous pouvons facilement démontrer, comme il suit, la légitimité de cette supposition. Parle ji° 2^j , il j aura un genre positif de formes binaires de déterminant — p dont le caractère sera 3,4 j ^p '• soit (^a, b, c") une telle forme, et û: im- pair (ce que l'on peut supposer). Alors a sera de la forme 4^i-{-5 , et il sera premier ou divisible par un facteur premier de r de la forme 4^2-1-5. D'ailleurs on aura — pRa, et partant, — pRr , d'où pNr, Mais il faut remarquer que les propositions des n°^ 265 , 287 s'appuient sur le théorème fondamental, et que parconséquent c'est faire un cercle vicieux que d'établir sur elles une partie de la démonstration de ce théorème. — La supposition de la pre- mière méthode du troisième cas est encore beaucoup plus gratuite, eusorte qu'il est inutile de nous y arrêter. Qu'il nous soit permis d'ajouter une observation à l'égard du cinquième cas, qui n'est pas assez prouvé par la méthode précé- dente, mais qui n'échappe pas à la suivante. Si l'on avait à-la-fois pNç , çNp , on aurait — pRç, — Ç^P) d'où l'on conclut facile- ment que — 1 est nombre caractéristique de la forme (p, o, ç), qui parconséquent, d'après la théorie des formes ternaires peut être représentée par la forme x^-^y'^-j-z*. Soit pi'-{-gu'= (at -h (Buy-i-(oL'i^ (^'iiy^CoL't-i- ^'uy, ou a*+^/'+A'''=;'/ /S'+.iS'^-f-/5'^=7, a5-|-a'/S'+*''/S''=:o; par les deux premières équations, a, a, a.", /3, ^', /S* doivent être tous impairs; mais alors la troisième ne peut subsister. Le deuxième cas peut se traiter d'une manière semblable. 398. ProjBlème. a,b, c étant des nombres quelconques dont cependant aucun n'est =0, trout^er les conditions nécessaires pour que r équation ax'"-f-by='-{-cz*==o {o)) soit résoluble. Soient a% 6% y"- les plus grands quarrcs qui puissent diviser 3 364 RECHERCHES hCf ac , ab respectivement, et soit fait cLa:=.^yA , ^bz=^a.yB f yc:=.a.^C, A, By C seront entiers et premiers entre eux; Téquation (') en faisant xz=p , yz=iqy zz=r , on sa- tisfera à l'équation {(*>) en faisant X=^yp, l':=cLyq , Z=:t/3r, Ainsi toutes deux sont résolubles, ou aucune ne l'est. 299. Problème. Étant proposée la forme ternaire ax»+aV=^-f aV^+2bx'x'' + 2b'xx''-{- 2b''xx' = f , "trouver si zéro peut être représenté par elle , en donnant aux indéterminées des valeurs qui ne soient pas toutes égales à zéro, I. Quand ^ = 0, on peut prendre à volonté les valeurs de x', x", et il est clair que l'équation a'x'' + 2bx'x"'{' d'x"^ =— 2a;(Z^V+Z'V), donne toujours pour x une valeur déterminée et rationnelle. Toutes ARITHMÉTIQUES. 365 les fols qu'il en résulte une fraction , il suffit de multiplier les Valeurs de a:, oc, x' par le dénominateur de la fraction, et l'on obtient une solution entière. On doit seulement exclure les valeurs de x', x' qui rendraient h'x"-^b''x^z=:o, à moins qu'elles ne ren- dissent aussi a'x''''\':ihx'x''-{-a'x"''=o , auquel cas x peut être plis arbitrairement. On voit en même temps que de cette manière on obtient toutes les solutions possibles. Au reste, le cas où b'-=.h"z=.Q sort de nos considérations*, car x n'entre plus dans la forme, c'est-à-dire que^ est une forme binaire, et que l'on peut juger par la théorie des formes binaires si zéro est représentable par elle. II. Mais quand a n'est pas =o, l'équation y*= o revient à {ax'\' b''x'+ h'acy — A"oc^ -4- 2Bx'x"—' A'x"' == o , eu posant h'^-^aa =:A", ahz=.h'b"^B , b'*—aa"—A', Or quand ^" = 0, et que l'on n'a pas Z^=o, il est évident que si ax-\-b''x'-\-b'x" et x" sont pris arbitrairement, x et x' obtiennent des valeurs rationnelles, et si elles ne sont pas en- tières, un multiplicateur convenable donnera des entiers. Il n'y a que lorsque l'on prend ar''=o, que ax-{-b''x'-\-h'x" n'est plus arbitraire; il doit être aussi =0. La valeur de x' peut être prise arbitrairement et produira des valeurs rationnelles pour x. Quand on a à-la-fois A"z=.o, B = o, il est clair que dans le cas où ^' est un quarré h", réquationy^= o est decomposable en deux équa- tions linéaires (dont l'une ou l'autre doit avoir lieu), ax-^- b"x'+ (Z^'H- k)x"z=: o, ax + 3 V+ (^'— k)x"z= o ; mais si, dans la même hypothèse. A' n'est pas un quarré, il est évident que la solution de l'équation proposée dépend des équa- tions x''=:o, ax-\-b"x'z=.o f qui doivent avoir lieu en même temps. Au reste, il est à peine nécessaire d'observer que la méthode du paragraphe I s'appliquerait de même quand «'=0, oua";=o, et celle du paragraphe II, quand ^'=0. III. Mais quand on n'a ni fl=o, ni .^'=0, réquationy= o peut se mettre sous la forme A\ix + b"x''\- b'x'Y — (yi V— . Bxy 4- Bax"' = o , 563 RECHERCHES en désignant par D le déterminant de la forme y, ou par Da le nombre B'-^A'A". Quand D = o, la solution est semblable à celle de la fin du cas précédent, savoir, si A" est un quarré =k^, l'équation pro- posée se réduit aux deux kax 4- i^b"— A"y+ {kb'-\- E)x" = o , kax H- {kTf-\- A")x'-^ (kb'—B)x"=: o -, mais si A" n'est pas un quarré , on doit avoir ax + Z>V-|- b'x' = o , ^ V— Bx" = o. Quand D n'est pas =o, on est ramené à l'équation A^t"" — u'' -{- aDiJ'^ = o, dont la possibilité se reconnaît par le n' précédent. Si cette dernière ne peut être résolue que par les valeurs tz=o, uz=.o, 1^ = 0 , la proposée n'admettra pas d'autre solution que x=:Of x'=:o, x''=:0', mais si elle est susceptible d'autres solutions, on déduira d'une quelconque d'entre elles, au moyen des équations aaî + ^>V+^V=/, A'x — Bx"^=u, x''=:v , des valeurs au moins rationnelles de x, x', x'» Si ces valeurs renferment des fractions, on pourra toujours en tirer des entier^ à l'aide d'un multiplicateur convenable. Cela posé, quand on a une solution en nombres entiers de l'équation y==o, on peut réduire le problème au premier cas, et obtenir, comme on l'a fait, toutes les solutions. Soient a, a, cl" les valeurs supposées de x, x', x" respectivement, délivrées de facteurs communs; on prendra (n^* 4^, 279) les nombres en- tiers /3, /S', jô", y, y y y" tels qu'on ait ct(/3V-/5V) -f-^'C^V-ZS/) +a''(/3>'--/3» = I ; la forme y se changera, par la substitution en la forme ^ == cj* 4- c'/^ + c"/^ + 2 d/y"-^ 2rfxr''+ 2dyy, On aura évidemment c = o, et ^ équivalente à/; d'où il suit que des solutions de l'équation ^ = 0 on déduira, à l'aide delà ARITHMETIQUES. 56; substitution (S), toutes les solutions de l'ëquation/=:0 en nombres entiers. Or nous avons vu (I) que toutes les solutions de l'équa- tion g=-o sont contenues sous les formules r=:—z(cy-^2dpq^cY), y=i2z{d'p'-\-dpq), y''^2z{d"pq^d'q^), p et q étant des nombres entiers indéterminés , et ;2 un nombre indéterminé qui peut être fractionnaire , pourvu que y , y', y' restent entiers. En substituant ces valeurs dans C*^)^ o^ Sluï». toutes les solutions de l'équation y=o en nombres entiers. Ainsi, par exemple, si f:=:x'''\'3if*-\-x"^'^/^x'x^'{'!îxx''\-^xx', et que l'on ait la solution a; = i, x'z=: — 2, x"z=\ , en faisant /3, /S', jS", ;., y, y" = o, I, o, o, o, I, il en résulte... g=:y'''-{-y''^ — 4jy4-i2yj''. Toutes les solutions de l'équation ^ = 0 en nombres entiers seront renfermées dans les formules y =—z{p''—/ipq + q')> y=:zi2zpq, f=^i2zq\ et partant toutes celles de l'équation y=o, dans les suivantes : x=:—z{p'—/^pq-\-q''),x'=:z2z{p^'\':ipq+q'),x":=:-z{p'—Apq-{'^^9% 3oo. Le problème du n° précédent conduit naturellement à la solution de l'équation ax'^ -{- ^iocy -j- cy^ + 2dx + 2ey -4-/^= ^t lorsque l'on ne demande que des nombres rationnels (Nous l'a- vons résolue plus haut (n*'* 216 et suiv.) dans le cas où l'on de- mande des entiers )j car toutes les valeurs rationnelles de x et y pourront être représentées par -, -, de manière que /, u et tJ soient des entiers *, d'où il suit que la résolution de cette équa- tion en nombres rationnels, revient à celle de l'équation ai^ -f- 2btu + eu"" -|- 2dtp -\- ^euif -{-fo" = o en nombres entiers; mais cette dernière coïncide avec l'équation traitée au n° précédent. On doit seulement exclure les solutions dans lesquelles p'==o ; mais il ne peut y en avoir de telles quand Z>* — ac n'est pas un quarré. Ainsi, par exemple, toutes les solutions en nombres rationnels de l'équation X' + 8xy + j* -f 2j: — 47 -I- I = o , Z6d RECHERCHES que nous avons dëjà résolue en nombres entiers (n° 221), sefrouveufc comprises dans les formules p' — 4pq-\-^^q"* p^—4pq-h iiq^* p et ç étant des nombres entiers quelconques. Au reste , nous n'avons parlé qu'en peu de mots de ces deux problèmes qui sont étroitement liés entre eux , et nous avons sup- primé beaucoup d'observations qui y sont relatives , tant pour éviter la prolixité , que parceque nous avons une autre solution du problème du n° précédent, appujée sur des principes plus gé- néraux, et dont nous devons réserver l'exposition pour une autre occasion, attendu qu'elle exige l'examen le plus approfondi des formes ternaires, 5oi. Revenons aux formes binaires dont nous avons encore à examiner plusieurs propriétés remarquables; et d'abord , ajoutons quelque chose sur le nombre de genres et de classes de l'ordre proprement primitif (positif quand le déterminant est négatif) , auquel nous sommes forcés, pour abréger, de borner nos recherches. Le Jiombre de genres en lesquels se distribuent toutes les formes proprement primitives positives de déterminant positif ou négatif Tt: D f est toujours une puissance de 2, dont l'exposant dépend du nombre de facteurs de />, et que l'on peut entièrement déter- miner par les recherches précédentes. Or comme dans la suite des nombres naturels, les nombres premiers sont mêlés avec d'autres plus ou moins composés , il arrive que pour plusieurs déterminans successifs rfcZ),~b(Z)-f-i)>— (-'^ + 2), le nombre des genres tantôt augmente et tantôt diminue , et il semble qu'il a'y ait aucun ordre dans cette suite de nombres. Néanmoins, si l'on ajoute les nombres de genres correspondans à plusieurs déterminans successifs d=Z?, d= (D-f-i), ±. . .etc. (i^ + w), etquel'on divise la somme par le nombre des déterminans, il en résulte un nombre moyen de genres qui pourra être censé appartenir au déterminant moyeu ± TZ) -| \ et établit une progression très-régulière. Nous supposons, non-seulement que m est un nombre assez grand, mais encore que Z) est beaucoup plus grand, de manière que le rapport des ARITHMÉTIQUES. 569 des déterminans extrêmes D et D'\-m y ne diffère pas trop de l'égalité. La régularité de cette progression doit s'entendre ainsi : si Z/'est un nombre beaucoup plus grand que D , le nombre moyen de genres pour le déterminant db Z)" sera sensiblement plus grand que pour D ; mais si D et D' ne diffèrent pas beaucoup , les nombres moyens de genres sont presqu'égaux. Au reste, le nombre moyen de genres pour le déterminant positif -f-Z?, se trouve presque toujours égal au nombre moyen de genres pour le déterminant né- gatif, et cela d'autant plus exactement, que D est plus grand-, tandis que pour de petits nombres , le premier se trouve un peu plus grand que le second. Ces observations s'éclairciront davantage par les exemples suivans, tirés d'une table de classification de formes binaires , qui contient plus de 4^00 déterminans. Parmi les cent déterminans compris de 801 à goo , on en trouve 7 aux- quels ne correspond qu'un genre, 52, 52, 8, i auxquels corres- pondent respectivement 2,4» ^> i^ genres. Il en résulte en tout 359 genres, et partant, pour le nombre moyen 3,5g. Les cent déterminans négatifs depuis — 801 jusqu'à — 900, produisent 36o genres. Les exemples suivans sont tous pris des déterminans néga- tifs. Dans la seizième centaine, c'est-à-dire, depuis — i5oi jus- qu'à 1600, le nombre moyeu de genres est 3,89- dans la vingt- cinquième, il est 4>o3- les six cents déterminans compris de — 9401 à — loooo donnent 4^^9« Ces exemples font voir que les nombres moyens de genres croîtraient bien plus lentement que les déter- minans -, mais il s'agirait maintenant de savoir quelle est la loi de cette progression. Une recherche fondée sur une théorie assez difficile , et qu'il serait trop long d'exposer ici, nous a fait trouver que le nombre moyen des genres, pour le déterminant + £) ou — D , était exprimé d'une manière extrêmement approchée par la formule : alogZ)-|-jô, où a et /3 sont des quantités constantes , et telles qu'on a, tt étant la demi-circonférence dont le rayon est i , et =^ = 0,4052847346, jS = 2ot^ -I- 3aVi — } fit log. 2 =: o,883o46o462 , 0 étant la somme de la série A a a //7.' 570 B E C H E B C H E S i-log.Ci-l-O-f-^ — log.(i+i) + i-log.(i+i) + e(c.' = 0^5772156649, {Euler, Calc, diff, p. 444) > et h la somme de la série j^ ^ . \ log. 2 + i log. 5 + -IT log. 4 + etc. = 0,9575482543. Cette formule fait voir que les nombres moyens des genres croissent en progression arithmétique , si les déterminans croissent en pro- gression géométrique. Elle donne pour les déterminans 85o|-, i55oi-, 2450 |j 5o5oi; 91^^ \ y les valeurs 5,627 j 5,860 -, 4>o46 j 4^559 j 4,601 respectivement, qui ne diffèrent presque pas des nombres mojens donnés plus liaut. Plus le déterminant mojen sera grand , et plus on prendra de déterminans pour calculer le nombre moyen de genres , moins ce dernier différera de la valeur de la formule. A l'aide de cette formule, on peut trouver avec beaucoup de pré- cision la somme des nombres de genres qui répondent aux déter- minans successifs rb Z>, ri= (Z) -f-i ) , d=(Z)-|-2 ), etc. ± (D-^m), en ajoutant ensemble les nombres moyens de genres qui corres- pondent à ces différens déterminans, quelque différence qu'il y ait entre les extrêmes D et D -\- m. Cette somme sera ct{log.Z?4-log.(i5-|-0-l-log. (£) + 2)-|-etc.H-log.(Z)-f-m)} ou assez exactement a((Z)+77ï)log.(D + 7w) — (i5— i)Iog.(Z)— i)} + (/?z + i)(/3— a). De cette manière , on trouve que le nombre des genres depuis le déterminant — i , jusqu'au déterminant — 100, est = 254,4^ tandis qu'il est en effet 235. De même , depuis — i jusqu'à — 2000, on trouve 7116,6 genres, tandis qu'il y en a en effet 7112-, de 9001 à 10000, on trouve 4594>9> et il y en a 4%^; approximation plus grande qu'on ne pouvait l'espérer. 5o2. A l'égard du nombre de classes (proprement primitives positives, comme on doit toujours le sous-entendre ), les déter- minans positifs et les déterminans négatifs se comportent d'une ARITHMÉTIQUES. Syr manière bien différente j aussi nous les considérerons séparément: ils s'accordent cependant tons en cela que, pour un détermi- nant donné, chaque genre contient le même nombre de classes, et que parlant, le nombre de toutes les classes est égal au produit du nombre de genres par le nombre de classes contenues dans chaque genre. Considérons d'abord les déterminans négatifs ; les nombres de classes qui répondent à plusieurs déterminans successifs , — D ^ — (Z>-|-i), — (Z) + 2)...., etc. forment une progression aussi irrégulière que celle des genres. Mais les nombres moyens de classes croissent très-régulièrement, comme on le verra par les exemples suivans. Les cent déterminansdepuis — 5oo, jusqu'à — 600, donnent 1729 classes; donc le nombre mojen est 17,29. De même, dans la quinzième centaine , le nombre moyen de classes se trouve être 28, 26. De la vingt-quatrième et de la vingt-cinquième cen- taines on tire 36 , 2.^-^ des soixante-unième , soixante-deuxième et soixante-troisième, il résulte 58,5o; de la quatre-vingt-onzième à la quatre-vingt-quinzième, c'est-à-dire de 9001 à gSoo, on trouve 71,56, et de la quatre-vingt-seizième à la centième, 75,54. Ces exemples montrent que si les nombres mojens et classes croissent beaucoup plus lentement que les déterminans , ils croissent beau- coup plus rapidement que les nombres moyens de genres ; avec une légère attention, on apperçoit qu'ils croissent à peu-près comme les racines quarrées des déterminans mojens. Et en ejffet, par une recherche fondée sur la théorie , nous avons trouvé que le nombre moyen de classes pour le déterminant — D ^ était exprimé d'une manière très-approchée par y\/ D — /S j ou l'on a > = 0,7467183115 = ^, et Ô= I +1 + ^7 + 6^ H- 7^5 + etc., ê" ■=. o, 202642 367 3 = -^ ; les nombres moyens calculés d'après cette formule , diffèrent peu de ceux que nous avons extraits plus haut de la table de classifi- cation. A l'aide de cette formule , on peut aussi assigner assez exactement la somme de tous les nombres de classes qui répondent à plusieurs déterminans successifs — i),— (Z?-^l),-.(D + 2), —(£) + 772 — 1), î^3 RECHERCHES quelque différence qu'il y ait entre les extrêmes ," en ajoutant les nombres moyens qui , d'après la formule , appartiennent à ces déterminans. On trouve pour cette somme y{y/D'\' \/{D-{- I ) 4- etc. 4- /(/> + /«— 0} + ^'«• ou f > ((i^+77^-î)'- (^-Tn+ ^'^ à très-peu-près. Ainsi, par exemple^ pour les cent déterminans com- pris de — I à — 100, la formule donne 4^i,i, tandis que le nombre exact est 477? l^s mille déterminans — i — looo donnent, d'après la table, i5555 classes, et par la formule, i555i,4; le second mille donne, d'après la table, 286o5 , et par la formule, 28585,7*, de même le troisième mille donne effecti- vement 37092, et par la formule, 37074,3^ enfin pour le dixième mille la table donne 72549, et la formule, 72572, 3o3. La table des déterminans négatifs, disposée d'après la di- versité des classifications, fournit plusieurs autres observations remarquables. Pour les déterminans de la forme — (872 -|- 3), le nombre des classes contenues, tant dans chaque genre proprement ' primitif que dans l'ensemble de tous ces genres, est toujours di- visible par 3, le seul déterminant — 3 excepté, ainsi qu'on peut le conclure du n° 256, VI. Quant aux déterminans pour les- quels les formes ne composent qu'un seul genre , le nombre de classes est toujours impair; en elfet, comme pour un pareil dé- terminant il n'j a jamais qu'une classe ambiguë, qui est la classe principale, le nombre des autres classes qui seront opposées deux à deux sera nécessairement pair, et partant le nombre de toutes les classes sera impair. — Or la série des déterminans auxquels répond une même classification donnée, c'est-à-dire, un nombre donné de genres et de classes, paraît toujours finie; nous allons faire appercevoir cette observation surprenante , dans quelques exemples. Dans la table suivante, le premier nombre, en chiffres romains, indique le nombre de genres proprement primitifs po- sitifs-, le second, le nombre de classes contenues dans chaque genre; toutes les autres forment la série des déterminans auxquels cette classification appartient. ARITHMÉTIQUES. Zfj T.......T...I, 1, 5, 4, 7j 1 3... II, ig, 25, 27, Zi, 45, 67, i65j 1 5... 47, 79, io5, 127', J 7... 71, i5i, 225, 543, 4^5, 4^7? II I . . .5, 6, 8, g, 10, 12, i3, i5, i6, 18, 22, 25, 28, 37, 58; Il 2...14, 17* 20; 32, 34, 36, 59, 4^> 49> 52,55,63,64,' 73, 82, 97, 100, 142, 148, 195; IV I . . .21, 24, 3o, 33, 40, ^1, 45^ 4S> ^7, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 112, i3o, i35, 177, 190, 252, 255; VIII. . .1 . . .io5, 120, i65, 168, 210, 240, 275, 280, 5i2, 53o, 345, 357, 585, 4o5, 462, 520^ 760; XVI... i... 840, i320, i365, 1848. On trouve de même vingt déterminans, dont le plus grand est — 1425, auxquels répond la classification I.g; quatre, dont le plus grand est — i3o5, auxquels répond la classification 1. 11, etc. Les classifications II. 5, II. 4> II. 5, IV. 2, ne répondent pas à plus de 4^^ 52, 42, ^^ déterminaus , dont les plus grands sont respectivement — 652, — 862, — i3i8, — 1012. Comme la table dans laquelle nous avons pris ces exemples a été prolongée bien an-delà des déterminans qui paraissent ici (^) , et qu'elle ne fournit aucun autre déterminant qui appartienne à ces classifica- tions, il paraît hors de doute que les séries précédentes sont finies, et l'on peut, par analogie, éieadre la même conclusion h: toute autre classification. Par exemple, comme dans tout le dixième millier de délerminans, il ne s'en rencontre aucun qui réponde à moins de vingt-quatre classes, il est extrêmement vrai- semblable que les classifications 1.23, I.2I, etc.; II. II, II. 10, etc.; IV. 5, IV. 4, IV. 5, etc.; VIII. 2, etc. s'étaient arrêtées avant — 9000, ou qu'elles n'ont lieu que pour peu de déterminans plus grands que — 10000; mais il paraît très-difficile de donner de ces observations des démonstrations rigoureuses. (*) Pendant que cet ouvrage s'imprime , nous l'avons poussée sans interruption iu?qu'à — 3ooo ; nous y avons ajouté le dixième millier tout entier, plusieurs centaines éparses et un grand nombre de déteniiinans isolés choisis avec îoiii. 5^4 . RECHERCHES • Il est encore à remarquer que tous les détermînans dont les formes peuvent se distribuer en trente-deux genres au plus, ont au moins deux classes dans chaque genre, desorte que les clas- sificalions XXXII. i, LXIV.i, etc. n'existent point. Le plus petit déterminant de cette espèce est — 9240, et la classification qui lui répond est XXXII. 2 j et il est assez probable que, le nombre des genres augmentant continuellement , le nombre des classifications qui disparaissent augmente aussi. A cet égard, les soixante-cinq déterminans inscrits plus haut, auxquels répondent les classifications : I.i, ÏI.i, IV. i, VIII. i, XVI.i, mériîent d'être distingués,- et il est facile de voir qu'ils jouissent tous et seuls de deux propriétés remarquables j la première consiste en ce que les classes suivant lesquelles se distribuent leurs formes sont toutes ambigu'és ; la seconde, en ce que deux formes quel- conques» contenues dans le même genre sont équivalentes, tant proprement qu'improprement. Au reste, ces mêmes soixante-cinq nombres ont déjà été présentés par Euler (^Noup, Mém» de lAc, de Berlin, 1776, p. 558), sous un aspect un peu différent, dont nous parlerons plus bas, et avec une propriété facile à démontrer. 5o4. Le nombre des classes proprement primitives que four- nissent les formes binaires de déterminant quarré )l^ , peut être assigné à priori; il j a autant de ces classes que de nombres premiers avec lk et plus petits que lui. De là, à l'aide de rai- sonnemens qui n'ont aucune difficulté, mais que nous supprimons, on trouve que le nombre moyen des classes qui appartiennent à des déterminans quarrés voisins de le est exprimé d'une manière très-approchée par — . Quant aux déterminans positifs non-quarrés, ils présentent à cet égard des propriétés tout- à-fait singulières. Pour lés détermi- nans négatifs ou quarrés , les petits nombres de classes , par exemple les classifications I.i, ou 1.5, ou II. i , n'ont lieu que pour de petits déterminans et dont la suite s'arrête bientôt; pour les déterminans positifs non-quarrés au contraire, pourvu qu'ils ne soient pas très-grands, la plus grande partie donne des clas- sifications où il n'j a qu'une seule classe dans chaque genre, desorte que les classifications : 1.5, 1.5,11.2, IÏ.5, IV. 2, etc. AHITHMÉTIQUES. SyS sont frès-rares. Ainsi, par exemple, parnji lesqiiatre-vîngt-dix dëter- rainans non-qiiarrés qui sont au-dessous de loo, on en trouve tiM3is II, 48, 27 auxquels répondent les classifications 1. 1, II. 1, IV. i, respectivement; et il j en a un, Sy,, auquel répond 1.5; deux, 54 et 82, auxquels répond II. 2, et un, 79, auquel répond II. 5. Cependant, à niesure que les détermiuans augmentent, les nombres de classes plus élevés se multiplient peu-à-peu. Par exemple , parmi les quatre-vingt-seize déterminans non-quarrés qui sont compris entre 100 et 200, il j en a deux, loi et 197, auxquels répond 1.5; quatre, i45, 14^^ 178, 194^ auxquels répond II. 2; trois, i4i, 14^^ ^^9 > auxquels répond II. 5. Parmi les cent quatre-vingt-dix-sept déterminans non-quarrés compris depuis 801 jusqu'à 1000, il j en a 5, 4, 14, 2, 2, i5. G, 2, 4, auxquels répondent respectivement les classifications 1.5,11.2,11.5,11.5, II. 6, IV. 2, IV.5, IV.4, Vni.2. Pour les cent quarante-cinq autres, il n'j a qu'une classe dans chaque genre. Ce serait une question curieuse, et qui ne serait pas indi<^ne de la prétention des géomètres, que de chercher suivant quelle loi les déterminans qui ne donnent qu'une classe par genre de- viennent de plus en plus rares. Jusqu'à présent nous ne pouvons décider par la théorie, ni tirer de l'observation des conjectures assez certaines pour affirmer si la série s'arrête toujours , ce qui paraît au reste peu probable, ou du moins si ces déterminans de- viennent infiniment rares, ou si le nombre tend toujours et de plus en plus vers une certaine limite fixe. Les nombres m- yens de classes croissent dans un rapport qui n'est guère plus grand que celui des nombres moyens de genres, et bien plus lentement que les racines quarrées des déterminans: entre 800 et 1000, ou trouve 5,01. Qu'il nous soit permis d'ajouter une autre observa- tion, qui rétablit en quelque sorte l'analogie entre les détermi- nans positifs et négatifs. Nous avons trouvé que si le nombre des classes pour un déterminant positif D n'était pas analogue au nombre des classes pour le déterminant négatif, la chose a lieu du moins pour le produit de ce nombre par le logarithme de i-T-u\/Di ^^6 HE CHER en ES ■ t et II désignant les plus petits nombres, excepté i et o, qui sa- tisfont à l'équation V — Z?z/'=i, nous ne pouvons donner plus de détails sur la raison de cette analogie. La valeur moyenne de ce produit s'exprime assez exactement par la formule m\/D — /?; mais nous n'avons pas encore pu déterminer par la théorie les constantes m et n» S'il est permis de tirer une conclusion de la comparaison de quelques centaines de déterminans, m paraît peu différent de 2§. Au reste, nous nous réservons de revenir dans une autre oc- casion sur les valeurs moyennes des quantités qui ne suivent pas une loi analytique , mais qui approchent continuellement et de plus en plus de la suivre. Nous passons maintenant à une autre recherche, par laquelle nous comparerons entre elles les diffé- rentes classes proprement primitives de même déterminant, et qui terminera cette longue Section. 5o5. Théorème. ¥. désignant la classe principale des formes de déterminant donné Y), C u?ie autre classe quelconque prisa dans le genre principal de même déterminant , C*, C^ C^, C% etc. les classes qui naissent de la duplication , de la triplication , etc. de la classe C (Voyez n° 249); en continuant assez loin la pro^ gression C, C% C% etc. , on parviendra enjin à une classe iden- tique auec K; et si Von suppose que C" soit la première classe identique af^'ecK, et que le nombre de toutes les classes du genre principal soit n, on aura m=n, ou bien m sera une partie aliquote de m. I. Comme toutes les classes K, C, C*, C^ y etc. appartiennent nécessairement au genre principal, les tz -|-i premières classes de cette série K, C y C% .... C" ne peuvent pas être différentes; ainsi jï sera donc identique avec une des classes C , C*, C^ C", ou deux d'entre elles seront identiques. Soit donc Oz=C' et r >• s, on aura aussi C^-' = C -', C-»=c;-S etc., et C^-^'=:^=;: C7, d'où C-'^K, II. Il suit de là sur-le-champ que l'on a 772 = tz, ou ttz < /z; ainsi il ne reste plus qu'à faire voir que, dans le second cas, m. est une partie aliquote de tz. Comme les classes K , C, (7*. . .C"""', dont nous désignerons l'ensemble par (F), n'épuisent pas le genre principal. ARITHMÉTIQUES. 5/7 principal , soit C* une classe de ce genre qui ne soit pas contenue dans (r), et désignons par (f) l'ensemble de toutes les classes qui résultent de la composition de C avec chacune des classes de (F). On voit facilement que toutes les classes de (Y') sont différentes tant entre elles que des classes contenues dans (F) , et qu'elles sont du genre principal ; desorte que si (T) et (f) épuisent ce genre , on aura n = 2m, sinon on aura :2m < n. Soit donc , dans le se- cond cas, O" une classe du genre principal qui ne soit contenue ni dans (F) , ni dans (f) , et désignons par (f) l'ensemble de toutes les classes qui résultent de la décomposition de C avec toutes les classes de (r)*, il est évident qu'elles diffèrent toutes entre elles et des classes contenues dans (F) et (F') , et qu'elles sont du genre principal; donc si (F), (F') , (F') épuisent ce genre, on aura zz = 5/«, sinon n > 5/7z. Dans ce dernier cas, en traitant de la même manière une classe C" qui ne soit contenue ni dans^ (F), ni dans (F'), ni dans (F"), il en résultera que l'on a n = /^m, ou 771 > /^77i , et ainsi de suite. Or comme 71 et tti sont des nombres finis , le genre pi'incipal s'épuisera enfin , et 71 sera un multiple de 771, ou 771 une partie aliquote de ti» Soif, par exemple, Dz=i — Z56, C=(5, 2, 72) (*); on trouve C« = (2o,8,2i), C3=(4,i,89), Cfe(20,— 8,21), C7^=(5,— 2,72), C® = (i, o, 556). On a donc ici 7?i==.6, et pour ce déterminant 72= 12. En prenant C' = (S, 2,4^), les cinq autres classes de (F") sont: (9,--2, 40), (9, 2, 40), (8,-2, 45), (17, i, 21), (17,-1, 21). 3o6. On remarquera sur-le-champ l'analogie de la démonstration du théorème précédent, avec les démonstrations des n°* 4^, 49; et effectivement, la théorie de la multiplication des classes a une grande affinité avec le sujet traité dans la Section III. Mais les limites de cet ouvrage ne nous permettent pas de poursuivre cette théorie qui est digne de grands développemens ; aussi nous n'ajouterons que quelques observations , et nous supprimerons les démonstrations qui exigeraient trop de détails, nous réservant en- core de revenir sur ce sujet et de l'approfondir. (*) Nous exprinîons toujours les classes par les formes les plus simples qu'elles renferment. Bbb ZjB RECHERCHES 1°. Silascrie K, C, C% C\..C'"-' est proloDgée au-delà de C"~*> les mêmes classes reparaissent de nouveau , desorte qu*oi;i a C'^zziiK, C'-+-' = C, C'"-^'=C% etc.; et généralement , si ron regarde K comme C% les classes C^ et O' seront identiques ou différentes^ suivant que ^ et ^ seront congrus ou incongrus sui- vant le module m. Ainsi Ja classe C" est toujours identique avec la classe principale K, 2". Nous appellerons périodes de la classe C l'ensemble K , Cf C% C^...C'"~', que nous avons désigné par (F); mais cette expression ne doit pas être confondue avec les /?mW^5 de formes réduites de déterminant positif non-quarré, dont nous avons parlé n'* 186 et suivans. Ainsi il est clair que de la composition de tant de classes qu'on voudra d'une même période, il résulte une classe contenue dans la période O, O', O", etc. = C^-^f'-^^"-^''^- 5°. Comme C.C'"~'=:K , les classes C et C'"~' seront opposées, et partant C et Cy~^, C^ et C'"~% etc. Ainsi, lorsque m est m pair , la classe C^ sera elle-même son opposée, et sera par- conséquent ambiguë-, réciproquement, si, indépendamment de A^, il se trouve dans (F) une autre classe ambiguë C*", on aura 0= C"'~^, et partant g = m — g;=.\m. Il suit de là que si m est pair, il n'y a pas d'autre classe ambiguë que K et C^, et que si m est impair, il n'y en a pas d'autre que A". 4°. Si la période d'une classe C^ contenue dans (F) est K, es C^S C^\,.C^'^'-''^\ il est évident que m' h est le plus petit multiple de h qui soit divisible par m. Si donc m et h sont pre- miers entre eux , on aura m^=m' , et les deux périodes contiendront les mêmes classes, mais dans un ordre différent; mais générale- ment, fx, étant le plus grand commun diviseur des nombres m, h, on aura vi ■=. — ', d'où il suit que le nombre de classes contenues dans la période d'une classe quelconque prise dans (F) est m ou une partie aliquote de tw, et qu'il y a autant de classes de (F) dont les périodes soient composées de m termes, qu'il j a de nombres premiers avec ?7î dans la suite o, i, ii,....m — i , c'est- à-dire, qu'il y en a (pin, eu employant le signe du n° Sg. Gé- néralement , il y aura autant de classes dans (F) dont les périodes à ARITHMÉTIQUES. 579 soient Composées de — termes,qu*ilyadanslasuiteo, i,!l,..m — 1 de nombres qui aient yu- pour plus grand commun diviseur avec îtj. On voit facilement que le nombre en est (p—. Si donc 772 = 72, c'est-à-dire, si (T) renferme tout le genre principal, il ja dans ce genre (pn classes dont les périodes renferment le genre entier, et (pe classes dont les périodes renferment un nombres de termes, e désignant un diviseur quelconque de 77. Cette conclusion a gé- néralement lieu, quand il existe une classe du genre principal dont la période ait n termes, 5% Dans la même supposition, le système des classes du genre principal ne peut être disposé plus convenablement, qu'eu pre- nant, comme pour base, une classe dont la période ait 72 termes, et plaçant les classes du genre principal dans l'ordre qu'elles oc- cupent dans cette période. Desorte que si l'on affecte la classe principale de l'indice o, la classe prise pour base aura l'indice i, et ainsi de suite. La seule addition des indices suffit pour trouver quelle classe naît de la composition de classes quelconques du genre principale Voici un exemple pour le déterminant —356, où la classe (9, 3, 40) a été prise pour base : o...(i, o, 356)13. ..( 8, —2, 45)16. ..( 4, o, 89)! 9. ..(8, 2, 45) i...(9, 2, 40) 4... (20, 8, 2i)*7...(i7, — I, 2i)jio...(5,-— 2, 72) 2. ..(5, 2, 72)15. ..(17, I, 2i)i8...(20, —8, 2i)|ii ...(9, —2, 40). 6% Quoique l'analogie avec la Section III, et l'induction qu'on peut tirer de plus de deux cents déterminans négatifs, et d'un bien plus grand nombre de déterminans positifs non-quarrés, semblent porter au plus haut degré de probabilité la vérité de cette supposition pour tous les déterminans, une pareille conclu- sion n'en serait pas moins fausse et démentie par la continuation de la table de classification. Nous nommerons, pour abréger , déterminans réguliers ceux pour lesquels une seule période peut renfermer tout le genre principal, et déterminans irrégulîers ceux qui ne jouissent pas de cette propriété (*). Un petit nombre d'ob- ' (*) Voyez les Additions de l'auteur. 38o RECHEHCHES servatîoiis nous suffiront pour éclaircir ce sujet, qui Semble ce- pendant dépendre des plus profonds mystères de l'Arithmétique transcendante, et donner lieu aux recherches les plus difficiles; nous commencerons par la suivante, qui est générale. 7'. Si dans le genre principal se trouvent deux classes C , C, dont les périodes sont composées de m, m' termes, et que ili" soit le plus petit nombre divisible par m et par 772' -, il y aura aussi dans le même genre une classe dont la période contiendra M termes: si l'on décompose Men deux facteurs r et r premiers entre eux dont l'un^ r, divise m, et dont l'autre, r', divise m' (i\° j'S), m m la classe C~.C''^s=zC jouira dé la propriété précitée. En effet, supposons que la période de la classe C" soit composée de ^ termes, on aura donc ê^ est divisible par m!, et parlant gr par r ou^ par /. On prouve absolument de la même manière que^ est divisible par r, donc il l'est par r/= M; mais comme on a évidemment C"'^^z=. K , M est donc aussi divisible par g, et partant M=g. Il suit de là que le plus grand nombre de classes qui puissent être contenues dans une période pour un déterminant donné , est divisible par le nombre de classes de toute autre période d'une classe du même genre principal. On peut en même temps en déduire une mé- thode pour trouver la classe dont la période est la plus grande; c'est-à-dire, pour les déterminans réguliers , la classe dont la pé- riode renferme tout le genre principal; cette méthode est abso- lument semblable à celle des n^^ 7 5 et 74-, mais dans la pratique ou peut l'abréger par plusieurs artifices. Le quotient de la division du nombre n par le nombre de termes de la plus grande période,, quotient qui est i pour les déterminans réguliers, et plus grand que I pour les déterminans irréguliers, est d'après cela très- commode pour exprimer les différentes espèces d'irrégularités, et par cette raison pourra être nommé exposant d'irrégularité. 8°. Jusqu'à présent il n'y a pas de règle générale qui puisse faire distinguer à priori les déterminans réguliers des irréguliers. ARITHMÉTIQUES. 58i d'aufant plus que parmi les derniers se trouvent en même temps des nombres premiers et des nombres composés j ainsi il suffira d'ajouter ici quelques observations particulières. Quand il j a plus de deux classes ambiguës dans le genre principal, le déter- minant est sûrement irrégulier, et l'exposant d'irrégularité est pair. Mais quand il n'y a qu'une ou deux classes ambiguës, le déter- minant est régulier, ou du moins l'exposant d'irrégularité est im- pair. Tous les déterrainans négatifs de la forme — (aiôA+ay) , le nombre — 27 excepté, sont irréguliers, et l'exposant d'irrégu- larité est divisible par 3. La même chose a lieu pour les dé- termiijans négatifs de la forme — (lOOO/^-l-yS) et — (ïoook-^-GjS), en exceptant le seul nombre — jS, et pour une infinité d'autres. Si l'exposant d'irrégularité est un nombre premier p , tz est divi- sible par p^ ; desorte que si n n'est divisible par aucun nombre quarré , le déterminant sera nécessairement régulier. Il n'y a que pour les déterminans positifs quarrés e^ que Ton puisse distinguer à priori , slls sont réguliers ou irréguliers. Le premier cas arrive quand ^ est i ou 2 , ou un nombre premier im- pair, ou une puissance d'un nombre premier impair j le second pour toute autre valeur de ^. Pour les déterminans négatifs, les irréguliers deviennent d'au- tant plus fréquens , que les déterminans seront plus grands. Par exemple, dans le premier millier, on trouve i3 irréguliers qui sont, en omettant le signe, 576, 58o, 820, 884, goo, dont l'exposant d'irrégularité est 2. 243, 307, 339, 4^9^ 675, 755, 891, 974, dont l'exposant est 3. Dans le second millier, on en trouve i3 dont l'exposant est 2, et i5 dont l'exposant est 3. Dans le dixième millier, 3i dont l'exposant est 2, et 32 dont l'exposant est 3. Nous ne pouvons encore décider s'il existe au-dessous de — loooo des déterminans dont l'exposant d'irrégularité soit plus grand que 3. Au-delà de cette limite, on peut trouver des déterminans qui aient un exposant donné quelconque. Il est probable que les déterminans croissant toujours^ le nombre de ceux qui sont irréguliers tend à être dans un rapport constant avec le nombre des déterminans réguliers. La détermination de ce rap- port serait digne de la sagacité des géomètres. 582 RECHERCHES Parmi les déterminans positifs non quarrés, les irréguliers sont plus rares; il j en a une infinité pour lesquels l*exposant est 2 , par exemple 5o26 a 2 pour exposant d'irrégularité. Il semble aussi hors de doute qu'il existe des déterrainans dont l'exposant d'irré- gularité soit impair, quoique nous sojons forcés d'avouer qu'il ne s'en est pas offert à nous jusqu'à présent. 9*. Nous ne pouvons, sans donner trop d'étendue à cet ouvrage, parler ici de la disposition la plus commode du système des classes contenues dans le genre principal pour un déterminant irrégulier*, nous observerons seulement que comme dans ce cas une base ne peut suffire , il faut en prendre deux ou un plus grand nombre qui, par la multiplication et la composition , puissent produire toutes les classes. De là naîtront des indices doubles ou multiples qui auront presque le même usage que les indices simples pour les détermi- nans réguliers. 10°. Observons enfin que toutes les propriétés considérées dans ce n" et dans le précédent, dépendant principalement du nombre tz, qui a quelque analogie avec le nombre p — i de la section III , ce nombre mérite une grande attention ; il serait donc à désirer que l'on pût découvrir une relation générale entre n et le déter- minant. Nous pensons que l'on doit d'autant moins désespérer d'y parvenir, que nous avons déjà réussi à soumettre à une formule analytique, du moins pour les déterminans négatifs (n" 3o2), la valeur moyenne du produit de n par le nombre de genres qui peut être assignée à priori. C"). Soy. Les recherches précédentes n'embrassent que les classes du genre principal , et suffisent parconséquent , tant pour les déter- minans positifs qui ne donnent qu'un seul genre , que pour les déterminans qui ne donnent qu'un genre positif, si nous ne consi- dérons pas le genre négatif. Il nous reste à ajouter quelque chose sur les autres genres proprement primitifs. 1°. Lorsque le genre G différant du genre principal G de même déterminant, renferme quelque classe ambiguë, il y en aura autant dans l'un et l'autre genre. Soient h, M , N, etc. les classes (*) Voyez les Additions de l'auteur. ARITHMETIQUES. 585 ambiguës de (7, parmi lesquelles se trouve la classe principale A", et L' , M' y N', etc. les classes ambiguës contenues dans G' -, et désignons l'ensemble des premières par A , l'ensemble des dernières par A, Comme toutes les classes L,L\ il/. 77, N' .V, etc. sont évidemment ambiguës, et du genre G' , elles feront nécessairement partie de A'; et partant, le nombre de classes contenues dans ^' n'est sûrement pas plus petit que celui des classes contenues dans A : d'ailleurs les classes L\U, M' .L' , N' .L', etc. étant ambi- guës et du genre G , elles feront nécessairement partie de A, donc le nombre de classes contenues dans A n'est pas plus petit que le nombre de classes contenues dans A\ Donc les nombres de classes de A et de A' sont nécessairement égaux. 2". Comme le nombre de toutes les classes ambiguës est égal au nombre des genres (n^^ 261 et 287, 3^), il est évident ique si G ne contient qu'une classe ambiguë , chaque genre en contiendra né- cessairement une et une seule -, si G contient deux classes ambi- guës, la moitié de tous les genres en contiendra deux, et les autres n'en contiendront aucune j enfin, s'il j a dans G un nombre a de classes ambiguës (*), et que N soit le nombre total des genres, il y N aura— genres qui contiendront a classes ambiguës, et les autres n'en contiendront pas. 3°. Soient , pour le cas où G renferme deux classes ambiguës , G, G', G\ etc. les genres qui en contiennent deux) ^, H', H", etc. ceux qui n'en contiennent point; et désignons par jo- l'ensemble des premiers , et par h l'ensemble des derniers. Comme la composition de deux classes ambiguës donne toujours pour résultante une classe ambiguë (n° 249) , on verra sans peine que la composition de deux genres compris dans^- donne un genre compris dans^. Il suit de là que de la composition d'un genre de g avec un genre de h , il ré- sulte un genre de h. En effet, si par exemple G' .H appartenait à g-. G', H. G' serait aussi compris dans ^j mais G'.G'=G, et il s'ensuivrait que ff serait compris dans g, contre l'hypothèse. Enfin on reconnaît facilement que les genres G. H, G\H, G", H, etc. HH, H\H, ?r . H , etc. (*) Cela ne peut arriver que pour les déterininans irréguliersj et a sera touiours une puissance de 2. 584 RECHERCHES sont touâ difFérens entre eux , et que, pris ensemble, ils equivalent à^ et à h. Mais par ce qui vient d'être démontré, les genres G. H, G' .H 3 G" ,H y etc. appartiennent tous à ^, et partant, Tépuisent enlièreraent ; donc les genres II. H, H'. H, H". H, etc. appar- tiennent nécessairement kg, et partant, la composition de deux genres de h donne toujours un genre de g, 4". Si E est une classe du genre KdijŒerent du genre principal (7, il est clair que jE% E^ , £% etc. appartiennent toutes à G, tandis que -£% E^y E\ etc. appartiennent à V» Si donc la période de la classe £* est composée de m termes, il est évident que dans la suite Ey E* y E^ , etc. , la classe jE*"' sera indentique avec A, et qu'aucune ne pourra l'être avant elle, c'est-à-dire , que la période de la classe E sera composée de 2m termes j cloue le nombre de termes de la période d'une classe quelconque, d'un autre genre que le genre principal, sera 2ti ou une partie aliquote de 2n , n dési- gnant le nombre de classes commun à tous les genres. 5°. Soit C une classe donnée du genre principal G, E une classe du genre P^ qui donne C par sa duplication (n° 286), et /v, K\ K", etc. , toutes les classes ambiguës proprement primitives de même déterminant j toutes les classes dont la duplication donne C seront: E(=^E.K), E.K' y E.K"y etc., dont nous exprimerons l'ensemble par 6t), et dont le nombre sera évidemment égal au nombre des classes ambigu'és , ou au nombre des genres. Il est manifeste que parmi les classes o^, il j en a autant qui appartiennent au genre J^, qu'il j a de classes ambiguës dans le genre G-, ainsi, désignant par a le nombre de ces dernières, il y a dans chaque genre a classes comprises dans cù', ou il n'j en a aucune. On déduit faci- lement de là, que si fz= i , chaque genre contient une des classes &) j si az=:2y la moitié des genres contiennent deux des classes &>, tandis que les autres n'en contiennent aucune , et même la première moitié coïncide avec ^ (v. 5°.), et la seconde avec /z, et récipro- quement. Quand a est plus grand il y a toujours, en désignant par TV le nombre de tous les genres , — genres qui contiennent des classes &> , et chacune en contient a, 6°. Supposons maintenant que C soit une classe dont la période soit composée de n termes j on voit facilement que dans le cas ou (1 = 2, ARITHMÉTIQUES. 385 a •=.2. y et où partaofc , n est pair, aucune classe de t- — i classes ambiguës, et que toute classe de ces genres peut être produite ou par la multiplication de la classe TL y ou par la composition d'une classe résultante de cette première opération avec une ou plusieurs classes ambiguës. Nous ajoutons deux exemples qui serviront d'éclaircissement à ce procédé, mais nous ne pouvons rien dire de plus sur l'usage de cette construction, ni sur les artifices au moyen desquels on peut diminue? le travail. I. Déterminant — i6i. Quatre genres positifs j dans chacun d'eux quatre classes. G. V, i,^;Rr^ R2^. 3, 4 j A^7 j i?25. (i, 0, i6i) — K (5, I, 54) E (9, I, i8)-£« (6.- - I, 27) - E' (2, I, 8i)— £^ (e. I, 27)-£« (9,^1, i8)_£^ (5>- - I, 54) — E\ V, V\ 3, 4j R-, N^'S, 1,4; iv^.75 ^^5. ( 7, o, 23)-^^ (lO, 3, iq)—A,E (il, — 2, i5) — ^.£* (5, 2, 33) = ^.£2 (i4,-7, l5):=A,E^ (5, 2, 35) -—^.£5 (il, 2, i5)~A.E' (lO, —-3, \'])^A.E', II. Déterminant — 546. Huit genres positifs j dans chacun d'eux trois classes. G, I et 3, 8j i?5; Rq., i?i5. ( I, o, 546) = it (22, — 2, 35) = JE^ (22, 2, 25) = JE'^ V, 5 et 7, 8-, iV3-, iV7; A"i3. (5, 2, 110) == £1 (21, o, 26) = E^ ( 5, — 2, II o) = E^, ARITHMETIQUES. §sr v I et 5, 8; A"5; i?7; A^i3. ( 2, o, 273) = A. Cil,— 2, 5o)=:A.E^ (iif 2, So)^=zA.E^ I et 5, 8-, A'S-, iVy, /2i3. ( 5, o, 182)=^' (17, 7, Z^):=:A\E^ (17,-7, ^S)^A',E^ V\ I et 3,8; iR3, A^7j iVi3. ( 6, o, ^i)=zA.A' (19, 9, 33)=^.v^'.£* (19.-9. 33) ==^.^'.£3, r" 5 et 7,8 -j JR3; iN^; i?i3. (10, 2, 55) = A.E (i3, o, 42) = ^.£3 (lo, — 2," 55) = ^.£5. 5 et 7, 8; /?3; ^^7 -, 7Vi3. (i5, — S, Zj)=:A'.E ( 7, o, ^S) = A'.E' (i5, 3, 'Sj) = A',EK (25, II, 2g) = A.A\E (14, o, 26) = A.A\E' (23, — II, 2g) = A.A.E\ 388 RECHERCHES SECTION SIXIEME. Applications des différentes Ke cherches précédentes. 3o8. iNous avons déjà indiqué en difFérens endroits combien l'arithmétique transcendante peut être utile dans les autres par- ties des mathématiques. Mais nous ne crojons pas inutile de traiter à part quelques applications qui méritent d'être exposées avec plus de détail, non dans la vue d'épuiser ce sujet, qui suffirait pour remplir plusieurs volumes, mais pour l'éclaircir par quelques exemples. Dans cette Section , nous parlerons d'abord de la décomposition des fractions en fractions plus simples *, ensuite, de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales; nous exposerons une nouvelle méthode d'exclusion , qui sert à la résolution des équations indéterminées du second degré-, enfin, nous donnerons de nouvelles méthodes abrégées, pour distinguer les nombres pre- miers des nombres composés, et trouver les facteurs de ces derniers. Dans la Section suivante , nous établirons la théorie générale d'une espèce particulière de fonctions, qui s'étend très-loin dans toute l'analjse, et qui est intimement liée à l'arithmétique trans- cendante ; nous nous attacherons surtout à agrandir la théorie des sections du cercle , dont jusqu'à présent on n'a connu que les premiers élémens. Sog. Problème. Décomposer la fraction —, dont le déno- minateur n est le produit de deux nombres a. et h premiers entre eux , en deux autres dont les dénominateurs soient a et b. Soient -, "a les fractions cherchées; on doit avoir bx'{'ayz=:zm-j donc X sera racine de la congruence bx^m (mod, ût), et par- ARITHMÉTIQUES. 589 conséquent peut se trouver par la Section II : on aura d'ailleurs m- Au reste, on sait que la congruence hx^m a une infuiitéde racines, mais toutes congrues suivant a, et il peut arriver que y acquière une valeur négative. Il est à peine nécessaire de dire que l'on peut aussi trouver y par la congruence ay^m (mod, h), et X par l'equation :r= — r-^. Par exemple, étant proposée la fraction f|, 4 sera valeur de l'expression ff (mod.y)^ donc f| se décompose en 7+-rr. : 3io. Si l'on propose une fraction — dont le dénominateur /z soît le produit de tant de facteurs a, h , c , d, etc. qu'on voudra, qui soient premiers entre eux, on pourra, par le n° précédent, la décomposer d'abord en deux fractions dont les dénominat^eurs soient a et bed, etc., ensuite la dernière en deux dont les dé- nominateurs soient b et cd, etc., et ainsi de suite, desorte que la fraction proposée sera mise sous la forme -Il est évident que l'on pourra toujours prendre les numérateurs -'^y (^3 y> '^i etc. positifs et plus petits que leurs dénominateurs respectifs, excepté le dernier, qui n'est plus arbitraire, lorsque les autres sont déterminés, et peut être négatif et plus grand que son dénominateur (si du moins nous ne supposons pas ui de manière que ê soit positif et moindre que ^, et que k soit un entier. Exemple, La fraction ffi* ^ont le dénominateur =4.3.7. 11, se décompose de cette manière en | + ^^j -^ir en f — f| j — ^ en- — 77 j donc mettant ^j — 1 pour — tt^ i^ vient enfin 391 1. -4-. A -L, 1 _!. J?: T 5>i m n 3ii, La fraction— ne peut se mettre que d'une seule manière 390 RECHERCHES SOUS la forme - + ^H- etc.q::^, de manière que a, /S, etc. soient positifs et moindres que a, b, etc., c'est-à-dire que si l'on supposait ™= Ï4. ^+ 2: + etc. =F A =:^ + f + 2: + etc. =F A', n abc ' a o ' c "^ ' on aurait nécessairement eL=:a,'f /3=:/3', etc. kz=zk', tant que a', /S', ;^/, etc. seront positifs et plus petits que a, b, c, etc. En effet, en multipliant par nz=.abcd, etc., on a ttz ^ a^c^/, etc. , ^%'bcd, etc. (mod.^), et coravciQ bed, etc. est premier avec â! , il s'ensuit nécessairement cL^^^ct!, et partant <:l-:=.o1\ de même (i=z(i', etc., et parconséquent kz=:k\ Or comme il est absolu- ment arbitraire par quel dénominateur commence le calcul, il est évident que tous les numérateurs peuvent être cherchés comme à dans le n" précédent, par exemple, /3 par la congruence l^acd, etc. ^ m (mod. Z>), y par la congruence yabd, etc, ^m (mod.c), etc. La somme de toutes les fractions ainsi calculées, sera égale à la proposée, ou la différence sera un nombre en- tier = A, ce qui nous donne un raojen de confirmer le calcul. Ainsi dans l'exemple du n" précédent , les valeurs des expressions i|i(raod.4), flK«iod.3), -HKi^od.y), ^/ (mod. 11), donnent les numérateurs i, 2, i, 4> 9"i répondent aux déno- minateurs 4> ^> 1 y ïï * ^t l'on trouve que la somme de ces frac- tions surpasse d'une unité la fraction proposée. 3i2. Définition. Si l'on convertit une fraction ordinaire en fraction décimale, la suite de figures décimales (*) (en excluant la partie entière, s'il y en a), soit finie, soit infinie, s'appellera mantisse de la fraction , en prenant ici dans une acception plus générale une expression qui n'était jusqu'à présent usitée que pour les logarithmes. Ainsi, par exemple, la mantisse de la fraction \ est 125, la mantisse de la fraction f| ^st 1875, celle de la frac- tion fj est o54o54 à l'infini. Il suit de là sur-le-champ , que deux fractions -, — de même (*) Pour abréger , nous ne nous arrêtons qu'au système décimal vulgaire ^ quoique nos recherches pussent s'étendre à un système quelconque. I ARITHMÉTIQUES. Sgf dénominateur ont des mantisses égales ou différentes^ suivant que les numéi-ateurs /, m sont congrus ou incongrus suivant n. Une mantisse finie ne change pas lorsqu'on ajoute plusieurs zéros à sa droite. La mantisse de la fraction s'obtient en retranchant n la première figure de la mantisse de la firaction —, et générale- V ment, la mantisse de la fraction se trouve en retranchant les V premières figures de la mantisse de la fraction —, La man- tisse de la fraction - commence par un chiffre significatif, si n> lo, et que le nombre de ses chiffres soit k, les k — I premières figures de la mantisse seront des zéros , / m et la k'"" un chiffre significatif. Il suit de là que si - et — ont des mantisses différentes, c'est-à-dire, si / et m sont incongrus suivant 72, ces mantisses ne peuvent avoir les â: premiers chiffres égaux, et qu'elles diffèrent au moins dans le k'""\ 3i5. Problème. Etant donné le dénominateur d'une frac- tion —, et les \ premières figures de sa mantisse, trouver le numérateur m , que nous supposons plus petit que n. Considérons ces k figures comme un nombre entier j multi- plions-le par n et divisons le produit par lo*, en en retranchant les k premières figures*, si le quotient est entier, c'est-à-dire, si les chiffres retranchés sont des zéros, ce sera évidemment le nu- mérateur cherché, et la mantisse donnée sera complète, sinon le numérateur cherché sera l'entier immédiatement phis grand , ou ce quotient augmenté de l'unité, lorsqu'on en aura retranché la partie décimale. La raison de cette règle se tire si facilement des observations que nous avons faites à la fin du n'' précédent, qu'il n'y a pas besoin de plus grands développemens. Exemple, Si l'on sait que 69 sont les deux premières figures de la mantisse de la fraction dont le dénominateur est 25 , on a le produit 23.69= 1587-, retranchant les deux derniers chiffres, et ajoutant l'unité, on trouve 16 pour le numérateur cherché. 3 14. Cousidérons d'abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers j 393 RECHEBCHES nous ferons voir ensuite comment on pent y ramener les autres. Nous commencerons par observer que la mantisse d'une telle frac- tion -, dans laquelle nous supposons que le numérateur a ne soit pas divisible par le nombre premier p, est toujours finie lorsque p=ziy ou =5, et qu'elle est composée de fx chiffres. Dans le premier cas, cette mantisse, considérée comme un nombre 'J. U. . » I • entier, sera 5 a; dans le second , 2 a. Ces vérités sont si évi- dentes, qu'il est inutile de s'j arrêter. Mais si p est un autre nombre premier, \o'a ne sera jamais divisible par p , quel que grand que Ton prenne r\ d'où il suit que la mantisse delà fraction F :=. — est nécessairement infinie. Sup- posons que iC soit la plus petite puissance de lo qui soit con- grue à l'unité, suivant le module p (V. Section III, ou nous avons fait voir que e est égal à {^p — \)p , ou a une partie aliquote de ce nombre), on voit facilement que lo^^z est le pre- mier nombre de la suite lœz, loo^, loooa, etc. qui soit con- gru avec ^, suivant le même module. Or comme, par le n° 5 12, , .. 1 f" ,• io« 100a 1000a . 10'. a f t, . les mantisses des tractions — , , , etc. résultent P P P / . de celle de la fraction F en supprimant le premier chiffre , les deux, trois, etc. e premiers chiffres, il est évident que dans cette mantisse, après les e premiers chiffres, et non auparavant, les mêmes chiffres reparaîtront dans le même ordre. Ces c pre- miers chiffres qui, répétés à l'infini , forment la mantisse, peuvent être nommés période de cette mantisse ou de la fraction , et il est clair que la grandeur de la période , c'est-à-dire le nombre des chiffres qui la composent, qui est =^, est tout-à-fait indé- pendant du numérateur ciy et que le dénominateur senile détermine. Ainsi, par exemple, la période de la fraction ^ est 09, celle de la fraction f est 428571 (*). (*) Robertson marque le commencement et la fin de la période, en plaçant un point sur le premier et le dernier chiffre (^T'heory of circulating fractions , philos, trans. , 1764) , mais nous ne l'ayons pas jugé nécessaire. 5i5. A R I T H IM É T I Q U E s. Sqd /5i5. Ainsi, dès que l'on connaît la période d'une fraction, on peut obtenir la mantisse avec autant de figures qu'on voudra ; d'ailleurs il est clair que si l'on a b^^ioa (mod. /7^), on ob- 7 tient la période de la fraction — , si (en supposant, comme il est toujours permis , que K ^ff 3/. ..etc., (^— i)/. Ddd 594 KP: CHERCHES De la même manière , on peut déduire de la période de la frac- tion — , celles des fractions dont les numérateurs répondent aux y- P indices /-fi, 2/-I-1, 5/+I, etc. De la période de la fraction dont le numérateur est r^ (l'indice en est 2), on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices /+2, 2/4-2, 3/-f-2, etc. Et généralement, de la période de la fraction dont le numéra- leur est r', on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices f-\-h 2/+/, 3/+/, etc. On conclura fiicilement de là que si l'on connaît seulement les périodes des fractions qui ont pour numérateurs I, r, 7% r,....K-', on peijt tirer toutes les autres par la seule transposition , à l'aide de la règle suivante : Soit i l'indice du numérateur m de la frac- tion proposée —, dans le système où r est pris pour base, nous supposons i < {p — Oy ~~ j c>n fera , en divisant par/, /=c//4-,S, de manière que a, /S soient des entiers positifs, ou même =0, et qu'on ait i3 i5, 47* ^9' On trouve par ce qui précède ces fractions particulières réduites en décimales, donnent î =0.8 I- =0,4444444444 4444444444 44 1^ = 0,4489790918 3675469387 75 -j^ = 0,58461 53846 i55846i538 46 ^ = 0,1489561702 1276095744 68 11 = 0,8815559522 0538980050 84 i^ = 4, 79585 1 5253 1271954166 17, L'erreur en moins de cette somme, comparée, à la valeur exacte; est moindre que cinq unités du vingt-deuxième ordre, donc les vingt premiers chiffres sont exacts. En poussant le calcul à un plus grand nombre de décimales, au lieu des deux derniers chiffres 17, on trouve 1893936. Au reste, chacun sentira bien, même sans que nous en avertissions, que cette méthode de réduire les frac- tions ordinaires en fractions décimales , est principalement appli- cable au cas où l'on veut avoir un grand nombre de chiffres } car, s'il suffit d'un petit nombre, la division ou les logarithmes peuvent être souvent employés avec autant d'avantage. 3i8. Comme nous avons ramené les fractions dont le déno- minateur est composé de plusieurs nombres premiers différens , au cas où le dénominateur est un nombre premier, ou une puis- sance d'un nombre premier, il ne nous reste qu'à ajouter quelque chose sur la mantisse de ces fractions. Si le dénominateur ne ren- ferme ni le facteur 2 ni le facteur 5, la mantisse sera encore com- posée de périodes, parceque, pour ce cas, on parviendra aussi à un terme de la suite 10, 100, 1000, etc. qui soit congru à l'unité, suivant le dénominateur, et l'exposant de ce terme, que l'on peut déterminer par le n° 92, indiquera la grandeur de la période, qui est indépendante du numérateur, tant que la fraction estirréduclible. 5qS r e c II e r c it e s AJais si le dénominateur est de la forme 2'5'N, N étant nn nombre premier avec lo, a et /3 des nombres qui ne peuvent être zéro à-la-fois, la mantisse deviendra périodique après les et ou jô premiers chiffres , suivant que a ou /3 est le plus grand ; ces périodes seront composées d'autant de chiffres que celles des fractions dont le dénominateur est A\ Ceci se déduit facilement de ce que la fraction proposée peut se décomposer en deux autres dont les dénominateurs soient 2 5 et N, et dont la première sera interrompue après les a ou jS premiers chiffres. Au reste, nous pourrions ajouter encore beaucoup d'autres ob- servations sur ce sujet, surtout à l'égard des artifices au moyen desquels on peut construire avec une grande facilité la Table III; mais, forcés d'abréger , nous les omettons d'autant plus volontiers qu'une grande partie a été publiée tant par Robertson que par Bernoulli (Noin^. Mém. de VAcad. de Berlin , 1771). 5ig. Nous avons traité (n' 146) de la possibilité de la congruence Cu'^^A (mod. ni), qui revient à l'équation indéterminée x^-=iA-\-myy de manière à ce qu'il semble qu'on ait rien à désirer; mais pour la recherche de l'inconnue elle-même, nous avons déjà observé (n" i5i) que les méthodes indirectes étaient de beaucoup préfé- rables aux méthodes directes. Si m est lui nombre premier, cas auquel les autres se ramènent facilement, la Table des indices I, combinée avec la Table III, suivant l'observation du n° 3i6, peut être employée à cette fin , comme nous l'avons fait voir plus généralement (n° 60); mais cette méthode ne s'étendrait qu'aux nombres compris dans les Tables; c'est pourquoi nous espérons que la méthode suivante, par sa généralité et sa brièveté, ne déplaira pas aux amateurs de l'Arithmétique. Observons avant tout qu'il suffit de connaître les valeurs de x qui sont positives et n.on plus grandes que —, puisque toute autre valeur sera congrue à l'une de celles-là , prise positivement ou négativement. Or, pour une telle valeur de x, celle de y est né- A A . , cessairement contenue entre les limites et \m .Ainsi une méthode qui s'offre d'elle-même^ consisterait à calculer la y^- ARITHMÉTIQUES. 099 leur de A-^my. . ./^, pour toutes les valeurs clej comprises entre ces limites, et dont nous désignerons l'ensemble par o), en ne re- tenant que celles qui rendraient /^ un quarré. Quand 772 est petit, le nombre des essais est si peu considérable qu'il n'est presque pas nécessaire de chercher à l'abréger-, mais quand ttz est grand , OD peut diminuer le travail autant qu'on voudra, parla méthode d'exclusion suivante. 520. Soit E un nombre entier arbitraire et plus grand que 2 ; soient aussi a, h, c, etc. tous ses résidus quadratiques difFérens, c'est-à-dire, incongrus suivant E) enfin a, (^ , y y etc. les raciaes des congruences A-\-mj^a , A-{-my^h , A-^mj^c, etc. (mod. ^)^ que l'on peut prendre toutes positives et plus petites que E ', si l'on donne a y une valeur congrue, suivant le module E, à l'uu- des nombres a,, (è, y, etc., la valeur de N=y4-{-mf qui en résultera sera congrue à l'un des nombres a, b , c, etc., et sera parconséquent non-résidu de E] partant elle ne pourra être un (j narré. Par là, on p ut donc rejeter sur-le-champ, de«, tou& les nombres inutiles qni sont contenus sous les formes Et-^cL, Et-j-f^, Et+y, Gic, et il suffira d'essayer les autres, dont nous représenterons l'en- semble par cû. Dans cette opération, nous pouvons donner au nombre E le nom à'' excluant. En prenant pour excluant un autre nombre convenable E' , ou trouvera de la même manière autant de nombres a, /S', y' ^ etc* qu'il j a de non-résidus differens, et auxquels y ne peut être' congru suivant le module E' . On peut donc encore rejeter de ca. tous les nombres compris sous les formes- £7 -H et', £7-4-/3', £7+>', etc. On peut continuer de cette manière les exclusions^ jusqu'à ce que le nombre des valeurs (W soit tellement diminué, qu'il ne paraisse pas plus difficile d'essayer directement celles qui restent, que d'entreprendre de nouvelles exclusions. Exemple. Soit proposée l'équation :c^ := 22 -f-Q^i-, les limites' des valeurs de y sont — ^ et 24 4-^ — jy} donc, comme la valeui? 4oo R J', C FT K F c n i: s zero est évidemment inutile, co comprendra les nombres i, 2, 3. ..24. Pour £"=5, il n'y a qu'un non-résidu ^ = 2, qui donne a= i *, il faut donc exclure de o) les nombres de la forme 3/-|-i, et il en reste 16; de même pour £ = 4, on a a = 2 , bz^^, d'où a = o, /3=i; on doit donc rejeter les nombres de la forme 4^ et 4^ + 1 > ceux qui restent sont au nombre de huit: 2, 3^6, 11, i4, ï5, 18, 23. Ensuite pour £=5, on doitrejeter tous les nombres 5/ et 5/-f-3, et il reste 2, 6, 11, 14. L'excluant 6 ferait rejeter les nombres de la forme Gt-^^i , 6t-^^, qui ont déjà disparu, comme étant de la forme 5/+i. L'excluant 7 fait rejeter les nombres des formes jt-\-2 , y/;-}- 3, jt-j-S, et laisse 6, 11, 14. y.u les substituant pour jy , ces nombres donnent ^=604, 1089, i58o, valeurs dont la seconde seule est un quarré. Ainsi wr = rt: 33, 321. Puisque l'opération entreprise avec l'excluant E rejette des valeurs de V correspondantes aux valeurs de y comprises dans Ce), toutes celles qui sont non-résidus quadratiques de JS, tandis qu'elle n'atteint pas les résidus, on voit facilement que l'usage des excluans E et 2E ne présente aucune différence , lorsque E est un nombre impair, car dans ce cas E et 2E ont les mêmes résidus et les mêmes non-résidus. Il suit de là que si l'on emploie successivement les nombres 3, 4^ 5, etc., les nombres impairement pairs, tels que 6, 10, i4, etc. doivent être négligés comme superflus. Il est encore évident que la double opé- ration entreprise avec les excluans E et E' rejette les valeurs de JV qui sont non -résidus des deux excluans ou de l'un d'eux seulement, desorte que celles qui sont résidus de l'un et de l'autre restent seules. Or comme dans le cas où E et E' sont premiers enUe eux, tous les nombres rejetés sont non-résidus de EE% et tous les nombres conservés en sont résidus j il est clair que l'usage de l'excluant EE' est le même que celui des deux excluans E et E', et que parconséquent il est superflu. On peut donc passer tous les excluans qui peuvent se décomposer en deux facteurs premiers entre eux, et parconséquent n'emplojer que ceux qui sont des nombres premiers, non-diviseurs de /7z, ou des puissances de nombres premiers. Enfin , après avoir employé l'excluant p , p étant un pombre premier, l'emploi de l'excluant p ou p , v étant , et de ne retenir que Ceux qui rendraient f^ un quarré. Nous allons donner dans le n° sui- vant le mojen d'abréger le nombre de ces essais autant que l'on Toudra. 334. La méthode d'exclusion à l'aide de laquelle nous y par- viendrons, consiste, comme la précédente, à prendre à volonté plusieurs nombres, que nous appellerons encore exc/uans , à chercher quelles sont les valeurs de x pour lesquelles y devient non-résidu quadratique de ces excluans , et à rejeter de co ces va- leurs de œ. Ou verra absolument de la même manière qu'au n* 321, que l'on ne doit employer pour excluans que des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, et que, pour un excluant du dernier genre, il n\y a plus à rejeter des valeurs de y que les non-résidus qui sont résidus de toutes les puissances infé- rieures du même nombre premier, si toutefois on a déjà em- ployé ces différentes puissances. Soit donc l'excluant E=:p (jn pouvant être = 1), où p est lin nombre premier qui ne divise pas m, et supposons que p soit j 4o4 RECHERCHES la plus haute puissance de p qui puisse diviser n (^). Soient a , h , Cf etc. les non-résidus quadratiques de E (tous, quand /a=i , mais ceux seulement qui sont résidus des puissances inférieures,, quand />t>i). On cherchera les racines des congruences mz^A — na, mz^^.A — nh , mz^A — ne, etc. (mod. Epzzzp^ ), que nous désignerons par ot, /3, ;/, etc.-, et l'on voit facilement que si, pour une valeur de ^ on a x^^cl (mod. Ep ), la valeur correspondante de F" sera ^a (mod. E), c'est-à-dire, non-résidu de ^, et de même pour /3, >, etc. On voit aussi facilement, que «i une valeur de x rend V^a (mod. ^), la même valeur rendra x*^cL (moA, Ep ), et que parconséquent toutes les valeurs de x pour lesquelles x^ n'est congru à aucun des nombres a, /3, y y etc., suivant le module Ep\ produisent des valeurs de V qui ne sont congrues à aucun des nombres a, b,Cy etc., suivant le module E, Cela posé, on choisira parmi les nombres cl, (B, y, etc. tous ceux qui sont résidus quadratiques de Ep , et les nommant^, ^', g^", etc. on calculera les valeurs des expressions \/g, \/g', \/g% etc. (mod. Ep^), que nous désignerons par h, h', h", etc. Il est évi- dent que l'on peut rejeter de œ toutes les formes Ept-àzh, Ept:±Lh\ Eptzi=.li", etc., et qu'aucune des valeurs de ^ qui resteront ne peuvent répondre à une valeur de V qui soit de la forme Eu^a, Eu^b, Eu^c, etc. Au reste il est manifeste qu'aucune valeur de x ne peut donner de telles valeurs de y, quand aucun des nombres a, ^,y, etc. n'est résidu quadratique de Ep y et que, dans ce cas, le nombre E ne peut pas être employé comme excluant. On peut employer ainsi autant d'excluans qu'on voudra, et par- conséquent diminuer à volonté le nombre des valeurs de a; à essayer. (*) Pour abréger, nous traitons à-la-fois le cas où n est divisible par p , et celui où il ne Test pas ; dans le second^ on doit faire r = o. AHITR MEXIQUE s. 4o5 Examinons maintenant si l'on ne pourrait pas employer comme excluans des nombres premiers diviseurs de m, et des puissances A de ces nombres. Soit B la valeur de l'expression —(mod. m) , il est clair que l'on a toujours V^B (mod. 772), quelque valeur que l'on prenne pour Xf et que parconséquent pour que l'équa- tion proposée soit possible , il est nécessaire que B soit résidu quadratique de m. Ainsi, p désignant un diviseur quelconque premier impair de 772, qui, par hjpothèse, ne doit diviser nin, m A f ni parconséquent B; V sera résidu de jj pour une valeur quelconque de jr, et partant, p ni ses puissances ne peuvent être pris pour excluans. Par une raison semblable, quand m est divisible par 8, il est nécessaire que l'on ait B^\ (mod. 8), pour que l'équation pro- posée soit possible; donc pour une valeur quelconque de x, on aura ^^ I (mod. 8), et partant, les puissances de 2 ne peuvenfc servir d'excluans. Quand 772 est divisible par 4 et non par 8, on doit par la même raison avoir B^\ (mod. 4)> et parconséquent la valeur de l'ex- pression—(mod. 8) est I ou 5j désiguons-la par C II est facile de voir que, pour ime valeur paire de x on a V^C , et V^C-\-^ (mod. 8) pour une valeur impaire; d'où il suit que l'on doit re- jeter les valeurs paires quand C = 5, et les valeurs impaires quand C = I . Enfin, quand 772 est divisible par 2 et non par 4> soit encore Cla valeur de l'expression - (mod. 8) , qui sera i, 3, 5 ou 7, et D la valeur de l'expression ^- (mod.4)> qui sera i ou 3. Comme la valeur de 7^ est toujours ^C — iDx"" (mod. 8), et partant ^C, si :r est pair, et ^C — 2D, si :r est impair; il est clair qu'on doit rejeter toutes les valeurs impaires de x , lorsque C=i ; toutes les valeurs paires, quand C=3 et Z)= i , et quand C=7 et £) = 5, et que les valeurs conservées donnent toutes J^^\ (mod. 8) , c'est-à-dire, V résidu de toute puissance de 2. Quant aux autres cas, savoir, lorsque Cs=5 ou 5 et i) = 5, lorsque 4o6 RECHERCHES C:=7 et Dz^J , on trouve K^3, 5 ou 7 (mod. 8), soit que ce soit pair, soit qu'il soit impair, d'où il résulte évidemment que, dans ces cas, l'équation proposée n'admet aucune solution. Au reste, comme après les changemens convenables, on peut chercher la valeur de y de la même manière que nous avons cherché celle de x , on peut appliquer de deux manières la mé- thode d'exclusion au problème proposé (excepté dans le cas où jr7î = /z=i); on doit préférer celle pour laquelle co contient un moindre nombre de termes, circonstance dont on peut facilement juger à priori. Enfin, il est à peine nécessaire d'observer, que si après quelques exclusions, tous les nombres de &> disparaissent, on en doit con- clure que l'équation proposée est impossible. 325. Exemple. Soit l'équation 5x* 4- 455/* = 10857362, que nous résoudrons de deux manières, en cherchant d'abord les valeurs de jo, et ensuite celles de y* i", La limite des valeurs de X est, dans ce cas, v^ (3619120 -f-|)» qui tombe entre 1902 et 1903 : la valeur de l'expression-^ (mod. 4^5) est 354, et les valeurs de l'expression v/354 (mod. 455) sont ±82, zt:i52, ±173, ±2125 d'où il résulte que co contient les trente-trois nombres suîvans : 82, i52, 173, 212, 243, 282, 5o5, 573, 537, 607, 628, 667, 698, 737, 758, 828, 992, 1062, io83, 1122, ii53, 1192, i2i3, 1283, i447> i5i7, ï538, 1577, ï^o8, 1647, 1668, 1758, 1902. Le nombre 3 ne peut être emplojé ici comme excluant, parce- qu'il divise m. Pour l'excluant 4> on a «=2, 3=3, d'où a=o, /S=:3,^=:o; les valeurs de \/g (mod. 4) sont o et 2; il suit de là quêtons les nombres des formes 4^ ^t 4^~l"2 , c'est-à-dire, tous les nombres pairs, doivent être rejetés. Désignons par a/ les seize qui restent. Pour £ = 5, les racines des congruences mz^—^ A "-' tin , ARITHMÉTIQUES. /fo; mz^A — Zn (mod. aS) sont 9 et 2^, qui sont toutes deux résidus de 25 j les valeurs des expressions \/g et \/24 (mod. 25) sont db3 et ±7; ainsi rejetant les nombres des formes 25/d=5, a5/±7, ceux qui restent sont au nombre de dix: 175,375^537,667,757, io83, i2i3, 1285, i5i7, 1577. ., . .(o^'J. Four £=7, les racines des congruences mz^A — 5/2, mz^A — Sn, mz^A — 6/z(mod.49) sont 32, 59, 18, qui sont toutes résidus de 49; les valeurs des expressions v^32, v^^Qj V^^^ (mod. 49) sont ±9, d=23, =^19-, en rejetant de cû^ les nombres de la forme 49/ ±9, 49;±i9, 49^=t:23, il reste les cinq suivans : 537, 737, io83, i2i5, i5i7..... CO* Pour jE=8, on a a=5, d'où et = 5 qui est non-résidu de 8; ainsi l'excluant 8 ne peut être emplojé. Le nombre 9 doit être passé, par la même raison que le nombre 3, Pour -E= II, les nombres c, ^, etc. sont 2, 6, 7, 8, 10, et f = o; donc les nombres a, /3, etc. sont 8, 10, 5, o, i, parmi lesquels o, i et 5 sont seuls résidus de 11 *, de là on conclut que l'on doit rejeter de cû" les nombres de la forme II/, ii/d=i, iiif=b4» Il reste 537, io83, i2i5j en essayant ces nombres, ils donnent pour V les valeurs 21961, 16129, i4i6i, dont le second et le troisième seuls sont des quarrés. Donc l'équa- tion proposée admet deux solutions par des valeurs positives de x, y, a:=:io85, ^-=1275 a:=i2i3, ^=119. 2°. Si l'on veut chercher par exclusion l'autre inconnue de cette équation, on la mettra sous la forme 455a;* -f- 3j-*= 10857562 , en échangeant x et y , afin de conserver la notation des n°^ 323, 324. 4o8 R E C H E K C H F S La limite des valeurs de x tombe ici entre i54 et i55; la va- leur de l'expression — (mod. n) est i , et les valeurs de \/i (mod. 3) sont I et — i; donc ca contient tous les nombres des fc^rmes 3/-|-i et 5/ — I, c'est-à-dire tous les nombres non-divisibles par 5, jusqu'à i54 exclusivement-, il y en a cent trois. En appliquant les règles données précédemment, on trouve que pour les excluans 5 4 9 II 17 23 on doit rejeter les nombres de la forme 9?=fc4 4^, 4^4-2, c'est-à-dire les nombres pairs, 27/zbi, 27/z±:io lit f iitzizi, ii/db3 i7/db3, i7/db4, lytzizS ij'dzy igt±:2, igtdzS, i9'=fc8, ig'rbg 23/, 23/=h5, 23/d=:7, 25 ±9, 23/±io. Après avoir effacé ces dififérens nombres, il reste 119, 127, 137, dont les deux premiers seuls rendent y un quarré, et donnent les mêmes solutions que la première méthode, 326. La méthode précédente est déjà si expéditive en elle- même, qu'elle laisse à peine quelque chose à désirer; cependant elle peut encore être beauconp abrégée par un grand nombre d'artifices , sur lesquels nous ne pouvons nous arrêter que légè- rement. Ainsi nous réduirons nos recherches au cas où l'excluant est un nombre premier impair qui ne divise pas ^ , ou une puissance d'un tel nombre, d'autant plus que les autres cas peuvent se ramener à celui-ci, ou être traités d'une manière analogue. Supposons d'abord que l'excluant E=:p soit un nombre premier qui ne divise ni m, ni n, et représentons par k, M^ N , P, etc. les valeurs des expressions u4 na nb ne , ^ -, >. — y , , , etc. (mod. p): respectivement: les nombres a, /3, y, etc. se trouveront par les congruences cL — k-irM, ^~k-irN, y — k-^-P, (moà.p). Or ARITHMETIQUES. 409 Or les nombres M, N, P, etc. peuvent être déterminés par un artifice absolument semblable à celui dont nous nous sommes servis au n" 322, sans résoudre les congruences, et ils coïnci- deront, soit avec tous les non-résidus, soit avec les résidus de p (zéro excepté), suivant que la valeur de l'expression — — (raod.;^), ou, ce qui revient au même, suivant que le nombre — mn est résidu ou non-résidu de ;t7. Ainsi , dans l'exemple 2 du n° précé- dent, pour £=17, on a ^ = 7; — mn-=. — i365^i2 est non- résidu de 17; donc les nombres My N, etc. sont i, 2, 4> 8, 9, i3 , i5, 16, et partant , les nombres ot, /3 , etc. sont 8, 9, II, î5, 16, 5, 5, 6. Parmi ces derniers, 8, g, i5 et 16 sont rési- dus, d'où l'on tire zhh. H, etc. =dt5, 5, 7, 4» Ceux qui auront fréquemment occasion de résoudre ce problème, gagneront beaucoup à calculer pour plusieurs nombres premiers/^, les valeurs de h, h', etc. correspondantes aux différentes valeurs de >^ (i , 2, 3....J0 — i), dans la double supposition où — mn est résidu, et où il est non-résidu de p. Au reste, nous observe- rons encore qu'il y a toujours \{p — i) nombres /z, — h, h', etc. quand k et — mn sont tous deux résidus, ou tous deux non-résidus de p\ \(p — 3), quand le premier est résidu et le second non- résidu; {(p-i-i), quand le premier est non-résidu et le second résidu. Mais, pour éviter la prolixité, nous supprimons la dé- monstration de ce théorème. Quant à ce qui regarde les cas où E est un nombre premier qui divise n, ou une puissance d'un nombre premier impair qui divise ou ne divise pas n , nous allons voir qu'ils peuvent être employés d'une manière encore plus expéditive. Nous traiterons tous ces cas ensemble, et conservant la notation du n° 324 > nous ferons nz=:n'p , desorte que n' ne soit plus divisible par p. Les nombres <2, b, c, etc. seront les produits du nombre p par tous les nombres moindres que p, zéro excepté, et par tous les non-résidus de p plus petits que p, suivant que /w, est pair ou impairj exprimons les indéfiniment par up' . Soit k une va- leur de l'expression — (mod. p ), il ne sera pas divisible par/?, Fff 4io RECHERCHES puisque A ne Pest pasj en outre il est clair que et, jS, y, efc^ sont congrus à k suivant le module p, et que partant p^ n'ex- clut aucun des nombres oi , si kNp-^ mais si kRp et partant kRp \ soit a la valeur de l'expression \/k(^v[\oà. p ) , qui ne sera pas divisible par p , et e la valeur de l'expression ' ^ (raod. p) on j aura *^/'''+2^r^/?'' (mod. p *') , d'où zmr l'on conclut facilement que a est résidu de /[? , et que les va- leurs de l'expression [/oL (mod. p )sontd:(r+^û;? )•, donc tous les nombres h, h', h", etc. seront exprimés par la formule r-{-eup ( > Il est facile de conclure de là que les nombres h, Jï, Ji,e{c» se composent de r ajouté aux produits du nombre p partons les nombres au-dessous de pj zéro excepté, quand /a est pair-, ou par tous les non-résidus de p, quand fjL est impair et que eRp, ou, ce qui est la même cliose, que — 2mrn!Rp\ ou par tous les résidus de ;t7, quand p. est impair, et que — 2mrn'Np. Au reste, à mesure que l'on aura trouvé les nombres h, lï , lib , etc.' pour chacun des excluans que l'on voudra employer, on pourra exécuter l'exclusion par des opérations mécaniques, qu'on décou- vrira facilement de soi-même, avec un peu d'habitude, si on le trouve avantageux. (*) On a Ttik^yi , met^A-^na, r^^k (mod. p^' ^) et d'ailleurs na=Tiup^ *"'; on en déduit sur-le-champ, par les deux premières congruences, mk — mtc^nai multipliant la troisième par m, qui n'est pas divisible par p, on obtient mr^'—mct^na (mod. p'* ") ^ or en prenant un nombre e tel qu'on ait 2,ner^ n' (mod. p), il en résulte na^ — o.merup'* ^""^ (mod. p'* ^), et partant on tire facilement de là et de la congruence précédente , après avoir divisé par m, asr'-f aerjlAp^'*'''"* (mod. p'*"^"), ou enfin cts (r + eup'^-^^-> ^ e'uy^-"^^-' s (r-l- erip'^'^'-^)» (mod. p^-^'). (^T^ote du traducteur.) ARITHMÉTIQUES. 4ii Nous devons observer enfin que toute équation ax''-\r2bxyr^cy''z=:M, dans laquelle Z>* — ac est négatif et = — /> , peut eJre facilement ramenée à la forme que nous avons considérée dans ce qui pré- cède. Désignons en effet par m le plus grand commun diviseur des nombres a et b , et posons a:=ma, — = a'c — mb'*=n , a'a:-f-^V = ^': 771 ^ ' il en résulte l'équation 7w:c'''+7z/*=û'iV^, des solutions desquelles on ne doit conserver que celles dans lesquelles ce — ^y est divi- sible par a! , ou qui donnent des valeurs entières de ce, 327. La solution directe de l'équation ax"" -\- ihxy '^cy^z=zMy contenue dans la Section V, suppose que l'on connaisse les va- leurs de l'expression \/ (b"- — ac^ (mod. M); mais réciproquement, pour le cas où Z>* — ac est négatif, la solution indirecte exposée dans les n'^^ précédens fournit, pour trouver ces valeurs, une mé- thode très-expéditive, qui est bien préférable à celle du n° 322 , surtout quand M est un très-grand nombre. Nous supposerons que M est nombre premier, ou du moins, s'il est composé, que ses facteurs sont encore inconnus-, en effet, si l'on savait que il/ fût divisible par un nombre premier p^ et que l'on eût M=.p M', de manière que M' ne renfermât plus le fadeur;?, il serait bien plus commode de chercher séparément les valeurs de \' {l>^ — ac) pour les modules p^ et M' (en déduisant les premières des va- leurs pour le module p (n» loi)), et d'en conclure, par la com- binaison, les valeurs pour le module M (n° io5). Il faut donc chercher les valeurs de y/ — l) (mod. M) , où D et M sont supposés positifs , et M contenu sous la forme des di- viseurs de jr*-f-Z) (n^ i47 et suivans)-, en effet, autrement il serait évident qu*aucun nombre ne satisferait à l'expression pro- posée. Soient ±r, rt:/, dbr", etc. les valeurs cherchées qui se- ront toujours opposées deux à deux , et D-\-r'=iMh, JD-^/'=3IIi, D ■+-j''' = 3Ih\ etc. désignons par K, ^K, K', —A', A", —A", etc. les classes auxquelles appartiennent les formes (M,r, h),{M,--r, h),{M,r\ h'l{M,^r\ h'UM,r\ hypi,--?^', //")> etc., 2 4i5 RECHERCHES et par F l'ensemble de ces classes. Généralement parlant, ces classes doivent être regardées comme inconnues; cependant il est clair, 1°. qu'elles sont toutes positives et proprement primitives ; 2°. qu'elles appartiennent toutes à un même genre, dont le ca^ ractère peut facilement se conclure de la nature du nombre M , c'est-à-dire , de ses relations avec les difïérens diviseurs premiers de Z), et de plus avec l^ om^ , quand il y a lieu (n° 25o). Puisque nous avons supposé que M est contenu sous une forme de divi- seurs de x^'^'D i nous sommes sûrs d'avance qu*il répond à ce caractère un genre positif proprement primitif de formes de dé- terminant — D y quand bien même l'expression y/ — D (mod. M) ne pourrait être satisfaite. Donc , puisque ce genre est connu , on peut trouver toutes les classes qui y sont contenues-, désignons-les par Cf C'y C y etc., et leur ensemble par G. Les différentes classes A^, —K , etc. doivent être identiques avec quelque classe comprise dans G', il peut arriver aussi que plusieurs classes de F soient identiques entre elles et qu'elles le soient parconséquent avec une même de G, et quand G n'en contient qu'une seule, il est certain que toutes les classes de F coïncident avec elle. Donc si des classes C , C, C", etc., on tire les formes les plus simples f, f y f", etc. respectivement, une forme de chaque classe de F se trouvera parmi elles. Or si ax'' -\- 2bxy'{-cy'' est une forme contenue dans la classe K ^ i\ y aura deux représentations du nombre M, par cette forme, appartenantes à la valeur i', et si l'une est a; = w, jr = 'z> l'autre sera xz=: — 772,/= — tz. On doit excepter le seul cas où £)= i , dans lequel il y aurait quatre re- présentations (n" 180). Il suit de là que si on cherche toutes les représentations du nombre M par les différentes formes /",/"', y, etc., parla mé- thode indirecte exposée précédemment, et qu'on en tire les va- leurs de Texpression y/ — D (mod. M), auxquelles chacune d'elles appartient (n" i54 et suivans), on aura toutes \es valeurs de cette expression et même chacune d'elles deux fois, ou quatre fois si Z)=i. Si parmi les formes/,/', etc., il s'en trouve quelques- unes par lesquelles M ne puisse pas être représenté, il s'ensuit qu'elles n'appartiennent à aucune classe de F, et que parcon- séquent elles doivent être négligées j et si M ne pouvait être A Kl T H M É T I Q U E s. 4i*; représenté par aucune de ces formes, alors Z) serait certaiuenient non-résidu quadratique de M, Nous ajouterons encore sur ces opérations les observations sui- vantes, qui sont essentielles. i". Les représentations du nombre M" par les formes y, y, etc. que nous emplojons, sont supposées avoir lieu par des valeurs premières entre elles des indéterminées oc, y, s'il s'en présente d'autres dans lesquelles ces valeurs aient un commun diviseur yx, (ce qui ne peut arriver que lorsque ^* divise M , et qui arri- vera nécessairement si — DR-^j, elles doivent être négligées dans nos Recherches, quoique, sous un autre aspect, elles puissent être utiles. 2", Toutes choses d'ailleurs égales , le travail sera évidemment d'autant plus facile, que le nombre des classes y, y,/", etc. sera moins grand, et il est parconséquent le plus court possible quand D est un des soixante-cinq nombres consignés au n° 5o3, pour lesquels il n'y a qu'une seule classe dans chaque genre. 3". Puisqu'il y a toujoure deux de ces représentations, x:=m , y=zn\ xz=z — m, y=. — n qui appartiennent à la même valeur, on voit qu'il suffit de considérer celles dans lesquelles y est po- sitif; et de cette manière les représentations différentes corres- pondent à des valeurs différentes de l'expression \/ — D (mod. M), et le nombre de toutes les valeurs est égal au nombre des re- présentations, en exceptant toujours le cas où Z)=i, dans lequel le premier nombre n'est que la moitié du second. 4*. Comme il suffit de connaître l'une des deux valeurs r, — r, pour avoir l'autre , les opérations peuvent encore s'abréger ; si la valeur r s'obtient par la représentation du nombre M par une forme contenue dans la classe C, la valeur opposée — r se tirera évidemment de la représentation par une forme contenue dans la classe opposée, qui sera différente delà classe C , si celle-ci n'est pas ambiguë. Il suit de là que, quand toutes les classes de G ne sont pas ambiguës, il ne faut considérer que la moitié des autres, c'est-à-dire, que de deux opposées, on prendra l'une et l'on né- gligera l'autre, que l'on voit d'avance et sans calcul devoir fourni^ ^1^ RECHERCHES de» valeurs opposées à celle que donne la première. Mais quand C est une clasï^e ambiguë , elle donnera à- la- fois les deux valeurs r et — /■ : si l'on a choisi dans C la forme ambiguë ax"" -\- ^bxy -\- cy^f et que la valeur r résulte de la représentation x=.m , yz=.n, la valeur — r résultera de la représentation a ' "' 5". Dans le cas où Z) = i , il n'y a qu'une seule classe dans laquelle on peut supposer qu'on ait choisi la forme jc'+j^*; et si la valeur r résulte de la représentation a;=/7z,^=«, la même résultera des représentations et la valeur opposée — r, des représentations a;=77î, jK== — ^'y •^= — J^ty^-n-, x=:n, y^m-, X'=z — n,yz=z — m\ ainsi de ces huit représentations, qui ne forment qu'une seule décomposition, une suffit, pourvu qu'à la valeur résultante nous joignions la valeur opposée. 6°. La valeur de l'expression \/—^D (mod. il/), à laquelle ap- partient la représentation Mz=ani''-\'2bmn'\-cri', est (n** i55) /A (mh + ne) — y {ma + nli) , ou un nombre quelconque congru à celui-là, suivant le module M, fjL et V étant tels qu'on ait jxm^vnz=:i -, désignons cette valeur par p», on aura ^{fÂm-^vn^Qnb-^-nc^^mb-^nc (mod. il[f ) ; donc p est la valeur de l'expression ^ "^ (mod. M) j on trouve de même que p est la valeur de l'expression (mod. A/). Ces formules sont souvent préférables à celle dont on les 9> déduites. 528. Exemples, i". Soit proposé de trouver les valeurs de l'ex- pression \/ — 1365 (mod. 5428681= il/). On a ici M^i, I, I, 6, II (mod. 4> ^f ^> 7» ^^)> et partant il est compris sous la forme des diviseurs de ^•-+-1^ I ARITHMÉTIQUES. '4i5 a;*+5, ^*4-5, et sous la forme des non-diviseuïS de a;*-j-7, X* — 15, et partant (n* i5o) sous la forme des diviseurs de a;* 4-1 365. Le caractère du genre dans lequel se trouvent les classes Y est 1,4; m-, RS-, Nj; NiZ, Il n'y a qu'une classe dans ce genre; nous prendrons dans cette classe la forme ôjc^^-j-G^r^-f-a^gj*. Afin de trouver toutes les re- présentations du nombre M , nous ferons :iX'\-yz=:x', d'où il ré- sultera Sjc''^4^5j''=2M; cette équation admet quatre solutions dans lesquelles y est positif, j-z=:i2'j, a;'=rbio85; ^=iig> ^'=dbi2i5; d'où il résulte quatre solutions de l'équation 6x''-\-6xy'j-22g/*z=:3f, dans lesquelles y est positif, x=:47^9 — 6o5, 5475 — 666 j=:i27, 127, iig, ijg. la première solution donne pour ^ la valeur de l'expression ^ff|^ ou — ^i^ (mod. ikf) , d'où l'on tire 235og78; la seconde donne ïa valeur opposée; la troisième, la valeur 2600262, et la qua- trième, la valeur opposée. 2°. Si l'on doit chercher les valeurs de Pexpression \/— 286 (mod. 42 72g43=ili), le caractère du genre dans lequel sont les classes T se trouve être i et 7,8; Rii; Rj5, C'est donc le genre principal, qui contient trois classes représentées par les formes (i, o, 286), 04, 6, 25), (14, -6, 23). On doit négligerla troisième, comme opposée àlaseconde. On trouve deux représentations du nombre M par la forme :r*-f-286j', dans lesquelles y est positif, savoir ,^- = 105, a: = =biii3, qui donnent pour l'expression proposée les valeurs dbi4g3445: et comme M n'est pas représentable par la forme (i4> 6, 23), il s'ensuit qu'il n'y a que les deux valeurs que nous venons de trouver. 3', Etant proposée l'expression \/ — 70 (mod. gOy^Si), les classes T devront être contenues dans le genre dont le caractère est 3^/5^8; R5) A7. Ce genre ne renferme qu'une classe dont 4i6 RECHERCHES la représenfanfe est (5,o, 14); or on trouve, en enfreprenant le calcul, que 997331 n'est pas représentable par cette formej donc -—70 est nécessairement non-résidu de ce nombre. 329. Le problème où l'on se propose de distinguer les nombres premiers des nombres composés, et de décomposer ceux-ci en leurs facteurs premiers, est connu comme un des plus importans et des plus utiles de toute l'Arithmétique-, tout le monde sait qu'il a été l'objet des recherches des géomètres tant anciens que mo- dernes, et il serait inutile de donner des détails à cet égard. Ce- pendant on ne peut s'empêcher de convenir que toutes les méthodes proposées jusqu'à présent sont restreintes à des cas très-particuliers, ou sont si longues et si pénibles, que même pour ceux de ces nombres qui ne dépassent pas les limites des Tables dont on est redevable à quelques mathématiciens, c'est-à dire, pour les nombres à l'égard desquels ces méthodes sont inutiles, elles fatiguent la patience du calculateur le plus exercé, et qu'elles ne sont pour ainsi dire pas applicables à de plus grands nombres. Quoique ces Tables, qui sont dans les mains de tout le monde, et que l'on doit espérer devoir accroître encore par la suite, suffisent dans la plu- part des cas qui se présentent ordinairement; il n'est cependant pas rare qu'un calculateur habile tire de la décomposition des grands nombres en facteurs, des avantages qui compensent au- delà l'emploi du temps. En outre, la dignité de la science semble demander que l'on recherche avec soin tous les secours nécessaires pour parvenir à la solution d'un problème si élégant et si célèbre. Aussi nous ne doutons pas que les deux méthodes suivantes, dont nous pouvons affirmer la brièveté et l'efficacité d'après une longue expérience, ne plaisent aux amateurs de l'Arithmétique. Au reste, il est dans la nature du problème, que les méthodes, quelles qu* elles soient ^ deviennent d'autant plus longues, que les nombres auxquels on les applique sont plus considérables; cependant, pour les méthodes suivantes, les difficultés ne s'accroissent qu'avec beaucoup de lenteur , 3t les nombres de sept , de huit et même d'un plus grand nombre de chiffires, ont toujours été traités, sur- tout par la seconde, avec un succès très-heureux, et avec toute la célérité que l'ou peut attendre pour de si grands nombres , qui, suivant les méthodes connues jusqu'à présent, exigeraient un ARITHMÉTIQUES. 417 un travail intolérable , même pour le calculateur le plus in- fatigable. Avant de se servir des méthodes suivantes j il est toujours très-» utile d'essajer la division du nombre proposé , par quelques-uns des plus petits nombres premiers, comme 2,3, 5, 7, etc. jusqu'à ig, ou encore plus loin, non-seulement afin de ne pas s'exposer à regretter d'avoir emplojé des méthodes recherchées et des ar- tifices délicats pour trouver des nombres que la seule division au- rait pu donner C^), mais encore parceque dans le cas où aucune division ne réussit, la seconde méthode emploie avec beaucoup de succès les restes qui en résultent. Ainsi, par exemple, si l'oa doit décomposer en facteurs le nombre 3 1 41 59265, la division par 3 réussit deux fois , et ensuite la division par 5 et par 7 , d'où l'on tire 314159265 = 9.5.7.997331, et il suffit de soumettre à un examen plus méthodique le nombre 997331, qu'on trouve n'être divisible ni par 1 1, ni par i3, ni par 17, ni par 19. De même, étant proposé le nombre 4^4^944^, nous Supprimerons le facteur 8, et nous appliquerons les méthodes au quotient 5428681, 33o. Le principe qui sert de base à la première méthode est le théorème suivant lequel tout nombre positif ou négatif qui est résidu quadratique d'un autre nombre M, est aussi ré* sidu de tout diuiseur de M. On sait que si M" n'est divisible pan aucun nombre premier plus petit que \/M , M est certainement un nombre premier; donc si tous les nombres premiers au-dessous de cette limite, qui divisent M, sont p , q, etc., le nombre iî/ sera composé des seuls nombres;?, q, etc. ou de leurs puissances, ou bien il renfermera un seul facteur premier plus grand que y M, qui se trouve en divisant M par p, q , etc. autant de fois qu'il est possible. Désignant donc par où l'ensemble de tous les nombres premiers au-dessous de M , il suffit évidemment d'avoir tous les diviseurs premiers de M qui sont contenus dans cù. Or si l'on (*) D'autant plus que, généralement parlant, de six nombres il y en a àpeiae un qui eoit non-divisible par tous les nombres 2, o , 5, 19- 4i8 RECHERCHES sait d'une manière quelconque qu'un certain nombre r, non- quarré, est résidu de M, on pourra être sîir que tout nombre premier , dont r est non-résidu, ne peut être diviseur de My et parconséquent rejeter de « tous les nombres qui se trouveront dans ce cas (ils composent le plus souvent presque la moitié de tous les nombres de &>). Si l'on sait encore qu'un autre nombre t' est résidu de M, on pourra rejeter des nombres que la première exclusion a laissés dans. «, tous ceux dont / est non-résidu, qui composent encore presque la moitié, du moins si les résidus r et r' sont indépendans, c'est-à-dire, si l'un n'est pas par lui-même et nécessairement résidu de tous les nombres dont l'autre est ré- sidu , ce qui arriverait quand rr' serait un quarre. Si l'on connaît encore d'autres résidus de M , r" y r'"^ etc. qui soient tous indépen- dans de ceux qui précèdent C), on peut faire avec chacun d'eux des exclusions semblables, au mojen desquelles les nombres con- tenus dans cà> décroissent avec tant de rapidité que bientôt, ou ils sont tous effacés, auquel cas le nombre M est premier, on il en reste si peu que la division peat être essayée sans peine*, dans ce dernier cas , parmi les nombres qui restent se trouvent néces- sairement les diviseurs de M, s'il en existe. Pour un nombre qui ne surpasse pas beaucoup loooooo , il suffit le plus souvent de six ou sept exclusions; et de neuf ou dix, pour un nombre de huit ou neuf chiffres. 11 nous reste maintenant deux choses à faire, i°. à trouver des résidus de M qui soient convenables et en assez grand nombre-, 2". à effectuer l'exclusion de la manière la plus commode. Mais nous intervertirons Tordre de ces questions, d'autant plus que la seconde nous apprendra quels sont les rési- dus qui conviennent le mieux. 33 1. Nous avons enseigné avec assez de détails dans la Section IV, a distinguer les nombres premiers dont un nombre donné r est résidu (r n'étant divisible par aucun quarré ), d'avec ceux dont il est non -résidu, c'est-à-dire, les diviseurs de x^ — r d'avec les (*) Si le produit de tant de nombres r, /, r", etc. qu'on voudra est un quarré, un quelconque d'entre eux, r, par exemple, sera rtsidii de tout nombre dor^t les autres seront résidus. Ainsi, pour que les résidus soient indépencans , il faut que leurs produits ne puissent être des quarrés, soit qu'on les prenne deux à deux, ou trois à trois, ou quatre à quatre, etc. ARITHMÉTIQUES. 4^9 xion.diviseurs -, on a va que les preniers étaient ccntemis sous des formes de cette espèce : rz-i-a, rz + b, etc., ou 4^2+^, 4rZ'\-h, etc. et les derniers sous des formules senblables. Toutes les fois que r est un nombre assez petit, les exclusions pourront s'exc-.-.ter très-commodément, à l'aide de ces fornules-, ainsi, par exemple, j,d ^^i il faut exclure tous bs nombres de la torrae L + 3; tous les nombres de la forme 8z+5 et S. + 5, quand r==2, etc. Mais comme on n'est pas tmjours maître de trouver de tels résidus du nombre proposé, et que l'application des for- mules n'est plus assez commode quand r est un grand nombre _, on ga^ne beaucoup et l'on diminue prodigieusement le travail des exclusions, si pour une assez graide quantité de nombres (r) non-divisibles par des quarrés, pris postivement et négativement, on construit une table dans laquelle oLait distingue les nombres premiers qui sont résidus des différenEnombres (r) , d'avec ceux qui en sont non-résidus. Cette table purra être disposée comme la petite table II qu'on trouve à la & de cet ouvrage, et dont nous avons déjà donné la description n» 99)', mais pour qu elle présente toute l'utilité convenable au bu que nous nous proposons, fes nombres premiers placés en marge, ou les modules, doivent être continués bien plus loin, par exempt, jusqu'à looo ou loooo-, et en outre, on obtiendra un grand av.ntage, si l'on place en tête même les nombres composés et les ombres négatifs, quoique cela ne soit pas absolument nécessaire, 3omme on peut le voir par la Section IV. On atteindrait le ph haut point d'utilite , si les colonnes verticales dont elle est compsée étaient détachées et rassemblées sur des lames ou bâtons semlables à ceux de Neper; desorte que l'on pût considérer séparémet celles qui sont neces- sairesdans chaque cas, c'est-à-dire, cdes qui répondent aux nombres r, 7', r, etc. qui sont résidus d nombre à decomposer. En supposant ces bâtons convenablement lacés auprès de la pre- mière colonne qui renferme les modules, 'est-à-dire, de manière que les parties de ces bâtons qui corresponent à un même nombre premier delà colonne des modules, soien dans une même ligue horizontale, il est évident que les nombrs premiers qui restent daus CO après les exclusions faites avec le^résidus r, r, r , etc. 420 RE CHER CHE S se reconnaîtront îmmédiate-nent à Tinspection î en efFet, ce sont ceux de la première coloniie auxquels répond dans chaque colonne le petit trait indicateur , findis que l'on doit rejeter tous ceux auxquels répond un espace vide dans un quelconque des bâtons. Un exemple éclaircira suffisamment cette explication. Si Pon sait, d'une maiière quelconque, que les nombres —6, +i5, — 14, ^ly, 4.37, —55 sont résidus de ggySSi, 3n doit rassembler la première colonne, qui, dans ce cas, doit êirc continuée jusqu'à 997, c'est-à-dire^ Jusqu'au nombre immédiatement moindre que {/ggj^Si , et les bâtons en tête desquels sort inscrits les nombres —.6, -|-i5, etc. Voici une partie du tablau que Von forme de cette manière 3 5 7 II i3 17 19 etc. ii3 127 i3i etc. 6 i3 î4 17 4- 57 — — 53 etc. etc. etc. etc. De la même manière ^u'on reconnaît ici à l'inspection, que des nombres premiers coienus dans ce tableau, 127 est le seul qui reste dans a>, après l'eilusion faite avec les nombres 6, i5, etc. on reconnaîtra, en sihevant le travail jusqu'à 997, qu'il' n'en reste effectivement m d'autre. En essayant la division par 127, ARITHMÉTIQUES. 421 elle réussit , et l'on a 997351 = 127 X 7855 C). Au reste, il suit de ce que nous venons d'exposer, qu'il faut employer surtout des résidus qui ne soient pas tiès-grands, ou du moins qui puissent se décomposer en facteurs premiers de gran- deur raojenne, puisque l'usage immédiat de la table auxiliaire ne s'étend pas au-delà des nombres placés en tête, et que l'usage médiat ne s'étend qu'aux nombres qui peuvent se décomposer en facteurs premiers contenus dans la table. 332, Nous donnerons trois méthodes différentes pour trouver des résidus du nombre M'y mais avant de les exposer, nous pré- senterons deux observations à l'aide desquelles on pourra déduire des résidus plus simples, lorsque ceux que l'on aura obtenus ne paraîtront pas convenables. 1°. Si le nombre aA*, divisible par le quarré A*, que nous sup- posons premier avec M , est résidu de M, a sera aussi résidu } ainsi les résidus divisibles par de grands quarrés sont aussi utiles que les petits, et nous supposerons que les résidus trouvés par les méthodes suivantes aient été délivrés de leurs facteurs quarrés. 2°. Si deux ou plusieurs nombres sont résidus, leur produit le sera aussi. En combinant cette observation avec la précédente, on peut très-souvent déduire de plusieurs résidus qui ne sont pas tous assez simples, un autre qui le soit beaucoup, pourvu qu'ils aient un grand nombre de facteurs communs. C'est pourquoi il est utile d'avoir des résidus composés de plusieurs facteurs qui ne soient pas trop grands, et il convient de les décomposer sur-le- champ en leurs facteurs. La force de ces observations se recon- naîtra mieux par des exemples et par un usage fréquent, que par des préceptes. (*) L'auteur a construit pour son propre usage une grande partie de l'appareil de cette table , et il l'aurait publié volontiers, si le petit nombre de ceux auxquels elle serait utile, suffisait aux frais d'une telle entreprise; cependant si quelque amateur , après s'être bien pénétré des principes , desirait se construire une pa- reille table, l'auteur se ferait un grand plaisir de lui communiquer, par lettres, les différens procédés et les artifices que l'on peut employer. 423 RECHERCHES I. La métbode la plus simple et la plus commode pour ceux à qui l'habitude a donné quelque dextérité, consiste à décom- poser le nombre M, ou plus généralement, un multiple quel- conque de ce nombre en deux parties quelconques, ensorte qu'on ait kM^=-a-\-b , a et b étant tous deux positifs, ou l'un positif et l'autre négatif-, le produit pris avec un signe contraire sera résidu de M, en eflet, on aura — ab^a^^b^ (mod. M), eé partant -^abRM. On doit prendre les nombres a et ^ de manière que le produit soit divisible par un grand quarré , et que la di- vision donne un quotient assez petit, ou du moins decomposable en facteurs qui ne soient pas trop grands, ce qu'on peut toujours faire sans peine. On doit surtout recommander de prendre pour a un quarré, ou le double, ou le triple d'un quarré, dont la dijffé- rence avec M soit petite ou du moins decomposable en facteurs qui puissent être employés commodément. Ainsi, par exemple, on trouve 997351 = (999)^ — 2.5.67 =(:994)' + 5.ii.i3* = 2.(706)^+5.17.3* =5.(575)^ + 11.31.4 = 5. (577)^-7. 1 3. 4* =5.(578)^-7.19.37 = 11.(299)^+2. 5.5.29.4^= 1 1 . (3oi)"+ 5. 1 1% Qic, On tire de là les résidus : 2.5.67,-5.11, — 2.5.17, — 5.ii.5i, 3.7.13, 5.7.19.37,— 2. 3.5.1 1.29J*, la dernière décomposition donne le résidu — 5. 11 , que nous avons déjà. Au lieu des résidus — 3.ii.3i et — 2. 5. 5. 11 .29, on peut tirer de leur combinaison avec — 5. 11, les résidus 3,5.5i, 2.3.29. II. La seconde et la troisième méthode se déduisent de ce que, si deux formes binaires (A , B, C), (A', B', C) de même déterminant M ou — M, ou plus généralement -àzkM , appar- tiennent au même genre, les nombres AA' , AC , A' C sont ré- sidus de kMf ainsi qu'il est aisé de le conclure de ce que le nombre caractéristique de l'une des formes est également celui de l'autre, et que parconséquent, si l'on représente ce nombre par m y les nombres rtiA , mC , m A' y inC sont tous résidus de kM, Si donc (a, b, a') est une forme réduite de déterminant positif TLT, ou plus généralement, de déterminant kM , et que (a, b' , a") , ARITHMÉTIO^TlS. 4^5 (a% l\ a^)) etc. soient des formes de sa période, qui sont par- conséqnent équivalentes à (û, bj a) et du même genre qu'elle, les nombres aa', aa ^ aa", etc. sont tous résidus de M. On cal- cule avec facilité un grand nombre de formes d'une pareille pé- riode, à l'aide de l'algorithme du n° 187. On obtient ordinairement les résidus les plus simples en faisant a = i j on rejettera ceux qui seraient composés de trop grands facteurs. Nous joignons le commencement des périodes des formes (i, 998, -1327) et (i, i4i2, --918), dont les déterminans sont 99735i et 1994662 respectivement , c'est-à-dire, M et aiJf : ( I, 998, —1327) ( i> i4i2, —918) (—1327, 329, 670) ( —918, 1342, 211) ( 670, 341, — i3i5) ( 211, 1401, — i5i) (— i3i5, 974, 37) ( — i5i, i3i7, 1723) ( 37, 987, —626) ( 1723, 406, —1062) ( —626, 891, 325) (—1062, esQ, 1473) ( 325, 734 — i4ii) ( 1475^ ^^1> —901) (—1411, 677, 382) ( —901, 985, 1107) ( 382, 85i, — 7i5) etc. Ainsi tous les nombres: —1327, 670, etc. sont des résidus de 997531 ; et en négligeant ceux qui renferment de trop grands fac- teurs, il reste les suivans : 2.5.67, 37, i3, —17.83, —.5.11.15, —2.5.17, —2.59, —17.55. Nous avions déjà trouvé le résidu 2.5.67, ainsi que —5. 11, qui résulte de la combinaison du troisième et du cinquième. m. Si C est une classe quelconque de» déterminant négatif M ou —/fiW différente de la classe principale, et que sa période (u° 307) soit C% C\ etc ; 'es classes O, C\ etc. appartiendront au genre principal, et les classes C\ C\ etc. appartiendront au même genre que C. Si donc (a, b, c) est la forme la plus simple de C\ et {i\ à', c') une forme d'une classe de cette période, de C% par exemple, on aura a RM, ou aa'RM, suivant que n sera pair ou impair) c', dans le premier cas, acj ac et ce', dans 424 RECHEKCHES le second, seront encore résidus. Le calcul de la période ; c'est- à-dire celui des formes les plus simples, s'exécute avec une fa- cilité étonnante, quand « est très-petit, et surtout quand û = 3 , ce que l'on peut toujours obtenir si kM^2 (mod. 5) ( ). Voici le com- mencement de la période de la classe dans laquelle est contenue la forme (5, i, 532444)* C7= ( 3, 1,332444), C»=( 9, — -2, 2io8i5), C'= ( ^j, 7, 36940), C*== ( 81, 34, 12327), O^ (243, 34, 4109), C'z=: ( 729, —209, 1428), C^=z (476, 209, 2187), C^=z (1027, 542, io85), C9= (932, —437, 1275), C-= ( 425, 12, 2347), etc. On tire de là les résidus suivans, en rejetant ceux qui sont inutiles , 3.476, 1027, io85, 4^5, ou, en supprimant les facteurs quarrés, ''^ 3.7.17, 13.79, 5.7.31, 17. Si l'on combine convenablement ces nombres avec les huit qu'a donnés la méthode II, ou obtient facilement les douze suivans: — 2. 3, i3, --2,7, 17, 37, —53, —5. II, 79, — 83, —2.59, — 2.5,3i, 2.5.6j, XiCS six premiers sont ceux dont nous nous sommes servis n" 33 1,' Nous aurions pu ajouter les résidus 19 et —29, si nous avions voulu nous servir de ceux qu'a fournis la méthode I j quant aux autres trouvés par cette méthode, ils sont dépendans des résidus que nous venons de déterminer. 333. La seconde méthode, pour décomposer en facteurs un nombre donné, se tire delà considération des valeurs de l'expres- sion v/--"^(mod. ikj), et repose sur les observations suivantes: I. Quand i)/est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier, impair et non-diviseur de Z>, — D est résidu ou non-résidu de M, suivant que M est compris dans une forme (*) Comme le cas où M est divisible par 3 , ne peut se présenter (n° Sag) , il est aisé de voir que l'on est même toujours maître de prendre k tel que kM soit ^2 (mod. 3). (^NoU du. traductçur). de ARITHMÉTIQUES. 42S ^e diviseurs ou de non-diviseurs de x^^D, et dans le premier cas, l'expression y/^JJ (mod. M) n'aura que deux valeurs qui seront opposées. II. Mais quand M est composé et -^.-pp'p" etc., p^ p', p" , etc. désignant des nombres premiers impairs et non-diviseurs de Z? , ou des puissances de tels nombres, — D ne sera résidu de Mque quand il le sera des nombres yc ,;»', /, etc., c'est-à-dire, quand tous ces nombres seront contenus dans des formes de diviseurs? de x^-\^D. Or en désignant toutes les valeurs de l'expression V—l>, suivant les modules p, p', p% etc., par r, r' , r\ etc. respectivement, on trouvera toutes les valeurs de la même expres- sion, suivant le module M, en déterminant des nombres qui soient =d=r (mod. ;p), =d:;r' (mod.;?'), etc.; ainsi le nombre de ces valeurs sera 2^*, si l'on exprime par p. le nombre des fac- teurs p y p', p\ etc. Si donc ces valeurs sont R, -—R, R', —R', R', etc., la congruence R^R a évidemment lieu par elle-même, suivant tous les modules de p, p', p% etc. , et la congruence i?= — R n'a lieu suivant aucun de ces nombres ; donc le plus grand com- mun diviseur de i? — R et de Bl est M, et celui de R-^-R et cle M est x ; mais deux valeurs telles que R et R', qui ne sont ni identiques, ni opposées, seront nécessairement congrues, sui- vant un ou plusieurs des nombres p, p',p", etc. mais ne le seront pas suivant tous, et l'on aura , suivant les autres, R^ — K-^ donc le produit des premiers est le plus grand commun diviseur des nombres M et R — R', tandis que le produit des derniers est le plus grand commun diviseur des nombres M et R-\-R\ Il est facile de conclure de là que si Ton cherche les plus grands com- muns diviseurs entre M et les diflérences d'une valeur donnée de l'expression yZ-^D (raod.il/) à toutes les autres, l'ensemble de ces communs diviseurs contiendra les nombres i , p , p', p", etc. et les produits de ces nombres pris deux à deux, trois à trois, etc. On parviendra donc de cette manière à déterminer les nombres P > P'> P'> ^^^* i ^^ l'aide des valeurs de cette expression. Au reste, comme la méthode du n' 327 réduit la recherche des valeurs de l'expression / — D (mod. 3/) à celle des valeurs qui sont de la forme ^ (mod. il/), dans lesquelles le dénorai- Hhh 4^6 bechehchks Dateur n est premier avec M, il n'est pas nécessaire , pour parve- nir à notre but, de trouver ces valeurs-, car le plus grand com- mun diviseur du nombre M et de la différence B. — i?', R et K corresppndan^ à — et ~, sera évidemment le plus grand commun diviseur des nombres 71/ et niH {R — /?')> «^ des nombres Afet T^n'—nin, puisque ce dernier est congru à nn^R—K) suivant le module M, 334. L'application des observations précédentes au problème dont il s'agit, peut se faire de deux manières-, la première non- seulement décide si le nombre proposé M est premier ou com- posé, mais encore donne dans le dernier cas les facteurs eux- mênies; la seconde a l'avantage de l'emporter le plus souvent par la brièveté des calculs, mais quelquefois elle ne donne pas les facteurs des nombres composés, à moins qu'on ne la répète plu- sieurs fois-, au reste elle distingue avec autant de facilité que la première, les nombres premiers des nombres composés. I. On cherchera vm nombre négatif — D qui soit résidu qua- dratique de M, et l'on peut employer à cette recherche les mé- thodes exposées n° 332, I et II. Il est indifferent en soi de prendre tel ou tel résidu , et il n'est pas nécessaire, comme dans la so- lution précédente, que D soit un petit nombre j mais comme le calcul deviendra d'autant plus simple, qu'il j aura moins de classes de formes binaires, dans chaque genre proprement primi- tif de déterminant — D ^ on trouvera de l'avantage à choisir, s'il est possible, un des soixante-cinq nombres cités au n° 3o3. Ainsi pour M=99733i, parmi tous les résidus déterminés plus haut, le plus avant igeux est — 102. On cherchera toutes les valeurs de l'expression y/ — D (mod. M) , et s'il n'y en a que deux qui soient opposées, M sera certainement un nombre premier, ou une puis- sance d'un nombre premier; s'il j en a un plus grand nombre, a'*, par exemple, M sera composé de }x facteurs qui sont des nombres premiers, ou des puissances de nombres premiers. Or il sera extrêmement facile de reconnaître si ces nombres sont pre- miers, ou des puissances de nombres premiers, et dans ce der- nier cas, la méthode par laquelle on trouve les valeurs de \/ — D (mod. M) indique d'elle-même tous les nombres premiers dont une ARITHMETIQUES. 437 certaine puissance divise le nombre M-, savoir, si M est divisible par le qiiarré d'un nombre premier -tt, le calcul conduira certai- nement à une ou plusieurs représentations du nombre il/, telles que M^=zam'''\'ibmn'\^cn% dans lesquelles le plus grand commun diviseur des nombres ttz et ^z est -tt, et cela arrive parcequ'alors — D est aussi résidu de — ; mais quand il n'y a aucune repré- sentation dans laquelle m et n aient un diviseur commun, c'est un indice certain que M n'est divisible par aucun quarré, et que parcouséquent p, p', p\ etc. sont des nombres premiers. Exemple, Par la méthode exposée p^is haut, on trouve quatre valeurs de l'expression /— 4û8 (mod-gcySSi) qui coïncident avec celle des expressions rfc^,^, d=,^^;.,,Ï3s , plus grands communs diviseurs du nombre ggySSi, avec 5.1664— . 113.2824 et; 3.1664+ 113.2824, ou avec 5i4i2o et 324104 sont 7853 et 127, d'où l'on tire, comme ci-dessus, 997331 = 7853.127. ir. On prendra un nombre négatif — Z>, tel que M soit con- tenu dans une des formes de diviseurs de a;»-j-Z) -, quoiqu'on puisse choisir ce nombre de telle grandeur qu'on voudra, il est avanta- geux de chercher à rendre le plus petit possible le nombre des classes contenues dans les genres de déterminant — Z). Au reste on ne rencontre aucune difficulté dans la recherche de ce nombre; en effet, parmi une quantité considérable de nombres essajés, il y en a presque autant pour lesquels M soit dans une forme de diviseurs, qu'il y en a pour lesquels M soit dans une forme de non-diviseurs. Il sera donc convenable de commencer les essais par les soixante-cinq nombres du n' 3o3, à partir des plus grands, et s'il se trouvait qu'aucun d'eux ne fût convenable ("ce qui n'ar- rive, généralement parlant, qu'une fois sur i6384), on passerait à d'autres pour lesquels il u'y eût que deux classes dans chaque genre. On chercliera alors les valeurs de l'expression v^— -O (mod.il/), et si l'on eu trouve, les facteurs de M se déduiront absolument de la même manière que plus haut; mais si l'on n'obtient au- cunes valeurs , c'est-à-dire, si —Z) n'est pas résidu de M , M ne a 4a8 RECHEBCHES sera certainement ni un rombrc premier, ni une puissance cl'mt nombre premier. Quand, dans ce cas, on voudra connaître les facteurs eux-mêmes, il ftudra recommencer l'opération avec une autre valeur de jD, ou recourir à une autre méthode. Ainsi, par exemple, on trouve que 997531 est contenu dans une forme de non-diviseurs pour jc^-j-i 848, :i:*-f-i365, ^''-j-i320, mais dans une forme de diviseurs de v^*-|-S4o. On parvient pour les valeurs de l'expression \/ — 840 (mod. 997331) aux expressions •4- AJ Zj: -4:;3jj^ jj»^^ [»Qii tire les facteurs déjà connus. Ceux qui désireraient un plus grand nombre d*exeraples, peuvent consulter le n° 328, où le premier prouve que 5428681=307. 17685^ le second, que 4^72 est un nombre premier j le troisième, que 997331 est sûrement un nombre composé. Au reste, les limites de cet ouvrage ne nous permettent d'in- sérer ici que les bases les plus importantes des deux méthodes qui servent à la décomposition en facteurs. Nous réservons pour une autre occasion l'exposition plus détaillée, ainsi que plusieurs tables auxiliaires. ARITHMÉTIQUES. 429 SECTION SEPTIEME. Des Equations qui déterminent les Sections circuhdres, 535. Jr A R M I les accroisseraens importans dont les travaux des modernes ont enrichi les Mathématiques, les fonctions circu- ^ J Âi laires tiennent sans aucun doute le premier rang. Cette étonnante ^ "^^u espèce de quantités, à laquelle nous sommes conduits à chaque ^aii/t^ instant dans des recherches qui y semblent tout-à-fait étrangères, et du secours desquelles ne peut se passer aucune partie des Ma- thématiques, a occupé avec tant d'assiduité la pénétration des plus grands géomètres, et ils en ont fait une théorie si vaste, qu'on ne pouvait guère s'attendre qu'une partie de cette théorie, partie élémentaire et pour ainsi dire placée à l'entrée, pîit rece- voir des accroissemens considérables. Je parle de la théorie des fonctions trigonométriques, qui répondent aux arcs commensu- rables avec la circonférence , ou de la théorie des polygones ré- guliers, dont on ne connaît jusqu'à présent que la plus petite partie, ainsi qu'on le verra par cette Section. Le lecteur pour- rait s'étonner de rencontrer une semblable recherche dans un ouvrage consacré à une doctrine qui paraît au premier abord ab- solument hétérogène*, mais l'exposition fera voir bien clairement quelle est la liaison de ce sujet et de l'Arithmétique transcendante. Au reste, les principes de la théorie que nous entreprenons d'exposer, s'étendent bien plus loin que nous ne le faisons voir ici; ils peuvent en effet s'appliquer non-seulement aux fonctions circulaires, mais aussi avec autant de succès à beaucoup d'aulres fonctions transcendantes, par exemple, à celles qui dépendent de /' d V — -, et en outre àdifferens genres de congruences; mais comme nous préparons un Ouvrage assez étendu sur les fonc- tions transcendantes, et que dans la suite de ces Recherches 4^o RECHERCHES arithmétiques lions traiterons amplement des congruences, nous avons cru ne devoir considérer ici que les fonctions circulaires , et même quoique nous pussions les embrasser dans toute leur gé- néralité, nous les réduirons au cas le plus simple, comme on va le voir dans le n° suivant, tant dans le dessein d'abréger, que pour rendre d'une intelligence plus facile les principes tout-à-fait nouveaux de cette théorie. 356. Si nous désignons par P la circonférence du cercle, ou quatre angles droits, que nous supposions entiers les nombres m et n, et n égal au produit des facteurs premiers entre eux a, h, c, etc.-, l'angle A-:=z— peut, par le n* 5io, être mis sous la forme et les fonctions trigonoraétriques qui en dépendent se déduiront, par les méthodes connues, des fonctions correspondantes aux par- ties-—, -r-, etc. Ainsi, comme on peut toujours prendre pour Ci hf c, etc. des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, il suffit évidemment de considérer la section du cercle en parties dont le nombre est premier, ou une puissance d'un, nombre premier, et le poljgone de n côtés se déduira sur-le- champ des polygones de a, b, c, etc. côtés. Cependant ici nous bornerons nos recherches au, cas où l'on doit diviser le cercle, en un nombre premier impair de parties. En effet, il est constant que les fonctions circulaires qui répondent à l'angle —7- , se dé- r duisent de celles qui appartiennent à l'angle — par la solution d'une équation du degré /?•, des premières on déduira, par une équation de même degré, celles qui appartiennent à l'angle — ^ j de manière que, si l'on connaît déjà le poljgone de p côtés, on a nécessairement besoin de la résolution de A — i équations du degré y[? pour obtenir le poljgone de p côtés*, et même si nous pouvions étendre notre théorie à ce cas, nous n'en serions pas moins conduits au mêmie nombre d'équations du degré p , ARITHMÉTIQUES. 45i qui ne peuvent se réduire en aucune manière j si p est un nombre premier. Ainsi, par exemple, nous ferons voir plus bas que le polygone de 17 côtés peut être construit géométriquement; mais pour dé- terminer le poljgone de 289 côtés, on ne peut éviter d'aucune manière l'équation du dix-septième degré. 337. Tout le monde sait que les fonctions irigonométriques des angles — , >^désignantindéfinimentlesnombres o, i,2,...?i — i, sont les racines d'une équation du degré n\ ces équations sont; (I), cosinus, .»_X..«-^4-^. ^^^ ^"-^-à."^"":^/r'^-"-^+etc.= -W- . (II), tangentes,cc^-'l^l^^-^ + <^^- ^\^---^ ^^-^J^^-i + etc. .nx = o. (III). Ces équations, qui sont toutes vraies quand 7Z est impair (la se- conde l'est même quand n est pair), se réduisent facilement au degré in, en faisant ^== 2/72 -{- i , savoir, pour la première et la troisième, en divisant par os et posant ensuite x^=j; quant à la seconde, elle renferme nécessairement la racine ^ = i==cos. o, et les autres sont égales deux à deux, cos — = cos^"~"^^^. n n ' cos--=cos — - — , etc. Donc l'équation est divisible par a: — i et le quotient est un quarré. En extrayant la racine, l'équation devient 1 .2 , (m — OC^ — 4) 'A J^ ■^x'"-^—. etc.=o, 1 .2 dont les racines sont les cosinus des angles—, — , — — . On ne connaissait pas jusqu'à présent de réductions ultérieures de ces équations , même pour le cas où n est un nombre premier. 4Î3 RECHERCHES Cependant aucune de ces équations n'est si commode à traiter, ni se prête tant à notre dessein , que l'équation x" — i =o, dont on sait que les racines sont intimement liées avec les racines des premières. En effet, si l'on représente par /la quantité imaginaire \/ •— - 1 , les racines de l'équation ^^ — i ;= o sont représentées par la formule KP , . . KP CCS — + i sm — ==: r , où Ton doit prendre pour K tous les nombres ij2,5,...w— «i; ainsi, comme on a I KP . . KP - = cos — — i sin — , r n n les racines de l'équation (I) seront exprimées par — fr — - ) , ou 21 \ y J ' f(l— y^)^ 2r celles de Péquation ( II ) par ^ T r + ^ j = -^-^^ 5 celles de l'équation (III) par — ^ ., -» C'est pourquoi nous établirons nos considérations sur l'équation a;''— ' I = 0, en supposant que n soit un nombre premier impair j mais pour ne pas interrompre l'ordre de nos recherches , nous commencerons par le lemme suivant. 338. Problème. Étant donnée Véquaiion (W) z™-|-Az°i-» ■-|- etc. = G , trouver une équation (W) , dont^ les racines soient les puissances K de celles de V équation (W) , A étant un nombre entier positif donné. Désignons les racines de l'équation {TV) par a, h, c, etc. , celles de l'équation (TV) devront être a^ , b^, c\ etc. Or , par le théorème de Newton , on peut trouver en fonction des coefficiens de l'équation (J^) , la somme des puissances quelconques des racines a, b, c, etc.j on cherchera donc les sommes a ^b '•\^c -f-etc, a -|- ^ H- c + etc., etc. , jusque a -]- o -i^ C -j-etc,,. d'Oll ARITHMÉTIQUES. 4^3 d'où par le procédé inverse tiré du ni*me théorème y on pourra déduire les coefficieiis de Véqusitïrv ^^PP '). On voit en même temps que si les coefficiens de Ter'-^tion {TV) sont tous rationnels, ceux de l'équation (^PV) le set'^^ aussi 5 on pourrait même prouver par une autre voie , que si -'*^s premiers sont entiers , les autres le se- ront; mais comme '"^ théorème ne nous est pas nécessaire, nous ne nous y arrêt*^^^^ P^^ ^^^' 359. L'éo^a^ioJi a;"— I = o (en supposant, comme il faut tou- jours le f?-6 P^ï^ la suite, que n est un nombre premier impair), ne r'- -erme qu'une seule racine réelle a; = i ; les n — i autres , çii sont donnés par Téquation ^"~' + ^"=' + etc. + :c -I- I = G, (X) sont toutes imaginaires ; nous en désignerons l'ensemble par Cl, Si donc r est une racine quelconque de X=: o , on aura 1 = r" = r*" = etc. , et généralement i = r** pour toute valeur entière de e, soit positive, soit négative. D'où l'on voit que si À et;* sont des nombres entiers congrus suivant n, on aura r :=ir -, mais si A et ;* sont incongrus suivant le mo- dule n , r et r^ seront inégaux. Dans ce cas, on peut déterminer un nombre entier v , tel qu'on ait (X— .;a)v=i (mod.Tz), et partant, /^"^^'ssr; donc r ^ ne sera certainement pas = i : or il est clair que toute puissance de r est racine de l'équation x" — 1=0; par- conséquent comme toutes les quantités 1 = 7°, r, r^ r^ 7-"-!. sont dififérentes , elles représentent toutes les racines de l'équation ^^ — 1=0, et r, r* r"-* coïncident avec les racines H. On conclut facilement de là que Ci coïncide avec r' , r*' r^ jKn-Oe^ d étant un entier quelconque , positif ou négatif, et non- divisible par n. On aura parconséquent X==(a: — rO (^ — 7-0 (x— r^O (jc— y-'-o.) . d'où r' -f- r*' + r!f + ^ ^^Ct- o^ ^ . et I -|-r'-|-r*' -|- 7"^" Z •> = o. Nous appellerons réciproques deux racines telles, que r et -; on •i liî 454 ' RECHERCHES plus généralement r', r-\, et il est clair que le produit des deux facteurs simples x — r et iv^^ i est œ^ — 2.x cos cù -f- - p l'angle co étant = —, ou à un de ses multip.v,.^ 540. Ainsi, comme en représentant une racine de y ^ mr t- toutes les racines de l'equation .x" — 1=0 sont expriii^gg i différentes puissances de r, le produit de plusieurs d'enù. „„„ „. cines pourra être exprimé par 7^ , de quelque manière qu'il sux composé, À étant = o, ou positif et -< /z j et si l'on désigne par (p (t, u , Uy ) une fonction algébrique rationnelle et entière des indéterminées /, u, p», etc., dont les différens termes soient et, (S de la forme ht u u^ , etc., il est évident , qu'en prenant pour ty Uy r, etc. quelques-unes des racines de l'équation a;" — i =:o, par exemple, tz=:.a, uz=.b , i^ ^=: c , etc., (p{t ^ u, i> ) pourra être mise sous la forme A 4- Ar + A"r^ + A^r^ + + ^^^ V''= ' ; de manière que les coefficiens A , A , etc. (dont quelques-uns peuvent être =0), soient des quantités déterminées j et tous ces coefficiens seront entiers , si tous ceux qui sont représentés indé- finiment par h sont des nombres entiers. Si ensuite l'on substitue «% h^ , c" pour ty Uy u respectivement, le terme tel que ht u u^ qui se réduisait à r , se réduira par la nouvelle substitution, à r , déserte que l'on aura On aura de même en général , /a étant un nombre entier quel- conque proposition extrêmement importante , et qui sert de base aux re- cherches que nous allons faire. Il suit de là que A R I T H M Ji T I Q U£ s. 435 et que Ainsi cette somme ec toujours divisible par n, quand tous les coefficiens déternnés (tels que /z), dans quand on y fait a;=i: par ce qui a été dit précédemment yt?, ;^'. .77^ seront des quantités réelles et positives. Or p est la valeur qiî^btient la fonclion (i — ^)(i — «) (i — 'P) etc. quand on j substitue pour t, u, ^, etc. les racaes ('tt) j p' est la valeur de cette même fonction, quand on subsitue pour ty Uy ^t etc. les quarrés de ces mêmes racines j et d'aïl?urs la va- leur qui résulte delà supposition /=i,z/=:i,;^=i, éc., est évidemment =oj donc la somme ;[7-f-yt?'+yt?*-f- etc. -j-^o" serc en- tière et divisible par n : en outre on voit facilement que le f o- duit PP'P\ . . = X\ et partant pp'p" . . . z=.n". Maintenant si tous les coefficiens de P étaient rationnels , tous> ceux de P', P", etc. le seraient aussi, par le 11° 538, et par le n° 42, ils seraient tous entiers; donc p, p, p" , etc. le seraient^ comme d'ailleurs le produit de ces derniers nombres est n^ , et que leur nombre est tz — i >A, plusieurs d'entre eux devraient être égaux à i , et les autres seraient égaux à n, ou à une puis- sance de n. Si donc il y en a gf qui soient égaux à i , on aura p ^p' -f-yt?" + etc.^^ (mod. 77), et partant non-divisible par n. Donc la supposition ne peut subsister. 2\ Quand (tt) et (p) ne coïncident pas, mais contiennent quelques racines qui leur sont communes, soit (t) l'ensemble de ces racines, et 7'= o l'équation qui les donnerait j il suit de la théorie des équations que T sera le plus grand commun divi- seur des fonctions P et R, Or il est évident que les racines com- prises dans (r) sont réciproques deux à deux, d'où l'on conclura par ce qui a été démontré précédemment, que tous les coefficiens de T ne peuvent être rationnels. Mais cela arriverait nécessai- rement si tous les coefficiens de P et partant ceux de R étaient rationnels, comme on peut le voir par la nature de l'opération par laquelle on cherche le plus grand diviseur commun j donc cette supposition est absurde. À K I T H M É T T Q U E 5. 4^7 %\ Quand (x) et (p) coïncident, ou du moins renferment des racines communes, on prouvera de la même manière, que tous les coefficiens de Q ne peuvent n=^ ^tre rationnels; or ils le se- raient nécessairement si c^^^ de P l'étaient; donc cette dernière supposition est impossi^^®* 4°. Si enfin il ^y ^ aucune racine commune ni à (tt) et (p), ni à (x) et ((7j> toutes les racines (tt) coïncideront nécessaire- ment avec \f^ racines (r si tous les coefficiens de P étaient rationnels , ils seraient en- tiers (n° 4^)* partant ceux de jR le seraient aussi; donc L, qui devrait diviser l'unité, dernier terme de X, ne pourrait être que rb I , et il s'ensuivrait que dzn serait un quarré, ce qui est ab- surde , puisque n est un nombre premier. •Il suit évidemment de ce théorème, que, de quelque manière que l'on décompose X en facteurs, les coefficiens, ou du moins une partie d'entre eux, sont irrationnels, et parconséquent ne peuvent être déterminés que par des équations qui passent le pre- mier degré. 342. Le but de nos recherclies, qu'il n'est pas inutile d'an- noncer ici en peu de mots, est de décomposer X gradiielle/nenê en un nombre de facteurs de plus en plus grand , et cela de ma- nière à ce que les coefficiens de ces facteurs puissent être déter- minés par des équations du degré le plus bas possible, jusqu'à ce que, de cette manière, on parvienne à des facteurs simples, ou aux racines SI, Nous ferons voir que si l'on décompose le nombre p — I en facteurs entiers quelconques a, /3, ^, etc. (pour lesquels on peut prendre les facteurs premiers), X est decomposable en oc facteurs du degré —^t dont les coefficiens seront déterminés par une équation du degré a ; que chacun de ces facteurs est decom- posable en /3 facteurs du degré ^^, à l'aide d'une équation dç 4 j6 recherches degré ^, etc. Desorte ^ue v étant le nombre des facteurs a, /3 , y, etc., la reclierclie des racines Q. est ramenée à la résolution de V équations des degrés ct> ^, ^, etc. Par exemple, pour « = 17, on a n — 1 = 2.2.2.2; il faut ré- soudre quatre équations du second degré , pour nz=:'^5,i\ faut en résoudre trois du second et deux du troisièm. Comme nous aurons souvent à considérer par la suite des pdis-' sauces de r dont les exposans sont eux-mêmes des puissances , et que ces sortes d'expressions se prêtent difficilement à l'iiApression, nous userons de l'abréviation suivante pour r, r% H, etc Nous écrirons [i], [2], [5], etc. et généralement [A] pour r , À ftant un nombre entier quelconque. Ces expressions ne sont pas entiè- rement déterminées, mais elles le deviennent lorsque l'on prtsnd pour ?' ou [i] une racine déterminée de €1, Ainsi [A] et \_fxj se- ront en général égaux ou inégaux, suivant que A et fJL seront congrus ou incongrus suivant le module 72. En outre on a [o]=i, [A].[^] = [AH-/*], [Af=[A/^], et [o] + [A] + [2A]-f [3A]-f-etc. + [(«— i)A] = o, ou n, . suivant que n est non-divisible ou divisible par n» 543. Si, pour le module n, g est un de ces nombres que (Section III) nous avons appelés racines primitives , les tz— i nombres i, g, g%...^"-' seront congrus aux nombres i, 2, 5,. ..72 — i, suivant le module n ., quoique l'ordre ne soit pas le même, c'est- à-dire que tout nombre de la première suite sera congru à un ^ de ceux de la seconde. 11 suit de là que les racines coïncident avec £l \ et de même plus généralement coïncident avec H , si A est un nombre entier quelconque, mais non-divisible par 72. Et comme on a ^"""'^i (mod. tz), on voit sans peine que les deux racines [A^ ], [A«-] sont identiques ou différentes , suivant que ^ et y sont congrus ou incongrus suivant le module n — i. AKITHMÉTIQUES. 459 Si donc G est une autre racine primi^ie, les ïacines [i] , [g],. ... [^""T coïncideront ainsi avec leTacines [1] , [G] , [6'"""], abstraction faite de rordrea.vIais en outre, on prouve facilement qne si 6 est un d^iseur de n — i, et qu'on pose 7z— 1 = ^, g'=^hj G^=', les/ nombres I h, h% h\ hi-\ sont congrus, su.i.nt le module « , à ceux-ci: sans avoir é-^d à l'ordre. Supposons en effet G^g (mod.//), et soit fjL y nombre quelconque positif et <,f, et v le résida vilnimur^^^ /*« («lod./"), on aura ve'^fJLooe (mod. n — i), donc g ^^ ^^^ (mod.Tt) ou H ^h , c't 'a-dire que tout nombre de la première suite i, /z, h*, etc. c congru à un de ceux de la seconde i, H, H* 3 etc., et ré- ^proquement. Il suit de là évidemment qu'il y a identité entre les racines [.], [A], [A-],....[A/r'] et [i], [ff], [ff =],.... [ff/-], OU plus généralement entre les racines [à], [aA»], [AÂ],...[à/z/-'] et [À], [XH-], \XH^'\,...[KHf-^-\, Nous désignerons par (•/, A) la somme de semblables racines, telle que [A] -f- [A/z] + [a7z=] 4- etc. + [A/z/-^] ; et comme elle ne change pas , lorsque l'on prend pour g une autre racine primitive, elle doit être regardée comme indépen- dante dcjO-, et V ensemble de ces racines s'appellera -période (/ A), dans laquelle on ne considère pas l'ordre des racines (*). Pour présenter une pareille période, il sera convenable de réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple expression, en remplaçant les nombres A, A/i, A/z', etc. par leurs (*) Nous pourrons dorénavant donner à la somme le nom de ^'aIeur numé- rique de la période , ou même celui de période , lorsqu'il n'y aura pas d'am- biguité à craindre. 44o RECHERCHES résidus minima, sniv^f le module n; et si l'on veut, on peut ordonner les termes de ...période suivant la grandeur de ces nombres. Exemple, Pour 72=19, 2 est raV.Q primitive, et la période (6, i) est composée des racines [^]. [S], [64], [5i2], [4o96T,'-32^68], ou [i], [7], [8], [11], [12], ^-iSJj de même la période (6, 2) est composée des raciu' M, [3], [5], [.4], [16], [17]; la période (6, 3) coïncide avec la précédente, et If période (6, 4) contient les racines [4], [6], [9], [>o], [i3], [.5]. 344« On remarquera, au sujet de ces périodes, les obse-.^ tions suivantes, qui se présentent d'elles-mêmes: i*. Comme on a Xh^^X, xM-^'^Kh, etc. (mod. tz), il esfc évident que les périodes (/. ^), (f> >^h), (/, Xh^), etc. sont composées des mêmes racines, et généralement si X' est une racine quelconque de (f, A), cette période sera identique avec (y, X'). Donc deux périodes, de même nombre de termes (que nous nommerons périodes semblables), seront identiques, si elles ont une seule racine commune, et parconséquent il est impossible que de deux racines contenues dans une certaine pé- riode , il ne s'en trouve qu'une seule dans une période semblable: et il est clair que si les racines [A], [A'] appartiennent à la même période, la valeur de l'expression — (mod. tz) sera congrue à une certaine puissance de h , ou que l'on peut supposer X' ^Xg^ (raod.Tz). 2». Si f=^n — I, on a ^ = 1, et la période (/", i) coïncide avec H; mais dans les autres cas Q. sera composé des e pé- riodes (/, I, {f,g), (/,^0,etc. ,.,. (/, g'-'), et comme ces périodes sont toutes différentes entre elles, il est clair que toute autre période semblable (f, X) coïncide avec l'une d'elles, pourvu ARITHMETIQUES. 44i pourvu que [a] soit une des racines fL , c'est-à-dire, que X ne soit pas divisible par /?. Quant à la période ( /, o) ou ( f^ kn), elle est évidemment composée de y unités. On voit même que si À est un nombre quelconque non-divisible par n, l'ensemble des e périodes (/, A), (/, xg), if, xg-), (/, >^)...U> >^'-') coïncide encore avec H. Ainsi, par exemple, pour 7z = ig et fz=.Ç>, Cl est composé des trois périodes (6, i) , (6, 2), (6, 4)> à une desquelles toute autre semblable, excepté (6, o), peut être ramenée. 3". Si n — I est le produit des trois nombres positifs a j h, c, il est évident que toute période de bc termes est composée de b périodes dont chacune a c termes, c'est-à-dire que (Jbc, A) est composée des périodes (c, A), (c, A^^), (c, A^O^-'-'C^^ ^8^'-')', c*est pourquoi nous dirons que ces dernières sont contenues dans {bc, A). Ainsi, pour 72 = 19, ^* période (6, i) est composée des trois (2, i), (2, 8), (2, 7), dont la première contient les racines r, r'^j la seconde, r% r'*; la troisième, r% r'*, 345. Théorème. Soient (f. A), (f, jjC) deux périodes sem* blables, identiques ou différentes, et [A], [A"], [A*], etc. les racines qui composent (f. A); le produit de (f. A) par (f, /-t) sera la somme des f périodes semblables , c'est-à-dire , ;= (f, A4-;^) + (f, A'-|-/>t) + (f, A^'-j-;.) , e/c. = W. Soit comme plus haut n — iz=.ef, g une racine primitive pour le module n , et hz=.g% on aura par ce qui précède (/, A) = (/, Xh)^{f, A/2O, etc.i le produit cherché sera donc €t partant Kkk 44a H E C H E K C H E S [ X+;a ]-|-[a;z -f-/* ]+[Kh^'\-fA ] 4.[x//-'4-;a ] +[?v A -^fJLh ]-|-[A/i'-f-/*^ ]4-[A/23-f-^/i ] 4-[A// +/A/Ï ] + elc. ' Cette expression contiendra en toiity''* racines, et si l'on prend séparément la' somnie de chaque colonne verticale, on trouve que la somme totale est, comme nous l'avons annoncé, égale à C/, A4- /.) + (/, A^+/t) + (/, a;i*4-;a)...4.(/, A//-'H-;t)j or A'^A/z, A'^A/z% etc., suivant le module tï, et partant A'+/>t^A/i +//(-,. A'^- /x, ^ A/i* -f- ;a , etc. Nous joindrons à ce théorème les corollaires suivans : i", k étant un nombre entier quelconque, le produit de {f, k?) par {/, k/j,) est (/, k (A+/X)) + (/, k (A'4-/^)) + (/, ^(A"-!-/^)) -I- etc. 2*. Comme les différentes parties qui composent Tf^ coïncident évidemment avec (/*, o)=/z, on avec une des périodes (f, '). (f>g}' (f, s')- ■■■(/> g"'), il est évident que ff^ peut se ramener à la forme suivante : où les coefficiens a, b, h', etc. sont entiers et positifs ou quel- ques-uns = oj et en outre, que le produit de (y^ àA) par (j/^ ku). devient alors '^f-¥Kf, ^)+V{f, sV)+hXf, i?'A) + efc. +2-^'^/. r-'V). Ainsi, 'pour 72 = 19, ^® produit de la somme (6, i) par elle- mèiue, ou le quarré de cette somme, est (6, i)-\-{%, 3)+(6, 9)-|-(6, i2)-|-(6, i5)-f(6, 19), ou 6+2(6, 04-(6, 2)+2(6, 4). 5°. Comme le produit de chacun des termes de W par une période semblable ( /", v) peut être ramené à une forme analogue, il est évident que le produit (/, ^)'{f> f^)'(^ft 0 P^^* ^^"^^ ^^~ présenté par I ARITHMÉTIQUES. 445 c/+^(/, !) + «?'(/. ^) + etc. 4- /''V/ ^-). c, d, d'y etc. étant tous entiers et positifs, et qireu outre, si ^ est entier, on a (/, Xk).{f, fAk),{f, vk)z=cf+d(f, k) ^ etc. ^d^'\f,g^-^k). On étendra de la même manière ce théorème aux produits de tant de périodes semblables qu'on voudra , et il importe peu que ces périodes soient toutes différentes, ou en partie diffé- rentes, et en partie identiques, ou même toutes identiques. 4% Il suit de là que si dans une fonction algébrique ration- nelle et entière F = (p> (t, u, ç/...),on substitue pour les indé- terminées t, Uj u, etc. respectivemeEt, les périodes semblables (/' ^) > iff 1^)> (/' '')' ^^C' » la valeur de cette fonction est toujours réductible à la forme ^ H- B (/, 0 + B'{f, g) + B\f, g')... .+ B^'^ (/, g"') , et que les coefficiens A, B, B', etc. seront tous entiers, si les coefficiens de la fonction F le sont eux-mêmes. Si ensuite on substitue pour t, z/, i^, etc. respectivement les périodes {f, XA), (^f> f^^)> (ff y^)> la valeur de inséra de la forme A + B(f,k)-{^ B\f, kg) + etc. 546. Théorème. Si l'on suppose qiie A est un nombre non-^ dwisihle par n, et que pour abréger on fasse ( f , X)=p, toute autre période semblable (f, //.) oà yu est aussi non-divi- sible par n, peut être mise sous la forme a 4- i®P 4- >P* H- ^^^* H- Qp^~' > de manière que les coefficiens cl, ^, y , . . .^ , soient rationnels et déterminés. Désignons par;^^ p\ p"* , etc. les périodes (/, Xg'), (/, X^*), etc. jusqu'à (/, X^'-'), dont le nombre est e — i, et avec une des- quelles (y, pC) coïncidera nécessairement. On aura sur-le-champ l'équation oz=.i-^p-^p' 4-/ 4- ;»"' 4- etc (I) , et en formant, d'après le n* précédent, les puissances de p jus- qu'à z?'~' , on aura les c — 2 autres équations :2 '444 îî K C H E R C H E S o ^ p' -}^ A -i- ap + ap' -^ a'p" + a'Y + etc' .^ . . (TT) o = ;>^ -f- ^ + Z77 + b'p'+b'p" + ^V H- etc.. . .(Til) o = ;;* -f- ^ + ^yf^ + c'p' + ^V + c'^'" + etc. . . .(TV) , etc. où tons les coefflciens Af a, a', etc., B, h, V, t{c,\ etc. sont entiers et indépendanr. de Â, ainsi qu'on peut le conclure du n" précédent-, c'est-à-dire, que les mêmes équations auront lieu quelle que soit la valeur que l'on donne à À: cette remarque s'étend à l'équation (I) , pourvu que X ne soit pas divisible par n. Supposons maintenant (/^ ft) ==/?'• si (/) p) était égale à une autre des périodes p" , p", etc., il est évident que l'on pourrait employer des raisonnemens analogues. Comme le nombre des équations (I), (II), (HT), etc. est e — i , les quantités;?", p"', etc., dont le nombre est e — 2, pourront être éliminées de manière à ce qu'on ait une équation telle que G =^' -f- 5> 4-C>*-|- etc. 4-My-^ + IS'p (Z), dans laquelle A', B',...N' sont entiers et ne sont pas tous nuls à-la-fois. Or si IS' n'est pas =0, il est clair que cette équation donnera pour ;o' une valeur de la forme annoncée; ainsi il ne nous reste plus qu'à démontrer que l'on ne peut avoir A'^^o. En supposant iV'=o , l'équation Z devient M'p'-' + etc. H- C>» + 5>+ ^ =0, à laquelle ne peut satisfaire au plus qu'un nombre e — i de va- leurs de p. Mais comme les équations dont on a tiré Z sont indépendantes de A, il est clair que l'équation Z elle-même ne dépend pas de A, c'est-à-dire qu'elle a lieu pour toute valeur de A entière et non-divisible par n. Cette équation sera donc sa- tisfaite par les valeurs des e périodes (/. 0. {/,§), a> s') >■■■■(./' S'-). d'où il suivrait que les valeurs de deux de ces périodes au moins seraient égales entre elles. Supposons qu'elles contiennent respec- tivement les racines ARITHMÉTIQUES. 445 10' K']. K"]' «'«•; W' M' M' «'<:•» et quL les nombres ^, (^', «^"^ etc., >?, >i', /, etc. soient positifs et<;7^, ce qui est permis -, il est évident qu'ils seront tous, difié- reiis , et qu'aucun d'eux ne sera =o. Désignons par J^ la fonction X -f.^ -\~^ + etc. — X — jc — X — etc., dont le terme le plus élevé ne surpassera pas x"~' ; il est cjaîr qu'on aurait jr=o, si l'on faisait a; = [i]; donc J' contiendrait lé facteur x — [i], qui lui serait commun avec la fonction déjà désignée par X (r° SSg) : or il est facile de démontrer l'absur- dité de cette dernière supposition. En effet, si X et JT avaient un diviseur commun, il s'ensuivrait , par la nature de l'opération , qui sert à chercher le plus grand commun diviseur de deux fonctions semblables dont les coefficiens sont rationnels, que ce plus grand commun diviseur aurait tous ses coefficiens rationnels; car il est d'ailleurs évident qu'il ne peut être du degré n — i , puisque JT est divisible par x. Mais nous avons fait voir (n" 54i) que X ne peut être divisible par une fonction de degré inférieur à n — i, dont les coefficiens soient rationnels; donc on ne peut supposer que Ton ait N'=: o . Exemple. Pour 72=19 ety=6, on a 0= I 4- ;?+/+/, p- — 6'i^2p-i-p'-{-2p% d'où l'on tire p'=^4 — ^/^% 7^" = — ^ — P~\~P'''y ainsi (6, 2) = 4 - (6, 1)* ; (6, 4) = - 5 - (6, 1) + (6, i)^ (6, 4) = 4 - (6, 2)» ; (6, i) = - 5 - (6, 2) + (6, 2y (6, i) = 4 - (6, 4)^ ; (6, 2) = - 5 - (6, 4) + (6, 4)^ 547. Théorème. SiYz=z^ (t, u, y, ,,)estu7ie fonction invariable '(* ) algébrique rationnelle et entière de ï indéterminées i, u , v, etc. , et qu^en substituant à la place de ces indéterminées les f ra~ »— ^ ' ■ ■— ■ I "Il ■ »■ I !■ Il ■■ ■ wm I i»i«^» iwiii. I I I . ^ I»— ■ ■ — ^^^^ ( * ) On appelle fonctions 'invariables celles où tontes les indéterminées entreat de la même manière, ou plus clairement, celles qui ne changent pas, de quelque manière que les indéterminées soient permutées entre elles ; telles sont la somme des indéterminées, leur produit, la somme de leurs produits deux à deux, etc. 446 RECHERCHES cines contenues dans la période (f, X), on ramène cette fonc- tion à la forme A -f ATi] H- A"[2] H- etc, = W , d'après ce qui ci été dit (n" 54o) -, les racines qui , dans cette expression , appartiendront à une même période quelconque de f termes , auront des coejîciens égaux. Soient [/?] , [çj] deux racines qui appartiennent à une même période , et supposons p Qi q positifs et moindres que n j il s'agit de démontrer que [/?] et \(f\ auront dans TV le même coefficient. Soit encore q^p/^ (mod. n), etnommons[À], [à'], [à'], etc. jles racines contenues dans (f, A), où nous supposons A, A', A*, etc, positifs et moindres que n-, soient enfin p^, pf, p!', etc. les ré- sidus minima positifs des nombres A^ , A'^ , X"g , etc, suivant le module n'y p^, p^ , etc. seront évidemment identiques avec A, A' etc., si l'on ne fait pas attention à l'ordre. Or il suit du n° 340, que la fonction peut être ramené à la forme en désignant par 6, 6', 6', etc. les résidus minima des nombres (^^ 1^^ i etc. suivant le module /ï*, il est évident, d'après cela, que M aura dans W le même coefficient que \_p'\ dans TV, Mais on voit sans peine que le développement de l'expression (I) donne le même résultat que le développement de l'expression (P{W> [/^']. [a*"], etc.}, puisque /^^ "^i^ i f^'^^'s > ^^^' ("^od. n) ; mais cette expression donne le même résultat que ^{W. [^']^ M> etc.}, parceque les nombres p, p!, p? , etc. ne diffèrent des nombres A, A% A", etc. que relativement à l'ordre, qui n'influe en rien A K I T H M É T T Q U E s. 447 clans une fonction invariable j done W et /^seront identiques, et partant [yp] et [9] auront même coefficient dans W, Il suit évidemment de là que ^^peut être ramené sous la forme A~\-a{f, i)-{-aXf, è) + ^\f> r) + etc. + a^'^ (f, g-) : les coefficiens A ^ a, a', etc. seront entiers et déterminés, si tous les coefficiens de F sont rationnels et entiers. Ainsi, par exemple, si 72=19, /^=6 et A=i, et que la fonction (p désigne la somme des produits des indéterminées prises deux à deux, sa valeur se ramène à 3 H- (6, i) + (6, 4). De plus, il est facile de voir que si l'on substitue ensuite pour t, u, ^, etc. les racines d'une autre période {f, kX), la valeur de F devient ^ + ^(/, ^)4-^t/, H)'^^\ffH')^ etc. 548. Comme dans toute équation x.^ — ct^-^~' + /Sx-^"' — yxf-"^ -{- etc. = o les coefficiens et, /3, ^, etc. sont des fonctions invariables des racines, savoir, et la somme, /S la somme des produits des racines prises deux à deux, y la somme des produits trois à trois , etc. \ il en résulte que dans l'équation qui donne les racines contenues dans la période (/) A), le premier coefficient sera {^f, ?.), et chacun des autres pourra être ramené à la forme on A , a, a y etc. sont des entiers. D'ailleurs il est clair que l'équation qui donnerait les racines que contient toute autre pé- riode (y^ AA) se déduirait de celle-là, si dans chacun des coeffi- ciens on substituait (^f, K) pour (/^ i), (y) kg) pour (^f,f^)f et généralement (^f) kp) pour (^f, p). On pourra donc de cette manière assigner un nombre e d'équations Z = 0, /=0, z''==::0, CtC. qui donneront respectivement les racines contenues dans les périodes (/ 0. (f,g), (/; ë')f etc. j 448 RECHERCHES aussitôt que l'on connaîtra les sommes ( /", i ) , ( /, g) , (/, g^) , etc. J ou même, que l'on en connaîtra une seule, pr.iscjue (n° 346), la valeur de chacune d'elles peut s'exprimer rationnellement en fonction d'une seule. Cela fait, la fonction X sera décomposée en e facteurs du degré /: le produit des fonctions z, z' , z\ etc. sera évidemment = X, Exemple, Pour 72=19, la somme de toutes les racines con- tenues dans la période (6, i) est =(6, i)=:a-, la somme des produits deux à deux est =34-(6, i ) -|- (6, 4) = /3 ; la somme des produits trois à trois est =2 + 2(^6, i)-f-(6, 2) = p •, la somme des produits quatre à quatre est =3-j-(6^ i ) -H C^^ 40 ^^^ ^> ^* somme des produits cinq à cinq est =(6, i) = c' le produit de toutes =15 donc l'équation zz:zx^ — a.x' + i^cc^+T-^^ -{- cTo;' — ê-^- 1=0 donnera toutes les racines contenues dans la période (6, 1). Si, dans les coefficiens a, /3, y, etc. on substitue (6, 2), (6, 4), (6, i) pour (6, i), (6, 2), (6, 4) respectivement, il en résulte l'équation ;«:' = o, qui donnera les racines contenues dans (6, 2) ; si Ton fait dans celle-ci le même changement, on a l'équation £" = 0, qui donnera les racines con- tenues dans (6, 4)> ©t le produit zz^H sera égal à %, 549. Il est souvent plus commode, surtout quand y est un grand nombre, de déduire les coefficiens a, jS, y , etc., des sommes des puissances des racines. Il est évident que la somme des quarrés des racines contenues dans (^f. A) est = (^fj 2A) , que la somme des cubes est = (/', 5à) , etc., ainsi en faisant pour abréger, U> ^) = 7 ' if» 2^) = -7'. (/. 5A) = q\ etc. , ou aura 0L-=zq y 2/3 = a<7 — q' , Zy=:^q — a,q' •+• 9»' , etc. ; expressions dans lesquelles on doit convertir sur-le-champ (n* 545), les produits de deux périodes en sommes de périodes. Ainsi, dans notre exemple, si l'on fait pour abréger, (6,0=;;, (6,2)=;;% (6,4)=/, on trouve 7=/^^ y = / = 7''=f;'^ 9'' = 7''=/^'5 donc ARITHMÉTIQUES. 449 donc eL^:^p f 2l2=:p* p'z=6-{'2p-\-2p', '^y=(}+p+p')p—pp+p'==^+^P-h'^P% 4=^ = (2+2;7-j./);7-(3H-.;7-f-/}/+;7;7'-/=i:i4-4;;4-4/, etc. Au reste , il suffit de calculer de cette manière la moitié des coeffi- ciens, car on prouve sans difficulté que les derniers sont égaux aux premiers dans l'ordre inverse , savoir le dernier = i , l'avant- dernier = a , l'antépénultième = /3 , etc. ; ou qu'ils s'en déduisent en substituant pour (/, 1), (/, g) , etc. , les périodes (/, — i ) , (/, — g)i etc., c'est-à-dire (/, « — g), {f,n — i). Le premier cas a lieu quand y est pair, le second quand y est impair; mais le dernier coefficient est toujours = i. Cette propriété se tire du théorème du n° 79, mais nous sommes forcés de ne pas nous ar- rêter sur ce sujet. 35o. Théorème. Si m — i est le produit de trois nombres entiers positifs a , jô , y y et que la période (^y, A ) , qui a ^y termes , soit composée de /3 périodes (y, X), (y, A'), (>, A"), etc, dont chacune a y termes 3 si de plus y en substituant les sommes (y* ^)f (>j ^0' (y^ ^"y» ^^^' ^ ^^ place de t, u , v , etc. , dans une fonction F = (p (t, u, v. . .) telle qu^au n° 347 , elle se réduit à A + a(>,0+a'(>,ë)-a+^^^(^,g''^-'')... + a^Vg*'~')=W; en supposant d'ailleurs que F soit une fonction int^ariable ; les périodes comprises dans (W) , qui appartiendront à une même période de (By termes , c'est-à-dire, en général celles qui seront telles que (y , g )et(7', g '^') , v étant un entier quelconque , auront nécessairement les mêmes coejfficicns. La période {^y i A^ ) étant identique avec la période (/S;^, A), les périodes plus petites {y, Xg ), {y, K'g ), {y, X"g ), etc. dont la première est évidemment composée , doivent coïncider avec celles qui composent la seconde , abstraction faite de l'ordre. Si donc on suppose que par la substitution de ces périodes à la place des indéterminées i, u ^ u , etc., le facteur F se change en Tf^', JV devra coïncider avec fV. Mais (n° 547) on a LU 450 RECHERCHES Ainsi, puisque cette expression doit coïncider avec P^ , le pre- mier coefficient de Py^ (en commençant par a) devra être iden- tique avec le a-f-i^'"', le second avec le a-j-a'"", le troisième av«c le fit -f- 3'"", etc. , et généralement les coefïiciens des période» (yyg)>(y>^ )> Cy>s^ )> (yyS )> qui sont les respectivement , devront être identiques. Il suit de là évidemment que PP^ peut être ramené à la forme où tous les coefficiens A, a, etc. seront entiers, si tous ceux de F le sont. On voit en outre que si l'on substitue dans J^ à la place des indéterminées, les /S périodes de y termes qui constituent ime autre période de ^y termes, telle par exemple que (/3>, aA), périodes qui sont (y,>^ik), iy>^'^Oi iyj^"^)» etc., la valeur qui en résulte est Au reste , il est clair que ce théorème s'étend aussi au cas où «t = i, c'est-à-dire, où /3p/ = tz — i. Alors tous les coefficiens de W sont égaux, et /^ se ramènera à la forme A^a((^y,i). 55i. Ainsi, en conservant la notation du n° précédent, on conclura que les difFérens coefficiens de l'équation qui donnerait les /3 sommes (y, A), (y, K' ) , (y, X") , etc. peuvent être mis SOU3 la forme et que les nombres A, a , etc. seront entiers. Or l'équation qui donnerait les ^ périodes de y termes qui composent une autre période {Q>y, Aà) , se déduira de la première , en remplaçant dans tous les coefficiens la période quelconque (/3>, /a) par {^y , kjx). ARITHMÉTIQUES. 45t Si donc A = I , les /3 périodes de y termes se détermineront par une équation de degré ^, dont les coefficiens peuvent être rais sous îa forme ^ -f- ^ ( jS}/ , i ) , et sojit parconséquent des quantités connues. Si a > i , les coefficiens de l'équation dont les racines sont toutes les périodes de y termes contenues dans une période donnée de p>y termes, seront des quantités connues, dès que l'on connaîtra les valeurs numériques des périodes de ^y termes. Au reste le calcul devient souvent plus facile , surtout quand /3 n'est pas un petit nombre , en calculant d'abord les sommes des puissances des racines, et en déduisant les coefficiens par le théo- rème de Newton , comme ci-dessus , n° 34g. Exeinple I. On demande pour 7z= 19, l'équation dont les racines sont les sommes (6, i), (6, 2), (6, 4)» Désigdons ces racines par p, p', p" respectivement , et l'équation cherchée, par ^ ou aura , , , ^ » >-. ^ » ^=;7-f-/+/, Bzzzpp'JrPP-^PP * ^^PPP > donc A z= (18, 1) = — 1 ; or on a pp^=:p-\^2p' + ^p', pp'=^2p-{-Sp'-i-p', /.y =3;?+/ + 2/5 donc Bz=:6(p-hp''hp')=^C^^» 0 = — 6; enfm C = (/.-f-a/+5/)/ =3(6,0)4-1 1(1 8, 0= i8-ii=7*. donc l'équation cherchée est x^ ^ x^ — 6x — j == o. En employant l'autre méthode , nous avons p+p-^-p'^—^'^ p'':=:6^2p+p'-h^p%p''==^6-^2p'-hp''-h^P^P'-^+^P'-^P+^Py d'où ;^ + ;,'>+/^=l8H- 5 (/> + / + /) =l5. De même.. / ^-/^ +/^==56 + 54(;74-;>' + /^'') -= 2. ^ De là, à l'aide du théorème de Newton , on tire la même équation que ci-dessus. Exemple 2. On demande pour 72 = 19, l'équation dont les racines sont l«s sommes (2, i), (2, 7), (2, 8). ^^^ RECHERCHES Dt^signons-les par 9, ç', q" respectivement, on aura chercWerrr""''"' '' "'""" '^ '''"'"P'"-" P"^-=dent, 1 ■équation a' — ;;x' + (;,+;,") ^ _ 2 _ ^. _ g_ L'équation dont les racines sont les sommes fa.a), fa 3> l,tf- '°f'°"'' '^'°' ^^''^' '^ ^'•'^"'' ''" 'a précédente', en substituant^ y,, ;, pour p, p' , p' respectivement; et en faisant encore une fois la même substitution, on obtient l'énuation dont le^^ racines sont les sommes (.,4), (., G), (., 9) contenues dans le,^h^;.^'' *^°'''?"' Précédens, avec leurs corollaires , contiennent es bases principales de toute la théorie, et le moyen de trouver ies racines a peut s'exposer maintenant en peu de mots. On doit, avant tout, prendre un nombre g qui soit racine pri- mitive pour le module n , et trouver les résidus minima des puis- sances de 5- jusqu'à g"-'. On décomposera n-^ en facteurs, et nieme en facteurs premiers, si l'on veut réduire le problème à des equations d „ degré le plus simple possible. Soient « , /3 , >, ? les facteurs de n — i , et soit fait >t- > lf> c. ^ = ^^---^ = '^'^ = > C = i,etc. cle celles-ci en /3 périodes de à termes; chacune de ces dernières en ;. périodes etc. On cherchera, par le n» 35o, l'équaïon T^ de degré « qui aura pour racines ces « sommes de « termes slmes dont on connaîtra les valeurs par la résolution de ceUe iquX! pédÏdes"ord't7"/" T '''®'=""^' ^^^ "" "•= ™" P^^ à quelles peuodes on doit égaler chaque racine de l'équation (^), c'est- a-d re, quelle est la racine qui doit être représentée par (.,0 quelle est celle qui doit être représentée par (., gf, e c On remédiera a cet inconvénient de la manière suivlnl. On peu" en effet, comme une racine quelconque de l'équat on (J) est k somme de a racines a , et qu'il est absolument indifférent que ARITHMÉTIQUES. 455 l'on ait représenté par [i] telle racine de O. plutôt que telle autre , on sera libre de supposer que [i] soit une des racines qui constituent une racine quelconque donnée de l'équation (y4) , desorte qu'alors cette racine de l'équation (^) deviendra {a , i). Mais la racine [i] n'est pas encore par-là tout- à-fait déterminée, et le choix de celle des racines comprises dans (a, i) que nous prendrons pour [i], est absolument arbitraire. Au reste , une fois que (a , i) est dé- terminé , toutes les autres sommes de a racines peuvent en être déduites rationnellement (n* 546) ; d'où il suit qu'il n'y a qu'une racine de l'équation (^) qu'il soit nécessaire de trouver. On peut aussi employer pour faire cette distinction , la méthode suivante qui est moins directe. On prendra pour [i] une racine indéter- minée , c'est-à-dire^ qu'on fera I =cos f- l siu , l'entier k étant pris à volonté , pourvu qu'il ne soit pas divi- sible par n. Alors [2] , [3] , etc. indiquent des racines déterminées, et parconséquent {a, i), {P'yg^i ^^<^' Si par les tables des sinus on calcule ces quantités , seulement avec assez de précision pour pouvoir décider quelles sont les plus grandes et les plus petites, il ne restera plus de doute sur la distinction à faire entre les racines de l'équation {A), Quand on aura trouvé de cette manière les a sommes de a ra- cines, on cherchera (n* 55o) l'équation (5), dort les racines sont les /3 sommes de b termes contenues dans ((^ , i)j les coefficiens de cette équation seront des quantités connues. Comme il j a encore de l'indétermination dans le choix de celle des racines contenues dans {^ci , i), que l'on désignera par [i], toute racine de l'équation (^) peut être représentée par (i6, i), parceque l'on peut évidemment supposer qu'une des racines qui la compose soit désignée par [i]. On cherchera donc une racine quelconque de l'équation (-5) par sa résolution *, on la supposera égale à {h , i), et on en déduira , par le n° 546 , toutes les autres sommes de b racines. De cette manière, nous avons un moyen de vérifier le calcul, puisque les périodes de Z> racines qui appartiennent aune même période de a termes, doivent produire des sommes que l'on connaît. Dans quelques cas, il est aussi expéditif de former N/^54 RECHERCHES les ot— ! autres équations de degré /3 , dont les racines sont res- pectivement les /3 différentes périodes de b termes contenues dans les autres périodes de a termes (a, g), (a, g") , etc. , et de chercher par la résolution les racines de l'équation (B) et de ces différentes équations. Mais alors il faudra , comme plus haut, décider à l'aide de la table de sinus, à quelles périodes de b termes doivent être égalées les racines qui en résultent. Au reste , il existe encore pour cette détermination differens autres artifices , que nous ne pouvons pas expliquer ici complètement. On pourra seulement dans les exemples suivans , remarquer un de ces procédés, pour le cas où /3 = 2 , qui est le plus utile , et qui sera mieux connu par des exemples que par des préceptes. Quand on aura trouvé de cette manière les valeurs de aj8 périodes de b termes , on déterminera de même par des équations de degré y les a/3;/ périodes de c termes, et cela par deux procédés: i°. en formant (n* 55o) une équation du degré y dont les racines soient les y périodes de c termes qui composent (b, i), cherchant une des racines de cette équation, l'égalant à (c, i) , et déduisant de là (n° 346) toutes les autres périodes semblables -, 2\ en formant les a/3 équations de degré y , dont les racines sont respectivement les y périodes de c termes qui sont contenues dans les différentes pé- riodes de h termes, résolvant toutes ces différentes équations, et déterminant l'ordre des racines, comme plus haut, par les tables de sinus, ou coj^pue dans les exemples suivans, si 5/ = 2. En continuant de cette manière , on parviendra enfin nécessai- rement à connaître les "7 périodes de ^ termes. Cherchant donc par le n° 348, l'équation de degré ^ qui donne le ^ racines de H contenues dans (l^y i), les coefficiens de cette équation seront des quantités connues; et si l'an tire une seule racine par la résolution, en faisant cette racine == [i] , ses puissances donneront toutes les racines Ol, Si on le préfère, on peut chercher toutes les racines de cette équation , et la résolution de ^-^ i autres équations sem- blables ,, donnera toutes les racines H. Au rer.te, il est clair que dès qu'on a résolu l'équation (^4) , c'est-à-dire, dès qu'on a les valeurs des et périodes de a termes^ j ARITHMÉTIQUES. 455 on est parvenu à décomposer la fonction X en a facteurs de a dimensions; de la résolution de l'équation {B), suit la décompo- sition de chacun de ces facteurs en /S, et partant, celle de X eu ct^ facteurs de b dimensions \ etc. 355. Exemple i. Pour n = 19. Comme on a ici n — i =5.3.2, la recherche des racines £1 doit pouvoir se ramener à la solution de deux équations du troi- sième degré et d'une du second. Cet exemple se comprendra d'au- tant plus facilement, que les opérations nécessaires sont contenues pour la plus gi'ande partie dans ce qui précède. En prenant 2 pour la racine primitive g , on trouve pour les puissances o, i, 2, 5, 4» ^> ^s 7> ^f 9^ 10^ n^ ^2, i3, i4> ï5, 16, 17, les vésidus minima i, 2, 4, 8, 16, i3, 7, 14, 9, 18, 17, i5, 11, 5, 6, 12, 5, 10. De là, par les n'^^ 344> 545, on déduit facilement la distri- bution suivante de toutes les racines fï. en trois périodes de six termes , et de chacune de ces périodes en trois autres de deux termes. (2, 0 M, [18J (6,0<; (2, 8) [8], [n] (2. 7) [7]^ [ï2] . (2. 3) [2], [17] n = (i8,i) ( (6.2) { (2,r5) [3], [16] (2,i4) [5], [i4] 0, 4) [4], [i5] (6,4) { (2.i5) [6], [i3] (2, 9) [9]» [10]. L'équation (A) dont les racines sont les sommes (6, i), (6,2}, (6,4) se trouve être {^oy. n' 35i, ex. 1.) x^ -^x^ — 6x-}-y =10 , et une de ses racines = — 1,2218761625 j en exprimant cette racine par (6, i), on trouve 456 RECHERCHES (6, 2) == 4 — (6, i)» = 2,5070186441 ; (6,4)=-.5 — (6, 0 4-(6, 0' = ^2p85i4248i8. Donc, si Ton substitue ces valeurs dans les formules du n" 348, X sera décomposé en facteurs du sixième degré. L'équation (B) , qui a pour racines les sommes (2, i), (2, 7) (2,8) est (n° 55i, e:c. 2), v y v > /j> x'^(6, i>»-|-{(6, i)+C6,4)}a;-2~(6, 2)=:o, ou....a?' + i,22i876i623^»— 3,5070186441a;— 4,5070186441=0. On trouve pour une de ses racines a: = — i,354563i433 j nous l'exprimerons par (2, i), et si l'on fait pour abréger (2, i)z=ç on aura (n" 346) (2, 2)=^^— 2 , (2, Z)=f^5ç , ' (2, 4)=^^— 47^+2 , (2, 5)=g^^5f-i-5ç, (2, 6)=q'^6f-i- 9^^— 2, (2, 7)=^^-,7^5-f-i4^3— 7^, (2, 8)z=zf^8ç'-i-20ç^-'i6f-^2, (2, g)=g^^gf-^2jç'-^5of-i-gç. On peut, dans le cas actuel, trouver ces valeurs plus commo- dément, de la manière suivante ; Supposons [il=cos--4-/sin~; 19 19» on aura r Q-, xSkP , . , iSkP kP . hP [18] = COS •— - + 1 sm —- = cos -- — / sin -- : ^y ^9 19 19 ' et partant (2, i) = 2cos — : 19 on a de même en général, [AJ = COS f- i sm , ^9 19 et partant (2, À) = [À] + [1 8A] = [A] + [_ A] = 2 cos ^. 19 Si donc ^9 = 0050), il en résulte (2, 2) =2 cos 20», (2, 3) = 2cos3(i), etc.; d'où, par les équations connues qui donnent les cosinus des arcs multiples, on tirera les mêmes formules que ci-dessus. Ces for- mules donneront les valeurs numériques suivantes ; (2, 2) ARITHMÉTIQUES. 457 (2f 2) = — 0,1651586909, (2, 6) = 0,4909709745, (2, 5) = 1,5782810188, (2, 7) = — 1,7589475024, (2, 4) = — " 1,9727226068, (2, 8) = 1,8916544854, (2, 5) =: 1,0958965162, (2, 9) = 0,8055908495, Les valeurs de (2, 7) , (2, 8) , peuvent aussi se tirer de l'équa- tion (B) dont elles sont les deux autres racines , et l'on déter- minera laquelle des deux appartient à (2, 7) et laquelle appartient ' à (2, 8), ou par un calcul approché d'après les formules suivantes, ou par les tables des sinus, qui, avec une légère attention, prouvent que si l'on fait ûi) = -^, on a (2, 1 )== cos wj donc il faut faire (2, 7J=2COS — P=2C0S et C2j o;=:3C0S — P=2C0S — . ^ ^^ 19 19* ^ * ^ 19 19 Les sommes (2, 2), (2, 5J, (2, 5) se trouveront de même par l'équation ^^-.(6, 2>- + {(6, i)-|-C6, 2)}a;— 2-(6, 4)=o, dont elles sont les racines, en levant d'ailleurs l'incertitude; comme nous venons de le faire. Les sommes (2, 4)f (^> Q, (2, 9) se trouveront par l'équation x^-(6, 4)^*4-((6,2)-f (6, 4)}:i: — 2-(6, i)=:o. Enfin [i] et [18] sont racines de l'équation ce'— -(2, i):t: + i = o, dont Tune est et l'autre ^^\(^, O — 'V{|— i(2> 3)}, d'où résultent les valeurs numériques — 0,6772815716 ± 0,7557259107/, Les seize autres racines se tireront de l'élévation aux puissances de l'une ou de l'autre de ces deux premières , ou de la solution de huit équations semblables, dans laquelle, si l'on emploie la seconde méthode, on décidera du signe de la partie imaginaire, soit par les tables de sinus, soit par l'artifice que nous allons ex- pliquer dans l'exemple suivant. C'est de cette manière qu'ont été M m m (1^ /^r^S RECHERCHES trouvées leâ valeurs suivantes, dans lesquelles le signe supérieur appartient à la première, et le signe inférieur à la seconde. 18] = — 0,6772815716 ztz 0,7557259107 i 17] = — . 0,0825795455 =p 0,996584495.0 l 16] = 0,7891405094 db 0,6142127127 î i5] = — 0,986561 5o54 dtz 0,1645945905 i ■i4] = 0,5469481581 =p 08571664785 i i5] = 0,2454854871 ± 0,9694002659 i 12] = -- 0,8794757512 =jp 0,4759475950 £ II] == 0,9458172417 qp 0,5246994692 / 10] = — 0,4016954247 :±: 0^9157755267 /. 554. Exemple II, Pour n=:ij. On a ici n — 1=2.2.2.2, ainsi le calcul des racines H peut se ramener à quatre équations du second degré. Nous choisirons 5 pour racine primitive; ses puissances fournissent, suivant le module 17, les résidus minima smya.ns: o, 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, II, 12, i3, 14, i5 i> 5, 9, 10, i5, 5, i5, II, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, d'où résulte la distribution suivante en deux périodes de huit termes, quatre périodes de quatre termes et huit de deux termes : [•] et [ M et [ [5] et [ [4] et [ [5] et [ [6] et [ [7] et [ [8] et [ M et [ (8. 0 ,(4> o{g:j^ "'f-^^ 5) [4], [i5] n = (i6, 0 .(8, 3) A4' 9; ^(-3, .5^ |-3j^ f,5j ■(4, 5){g'/^ PM.4] 5)........ [5]. [,2] 'a 10-)/^^' '"^ f7]. [10] •^4' »°^((2, I.) [6], [,,]. L'équation (A) dont les racines sont les sommes (8, i), (8, 5), se trouve (a* 55 1) être a;* -f- X — 4 = 0, et ses racines sont : _^_j_iy/i7==i^56i5528i28 et —t—iV 17=— 2,56i5528i28j ARITHMÉTIQUES. 459 ïioiis supposerons que la première soit (Sj i), l'autre sera né- cessairement (8, 3), L'équation (B), dont les racines sont les sommes (4/0 ®^ (4, 9), est X* — (8, ï)x — 1=0, et ses racines sont ;r=i(8, .)±i»/{4+(8, i)-}=K8, ■)±i V/{i2+3(8, .)+4(8, 5)} ; nous supposerons égale à (4, i) cellij de ces deux racines dans la- quelle le radical est affecté du signe plusj on aura ainsi (4, i) = 2,o494Si 1777' (4> 9) = — 0,4879283649. Les autres périodes de quatre termes , (4, 5) et (4, 10) peuvent être calculées de deux manières, savoir: 1°. Par la méthode du n" 346, qui donne les formules sui- vantes, en faisant, pour abréger, (4, i)=p, C4, 3)= — |-+3;7-^i;?' = o,344i5o73i4, (4, I o) = I 4- 2/7 — ;?• — ^p' = — 2,9057055442. La même méthode donne aussi la formule (4, 9) = — ^ — ^p-hp'-hp*, d'où l'on tire la même valeur que plus haut. 2". En résolvant l'équation dont (4* 3), (4, 10) sont les ra- cines ', cette équation est a:*-^(S, ^)x— I =0 et donne a:=KS, 3)±fv/{4+(8, 3)-}, ou ;t=K8,5) + lv/{i2H-4(8, 0 + 3(8,3)}, et :^^K8, 5)^{]/{i2 + 4(8, 0 + 3(8, 5)}; nous déciderons, par l'artifice suivant annoncé au n" 552, la- quelle de ces deux racines doit être prise pour (4, 3). Faisons le produit de (4, 1) — (4> 9) par (4, 3) — (4, 10), il est, calcul fait, = 2(8, i)— 2(8, 3). Or la valeur de cette expression est posi- tive, puisqu'elle est :=2{/i'j'j d'ailleurs le premier facteur (4, i) — {4) 9) est aussi positif, comme égal à y/[i2-{-4(8, i)-f-5(8, 3)}-, donc le second facteur doit aussi être positif, et partant (4, 5) 46o RECHERCHES doit être la racîne dans laquelle le radical est positif, et (4, lo) l'autre racine (*). Au reste, il en résulte les mêmes valeurs que plus haut. Connaissant foutes les sommes de quatre termes , nous passons maintenant à la recherche des sommes de deux termes. L'équa- tion (C), dont les racines sont (2, i), (2, i5), périodes con- tenues dans (4> 0' ^^^ a:* — C4, 0-^+(4 5) = o, qui donne a:~K4 i)±iv/(-4C4, 5) + (4, i)»} =:A(4, i)±^v/{4 + (4, 9) -^(4, 5)}; nous prendrons pour valeur de (2, i) celle de ces deux racine* dans laquelle le radical est positif, et il en résulte (2, i)= 1,8649444588, (2, 1 3) =0,18455671895 si l'on veut chercher les autres sommes de deux termes par la méthode du n° 346 , on pourra employer pour (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), les formules que nous avons données pour les quantités dési- gnées de la même manière dans l'exemple précédent , savoir : (2, 2) (ou (2, i5)) = (2, i)» — 2, etc.j mais, si Ton préfère les déterminer deux à deux par des équa- tions du second degré, on trouve pour (2, 9) et (2, i5) l'équation ^* — (4>9>+(4. io)=o, qui donne :r = K4,9)=±=i\/{4+(4, i5)-2C4 3)}, et l'on déterminera le signe comme plus haut, savoir : le dévelop- pement du produit de (2, i) — (2, i3) par (2, 9) — (2, i5) donne -(4 04-(4 9) -(4, 5) + (4, 10), (*) Le fond de cet artifice consiste dans une propriété facile à prévoir, d'a- près laquelle le développement de ce produit ne contient plus de périodes de quatre termes , mais se trouve exprimé par des périodes de huit termes • les gens instruits en découvriront facilement la raison que l'envie d'abréger nous force d'omettre. AR I T KME T I Q UES. 461 quantité évicîemment négative; mais (2, i) — (2, i5)est positif; donc (2^ 9) — (2, i5) doit être négatif; ainsi, dans la valeur de X que nous avons trouvée , le signe supérieur doit être pris pour (2, i5), et le signe inférieur pour (2, 9). Il en résulte (2, 9) = — .1,9659461994, (2, i5) = 1,4780178344, De même , comme on a {(2, 0-c^, i5)}x{C2,3)~(2,5)} = (:4,9)-C4, 10), quantité positive, nous en concluons que (2, 5) — (2, 5) doit être positif. De là, en faisant le calcul nécessaire, on trouve (2, 5)=K4,3)-f-^v^{44-(4> io)-2(4;9)}= 0,8914767116 (2, 5)=K4, 5)-iv/{4-|-(4 io)-2(4, 9)} = -0,5473259801 ; on obtient enfin, par des opérations tout-à-fait analogues, (2, io) = K4io)— i /{4-f-C4 5)— 2(4, i)) = — 1,7004542715 (2, iO=K4 io)+iv/{4+C4. 3)— 2(4, 1)} = -- 1,2052692728. Il reste encore à descendre aux racines fL elles-mêmes. L'équa- tion (D), dont [i] et [i6] sont les racines, se trouve être X* — (2, i):i;-|-i = o, qui donne :r=K^. 0=*=1/{C2. 0'-4}=î(^. 0±i^y{4-(2. I)-} = 1(2, l)=±=izV{2-(2, l5)}. Nous prendrons le signe supérieur pour [i], et partant le signe inférieur pour ri6]. Les quatorze autres racines se déduiront des puissances de [i] , ou de la résolution de sept équations du se- cond degré, dont chacune donnera deux racines , pour lesquelles on lèvera l'incertitude, comme nous l'avons fait plus haut. Par exemple, [4] et [i3] sont les racines de l'équation œ* — (2, i5)-j-i=o, qui donne a:z=:\(2, i3)d=izV{2-.(2, 9)}; or on trouve (M-[l6])X([4]-[l3])=:(2, 5)-(2, 5). quantité réelle négative; ainsi comme [i] — [i6] = /i/{2 — (2, i5)), c'est-à-dire le produit de l'imaginaire / par une quantité réelle 4ê3 "HE CHERCHES positive, [4j — [i5j devra- être aussi, à cause.de /•rrt-^i, le produit de i par une quantité réelle positive *, d'où l'on conclura que l'on doit prendre pour [4] le signe supérieur, et pour [i5] le signe inférieur. De la même manière , on trouve pour les ra^ cines ^^j et [9] , et comme ([,j«[i6])xC[8]-[9j) = (2,9)-(:2> ,0), quantité négative , on prçjidra pour [8] le signe supérieur, pour [9] Is signe inférieur. En calculant de la même manière les autres racines, oh trouve les valeurs numériques suivantes, dans lesquelles le signe supérieur appartient à la première, et le signe inférieur à la seconde. [i], [16] 0,9324722294 =b 0,3612416662 i , [2], [i5]..... 0,7390089172 db 0,6756956436 i, [3], [14] 0,4457383558 db 0,8951633914 /, [4], [i3] 0,0922685595 db 0,9957341763 i , [5], [12]... — 0,2736629901 ± 0,9618256432 if [6], [il]-.. — 0,6026546364 ± 0,7980172275 /, [7], [10]... — 0,8502171557 -b 0,5264521629 / , [8], [ 9]---— 0,9829750997 d= 0,1857495178 /. Ce qui précède pourrait suffire pour la solution de l'équation ^n 1 := o, et parconséquent pour trouver les fonctions trigono- métriques qui correspondent aux arcs commensurables avec la cir- conférence. Cependant, à cause de l'importance du sujet, nous ne pouvons terminer nos recherches sans ajouter quelques-unes des nombreuses observations qui peuvent l'éclaircir , et des consé- quences aussi nombreuses que l'on en peut déduire. Nous choisi- rons de préférence celles qui n'exigent pas beaucoup de recherches étrangères, et l'on ne doit voir dans ce que nous allons exposer, qu'un aperçu de cette immense doctrine dont nous nous proposons de parler par la suite avec détail. 555. Comme n est toujours supposé impair , 2 sera facteur de ARITHMÉTIQUES. 465 «.— . I , et n sera composé de "" ■ périodes de deux termes» Une pareille période , telle par exemple que (2 , X) ^ sera formé^e par les deux racines [A] et [?^ * ], pétant, comme ci-dessus , une racine n — t primitive quelconque suivant le module /z. Mais g * ^ — i (moâ,n)y n—t f — t donc hg~^^ — X (n' 62), et partant, [Xg * ] = [-i-X] 5 donc si l'oa suppose [X] =cos — -t- i sm — , et partant , [— XJ = cos — — . z sin — , la somme (2, X) ==2cos — . Nous nous bornons ici à conclure de là que la valeur de toute période de deux termes est une quantité réelle. Comme d'ailleurs toute période dont le nombre de termes est pair et = 2a, peut être décomposée en périodes de deux termes, il est clair qu'en général la valeur de toute période dont le nombre de termes est pair, est une quantité réelle. Si donc, dans le n" 352, on réserve 2 pour le dernier des facteurs et, /3, y, etc. , toutes les opérations s'exécuteront sur des quantités réelles, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux périodes de deux termes , et les imaginaires ne s'in- troduiront , que lorsque l'on voudra passer de ces périodes aux racines elles-mêmes. 356. On doit surtout remarquer les équations auxiliaires par les- quelles on détermine, pour une valeur quelconque de n, les sommes des périodes qui forment l'ensemble H: elles sont liées d'une manière étonnante avec les propiiétés les plus abstraites du nombre n. Mais ici nous restreindrons nos considérations aux deux cas suivans: i° à l'éqnation du second degré qui donne les sommes des périodes de termes -, 2" quand n — i est divisible par 3 , à l'équation du troisième degré qui donne les sommes des périodes de ■ T termes. Faisons , pour abréger, \ ( 71 — 1) = 7/2, et désignons par g une racine primitive quelconque , Cl Sv'ra composé de deux périodes (771, 1) et^ (w, g); la première contenant les racines [i], [^'], 464^ RECHERCHEE ^"^^ iS^] , . . . . [^""^l » et la seconde les racines [^] , [g^] ; [^] ,.,..•* ^ [^"~^]. Supposons que les résidus minima positifs des nombres g', g^, .... g"~^ suivant le module n , soient R, R% R", etc. , abstrac- tion faite de l'ordre, et que les résidus des nombres g, g^. ..^"~* soient N, N', N", etc.-, les racines des périodes (m, i) et {m, g) coïncideront avec [i], [R],[R']r [K], etc. , [N], [AT, [iV], etc. respectivement. Or il est clair que tous les nombres i , R , R', R" , etc. sont résidus quadratiques de /z; comme ils sont différens, moindres que n et au nombre de , il s'ensuit que ce sont effectivement tous les résidus quadratiques de w , positifs et plus petits que lui (n° 96). Il suit de là en même temps , que les nombres N , N', ]S" f etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres \ , R, R', etc., et qui , joints à ces derniers, épuisent les nombres 1,2,3... 72— I, sont tous les non-résidus quadratiques positifs de n et plus petits que lui. Si l*on suppose maintenant que l'équa- tion dont (m, i), (jTif g) sont racines, soit vX' •— « Ax -f. -5 = o , on a ^ = (7W,i) + (//z,^) = — I, £ = (m,ï)x {m,g)'j or (a" 345), (m,i)x(m,g):=(7n,N-\-i)-i'(m,N'+i)-\-(m,N''-^-^)+etc,z=zjr', et peut parconséquent êfre mis sous la forme CL {m, o) + /3 (m, i) + > (m, g). Pour déterminer les coefïiciens o,, ^, y, observons: i*. qu'on a a -^ |3 + ^ = G , puisque le nombre des périodes de PF" est m j 2°. que l^ = y (n" 55o), puisque (//z, i) X {^) g) est une fonction invariable des sommes (jii, i) et {m, g) qui composent la période plus grande {n — i , i); 5°. que tous les nombres N -\- j, IS' -\- i , A'.H- 1 , etc. étant compris entre les limites 2 et tz -}- i , il est clair que nulle période de TV ne coïncidera avec (/z , o), ou qu'il n'y en aura qu'une, par exemple (772, n^\ on aura donc ût= i , ou c=o , suivant que n — i sera ou ne sera pas parmi les nombres N, N't etc.; il suit de là que dans le premier cas on aura a=i, /3 = ? ARITHMÉTIQUES. 4^5 ^=5/=—^^^, et dans le second ct = o, /3 = 5/= — ; et comme j3 et ^ doivent être entiers, le premier cas aura lieu , c'est-à-dire que n — I ou — I se trouvera parmi lesnon-résidusde tz lorsque m sera im- pair, c'est-à-dire lorsque n sera de la forme 4^2+5; le second aura lieu au contraire quand ttz sera pair, c'est-à-dire quand n sera de la forme 4«+i. Ainsi, comme on a (/tz, o^z=.m, et (772, i) + (/7z> ^) = — i, le produit cherché sera donc , suivant les mêmes circonstances , -(/72-f-i), ou ^^^^—m, et l'équation sera , dans le premier cas ^ a;* + ,3:-|-|(/z-f- i) = o, qui donne x-=. — ^ zfc: ^ / \/n , et dans le second x*'{-x — J(7z^i) = o, qui donne :c = — i =i= | V^n, Ainsi, quelle que soit la racine que l'on ait prise pour [i], si Ton désigne par 2 [R] la somme de toutes les racines [1] , [/?] , [B!]f etc., et par 2[iV] celle des racines [iV], [N]' , etc. On aura 2[iî] — 2[iVJ=±v/7z, ou =z±ix/n, suivant que tz ^ i ou ^ 5 (mod. 4). H suit facilement de là que k étant un nombre entier quelconque non-divisible par /z, on a 2 cos 2 cos = ± vn , ou = o , ^ . kRP ^ . kNP . / 2 sin 2 sm = o , ou ± wn , suivant que tz ^ i ou ^ 3 (mod. 4), théorèmes remarquables pan leur élégance. Au reste , nous ferons observer que le signe supérieur a lieu quand k est l'unité, ou plus généralement quand k est résidu qua- dratique de 7z, et le signe inférieur, quand k est non-résidu. Ces théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutôt en acquièrent encore davantage, lorsque n est un nombre composé quelconque; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui deman- deraient trop de développement , et de les réserver pour une autre occasion. 357. Soit x"" — ûoî'""' -f* bx"'~* — - etc. = 0, ou z = o , i'équatiou de degré 77Z qui donne les racines contenues dans 1«, N n n 466 RECHERCHES * période (m, i); on aura a:=(m, i), et chacun des autres coeflî- ciens pourra être ramené à la forme Kih A, B , C sont des entiers (n° 348). Désignons par z' ce que devient z , quand on y remplace (w, 1) par {m, g) , et (m, g) par (m, g*) = (m, 1); l'équation / = o donnera les racines con- tenues dans (m, g), et l'on aura ZZ = =: X, X — 1 On peut donc mettre z sous la forme z^R + S^m, i) + T(^m,g)y où Rf S , léseront des fonctions entières de x , dont les coefficiens seront entiers. Cela fait , on aura z'^R'i-S(^m,g) + T{m, i). Faisons, pour abréger, {m, \) z=z p , (in , g) z=:^ q ', on tire de ces équations 22'= =271—5— r+(r— 5) ip-q)\ donc posant 2R — «S— T'= JT, T — S z=: Z , on a 4X= jr» — (;7 — ^)»2» == jr*q= 7zZ% puisque (/? — ^)* = =h 77 (n" précéd. ) , le signe supérieur ajant lieu quand n est de la forme /^k-\' 1 , et le signe inférieur quand n est de la forme /^k + 3. C'est le théorème dont nous avons promis la démonstration au n° 124. On voit facilement que les deux premiers termes de F" sont a^m -|- a;'""' , et que le premier terme de Z est jc*""* ; quant aux autres coefficiens , qui sont évidemment entiers , ils varient suivant la nature du nombre n, et ne peuvent être soumis à une formule analytique générale. Exemple, Pour «=17, l'équation qui donne tes htiit racines contenues dans (8, i), se trouve être (n° 348), a-8 — ;7jc^+(44-;7 + 29'):i:«--(4yt7 4-5^)a:5-f-(6+3;7 + 57);t^ — (4/? + 3^)jc^-|-(4'-f-/? + 2^)a;* — px-^" I ;=o^ ARITHMÉTIQUESo 467 qui donne /?= a;»-f.4jc'^ + 6x*4.4jr:*-f-i, et partant, jr= 2a;« + a;^ -f- 5x^ 4- jx^ -f- 4^* 4- 7^' + Sx* -f- oî -f- 2 , Z= cr'-f-a?^-f- a?^-f-2^4- a;' -f- a:*-f- a?. Voici encore d'autres exemples : n Y Z 3 •iX -f-i !• 5 20:^ -j-x +2 X. 7 2Jp +a:* — x^a x* -^x. 11 ax^ +j:4 — 2x'-f-2^— ^' — 2 a^ -{-X. i3 2X« -f-x5-f4a-<— x'+4a^4-x-f 2 x* -f-x^-f a» 19 2x9 ^x* — 4r'+3x^+5x5— 5jc*— 3x^ +4x'— X— 2 X* — ^x^+x^-l- x^— x'-f r; a3 2x»'4-x^»— 5x9— 8j:»— 7x^—4x8 -f 4x5 -f-7x4-f-8x3-f.5x*— X— 2 a;'«-f-x9— x^— 2x5— 2x5— x*-f-x*4-x. 558, Passons à la considération des équations du troisième degré qui , dans le cas où n est de la forme 5;^ -f- i , donne les trois pé- riodes de T* termes dont fl est composé. Soit g une racine pri- mitive quelconque pour le module n , et ~ ■ = m qui sera un nombre pairj les trois périodes qui composent H seront (m, i), (^>§) > (j^* s") ^ue nous désignerons par p , p', p' , et qui con- tiennent respectivement les racines is'll^]>[ë'],---[g'-']- Supposons que l'équation cherchée soit x^ — Ax* + Bx — C=: o , on aura A=^P'\'P''^p\ B^pp'-{^pp'+p'p\ Cz=^pp'p% d'où l'on tire sur-lc-cîiamp ^ = — i. Soient a., ^,y, etc., les 3 ^5 HE CHERCHES résidus minima des nombres g^ , é'^ • • • ë"~^ suivant le module n , abstraction faite de l'ordre , et K leur ensemble, en y comprenant i-, soient de même cl , jS', y\ etc. les résidus minima des nombres^*, g^,. . . g""^, et K' leur ensemble; cl", jô", y", etc. les résidus mini' ma de g'', g^ . . .^"~*, et R" leur ensemble. Tous les nombres deiï^ K', K" seront difFérens, et ils coïncideront avec la suite i, 2, 5, . . . 72 — 1. On doit observer avant tout que le nombre n — i se trouve toujours dans K, puisqu'il est facile de voir qu'il est résidu de g* . Il suit de là aussi que les deux nombres h et n — h se trouvent toujours dans la même des trois suites K , K% K" ; en effet, si l'un est résidu de la puissance g \ l'autre sera résidu de la puissance ^'"^^'^ ou â''"^^"', si A > I m. Désignons par le signe {KK) la multitude des nombres de la série i, 2, 3 p — i, qui tant par eux-mêmes qu'étant augmentés de l'unité, sont contenus dans K-, par {KK') la multitude de ceux qui sont contenus dans K par eux-mêmes , et dans K' lorsqu'on les augmente de l'unité; on jugera assez par là de la signification des sjmboles {KK")y (K'K), (K'K'), {K'K") , iK'K), (K'K') , {K"K''). Cela posé, je dis d'abord qu'on a (KK'):=:(iK'K). Supposons en effet que h, h', h", etc. soient tous les nombres de la suite i,2,3,....;o— I, qui par eux-mêmes sont contenus dans K et dans K' lorsqu'on les augmente de l'unité ; c'est-à-dire que ^-j_ I , h' -i- i, h" -j- 1, etc. sont supposés tous contenus dans K', il est évident que n — /z— -i, n — h' — i, n — h' — i, etc. seront tous contenus dans K' , et que ces nombres augmentés de l'unité, savoir, n — h, n — h',n — h", etc., le seront dans K; d'où il suit que (^K.'K) n'est certainement pas plus petit que (KK'); mais comme on démontre de la même manière qu'on ne peut avoir ÇKK'X(K'K), il s'ensuit qu'on a nécessairement {KK'):={K'K), et de même (^KK''):={R''K') , (A'A") = (Z^"^'). Ensuite , comme en considérant un nombre quelconque de K, n — I excepté , le nombre immédiatement plus grand doit être contenu ou dans K , ou dans K' , ou dans K" , il s'ensuit que la somme {KK) + {KK') + {KK") = 77Z — I , <■ est- à-dire 3 au nombre de termes de K diminué d'une unité. Par ARITHMETIQUES. 469 une raison semblable , on aura Développons maintenant d'après les règles du n' 545, le produifc pp^ en (m , a'-f- i) -H (m, /S'4- i) -f- (m, ^-f- 1) + etc. ; on verra facilement que cette expression peut se ramener à la forme (K'K)p + {K'K')p' + (K'A') p'-, et comme (n* 345) le produit p^p" naît de pp\ en changeant (m, i), 0^f§^)> C"^'ê^O ^^ i^> s)f Q^' ê"")» ("^> 0 respectivement, c'est- à-dire, p, p' , p" , en p' y p", pf on aura j/p' = {K'K)p' + («'A')/H- {K'K')p , et de même pp" = (K'K)p' + (K'K')p + (K'K")p'; d'où résulte sur-le-champ B z=, m {p •■{' p' '{' p") z=. — m. De plus , comme on aurait pu développer directement z?;»" de môme qu'on a développé pp' , ce qui aurait donné pp" = {K"K) p -f. {K^K!) yL^'-f {K'K') p\ et que cette expression doit être identique avec la précédente , il s'ensuit qu'on a nécessairement (A'A) = {Ji' K') et (A" A'") = ( ^' A). Si donc nous faisons (A-'A') = (A' A") = a, (A'A") = (A' A) = (AA') = b , {K'K') = ( A'A ) = (A A") = c, nous aurons (A A) + (AA') + (AA') = (AA) + Z, + c = 77i — i , et a'\-h -\- cz=.vi i d'où {KK)^a-'i. Desorte que ces neuf quantités inconnues se réduisent à trois, ou plutôt à deux, à cause de l'équation a -^ b -{' c = m» Enfin il est clair que le quarré p*^ se développe en 470 ' RECHERCHES Parmi les différens termes de cette expression , on trouvera (/«, ri) qui se ramène à {piy o)=:m', le reste se réduira évidemment à d*où l'on tire ... p^:=:zm'\-(a — i) yp -}- ^^ -f- cp'» Ainsi , par les réductions précédentes , nous avons trouvé les quatre équations p* = 77Z + (^ — ^)p + ^p' -h ^p" t PP = ^p-h cp' -f- ^z/, ;?/ = cp-\- ap' + Z'/, ; p'p"^ ap -{- ph' -^ cp' , où les trois inconnues a, b, c sont liées par la relation a-\-b-{'Cz=:m (I) , et sont certainement des nombres entiers. On tire de là C=:p X p'p''-=.ap*-\' hpp''\' cpp":=i am + (a'-f- ^*+ c* — a)p -f- {cLb'\-hc'\-ac)p' -{- {ah^bc-^^ic) p". Mais comme pp'p" est une fonction invariable de p, p\ p", les coefficiens de ces trois périodes doivent être les mêmes (n" 35o), ce qui donne une nouvelle équation «•+Z>* + c* — a=^ab'\'aC'\'bc (II), et partant C =«/7z 4- (ab-^ac-^-bcXp+p'-i-p") =:a' — hc (Ill) , à cause de l'équation (I), et de l'équation p-^p'-^p" ^=^ — i. Quoique C dépende de trois inconnues qui ne sont liées que par deux équations, la condition qui exige que a, b, c soient des entiers , suffit pour les déterminer. Afin de le prouver, nous mettrons l'équation (II) sous la forme 4-l2^-i-I2C-f-4* qui devient 4n = (6a — SZ' — 3(?— 2)* -f- 2j (b —cy., ARITHMÉTIQUES. 471 à cause de 72 = 3/72 4-1=3^4- 3^+ 5c-}- 1 ; ou, en faisant 2a — b — cz=^7i, II suit de là que le nombre 4'z > c'est-à-dire le quadruple de tout nombre premier de la forme Sm-j-i, peut être représenté par la forme x^4-27J^j et quoique ce résultat puisse se tirer sans diffi- culté de la théorie générale des formes binaires, il n'en est pas moins étonnant qu'une telle décomposition Soit liée si intimement avec les nombres a, b, c. Or nous démontrerons^ comme il suit, que le nombre 4^ ne peut être décomposé que d'une seule ma- nière en un quarré et le produit d'un autre quarré par 27 (*). Si Ton supposait /» 4- 27^/^ = 4/2 et /*4-27tt'* = 4«, on en tirerait I* (tf—- 2'JUUyr^2j(tu'-{' /'//)' = ! 6/2* 2' («'4- 2juiiy'{- 2 7 (///'— fuy = 16/2* 5° (tu'-{-ifu){tu'—i'i/)=4n(u'''—u^). La troisième équation prouve que n, qui est un nombre premier, divise l'un des deux nombres tu'-\-fu, tuf — t'w, mais la première et la seconde font voir que chacun de ces nombres est plus petit que 72 j donc celui que 7z divise est nécessairement nul, ce qui donne u'* — 2^*=o, ou u^z=:u'^ et /"=i'*, c'est-à-dire que les deux décompositions sont les mêmes. Si donc nous supposons connue la décomposition du nombre 4^ en un quarré , et le pro- duit d'un autre quarré par 27, décomposition que l'on peut trouver soit par la méthode directe de la Section V, soit par la méthode indirecte des n°^ SaS, 524', si, par exemple, on a 4«=^'4-27A^% lesquarrés(3A — 2)% (b — c)* serontdéterminés, et on aura deux équa- tions aulieu de l'équation II. On voit clairement, non-seulement que le quarré (3^ — 2)* est déterminé , mais que la racine Sk' — 2 l'est aussi j en effet, k devant être un nombre entier, on devra prendre 3A— •2=4"-^ ou s= — M, suivant que M sera, de la forme (*) Cette proposition peut être démontrée plus directement par les principe? de la Section V. 472 RECHERCHES Sz-f-i ou 5z-|-2 Ç^^). Cela posé, comme on a A: = 2a — ^«— c= 5fl — iw , on en tire d'où et ainsi tous les coefficiens de l'équation cherchée se trouvent déterminés. Cette formule devient encore plus simple, en substituant pour N'' sa valeur tirée de l'équation (3Â:— 2)* 4- 27iV^*=: 4^^5=12772+4; ce qui donne Cette valeur peut encore se représenter sous la forme e=(3;f— 2)iV»+A'— .2;£»H-A — Â772+77Z, qui est d'une application moins facile, mais qui fait voir par elle-même que C est un nombre entier, comme il le faut. Exemple, Pour 72= 19, on a 4^= 49 + 27 > d'où 3Â: — 25=7, A;=3, C=|(6-f-57)=7 , et l'équation cherchée est oj^+cr'* — 6x — 7 = 0, comme ci-dessus (n* 35 1). De même, pour 72 = 7, i3, 3i, 37, 45, 61, 67, on trouvères^ pectivement Â:=ii, — i, 2, — 3,-2, i, — i et C — i, —I, 8, —II, —8, g, —5. Au reste , quoique le problème que nous venons de résoudre soit (*) M ne peut être de la forme 3z , car alors 4^ serait divisible par 3. Quant à Varabiguité de signe qui porte sur 6— c, il est inutile de s'y arrêter, et même cette détermination est impossible par la nature même de la chose , puisqu'elle dépend du choix de la racine g-, de manière que pour quelques racines primi- tives 6 — c est positif, tandis que pour d'autres il est négatif. assez ARITHMETIQUES. 475 assez compliqué, nous n'avons pas voulu le supprimer , tant à cause de i'élégance de la solution, que parceque les artifices qu'il nous a donné occasion d'emplojer peuvent être d'une très-grande utilité dans d'autres problèmes. 359. Les recherches précédentes avaient pour but de trouver les équations auxiliaires*, nous allons maintenant exposer sur leur réso- lution une propriété digue de remarque. On sait que tous les travaux des plus grands géomètres ont échoué contre la résolution générale des équations qui passent le premier degré, ou pour mieux définir l'objet de la recherche, contre la réduction des équations complètes à des équations à deux termes, et il est à peine douteux si ce problème ne renferme pas quelque chose d'im- possible, plutôt qu'il ne surpasse les forces actuelles de l'analjse. (Voyez ce que nous avons dit sur ce sujet dans le Mémoire in- titulé Demonstratio nova, etc, p. 22). Il est certain néanmoins qu'il y a une infinité d'équations composées dans chaque degré , qui admettent une telle réduction, et nous espérons faire plaisir aux géomètres, en prouvant que nos équations auxiliaires sont toujours dans ce cas. Mais à cause de l'étendue du sujet, nous ne présenterons que les principes les plus importans qui sont né- cessaires pour démontrer cette possibilité , différant à un autre temps l'exposition plus complète. Nous mettrons en avant quelques observations générales sur les racines de l'équation a:'— 1=0^ en comprenant le cas où e est un nombre composé. 1**. Ces racines sont données, comme on le sait, par Içs élé- mens, par la formule kP , . . kP cczzzcos — -f-isin — , e e dans laquelle on doit prendre pour e les nombres o, i , 2, 3...^— i; ou d'autres nombres quelconques congrus avec eux. Une seule racine est =1 , celle que l'on obtient en faisant ^=0, ou plus généralement A^o (mod. e) -, mais à toute autre valeur de h ré- pondra une valeur de x différente de i. a". Comme on a ^C0S--H-2Sip-;^J =ÇQS--4-iSin-— , Oo» 4r4 RECHERCHES si- /? es6 une racine qui corresponde à une valeur de k première avec e , le terme de numéro e dans la progression i?, i2% i?% etc. sera =i, mais tous les autres seront différens de i •, il suit de là que fontes les quantités/?, 7?% i?% etc. sont différentes, et comme chacune satisfait à l'équation a;' — i=o, elles sont les racines de cette équation. 3% Enfin dans la même supposition, on a pour toute valeur de A entière et non divisible par c\ en effet cette j j^« expression équivaut à -, et le numérateur de cette fraction 1— R est =0, tandis que le dénominaleur ne Test pas. Mais quand A est divisible par e, cette somme est évidemment •:=.£, 36o. Soit, comme dans tout ce qui précède, n un nombre premier, g une racine primitive pour le module w, et n-—\ les produits de trois nombres entiers positifs a, jS, y» Pour abréger, nous comprendrons en même temps dans nos recherches le cas , où l'on aurait a ou ^=1 ; quand ^==1, il faut remplacer (>? Oj (>> ë)i ^^^' P^^ \}\y Vë\i ^^^' Supposons donc que les â périodes de ^y termes, (/3>, 1 ^ , {^y, g) , (^>, g") ((By, g^ ) soient connues, et que l'on veuille en déduire les valeurs des pé- riodes de y termes, opération que nous avons réduite plus haut à la résolution d'une équation complète du degré Q> , et qu'il s'agit maintenant de ramener à une équation à deux termes de même degré. Pour abréger, nous représenterons respectivement les va- leurs des périodes {y>^)^{y>g)Ay>g }>'"(y^g ) p^^ a,ù,c,...m, (yyg)>(y>ë )' (y^g ,) a, i ....... m, (y,g%(y>éi )y {}>§' ) ^'^^ "'' jusqu'à celles qui composent la période {^y, g ). j*. Soit R une racine indéfinie de l'équation :c — «1=0, et ARITHMÉTIQUES. 475 supposons que le développement de la puissance /S de la fonction / = a + i2Z> + i?V 4-. ... iR^"~'w. soit, par ce qui a été dit (n° 545) , iV^+^a -^Bb -^ Ce -^Mm + AW -\- B'U + Ce' +M'm' ._j. + A'a" + B"b'' + C V -^M'm'i '^ * + etc. où les coefficiens N , A, B , A\ etc. seront des fonctions ration- nelles entières de R» Supposons aussi que la puissance /3 des deux autres fonctions u=:R^a'\-Rb-^R*e -f/?'"~'^, u'z=z b-j-Re-i-R'd.. . . .-\'R^~^m'^R^~"a se développe en V et V, on verra facilement (n' 35o) que u' se tirant de t en changeant a,b, c . . , .7?i tn b » c , d , . . .a respec^ tivement , on aura ]>f^Ab -i-Be ^Cd -i-Ma ^ + A'b' + Be' + Cd' + M'a' f __ + ^'^' + B'e' -f- Cd" + MV .' ^ - •'" 4- etc. ) d'ailleurs uz=.Ru^ , ainsi U zrz R V \ et comme R = i , les coefficiens correspondans seront les mêmes dans Z7 et V \ enfin, comme ^ et « ne diffèrent qu'en ce que a est multiplié par l'unité dans ti et dans u par R , on voit facilement que les coefficiens correspondans, c'est-à-dire ceux qui multiplient les mêmes pé* riodes, sont les mêmes dans T et dans Z7, et partant dans T et dansXi^', On a donc A—Bz=,Cy etc.==ilf, A'=:B'z=C', etc., ^"=5''=C'', etc. etc. et partant, T se trouve réduit à la forme r = iV + v^(/3>, i) + ^'C5>^,5-) + ^'(g;.,^-) 4- etc. , oil chacun des coefficiens iV, A, A', etc. 'peut être ramené à la forme •^7^ RECHERCHES pyp'jp'f etc., étant des nombres entiers donnés. 2". Si Ton prend pour R une racine déterminée de l'équation X — 1=0 (dont nous supposons avoir déjà la solution), et telle que sa puissance /S soit la plus petite qui soit égale à l'unité , T sera aussi une quantité déterminée dont on pourra tirer t par l'équation à deux termes t — !r=o. Comme cette équation a /3 racines. t, Rt, RH Ri ^ y le choix de la racine que l'on doit employer reste douteux; mais on peut prouver comme il suit que cela est indifférent. On doit se souvenir que , toutes les valeurs des périodes de ^y termes étant supposées connues, la racine [i] n'est déterminée que par la con- dition d'être une des ^y racines contenues dans (/3^, i), et que parconséquent nous sommes parfaitement maîtres de représenter par a la valeur d'une quelconque des périodes qui composent ifiy, i) ; et si la valeur d'une de ces périodes étant représentée par a , on a / = T, et qu'ensuite ou représente par a la valeur de la période que l'on représentait par b,c,df..,.a,b, deviendra h,c. . ,m, a, ce qui donnerait alors î = ^ = xR "~\ De même, si l'on veut représenter par a la valeur de la période qui était auparavant représentée par c , la valeur de t deviendra rR "~" , et ainsi de suite ; t pourra donc être supposé égal à une quelconque des quan- tités t, tjR , iR , etc., c'est-à-dire à celle qu'on voudra des racines de l'équation oc — T'= o , pourvu que nous suppo- sions que l'on prenne pour (y^ i), tantôt l'une, tantôt l'autre des périodes contenues dans (/Sj/, i). 3\ Lorsque la quantité t a été déterminée de cette manière , il faut chercher les jS — i autres qui se déduisent de / , en sub- stituant successivement R% R\ R^, ,,.R à la place de /î, c'est- à-dire , ARITHMÉTIQUES. 477 fz=,a + R'b + iî^c . • • -h R^^'^^m , etc. On connaît déjà la dernière , puisqu'elle devient évidemment = «-f-^ + c.., + 77z== (^(^yj i) , et les autres se détermineront comme il suit. Si, en suivant les règles dun" 545, on forme le produit t "~V, comme (i*.) on a formé t , on prouvera d'une manière absolu- ment analogue à la précédente, qu'il peut se ramener à la forme A^+ ^,(^y, i) +^/(/3>, g) + ^:((iy, r) + etc. = 2", iV",, ^, , ^/, etc. étant des fonctions rationnelles et entières de R, et parconséquent T' une quantité connue; d'où l'on tire /'=-;^ De même si le développement du produit t f est supposé égal à T% T" aura une forme semblable, et une fois sa valeur con- nue , on aura ^"^-^ ; f se déterminera par l'équation /"= -y=r- , où T' sera une quantité connue, etc. Cette méthode cesserait d'être applicable, si l'on pouvait avoir tr=o, ce qui donnerait T^T'zrr T''=etc. =o; mais nous pour- rions prouver que cette supposition est inadmissible, si nous n'étions forcés d'abréger. Il existe aussi des artifices particuliers rrv rriir par lesquels les fractions -rp^-jn etc. peuvent être converties en fonctions entières de i?, et des méthodes plus abrégées pour trou- ver t'y t", etc. lorsqu'on a ct=:i; mais nous ne pouvons nous ar- rêter à ces détails. 4'. Enfin, dès que l'on connaîtra t, t'y f, etc., on aura sur- le-champ, par la troisième observation du n°. précédent, t^if^f-\'eic,z=ifia, équation qui donnera la valeur de a, et de cette valeur on pourra (n" 546) déduire celle de toutes les périodes de y termes. Les valeurs de b, c, d, etc. peuvent aussi se trouver, comme chacun pourra s'en assurer par une légère attention, au moyen des équations suivantes ; 478 RECHERCHES pb:=R^'"t + R^~' ^/'+ R^ ""^^H- etc. , d25— 2 1,2^— 4y , 132/2— 6 „ /3c = xi ^ + /t r+jK i + etc. , /3J=:i?^^"'^/ + i2^^V4-etc., etc. Parmi les nombreuses observations relatives à la reclierche pré- cédente, nous ne nous arrêterons que sur une seule. On voit facilement que T obtient le plus souvent une valeur imaginaire de la forme P-\-iQ, desorte que la solution de l'équa- tion dépend de la division en /3 parties, i* d'un angle dont la tangente est ^j a* d'un rapport qui est celui de i à V^C^^" -f- Ç*) > et il est digne de remarque que la valeur de v/(-P'+ÇO peut toujours s'exprimer rationnellement par des quantités déjà con- nues, desorte que l'on n'a besoin que de la division de l'angle et de^i'extrtacion d'une racine quarrée (nous ne faisons qu'indiquer cette remarque, que nous ne pouvons détailler ici ), par exemple, pour /3 = 5 on n'a besoin que de la trisection de l'angle, tandis que pour la plupart des équations du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, on ne peut éviter d'emplojer la trisection de Tangle et du rapport. Enfin, comme rien n'empêche que nous ne supposions flt==i, ^=1, et partant /3 = /z— i, il est évident que la solution de l'équation x" — 1=0 peut être réduite à la solution de l'équa- tion à deux termes du degré n — i, x"^' — 7'=o , où T se déter- minera par les racines de l'équation x"~^ — 1=0. D'où il résulte, à l'aide de l'observation que nous venons de faire, que la divi- sion du cercle en n parties exige: 1°. La division du cercle en n — i parties; 2'. La division en 77 — i parties d'un arc qui peut se construire, lorsque la première division est faite -, 5\ Enfin l'extraction d'une racine quarrée, et l'on peut prouver que cette racine est toujours [/n, 35 1. Il nous reste à examiner de plus près la liaison qui existe entre les racines Q. et les fonctions trigonométriques des ARITHMETIQUES. 479 angles P aP 3P (»-~i)P 11' n ' n n La méthode que nous avons exposée pour trouver les racines H, laisse de l'incertitude sur celles de ces racines qui répondent à ces difFérens angles, c'est-à-dire, sur celle que l'on doit égaler à cos — h i sin —, celle que l'on doit ésaler àcos^ — f-/sin — .etc.- à moins que l'on ne fasse usage des tables de sinus, ainsi que nous l'avons indiqué, ce qui peut ne pas sembler assez direct. Mais cette incertitude disparaît aisément, si l'on fait attention que les cosinus des angles P 2P 3P (n-^i)P ■ n ' 71 ^ 71 ' ' ' ' ' zn ' vont continuellement en décroissant, pourvu que l'on tienne compte du signe, et que les sinus sont positifs, tandis que pour les angles (;i-.i)P (n— a)P (n— 5)P (n+Qp- 71 ' Il ' n 271 ' qui ont mêmes cosinus que les premiers , les oinus sont tous né- gatifs , quoique de même grandeur que les autres. Ainsi , parmi les racines Q. , les deux qui ont même partie réelle et pour les- quelles cette partie est la plus grande, répondront aux angles — et ^^ —, savoir, au premier celle ou la quantité imaginaire est positive, au second celle où elle est négative. Parmi les n — 5 autres racines, les deux qui auront la plus grande partie réelle répondront aux angles •^^— , ^ ~" ^ ^ et ainsi de suite. D'ailleurs, aussitôt que l'on connaît la racine à laquelle répond P l'angîe — , on pourra distinguer les autres, en remarquant que 1 j' • r^-i . zP 5P 4P ^ si on la désigne par [A], aux angles — , — , -^— , etc. repon- dront évidemment les racines [2Â], [SA], [4^^]? etc. Ainsi dans l'exemple du n° 353, on voit sur-le -champ qu'il n'y a pas d'aulre racine que [11] qui puisse répondre à l'angle y^ P , et à l'angle -j-fP la racine [8]. De même aux angles y^P,\^P, —^P» f|P, etc. répondent les racines [3], [16], [i4]; P] , etc. Dans 480 RECHERCHES Texemple du n* 354, l^. racine [i] répond évidemment à l'angle ~P , \di racine [a] à l'angle rf^f etc. Ainsi de celte manière les sinus et cosinus des angles — , — , etc. sont entièrement dé- terminés. 36i. Quant à ce qui regarde les autres fonctions trigonométriques de ces angles , ou pourrait les tirer des valeurs des sinus et co- sinus, par les méthodes connues, savoir, les sécantes et les tan- gentes en divisant resJDectivement l'unité ou les sinus par les cosinus, et les cosécantes et les cotangentes, en divisant le rajon ou les cosinus par les sinus. Mais le plus souvent il sera plus commode d'emplojer les formules suivantes, qui n'exigent que, de simples additions. Soit 0) un quelconque des angles — , — ^" , et cosce) + /sinûe) = /?j R sera une des racines fi, et l'on aura cosa,=:t(iî-|-^)=-^, sma,==^(i?-.^)=-^^, et partant seca=Y:^, tanga) = -^^S cosec&)=^rzr» ^°^^==":Rs:rr- Nous allons donner le moyen de transformer les numérateurs de ces quatre fractions , de manière à les rendre divisibles par les dénominateurs. !•. Comme on a R:=^R'"^' = R"'^', il en résulte 2JR=/?H-i?»"-^', expression qui est divisible par i+jR% puisque « est un nombre impair j donc séciy=:/î— ./Î^H-iî^ — /?' + +i?"-' ; et partant , puisqu'on a sin co = — sin ( 27z — i ) &> , sin ^m =; — sin(2/z — 5)ce), etc., et parconséquent sin&) — sinSoj+sinSo). . . . + sin(2/z — I )]dtz cos ncû , le signe supérieur ou inférieur ayant lieu, suivant que n est de ARITHMÉTIQUES. 481 de la forme 4«-fi ou 4/z-f-3. Cette formule peut évidemment se présenter comme il suit : séca)=db{i — 2cos2ct)+2cos4« d=2cos(« — i) &)}. 2\ Substituant de même i — i?"-^* pour 1— i2«, on trouve tangdy=^(i— ./?•-[- i24__/j6 —R^"), tangû8) = 2(sin2:e) — sin4»4-sin6û) qpsin(7î— i)a)}. 5'. Comme on a i-f-iî'+jR^ + i?*''-*=o, on en tire expression dont les diftérentes parties sont divisibles par 1 — i?*, d'où il résulte =/z— i+(/z— 2)/2*-|-(7z--3)/î'^. . . .-j-/l»''-45 si l'on multiplie par 2, que Ton retranche le produit (tz— i) (i^R'-^R^ +iî^"-*)=o, et que l'on multiplie de nouveau par i2! , on a d'où résulte sur-le-champ, cosécû)=^ ((/z— i)sina4-(/z— 3)sin3a>. .... .— (/z— .i)sin(2;z— .i)&)} = 7, {(«— Osinw-f-C«— 5>in5<» — etc. + 2SiD(/z— 2)2,>} , formule qui peut encore se présenter ainsi cosécût)=— ^{2sin2aj+4sin4. . .4-(/z— i)sin(/z— i)i)). 4». En multipliant par i-j-i?* k valeur de -Ar que nous avons donnée plus haut , et en retranchant le produit ('2— .0(i-f-^' + iî^+ /?"r-») = o. Ppp 48x RECHERCHES il vi«At d'où COt&> = -| (n— 2)suiaei»+(«— 4)«i»4«+("-^0«in^«' — (« — a)sin(2n-- 2«)} n '^ • z=z~{tr9--â)è\n2»'\-{nr^4)^m^*^ -|-3sin(n— 3)»-}-sm(n— i)®} , formule qui peut encore se présenter ainsi qu'il suit: cota) = — --{sinaj-i-5sin3ie> \r(n — 2)sin(7z — 2)0)}. 365. De même qu*en supposant ?i — i =^, la fonction Xpeut être décomposée en e facteurs de degré y^ aussitôt que l'on con- naît les valeurs des e périodes de / termes (n' 348) , si nous sup- posons maintenant que Z = o soit une équation du degré tz— i dont les racines soient les sinus, ou toute autre fonction trigo- nométrique des angles ^, ^^"-^ • > *» fonction Z pourra se décomposer en e facteurs de degré f. Soient p^=-ifi 0» V' y f* ®*^' ^^^ périodes de y termes dont ^ est composé, et que Ptjp'x v" > ^^^* contiennent respectivement les racines r^-,.,of [i], W, \p-\, W, efc.5 M, \h'-\Xc% etc.j [a"], [^T, \c% etc.5 supposons encore que l'angle a^ réponde à la racine [i], et par- tant les angles acjù , hcù y etc. 5 a'cù, b'cù, etc. j a'où^ h'o), etc. ' -4-•■^. î ■ i »ux racines M, [b-\, eic.y {a'-\rib'-\, etc.; [a"], [Â"], etc. On verra facilement que ces angles pris ensemble coïncident (^) , quant à leurs fonctions trigonométriques , avec les angles P zP 3P {rt—i)P^ C") Deux angïes coïncident sou3 ce point de vue, quand leur différence est égale à la circonférence ou à un de ses multiples , c'est-à-dire , lorsqu'ils sont congrus suivant la circonférence , si nous voulons prendre rexpresaion de congruence dans un sens plus étendu. I ARITHMÉTIQUES. 4^5 si donc la fonction dont il s'agit est désignée par le signe

'û)) etc. = Y\ {x — (pa"a)) {x — ^b'ùù) etc. = Y", etc. , on aura nécessairement rrr' =^. Il nous reste à faire voir que tous les coefficiens, dans les fonctions Y, Y' , Y", etc. peuvent être ramenés à la forme A-\-B (/, i)-+-C(/, g)-\-D(if, ^«)....+ i:(/, ^-")-, car alors ils devront être regardés comme connus , dès que l'on connaîtra les valeurs ^Q p , p\ p" j etc. Or nous le prouverons de la manière suivante. Le n° précédent fait voir que de la même manière que l'on a les autres fonctions trigonomé triques de 1'a.ngle (w sont réduc- tibles à la forme et l'on voit sans la moindre difficulté , que la même fonction pour l'angle kcc est alors A'-\- B' \kcù'\ + C \kùù'\^ 4- B'\_k(aJ + etc., "k étant un entier quelconque. Or comme les différons coefficienj de Y sont des fonctions invariables rationnelles et entières de r^(ày ], etc., et partant (n* ^47) réductibles à la forme il en est de même des coefficiens Y' , Y", etc. 564. Nous ajouterons encore quelques observations à l'égard du problème du n° précédent. 1°. Comme les racines de la période P'=z(^f, a) entrent dans les coefficiens de Y' , de la même manière que les racines de 4a période P eirtrent dans les coefficiens de Y , il snit du n' 547 que Y' .peut se déduire de Y y pourvu que l'on substi- 484 RECHERCHES tue dans T {f> «')> (/ ^'ë)> {f> ^'è% etc. au lieu c1e(/, i), (/ ^), (/, ^), ^ic. De la même manière Y" se déduira de J" en substituant (/ O. (/. ^"ë)> (/. ^^V)> etc. au lieu de(/, i), (/, ^), (/,^»), etc. Ainsi, dès que la fonction J^ est trouvée, les autres suivent de celle-là sans aucune peine. 2". Soit J"=a;-'"--a^^— +/3:i;-^-»— etc. Les coefficiens a, /3, 5., etc. seront respectivement la somme des racines de l'équation jr==o, la somme de leurs produits deux à deux, etc. Mais souvent ces coefficiens se déterminent plus com- modément par une méthode semblable à celle du n° 549, c'est- à-dire, en calculant la somme des racines =±(pà), ) (x — :pc/a), etc., y=(x — (piir''co) (x — (pb,"co) (x — (pc,'a>), etc., on aura V=iy^, 1^"=^'% etc. , et la fonction Z elle-même sera un quarré (2^0/^2 n" 3 57) dont la racine est égale hyy-y", etc. Au reste, on voit facilement que j", y", etc. se dérivent de y de la même manière que JT', Y', etc. de i^ (I)j et que chaque coefficient dejy peut aussi se ramener à la forme A + B(f, i) + C(/,^)-fZ)(/,^^), etc., puisque les sommes des puissances des racines de l'équation ^^-^r^o sont les moitiés des sommes des puissances des racines de l'équa- tion T'z=zo, et partant réductibles à cette forme. Dans les quatre autres cas, JT sera le produit des facteurs x^ — (^c*>y f X- — (^]H-7[« — ^] pour (4» ^)> (4> lo). Or il est évident que le produit des deux premiers facteurs est / , et ce- lui des deux derniers y' , Exemple II, Si, toutes choses d'ailleurs égales, (p est supposé désigner le sinus, ensorte qu*on ait ■^ 4""^ T^ I 6 "^ 3i "^ T^25B-^ Sia-*- T^2Q48'*' Aogb*^ 1^65536' à décomposer en facteurs du huitième degré y Qty, y sera le produit des quatre facteurs du second degré ^a — ((pu))', ^* — (, on tire 56 = 1-^(8, 0-^(8,3); 58=14-^(8, i)~^(8,o), et partant _^ = ^»_{2-:(8, ,)}^s+{i_^(8, i)+i(8, 3)}^« y se déduit de y en échangeant entre eux (8, i) et (^,5), desorte que par la substitutioa des valeurs de ces périodes. ARITHMÉTIQUES. ifif on a Ort pourra de la même manière décomposer Z en quatre facteurs , dont les coefficiens s'exprimeront au moyen des valeurs des pé- riodes de quatre termes-, le produit de deux d'entre eux sera y, le produit des autres y', 565. Nous avons ainsi réduit par les recherches précédentes la division du cercle en n parties ^ si n est un nombre premier, à la solution d'autant d'équations qu'il j a de facteurs dans le nombre n — i, et dont le degré est déterminé par la grandeur des facteurs. Ainsi, toutes les fois que n — i est une puissance de 2 , ce qui arrive pour les valeurs de n 3, 5, 17, 257, 65537, etc., la division du cercle est réduite à des équations du second degré seulement, et les fonctions trigonométriques des angles ^^ £1!^ etc. peuvent être exprimées par des racines quarrées plus ou moins compliquées, suivant la grandeur de n; donc, dans ces différens cas, la division du cercle en n parties, ou la descrip- tion du polygone régulier de n côtés, peut s'exécuter par des constructions géométriques. Par exemple, pour 7Z= 17, on tire facilement des n« 354, 56 1 cos~=-i^+iV\/i7+r«\/(34-2V/i7)-|\/{(i7+3v/J7)-V(34-2V/i7) '^ -2\/C344-2\/i7)}; les cosinus des multiples de cet angle ont une forme semblable, les sinus ont un radical de plus. Il y a certainement bien lieu de s'étonner que la divisibilité du cercle en 3 et 5 parties a^^ant été connue dès le temps à'Euclîde, on n'ait rien ajouté à ces découvertes dans un intervalle de deux mille ans, et que tousles géomètres, aient annoncé comme certain, qu'excepté ces divisions et celles qui s'en déduisent (les divisions en 2,1 5, 5. 2, 5. 2 , ï5.2^ parties) , on ne pouvait en effectuer aucune par des constructions géométriques. 488 RECHERCHES Au reste on prouve facilement que si un nombre premier n est=2'"-f-i, le nombre m lui-même ne peut avoir d'autres di- viseurs que 2 , et qu*il est parconséquent de la forme 2 . En effet si m était divisible par un nombre impair ^ plus grand que l'unité, et qu'on eût ainsi m = (^>), 2'"+i serait divisible par 3 H-i , et partant composé. Toutes les valeurs de n qui ne con- duisent qu'à des équations du second degré , sont donc contenues sous la forme 2 +1; ainsi les cinq nombres 3, 5, 17, 257, 65537 s'en déduisent en faisant v = o, i, 2, Z, ^ ou mz=.i, a, 4 S, 16. Mais la réciproque n'est pas vraie , et la division du cercle n'a lieu géométriquement que pour les nombres premiers compris dans cette formule. A la vérité Fermât, trompé par l'induction , avait affirmé que tous les nombres compris sous cette forme étaient nécessairement premiers; mais Euler a remarqué le premier que cette règle était en défaut dès la sup- position y = 5 ou mz=.'^2, qui donne 2=5"+ 1=4294967297, nombre divisible par 641. Toutes les fois que n — i renferme des facteurs difPérens de 2, on est toujours conduit à des équations plus élevées, par exemple^ à une ou plusieurs équations du troisième degré , si 3 est une \ ou plusieurs fois facteur*, à des équations du cinquième degré , quand n — i est divisible par 5 , etc., et Kous pouvons démon- trer EN toute rigueur QUE CES ÉQUATIONS NE SAURAIENT EN AUCUNE MANIÈRE ETRE EVITEES NI ABAISSÉES , et quoique les limites de cet Ouvrage ne nous permettent pas de développer ici la démonstration de cette vérité, nous avons cru devoir en avertir, pour éviter que quelqu'un ne voulût essayer de réduire ; à des constructions géométriques d'autres divisions que celles V données par notre théorie, et n'emplojât inutilement son temps ,[ à cette recherclie. . >i I 566. Si l'on veut diviser le cercle en a parties, a étant un nombre premier et a >» 1 , il est aisé de voir que la construction géométrique n'est possible qu'autant que <2=2. En effet, si rt>2, outre les équations nécessaires pour la division du cercle en «parties^ il ARITHMÉTIQUES. 489 îl faut encore résoudre ct—i équations du degré a, que l'on ne peut non plus ni éviter, ni abaisser. Ainsi le degré des équa- tions nécessaires se connaîtra généralement par les facteurs pre- miers du nombre (a--i)/"" (j compris le cas où ct==i). Enfin si l'on doit diviser le cercle en Nz=:^ah^ ,.. parties, a, b,c, etc. étant des nombres premiers, il suffit de savoir effectuer les divisions en a\ b\ c^'etc. parties (n* 336). Ainsi, pour connaître le degré des équations nécessaires, on doit consi- dérer les facteurs premiers des nombres . (^-.i>*-\' (Z'-OÔ^'"', C^-Oc^^', etc., ou, ce qui revient au même, les facteurs de leur produit. On remarquera que ce produit indique combien il j a de nombres moindres que N et premiers avec lui (n-» 38). Ainsi la division ne pourra s'exécuter géométriquement que lorsque ce nombre est une puissance de 2J mais quand il renferme d'autres facteurs premiers p, v\ etc. , on ne peut éviteçjç ^ a.ucurie. manière les équations de degré py p', etc. • Il suit de là généralement que pour que la division géométrique du cercle en N parties soit possible , iV doit être 2 ou uhe puis- sance de 2, ou bien un nombre premier de la forme 2'"-f-i , ou encore le produit d'une puissance de 2 par un ou plusieurs nombres premiers différons de cette forme ; ou d'une manière plus abrégée, il est nécessaire que N ne renferme aucun diviseur im- pair qui ne soit de la forme 2'"-|-i, ni plusieurs fois un même diviseur premier de cette forme. . ' : On trouve de cette manière, au-dessous dé 3oo, les trèrite-huit valeurs suivantes pour le nombre N \ 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, i5, 16, 17, 20, 24, 3o, 32, 34, 40, 48, 5i, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, ifio, 128, i36, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272. Qqq # ADDITIONS DE L'AUTEUR. iV" 28. La solution de l'équation indéterminée ao: + ^/= dbi n'a pas été trouvée pour Ta première fois par ^z//^r, comme nous l'avons dit, mais par Bachet de Mezîriac, géomètre du dix- septième siècle, célèbre par l'édition de Diophante qu'il a pu- bliée avec des Commentaires. C'est Lagrange qui lui en a restitué l'honneur, dans ses Additions à V Algèbre d'Euler, p. 525, où il indique en même temps le fond de la méthode. Bachet a publié sa découverte dans la seconde édition de son ouvrage intitulé : Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, 1624*, elle n'existe pas dans la première édition (im- primée à Lyon en 17 12), qui est la seule que j'aie vue, maiè elle y est annoncée. N'" i5i, 296, 297. i^^^Tzr/r^ a nouvellement exposé sa démons- tration dans un excellent ouvrage intitulé : Essai d'une théorie des nombres, p. ^i4 ^^ suit^,, mais cependant de manière à n'y rien changer d'essentiel, ensorte que cette méthode est encore sujette à toutes les objections que nous avons faites n" 297. Il est vrai que le théorème (qui sert de base à une supposition) que dans toute progression arithmétique /, Z+A, /-f-2A, etc., on trouvera des nombres premiers , si k et l n'ont pas de diviseur commun, a été exposé avec plus de détail dans cet ouvrage, p. 12 et suiv. j mais il ne paraît pas encore avoir satisfait à la rigueur géométrique. D'ailleurs, quand même ce théorème serait complètement démontré, il resterait encore l'autre supposition, qu'il existe des nombres premiers de la forme 4^-\-5 , dont un nombre premier donné positif de la foTme 4/2 + 1 est non-résidu quadratique, et j'ignore s'il est possible de démontrer cette pro- position sans supposer* le théorème fondamental lui-même. Au reste, nous devons faire remarquer que ce célèbre géomètre ADDITIONS DE L'AUTEUR. ^^ n'a pas fait tacitement cette supposition, et qu'il en convient lui-même, page 221. ^«^ 288 — 295. Ce sujet, qui est présenté ici comme une application particulière des formes ternaires, et qui, sous le rapport de la rigueur et de la généralité , semble ne rien lais- ser à désirer , a été traité bien plus amplement par Legeiidre , dans la troisième partie dp son ouvrage (*), p. 52i— 400.II s'est servi de principes tout-à-fait difiérens des nôtres-, mais par la route qu'il a suivie, il a rencontré plusieurs difficultés qui l'ont empêché de démontrer rigoureusement les théorèmes principaux. Il a lui-même indiqué avec franchise ces difficultés-, mais, si nous ne sommes dans l'erreur, elles pourraient être levées plus facilement que celle qu'il rappelle encore dans cette recherche (p. 571 , en note à la fin), savoir que dans toute progression arlthméiique , etc. N' 5o6, yill. Dans la troisième chiliade de déterminans né- ■gatifs , nous en avons trouvé trente-sept irréguliers , parmi les- quels dix-huit ont 2 pour indice d'irrégularité , et les dix-neuf autres l'indice 3. Idem, X Nous venons de parvenir à résoudre complètement 4a question que nous proposions ici, et nous publierons cette re- cherche, qui éclaire singulièrement plusieurs parties de l'arith- métique transcendante et del'analjse , lorsque nous aurons occasion de mettre au jour la continuation de cet ouvrage. Nous avons trouvé en même temps, que le coefficient m (n° 3o4, p. 376) est m = >'7f = 2,3458847616, y étant le même qu'au n" 5o2, et tt toujours la demi-circonfé- rence du cercle dont le rayon est i. (♦) Les lecteurs ont à peine besoin d'être prévenus de ne pas confondre nos formes ternaires avec ce que Legendre appelle les formes ternaires d'un nombre , car il n'entend par là que la décomposition d'un nombre en trois quarres. w 49» NOTES DU TRADUCTEUR. Note relative au n° 162. N lious hasardons de placer ici une solution différente du même proWème; solution qui nous paraît à quelques égards plus simple que celle de l'auteur. Le principe dont nous nous servons se présentait naturellement , mais nous de- vons observer qu'il est employé dans l'ouvrage pour un problème anàloeue (n» 285, 3°). *- 5 Supposons d'abord que la forme F et la forme / soient équivalentes. Si l'on connaissait toutes les transformations propres de la forme F en elle- même, et une transformation de / en F, en combinant chacune des premières avec la seconde (n° i5c)), on obtiendrait évidemment des transformations sen>- blables à cette dernière. Or il est extrêmement facile de démontrer, i° que chaque combinaison donnera une transformation différente des autres;. 2° que toute trans- formation pourra naître de la combinaison d'une transformation de F en elle- même avec la transformation donnée de F en /. Cherchons donc d'abord quels doivent être les nombres p, q, r, s, pour que la forme F se change proprement en elle-même par la substitution x:=:px'-i.qy, y-rx'-^-sy', on aura les équations Ap' -{.Q.Bpr-\- Cr'^A (a), Apq + B{ps+qr^ + Crs-B fb\ Aq'^'h^Bqs-hCs^rzzC (^c} , ps - qr = 1 (^. Les équations (a) et (c) peuvent se mettre sous la forme (4j + £ry —Dr^ = ^^ (C5 -f- BqY — Dq^ = C^ , ou bien , m étant le plus grand commun diviseur des nombres A, zB C et en divisant la première par —7 , la seconde par — . Si l'on fait NOTÉS DU THADUCTEUR; 49^ C€S équations devienneiit t» — Du' = m* , f^^Du'* = m'* ; or on a t-^Ba Au Cu' t'-^Bu' '^ m m ' m m substituant ces valeurs dans les équations (è) et (cf) , il en résulte Bttf—DÇut'-^u't) + BDuu'=Bm^ , tf— B(ulf-^ u't) + Duu'=z m* , qui donnent izf'-}-u'f=o; donc u'=— — -J Cette valeur, substituée dans l'é- quation tf~-Duu'=zTji^^ donne f=t, et partant u=z-^u'. Il en résulte donc ^ t — Bu Cu Au f -f- ^^ m ' ^ m * m * m * or il est aisé de démontrer que t, u doivent être entiers, si p, q ^ r, i le sont, et réciproquement. i*. Sip, q, r, s sont entiers, comme il est nécessaire pour notre question, comme on tire des valeurs précédentes on peut en conclure mr ~2~ r -A* m A u <1 A s—p aB m r ■m 1 r m si?' 9 s- — P" m m mais l'une des deux fractions qui servent de second membre est nécessairement A , rm — , ou — m A irréductible, donc r est divisible par —, où -r~r=zu sera un nombre entier. -— en sera un aussi ; de là il est aisé de voir que t est également un nombre entier. z". On démontrera, comme l'auteur le fait au même numéro (4°.) , que toutei les valeurs entières de f , u donneront des valeurs entières pour p, q, r, s. Il suit donc de tout ce qui précède, que la solution de notre question dépend de la résolution de l'équation f* — Z)a"=77i" en nombres entiers, et que réci- proquement une transformation d'une forme quelconque de déterminant D en elle-même , fournira une solution en nombres entiers de l'équation t' — Du''z=m\ pourvu que m soit le plus grand commun diviseur des trois coelRciens de cette forme. |g4 NOTES DU TRADUCTEUR. Si maintenant ««, |S, 7 , «T sont des nombres pour lesquels F se change en /*, on trouvera par len° 169 , pour les nombres *', ^', y, «K, qui donnent une trans- formation quelconque semblable , mci! = ctt — {Bel, + Cy)u , m^' = /2f — (5/2 -f Ccr)u , m>' = yt -\- (^* -f ^>')" > ^^' = Jf + (-^i3 + 5«^)iz ; or il faut observer qu'ici les valeurs de et, /S', y\ (T sont nécessairement entières, puisque et, ^, y, <^et p, q, r, s le sont. Si l'on compare les valeurs de T et de C/, que l'auteur déduit (n° 199), avec celles auxquelles nous parvenons directement, enverra qu'elles sont identiques, mutatis mutandis. Mais si F et/* n'étaient pas équivalentes , on se convaincra aisément que ces for- mules ne donneraient plus toutes les transformations , à moins que l'on n'admettç des valeurs fractionnaires de >': et u dans lesquelles le dénominateur serait le quo- tient du plus grand commun diviseur des nombres a , ab , c , divisé par le plus grand commun diviseur des nombres u4 , zB , C. Si nous nommons m' le plus erand commun diviseur des nombres a, 2b, c , et que nous fassions — = (^ , on trouvera pour ce cas , en substituant dans les formules - et - , à la place de têtu des formules semblables dans lesquelles , à la place de m. , on doit mettre m' et où t et u seront des nombres qui satisfassent à l'équation t^ — Div^ ^=^m"' , comme il résulte de l'analyse de l'auteur. Nous insistons pçu sur c_^ second cas , qui est d'une moins grande utilité. Note reîatwe au n° 164. On peut encore faire cette recherche d'une manière qui nous paraît en quelque sorte plus directe. 1 i . Nous supposerons qu'on ait démontré, comme 1 auteur , les relations qui existent entre a., ^ , y , ^ > 'f^ y ^\ y\ ^' y ^t qui sont, en faisant usage de sa notation, a^dz=zo, e-f-e' = o, bc — ad'=:e% ou a^-f- èc= e*. Cela posé soit (^F , G, H) la forme ambiguë cherchée, que nous désignerons par «>• faisons - — = k, k sera un nombre entier. Or puisque iï'doit se changer en

V}y, j = (pm'+(pA— g)p')x'+{pn'^.(pft_^)ç'jy, et l'on a parconséqnent rmn' -\- {mk'-n)p=ict' , vin -\- ^mk — n) q' = ^\ pm'^ (^pk—q^p'~=y', ph' ^{pk — 9) 9' = ^ '(a) Les équations (1) donnent par l'élimiflation , en faisarrt mq npr=zh ^ __ ctg—yn ^ _ /g^ — ^ __ ym —Htp , __ èm — /gyo Les équations (2) donnent m' = ^^'9 — / V. rf -/^ Cy m — «» _^ ^V — J'/t -f /: ( J^m — /g>) ,_a;jj— j_m , ^'p — ym P- ^^ , 9= j—-. De ces doubles valeurs de m', n', p', q\ on tire les équations (>- + >') m r=:(<:t + a')p, («T + J' ) mr= (/S -|-^') ;, ..(3) (*— Og — (>— y)/i=^(>m--«», (/S— /SO9— F— «^0«='i(c^'m— .5».. .(4) Les équations (3) donnent ~ = ^-±-1 , -^ = |±^'. Or il est aisé de voir P y-ry P 'à -^ S que réquation âe condition qui résulte de ces deux valeurs est toujours satisfaite car elle revient à ' (^ + «')(<^+^')-(^ + iS')C><4->^') = 0, ou e + e'-f-a.f-./=o, en essayant d'éliminer 9 ou n entre les équations (4), on voit facilement quelles rentrent l'une dans l'autre ; car il en résulterait dans l'un ou l'autre cas des équa- tions qui s'anéantissent d'elles-mêmes, leur premier membre étant multiplié par (^_^') (^__ J') _(^__^^) iy-y'^ qui est égal à e + e'-a~rf, ^antité nulle, et leur second membre étant multiplié, pour l'une, par cm'\-{d-^e)p pour l'autre, par (a-f e) m + ôp, quantités également nulles , comme on peut s'en assurer facilement. Il suffirait pour cela de multiplier par / la première des équa- tions (3) , et d'en retrancher la seconde multipliée par y; de multiplier encore la premiere par /2 , et d'en retrancher la seconde multipUée par et. On trouverait cm + (^ 4- e) /j == o , (a + e) m H- ô/j = o (5) Il suit de là qu'entre les cinq inconnues m,n,p, q, k, il n'y a réellement que deux equations. Amsi le problème est indéterminé ; mais il faut que les valeur^ de ces mconnues soient telles que m', n\ p\ q' soient entiers. Disposons des nombres m et p dont le rapport seul est connu et égal à 'i^-^^ y -\-y 496 ÎÎOTES DU TRADUCTEUR; ou ^ ^ , et prenons pour m et p les termes de ce rapport réduit à sa plus simple expression. On aura évidemment dans tous les cas des nombres entiers pour m' et p' , si l'on fait q r=.fih-y nz=Th , où h est indéterminé jusqu'à présent. Cette supposition' change l'équation mq — np=zk en mfji, — /7^= i qui servira à trouver y. et t. Quant à p' et q', au moyen des valeurs de a, 6^ c, fi ou — a , on tire faci- lement par l'élimination or à l'aide des équations (5), on a p n-=^'ym—'etpz=iym-~~ '■^ — r— ^ — =T(j'0-f-«ta+*e)m= ^^ r y (a — e)p i , . (> — y^)pe On trouverait de même qh = ^ , 9/2- ^ . Si r est le plus grand commun diviseur des nombres a, è, c, et partant des nombres b, c, e, comme il est aisé de le prouver par l'équation a^-\-bc=:e^, un des nombres b c . e ^ V ^ -, - sera premier avec -. supposons que ce soit -; comme on a e (a-«')^- (/2 — iS^m- p'h-=z r et ç'/î = r r r il s'ensuit que («t — ct')m est divisible par -, ainsi que (/2 — ^O'^j puisque p';^ et q'h sont essentiellement entiers. Donc en prenant h= -y p' et 9' seront entiers. . b c D'ailleurs des valeurs précédentes de p'h , on tire * — «'= — p'h, y — y=: p'/r, b c et comme y m — et'pr=z—p'h, la première des équations (4) devient q -{ =— /j, ou, puisque 9 = ///î = ^^,n = T/j=:^-,—fA-f--:^ = — ^: Mais de b ona- = -î^^ = —^-'' '= ^, et partant £ est di- p c a-j- e c f?_i_l '* r r r b . . c b ■ Tx > • visible par p, et - par m, ou bien — et — • sont entiers. Donc cette equation donne une valeur entière pour k, qui varie suivant les valeurs que l'on attribue à y- et T. TABLE '497 » TABLE PREMIERE. (n°' 58, 91). 2. 5. 5. 7. II 15.17. 19.23.29 31.57.41.43.47 3 2 5 2 7 3 9 2 II 2 i3 6 16 5 17 10 19 10 25 10 25 2 27 2 29 10 3i 17 32 5 57 5 4i 6 43 28 47 10 49 10 53 26 I 1. 3 2. I. I. *. I. 8. 5. 8. *. 3. 10. II . 17. 5. 8.20. I. 7. 1. \ I I .27. 12. i3. *.. 3. 11.34. 26. i5. 39.17. 5o.i8. 2. i3. 25. 9. 5 5. 4 4. 7 9. 7.11 I. 2. I 3 7. 9.13 12 2.12. 6 i3. 8 i5.2i .3 12. 17. 5 *. 5.16 19.15. 18. II 5. 16. i3 8. i5. 12. II 18. 20. 2 3 2. 7.15.24 20. 4*^9 2^« 1.22. 21. 27 I. 2. 5 7. 4. 7. 6. 5 1.28. 6 i3. 5.25.21. i5 22.39. 5 3i.35. 9.36. 7 28.32 5. 7. 6 40.16.29.20.35 32.35. 18 17.38.27 5.42.29.39.43 5.24.25.37 4i. "^.16 9.31.55.52.24 7.58.27.36.25 3i.38.46 28.42.41.59. 6 45. 22. 33. 5o. 8 Rr o 27 498 SUITE DE LA TABLE PREMIÈRE. 2. 5. 5. 7.11 i5. 17.1g. 23. 29 3i .37.41 .45*47 55.59.61.67.71 73.79.83.89 59 61 64 67 75 79 81 83 89 97 10 10 12 62 5 29 II 5o 3o 10 25.32.34.44.45 28 47.42. 14.25.45 5i .17 ^. 3. i.io. 5 5. i. 5 29- 9-?9- 7-^1 3.54. 5 58.18.14.33.43 59.29.37.11 8. 6. 1.55.55 55. 5. 58. 50.44 50.71 .34. ig.70 7.17.75.54.55 25. *.55.22. I 45.55. 4.20.53 5.52.81.24.72 15.20.34.53.17 72.87.18. 7. 4 10.45.19.32.26 86. 2.11.55.82 14. 65. 52. 5i. 25 23.14.22.27. 4 20.49.22.59.25 l5.I2. 7.14. II 25. 8.26.20.22 27. 7.58. 5. 4 59.21 .62.46.35 74. 9.10.52. 1 4 38.i5.i2. 5. 7 48.52 67. 4*59. 16. 36 43.47 65.82.55.51.29 68.46.27 83.19.27.79,47 20.42.91 .18 7.41. 2.i3.55 i3. 55. 18. 41. 40 8. 9.14.15.12 43.44.19.63.64 i5.5o. 55.44* ^7 11.64. 4*5i.5i y 6. :2s. ai .47 .55 14.24.29.10. i3 52.60.58.49.69 57.77.67.59.54 26.41 .71 .44*^0 499 TABLE II. (n» 99). 3 5 7 — -I +2 +5 H-S +7 4-11 4-i5 -|-i7rf-ï9- -f-23. ■f29- +3i'+37 — — _ .i» — . — . — II — — — — " i5 — — — — —, 17 — — — ■— ^9 23 -. — — — ^9 5i ' >— ___ — 57 — — — — 41 45 47 —^ — — — — .— • i—M _ — -« 55 59 "— ' 1 1 «_- — — ^~" _ — . _ ■' " 67 71 — -- — — — 75 79 _ "~~ ..^ _ — — •»« — ^~" 83 — — — — — — — sg — — -■ — — 97 mmm m^mm ' """" Çofl 1 SUITE DE LA TABLE II. ^ -f.41 +43 -f-47 -f-53 +59 +61 +67 +7^ +7^ H-79 -f-83 +89 +97 ,„,_ __M l..^ ..» —. .IM. 5 — — — — — . 7 — — — II — — — — — — ' i3 17 I _ -— — —— 1 ï9 23 •Bat *— ^_ >m,-m "— .«. "^ ' ' - "■"" 29 5i 1 — . •.»•• . I ' .„m. 37 4i r— ... "■"" •>— < ' " iB~ 43 47 53 — — — — — . 59 . — . — -^ — 61 67 7« — — — ' — — — —. — — 75 — ""~ _^ _^ **^ "~" ■ "~~ 79 83 «9 97 1 — — — — — — Soi TABLE III. (n» 3i6). 5 7 9 II i3 17 19 23 27 29 3i 57 41 45 47 49 53 % 61 W 3- (i)...6 (o) 142857 ^""l ^J (0...2;(2)..4- (3).. 8^ (4).. 7. (5).. 5 W <^9; (O-.iS- (2).. 56-, (3)..72j (4).. 45 (o) 076925; (i).. 46x538 (o) o5882 35294 II 7647 (o) 0526315789 47368421 (o) 0434782608 6956521739 i3 W -0575 (i)...o74; (2)...i48j (3)...296j C4)...592; C5)...i85 (o) 0344827586 2068965517 24137931 (o) o52258o645 16 129 (0 5483870967 74193 W 027; (i)...i35; (2). ..675; (3). ..378; (4).. 891; (4).. 459; (6).. 297; (7).. 486; (8). .432; (9). .162; (10). .810; (ii)..o54 (o) 02439; (i). . i4634; (2). .87804; (3). .26829; (4)... 60975; (5)... 65853; (6)...95i2i; (7). . .707.31 (o) 0232558x39 5348837209 3 (0 6511627906 976744x860 4 (o) 0212765957 4468085 X 06 5829787234 042553x9x4 893617 (o) 02o4o8x632 653o6i2244 8979591806 7346938775 5i W 0188679245 283; (x).. 4905660377 358; W 7547x698x1 320; (5).. 62264x5094 359 (p)' 0x6949x525 4257288x55 5952205589 85o5o84745 76271 18644 06779661 (o) 0x65954426 2295081967 2x5x 147540 9856065573 7704918032 7868852459 502 SUBITE DE LA TABLE III. 67 75 79 81 85 89 97 8^55233886 7462686567 6760563380 9154929577 (o) 0149253731 3432835820 597 (1) 1 791044776 1194029850 164 (o) 0140845070 4225352112 28169 (i) 8732394366 1971830985 46478 (o) 01 369863 ; ( I ) . . 068493 1 5 -, (2 ) . . 542^^^:^^ ^. (3)...... 71232876; C4),. 56 I 64383; (5). .808^1917 f (Q 04109589; (7).. 20547945; (8).. 02739726 (o) 0126582278 4^1? (1). .3670886075 949 ; (2) 6455696202 53i ; (3). .7215189873 417 ; (4) 9240506329 1 1 3 ; (5) , . 7974683544 3o3 (o) 012345679 ; (1) 135802469 ; (3) 432098765; (5) 283950617 7108433734 9397590361 (2) 49^827160 ; (4) 7530864,9; (o) 0120481927 4457851325 (l) 6024096385 2891566265 (o) 01 12359550 4943820224 (l) 3570786516 83I460674I (o) 0103092783 8762886597 4845360824 185567. 3 5421686746 o 5617977528 7I9I 8539325842 5730 5o5i 546391 9381443298 7422680413 9879518072 0898876404 6966292134 7525773195 9690721649 37 II 340206 FIN. %1>^-4^ . f .i^ \,^K. - r ^ , ^.. ... m ^' ^ i.> V ■-' >" --'^'-M.r'' ^..> "^' ■'^ÉE^,.*'. ■ iiEfc ' ..' ^ ^^* ... ■0 > i< ■ .fA..' V- ( u .1. "'-^ ^ ^- ^' . -#'^ ■-• -Ik >?.. ^ ** • ;#>^*^"- ilr^.**' ^#-^. îV"'ï