HUi 1 JBIli ■ jmf/ Bl '^iWn}.- ,1 W wb^vMfcX 1m i Tsj \V ïz+jàJF^f'y&tëf'XzsWWmR #cdai2 kà^^> V\ \^*,A \ JU»A ï fi Vy^E«i»' /z-zMmJÆri/ ÊWm, 7HW' KJBP®!vNBLi Digitized by the Internet Archive in 2018 with funding from Wellcome Library https://archive.org/details/b30530593 TRAITE DE ■ ' sg? D YNAM1Q UE, DANS LEQUEL LES LOIX DE L3 E QU I L I B R E 8r du Mouvement des Corps font réduites au plus petit nombre poL noie , 8c démontrées d'une manière nouvelle , 8c où Fou donne un Principe général pour trouver le Mouvement de plufïeurs Corps qui agillent les uns fur les autres 5 d'une manière quelconque. Par M, d' A l e m be rt ? de l’Académie Royale des Sciences. A PARIS, Chez David l’aîné , Libraire , rue Saint Jacques , à la Plume d’or. M D C C X L I I I. AVEC APPROBATION ET PRIVILEGE DU ROI. \ A MONSEIGNEUR LE COMTE DE MAUREPAS, Miniftre &c Secrétaire d^Etat de la Marine » Commandeur des Ordres du Roi. ONSEIGNEUR, Perfuadé quun homme de Lettres ne peut mieux vous faire fa cour que par fes travaux , je me fuis propofé de contribuer à la perfection de la Méchanique , en la rêduifant à un petit nombre de Principes fimples E P I T R E. & féconds , d’applanir entièrement les routes qui étaient f déjà frayées dans cette Science , de porter même la lumière dans celles qui jufquà préfent ont été le moins connues } en un mot , d’éclaircir & d'étendre tout à la fois la partie la plus utile des Mathématiques . Si l’exécution répondoit à mon projet , je me flatterais * MONSEIGNEUR , que cet Ouvrage pourroit nêtre pas indigne de paraître fous vos aufpices : mais quel que doive être le fuccès de ce premier fruit de mon tra¬ vail ,j’ êfpere que vous voudrez bien le regarder comme une marque de mon zèle pour l’ avancement des Scien¬ ces , & de l’intérêt que j’ofe prendre à la gloire du Miniflre qui les protégé. Je fuis avec un profond refpeêl , MONSEIGNEUR , Votre très-humble & très-obéiflànt Serviteur dA l e m b e r t* ‘ c- & '.Cl j P RÉ F J C E. LA certitude des Mathématiques eft un avan¬ tage que ces Sciences doivent principale¬ ment a la /implicite de leur objet. Il faut avouer même , que comme toutes les parties des Mathé¬ matiques n’ont pas un objet également fîmple , auffi la certitude proprement dite , celle qui eft fondée fur des Principes nécelfairement vrais & évidens par eux- mêmes , n’appartient ni égale¬ ment , ni de la même manière à toutes ces parties. Plufieurs d’entr’elles-, appuyées fur des Principes Phyfiques , c’eft-à-dire fur des vérités d’Expérien- ces y ou fur de limples hypothefes n’ont , pour ainli dire , qu’une certitude d’Expérience , ou mê¬ me de pure fuppolition. Il n’y a , à parler exac¬ tement , que celles qui traitent du calcul des gran¬ deurs , & des propriétés générales de l’étendue , c’eft-à-dire l’Algèbre } la Géométrie & la Mécha- I ij F REFACE. nique , qu’on puifle regarder comme marquées au fceau de l’évidence. Encore y a-t’il dans la lumiè¬ re que ces Sciences préientent à notre efprit , une efpece de gradation , 8c, pour ainli dire , de nuan¬ ce à obferver. Plus l’objet qu’elles embraflent eft étendu , & coniidéré d’une manière générale 8c abftraite , plus au lu leurs Principes font exempts de nuages & faciles à faifïr. C’eft par cette raiion que la Géométrie eft plus fimple que la Méchani- que , & l’un 8c l’autre moins fimples que l’Algè¬ bre. Ce Paradoxe ne paroîtra point tel à ceux qui ont étudié ces Sciences en Philofophes : les no¬ tions les plus abftraites , celles que le commun des hommes regarde comme les plus inacceihbles, font néanmoins celles qui portent avec elles une plus grande lumière : Eobfcurité femble s’emparer de nos idées à mefure que nous les appliquons à des objets particuliers , 8c que nous examinons leurs propriétés fenlîbles ; 8c il nous voulons pénétrer plus avant dans la nature de ces objets , nous trou¬ vons prefque toujours, que leur exiftence, appuyée fur le témoignage douteux de nos fens , eft ce que nous connoiilons le moins imparfaitement en eux. Il ré fuite de ces réflexions , que pour traiter fui- vant la meilleure Méthode polfible quelque par- PREFACE . HJ tîe des Mathématiques que ce foit ( nous pourrons même dire quelque Science que ce puifie être ) il eft néceflaire nonfeulement d’y introduire & d’y appliquer autant qu’il fe peut , des connoiffances puifées dans des Sciences plus abftraites , & par conféquent plus (impies, mais encore d’envi fager de la manière la plus abftraite &r la plus (impie qu’il fe puilfe, l’objet particulier de cette Scien¬ ce -, de ne rien fuppofer , ne rien admettre dans cet objet , que les propriétés que la Science mê¬ me qu’on traite y fuppofe. Delà réfuitent deux avantages : les Principes reçoivent toute la clarté dont ils font fufceptibles : ils fe trouvent d’ailleurs réduits au plus petit nombre podible , & par ce moyen ils ne peuvent manquer d’acquérir en mê¬ me tems plus d’étendue , puifque l’objet d’une Science étant nécelfairement déterminé , les prin¬ cipes en font d’autant plus féconds , qu’ils font en plus petit nombre. On a penfé depuis long-tems , & même avec fuccès , à remplir dans les Mathématiques , une partie du plan que nous venons de tracer : on a appliqué heureufeffient , l’Algèbre à la Géomé¬ trie, la Géométrie à la Méchanique , & chacune de ces trois Sciences à toutes les autres, dont el¬ les font la bafe & le fondement. Mais on n’a pas . a ij iv PREFACE, été fi attentif , ni à réduire les Principes de ces Sciences au plus petit nombre , ni à leur donner toute la clarté qu’on pouvoit defirer. La Méchani- que furtout , elt celle qu’il paraît qu’on a négligé le plus à cet égard : auifi la plûpart de fes Princi¬ pes , ou obfcurs par eux-mêmes , ou énoncés & démontrés d’une manière obfcure , ont-ils donné lieu à plufieurs queftions épineufes. En général , on a été plu§ occupé jufqu’à préfent à augmenter l’édifice qu’à en éclairer l’entrée j & on a penfé principalement à l’élever , fans donner à fes fon- demens toute la folidité convenable. Je me fuis propofé dans cet Ouvrage de fatis- faire à ce double objet , de reculer les limites de la Méchanique , & d’en applanir f abord ; & mon but principal a été de remplir en quelque forte un de ces objets par l’autre, c’eft - à - dire , non- feulement de déduire les Principes de la Mécha¬ nique des notions les plus claires, mais de les ap¬ pliquer aufli à de nouveaux ufages ; de faire voir toutà la fois, & l’inutilité de plufieurs Principes qu’on avoit employés jufqu’ici dans la Méchani¬ que , & l’avantage qu’on peut tirer de la combi- naifon des autres pour le progrès de cette Science -, en un mot , d’étendre les Principes en les rédui- fant. Telles ont été mes vues dans le Traité que je V PREFACE. mets au jour. Pour faire connoître au Lecteur les moyens par lefquels j’ai tâché de les remplir , il ne fera peut-être pas inutile d’entrer ici dans un examen raifonné de la Science que j’ai entrepris de traiter. Le Mouvement & fes propriétés générales , font le premier & le principal objet de la Mé- chanique ; cette Science fuppofe l’exiftence du Mouvement , & nous la fuppoferans aulli com¬ me avouée & reconnue de tous les Phyficiens. A l’égard de la nature du Mouvement , les Philofo- phes font au contraire fort partagés là - deflus. Rien n’eft plus naturel , je l’avoue > que de con¬ cevoir le Mouvement comme l’application fuc- celhve du mobile aux différentes parties de l’ef- pace indéfini , que nous imaginons comme le lieu des Corps : mais cette idée fuppofe un efpace dont les parties foient pénétrables & immobiles ; or perfonne n’ignore que les Cartefiens ( Seéle à la vérité fort affoiblie aujourd’hui ) ne reconnoiffent point d’efpace diftingué des Corps , & qu’ils re¬ gardent l’étendue & la matière comme une mê¬ me chofe. Il faut convenir qu’en partant d’un pa¬ reil Principe , le Mouvement ferait la chofe la plus difficile à concevoir , & qu’un Cartéfien au¬ rait peut-être beaucoup plutôt fait- d’en nier l’é- • o • a nj **ïi / Vj P R É F A C E. xiftence , que de chercher à en définir la nature. Au relie , quelque abfurde que nous paroiffe l’o¬ pinion de ces Philofophes , & quelque peu de clarté & de précifion qu’il y ait dans les Princi¬ pes Métaphyîiques fur lefquels ils s’efforcent de .'appuyer j nous n’entreprendrons point de la ré¬ futer ici : nous nous contenterons de remarquer, que pour avoir une idée claire du Mouvement , on ne peut fe difpenfer de diftinguer au moins par l’efprit deux fortes d’étendue : l’une , qui foit regardée comme impénétrable , & qui conftitue ce qu’on appelle proprement les Corps ; l’autre , ui étant confidérée fimplement comme étendue , ans examiner fi elle eft pénétrable ou non , foit la mefure de la diftance d’un Corps à un autre , & dont les parties envifagées comme fixes & im¬ mobiles , puifl'ent fervir à juger du repos ou du Mouvement des Corps. Il nous fera donc toujours permis de concevoir un efpace indéfini comme le lieu des Corps, foit réel , foit fuppofé , & de re¬ garder le Mouvement comme le tranfport du mo¬ bile d’un lieu dans un autre. La confidération du Mouvement entre quel¬ quefois dans les recherches de Géométrie pure ; c’ell ainfi qu’on imagine fouvent les lignes , droi¬ tes ou courbes , engendrées par le Mouvement l PREFACE. vij continu d’un point , les furfaces par le Mou¬ vement d’une ligne , les folides enfin par celui d’une fur face. Mais il y a entre la Méchanique & la Géométrie cette différence , nonfeulement que dans celle - ci , la génération des Figures par le Mouvement elt , pour ainfi dire , arbitraire , & de pure élégance, mais encore que la Géométrie ne confidére dans le Mouvement que i’efpace par¬ couru , au lieu que dans la Méchanique on a égard de plus au te ms que le mobile employé à parcourir cet efpace. On ne peut comparer enfemble deux chofes d’une nature différente , telles que l’efpace & le tems : mais on peut comparer le rapport des par¬ ties du tems avec celui des parties de l’efpace par¬ couru. Le tems par fa nature coule uniformément , & la Méchanique fuppofe cette uniformité. Du relie , fans connoître le tems en lui-même & fans en avoir de inclure précife , nous ne pouvons re- préfenter plus clairement le rapport de fes parties , que par celui des portions d’une ligne droite indé¬ finie. Or l’analogie qu’il y a entre le rapport des parties d’une telle ligne , & celui des parties de l’efpace parcouru par un Corps qui fe meut d’une manière quelconque , peut toujours être exprimée par une Equation : on peut donc imaginer une VI IJ P R E F A C £. Courbe , dont les abfcilTes repréfentent les por¬ tions du tems écoulé depuis le commencement du Mouvement , les ordonnées correfpondantes dé¬ lignant les efpaces parcourus durant ces portions de tems : l’Equation de cette Courbe exprimera , non le rapport des tems aux efpaces , mais 3 lî on peut parler ainli , le rapport du rapport que les parties de tems ont à leur unité , à celui que les parties de l’efpace parcouru ont à la leur. Car l’E¬ quation d’une Courbe peut être conlîdérée , ou comme exprimant le rapport des ordonnées aux abfcilTes , ou comme l’Equation entre le rapport que les ordonnées ont à leur unité , & le rapport que les abfcilTes correfpondantes ont à la leur. Il eft donc évident que par l’application feule de la Géométrie & du calcul , on peut, fans le fe- cours d’aucun autre Principe , trouver les proprié¬ tés générales du Mouvement , varié fuivant une loi quelconque. Mais comment arrive-t’il que le Mouvement d’un Corps fuive telle ou telle loi particulière ? c’eft fur quoi la Géométrie feule ne peut rien nous apprendre , & c’eft auffi ce qu’on peut regarder comme le premier Problème qui ap¬ partienne immédiatement à la Méchanique. On voit d’abord fort clairement , qu’un Corps ne peut fe donner le Mouvement à lui-même. Il ne PREFACE . ix ne peut donc être tiré du repos 5 que par l’adtion de quelque caufe étrangère. Mais continue-t’il à fe mouvoir de lui-même , ou a-t’il befoin pour fe mouvoir de l’adtion répétée de la caufe ? Quelque parti qu’on pût prendre là-deffus i il fera toujours inconteftable , que l’exiftence du Mouvement étant une fois fuppofée fans aucune autre hypo- thefe particulière , la loi la plus fimple qu’un mo¬ bile puilie obferver dans fon Mouvement , eft la loi d’uniformité , & c’eft par conféquent celle qu’il doit fuivre , comme on le verra plus au long dans le premier Chapitre de ce Traité. Le Mou¬ vement eft donc uniforme par fa nature : j’avoue que les preuves qu’on a données jufqu’à préfent de ce Principe , ne font peut-être pas fort convain¬ cantes : on verra dans mon Ouvrage les difficul¬ tés qu’on peut leur oppofer , & le chemin que j’ai pris pour éviter de m’engager à les réfoudre. Il me femble que cette loi d’uniformité effientielle au Mouvement eonlîdéré en lui- même i fournit une des meilleures raifons fur lefquelles la me fu- re du tems par le Mouvement uniforme puiffie être appuyée. Auffi j’ai cru devoir entrer la-deflus dans quelque détail 3 quoique au fond cette difeuffion puiffie paraître étrangère à la Méchanique. La forte d'inertie , c'eft - à - dire , la propriété b X PREFACE. qu'ont les Corps de perféverer dans leur état de repos ou de Mouvement , étant une fois établie, il eft clair que le Mouvement , qui a befoin d’une caufe pour commencer au moins à exifter , ne fauroit non plus être accéléré ou retardé que par une caufe étrangère. Or quelles font les caufes ca¬ pables de produire ou de changer le Mouvement dans les Corps? Nous n’en connoiilons jufqu’à pré- fent que de deux fortes : les unes fe manifeftent à nous en même-tems que l’effet quelles produi- fent , ou plutôt dont elles font Toccafîon : ce font celles qui ont leur fource dans l’aétion fenfible & mutuelle des Corps , réfultante de leur impéné¬ trabilité : elles fe réduifent à l’impulfion & à quel¬ ques autres aétions dérivées de celle-là : toutes les autres caufes ne fe font connaître que par leur effet, & nous en ignorons entièrement la nature: telle elf la caufe qui fait tomber les Corps pefans vers le centre de la Terre , celle qui retient les Planètes dans leurs Orbites , &c. Nous verrons bientôt comment on peut déter¬ miner les effets de l’impulfion , & des caufes qui peuvent s’y rapporter : pour nous en tenir ici à celles de la fécondé efpece , il eft clair que lorf- qu’il eft queftion des effets produits par de telles caufes , ces effets doivent toujours être donnés in- PREFACE . xj dépendamment de la connoiflance de la caufe., puifqu’il ne peuvent en être déduits • c’eft aiiill que fans connoître la caufe de la pefanteur , nous apprenons par l’Expérience que les efpaces décrits par un Corps qui tombe , font entr’eux comme les quarrés des teins. En général , dans les Mou- vemens variés dont les caufes font inconnues , il eft évident que l’effet produit par la caufe , foit dans un tems fini , foie dans un inftant , doit tou¬ jours être donné par l’Equation entre les tems & les efpaces : cet effet une fois connu , & le Prin¬ cipe de la force d’inertie fuppofé * on n’a plus befoin que de la Géométrie feule & du calcul } pour découvrir les propriétés de ces fortes de Mou- vemens. Pourquoi donc aurions - nous recours à ce Principe dont tjout le monde fait ufage aujour¬ d’hui , que la force accélératrice ou retardatrice eft proportionnelle à l’Elément de la viteffe j prin¬ cipe appuyé fur cet unique axiome vague & ob- feur j que l’effet eft proportionnel à fa caufe. Nous n’examinerons point fi ce Principe eft de vérité néceffaire 5 nous avouerons feulement que les preu¬ ves qu’on en a données jufqu’ici , ne nous paroi f- fent pas fort convaincantes : nous ne l’adopterons pas non plus , avec quelques Géomètres ^ comme de vérité purement contingente , ce qui ruineroit b ij XI j P R E F A C E. la certitude de la Méchanique , & la réduiroit à n’être plus qu’une Science expérimentale : nous nous contenterons d’obferver , que vrai ou dou¬ teux , clair ou obfcur , il eft inutile à la Méchani¬ que , & que par conféquent il doit en être banni. Nous n’avons fait mention jufqu’à préfent , que du changement produit dans la vi telle du mobile par les caufes capables d’altérer fon Mouvement : & nous n’avons point encore cherché ce qui doit arriver. Il la caufe motrice tend à mouvoir le Corps dans une direétion différente de celle qu’il a déjà. Tout ce que nous apprend dans ce cas le Principe de la force d’inertie , c’eft que le mo¬ bile ne peut tendre qu’à décrire une ligne droi¬ te , & à la décrire uniformément : mais cela ne fait connoître ni fa vitelle ni fa direétion. On eft donc obligé d’avoir recours à un fécond Princi¬ pe , c’eft celui qu’on appelle la compofition des Mouvemens } & par lequel on détermine le Mou¬ vement unique d’un Corps qui tend à fe mouvoir fuivant différentes directions à la fois avec des % viteffes données. On trouvera dans cet Ouvra¬ ge une démonftration nouvelle de ce Principe, dans laquelle je me fuis propofé , 8c d’éviter tou¬ tes les difficultés auxquelles font fujettes les dé- monftrations qu’on en donne communément , 8c PREFACE. xuj en même-tems de ne pas déduire d’un grand nom¬ bre de propositions compliqués , un Principe qui étant l’un des premiers de la Méchanique , doit nécelTairement être appuyé fur des preuves iim- pies & faciles. Co mme le Mouvement d’un Corps qui chan¬ ge de direction , peut être regarde comme com- pofé du Mouvement qu’il avoir d’abord & d’un nouveau Mouvement qu’il a reçu , de meme le Mouvement que le Corps avoir d’abord peut être regardé comme compofé du nouveau Mouvement qu’il a pris , & d’un autre qu’il a perdu. Delà il s’enfuit que les loix du Mouvement changé par quelques obftacles que ce puifle être , dépendent uniquement des loix du Mouvement détruit par ces mêmes obftacles. Car il eft évident qu’il fufht de décompofer le Mouvement qu’avoir le Corps avant la rencontre de l’obftacle , en deux autres Mouvemens , tels , que l’obftacle ne nuife point à l’un y & qu’il anéantifle l’autre. Par-là , on peut nonfeulement démontrer les loix du Mouvement changé par des obftacles infurmontables 3 les feu¬ les qu’on ait trouvées jufqu’à préfent par cette Mé¬ thode ; on peut encore déterminer dans quel cas le Mouvement eft détruit par ces mêmes obfta¬ cles. A l’égard des loix du Mouvement chance b iij XIV PREFACE. par des obftacles qui ne font pas infurmontables en eux-mêmes, il eft clair par la même raifon, qu’en général il ne faut pour déterminer ces loix , qu’avoir bien conftaté celles de l’équilibre. Or quelle doit être la loi générale de l’équi¬ libre des Corps i Tous les Géomètres conviennent , que deux Corps dont les directions font oppo- fëes , fe font équilibre quand leurs malles font en raifon inver fe des viteiîes avec lefquelles ils ten¬ dent à fe mouvoir ; mais il n’eft peut-être pas fa¬ cile de démontrer cette loi en toute rigueur, & d’une manière qui ne renferme aucune obfcuri- té ; aufïi la plûpart des Géomètres ont-ils mieux aimé la traiter d’axiome , que de s’appliquer à la prouver. Cependant , fî l’on y frit attention , on verra qu’il n’y a qu’un feul cas où l’équilibre fe manifefte d’une manière claire ?¥X X X X X X X X X X'# TA BLE DES TITRES Contenus en cet Ouvrage. PRÉFACE. Définitions & Notions préliminaires* pagej page i PREMIERE PARTIE. Loix générales du Mouvement & de F équilibre des Corps. Chapitre I. TA E la force d'inertie * & des propriétés du JL/ Mouvement qui en réjultent . page 3 Du Mouvement uniforme » p. 8 Remarque Jur la mejure du tems . p. $ Du Mouvement accéléré ou retardé p, i 3 Remarque L Sur les forces accélératrices . p, 1 6 Remarque IL Sur la comparaifon des forces accéléra¬ trices enti elles* p» 20 Chap* IL Du Mouvement compofé « p. 22 N TABLE DES TITRES. Du Mouvement en ligne courbe 5 & des forces centra¬ les. page 2 7 Chap. III. Du Mouvement détruit ou changé par des objla - des . p. 3 i Du Mouvement d’un Corps le long dune Jurface Cour - le. p. 34. De r Equilibre . P* 3 7 SECONDE PARTIE. Principe général pour trouver le Mouvement de plu - fieurs Corps qui agiffent les uns fur les autres d'une manière quelconque 3 avec plufeurs applications de ce Principe . Chapitre I. Jj f Xpofition du Principe . page 4P Chap. IL JLj Propriétés du centre de gravité commun deplufieurs Corps , déduites du Principe précédent, p. 5*2 Chap. III. Problèmes ou P on montre t ufage du Principe pré¬ cèdent. p. 69 Chap. IV. Du Principe de la confervation des forces vi- ■ z /es. p. 1 6ÿ Fin de la Table des Titres. TRAITE" F M M ^ % )î( )$()§( «wwwwvww. W W W W /T\ /V\ /%\ /?\ * #y* . m. . m . # Jg TRAITÉ D E DYNAMIQUE- BBBg w.TiW. BaaaB8HI Définitions & Notions préliminaires . I, I deux portions d’étendue femblables & égaies entr’elles font impénétrables , c’eft- à-dire 5 fi elles ne peuvent être imaginées unies & confondîtes l’une avec l’autre, de manière qu’elles ne faffent qu’une même portion d’étendue moindre que la femme des deux, chacune de ces portions d’étendue fera ce qu’on appelle un Corps . L’impénétrabilité eft la propriété princi¬ pale par laquelle nous diftinguons les Corps des parties de l’efpace indéfini , où nous imaginons qu’ils font placés. Le lieu d’un Corps eft la partie de l’elpace qu’il occu¬ pe , c’eft-à-dire la partie de ï’efpace avec laquelle Péten- diie du Corps eft coincidente* A TRAITE ' % IL Un Corps eft en repos quand il refte dans un même lieu ; il eft en mouvement quand il paffe d’un lieu dans un autre , c’eft-à-dire y quand il occupe fucceflivement & fans interruption des parties de l’efpace immédiatement conti¬ guës les unes aux autres. ÏIL % Comme un Corps ne peut occuper plufieurs lieux à la fois , il ne peut arriver d’un lieu à un autre dans le même inftant : le mouvement ne peut donc fe faire que durant un certain tems. IV. I/efpaee parcouru par un Corps qui fe meut eft dîvift- ble à l’infini ; le tems eft donc aufii divifible à lin fini. On conçoit de plus ^ que fi un Corps fe meut en ligne droite , fans fubir à chaque inftant d’autre changement que le changement de place , il ne peut manquer de par¬ courir des efpaces égaux en tems égaux. Dans ce cas * on dit que le Corps fe meut uniformément . Si les efpaces par¬ courus en tems égaux font croilfans ou déçroiflans } le mouvement eft dit accéléré ou retardé * DE DYNAMIQUE. 3 PREMIERE PARTIE. L oix générales du mouvement & de Ve'quilibre des Corps. i. f^\ N peut réduire tous les Principes de la Méca- V^/ nique à trois, la force d'inertie , le mouvement compofé, & l’équilibre. Au moins j’efpere faire voir par ce Traité, que toute cette fcience peut être déduite de ces trois Principes. Je traiterai de chacun d’eux en par¬ ticulier dans chacun des Chapitres fuivans. CHAPITRE PREMIER. De la force d’inertie, & des propriété s du mouvement qui en réfidtent . 2. T’Appelle avec M. Newton force d'inertie , la pro- %3 priété qu’ont les Corps de refter dans l’état où ils font : or un Corps eft néceffairement dans l’état de repos ou dans celui de mouvement; ce qui fournit les deux Loix faivantes. I. L o i. 3. Un Corps en repos y perfiftera, à moins qu’une eau- fe étrangère ne Pen tire. Car un Corps ne peut fe déter¬ miner de lui-même au mouvement. A ij 4 TRAITE' Corollaire* 4. Delà il s’enfuit ,, que fi un Corps reçoit du mouvement par quelque caufe que ce puiffe être, il ne pourra de lui- même accélérer ni retarder ce mouvement. y. On appelle en général puijjance ou caufe motrice tout ce qui oblige un Corps à fe mouvoir. I L L o n. 6. Un Corps mis une fois en mouvement par une caufe quelconque , doit y perfifter toujours uniformément 6c en ligne droite , tant qu’une nouvelle caufe , différente de celle qui P a mis en mouvement, n’agira pas fur lui , c’eft- à-dire , qu’à moins qu’une caufe étrangère 6c différente de la caufe motrice , n’agiffe fur ce Corps , il fe mouvra perpétuellement en ligne droite , 6c parcourrera en tems égaux des efpaces égaux. Car ,, ou Padion Indivifible 6c inftantanée de la caufe motrice au commencement du Mouvement, fuffit pour faire parcourir au Corps un certain efpace , ou le Corps a befoin pour fè mouvoir de Padion continuée de la caufe motrice. Dans le premier cas , il eft vifible que Pefpace parcouru ne peut être qu’une ligne droite décrite uniformément par le Corps mû. Car ( hyp .) paffé le premier inftant^ Padion de la caufe motrice 11’exifte plus , 6c le Mouve¬ ment néanmoins fubfifte encore : il fera donc néceflaire- ment uniforme 9 puifque (Art. 4) un Corps ne peut ac¬ célérer ni retarder fon Mouvement de lui -même. De DE DYNAMIQUE; y plus , il n5y a pas de raifon pour que le Corps s’écarte à droite plutôt qu’à gauche. Donc dans ce premier cas^ où Ton fuppofe qu’il foit capable de fe mouvoir de lui- même pendant un certain tems , indépendamment de la caufe motrice , ilfe mouvra de lui-même pendant ce tems uniformément & en ligne droite. Or un Corps qui peut fe mouvoir de lui-même uni¬ formément & en ligne droite pendant un certain tems^ doit continuer perpétuellement à fe mouvoir de la même manière, fi rien ne l’en empêche. Car fuppofons le Corps partant de A , ( Fig. ire ) & capable de parcourir de lui- même uniformément la ligne AB ; foient pris fur la ligne AB deux points quelconques C >D , entre A ôc B. Le Corps étant en D eft précifément dans le même état que lorfqu’il eft en C, fi ce n’eft qu’il fe trouve dans un autre lieu. Donc il doit arriver à ce Corps la même chofe que quand il eft en C. Or étant en C il peut ( hyp . ) fe mouvoir de lui-même uniformément jufqu’en B . Donc étant en D il pourra fe mouvoir de lui-même uniformé¬ ment jufqu’au point G, tel que DG = CJ3, ôc ainfi de fuite. Donc fi F action première Ôc inftantanée de la caufe motrice eft capable de mouvoir le Corps, il fera mû uni¬ formément ôc en ligne droite , tant qu’une nouvelle caufe ne Fen empêchera pas. Dans le fécond cas , puifqu’on fuppofe qu’aucune eau-» fe étrangère ôc différente de la caufe motrice n’agit fur le Corps , rien ne détermine donc la caufe motrice à aug- a n 6 TRAITE monter ni à diminuer ; d’où il s’enfuit que fon action conti¬ nuée fera uniforme & confiante , & qu’ainfi pendant le tems qu’elle agira , le Corps fe mouvra en ligne droite & uni¬ formément* Or la même raifon qui a fait agir la caufe mo¬ trice conftamment ôc uniformément pendant un certain tems , fubfiftant toujours tant que rien ne s’oppofe à fon ac¬ tion , il eft clair que cette aétion doit demeurer conti¬ nuellement la même, & produire conftamment le même effet. Donc &c. Donc en général un Corps mis en mouvement par quelque caufe que ce foit, y perfiftera toujours uniformé¬ ment ôc en ligne droite , tant qu’aucune caufe nouvelle n’agira pas fur lui. La ligne droite qu’un Corps décrit ou tend à décrire, eft nommée fa direction . Remarque . 7. Je me fuis un peu étendu fur la preuve de cette fécondé Loi , parce qu’il y a eu ôc qu’il y a même encore quelques Philofophes qui prétendent que le mouvement d’un Corps doit de lui-même fe ralentir peu à peu, com¬ me il femble que l’Expérience le prouve. Il faut convenir, au refte , que toutes les preuves qu’on a données jufqu’ici de la confervation du mouvement, n’ont point le degré d’évidence néceffaire pour convaincre l’efprit ; elles font prefque toutes fondées , ou fur une force qu’on imagine dans la matière , par laquelle elle réfifte à tout change¬ ment d’état , ou fur l’indifférence de la matière au mou- DE DYNAMIQUE. 7 vement comme au repos. Le premier de ces deux Prin¬ cipes , outre qu’il fuppofe dans la matière un Etre dont on n’a point d’idée nette , ne peut fuffire pour prouver la Loi dont il eft queftion. Car un Corps qui fe.meut mê¬ me uniformément 5 fe trouve à chaque inftant dans un nouvel état , à parler exactement ; il ne fait , pour ainfi dire , continuellement que commencer à fe mouvoir, & on pourroit croire qu’il tendroit fans celle à retomber dans le repos , fi la même caufe qui l’en a tiré d’abord, ne continuoit en quelque forte à l’en tirer toujours* A l’égard de l’indifférence de la matière au Mouvement ou au repos , tout ce que ce Principe préfente , ce me fem- ble, de bien diftinâ à l’efprit, c’eft qu’il n’eft pas elfentiel à la matière de fe mouvoir toujours , ni d’être toujours en repos ; mais il ne s’enfuit pas de cette Loi, qu’un Corps en Mouvement ne puiffe tendre continuellement au re¬ pos , non que le repos lui foit plus elfentiel que le mou¬ vement , mais parce qu’il pourroit fembler qu’il ne fau- droit autre chofe à un Corps pour être en repos , que d’être un Corps, & que pour le Mouvement il auroit be~ loin de quelque chofe de plus, & qui devroit être, pour ainfi dire , continuellement créé en lui. La démonftration que j’ai donnée de la confervation du Mouvement , a cela de particulier , qu’elle a lieu éga¬ lement , foit que la caufe motrice doive toujours être ap¬ pliquée au Corps, ou non. Ce n’eft pas que je croye l’ac¬ tion continuée de cette caufe, nécelfaire pour mouvoir le Corps ; car fi l’aêtion înflantanée ne fuffifoit pas, quel TRAITE 8 leroit alors l’effet de cette a£tion ? 6c fi l’aétion înftantanée. n’avoit point d’effet , comment l’aétion continuée en au- roit-t’elle ? Mais comme on doit employer à la folution d’une queftion le moins de Principes qu’il efc poffible , j’ai cru devoir me borner à démontrer que la continua¬ tion du Mouvement a lieu également dans les deux hy~ pothefes ; il eft vrai que notre démonftration fuppofe I’é- xiftence du Mouvement , & à plus forte raifon fa poffibili- té ; mais nier que le Mouvement exifte , c’eft fe refufer à un fait que perfonne ne révoque en doute» Du Mouvement uniforme » 8. Nous venons de voir qu’un Corps fe meut unifor¬ mément & en ligne droite , quand aucune caufe étrangère n’agit fur lui. D’où il s’enfuit que ce même Corps peut en¬ core fe mouvoir uniformément, lorfque deux caufes étran¬ gères agiffent en même-tems & également , l’une pour accélérer, l’autre pour retarder fan Mouvement , ( c’effc ainfi, pour le dire en paffant, que les Corps qui tombent parviennent à fe mouvoir uniformément , lorfque la ré- fiftance du Fluide où ils fe meuvent tend à diminuer leur mouvement, autant que leur pefanteur tend à l’augmen¬ ter), Dans tout autre pas , le Mouvement eft néceffaire- ment accéléré ou retardé. p. Si deux parties quelconques AB , AC (Fig. 2) d’une ligne indéfinie A 0 repréfentent deux portions du tems écoulé depuis le commencement du Mouvement, & les lignes BD, CE j les efpaces parcourus durant ces tems DE DYNAMIQUE. 9 tems par un Corps dont le Mouvement efl: uniforme, les points D , E , feront à une ligne droite AD E. Car , puifqu’un Corps qui fe meut uniformément par¬ court des efpaces égaux en tems égaux, les points D , E , doivent être à une ligne telle , que fi on prend AB,BC égales entr’elles & quelconques , on ait toujours BD — FE. Or cette propriété n’appartient qu’à la ligne droite. Donc ôcc. Corollaire, 10. BD . CE :: AB . AC. C’eft- à-dire , que dans le Mouvement uniforme , les efpaces font entr’eux comme les tems employés à les parcourir. Remarque fur la mefure du tems * il, Comme le rapport des parties du tems nous ci'î inconnu en lui-même, Punique moyen que nous publions employer pour découvrir ce rapport, c’efi: d’en chercher quelqu’autre plus fenfible & mieux connu, auquel nous publions le comparer ; on aura donc trouvé ia mefure du tems la plus fimple , fi on vient à bout de comparer de la manière la plus fimple qu’il foit poffible , le rapport des parties du tems , avec celui de tous les rapports , que Pon connoît le mieux. Delà il réfulte que le Mouvement uniforme eft la mefure du tems la plus fimple. Car d’un côté } le rapport des parties d’une ligne droite efi celui que nous faillirons le plus facilement ; 6c de l’autre , il 10 TRAIT E' n’y a point de rapports plus aifés à comparer enfcr’eux, que des rapports égaux. Or dans le Mouvement unifor¬ me , le rapport des parties du tems eft égal à celui des parties correfpondantes de la ligne parcourue. Le Mou¬ vement uniforme nous donne donc tout à la fois le moyen , & de comparer le rapport des parties du tems au rapport qui nous eft le plus fenfible , & de faire cette comparai- fon de la manière la plus fimple ; nous trouvons donc dans le Mouvement uniforme , la mefure la plus fimple du tems. Je dis , outre cela , que la mefure du tems par le Mou¬ vement uniforme, eft , indépendamment de fa fimplicité, celle dont il eft le plus naturel de penfer à fe fervir. En effet, comme il n’y a point de rapport que nous connoif- fions plus exactement que celui des parties de l’efpace, & qu’en général un Mouvement quelconque dont la loi feroit donnée , nous conduiroit à découvrir le rapport des parties du tems, par l’analogie connue de ce rapport avec celui des parties de Pefpace parcouru ; il eft clair qu’un tel Mouvement feroit la mefure du tems la plus exaCte , & par conféquent celle qu’on devroit mettre en ufage préférablement à toute autre. Donc , s’il y a quel¬ que efpece particulière de Mouvement , où l’analogie en¬ tre le rapport des parties du tems & celui des parties de l’efpace parcouru , foit connue indépendamment de toute hypothefe , & par la nature du Mouvement même , & que cette efpece particulière de Mouvement foit la feule à qui cette propriété appartienne , elle fera nécelfai- DE DYNA MI QUE. u "S* rement la mefure du tems la plus naturelle. Or il n’y a que le Mouvement uniforme qui réunifie les deux condi¬ tions dont nous venons de parler. Car ( art. 6 ) le Mou¬ vement d’un Corps eft uniforme par lui-même : il ne de¬ vient accéléré ou retardé qu’en vertu d’une caufe étran¬ gère j & alors il eft fufceptible d’une infinité de loix diffe¬ rentes de variation. La loi d’uniformité, c’eft-à-dire l’é¬ galité entre le rapport des tems & celui des efpaces par¬ courus, eft donc une propriété du Mouvement confideré en lui-même. Le Mouvement uniforme n’en eft par-là que plus analogue à la durée , & par conséquent plus pro¬ pre à en être la mefure , puifque les parties de la durée fe fuccedent auffi conftamment & uniformément. Au con¬ traire, toute loi d’accélération ou de diminution dans le Mouvement , eft arbitraire, pour ainfi dire, & dépendan¬ te de circonftances extérieures. Le Mouvement non uni¬ forme ne peut être par conféquent la mefure naturelle du tems ; car en premier lieu, il n’y auroit pas de raifon pourquoi une efpece particulière de Mouvement non uniforme , fut la mefure première du tems plutôt qu’une autre : en fécond lieu , on ne pourroit mefurer le tems par un Mouvement non uniforme , fans avoir découvert auparavant par quelque moyen particulier l’analogie entre le rapport des tems êc celui des efpaces parcourus , qui conviendroit au Mouvement propofé. D’ailleurs , com¬ ment connoître cette analogie autrement que par l’Ex¬ périence, ôt 1 Expérience ne fuppoferoit-elle pas qu’on eût déjà une mefure du tems fixe & certaine ? Bij 12 TRAITE* Mais le moyen de s’affurer , dira-t’on , qu’un Mouve¬ ment foit parfaitement uniforme ? je réponds d’abord , qu’il n’y a non plus aucun Mouvement non uniforme dont nous fâchions exactement la Loi , 6c qu’ainfi cette difficulté prouve feulement que nous ne pouvons connoître exac¬ tement & en toute rigueur le rapport des parties du tems ; mais il ne s’enfuit pas delà , que le Mouvement uniforme n’en foit par fa nature feule , la première 6c la plus fimple mefure. Âuffi ne pouvant avoir de mefure du tems précife & rigoureufe , c’efl: dans les Mouvemens à peu près uni¬ formes, que nous en cherchons la mefure au moins ap¬ prochée. Nous avons deux moyens de juger qu’un Mou¬ vement efl: à peu près uniforme ; ou quand nous favons que l’effet de la caufe accélératrice ou retardatrice ne peut être qu’infenfible ; ou quand nous le comparons à d’autres Mouvemens , & que nous obfervons la même Loi dans les uns 6c les autres. Ainfi , fi plufieurs Corps fe meuvent, de manière que les efpaces qu’ils parcourent durant un même tems foient toujours entr’eux , ou exac¬ tement, ou à peu près dans le même rapport, on juge que le Mouvement de ces Corps efl: ou exactement , ou au moins à très-peu près uniforme. 12. Un Corps qui fe meut uniformément efl: dit fe mouvoir d’autant plus vite , que l’efpace B D qu’il par¬ court dans un même tems A B , efl: plus grand ; deforte que fi BD , Bd font les efpaces parcourus uniformément par deux Corps dans le même tems A B , on dit que les vitejfes de ces deux Corps font entr’eiles comme BD à Bd , DE DYNAMIQUE. Corollaire. i 3 1 3. BD eft à 5 d :: BD Bd AB BD AB Ce . donc en général AB AB AB AC les viteffes de deux Corps font entr’elles comme les ef- paces BD y CE qu’ils parcourent dans des tems quelcon¬ ques , ces efpaces étant divifés par les tems employés à les parcourir. La viteffe d’un Corps mû uniformément , eft donc en général comme Fefpace divifé par le tems. Du Mouvement accéléré ou retardé . 14. Si les lignes BD , CE , (Fig. 3 & 4,) repréfentant les efpaces parcourus pendant les tems AB , AC , ne font pas à une ligne droite, mais à une Courbe A DE , alors le Mouvement n’eft plus uniforme, mais il eft accé¬ léré ou retardé, félon que la Courbe A DE eft convexe ou concave vers AÇ 3 & cette variation continuelle ne peut provenir que de quelque caufe étrangère qui agit fans ceffe , pour accélérer ou retarder le Mouvement. La viteffe du Corps mû change alors à chaque inf- tant, & ne peut avoir, comme dans le Mouvement uni¬ forme , une quantité confiante pour mefure. On conçoit feulement que fon expreffion pour un inftant donné , doit être la même qu’elle feroit , fi dans cet inftant le Mouvement çeffoit d’être accéléré ou retardé. Suppo- fons donc qu’à l’inftant même où le Corps finit de par¬ courir la ligne BD ^ il vienne à fe mouvoir uniformément i4 TRAITE? avec îa vîteffe qu’il a en D ; il eft clair , en tirant la Tangente DN> que PTVTeroit l’efpace qu’il parcoureroit dans le tems PC au lieu de PE. Dans ce cas {art. 1 3 ) ~ exprimeroit fa viteffe ; or le rapport de P N à DP , eft le même que celui de l’Elément de AB à l’Elément de BD y parce que DN eft tangente. Donc fi on nom¬ me en général t le tems , e l’efpace correfpondant par¬ couru par le Corps, u la viteffe à la fin du tems ^ on d e aura u — ~ . d t Si on prolonge la Tangente D N jufqua ce qu’elle rencontre A B en F; il eft clair que B F exprimera le tems que le Corps employeroit à parcourir uniformément BD avec la viteffe qu’il a au point D. Donc fi par le point A on tire Ad parallèle à FD;Bd fera Pefpace que ce même Corps parcoureroit uniformément avec cette mê¬ me viteffe dans le tems AB. On voit par-là (Fig. 3 ) que RADE par exemple eft une parabole., c’eft-à-dire , fi les efpaces BD, CE font entfeux comme les quarrés des tems, on aura AB— 2 BF; & Bd — 2 BD. C O R O L. I. 1 y. Les efpaces NE y ne y font les efpaces que le Corps parcourt pendant les tems BCy Bc , de plus ou de moins que les efpaces P N , pn qu’il eût parcouru uniformément avec la viteffe qu’il a en D. Or fi on fuppofe les tems DE DYNAMIQUE. i; BC , Bc y infiniment petits , les lignes NE , Ne , font entr’elles comme le quatre de B C au quarré de Bc. Car l’arc DE à caufe de fa petiteffe infinie, peut être regardé comme un arc de cercle; or foit DN (Fig. y ) la portion infiniment petite de la Tangente d’un arc de cercle, & par le point N, & un autre point n quelconque de cette partie, foient tirées à volonté les parallèles NQ, nq , on aura par la propriété du cercle NE x NQ = D Nz ; ne x nq == Dnz ; & à caufe que les lignes nq > NQ doi¬ vent être regardées comme égales, on aura NE. ne:: D Nz . Dn1. Or ( Fig. 3 & 4 ) DN * D n : : B C . B c , fie par conféquent en général NE . ne : : BC\Bc\ C o r o 1. IL î 6. Il eft clair que les efpaces NE , n te , feroient ceux que la caufe accélératrice feroit parcourir au Corps , dans les inftans TC, Bc, fi au commencement de ces inftans il n’avoit aucune viteflfe. Donc les efpaces parcourus par un Corps en vertu d’une puiffance accélératrice quel¬ conque, font au commencement du Mouvement comme les quarrés des tems. C o r o l. IIL 17. Si on fuppofe BC — dt & confiant, 6c qu’on regarde la Courbe AD E comme un polygone d’une in- finité'de côtés , qui prolongés deviennent fes Tangentes , NE fera la différence fécondé de Pefpace parcouru B D > 16 TRAIT Er & en général on peut fuppofer que l’Equation différentio- différentielle de la Courbe ADE eft

que le produit de la force accélératrice par l’Elément du tems eft égal à l’Elément de la viteffe. M. Daniel Bernoulli ( Mém , de Peterjb . to . 1. ) prétend que ce Principe eft feule¬ ment de vérité contingente , attendu qu’ignorant la nature de la caufe & la manière dont elle agit, nous ne pouvons Savoir fi Son effet lui eft réellement proportionnel, ou s’il n’eft pas comme quelque puiffance ou quelque fonétion de cette même caufe. M. Euler , au contraire , s’eft ef¬ forcé de prouver fort au long dans fa Mécanique, que ce Principe eft de vérité néceffaire. Pour nous, fans vou¬ loir difcuter ici fi ce Principe eft de vérité néceffaire ou contingente , nous nous contenterons de le prendre pour une définition , & d’entendre feulement par le mot de DE DYNAMIQUE* 19 force accélératrice* îa quantité à laquelle Pâccfoiflement de la viteffe eft proportionnel*, Ainfi au lieu de dire que Faccroiffement de viteffe à chaque inftant eft confiant > ou que cet accroiffement eft comme le quarté de la dif- tance du Corps à un point fixe * ou ôcc. nous dirons fim- plement pour abréger ôc pour nous conformer d’ailleurs au langage ordinaire * que la force accélératrice eft conf¬ iante , ou qu’elle eft comme le quarré de la diftance ; ou &cCo ôc en général * nous ne prendrons jamais le rap¬ port de deux forces que pour celui de leurs effets * fans examiner fi l’effet eft réellement comme fa caufe , ou comme une fondion de cette caufe : examen entière* ment inutile * puifque l’effet eft toujours donné indépen¬ damment de la caufe * ou par expérience* ou par hypo- thefe. Ainfi nous entendrons en général par la forcé motrice le produit de la raaffe qui fe meut par l’Elément de fa viteffe * ou ce qui eft la même chofe par le petit efpace qu’elle parcourroit dans un inftant donné en vertu de la caufe qui accéléré ou retarde fon Mouvement ; par force accélératrice ^ nous entendrons Amplement l’Elément de la viteffe. Après de pareilles définitions * il eft aifé de voir que tous les problèmes qu’on peut propofer fur le Mou¬ vement des Corps mus en ligne droite , ôc animés par des forces qui tendent vers un centre * ou exerçant les mis far les autres une Attraction mutuelle fuivant une Loi quelconque * font des problèmes qui appartiennent pour moins autant à la Géométrie qu’à la Mécanique * ôc Cij 20 T R A 1 T F dans lefqucls la difficulté n’eft que de calcul , pourvu que le mobile foit regardé comme un point. On imagineroit peut-être que l’Equation $dt — regardée j non comme hypothefe, mais comme Principe, feroit au moins néceffaire pour calculer les effets dont les caufes font connues , comme l’impulfion , furtout quand cette impulfion confifte en de petits coups réitérés. J’ef- pere qu’on verra dans la fécondé Partie de cet Ouvrage , que non-feulement ce Principe y eft inutile , mais que l’application en eft infuffifante & pourroit même être fau¬ tive* Remarque IL Sur la comparai fin des forces accélératrices entr 'elle si 20. Si dans un Cercle quelconque PO^D ( Fig. j ) on tire les cordes . égales & infiniment petites PD, DE, & qu’on prolonge PD en 0 } enforte que D 0 — PD; qu’enfin on mene par les points 0 , E la ligne OQ, & par le point D la Tangente D N qui rencontre OC) en N, on aura par la propriété du Cercle DNz = NE x Njf ; 0 D x OP ou 2 D 0 2 = 0 E x OQ. * Donc à caufe que les lignes DN ôc DO , N C) 8c OQ doivent être * Lorlque les lignes F D , D E , DO font égales , on peut démontrer ri- goureufement que 0 E = z NE . Car le Triangle DOE eft ifocele 3 l’Angle ODE a pour mefüre la moitié de l’Arc P DE , & l’Angle ND E la. moitié de l’Arc DE. D’où il s’enfuit que D N divife l’Angle ODE en deux éga¬ lement 3 & qu’ainli à caufe de DO = DE, on a 0 E '= z NE. Mais la démonftration que nous avons donnée s’étend encore au cas où PD, DE y DO ne feroient pas exa&ement égales, & où leur différence feroit infiniment petite par rapport à elles. DE DYNAMIQUE. 21 regardées comme égales , on aura OE = 2 NE. Donc fi on confidére l’Elément DE d’une Courbe quelconque A DE comme un petit Arc de cercle, ce qu’on peut fuppofer fans erreur ; il s’enfuit que la dif¬ férence fécondé NE de l’efpace parcouru , eft double del’efpace réel que la puiflance accélératrice feroit par¬ courir au Corps dans l’inftant BC , quoiqu’elle paroiffe lui être égale dans la Courbe confiderée comme Poly¬ gone , parce que la Tangente D N n’eft alors que le pro¬ longement du petit côté de la Courbe. Nous avons vu ci-deffus ( art. 1 3 ) que quand les ef- paces parcourus font comme les tems correfpondans, un Corps qui parcourt un efpace E dans le tems T , par¬ courrait uniformément dans le même tems Fefpace 2 E avec la viteffe quil a à l’extrémité de Fefpace E. D’où il s’enfuit que dans la Courbe polygone, NE confiderée comme Feffet de la puiflance accélératrice ou retarda¬ trice , doit être regardée comme parcourue d’un Mou¬ vement uniforme avec la viteffe infiniment petite que le Corps a acquis à la fin de Finftant BC. En effet , dans la Courbe Polygone, les lignes NE, ne ne font plus en- tr’elles comme les quarrés des tems , mais comme les tems fimples. On voit par-là de quelle manière on peut réduire à un Mouvement uniforme l’effet inftantané de la puiflance qui accéléré ou qui retarde le Mouve¬ ment. Il faut , au refte, bien prendre garde à cette diftin&ion des Courbes polygones ôc des Courbes rigoureufes, dans C iij 22 TRAITE reftîmatîoii des effets des forces accélératrices & dans la comparaifon de ces effets entr’eux. Si un des effets eft calculé dans Thypothefe de la Courbe rigoureufe , il faut calculer l’autre dans la même hypothefe ; autrement on courroit rifque de faire le rapport des forces ? c’eft-à- dire de leurs effets 3 double de ce quil eft réellement* Voyez PHifi. de P Acad, de 1722. CHAPITRE IL Du Mouvement compofê \ T H E O R Ê M E. 2 1 • t? I ^ eltx Pu'lJfances quelconques agijfent à la fois fui O un Corps ou point A ( Fig* 6) pour le mouvoir 3 P Une de A en B uniformément pendant un certain tems , P autre de A en C uniformément pendant le meme tems 3 & quyon achevé le parallélogramme A B C D ; je dis que le Corps A parcourra la Diagonale A D uniformément , dans le même tems qu'il eut parcouru AB ou AC* Soit A g la ligne inconnue parcourue par le Corps A ; il eft: certain ( art. 6) que cette ligne fera une ligne droF te 3 & que le Corps A la parcourra uniformément* Il n’eft pas moins évident qu elle fera dans le plan des lignes AB 3 A C 3 puifqu’il n’y a pas de raifon pourquoi elle s’écarte de ce plan plutôt d’un côté que de l’autre. De plus fi îorfque le Corps eft arrivé à un point quelcosb 2 3 DE DY N À MI QUE. que g de cette ligne, on fuppofoit que deux puiffances vinffent à agir fur lui , dont Tune tendît à le mouvoir fui- vant gc parallèle à AC avec la même vitefle qu’il a en A fuivant AC, en fens contraire, ôcl’autre tendit à lui faire parcourir la ligne go égale ôc parallèle à AB,&c en fens contraire , dans le même tems qu’il auroit par¬ couru AB y il eft clair que le Corps refteroit en repos au point g, , Car fa vitefle & fa direftion au point g eft précifément la même , que s’il étoit animé en ce point par deux puiffances égales ôc parallèles aux puiffances fuivant AB 6c AC , 6c par conséquent égales 6c contrai¬ res aux puiffances fuivant go , gc . Cela pofé , imaginons que le Corps A qui décrit la ligne Ag, foit fur un plan CL MH qui puiffe gliffer li¬ brement entre les deux couliffes KL, IM parallèles à AC* Qu’on faffe mouvoir ce plan entre les deux couliffes , de manière que tous fes points g décrivent des lignes gc égales 6c parallèles à AC , dans le même tems que le Corps A eut décrit la ligne AC , 6c qu’en même tems les deux couliffes fe meuvent en emportant le plan pa¬ rallèlement à AB y ôc en fens contraire, avec une viteffe égale à celle que le Corps A auroit en fuivant A B ; il eft évident que tous les points g du plan décriront uni¬ formément des lignes ga, égales 6c parallèles à la Diago¬ nale AD du parallélogramme B C. Il eft de plus évident que le point g-, tiré continuellement en cet état par qua¬ tre puiffances contraires 6c égales deux à deux, doit relier en repos dans Pefpace abfolm D’où il s’enfuit, que quand TRAIT F 24 il efl arrivé à un point g du plan , ce point g doit fe trouver à la place que le Corps occupoit quand il a commencé de fe mouvoir. Ce qui ne fauroit être , à moins que la ligne A g ne tombe fur la Diagonale A Dé De plus , Ci on prend gc — AC , go — AB , on verra que le point g doit tomber fur le point D , parce que g a = A D , & c que le point a doit tomber fur le point A . Donc &c* Ce O» F. D . Remarque* 22 . La démonftration qu’on apporte d’ordinaire du Theorême précèdent , confifte à imaginer que le point A fe meuve uniformément fur une réglé A B avec la vi- teffe qu’il a reçu fuivant AB , & qu’en même tems la ligne ou réglé AB Ce meuve fuivant A C avec la viteffe que le Corps A a reçu fuivant AC* On prouve très-bien dans cette fuppofition , que le point mobile A décrit la Diagonale A D * En général la plupart des démonftra- rions communes de cfette propofition font fondées fur ce qu’on regarde les deux puiffances fuivant AB & A C, comme agiffant fur le Corps A pendant tout le tems de fon Mouvement j ce qui n’eft pas précifément l’état de la queftioii. Car l’hypothefe eft, que le Corps A tend à fe mouvoir au premier infant fuivant AB & A C à la fois , & Ton demande la direâion ôc la viteffe qu’il doit avoir en vertu du concours d’a&ion des deux puiffan¬ ces. Dès qu’il a pris une direction moyenne AD, les deux tendances fuivant AB AC n’exi.ftent plus 9 il iry DE D YN A MI QUE. 2$ n’y a plus de réel que fa tendance fuivant AD . J’ai donc cru devoir prévenir cette difficulté , & faire voir que le chemin du Corps A eft le même, foit que les deux puiffances n’agiffent fur lui que dans le pre¬ mier inftant, foit qu’elles agiffent continuellement toutes deux à la fois fur le Corps. C’eft à quoi je crois être par¬ venu dans la démonftration que j’ai donnée ci~deffus« Corollaire I. 23. Si un Corps parcourt ou tend à parcourir une ligne droite A C ( Fig. 7 ) avec une viteffe quelconque , & qu’on prenne un point B partout où l’on voudra fur cette ligne A C prolongée ou non, la viteffe A C pourra être regardée comme compofée de la viteffe AB & dé la viteffe BC. Car AC peut être regardée comme la Diagonale d’un parallélogramme, dont AB , JSCfont les côtés. Donc êcc* Remarque. 24. Quelques Ledeurs pourront être furpris de ce que je tire la démonftration d’une propofition fi fimple en ap-* parence , d’un cas général beaucoup plus compofé ; mais on ne peut , ce me femble , démontrer autrement la pro« pofition dont il s’agit ici , qu’en regardant comme un axiome inconteftable , que l’effet de deux caufes conjoin¬ tes eft égal à la fournie de leurs effets pris féparément , ou que deux caufes agiffent conjointement comme elles agiroient féparément ; principe qui ne me paroît pas affez évident , ni affez fimple P qui rient d’ailleurs de trop près D 26 TRAIT F à la queftion des forces vives, & au Principe des forces accélératrices dont nous avons parlé ci-deffus art. 19. C’eft la raifon qui m'a obligé à éviter d’en faire ufage , ayant d’ailleurs pour but dans ce Traité de réduire la Mé¬ canique au plus petit nombre de Principes poftible , & de tirer tous ces Principes de la feule idée du Mouve¬ ment , c’eft- à-dire , de l’efpace parcouru ôc du tems em¬ ployé à le parcourir ? fans y faire entrer en aucune façon les puiffances ôc les caufes motrices, Corol. IL 2$. Si un Corps eft pouffé fuivant A B & AC ( Fig. 8 ) par deux puiffances accélératrices quelconques , fa di¬ rection fera la Diagonale d’un parallélogramme fait fur des côtés AB j AC, proportionnels aux forces accélé¬ ratrices fuivant AB & A C , & fa force accélératrice fui¬ vant AD fera à chacune des deux fuivant AB &c AC, comme AD eft à A B & A C. Car foient A b ôc A c les efpaces que le Corps A eût parcouru dans le commence¬ ment de fon Mouvement en vertu de chacune des puiffan- ces , on aura ( an . 19.) Ab . Ac : : AB • AC . donc les lignes bd , cd , parallèles à AC, AB concourront au point d de la Diagonale AD. De même fi A (Z, Ax , font les efpaces parcourus en tems égaux en vertu de ces mêmes puiffances , on aura A b . A [ S : : le quarté du tems par A b ou par Ac au quatre du tems par A (Z ou par Ax, c’eft- à-dire , comme A c eft à A x ; donc le point de concours «f des lignes (Z^, x L, fera encore fur la Diago- DE DYNAMIQUE. 27 nale A D . Donc fi on fuppofe que le Corps A fe meuve fur la réglé AB au premier inftant , avec la force accé¬ lératrice qu’il a fuivant A B ? & que la puifiance accéléra¬ trice fuivant AC , agiffe en même-tems fur la réglé pour la porter de A vers C , le point A décrira la Diagonale Ady dans le même-tems qu’il auroit décrit Ab ou A c > & fa force accélératrice fuivant AD , fera à chacune des forces fuivant les côtés y comme la Diagonale à chacun de ces mêmes côtés. Delà on voit , comment à une force accélératrice quelconque , on peut en fubftituer d’autres , en tel nombre qu’on voudra. Au refte, comme nous avons vu ci-deffus ( art . 20) de quelle manière on peut réduire à un Mouvement uni¬ forme l’effet inftantané d’une puifiance quelconque ; il efl: clair que la combinaifon des effets de tant de puiffances qu’on voudra , êe la recherche de l’effet unique qui en réfulte,fe réduit pardà fort aifément aux Loix du Mou¬ vement compofé uniforme. Du Mouvement en ligne courbe y & des forces centrales , 26, Comme un Corps tend de lui-même à fe mou¬ voir en ligne droite , il ne peut décrire une ligne Cour¬ be, qu’en vertu de l’aâion d’une puifiance qui le détourne continuellement de fa direction naturelle. On peut dé¬ duire de l’article précédent, les Principes du Mouvement d’un Corps fur une Courbe* Dij v 28 TRAITE II eft démontré qu'un Arc infiniment petit d*une Côur- be quelconque * peut être pris pour un Arc de cercle , dont le rayon feroit égal au rayon de la développée de cet Arc de la Courbe. On réduit par ce moyen le Mouve¬ ment d’un Corps fur une Courbe quelconque* au Mouve¬ ment de ce même Corps fur un cercle dont le rayon cham ge à chaque inftant. La puiffance qui retient un Corps fur une Courbe * eft appellée particuliérement force centrale * quand elle eft toujours dirigée vers un point fixe ; mais nous la nom¬ merons ici , force centrale en général * foit qu'elle tende vers un point fixe ou non. Cette puiffance n'eft par fa na¬ ture qu’une puiffance accélératrice ou retardatrice * dont la direction eft différente de celle du Corps. On peut., par tout ce qui a été dit ci-deffus* (art. 24 & 2 J ) ré¬ duire à un Mouvement uniforme l'effet inftantané de cet¬ te puiffance * en regardant comme un Polygone d’une infinité de côtés la Courbe qu’elle fait décrire au Corps 9 & cet effet eft double de celui que la force centrale pro- duiroit dans la Courbe confiderée exactement comme Courbe. Ainfi * fuppofons qu'un Corps décrive un Arc de cercle infiniment petit PDE * ( Fig. 5 ) en vertu d’une puiffance* qui* au point D le détourne de la ligne droite fuivant une direction donnée : fi on regarde le cercle com¬ me un Polygone * la petite corde P D fera la ligne qu'il aura décrite dans l’inftant précédent* ôc DO égale & en. ligne droite avec PD* celle qu’il tend à décrire l’inflant fuivant. Donc tirant 0 E parallèle à la direction de la force DE DYNAMIQUE. 29 centrale en D, OE fera l’effet inftantané de cettè puif- fance ; au contraire, fi on confidéroit le cercle comme cercle rigoureux , la Tangente D N feroit la ligne que le Corps tendroit à décrire, ôc NE l'effet de la puiffance qui le retiendroit fur la Courbe. La ligne NE divifée par le quarré du tems employé à la parcourir, eft ( an. 17. 1 8 ôc 19 ) Fexpreffion de la force accélératrice en vertu de laquelle le Corps décrit la Courbe; or cette ligne NE eft égale au quarré de la ligne D N ou de l’Arc DE ou PD , divifé par N Q , ôc N Q eft au diamètre du cercle , comme le Sinus de l'angle que fait la force centrale avec la Courbe, eft au Sinus total ; de plus , la ligne DF, divifée par le tems em¬ ployé à la parcourir, eft ( an. 1 4 ) Fexpreffion de la viteffe du Corps. Donc, dans une Courbe quelconque, Feffet de la force centrale eft comme le quarré de la viteffe divifé par le rayon de la développée , ôc multiplié par le rapport qu'il y a entre le Sinus de Fangle que fait cette force avec la Courbe , & le Sinus total. En général , l'Elément du tems étant fuppofé confiant, la force centrale eft repréfentée par la ligne OE dans la Courbe Polygone , ôc par NE dans la Courbe rigoureufe. Il faut j par conféquent , avoir égard à cette différence d'expreffion dans la comparaifon des effets de deux forces centrales, ôc pour ne pas faire l'un des effets double de ce qu’il eft par rapport à l’autre , il faut confidérer les deux Courbes , ou toutes deux comme Polygones , ou toutes deux comme rigoureufes. Diij 50 TRAITE' Les forces centrales, & en général toutes les forces accélératrices (fi par le mot de forces nous n’entendons que les effets ) font entr’elles comme les petits efpaces qu’un Corps parcourt dans un même inftant en vertu de ces forces. On a coutume de comparer toutes ces forces à la force accélératrice confiante que nous connoiffons le mieux, je veux dire à la pefanteur. Si E eft Fefpace qu’un Corps pefant parcourt dans un teins fini T, fera fefpace qu’il parcourra dans le teins dt , & fi F Arc DE eft fuppofé parcouru dans le même-tems dt , la force centrale fera à la pefanteur, comme la ligne NE à , S \ Tri X i E d î 2 ou comme 0 E a Or foit r le rayon de la développée de la Courbe en N j S le Sinus de ffangîe que fait la direction de la force centrale avec la Courbe , A le Sinus total , e Fefpace que le Corps parcourroit uniformément dans le teins T avec la viteffe qu’il a en D , on aura DE — OE = I— x 4 = ni . Donc Feffet inflantané de la r -4 Tz Ar pefanteur eft à celui de la force centrale , comme 2 E à fjb & ainfi le rapport de ces deux effets, que la plu¬ part des Géomètres prennent pour celui des caufes mê¬ me, eft exprimé en termes finis. 3 i DE DYNAMIQUE . CHAPITRE III. Du Mouvement détruit ou changé par des objîaeles . 27. T T N Corps qui fe meut, peut rencontrer des cb- ftacles qui altèrent , ou même qui anéantiffent tout-à-fait fon Mouvement; ces derniers font, ou invin¬ cibles par eux-mêmes, ou n’ont précifément de réfiftan- ce, que ce qu’il en faut pour détruire le Mouvement im¬ primé au Corps, Un obftacle invincible peut être tel, qu’il ne permette au Corps aucun Mouvement, comme quand un Corps tire une verge droite attachée à un point fixe ; ou Pobfta- cle pourroit être de telle nature , qu’il n’empêchât pas le Corps de fe mouvoir dans une autre direction que celle qu’il a , comme quand un Corps rencontre un plan iné¬ branlable. 2$. Si l’obftacîe , invincible ou non, que le Corps rencontre , ne fait qu’altérer & changer fon Mouvement fans le détruire, enforte que le Corps ayant, par exem¬ ple , la viteffe a avant de rencontrer l’obftacle , il foit obligé de prendre une viteffe b dont la quantité & la direction foit différente de la première ; il eft évident qu’on peut regarder la viteffe a que le Corps a lorfqu’ii rencontre l’obftacle , comme compofée de la viteffe b & d’une autre viteffe c , & qu’il n’y a que la viteffe c qui ait été détruite par l’obftacle. 32 T R A I T E 2$, Delà il s*enfuit , qu'un Corps fans reffort qui vient choquer perpendiculairement un plan immobile & im¬ pénétrable, doit s'arrêter après ce choc,, & refter en re¬ pos. Car il eft vifible que fi ce Corps a du Mouvement après la rencontre du plan , ce ne peut être qu’en ar¬ riére , & dans la direction de la perpendiculaire ; foit u fa viteffe avant le choc, v fa viteffe en arriére , que je fup- pofe — mu y m exprimant un nombre inconnu quelcon¬ que , on aura donc ( art » 2 8 ) u = — m u 4- u 4- mu . Donc u 4- m u eft la viteffe perdue par le Corps à la ren¬ contre du . plan. Mais il n’y a point de raifon pourquoi m foit plutôt tel nombre que tel autre. Car la feule condi¬ tion par laquelle on puiffe déterminer la viteffe u*+~mu $ eft qu’elle doit être détruite par le plan : or puifque ( hyp .) le plan eft inébranlable , il n'y a point de raifon pourquoi il anéantiroit plutôt la viteffe u 4~ muy qu’une autre vi¬ teffe u 4-» nu. Donc le nombre m ne peut être plutôt tel nombre que tel autre , donc il fera zéro. Donc mu, &c par conféquent v fera = 0 . D’ailleurs , fi la viteffe u 4- mu eft anéantie par la rencontre du plan , à plus forte raifon la viteffe u pourra être détruite par la rencontre de ce mê¬ me plan. Donc ôcc. C o r o l. I. 30. Si on fuppofe qu'un Corps A (Fig. p) mû fui- vant A B , rencontre le plan immobile & impénétrable BD fur lequel il foit forcé de fe mouvoir, fa viteffe fui- vant BD fera à fa viteffe fuivant AB ou BC ? comme DE DY N A MI QU El 35 le Sinus du complément de l’angle CED au Sinus total. Car il faudra regarder la viteffe BC ^ comme compofée de deux autres, dont Pune BE foit perpendiculaire au plan BD , & c l’autre BD foit dans ce même plan : or la viteffe BE étant détruite par le plan, le Corps A n’aura plus que la viteife BD qui fera à BC:: le Sinus de l’an¬ gle B CD y complément de CED > au Sinus totaL C o r o l. IL 31. Si un Corps fe meut le long de plufîeurs plans AB , BC , CD , ôcc. ( Fig. 10 & 11) qu’on prolonge A B , & BC indéfiniment en F & en E ; quenfuite d’un rayon arbitraire GL on décrive l’Arc LM, & qu’on faffe l’angle LG M — CBF qu’ayant après cela abaiffé la perpendiculaire MK , on décrive du rayon G K l’Arc NK , tel que l’angle KG N= D C E , & qu’on mene la perpendiculaire NI , & ainfi de fuite ; je dis que fi on prend GL pour repréfenter la viteffe fuivant AB , GI exprimera la viteffe fuivant CD . Cela fuit évidemment du Cor. précèdent. Corol IIL 32. Donc la fournie des viteffes perdues de À en D eft égale à LJ, c’eft-à-dire, à la fomme des Sinus verfes des angles DCE , CB F, ôcc. en prenant fuccefïivement G L 6c G K pour Sinus totaux* E 34 T R A 1 T E' Coroi. IV. 3 3. Donc en prenant GL pour Sinus total commun à tous les Sinus verfes , la viteffe perdue fera moindre que la fomme de ces mêmes Sinus verfes. Du Mouvement d’un Corps le long d'une furface Courbe. \ L E M M E, 34. Si dans une Courbe ABC DR (Fig. 12) après avoir tiré les Tangentes AY, RY, on infcrit un Polygone ABCDR dont les angles extérieurs B AY , CBF, DCE, &c» foient égaux entPeux ; je dis qu on peut imaginer ce Poly¬ gone dé un fi grand nombre de cotés , que la fomme des Sinus verfes des angles B AY , C B F , DCE, RDS, &c. foit moindre quune grandeur donnée . Car la fomme des angles B AY ^ CBE , DCE , &c . eft égale à l’angle RYZ fait par les Tangentes RY, A Y de la Courbe, Donc fi on fait l’angle ryz ( Fig. 13) — RYZ , l’angle ryn — à un des angles BÂY ou CB F, & qu’on nomme n le nombre des angles ; on aura, ar c . rn x n~ arc . rz , & x n — à la fomme des Sinus verfes, r h n* . corc l,rpz2 Mais - 7 — x n r b arc . r n- . n arc . rz ‘ rz r h . : foit l’Arc , n .r b r b 7T . rl (7 r étant un nombre donné , puifque les lignes rh , r/, & l’Arc rz font donnés) la fomme des Sinus verfes DE DYNAMIQUE < 7r ,r l HS fera donc < ~~i puifque te & rl font des quantités confiantes , on peut rendre n fi grand y que foit moindre qu’une grandeur donnée ; donc à plus forte rai- fon y la femme des Sinus verfes fera moindre que cette même grandeur donnée. 3 J. Si un Corps mû Juivant une droite X A ( Figs 12) rencontre la fürface Courbe A R j touchée en A par XA; ^ Jur laquelle il foit obligé de fe mouvoir 3 je dis qu'il ne per¬ dra de A en TA aucune partie de fa vitejje * Car on peut infcrire dans la Courbe un Polygone AB CDR d’un fi grand nombre de côtés y que la femme des Sinus verfes de fes angles extérieurs foit toujours ( art. 34) moindre qu’une grandeur donnée y & qu’ainfi à plus forte raifon ( art, 33) la vitefle perdue de A en R foit toujours auffi petite qu’on voudra. Donc fi ce Poly¬ gone fe confond avec la Courbe > la vitefle perdue de A en R fera zéro. Corollaire. 3 6. Il réfuîte delà y que quand un Corps fe meut fur une Courbe j fa vitefle à chaque point de la Courbe eft pré- cifément altérée de la même manière., toutes chofes d’ail¬ leurs égales y que s’il fe mouvoir fur la Tangente de la Courbe en ce point. 3* TRAITE ; Remarque. 3 7. On démontre d’ordinaire ce dernier Theorême* en regardant la Courbe comme un Polygone ABCDR d’une infinité de côtés , dont les angles extérieurs CB F font infiniment aigus ; les Sinus verfes de ces angles étant infiniment petits du fécond ordre 5 on en conclut qu’un Corps ne perd à chaque inftant qu’une partie de viteffe in¬ finiment petite du fécond genre , deforte que la perte to¬ tale de A en R n’eft qu’infiniment petite du premier, La démonftration que j’ai donnée , quoique peut-être un peu longue ^ me paroît aufïi plus lumineufe ^ d’autant que la viteffe perdue de A en R eft réellement & exacte¬ ment nulle ou zéro , & non pas infiniment petite ; quand on veut démontrer en toute rigueur les propriétés des Courbes , on tombe néceffairement dans des démonftra- tions un peu longues ; la méthode des infiniment petits abrégé beaucoup ces démonftrations > mais elle n’eft pas fi rigoureufe. Elle a de plus un autre inconvénient , c’eft que les commençans qui n’en pénétrent pas toujours l’ef- prit, pourroient s’accoutumer à regarder ces infiniment petits comme des réalités ; c’eft une erreur contre la¬ quelle on doit être d’autant plus en garde , que de grands hommes y font tombés , & qu’elle-même a donné oc- cafion à quelques mauvais Livres contre la certitude de la Géométrie. La méthode des infiniment petits j n’eft autre chofe que la méthode des raifons premières & den*. niéres > c’eft-à-dire des rapports des quantités qui naiffent DE DYNAMIQUE, 37 ou qui s’évanouiffent. * Quand on a bien conçu Pefprit & les Principes de cette Méthode , alors il eft utile de la mettre en ufage pour parvenir à des folutions plus élé¬ gantes, De ï Equilibre, '38. Si les obftacles que le Corps rencontre dans fon Mouvement, n’ont précifément que la réfiftance nécef- faire pour empêcher le Corps de fe mouvoir ; on dit alors qu’il y a équilibre entre le Corps & ces obftacles, A THEOREME, 3 p , Si deux Corps dont les vitejjes font en raifon inverje de leurs majjes , ont des directions oppofées , de telle manière que Pun ne puiffe fe mouvoir fans déplacer P autre , il y aura équilibre entre ces deux Corps ♦ Premier cas . i°. Si les deux Corps font égaux & leurs vitefles éga¬ les , il eft évident qu’ils relieront tous deux en repos. Car il n’y a point de raifon pourquoi l’un fe meuve plutôt que l’autre dans la direction qu’il a ; d’ailleurs il eft clair par * Voyez la Section I. du i. liv. des Principes de M. Newton , & furtout FOuvrage nouveau de M. Mac-Laurin , qui a pour titre : A Treatife of flu¬ xions. L’occafion de ce Traité de M. Mac-Laurin , a été un Livre Anglois Intitulé , The Analyfi. &c. contre la certitude des Mathématiques , & dont la plupart des arguniens font contre la Méthode des infiniment petits. ■jr~\ « • ® E 11) TRAITE 38 Partiel e 29 ] qffils 11e peuvent le mouvoir dans une direct tion contraire. Donc &c. Second cas . Si Pun de ces Corps reliant dans le même état* on augmente du double la maffe de l’autre , & qu’on diminue fa viteffe de la moitié , il y aura encore équilibre. Car on peut regarder ( art . 23. ) la viteffe du petit Corps comme compofée de deux viteffes , égales chacune à la viteffe du grand ; & la maffe du grand , comme compo¬ fée de deux maffes égales , animée chacune de la même viteffe. Donc à la place de chacune des maffes propofèes, on peut imaginer de chaque côté deux maffes égales ani¬ mées de viteffes égales. Or dans cette dernière hypothefe il y auroit équilibre (Cas 1.). Donc &c* Troisième cas . Si les deux maffes font entr’elles comme deux nom¬ bres rationnels quelconques , foient M9 m , ces deux maf¬ fes y V 9 u , leurs viteffes , /a la maffe qui eft la mefure commune des deux maffes M9 m , v la viteffe qui eft la mefure commune des deux viteffes, V 9 u , on aura m — ftp y M — ftP ? u = vP 9 V — vp, P y &cp expri¬ mant deux nombres entiers* Cela pofé , on prouvera , com¬ me on a fait dans le Cas precedent , qu'à chacune des maffes animée de fa viteffe , on peut fubftituer un nom¬ bre P xp de maffes jn animées de la viteffe v , & qui par conféquent feront équilibre de part & d’autre. Donc &c* DE DYNAMIQUE . S9 Quatrième cas. Suppofons enfin que les maffes M,m, foient incom- menfurables, de manière que m = tu p & M — fiP ~\-z, P & p étant deux nombres entiers , & z ; je dis que fi mx u — M x JA. Il y aura encore équilibre. Car fuppofons qu’il n’y eut point équilibre, & qu’il fallut pour cela ajouter ou retrancher de la maffe M une quantité t ; la maffe u P z^t animée de la viteffe Vy feroit donc en équilibre avec la maffe m ou np animée viteffe u. Or la quantité t doit être néceffairement plus • petite que \jl. Car fi elle étoit plus grande , on auroit /*P -H z + + l a. De plus , cette dernière maffe fi P —H (j, , devroit pour faire équilibre à la maffe m, être ani¬ mée de la viteffe —~l c’eft-à-dire Mais on fuppofe que la maffe /x P -4- z -4- 1 animée de la viteffe V \ faffe équilibre à la maffe m animée de la viteffe u. Donc il eft impofîible que la maffe fiP 4-/^ animée d’une viteff fe plus petite que V faffe auffi équilibre à rn. Donc t doit néceffairement être < /x , & comme fi peut être auffi petit qu’on voudra, il s’enfuit que t = 0. Donc &c. Si la quantité t étoit une quantité qu’il fallut retran¬ cher , on auroit en fuppofant f >iw;iuP+' £ — t la quantité de Mouvement du Corps F doit être égale à B x A N -4- C x A Le Or fi par un point quelconque E de la ligne A F prolon¬ gée j on tire EK parallèle à AC, & ED parallèle à A B ; )q dis que les lignes AE , AD , AK feront entr’elles comme les quantités de Mouvement des Corps F, C , B; c’eft-à-dii'e que AE . ( j J) : : C x ÀL + B x AN. CrAJl) > Car AE ,(AIî) ::A0 A M . AD C x AP AK s ALxOD ANXKM ~ï~ AD PL AG AH x KM ( à caufe de OD = KM) •: AB h- ' ' PL 'AG ( mettant pour AG àc PL leurs proportionnelles Ç SæB) r. AL xC A NxB ï ( Ce^RI>; Corol. IIL 42. Tout ce que nous venons de dire fur l’équilibre dans ks propofitions précédentes^ fera vrai encore^ fi au lieu F 4a ' T R A 1 T E> des viteffes finies imprimées aux Corps qui font en équili¬ bre , on leur fuppofe des forces accélératrices qui foient entr’elles comme étoîent ces viteffes finies , ou , fuivant les définitions données art. jp, des forces motrices qui foient entr’elles comme étoient leurs quantités de Mouve¬ ment. L’équilibre fobfiftera encore , il ne faudra que fe fervir pour la démonftration , du Corolî. 2. Chap. 2$ au lieu du Coroll. 1, du même Chapitre* Remarque Sur fufage du mot de Puiffances dans la Statique. 43. Les puiffances ou caufes qui meuvent les Corps * ne peuvent agir les unes fur les autres que par Feutre- mife des Corps même qffelles tendent à mouvoir. D’où il s’enfuit que Fadion mutuelle de ces puiffances , n’eft autre chofe que Fadion même des Corps animés par les viteffes qu’elles leurs donnent* On ne doit donc enten¬ dre par Fadion des puiffances, & par le terme même de puiffances dont on fe fert communément dans la Statique f que le produit d’un Corps par fa viteffe ou par fa force accélératrice. De cette définition , & des articles pré¬ cédais , on conclut aifément que deux puiffances éga¬ les & diredement oppofées fe font équilibre, que deux puiffances qui agiffent en même fens produifent un effet égal à la fomme de chacune ; que fi trois puiffances agit* fant fur un point commun font en équilibre , & qu’on faffe fur les diredions de deux de ces puiffances un pa* DE D Y N A M I 0 UE. 43 raliélogramme la Diagonale de ce parallélogramme fera dans la direction prolongée de la troifiéme puiffance, ôc que les rapports des trois puiffances feront ceux de la Diagonale aux côtés &c 9 & plufieurs autres Théorèmes femblables que Ton démontre dans la Statique 5 peut-être- avec moins de précifion que nous le faifons ici , parce qu'on n’y donne pas communément une notion du mot de puijjance auffi nette 9 que celle que nous venons d’en donner. COROL I V. 44. Supposons que deux puiffances égales appliquées aux extrémités A 9 B ( Fig. 1 6 ) d’une verge droite & indexible AB , agiffent en fens contraire dans la direo tion de cette même verge 9 & fe faffent par conféquent équilibre. Si on imagine une autre verge quelconque ABC y fixe même ^ fi l’on veut^ en un point quelconque C > il eft évident que l’équilibre fubfiftera. De plus , fi les puiffances au lieu de demeurer appliquées en A & en B 9 étoient appliquées par tout où l’on voudroit dans AB prolongée vers A & vers B , il eft clair que l’équi¬ libre fubfifteroit encore. Donc fi on fuppofe la verge AB anéantie 5 & que la feule verge A CB fubfifte 9 les puiffan¬ ces appliquées en A èc en B étant égales & de direc¬ tions contraires 9 fe feront équilibre. TRAIT E* C O R O L. V* t)uî contient le principe du Levier . 4 J. Soient A H &c RE les directions de deux puif- fances en équilibre fur le Levier A CR , & que AH & c RE foient entr’eiles comme ces puiffances; je décom- pofe la puiffance AH en deux autres, dont les direc¬ tions AK & c AG prolongées, paffent, Tune par R , Pau- tre par C, & de même la puiffance R E en deux autres, dont les directions B P & B F paffent par A & par C» En menant les perpendiculaires CM , CV , CL, fur y^ILj T) TH AU *3» A 17" -iiîxCM n, n D X CF • £ E , yv B , j ai yf iC == — - — — & o r = - — . mais CL CL à caufe de l’équilibre A K == P R. Donc CMxAH— ' RE xCH . donc les puiffances AH , RE font entr’elles en raifon inverfe des diftances de leurs directions au point lixec G o r o l* V L 4.6. Si le point C n’étoit pas fixe, alors il faudroit fe fervir du Corolfi IL ci-deffus, pour favoir quelle puifi fance il faudroit appliquer en C pour réfifter aux puiffances AG 9 RF. Or comme les puiffances AG, RF peuvent être regardées comme compofées des puiffances A H & Aky RE & R p , ôc que les puiffances A k , B p font éga¬ les & fe détruifent , il s’enfuit que la puiffance capable de faire équilibre aux puiffances AG, RF , fera la mê¬ me que celle qu’on trouveroit 3 fi au lieu de ces puîfë DE DYNAMIQUE. fances AG , BF, on imaginoit les puiffances AH, BE , appliquées en C avec leurs direétions propres. .1. > Remarque fur le cas ou le Levier eft droit . 47. La démonftration precedente du principe du Le¬ vier, fuppofe que les lignes AC & CB faffent un angle , & il femble par conséquent qu’elle 11e puiffe s’appliquer au cas où le Levier eft droit, & les diredions des puif¬ fances parallèles. Cependant comme la proposition eft vraye , quelque obtus que foit l’angle A CB ; il eft clair qu’elle doit être vraye encore, lorfque Pangle A CB eft de 1 80 degrés. Voici, au refte , une démonftration plus rigoureufe du cas dont il s’agit. Soient A P , A R ( Fig. 1 7 ) les bras de Levier ; PD , RS les diredions des deux puiffances , que je fuppofe en équilibre ; il eft évident en premier lieu, que fi les bras de Levier font égaux, les puiffances P, R doivent être égales. Mais fi les bras AP , A R font inégaux, alors ayant tiré à volonté la ligne AS , imaginons que cette ligne repréfente une verge inflexible, à l’extrémité S de laquelle foient appliquées deux puiffances égales & op- pofées,dans la même ligne que la puiffance R : fuppofons , de plus , que la feule puiffance S qui tire en embas, foit capable de faire équilibre avec la puiffance P fur le Le¬ vier PA S . Il eft confiant que la puiffance S oppofée à celle-ci , doit faire équilibre à la puiffance R ; c’eft-à-dire ( art. 44) quelle doit lui être égale. Donc R — S = ■" ' T-'», ». « F 11; ( f TRAITE' 46 (art. is) Ce Q. F. D. Donc R . P :: AP. À R. Je ne fuis pas le feul qui ait déduit les propriétés du Levier droit de celles du Levier courbe. M. Newton en a ufé de la même manière dans fes Principes , quoiqu’il ait fuivi une route différente de la nôtre , & il y a lieu de croire que ce grand Geométre fentoit la difficulté qu’il y auroit eu à s’y prendre autrement. J’ai tiré les proprié¬ tés du Levier courbe y de l’équilibre entre deux puiffan- ces égales & oppofées en ligne droite; mais comme ces deux puiffances s’évanouiffent dans le cas du Levier droit, îa démonftration pour ce cas n’a pu être tirée qu’indi- reêlement du cas générale On peut démontrer les propriétés du Levier droit , dont les puiffances font parallèles, en imaginant toutes ces puiffances réduites à une feule , dont la direction paffe par le point d’appui: c’eft ainfi que M* Varignon en a ufé dans fa Mécanique* Cette Méthode entre plufieurs avantages, a celui de l’élégance & de l’uniformité; mais iva-t’elle point auffi , comme les autres , le défaut d’être indireêle, & de n’être pas tirée des vrais Principes de l’é¬ quilibre ? II faut imaginer que les directions des puiffan¬ ces prolongées concourent à l’infini , les réduire enfuite à une feule par la décompofiticn , & démontrer que la di¬ rection de cette dernière paffe par le point d’appui. Doit- on s’y prendre de cette manière pour prouver l’équilibre de deux puiffances égales, appliquées fuivant des direc¬ tions parallèles à des bras- égaux de Levier ? il me fem- DE DYNAMIQUE . 47 ble que cet équilibre efl: auffi fimple & auffi facile à conce¬ voir, que celui de deux puiffances oppofées en ligne droi¬ te , ou d’une puiffance retenue par un point fixe , & que nous n’avons aucun moyen direct de réduire Tua à l’au¬ tre : or fi la Méthode de M. V arignon pour démontrer l’équilibre du Levier efl: indirecte dans un cas , elle doit l’être auffi néceffairement dans l’application au cas gé¬ néral. Corol. VIL 48. Toutes chofes demeurant les mêmes que dans la Remarque précédente ; fi on fuppofe au lieu du point fixe A une puififance qui faffe équilibre aux puiffances P ôc R, il efl: évident que fa direâion fera parallèle & contraire à celle de ces puiffances, 6e qu’elle fera égale à leur fem¬ me. Car en fuppofant qu’elle faffe équilibre aux puiffances P j S? elle fera = P S, Donc puifque S — R, elle fera auffi = P -4- R, 45) * Je ne m’étendrai pas davantage fur les Loix de l’é¬ quilibre dans cette première partie. J’aurai occafion d’en parler encore dans la fécondé partie de cet Ouvrage. La Loi générale de l’équilibre, efl: que les puiffances foient entr’elles réciproquement comme les viteffes , eftimées fuivant la direction de ces puiffances. C’efl: de cette Loi générale , dont M. Newton fait mention en peu de mots au commencement de fes Principes , que dépend la dé- monftration de la confervation des forces vives, com¬ me on le verra dans la fécondé Partie de cet Ouvrage. 48 TRAITE Pour ce qui concerne le détail des différentes Machi¬ nes dont on fait mention d’ordinaire dans la Statique ^ comme la Poulie } le Treuil &c^ je me contente 5 n’ayant là-deffus rien de nouveau à dire y de renvoyer mes Lec¬ teurs aux Livres qui en traitent 5 Se particuliérement à FOuvrage de M. Trabaud qui a paru l’année dernière* & qui a pour titre : Principes fur le Mouvement & l'Equili¬ bre ; Ouvrage où cette matière & plufieurs autres font trai¬ tées avec exaélitude ôc avec clarté» ♦ SECONDE 49 DE DYNAMIQUE. III lllll* ■ l ■ ■ — n-.^— — i— . . , , , ... a ■ i r il ... i ..... i. i. . I. «fÉ».. — . ifr SECONDE PARTIE. Principe ge'ne'r al pour trouver le ÎVLouvement de plujieurs Corps qui agiffent les uns fur les autres d’une manière quelconque 3 avec plufeurs applications de ce Principe. CHAPITRE PREMIER, Expojition du Frincipet LEs Corps n agiffent les uns fur les autres que de trois manières différentes qui nous foient connues : ou par impulfion immédiate ? comme dans le choc ordinaire 5 ou par le moyen de quelque Corps interpofé entr’eux 3 Ô£ auquel ils font attachés 3 ou enfin par une vertu d’attrac¬ tion réciproque , comme font dans le fyftême Newtonien le Soleil & les Planètes. Les effets de cette dernière efpece d’aélion ayant été fuffifamment examinés 5 je mè bornerai à traiter ici du Mouvement des Corps qui fe choquent d’une manière quelconque * ou de ceux qui fe tirent par des fils ou des verges inflexibles. Je m’arrê¬ terai d’autant plus volontiers fur ce fujet, que les plus grands Géomètres ne noüs ont donné jufqu’à prélent ^u’un très-petit nombre de Problèmes de ce genre § M G ye TRAITE* que j’efpere , par la Méthode générale que je vais don¬ ner, mettre tous ceux qui font au fait du calcul & des Principes de la Mécanique, en état de réfoudre les plus difficiles Problèmes de cette efpeçe. D E'F 1 N I T I O N, J'appellerai dans la fuite Mouvement d’un Corps , la viteffe de ce même Corps confîderée en ayant égard à fa direction , & par quantité de Mouvement , j’entendrai à l’ordinaire le produit de la maffe par la viteffe. A Problème general ^ y o» Soit donné un JyJiême de Corps dijpofés les uns par rapport aux autres d'une manière quelconque ; & Juppofins quon imprime à chacun de ces Corps un Mouvement parti¬ culier y qu'il ne puijfe fuivre à cauje de faêlion des autres Corps , trouver le Mouvement que chaque Corps doit prendre* Solation . Soient A , B, C 9 &c, les Corps qui compofent le fy^ ftême , & fuppofons qu’on leur ait imprimé les Mouvez mens a, b 9c9 &ç. qu’ils foient forcés , à caufe de leur a&ion mutuelle, de changer dans les Mouvemens a, b, c, ôcc. Il eft clair qu’on peut regarder le Mouvement a imprimé au Corps A comme compofé du Mouvement a qu’il a pris , & d’un autre Mouvement et ; qu’on peut de même regarder les Mouvemens b , cy &c. comme DE DŸN AMÎ^ÜËi U eompofés des Mouvemens b , g; Cy x ; &c* d'où il s'en¬ fuit que le Mouvement des Corps A y B &c. entr’eux auroit été le même y fi au lieu de leur donner les impul- fions a,b y c , on leur eut donné à la fois les doubles im- pulfions a > a ; b > £ ; c , x, &c. Or par la fuppofition 5 les Corps A y B y C y &Ci ont pris d’eux-mêmes les Mouve- mens a, b, c; &c* Donc les Mouvemens et y £, x &c« doivent être tels qu'ils lie dérangent rien dans les Mou¬ vemens a,b, c &c. c’eft- à-dire , que fi les Corps n’a- voient reçu que les Mouvemens uyëy x &c. ces Mou¬ vemens auroient dû fe détruire mutuellement y & le fyftê- me demeurer en repos* Delà réfulte le Principe fuivaiit pour trouver le Mou¬ vement de plufieurs Corps qui agiflent les uns fur les au¬ tres* Décompofés les Mouvemens a y b y c &c* imprimes à chaque Corps y chacun en deux autres et y b y €,CyXy &c* qui foient tels y que Ji l’on rl eût imprimé aux Corps que les Mouvemens a, b, c &c* ils eujfent pu conferver ces Mou¬ vemens fans fe nuire réciproquement ; & que fi on ne leur eût imprimé que les Mouvemens uyêyX> &e* le Jyftême fut demeuré en repos ; il eft clair que a , b y c feront les Mou¬ vemens que ces Corps prendront en vertu de leur âo* don* Ce 0 * Fé Trouver « ■x» *f|p! ft TRAITE CHAPITRE IL Propriétés du centre de gravité commun de plusieurs Corps j déduites du Principe précédent. De' FINITION I. J'Appellerai dans la fuite centre de gravité de deux Corps , un point pris dans k ligne droite qui joint ces Corps, & dont les diftances à chacun de ces Corps, foient en raifon inverfe de leurs maffes ; & en général , j'enten¬ drai toujours par le mot de centre de gravité de plusieurs Corps, ce qu’on entend d’ordinaire par ce mot enMécanique, c’eft-à-dire , un point tel , que fi on fait palier par ce point un plan de pofition quelconque , la fomme des produits des maffes qui fe trouveront d’un côté de ce plan , mul¬ tipliées chacune par fa diftance à ce même plan , foit égale à la fomme des produits des maffes qui fe trouve¬ ront de l’autre côté , multipliées de même chacune par fa diftance au plan. S C O L I E, 5* i . Lorfque les pefanteurs des Corps font comme leurs maffes , le centre de gravité , tel que nous venons de le définir , eft auffi le point par lequel le fyftême devroit être fufpendu pour relier en équilibre, fi tous les Corps étoient unis l’un à l’autre par des Leviers inflexibles. If DE DYNAMIQUE, n n*en efl: pas de même , lorfque les forces motrices ou pefanteurs des Corps ne font pas comme leurs maffes. Ce que nous appelions ici centre de gravité , devroit plu¬ tôt s’appeller alors centre de majfes. * Nous nous fervi- rons cependant du terme de centre de gravité , pour nous conformer à l’ufage reçû. De' finition IL Lorfque plufieurs puiffances agiffent enfemble ]?ap« pellerai force ré fuit ante du concours dé action de ces puijfan - ces ? ou Amplement force réjultante de ces puiffances > une puiffance égale & directement oppofée , à celle qui fe-? roit capable de leur faire équilibre» Ainfi y par exemple , fi A M ( Fig» 17) eft la direction de la puiffance qui fait équilibre aux puiffances P , R { tir le Levier P A R y A N fera la direction de la force ré¬ futante des puiffances P , R y & cette force réfutante fera égale à la force fuivant AM, Corollaire» T" 52» Si plufieurs puiffances fe font équilibre d’une mar niére quelconque , la force réfutante fera nulle , s’il n’y a pas de point fixe ; & s’il y en a un, la direction de la force réfutante paffera par le point fixe. Car dans le premier Cas , puifque toutes les puiffances * Ce terme de centre de maffe a été imaginé par M. Daniel Bernoulli ; Traité du flux & reflux, Chap. 1* G, . . 11J TRAITE M» v S 4 fe font équilibré par elles-mêmes les unes aux autres > k puiffance capable de faire feule équilibre à toutes ces puif- fances eft donc zéro 5 ôc par conféquent auffi ( défi préccd . ) la force réfultante. Dans le fécond Cas , il eft vifible que le point fixe fait l’effet d’une puiffance qui foutient l’effort de toutes les autres ; donc fi on détruit le point fixe > ôc qu’on cherche une puiffance capable de faire équilibre à toutes les puif- fances données la direction de cette puiffance paffera néceffairement par le point fixe. Donc la direction de la force réfultante y paffera auffh T entends au refie ici , & j entendrai dans les Lemmes fuivans par le mot de point fixe $ non- feulement un point Mathématique ( comme F appui d'un Levier , le point de Juf penfion d'une verge ou d'un fil) ; mais en général tout oh * flacle infurmontahle y qui par fa réfiftance feit capable de dé-* nuire l'effet commun des puiffances ? & de produire l'équili - bre entr elles* L E M M E I. y 3 . Si tant de Corps qtton voudra fe meuvent uniformé¬ ment fuivant des ditebliôns parallèles ^ dans le même plan ou dans des plans différens > la direâion de leur centre de gra¬ vité commun fera parallèle aux direâions de ces Corps > & fa viteffe fera égale à la fomme des quantités de Mouvement de chaque Corps , divijée par la femme des maffes * Cette pro^ pofition eft démontrée dans plufieurs Ouvrages, DE DYNAMIQUE , L E M M E II, ss j 4, Soient un même plan trois Corps A, a, & , ( Fig. 1 S ) général tant de Corps quon voudra & G leur centre de gravité . S0/V GM la ligne droite parcourue par le centre de gravité de ces Corps , dans le tems quils parcourent tmi for¬ me ment les lignes quelconques AC, ac,a^. Je dis , que fi on décompofe les vitejfes AC, ac,a^, chacune en deux au¬ tres AB, AD;ab, ad; etëy a J , telles que les lignes AB, ab, etë foient parallèles entr elles auffi-bien que les lignes BC,bc, ëx;& quon cherche la ligne G N que par cour-? voit le centre de gravité G , fit les Corps A , a , et , avoient les vitejfes & les direâions AB, a b 9 etë y & de même la ligne G O que parceurroit ce même centre , fi les Corps A, a,a, avoient les vitejfes & les direâions AD, ad, et J: la Diagonale du parallélogramme fait fùr les lignes GN, GO, fera la ligne même G M que parcourt le centre , lorfque les Corps A , a , ce , ont les vitejfes & les direâions A. C , a c , et x p Car fuppofons, que lorfque les Corps A , ay et , font parvenus en Bj h , £, & que par conféquent ( hyp.) le centre G eft en AG on leur donne fuivant BCybcyëxy des viteffes égales & parallèles aux vitefles fuivant AD > ad , et J, il eft clair qu’ils arriveront aux points C >c }x des lignes AC y ac yetx. Or, par la fuppofition , lorfque les Corps A y a y et font en C9c9x9 le centre G eft en M ; donc tandis que les Corps A , a , et , parcourent les li¬ gnes B Cy bey ëx y le centre de gravité parcourra la ligne S6 TRAIT F NM. Cette ligne NM fera ( Lem. i ) parallèle aux lignés BC , bc },éx , & A • B C " $ • a .b c *~4— 1 et . x A. ~~f— a — f— Ot Maïs la ligne G 0 que parcourroit le centre de gravité G , tandis que les Corps A , a , a, décriroient les lignes A D , ad, a cfq pa¬ rallèles 6c égales à BC, bc , êx, cette ligne GO feroit parallèle à ces mêmes lignes AD , ad, & lorfqifils décrivent F P , fp , (p7T. Il eft clair que yv fera égale & parallèle à G N$ & y ce égale & parallèle à GO* Donc y pi fera auffi égale & parallèle à G M : mais ( Lem* préced . ) ces deux lignes font celles que décrivent les centres de gravité G , y , quand les Corps A , a, &£> c F,f,cp, parcourent les lignes AC,ac F H $ fh Donc &c* Ce P* F* D* L E M M E IV* qy* Les mîmes chofes étant juppofées que dans le Leiîi* IL cî-deffus , avec cette différence que AB, & AD* ad, ctL, ( Fig. io)ne foient point parallèles : ft GM eft le chemin du centre de gravité , lorfque les Corps A, a , a, décri¬ vent uniformément les lignes AC, ac, ctx ; GN le chemin de ce même centre , lorfque ces Corps décrivent les lignes A B ^ a b , et S ; & GO le chemin du centre , lorfque les Corps A, z, a, décrivent les lignes A D , ad , a F ; je dis que G M fera la Diagonale du parallélogramme fait fur les cotés GM, GO. Car l’on prouvera comme dans le Lem. IL que NM. eft le chemin du centre, lorfque les Corps A ,a,&, dé¬ crivent les lignes BC ,bc,£x* Mais à çaufe que AD $ H 5*8 TRAITE ad y cirl font égalés & parallèles à BC >b c \€x , chacuhè à chacune ; il s’enfuit ( Lem . 3 ) que GO efl; égale & pa* yalléle à NM « Donc &c* C o r o l, L y 8. Si on avoir décompofé les Mouvemens AC^ac^ax chacun en trois autres quelconques , ou en général en tant d’autres qu’on eût voulu , le chemin GM du centre de gravité auroit toujours été la dernière Diagonale des pa¬ rallélogrammes , qui auroient eu pour côtés les lignes particulières que le centre de gravité auroit parcouru, fi les Corps A )a,a, avoient eu féparément & fuccefi fivement chacun des Mouvemens compofans. Cela eft çîair par le Lem. precedent, C O R O L, II: yp.~ La même propofition feroit encore vraye, fi les Mouvemens compofans n’étoient pas en nombre égal dans tous les Corps ; par exemple , fi le Mouvement de l’un étoit décompofé en trois y le Mouvement d’un au¬ tre en deux ^ &c. Car le Lemme précèdent n’en feroit pas moins véritable ? quand on fuppoferoit par exemple AD = o y c’efi: - a - dire , que le Mouvement AC n’eût point été décompofé* Lemme V, 60. SI tant de Corps A, B, C &C. qtdon voudra font liés ou joints enfemhle dune manière quelconque p fans néan% DE DYNAMIQUE . moins qu’il y ait dans le Jyjîême aucun point fixe $ & qu 'on leur imprime les Mouvemens M > P? &c. tels qu’en ver - tu de ces Mouvemens ils foient en équilibre . Je dis que fi les Corps ) A , B, C , pouvoient füivre librement les Mouve* mens M , N , P , &c. le centre de gravité demeureroit en repos . Car fi on décompofe les Mouvemens M > N } P , &c * chacun en deux autres /x;n9vip 97r ; &c* parallèles à deux lignes données de pofition quelconque , que j’appelle K & Q ; il faudra pour trouver le chemin du centre de gravité en vertu des Mouvemens M , N, P , &c. cher¬ cher le chemin de ce même centre en vertu des Mou* veine 11s m yn,p« qui fera ( Lem> i ) parallèle à = • & le chemin de ce même centre A . m —f- B . n A —I— B —H C « (fyc , en vertu des Mouvemens 9 v, tt &c. qui fera parallèle A . jw H- B . v —H C . TT —H &c. A -4”* B •— H C “4— fyc. . La Diagonale du pa- rallélogramme fait fur ces deux lignes ^ fera ( Lem . 2 ) le chemin du centre de gravité. Il faut donc prouver que chacune de ce s deux lignes fera zéro , pour faire voir que le chemin du centre de gravité eft == o., ou, ce qui eft la même chofe , il faut démontrer que A B *n-\~ C *p &c( o ^ & A • /x HH B « v -H C. ?r H— r* • = o« Or , puifque ( hyp . ) les Corps A yC ^ &c. animés des Mouvemens P, &c. font en équilibre ? & qu'il n'y a dans le fyftême aucun point fixe , la force réfui* tante des puiffançes A donc chacune de ces deux quantités eft == Ce Fa V* L E M M E VL 6 î . Les memes chofes étant fiippofées que dans le Corolh precedent 9 fi ce ré efi que ■ les Mouvemens M 9 N , P 9 &c* f oient quelconques 9 c efi- à- dire tels que les Corps A, B, C &c, animés de ces Mouvemens , fe fajfient équilibre ou non > &*, qiiil y ait de plus > fit Ion veut , un point fixe dans le fyfiême i je dis que fi ï 'on fuppofoit que les Corps A 9 B 9 C , &c. fuivijjent les Mouvemens M 5 N 5 P &c 9 abfirâÛion faite de leur aôlion mutuelle ? le chemin du centre de gravité feroit parallèle à la direâion de la force réfultante des puijfances A , M ; B , N $ C * P ; ôcco Car pour avoir la direction de cette force ^ il faut ( les ‘mêmes chofes étant pofées que dans la démonftration du JLem, précèdent) tirer la Diagonale d’un parallélogram¬ me dont les côtés ^ parallèles à K ôc à foient eu- DE DY N À MI QUE. 61 tr$eux comme A . m B * n C .p -H &c . à A . /a h- B . v ^4-. C , 7T -h &c . Mais pour avoir le chemin du centre de gravité en vertu des Mouvemens A4, N, P, &c . il faut ( Lm, 2 ) tirer la Diagonale d’un parallélogramme dont les côtés , parallèles à K & à Q , foient entr’eux comme A . 771 *-{— B . 71 — | — C . P — 1— ' <&c. \ A • {£ — |— B . V — ^ — C . 7t — f— A — }— B — -f— C b— J— fyc. a A —H B — {— C — |— &cc donc les côtés de ces deux parallélogrammes feront pa¬ rallèles chacun à fon correfpondant , & feront l’un à l’au¬ tre dans le même rapport. Donc les Diagonales feront parallèles. Donc &c. Ce Q. F. D. Corollaire, (5 2. Si les Corps A , B, C, &c. avoient les Mouve¬ mens — A4, — N, — P , c ’rc. le chemin du centre de gravité feroit parallèle à la direction de la force réfultante , mais en fens contraire, S c o L I E. 63. Tous les Lemmes démontrés ci-defius font enco¬ re vrais , lorfque les Corps font fuppofés dans des plans différens. Car i°. le Lem. 1. eft vrai dans ce cas com¬ me dans les autres ^ 2 °. La démonftration du Lem, 2. ne fuppofe pas à la rigueur que les Corps A , a , et, foient dans le même plan ; elle fuppofe feulement que les Mou¬ vemens A C , a c , et x puiffent fe décompofer chacun en deux autres parallèles à deux lignes données. D’où Hüj TRAITE' il s’enfuit que le Lem. 3* fera vrai, lors même que ïe$ Corps font dans des plans différens , au moins dans la fup- pofition que les Mouvemens imprimés à chaque Corps puiffent fe décompofer chacun en deux autres parallèles à deux lignes données de pofition. Or lorfque les Corps font dans des plans différens , on peut décompofer les Mouvemens imprimés , chacun en deux autres , dont Pun foit parallèle à une ligne donnée de pofition , & le fécond puiffe derechef fe décompofer en deux autres auffi paral¬ lèles chacun à deux autres lignes données de pofition* D’où il s’enfuit que le Lem. 3. eft vrai dans tous les cas, & qu’ainfi les Lemmes 4 , j & 6 qui ne font appuyés que fur les trois premiers , ôc qui ne demandent point que les Corps foient dans un même plan , font auffi vrais dans tous les cas* Au refte , nous avons fuppofé dans les Lemmes préce-^ dens,îa propofition démontrée par M. Newton , que le centre de gravité de plufieurs Corps qui fe meuvent uni¬ formément ôc en ligne droite, fans agir les uns fur les autres, fe meut auffi uniformément ôc en ligne droite. Cependant il efl: facile de voir que par la Méthode de la décompofi- tion des Mouvemens en d’autres parallèles à des lignes données , on pourroit auffi démontrer très-facilement cet¬ te propofition , Ôc qu’ainfi notre Méthode a cet avantage,1 qu’on peut s’en fervir pour démontrer que le centre de gravité de plufieurs Corps, fe meut uniformément ôc en ligne droite , foit que ces Corps agiffent , foit qu’ils n’a-* giffent pas les uns fur les autres, DE DY NA Ml QUE. 63 A THEOREME I. 6 4. U état de Mouvement ou de repos du centre de gravité de plusieurs Corps y ne change point par Paâion mutuelle de ces Corps entr eux , pourvu que le Jyfiême foit entièrement li~ hre , défi - à - dire quil ne foit ajfujéti à fe mouvoir autour d aucun point fixe . Car ( art. 5*0 ) les Mouveniens ay h yc &c. étant compo- fés des Mouvemens z9u;b 9 ë9 c9x ; &c. les Mouvemens a > b 9c9 peuvent être regardés comme compofés des Mou- yemens a 9 — ct\b 9 — . ë;c 9—~ x ; d’où il s’enfuit que le chemin du centre de gravité quand les Corps font animés des Mouvemens a., b, c , &c. eft le même ( Lem. 4) que fi on les fuppofoit animés d’abord des Mouvemens a9by c j ôc enfuite des Mouvemens — et 9 — £, — x. Or puis¬ que par l’hypothefe 9 il n’y a dans le fyftême aucun point fixe , & que le fyftême demeureroit en repos y fi les Corps n’avoient reçu que les Mouvemens et 9 ë > x ; &c . Il s’en¬ fuit (Lem. y . 6c Cor oh Lem . 6 ) qu’en vertu des Mouvemens — et9 — ë9 — x 9 &c. le chemin du centre de gravité eft zéro. Donc le chemin du centre de gravité eft le même quand les Corps ont les Mouvemens a j b c ^ que s’ils fui- y oient les Mouvemens a9b9c9 qu’on leur a imprimés. Remarque. 6<$. S’il y a dans le fyftême quelque point fixe 9 alors les Corps animés des Mouvemens ct>ë>x9 &c. peuvent fe faire équilibre , fans que la force réfultante de ces Mou- 64 TRAITÉ ' vemens foît zéro : il fuffit que la ditedion de la force relut3 tante de ces Mouvemens paffe par le point fixe ; dans ce cas , le chemin du centre de gravité en vertu des Mouve¬ mens — et, — — x fera (Cor. Lem. 6) parallèle à la diredion de cette force & en feus contraire , & par cou¬ le qu eut ne fera point = o. Donc alors l’adion mutuelle des Corps changera l’état du centre de gravité, Theoreme IL 66, Les memes chofes étant Juppofées que dans le The or* L fi lapefanteur ou une force accélératrice , confiante pour chaque Corps , & différente , fi ton veut > pour chacun dé eux , agit fur ces Corps Juivant des lignes parallèles , le centre de gravité ou plutôt le centre de maffe commun décrira la meme Courbe quil auroit décrite, fi ces Corps eu fient été libres . Pour le démontrer , ne prenons que deux Corps A P B , ( Fig. 2 i ) & fuppofons que A ci , B ë , foient les pe«* rites lignes qu’ils parcourroient naturellement en vertu des viteffes primitivement imprimées A a , B b , & de la force accélératrice fuivant a et > ££;foit C le centre de maffe des Corps A & B , c’eft-à-dire un point dont les diftances aux points A & B foient en raifon inverfe des maffe s A & B, ( & non pas des poids A & B qui peuvent ici n’être pas comme les maffe s , ) &; que les Corps A & B y au lieu de parcourir les lignes A et, B ë, parcourent les lignes A a , B b ; il eft clair ( art « 6 4 ) que le chemin Cx du centre de gravité au premier inftant , fera le même que fi les Corps A 6c B , euffent décrit les lignes A et, B é* Dans DE DYNAMIQUE i 6$ Dans Finftant fuivant , les Corps tendent à décrire a g = A a ôc b eT = B b , ôc le centre C tend à parcourir îa droite x K = Cx , la même qu’il eût parcouru , fi les Corps euffent continué à fe mouvoir fuivant Au^ Bê; mais comme j en vertu de la force accélératrice , les Corps A ôc B , décriroient les lignes parallèles efy âg dans ce dernier cas, ôc dans l’autre cas les lignes sep , d'y qui leur font égales & parallèles chacune à chacune , il s’enfuit que le chemin x k du centre de malle fera le même, foit que les Corps décrivent &/, ég , foit qu’ils décrivent les li¬ gnes a

dg «égale ôc parallèle àeTy; ô c par conféquent le chemin xk ou centre ne feroit pas le même dans les deux cas. Corollaire. 6 8. Les deux Théorèmes précedens fournîffent des moyens très-fimples de trouver le Mouvement des Corps l T R A 1 T F inflexibles. Nous pourrons en donner quelques ulagës dans la fuite. Theoreme III. t V, - } 69. Si tant de Corps quon voudra font liés enfemble dé une manière quelconque , & quyun ou plufieurs de ces Corps fient forcés de fe mouvoir fitr un plan ou fur des plans parallèles , je dis que le chemin du centre de gravité parallèlement à ces plans fera uniforme . [ Ainfi j par exemple y & pour fixer P imagination , fi un Corps P 2 ( Fig. 29 ) forcé de fe mouvoir dans la rainure droite P S dont il ne puijfe finir , traîne après lui un autre Corps M par le moyen d’une verge PM ^ le centre de gravité g de ces deux Corps décrira une Courhe telle > que les parties de la ligne K S répondantes aux Arcs parcourus par le centre g en tems égaux , feront égales . ] Car en général , fi on réduit en une feule force tous les Mouvemens perdus par ces Corps à chaque inftant ^ il eft clair quà caufe de l’équilibre de ces Mouvemens, la di¬ rection de la force réfultante fera néceiïairement perpen¬ diculaire aux plans. Donc le centre de gravité fera con¬ tinuellement écarté de la ligne droite par une force dont la direction fera ( Lem . 6 . ôc art . 65) perpendiculaire à ces plans , & dont par conféquent Padion fera toujours parallèle à une ligne donnée. Donc &c» • Corollaire, 70, La même propofition feroit encore vraye } fi les ; DE B ŸN A MI QUE. éi Corps étoient animés de forces accélératrices quelcon¬ ques * confiantes ou non * mais de directions perpendicu¬ laires à ces plans. D'où il s’enfuit , que fi les Corps fe mouvoient par la feule adion de ces forces fans aucune impulfion primitive * le centre de mafle décriroit une li¬ gne droite perpendiculaire à ces plans. Car dans ce der¬ nier cas* fi les Corps étoient libres* le centre de gravité décriroit une droite perpendiculaire à ces plans ; or fou Mouvement ne fera altéré que par une force dont la direc¬ tion fera perpendiculaire à ces plans : donc le centre de gravité ne fortira jamais de la perpendiculaire* S C O L I E I, « 7 î . Les proportions qu'on a démontrées art . 64 & 66* font également vrayes* quand les Corps agiffent les uns fur les autres par une force d'Attradion mutuelle. Car les chemins qu’ils feroient les uns vers les autres en vertu de cette Attradion * étant réciproques à leurs maffes * la foirn me des Mouvemens de même part feroit zéro ; par con- iequent le chemin du centre de gravité ne feroit point changé par Fadion réciproque de ces Corps les uns fur les autres. On peut d’ailleurs appliquer ici la démonflratioit donnée du Theor. 1 * en imaginant tous ces Corps joints les uns aux autres par des verges inflexibles. Car alors en n’ayant égard qu’à leur Attradion mutuelle* il eft clair quils refteroient en équilibre. Donc &C, 6'8 T R A 1 T F S C O L I E IL 72. Il me femble que par les Principes établis jufqu’î- ci, on peut démontrer cette fameufe Loi de Mécanique * que dans un fyftême de Corps pefans en équilibre , le centre de gravité eft le plus bas qu’il eft poffible. Car fup- pofons le fyftême dans un état B infiniment proche de Pétât d'équilibre ; il eft certain qu'il y aura dans chaque Corps un petit Mouvement pour fe remettre à Pétât d’é- quilibre , & l'effort de la pefanteur de chaque Corps doit être regardé comme compofé de ce petit Mouvement 9 & d’un autre qui eft détruit. Or comme l’état B eft infini-* ment proche de l’état d’équilibre , les Mouvemens dé¬ truits font infiniment peu différens de l’effort total de la pefanteur, qui eft détruit dans l’état d’équilibre, ôc par conféquent les Mouvemens réels de chaque Corps infini¬ ment petits par rapport à ceux qu’ils auroient eus , s’ils avoient pu fe mouvoir librement par leur pefanteur , ÔC le Mouvement du centre de gravité infiniment moindre 9 que fi les Corps fe fuffent mus librement. Cela ne feroit pas ainfi , (1 des deux états infiniment proches que l’on confidére ici , Pun n’étoit pas l’état d’équilibre. D’où il s’enfuit , qu’on peut regarder le centre de gravité comme n’ayant point changé de place depuis l’état B jufqu’à l’état d’équilibre ; c’eft-à-dire qu’entre ces deux états la defcente du centre de gravité eft == o. Donc dans l’état d’équin libre la defcente du centre de gravité eft un Maximum % DE DY N A Ml QUE. CHAPITRE III. Problèmes ou Ion montre Puf âge du Principe precedent. 4 §. I. Des Corps qui Je tirent par des fils ou par des verges . Problème I. 73^rT%R ouv er la vitejje d'une verge G R fixe en G , J- (Fig. 22) & chargée de tant de Corps A , B , R 9 quon voudra , en JuppoJant que ces Corps , fi la verge ne les en empéchoit , décrivirent dans des tems égaux les lignes infiniment petites AO, BQ, RT, perpendiculaires à la verge . Toute la difficulté fe réduit à trouver la ligne R S parcourue par un des Corps R, dans le même tems qu’il eut parcouru R T ; car alors les viteffes B G, A M de tous ies autres Corps feront connues. Or regardons les vitef¬ fes imprimées RT, BQ, AO , comme compofées des viteffes R S , ST ; B G , — GQ ; AMy — M 0 ; par notre Principe, le Levier CAR feroit demeuré en repos, fi les Corps R^ByA n’avoient reçu que les Mouvemens ST } — GQ , — MO. Donc A . MO . ACa-B.GQ. B C—R . ST. CR j c’eft-à-dire qu’en nommant AO , a , BQ , b , RT, c, CA, r, CR, r , CR, p, 6e RS ^ x, liij TRAITE ) 70 on aura R . c conféquent x X T x . ù — Ar ( — — a) -b B n ( p p Aarp ~4— B br p R c p p Arr - 4*' & rr-f~ R pp h ) \ païf C O R O L. L 74. Soient Fyfy^y les forces motrices des Corps A , B y R y & on trouvera pour la force accélératrice du Corps R ..J lb7 /r $ L- x p y en mettant pour a y b y cy leurs ? Arr^Bïi^Rpp r J r 7 7 7 JB Z' ^ valeurs — , ^ Donc fi on prend ds pour l’Elément de l’Arc décrit du rayon CR, & u pour la viteffe du Corps R j on aura en général AlAlftA~.9L. .ods — udu. quel- Arr — B r r -b B, pp 1 les que foientles forces F yf y (p. Il eft aifé par ce moyen de réfoudre le Problème des centres d’ofcillation dans une hypothefe quelconque. C O R O L. I L 7 5* . De ce que A .0 M . AC b B . JQ G » C B — R * ST . CR y il s’enfuit que A . A M — AO * CA b B ® .CB — R. WFBZTrs . CR y & quainfi A: AM. CA b B. B G. CB -b R. RS. CR = A . AO ; C A b B . B Q . CB -b R» RT. CR y c’eft-à-dire que les puififances A . A M y B . BG yR . RS > doivent être équi- pollentes aux puiffances A . AO y B . B O^y R. RT. On pourroit donc encore réfoudre le Problème précèdent > en DE DYNAMIQUE. 71 . cherchant îa ligne RS telle que R. RS. CR -H B . H- A}-——- fût égale à R. RT. CR -h 5 • B Q. CB -h A . Au . CA. Le Principe de cette dernière folution revient au mê¬ me que celui de M. Bernoulli pour les centres d’ofcih» lation, qui confifte à fubftituer en un point quelconque P de la verge un Corps , dont la maffe foit 1LlEJA ^ C P‘ B . CB1 C Fz A. C Az ~~CPZ , Ôc qui foit animé d’une force accéléra¬ trice , en vertu de laquelle le moment de ce poids foit égal aux momens des poids A>B,R> animés de leurs pefan- teurs naturelles AO , BQ, RT, ôc fa viteffe , celle du point P de la verge. D’où il s’enfuit, que cette force accélératrice fera 3— — , ôc qu’ainfi on aura R S . cr 7 * CP CK ( R. CRS . - - Hr CPZ B ,CBZ CF A Hh A . C Az CF1 xCP = a .ao.ca + b; BQ. CB -H R. RT. CR. Il eft vifible que le premier membre de cette égalité, n’eft autre chofe que la fo ai¬ me des momens A.AM.CA + B.BG.CB + R.RS. CR, On voit par-là que fans avoir recours au point F, Ôc fans faire aucune fubftitution de maffes , on peut par le Principe fondamental de la folution de M. Bernoulli , ré¬ foudre , plus Amplement encore qu’il ne l’a fait , le Pro¬ blème des centres d’ofcillatiom j2 TRAITE C’eft de cette dernière manière que j’avois imaginé, d’abord de rèfoudre ce Problème , & c’eft auflî ce qu’a fait M. Euler dans un Mémoire imprimé depuis peu , To. 7. des Comm. de Peterjb * & où il fe fert de ce dernier Principe , que les puiflances R. RS , B . BG , A . A M doivent être équivalentes aux puiflances R . RT, B . B A . AO. Mais M. Euler n’a point démontré ce Princi¬ pe, qui, préfenté de cette manière, n’eft peut-être pas* en effet, fi facile à démontrer. Au relie, PAuteur l’a ap¬ pliqué dans ce même Mémoire à la folution de quelques Problèmes touchant les ofcillations des Corps , flexibles ou inflexibles. Nous aurons occafion dans la fuite de faire quelques remarques fur un de ces Problèmes» Lemme VIL » 7 6. Si deux lignes infiniment petites Pp,Mm , (Fig. 1 3) font jointes par les lignes PM,pm , & qu’on faffe/?7r = P/?* & mu — Mm. Je dis 1 °. que l’excès de PM fur ttix eflr égal à deux fois la différence de P M\pm, moins le quar- ré de l’angle fait entre PM ôcpm , multiplié par PM. 20. Que l’angle de tt\jl avec pm eft égal à Tangle de PM avec p m , multiplié par 1 LAALzATl & Car ayant mené les lignes Ma, vre , /uf parallèles a pm,&c Mb , aPd , Cvrf , fie g, perpendiculaires à pm, on aura Mb =jug; Pd — 7rC. Donc /ne ou vrf — P a. Donc les angles a MP ? e^fi font égaux, àune différence fécon¬ dé 7 DE DY N A Ml QUE. 73 de près. Or P Al — pm — PM — Ma Aîa Pm — Efl -4-, mb — dp;&c on trouvera de même pm — avr === % PM 1 1 — -4- mg — cp. Donc en négligeant les différences troifiémes,onaPAf— tt/jl — 2 * bm — dp == 2 *PM—prh — = 2 * PAf — — angh aMP% x PAf. pm r 20. L?angle ou l’angle de/?m avec tt/x^ 7“” Pæ p^ ,/ P a z . b m - — dp p w - — (6 w — dp) Ma — — z {bm dp ) Ma Ma il = en négligeant les différences troifiémes * à l’atigld ^MP (i^li£HHZH)é Ce 0.F.ZX ' PM *v- G o R o L* L 77. Si les ligs PMjpm font égales, alors PM—^r/i^ *— (angl. aMP)z . PM , & Pangle = <2A/ P. Ces deux derniers Théorèmes ont été démontrés par M® Cte- Mem. Acad . 173 6", C o a o l IL r 78. Si les lignes Mm , m/2 (Fig, 24) font = 0, alors A?tt- — PAf =-4- 2p0 ^jr & l’angle p Mti~*~ PMp — - P Aï V TRAITE* Problème II. 7P, Suppojons qu'une verge GA fixe en G (Fig, & fituée fur un plan horizontal , foit chargée de deux Corps A j D, dont P un A foit fixement attaché à la verge , P au¬ tre D puijfe couler libreynent le long de la verge par le moyen cïun anneau ; on demande la vitejje de chacun de ces Corps à chaque infiant , & la Courbe décrite par le Corps D. Soient A B , DE les petites lignes décrites par les Corps A,D, durant un même infiant; fi Ton fait l’Arc BC— AB, & la ligne Ei = ED & dans la même direc-* tion,il eft clair que ces lignes BC, Ei feroient parcou¬ rues par les deux Corps dans Pinftant fuivant * fi la verge ne les en empêçhoit. Le Corps A qui décrit néceffaire- ment l’Arc BC, ne décrira donc plus cet Arc dans un infiant égal au premier : or que la ligne ou Arc BQ in¬ finiment peu différente de BC, foit celle que le Corps A aurok parcouru uniformément avec la viteffe qu’il a en S, dans Pinftant qu’il parcourt B C par fon Mouvement contraint & que Eo foit la ligne que le Corps D eut auiïi décrit uniformément dans le même tems , & au lieu de laquelle il décrive la ligne Ep à caufe de la réfiftance de la verge ; il eft clair qu’en regardant les Mouvemerfs BQ & E o , comme compofés des Mouvemens BC, CQ$ & Ep, El, le Levier G B eût été en équilibre , fi les Corps A ,D , n’avoient eu que les Mouvemens CQj EL Or comme ( hyp. ) le Corps E peut gliffer le long de DE DŸN A Ml QUË< ^ îa verge , ii eft nécdfàire pour l’équilibre 5 que El (bit perpendiculaire au Levier GA,&c de plus5 il faut que A . C Q * CA ==; D 4 E L G E> Cela pofé* Soit GA = a$ AB = dx > GD = y , FD FE — dy , CQ — a, ori aura (à caufe que les lignes BQ y AB ; Eo y DE font entr’elles comme les tems employés à les parcourir) BC * CQ :: D E Ao* Donc io = • de plus AiCQ-CA — D .EL GE El ou po Au, a Dy i - Z F E T imn 2 , iiydx CD Fangle i G o EGD — • Or l’angle iG E ( art * 7 8 ) = £ G D x & fi à Fangle / G £ on ajoute /£ £F _ Cg> » PF , PF_ Ç6) G i DÛ Gi>BC GDXAB~'c2 «é /i JL et, A ’angle oGp ou ~ > on aura fangle /?G£ = £GD — 4- — 4-. ? & comme cet angle p GE eft égal ay a Dyy or D à Fangle EGD ( £0w/?r« ) on a — — — Hr ~ 4- — - = o, /5 Donc & zD y d y d x 5. à y A a a 4- Dy y Préfentement * la différence de G i fur GD eft ( art * 7 î } dX > ^ 77 éSale a différence de G/? ou a 1 y G 0 fur G i. Donc Gp — GE=sdy •+■ y-J~ -4- — . Donc 4* ' - ¥ a'1 dx 16 TRAITE* àdy — y~- - Hh ~ y ou mettant pour a fa valeur déjà trou* vée ÿ ddy ~ ydtL ^ Aaa tElll— Equation de la Courbe y n — Dyy J x D Epi Pour en féparer les indéterminées ? foit dx — “ j on Adp iydy.a4D îjura àdy~— d-Dl , &c dont l’intégrale ell îl f' ,{Aaa -+- T>yy\ =ydx a 4 %pz (A a a —J— Dy y ) 2 îD( Aaa “-j— Dyy^y G exprimant une confiante telle } que ™ devienne à f o* riginç de la Courbe le rapport donné de dx à dy. On a donc dx ou — — - - a A ( Aaa -|— Dyy ) [ zGD (^Aaa=\^ Dyy) — i j pour PEquation de la Courbe DEp* A l’égard des viteffes de chaque Corps P on trouve qu’en nommant u la viteffe du Corps A ^ on a — ~ BC puifque ^ eft le rapport du fécond inftant au premier* JBC d u _ _ % Dy dy A a a D b b en prenant Donc — " = , & - u A a a -f-* Dyy g A a a Dyy g pour la viteffe initiale du Corps A > & fuppofent y =» b à l’origine de la Courbe DE. De même fi on nomme d v, Bp E g p o . F D v . / / v la viteffe du Corps D } ona- = £ o DE : A xa . y dx Dyy » a\dyt — | -y2 d — ; mais on peut avoir v plus élégamment x~) DE DYNAMIQUE. 77 par le Principe de la confervation des forces vives que nous démontrerons ci-après, & qui donne Dvv -h Auu =; à une confiante. D’où il s’enfuit, que fi 011 appelle h la vb tçffe initiale du Corps D , on aura vv = “ , Remarque R S o. J*ai évité de faire dans lafolutîon de ce Problème les dt ou Elémens du tems conftans , afin de pouvoir parvenir à l’Equation de la Courbe , fans avoir Pexpref» fion de la vitefle , ce qui feroit néceffaire fi on faifoit les dt çonftans, parce que dt étant ^,on ne peut chaffet d t que quand 011 connoît la valeur de u. C’eft ainfi que j’en uferai toujours dans la fuite. Ce n’eft pas qu’on ne puifip avoir u par différens moyens. Mais j’ai cru qu’il étoit à propos de faire voir de quelle manière on peut s*en paffer dans la folution de ces fortes de Problèmes. Remarque IR 8î. Le Problème précédent ne feroit pas beaucoup plus difficile, fi les Corps A ,D , étoient animés par des forces accélératrices de directions & de valeurs quel¬ conques. Pour donner un effai du calcul qu’il faudroit faire en cette occafion, je fuppoferai chaque force accé¬ lératrice confiante , ôc dirigée parallèlement à la verti¬ cale A V ) en imaginant le fyftême tranfporté fur un plan vertical. La confiru&Ion demeurant la même que dans K iij 78 T R A 1 T Ë' fart. 79 ; foit de plus TVTefpace que le Corps A aufok parcouru par fa pefanteur p , dans Imitant qu’il parcourt BC parfon mouvement contraint ; comme cet inftant dit fére infinim.peu du premier , on aura 0~N—p< x ~ ; T A fdxZ de meme oz — — — ; z u = nz J en nommant GVy z . On aura enfuite, comme dans F art. A * C N . G A An / p z dx - — — == — .• f et — H - D .DG X>JK v- % -) Z ‘ 19 ddy .ydxdy ayy y d xz az ( et p zd x ) x A a Cl il fdxz z « J - X — . OC y H- an* r ddy y **• u- ci d y fdxz.V[az zz ] t -j —A - - : en a de plus dx auz A j a d z 0 du ci o * t t dx = — - - -, & - - = — • . ai on met la valeur V [a a — z z J « dx de et tirée de cette dernière Equation, dans la première, on aura en intégrant , la valeur de u en y ôc en z avec leurs différences ; & mettant enfuite cette valeur de u dans la fécondé Equation, on aura l'Equation cherchée de la Courbe DEp« Remarque III. 82. Si une puiffance appliquée au Corps A f oblige de fe mouvoir fur la Courbe A 15, avec une viteffe dont la Loi à chaque point foit donnée , & qu'on demande la Courbe du Corps D & fa viteffe ; ce Problème fe ré¬ duit au précèdent, en cherchant de quelle force accé¬ lératrice ç> le Corps A devrait être animé, pour quêtant DE DYNAMIQUE. 7 9 mû conjointement avec le Corps D , il eut à chaque point B la vitefle donnée. Dans la première des quatre Equations de l'article précèdent , on mettra

ôc que le Corps F eut décrit naturellement fcù\ que de plus , la pefanteur du Corps F lui eût fait parcourir pen¬ dant ce même inftant la verticale œv > ôc que la partie de la pefanteur du Cotps P, qui agit fuivant p i , lui eût fait parcourir la ligne il. Si on prend po — ttI^ il faut par notre Principe , que le Corps F animé de la feule force accélératrice repréfentée par m faffe équilibre au Corps P animé de la force po , ôc de la partie de fa pe¬ fanteur ôc de fa force centrifuge qui eft perpendiculaire à la Courbé Cp fuivant p Z. Or en menant du point 0 la ligne oa qui rencontre Cp prolongée en a, ôc tirant a.u$ L TRAITE» il efi: clair que le refte de la force fui vaut p Z étant anéanti par la réfiftance de la furface Courbe 3 il y aura équili¬ bre , fi F. To . 2. Mém. de Peterjh . a donné une folution du Problème que nous avons réfolu 8 8. Sa formule revient à celle-ci & j- T* /- P d x d . P ds% Fdxz DE D Y N A MI QU E. S; (en faifant df — dxz -h dqz) [ E y — Fz 4- dsz Fdsz -\-~F dx* Or la valeur de k que nous avons trouvée fe peut changer en celle-ci 2 p {F ds 2 —}— F dxz ) y expreffion qui ne fauroit revenir au même que celle de M. Herman y puis¬ que la quantité négative — Fuz dq 2 ne fauroit être égale à la pofitive 2pds\ Il y a donc lieu de croire qu’il s’eft gliffé quelque inadvertance dans la folution de M. Herman ? parce que le réfultat de notre folution s'ac¬ corde avec celui qu'on trouveroit par le Principe de la confervation des forces vives y ôc que d'ailleurs elle n’eft appuyée que fur des Principes fort clairs. S c o L I E. jp o. La folution du Problème III. pourra paroître un peu longue : mais j’ai cru qu’il étoit à propos de faire voir comment mon Principe s’y applique. Car fi on vouloit îéfoudre autrement ce Problème y on pourrpit s’y prendre ainfi. Soit T la tenfion du fil., qui agit également fuivant CP y ôc CF y on aura HAl _ tJl! pour la force qui ac- célére le Corps P fuivant Pp > Ôc — -, WJA± pour cel- % le qui accéléré le Corps F fuivant Ff ; on aura donc ’OïpL — l±L) ds — Pudu ôc f-p- lipl) dt = S ds ds J dt dt 1 L iij 85 TRAIT TJ F j / u u d t % — Cl\~ - - z ' ds* „ . f u uF dtz ^ zF ç z & intégrant ; w-f = 2 py - f-. Cette dernière folution peut fervir à trouver le défaut de celle de M. Herman > mais c’eft une difcuffion dans laquelle il ferait trop long d'entrer. Au refie , cette fo¬ lution eft 7 à la vérité , plus (Impie que celle de fart . 8 8 ; niais je crois que d'un autre côté elle n’efl pas tout- à-fait fi lumineufe ni fi directe. Car , à parler exactement , le fil n'agit point fur les Corps , il n'a qu'une force de réfif- tance, & nullement dfimpulfiom P R O B L E M Ê IV, g i . Un Corps P étant mû dans une rainure Courbe APpirç (Fig. 28) où il eft animé d'une force accélératrice quelcon¬ que

Re> & ) d'ou fon tire en ajoutant ces deux Equations ^ DE DYNAMIQUE , S? fa force fuivant R K en deux autres R Z , R e , qui foient telles , que fi les Corps F , M9 M , n’étoient animés que des feules forces vrq9 R Z , RZ, ils fe fifient équilibre & que le fyftême demeurât en repos, & que s^iis n’avoient que les Mouvemens p7t 9Re 3 Re; ils puffent conferver ces Mouvemens fans fe nuire réciproquement , c’eft-à- dire que l’on eût 71e — P Ad , ttq — PAdy & eQ = MM. Je décompofe d'abord la force fuivant R Z en deux autres, dont l'une R V foit dans le prolongement de p R , & de même la force fuivant R Z en deux , dont l'une RV foit dans le prolongement de pR , & je fuppofe RU R V telles, que les Corps P, M, M animés des feules forces tt q9 RU, RV fe faffent équilibre, ce qui arrivera, fi en imaginant ces forces réunies en p , la force unique qui en réfultera çft perpendiculaire à la rainure, c eft-a-dire fi P xttû — - — - — ^ -+« ~ — . ( A }, l P K/T PAT \ / FM PM Il ne reliera plus aux Corps M, M que les forces RX, R X qui doivent encore fe détruire mutuellement , ce qui ne peut arriver que quand ces lignes M,RX font dans la même droite RR,& qtfion a M . RX — M, R X . ( B )? Soit à préfent P M = a ; G M=y,gM — y, PM = b, la perpendiculaire confiante Pj9 la ligne MM ou RR, e y u la vite fie en P fuivant Pp;Pp — dx ,7rf=ct, RX=z, R x = z, on aura f q — UÏZ , &C7rq — a •+• tt ôds1 U- Si du centre p on décrit FArc , & qu’on tire les 88 TRAITE lignes 71 i y K K ; Ro parallèle à F K ; oe fera égale 6c parallèle à RX , ôc l’on aura i°. 2 — -y2} r * a y [** — _y*] or l’angle de nsri avec p R eft égal (art. 78) à l’angle de p R avec P jW; l’angle de<æ* avec 97 / = ” j *. f?~ ; Tan- 4- æ d y -'H a d x F M gle de 7r / avec tt K =- . „ o PM de 97 K ou çr 0 avec #• ? /T iK.MN irf.Mti v 1 -a - ; ranglc MK. FM Fp .MF * b îljJLÈr FM2 St È a2 . Donc l’an¬ gle de vre avec pR > c’eft-à-dire la différence fécondé de l’angle de p R & PM, fera égal à la foiirme de tous ces angles pris avec les Signes convenables , c’eft-à-dire qu’on aura (E) d ( dy - - a ad x ^ » "r »/[> V [»’ à dy dx v a dx a2 r -H même ( F ) à ( -y*] dy H- dx <& .y dx (-7-4- b dy “j 2. c 7 : on aura de 4» — y2] yaJ r b dx % 2. r y / *s H*5 b d X V 6 */[£*- Si on met enfuite dans les Equations A & B ci-deffus* à la place des lignes qui y entrent ; leurs valeurs analyti¬ ques , on aura M T R J 1 T E' z & on arrivera à une Equation finale qui ne contiendra plus qufe dx avec y y dy , ddy , & qui fera l’Equation d’une des Courbes. Après quoi il fera aifé de trouver l’autre» Remarque L ÿ 2. Si MP y PM étoient des fils , alors les forces fuivant RX & R X feroient nulles y & on auroit z = o & z = o. Mais comme y ne feroit plus donné en y j on auroit fix Equations , 6c cinq inconnues a y y 9 R V y RV ? & u à faire difparoître. C O R O L. L p j. Suppofons pour Amplifier les chofes que r — œ y h — o . ç — o. c’efi- à-dire que le Corps P foit dans une rainure droite & tire après lui un feul Corps M, par le moyen d’une verge ou d’un fil y ce qui dans le cas pré- / DE DYNAMIQUE. 9 i fent revient au même ; on aura RU Pau MV [a2 - y2} M a dy* uV\a2 y2" 1 à d y2 js x ij — — — — d -4- —2— * d ou 1 on tire a — — — - — a, a2 -*-±y* V [a2 — —jx2 J X a dy P a a — f- M ( æ2 - j 2 j Jlf a a dy2 K V7 [æ2 — y2 7 <« f y d x a dy N x (v_, - U - -1 - .) V * V/[42— x( y dy Ti) V [#2 j2 j ( Pæ æ — f- M [ /î2 ^2j) 4 d x V [a2 y2] Soit dx = — j & l’on trouvera après les fubftitutions ■p V [a2 — y*] JW V7 - JX2; j ~~ * v [Paa-bM (a2 - y2)] (M -4- P)9 A marquant une confiante prife avec cette condition , que le rapport de dx à dy exprimé par L foit — au rapport donné de ces différentielles > lorfque les Corps commencent à fe mouvoir. C o r o i. IL 5? 4* Soit dans le Corollaire précèdent, la confiante M a y jw-4-p ^O1— .jM & dx A = o j on trouve p === - M y d y ( M —f" P ) £ V a2 y z] Cette dernière Equation fait voir que dans ce cas, la Courbe cherchée eft Géométrique. Pour la confinai- re , on fuppofera que CF (Fig. 29) foit la pofition du fil au premier inftant , ôc avant décrit du centre P l’Arc M ij $2 TRAIT E C MK 5 & abaiffé cTun point quelconque M la perpendi¬ culaire MG , on prendra NS—GP, puis PO — ~:..M ^ ôc ayant tiré OT égale & parallèle à FM, le point T fera un des points de la Courbe. Pour en trouver PE- quation par rapport aux coordonnées N Q, on re¬ marquera que O T = MG — y , ôc appellant NP NO , f;on verra que NO = Z? T = 0 S = ELil = ^s>- jvf -4— p —t— = C ( a a — y y) — /] • nzm • On a donc M P v J a M -4- P t—flA ( a a — yy)~«~fl, — -P~- ^ & ? H- — P-- = — P- ■ x L V 777 J J Af -f- P J M P Af-HP’ ^ ^ — jyj ] 5 ce qui eft l’Equation d’une Ellipfe dont le centre Z) fe trouvera en faifant ND = ELil & dont Af-}- p 7 les deux Axes font DE = a,& DX =C Ie CorPS M décrira Une ElliP- fe , telle qu’on vient de la déterminer. C o r o l. III. 9 5% Si l’on fait P = m . M , la valeur générale de dx gfl. _ _ _ _ _ AiyV[(\-\-m) ■ a* - y] ( i —j-’ m) . V [a2 V [az — y2] ^ qui fait voir que fi A n?eft pas === o } ,1a Courbe à la vérité 93 DE DYNAMIQUE. n’eft pas Géométrique , mais peut fe conftruire par la rétification, de l’Ellipfe. Car — ^ =» ?*T : or la formule générale de l’E- Vi.v r«* — »*i b dy — O • /] îément de l’Ellipfe étant fait ( i -h m) • q — I 9 & y' la* — f] ~*9 fl 011 JL — i y on trou- z a vera q &c L = m m z a m ; d’où il s’enfuit que nt âyVi{i -b *»)__* - yj ^Elément d’un Arc d’Ellipfe, do V[at—y*] 1 l’abfciffe eft y 9 le grand Axe = 2 a 9& c le rapport du paramétre à cet Axe 9 - ? cet Arc étant divifé par V q ou multiplié par v/[i*4-iw];ou^ce qui revient à la même chofe , c’eft PElément d’un Arc d’Ellipfe dont le grand Axe= 2 a ^[1-4- l’abfçiffe —y v7 [ 1 Hh m] , 6c le rap¬ port du paramétre à P Axe = 1 -J- m Remarque IL ÿô\ Ce que nous venons de dire dans les deux Co¬ rollaires précedens , ôc qui a été déduit du Problème général , peut fe déduire d’une manière plus fimple de deux Théorèmes que nous avons donnés au commen¬ cement de cette fécondé Partie > fçavoir que le centr • . * n) Xs T R A I T Ef S4 de gravité g des Corps P, M, (Fig. 30) defcend dans une ligne droite perpendiculaire à la rainure PO^, ou au moins que fon Mouvement parallèlement à P 0^ eft uni¬ forme. Car quand le centre g defcendra dans une ligne droite SgV , il eft clair parles Sedions comiques, que le point M décrira une Ellipfe ; & dans les autres cas , il n7y a quà imaginer que le point g defcende dans une droite perpendiculaire à la rainure, tandis que le point P avance vers J 9 , & que le point M décrit une Ellipfe , & faire mouvoir enfuite tout le fyfcême parallèlement à PO , avec la viteffe uniforme que doit avoir le centre de gravité parallèlement à PQ. Il eft à remarquer que tout ceci a lieu , même lorfque les Corps P , A4 , font pefans , pourvu que la rainure P ^2 foit alors horizontale. Soient PO^, MN les viteffes primitivement imprimées aux Corps P, M > on décompofera la viteffe Ai N en deux autres , dont Tune AIR foit perpendiculaire , & Fautre MS parallèle à la rainure, on prendra fur R N la partie RT telle, que M . RT= P . PO^^TN fera la viteffe du centre de gravité parallèlement à PC^ , & le Problème fera entièrement refoîu, fi, abftradion faite de la viteffe commune TiV, on trouve la viteffe du point A4 dans fon Ellipfe & celle du point P. C?eft ce qu'on trouvera facilement parle Principe de la confervation des forces vives, que nous démontrerons ci-après. Voilà * comme Fon voit, une Méthode bien fimple pour réfoudre ces Problèmes. DE DY N A MI GUE. 1 q; Remarque IIL "V. p 7. Si au lieu defuppofer le Corps P animé d'une force accélératrice tp , on fuppofoit qu’il fut contraint de fe mouvoir dans la rainure Courbe Afp avec une viteffe dont la Loi fut donnée , le Problème pourroit toujours fe réfoudre de la même façon. Il ne feroit queftion que de déterminer la force & l’autre Vv eft un Mouvement circulaire autour du centre m ou u. Nous décompoferons d’abord l’effort abfolu de la pe- fanteur du Corps m fuivant m (fi , en deux autres, dont l’un foit capable de faire parcourir au Corps m la ligne mu dans le premier inftant, 6c l’autre foit dirigé fuivant la ligne m R dont la pofition eft inconnue. Ce dernier effort doit être détruit, puifque ( hyp. ) le Corps m ne peut fe mouvoir que fuivant mu. Nous décompoferons de même l’effort abfolu de la pefanteur du Corps Al fui- S>6 TRAIT E vaut M L , en deux autres , dont l’un faflfe parcourir au Corps M la ligne MV > & l’autre MN puiffe fe dé- compofer de nouveau en deux autres , dont l’un faflfe parcourir au Corps M la ligne Vv, l’autre foit entière¬ ment détruit , ou ce qui revient au même , faflfe équi¬ libre avec l’effort fuivant mR qui doit s’anéantir aufïi* Or il eft néceflfaire pour cela i°. que l’effort du Corps M qui doit être détruit , foit dirigé fuivant MP dans la diredion de mM prolongée , 20. que cet effort foit à l’effort fuivant mR> comme l’angle infiniment petit SmR ( fait par m R & Cm prolongée ) , eft à l’angle M m S, par¬ ce qu’il faut pour l’équilibre que la force réfultante du concours de ces deux efforts foit dirigée fuivant m S , Cela Soit Cm — l, p la pefanteur du Corps m , P celle du Corps M, Mm = L, mK = x , M 0 = y ,

— ’TtE — M.Px ( ~ — — ) 5 & par conféquent $ — Il — ^LlL ( L _ 1 ) LL 1 A l un L t> & l'effort fuivant Vv > fera T-1 — il + ( i. — 1 ) ; Si on nomme préfentement ? le tenis écoulé depuis le commencement du Mouvement <, on aura ces deux Equations ( M ) — ddx == [~f — — 1 (L — l ) ] di * 1 L m L L ° Ce font ces deux Equations qui ferviront à déterminer le Mouvement de chaque Corps» * C O R O L. L pÿ. Si on fuppofe que les forces initiales fuivant m it & V v foient entr elles ^ comme mK à ; c'eft-à-dire^ U p x t M T x M P y ^ y P , M -4“ m \ x / . M . F (O Yy lm L?n <'£(==>- 4 ) ::x:y, Je dis que les Corps M> m , arriveront dans le même tems à la verticale CO. Car il faut, pour cela, que les Arcs MQ, mK foient parcourus dans le même tems: or fi l’analogie précédente a lieu , les petites parties dont les Arcs mK P diminueront au premier inftant & P 8 TRAIT E' dans les fuivans , feront entr’elles comme ces Àrcs, & les forces accélératrices feront toujours entr’elies com¬ me les Arcs qui relieront à parcourir jufqu’au point de re¬ pos. Donc &c. L'analogie 0 étant réduite en Equation donne p x y . MP x y l Im M P y y y xP L m •( M m m ) •(P M . P m OU M -4 - m p L m x z M MPI L_ Tl M m p L m z m z MPI L z in 'X TYl &■ ■p L m x M p L m L r / r- L f M-\~m p L m l z m 2 ,MPl z l r,n C O R O L, IL i oo. Si P =p , c. à. d. fx les Corps M & m font de même y—\~x Ml — m l —4'* ML —f— , x M l — X gravité fpécifique, on aura 4 Mm L l -4- 4 MM Ll — f- ( M l -4- w l ML L m o1]. z Ml : la quanti» té qui eft fous le Signe radical , fe peut changer en V [4 Mm LL -4- [rnl'-’r ML -h Ml — m L)z ] , & alors le rapport de y «4- a; à x , fera précifément le même qui a été donné pour ce cas feulement > par M. Dan . Rem. Mém . Peterjb . ra. tf. p. iii. dont cet Auteur a donné enfuite la démonllration dans le To. 7. des mêmes Mé¬ moires. M. Euler a donné aulïi dans le To. 8. une fo- lution de ce même Problème. Comme il eft curieux, ôe qu’il peut fervir à en réfoudre plufieurs autres fembla- DE DYNAMIQUE 99 blés , j’ai cru devoir montrer comment mon Principe s’y applique. C O R O L. ÎIL ici. Si la fituation du fil C Mm n’eft pas celle que ce fil doit avoir , pour que les Corps m, M arrivent en même tems à la verticale ; en ce cas , il faut recourir à l’intégra™ tion des Equations N & M de Fart . & dz — 0 ; quand t — 0 ; ce qui donne E* sz & 2.(2 H- V 1) lx - J - =; o. De tou- Y ou oc — X. Donc z 5= — } quand t = tes ces Equations > on tire la conftrudion fuivante. Du centre C(Fig. 32) & d’un rayon C — {XY 2. H- Y). on décrira un Cercle AF. Enfuite ayant pris une ligne quelconque CK pour exprimer TP on fera CB V [2 Vz] & on décrira le Cercle B E du Centre C. Si on prend BE à CK comme une partie de tems quelconque t écoulée depuis* le commencement du Mouvement , eft ail tems donné T , & qu'on tire EFC , & F G perpendiculaire à CA y je dis que CG fera la valeur de u qui répondra à BE (t). Cela eft clair par l’Equation dt = - - - Ett- - » r ^ V [A2 - zCi.u*] dans laquelle, comme on a vu, — — (XV 2 h- F)*. zVi N iij 102 T R A I T Ef Pour conftruire l’Equation dt = - Td. V \_BZ Z . ( 2 V 1 ) „ s% j dans laquelle la confiante B 2 peut être prife pour ce qu5on voudra étant feulement égale à 2 s2 ( 2 -4- V2 ) lorfque T t = 0 j on prendra CD v [z . ( z -f- r 1)] j & on fuppofe- jB * ra —7—- — ; = CÂZ » & décrivant du rayon CD le Cer- 2.(2. v x 2 ) y cle D LO y fur lequel on prendra TArc D L — B E , on aura la correfpondante CZ ~ s. Enfin on décrira une Courbe > dont les abfciffes étant t , les ordonnées foient ~ & une autre Courbe dont les ordonnées foient égales aux aires de la première , multipliées par — , enfin une troifiéme Courbe, dont les ordonnées foient égales aux ai¬ res correfpondantes des parties de la précédente , divifées par & on aura z = ~ -h aux ordonnées correfpondan¬ tes de cette dernière Courbe* De cette manière , on aura pour un tems t quelconque les valeurs de u 9 z , s» Donc aura celles de x & de y. Ce Q. F. Trouver » Remarque I. 102. Si Ton cherche dans le cas que nous venons d’é- xaminer au Coroh précèdent, c’eft-à-dire lorfque P M— m&iL — l j quel doit être le rapport des lignes Xy Y, pour que les Corps m > M arrivent dans le même tems DE DYNAMIQUE. 103 à la verticale, on trouvera ( art. 99 ) 2 X—Y : zY — 2X :: X : Y donc YY — 2 X X ôc — = H- \/2 , la même va- X \~~~ leur qu’on a trouvée pour — . En effet, pour peu qu’on faffe d'attention à la nature du Problème , on verra que quand il y a deux Corps m , My les deux valeurs de doivent être les mêmes, que celles que doit avoir ? pour que les points m , M, arrivent tous deux en même tems à la verticale. Car lorfque les deux Corps arrivent en même tems à la verticale , le rapport de x à y , de dx à dy ) Ôc de ddx à ddy eft toujours confiant ôc égal au rapport de X à Y. Or fuppofons , dans ce cas , les indé¬ terminées et , v telles , que ~ = — ~ ; il eft clair que dans l'Equation — addx — vddy=^([ 2 et — 2 y] . a; [ — a -H zi], y) le premier membre fera zéro ; & par conféquent le fécond devra Fêtre aufil , ce qui arrivera , fi Ton a 2. V - - 06 ou bien fi on a à la fois 2 a, — 2v—o & 2 v -r et '==■ o. Or ce dernier cas renfer¬ mant contradiction , il s’enfuit que l'Equation entre et ôc v lorfque — x eft 1 06 2 V 2 y 06 — la même précifement qu’on a trouvée ci-deffus en général, lorfque le rapport de Y à X eft quelconque. Donc dans cette dernière Equa- 104 T R A 1 T E' tion^la valeur négative de ~ doit être = à la pofitive de FEquation qui donne le rapport de Y à X , & la po¬ fitive à la négative. Remarque IL 103. Il eft évident que le raifonnemerit de Farticld précèdent peut s’appliquer aux cas oii Fon n’a ni P =p9 ni M — rn , ni L — l ; Ôc en effet ? fi Fon veut prendre la peine de faire le calcul 5 on verra que FEquation étant ordonnée par rapport à ~} elle ne différera que par le figue du fécond terme de FEquation ordonnée par rap- \ r port a — . Car en général les Equations M, AI de F article 98 9 peuvent être repréfentées par ddx — (ax -h b y) , df & ddy — ( c x -4- ey ) . d t\ Or pour que les Corps arri¬ vent en même teins à la verticale > il faut que ax-\-by : ex que aci ey :: xiyylk pour avoir la valeur de — ^ il faut b a _ _ I rlpnv N nnof-mne rwrl nnnppc Cv a * Les deux Equations ordonnées Fune par rapport à L 5 l'autre par rapport à — 5 11e diffé¬ rent que par le figne du fécond terme. Remarque HL 104. Au refteqje n’ai confideré dans la folution du Problème DE DY N A Ml QUE. io; Problème precedent , le Mouvement du poids M, com¬ me compofé de deux Mouvemens ,, dont l’un MV lui eft commun avec le poids m> l’autre Vv eft un Mouve¬ ment de rotation autour de m comme centre > que pour préparer le Ledeur à la folution de quelques Problè¬ mes qui fuivront,& que cette confidération rend beau- coup plus aifés à réfoudre. Car on auroit pu décompo- fer d’abord l’aétion de la pefanteur M fuivant ML, en deux autres , dont Pune produisît le Mouvement Mv du Corps M 9 l’autre fuivant MP , fut détruite. De cette manière on auroit eu la force accélératrice fuivant Mv — à p x Sin. LMP = — ; l’angle SmR = sLLM.YhA — ( -y — ~) x ; donc l’angle Rm Q auroit été L l p .m ° 'Sk- — ■j —l{~- — -j) x , & par conféquent la force accélératrice fuivant m u égale au produit de p par cette dernière quantité. Ainfi comme x , eft Pefpace que cet¬ te dernière force accélératrice tend à faire parcourir au Corps m , & x celui que la force accélératrice totale du Corps M 3 tend à lui faire décrire , on auroit eu — ddx = &c — ddx — ddy = [ ~ ] dP , deux Equations, dont la première eft la mâ- me que l’Equation M de fart . ^8 , & dont l’autre n’eft autre chofe que les Equations M 6c N de ce même article i o6 T R A I T E1 ajoutées enfemble. Cette folution , par conféquent > re¬ vient au même que celle que nous avons donnée art . C o r o l. IV* i o En général , fi un fil CMmjix (Fig. 3 3 ) eft chargé de tant de poids M ,m,/x &c. qu'on voudra , infiniment peu éloignés de la verticale , on peut toujours déterminer îa force accélératrice de chacun de ces Corps , par l’une des deux folutions données art. x , dont les pefanteurs P , p , 71 fuivant MA,ma,[xct, fe décompofent chacune en deux autres , dont les unes foient les forces accélératrices des Corps M, m , [x fuivant M V , mu, [xv y les autres , dirigées fuivant MB ,mb , [xct faffent équilibre , & que les fils CM, Mm , m/x, foient prolongés fuivant MR, mr,/xZ ; il eft clair que les puif- fances fuivant /xZ, mb , qui doivent être cenfées égales aux poids des Corps [x, m , doivent fe réduire à une pu if- fance fuivant mr, qui peut être regardée comme égale à leur fomme ; que de même la puilfance fuivant mr ou Mm , & la puiffance fuivant MB qui doit être cenfée égale au poids du Corps M, doivent fe réduire à une puif¬ fance fuivant MR. On aura donc la force accélératrice du Corps [x = 7T . angl. Z[xa ; celle du Corps m = p f angl. rma — angl. y m u . % . p P . m ] ; celle du Corps [x~ P [angl. R A4 A — angl. R M mx ( p . m -f- w . p') ]• J ? .M / DE DYNAMIQUE . 107 En général il eft vifible , que fi pour Amplifier le calcul , on fuppofe toutes les pefanteurs égales à une même quan¬ tité g qu’on prendra pour l’unité, & qu’on appelle p , q > r , s & c. les angles MCO 3 m MR , jarrir , &c. &c B , C, DjE &c. les mafles à commencer de haut en bas, les forces accélératrices feront par ordre à commencer du Corps le plus bas: p “b* q HH r s s E p-hq + r— F r E — 1~* J) ~ /> -H f — r . [ J .H + D + C. /' — ?•[ - J— 3 Ce qui s’accorde avec ce qu’a trouvé M. Daniel Bernoulli to. 7. des Mém. de Peterjb. p. 170. C O R O L. V, loé1. Suppofons que le fil ne foit chargé que de trois Corps égaux entr’eux, dont x,y,&c z , foient les diftan- ces à la verticale à commencer par le plus haut ; & que les portions du fil interceptées entre ces Corps , foient égales : fi on veut que ces Corps arrivent en même tems à la verticale , il faut faire x :y : : p — 2q:p -H q — • r ; & z:y : : p q 4- r : p -H q — r . ou ( mettant pour p , qyr9 leurs proportionnelles xy y — 2 x , z — 2 y -H x) x : y : : j x — 2 y : 3 y — - 2 x — z ; ôc z : y : : z — y : 3 v — » 2X — z ; O ij T R A I T Ef 108 donc ( S y — 2 x - il * h i (z — y) • y> & ( sy - ~ 2X — • z) . x = ( 3 X - 2 y h- 2 x ) • y- donc z = 2 y y “4- s y — 2x — m _ , X '■y- - 2 X y ècy.C-f- -3y — zx): -r^+sy) fiyy _ ^ X K y- — 2X)y d’où Ton • z y y tire — — « 3 y — 2x = — x y 4 y + X X 4 y y X *-H 4 y 10 yz H - - — X 10 y — 10 x : divifant le tout par x y & ordon- nant l’Equation par rapport à ^ , on aura tL — llll ^ U Hh* 8 = o , ce qui eft conforme à ce qu’a trouvé M. Ber - noulli , Mém . de Peterfb . ? & je les ajou¬ te enfemble : j’aurai — addx — - vddy — fiddz [(y* — - 2 v) • •. ■■■■■■ - - . - — — = — — 2 V — 2 a te, si \ / 2 y v \ / 2 y v \ C ( y et — 2 y j * ( — - 2v — 2ct)==( - 3 y — 2 a ) • a ; d où Ton tire l’Equation 8 st’ 3 Si3 I 2 si *■ « U /|i O. Ayant trouvé la valeur de — en réfolvant cette dernière îation y on arrivera en faifant ux vy -H bL z — u\ une Equation de cette forme — ddu = — lllddt — .(X) 1 a Tz % qui peut s’intégrer aifément > & d’où 1’ tirera au moins par une conflruâion la valeur de u en 1 y que j’appelle¬ rai 0. On aura enfuite — d d x = ( y x * y ) ■ Y) & — ddy — ( 3 y — 2 .v £ —4— si # — }— v y idt f* J ' (Z) ï I ï DE DYNAMIQUE. On multipliera la première de ces Equations par Fin- déterminée 7 t y la fécondé par Findéterminée p y 6e on les ajoûtera enfemble y pour avoir — vr â d x — pddy ~L\S7r - 2 P -h ~) •X ( - 2 7T-h 3 p -h ~) .y - “ ] • — y on fuppofera 5*77 — 2 p *-f- — p : -zr = — 2 tt -f. 3 p -4- : p afin de pouvoir en faifant — 7 tx — p y — k réduire l’Equa- tion à cette forme — ddk — akdf ^ b§dt2 y que nous avons appris à intégrer e’i-deflus. On pourroit encore fe fervir d’une autre Méthode ? en opérant fur les trois Equations X, Y, Z, comme on a opéré fur les Equations S , T, V : on réduiroit ainfi les trois Equations X, Y, Z, à trois Equations de la mê¬ me forme que l’Equation X. Au refte > les Méthodes que nous propofons ici non- feulement font générales pour conftruire ces fortes d’E- quationSj mais peuvent encore avoir plufieurs autres ufa- ges dont ce n’eft pas ici le lieu de parler. S c o l 1 E. îop. Il n’y auroit qu’une feule chofe qui pût faire de la difficulté dans la conftru&ion des Equations différen¬ tielles dont il s’agit; ce feroit, s’il arrivoit que les Equa¬ tions ordonnées par rapport à — , ~ effilent toutes leurs racines imaginaires. Mais fans nous arrêter à chercher ici ce qu’il faudroit faire alors pour rendre la conftruc- 112 T R A I T E tion poffibîe, nous nous contenterons de démontrer que ces Equations ont toujours dans le cas dont il s’agit ici au moins une de leurs racines réelle , ce quon peut prou¬ ver en cette forte* Soient x , y , s , u , &c. les diftances refpeétives de chaque Corps à la verticale paffant par le pointfixe. Les Equations pour trouver le Mouvement de ces Corps * peuvent être en général repréfentées par d d x = [ a x Hh b y ] , dt2. ddy — [ c y -h ex fs"] . dtz d d s — [_h s -h ly + gu'} , d t ddu — [ mu 4-. n s] . dt\ &c. &c. Multipliant la première de ces Equations par a , la fécondé par v , la troifiéme par ^ , la quatrième par A, &c. ôc les ajoutant enfemble, puis faifant enforte que le fécond membre foit un multiple âQctx^vy-hfts-^Au &c* on aura a a — }-• c y b —t— c v —J— t f* f v "4“ h p n A g y» —f— W A ^ ^ a v [6 A En général, fi le nombre des Corps eft = ny on au¬ ra » — i de ces fortes d’Equations ; on tirera des premières les valeurs de t* , A , &c. en — ; toutes ces va¬ leurs feront toujours données par des Equations linéai¬ res : & fubftituant ces valeurs dans la n ™ 2e Equation* on DE DY N A MI QUE. 113 on formera une Equation du degré n , ordonnée par rap^- port à y ; d’où il s’enfuit, que fi ~ a une valeur réelle dans cette Equation , toutes les autres quantités A, ôcc. au¬ ront aufii chacune une valeur réelle. Or i°. fi le nombre des Corps n efl: impair , l’Equa¬ tion ordonnée par rapport à — fera d’un degré impair , & aura au moins une racine réelle , ôe par conféquent ~ ^ , A feront auffi des quantités réelles, 20. Si le nombre des Corps n eft pair, il faut prouver que les valeurs de ju, A, &c. tirées des n — 2 premières Equations, étant fubftituées dans la n — ie, on aura une Equation en --- dont au moins une des racines fera réelle. Or imaginons que les diftances x ,y >s >u> &c. des Corps à la verticale , que nous avons fuppofées quelconques , foient telles , que ces Corps arrivent en même tems à la verticale ; il eft certain en premier lieu ( an . 107.) que ~ , r, u} ôcc. feront des quantités réelles. En reliant dans la même fuppofition , fubftituons dans la quantité + vy ^/lls -h Aw &c. les valeurs de p. , A ôcc. en — , & imaginons qu’après cette fubftitution on faffe la quan¬ tité ctx -4- vy -b /us *4- A^ ôcc. = o, on aura une Equa¬ tion dans laquelle il n’y aura que — d’inconnue ; ôc qui P ï 14 T R A 1 T E' étant réfolue , donnera poqr !L une valeur telle, que «.x v H- vy -4- A u &c. — o. Or cette Equation fera tou¬ jours du degré n — 1 , & par conféquent ici d’un degré impair; donc elle aura dans le cas préfent au moins une racine réelle , & par conféquent il y a toujours , quand n eft un nombre pair , une valeur réelle de ~ propre à ren¬ dre la quantité ctx -h v y h- jus ^ A u &c. = o , lorfque x , y , s , u y &c. font les diftances où les Corps doivent être de la verticale pour y arriver tous en même tems. Je vais prouver maintenant, que toutes les racines de FF quation et x *4- vy -h (*s Hh A u ôcc. = o . ordonnée par rapport à & parmi lefquelles il y en a, comme nous venons de voir, au moins une réelle, font auffi racines de f Equation générale du degré n ordonnée par rapport 'et jî\*t •> n • a — ; d ou il s emuivra V au moins une racine réelle, ce que nous nous femmes propofés de prouver. Quelles quefoientles valeurs de x,y > syu , &c. foit que les Corps arrivent en même tems à la verticale, ou non, on a toujours l’Equation ctddx -4- vddy judds hddu &c„ que cette dernière Equation aura a a € v e Ct X Oï c v *4 cf b »4— lu f v —4— h u —4— ei A - _ . vy -4- - ! — - - • fig P H- g P m A ou ( à caufe que - A u &c. ) dv , a _ L— e v c y -4— cf b *4~ A46 f v "4 — “4“ ^ ^ ce P J DE DYNAMIQUE . ny puifque les valeurs de /x } A Scc* en — font fuppofées données par ces Equations )addx~l-vddy -b* êcc. f- ( a & ■ ■ I" ■* f y ) , *»4-— 772 A . -i jî — ■ - P . 0 Çct X •— I-* y V *—f— IX S ) — - - • A & J d t « Mais fi on fuppofe les diftances xyy , s , u y telles , que les Corps arrivent tous en même tems à la verticale ; ôc de plus, que ax -h vy H- s H- A u ~ o , on aura a d d x -H v d dy H- ôec. — o ^ c’eft-à-dire que le pre ¬ mier membre de l’égalité précédente fera = o , & par n L ’Vv conféquent, que le fécond doit l’être auffi. Or ( à caui de ax -+- y y jxs n- A« = o) ce fécond membre eft ( <• c 6î Æ gy , St* m X Ci. )Xu e v X -H g /a m A ) Donc et a X — - e y A g U ~j~ /?î A rrr: 0 , doilC tOUtC ValeUt de -- propre à rendre a x -h vy -4~ /t s -a- A u &c. = o * rem "j .-v-» 1 • / ^ «S € V Cm — f“* X -» y • dra auüi la quantité- - 4 - = o. Mais cette * « A dernière quantité, fi on y fubftitue pour /x,A &c. leurs Valeurs en u & y, deviendra l’Equation générale du de¬ gré n ordonnée par rapport à — . Donc l’Equation a x H- vy h— fii + A & &c. = (9 à toutes fes racines communes avec l’Equation générale du degré n ordonnée par rapport à — ; ce qui rejîoit à démontrer * ? P ij ntf TRAIT E' On démontrera par une Méthode femblable, que l’E¬ quation générale ordonnée par rapport à aura au moins une racine réelle. Car en faifant ax -hjus ôcc. — 0 comme dans l'art. 108. on obfervera que 0 = o caufe de ctx ‘-f-i/j; -t- [as &c. === o ( hyp . ) , & la démonftration fera , moyennant cette remarque , précifément de la mê¬ me nature que la précédente. C o R g l. VIL no. Soit une Courbe chargée de poids infiniment petits ôc égaux, placés à des diftances infiniment petites les uns des autres , ôc tous infiniment peu éloignés de la verticale ; foient x les abfciffes, y les ordonnées infi¬ niment petites de cette Courbe , s les Arcs qui différent infiniment peu des x correfpondantes ; enfin / la longueur du fil , il fuit de Y art. ioj. que la force accélératrice de chaque petit poids , eft comme la fortune des Sinus des angles de contingence depuis le fommet , moins l’angle de contingence multiplié par le rapport des poids inférieurs à ce poids ; donc cette force eft pour chaque . s'ddy pomt (/ — 5) . ddy dsl ce que M. Daniel Bernoulli a donné dans le tom. 7. des Mèm. de Peterjh. pag . 170. M. Daniel Bernoulli a tiré delà l’Equation que devroit avoir la Courbe , pour que toutes fes parties arrivaffent en même tems à la verticale. Voy . ibid. p. 1 7 1 , Si la Courbe n’a pas cette Equation , alors elle change- DE DY N A Ml QUE. 117 ra d’Equation d’un inffant à l’autre, & la valeur généra¬ le d’une ordonnée^, ne pourra être exprimée que par une fonétion de l’Arc s ou de l’abfciffe x correfpondan- te , & du tems t écoulé depuis le commencement du Mouvement; cette fonêtion, lorfque t = 0 deviendra la valeur de y en x donnée par l’Equation de la première Courbe. Soit donc en général y — *

en regardant x comme confiante, ddy fa différence en prenant t confiante, on a ddy d s dsz ddy ] . dt' ou d p d t V — (l s dot t on obfervera que dp doit être prife en ne faifant varier que t, & dq en ne faifant varier que x. Soit dp — ctdt H-' v d s , d q = b dt -t- m d x ; à caufe que pdt -h qds eft dp une différentielle complette , il faut que ~ à-dire b — v. De plus , l’Equation jt — i — — — •t /s \ i y û d s et d s donne et — q — ( / — s) . m 9 donc mds — ----- — : b 1 1 “ S ajoutant de part êc d’autre b dt ou vdt y on aura 1 11 7 a d s . ot d s » mds 4- bdt ou dq — -y-—— -4- v d t. Donc dq . (I — s) — q ds = vdt . ( / — s) — etds 9 & q . (/ — s) =fvdt.(l — s)~ads. Cette Equation doit avoir lieu , en-cas que toutes les Courbes variables dont il s’agit, pmi- lent être renfermées dans l’Equation générale y =q> (t.x). * Cette quantité (p (t . s) exprime en général une fondion de t & de s. p «j T R A î T E' i 18 L E M M E VI IL iii. Soit un Corps C R M ( Fig. 34 ) de figure quel¬ conque > dora le centre de gravité fioit G ; que toutes les par¬ ties V de ce Corps fioient animés par des forces V M dont les direBions fioient perpendiculaires à la ligne V C , menée des points V à un point fixe C pris à volonté dans le Corps <, & que ces fiorces fioient entd elles comme les diftances V C ; je dis que la dire Ci on de la force ré fuit ante y fier a une ligne K L perpendiculaire à la droite C G menée par G 3 & par le point donné C. Car décompofant chaque force VM en deux ; Tune fuivant VN parallèle à C/7, Pautre fuivant VP , per¬ pendiculaire à CV \ il eft aifé de voir que les forces fui¬ vant VN feront comme les diftances Cjfi de ces forces à la ligne CG , qu’ainfi les femmes de ces forces feront égales à la femme des produits de chaque particule par fa diftance à la ligne CG. Mais comme CG paffe par le centre de gravité G 5 cette femme eft — 0 . donc la force réfultante des forces fuivant VN eft — 0 . donc la direction & la valeur de la force que nous cherchons 3 fera la même que celle qui réfulte des feules forces fui¬ vant VP perpendiculaires à CG. Donc la diredion de cette force ne peut manquer d’être une ligne 0 K L per¬ pendiculaire à CG. A Pégard de la valeur de la force fuivant 0 L , elle eft égale à la femme des forces fuivant VP multipliées par les petites malles correfpondantes V ^ & comme les DE DYNAMIQUE. i ip forces VP font entr’elles comme V0_, & que ÇV. VQ efl: égal à CG multiplié par la maffe MSC , par la proprié¬ té du centre de gravité ; il s’enfuit, que fi on appelle la force accélératice du point G, la force fuivant QL fera — q> . M S C. La diflance de la ligne 0 L à C — [V.

trouver la vitejje des points C & G pour un tems donné t. Les parties du Corps CR Vont chacune un Mouve¬ ment égal & parallèle à celui du point G, & elles tour¬ nent en même tems autour de ce point C avec des vitefïes qui font entr’elles comme les diftances à ce point. Soit p la pefanteur abfolue d’une particule quelconque V fui¬ vant la verticale V Q , & foit cet effort décompofé pour chaque particule en deux autres , dont f un fuivant V u I 20 TRAITE foit égal & parallèle à la force accélératrice du point C fuivant CP, ô c l’autre foit dirigé fuivant V n . Cet effort Vn dont on ne connoît point encore ta diredion, fera égal & de même diredion pour toutes les particules : c’eft pourquoi on peut regarder tous les efforts V n com¬ me réunis au centre G, &: agiffant fuivant G N parallèle à V n. Il faut, de plus, décompofer cet effort Vn pour chaque particule en deux autres, dont l’un foit l’effort né- ceffaire pour faire tourner la particule V autour de C, & l’autre foit détruit. J’appelle ce dernier effort s , & puifque tous les efforts s doivent être détruits , il faut que la force qui en réfulte , foit dans la diredion de A C. On a déjà trouvé que G N parallèle à Vn , êc dont la pofition eft inconnue , eft la diredion de la force ré~ fultante des forces Vn ; on trouvera ( an. 1 1 2. ) la pofi¬ tion de la ligne K L , diredion de la force réfultante des efforts des particules V pour tourner autour de C, quoi¬ qu’on ne connoiffe pas encore la valeur de cette force* La diredion de la force réfultante des efforts fuivant G N ôc K L , doit néceffairement paffer par le point de con¬ cours L des lignes G L ôc K L , ôc de plus elle doit être dans A C prolongée. Donc le point L eft dans A C pro¬ longée : donc la ligne G N doit paffer par le point où fe rencontrent les lignes K L donnée de pofition , & AC prolongée ; & CL fera la diredion de la force réfultante des forces j. Soit 7 t la force de C fuivant CP, laquelle eft com¬ mune à toutes les particules,

pour que les points C , G , arrivent en même tems à la verticale. La fécondé donne les angles des lignes CG, A C avec la verticale, & du même coté, en raifon inverfe de AC a CG ; c’eft-à-dire , que pour que les points C,G, arrivent en même tems à la verticale, il faut par la pre¬ mière Equation, que CG & AC foient dans la même ligne droite , & par la fécondé , que le centre G foit fitué au premier inftant dans la verticale A C , ou au moins fort proche de cette verticale. S. IL Des Corps qui vacillent fur des plans . PROBLEME VIL 115*. Soit une figure quelconque CK O (Fig. 36) telle¬ ment fiituée fur un plan horizontal M C 5 , que la direBion G F de fin centre de gravité G ne pajfie pas par fin point tou - chant C , on demande ce qui arrivera à cette figure . Cette figure ne peut avoir que deux Mouvemens ; l’un de rotation autour du point touchant C qui change à cha¬ que inftant ; Fautre , qui fera le même dans toutes les par¬ ties de la figure , pour gliffer le long du plan vers M ou DE DYN A Ml QUE. 123 vers £ : il faut donc déterminer d’abord ; fi ce dernier Mouvement fe fait vers M ou vers S ; en fécond lieu , la valeur de la force qui le produit, êc que j’appelle tt ; en troifiéme lieu , la force du centre G pouf tourner autour de C, & que je nomme

ôc qu’ainfi la figure tournera de gauche à droite. 20. Que la force fuivant N G fera com- pofée de la force fuivant NO , ôc d’une force dont la diredion N L palfera par N ôc par fin te rfe dion L des lignes CD > K R . 30. Que la figure gliffera de G vers K $ Q ij 124 TRAITE non de G vers R. 40. La force fuivant NV étant don¬ née ^ & les lignes N L y NO données de pofition , la force fuivant NO fera donnée y 6c par conféquent e > RGyfy & l’indéterminée GL—yy on aura la puiffance fuivant N L à la puiffance fuivant N G (pxm) :: le Sinus de l’angle G NO ou ^ au Sinus de l’angle Z N L y ou l z -GP ~ • mais — J \ L GM a r p v Mi _ a • ( c ) Rr og - r~“ 5 b > lz - y y T Donc la force fuivant N L NL = V[_bb ‘ _ : la force fuivant LC c ft égale à la force fui- vant N L , multipliée par le rapport du Sinus de l’angle N L G ou ~ au Sinus de l’angl. RL C ou ~ ; enfin , jL\ la VJ la la force fuivant CS eft égale à la force fuivant L C> multi- pliée par ~ , d’où l’on tire ou p.m. <1=112 OL . CR ( c ~f- y ) . e DE DYNAMIQUE. 127 pour la valeur de cette force fuivant CS: (oit ft îa maffe de la petite éminence C, il faut que/?, m . UllZZÎ) —g^. d’où l’on tirera la valeur de y , & par conféquent les valeurs abfolues des forces fuivant NL, LK 6c NO, qui font celles que l’on cherche. Mais il y a ici une chofe importante à obferver, c’eft que la force du point C fuivant CS, doit être dans la même direction que celle fuivant laquelle les parties du Corps CR S glifient parallèlement au plan ^ d’où l’on voit que le point L ne peut être qu’entre R & A , A étant le point d’interfeêlion des droites NC , RG } & l’expreffion -y)-c _ c de la force fuivant CM, fera pour lors UEYLl e . {c —f- y ) d’où l’on tirera la valeur de y. Si cette valeur eft plus grande que RA ,1a figure ne peut faire autre chofe que tourner autour du point C , qui dans chaque inftant va¬ riera , & pourra être regardé comme fixe pendant un inftant. Si on veut que la force néceffaire pour faire mou¬ voir le point C malgré la réfiftance du plan , ne foit pas donnée , mais feulement fon rapport à la prefïion de ce point fur le plan , on prendra RL h. RC dans le rapport de la force du frottement à la force de la preffion ; & on aura par là le point L qui doit toujours être placé entre R & A ; finon la figure n’aura aucun Mouvement parallè¬ lement au plan. 128 T R A 1 T E> S C O L I E IV. ï 15). Dans le cas où le plan MC S ( Fig. 3 8 ) eft par¬ faitement uni , nous avons fait voir que le centre G def- cendoit dans une ligne droite verticale. Pour favoir la viteffe avec laquelle il defcend ^ il n’y a qu’à chercher la force qui le pouffe à chaque inftant fuivant GF. Si on nomme GF,x,&t

M la maffe , a la fomme des produits des particu¬ les par leurs diftances à G, on aura 2pt — u u -4- ; mais t eft donnée en x , & V en u & x. Donc &c. S C O L I E V. 120. Lorfque la figure fe meut fur un plan qui n’eft pas uni * & que le frottement eft fuppofé proportionnel à une partie donnée de la force comprimante, les lignes CR 6c CL ( Fig. 38) ont entr’elles un rapport confiant, par con- féquent le centre G fe meut fur la Courbe qu’il décrit , comme s’il étoit mû par une force dont la direction fit tou¬ jours avec le plan MS un angle confiant. §. 1 1 1. Des Corps qui agijfent les uns fur les autres par des fils , le long defquels ils peuvent couler librement . A PROBLEME VIII. 121. Un fil AN P M ( Fig. 40 ) de longueur donnée > étant arrêté fixement en A fur un plan horizontal , & chargé de deux poids M,P, dont F un M f oit attaché fixement au fil , & F autre P , puijfe couler le long du fil par le moyen d'un anneau y on demande le Mouvement de chacun de ces deux Corps , en Jkppofant qu'ils ayent reçu F un & F autre une impulfion quelconque . Soient Pp , Mm, les deux lignes parcourues par les Corps P , M, dans un infiant. Ayant décrit d’un rayon ar¬ bitraire confiant AN, l’Arc Nn , & fait nn — nN, la queftion fe réduit à trouver la grandeur & la pofition du côté pV qui fuit immédiatement Pp , & la pofition VT de l’autre partie du fil. Je fuppofe que dans l’inftant que le Corps P parcourt pV, il eut parcouru uniformément dans la dircélion de Pp la ligne pp—p7r-h7rp — pp •~t~ 'ce p 5 & que de même le Corps M eut parcouru uni¬ formément m o — m fi fi o = Mm -4- /.to. Par notre Principe , il faut décompofer les Mouvemens pp , mo chacun en deux autres p x ,p V , & m L , m T, tels , que par les Mouvemens pV, mT , les Corps/?, m, ne fe nuifent point l’un à l’autre, c’eft-à-dire qu’on ait A V VT — Ap -\-pm , & que par les Mouvemens p x , m L , les Corps fe faffent équilibre. D’où il s’enfuit i°. que m L doit être dans le prolongement d epm; a0, que le Corps/? pouvant couler ( hyp .) le long du fil , il ne fauroit y avoir d’équilibre ^ à moins que fa direêtion p x ne divife en deux également l’angle Apm . 30. Enfin, que la force fuivant mL doit être à la force fuivant p x , comme le Sinus de la moitié de l’angle Apm eft au Sinus de cet angle entier. DE DYNAMIQUE . i 3 i Les lignes A p y pm y p x étant données de pofition , on voit allez , que li on connoiffoit la grandeur des lignes pxy 7rp , le Problème feroit réfolu, & qu’il n’y auroit plus que le calcul à faire : or i°. les lignes px y p doivent être telles que les angles VAp & p A P foient égaux y 2°. les lignes px 8c 7rp étant données, les lignes AU & VT font données de grandeur 8c de pofition, 8c la four¬ me de ces lignes doit être confiante. On aura donc deux conditions , d’où l’on tirera deux Equations qui ferviront à trouver p x & pyr. En voici l’analyfe. Soit AN — i » Nn — dx y AP —y > PQ — dyy le Si¬ nus de la moitié de l’angle A PM y z , enfin c la lon¬ gueur du fil. i°. La différence de l’angle P A p (dx) -h celle de l’angle A PM ( ) eft égale à l’angle de P A4 avec pm : donc cet angle de PM avec pm ~ dx -b i dz v [ i — zzp 2°. pj & c’eft-à-dire les Sinus des angles p PD 9 6c PpD font données par le Sinus z ôc par celui de l’angle ApP y je les exprime donc ainfi * (zy~p^~) £>CA(Zy1-^)yOU 6c ce dernier F p . ( c — — y ) ) ] ^Fangle p?r/t eft égal angle (art, y 6. ) eft == (dx 4- 2 dz \ / _ ) • ( I HH V [ i — zz] ' ' c donc AVp h- pVT — ApP h- Ppm — d# 2 ^ £ x / J . 2 ^ \ r « - J -« - - x —— jk ' P/> . c — y R iij -y); P HH d x 4~ V[i — zzl ) • ^ i 4- *34 TRAITE' [ PD ■+. (e — y) . (dx S: z dz )] a . PD P p . c — y d z V[i — zz] *4- p pV —--;mdàsApP + Ppm = APM+— ^ 2 d y ^ JL) donc d ( c — y i d ; V7 [ i— ) == ( dx -h )•( v'Ei-u] — / p p £z C~y . Cette Equation combinée avec l’Equation B fervira à trouver les Equations des deux Courbes , a & S étant connus par le n. 6 » Remarque L 122 . Si Ton attache un fil ABC (Fig. 41 ) fixement en A & en 6c qu’un Corps B , pefant ou non , puiffe couler librement le long du fil ^FC,il eft évident que ce Corps B décrira l’Ellipfe MB N 9 dont A ècC font les foyers. Mais je dis , de plus , qu’il la décrira de la même manière que s’il n’étoit pas attaché au fil y & qu’il defcendit librement dans la cavité de cette Ellipfe. Car lors qu’il fe meut librement dans l’Ellipfe > la direction du Mouvement qu’il perd à chaque inftant > eft une perpendi¬ culaire à l’Ellipfe au point ou eft le Corps. Mais lorf- qu’il fe meut le long du fil ABC , la direction du Mouve¬ ment qu’il perd à chaque inftant , eft la ligne B F qui divife en deux également l’angle ABC,&c cette ligne FF eft comme l’on fait par les Seêtions coniques , perpendiculai¬ re à l’Elfipfe Ad B N en F, Donc &c® \ DE DYNAMIQUE. Remarque IL 125. Si un fil A MR NC fixe en A en C{ Fig. 42 ) pafie à travers un Corps KRBGL qui puiffe couler libre¬ ment dans ce fil, & que toutes les parties de ce Corps KRBGL foient animées de viteffes telles, qu'il foit en équilibre , je dis que la force réfultante doit avoir pour di¬ rection la ligne G R qui .coupe en deux également l’angle AGC , fait par les lignes AK , CL prolongées. Autre¬ ment le Corps RK G ,.glifferoit ou vers A ou vers C, & par confisquent il n’y auroit point équilibre , ce qui eft contre la fuppofition. D’après cette remarque , il eft aifé dp trouver la Courbe que décrivent les points K , L, & la viteffe de chacun de ces points , lorfque le Corps a reçu une impul- fion quelconque. Car il y a pour chaque inftant quatre inconnues à trouver , favoir les directions des points K & A, & leurs viteffes. Or il faut que ces directions & ces viteffes foient telles, que AK^-CL faffe une quan¬ tité confiante , aufli-bien que la diftance KL: de plus , les forces perdues doivent être tellement dirigées pour chacun des points du Corps K R L , que la réfultante ait pour direction G R ; cette dernière condition produit deux Equations. Car regardant la force perdue par chaque par¬ ticule, comme compofée de deux autres; Tune parallè¬ le, l’autre perpendiculaire à GR, il faut que la Tomme de ces dernières foit zéro , & que la direction de la force réfultante des autres foit G R ; on aura donc en tout quatre i36 TRAITE Equations & quatre inconnues , & le Problème fera ré- folu. Je n'en donne point le calcul , parce qu’on imagine bien qu’il eft trop long & très-compliqué , & qu’il fuffit ici d’en préfenter l’efprit. SCOLIE GENERAL. 124. Je ne finirai point cette matière, fans faire ici une obfervation allez importante fur la folution des Pro^ blêmes , dans lefquels on fuppofe que les Corps fe tien¬ nent par des fils. Comme les fils font fuppofés inextenfi- bles ^ les Corps ne peuvent jamais fe trouver à une diftan- ce l’un de l’autre, plus grande que la longueur qui les fé- pare ; mais rien n’empêche qu’ils ne puilfent fe trouver à une diftance plus petite que cette même longueur. Ainfi , deux Corps étant, par exemple, attachés aux deux extré¬ mités d’un fil, fi on leur donnoit des Mouvemens tels, qu’ils pulfent fuivre ces Mouvemens fans que le fil s’al¬ longeât , il eft évident qu’ils fuivroient ces Mouvemens précifément de la même manière , que s’ils étoient libres , & qu’il n’y auroit alors aucun Problème à réfoudre. Aufli ne pourroit-on pas appliquer à ces fortes de cas le Princi¬ pe général dont nous nous fommes fervis jufqu’ici : car fi on vouloir faire ufage de ce Principe , on trouveroit que les Mouvemens par lefquels les Corps devroient fe faire équilibre , au lieu de tendre à allonger le fil , tendroient au contraire à en rapprocher les extrémités; & qu’ainfi, puifque le fil ne fait aucune réfiftance à ce dernier effort, ces Mouvemens ne pourraient être détruits. En DE DYNAMIQUE. 137 En général, quand les Corps fe tiennent par des fils., le moyen de s’affurer fi les fils doivent relier toujours ten¬ dus, c’efl de voir fi en les fuppofànt tels , les forces qui doivent faire équilibre , ont des direêlions qui tendent à allonger le fil. Si cela efi, on aura eu raifon de fuppo- fer que les fils ne fe plioient point ; finon les Corps fe¬ ront mus précifément comme s’ils étoient libres , & qu’ils ne fuffent pas joints enfemble. On n’a pas befoin de pren¬ dre toutes ces précautions , quand les Corps fe tiennent par des verges inflexibles auxquelles ils font fixement atta¬ chés. Car leur dillance eft toujours néceflairement égale à la longueur de la verge qui les fépare , & ne peut être îli plus grande ni plus petite. Aufli la remarque que nous venons de faire fur le cas où les Corps fe tiennent par des fils feroit inutile , fi au lieu d’être joints par des fils , ils V étoient par des verges inflexibles unies enfem- ble par des charnières. Il y a , au refie , une analogie parfaite entre ce dernier cas & celui des fils. Car, quand les Moüvemens imprimés à des Corps unis par des fils font tels , que les fils par leur inextenfibilité puiffent les altérer , il arrive précifément à ces Moüvemens le mê¬ me changement , que fi les fils étoient des verges infle¬ xibles jointes enfemble par des charnières. 13S TR A 1 T EJ S. I V, Des Corps qui Je poujfent ou qui Je choquent , Problème IX. 12 Un Corps dont la majje ejl m , & la vitejfe u Je mouvant fur une même ligne avec un autre Corps dont la majfe e/l M & la vitejfe U , trouver la vitejfe de ces Corps après le choc . Soit v la viteffe du premier Corps après le choc , V celle du fécond : on fera ( art* 23) u = v ^ u — v ôc U = V U — V* Il faut par notre Principe , que V —v & que m {u — v) M (U— v) — o, Donc v ou V _ m 11 — M V M — f- m Corollaire. 1 2 6. Si un Corps M de maffe quelconque animé d'une viteffe donnée U eft choqué par un Corps m infiniment petit , dont la viteffe foit u , il recevra par ce choc une quantité de Mouvement = à m ( u — U ) , & fi u eft infi¬ niment plus grande que U , la quantité de Mouvement quil recevra fera égale à mu, c’eft- à-dire à la quantité de Mouvement du Corps choquant. On voit par-là, que quand le Mouvement d’un Corps eft accéléré ou retardé par une puiffance impulfive , dont il reçoit , pour ?" fi dire, à chaque inftant des coups réitérés ; la quantité de Mouvement que le Corps perd ou gagne à chaque inf- DÊ DYNAMIQUE. if9 tant, ne doit être regardée comme proportionnelle à la puiffance impulfive , qu’en regardant cette puiffance com¬ me une maffe infiniment petite, animée d’une viteffe in¬ finie par rapport à la viteffe du Corps pouffé. En ce cas* l’effet de cette puiffance eft toujours le même , foit que le Corps fe meuve ou qu’il foit en repos. Remarque* I2j. C’eft ici le lieu de prouver ce que nous avons avancé plus haut, (art. ip.)que le Principe des forces accélératrices proportionnelles à l’Elément de la viteffe, ne doit point être employé pour déterminer les Mou- vemens qui réfultent de l’impulfion. En effet, fuppofons, par exemple , qu’un Corps vienne en choquer un autre en repos , la quantité de Mouvement gagnée par le choqué, fera m u M M — m ïl faudroit donc que la caufe productrice de ce Mouvement fût proportionnelle à EJM. Mais i°« M *-f- m comment peut-on prouver que la caufe motrice du Corps M eft proportionnelle à y plutôt qu’à une autre fonêtion quelconque des grandeurs M, m , u ? Ne feroit-il pas même allez naturel de penfen que mu pourroit être rgardé comme proportionnelle à la caufe motrice, ce qui ne manqueroit pas d’induire en erreur , puifque la quantité de Mouvement du Corps M n’eft point com- 140 TRAIT È' me mu, toutes chofes d’ailleurs égales. 20. Quand orî iauroit que la caule motrice eit proportionnelle a MmJr;m i on ne pourroit en conclure rien autre chofe , linon que la quantité de Mouvement du Corps M regardée com¬ me fon effet, feroit proportionnelle à ,fans favoir 11 elle feroit précifément cette quantité même. Il faut donc nécelfairement employer d’autres Principes , pour déterminer la quantité abfolue de Mouvement du Corps choqué. r JL E M M E IX. 128. Soit fur un plan QR un Corps A K QR (Fig. 43 ) de figure quelconque , qui puijfie glijfier librement fur ce plan de Q vers R, ou de R vers Q , & fit un Corps quelconque M, placé fur KQ en tel endroit qtdon voudra 3 fuppojons que le Corps ÀKQR ait fuivant RQ une vitejfie quelcon¬ que y & que le Corps M ait une vitejfie & une direction telle quil fiajfie équilibre au Corps ARQR ; Je dis que cela ne peut arriver i°. que MO perpendiculaire à Kfij ne foit la diredion du Corps M. 20. Que la force du Corps M fuivant MO , 6c la force du Corps AKCJR fuivant ne fe réduifent à une feule force dont la diredion foit perpendiculaire au plan /C Corollaire. 12p. Donc la force du Corps M doit être à celle du Corps AKJOR, comme GL eü h LS* D E DYNAMIQUE. S C O L I E. Î41 i 30. La diieâion de la force réfultante de celles des deux Corps , doit être nonfeulement perpendiculaire au pian, mais paffer par la bafe QR- D’où Ton voit que il on mene par le centre de gravité de la figure AK O R une droite 'parallèle à , cette droite doit couper la îign MO en un point, d’où Ton puifïe mener une per- pend: culaire qui tombe fiat QR* A Problème X* 131. Suppofant le Corps M animé dune force accéléra¬ trice quelconque perpendiculaire à la bafe QR, & le refe comme aans le Lemme précèdent , on demande le Mouvement du Corps M & de la figure . Soient A B, B ê (Fig. 44 ) deux côtés confécutifs de la figure, tels que AB — BV, & fuppofons que tandis que le Corps M parcourt la figure ait parcouru A a ; enforte que les côtés AB,Bê foient parvenus dans la fituation a B , BD: foit a et — A a « B b = ^ B , & enfin la ligne b d , celle que le Corps M parcourroit en vertu de fa force accélératrice : les lignes a et , B efferoient celles que les deux Corps parcourroient dans Pinftant fuivant, fans leur aêtion mutuelle. Au lieu de ces lignes ils ^ ^ourront , l’un , la ligne A a, l’autre, la ligne B z, terminée par le côté bz parallèle à /Si ; & il faut par notre Principe, que la maffe du Corps A4 animée delà S. . « 11 j 142 é T R A 1 T E' viteffe S'z fafle équilibre à la malle m de la figure , ani¬ mée de la viteffe a a. D’où il s’enfuit 9 qu, Sz doit être perpendiculaire à bz y & que m . ce a : M , z : : ib : z

dy 7 on aura mddu—Mddy — Md du 7 ou d du . ( M -t- m ) '== Mddy . Equation générale & fort limple p^our trouver îe Mouvement des deux Corps , quelle que foit la force accélératrice qui agiffe fur le Corps M 7 pourvu que force foit toujours perpendiculaire a O R, S C O L I E I. ï 32. Les Confiantes qu’il faut ajouter dans 'intégra¬ tion de l’Equation Mddy — ( M -f- m ) . ddu dépendent du premier dy & du premier d u 7 qu’il eft toujours fa¬ cile de trouver. Par exemple 7 fi la dire&ion du Mou¬ vement du Corps M en A (Fig. 4 y) eft fuivant la Tangente de la Courbe AB en A 7 il faudra tirer la Tangente A P 7 &c prendre AO = pour avoir le point 0 où la figure fe trouvera , lorfque le Corps M fera en N . Si le Corps M agît par fa feule force accélératrice fans aucune impulfion primitive 7 il faudra tirer AQ^ per¬ pendiculaire à B D 7 & prendre AO = Au refte , il eft clair par Part , 70. que dans ce der* DE DYNAMIQUE. 143 nier cas , le centre de gravite commun des deux Corps defcend dans une ligne droite verticale. S C O L I E IL 135. On pourroit donner plufieurs autres folutions de ce Problème } qui toutes fe terminent à donner l’Equa¬ tion Mddy = (M -4- m) . ddu: j’ai préféré la folution qu’on vient de voir à toutes les autres , parce qu’elle efl: extrêmement fimple. Tous les Problèmes analogues à celui-ci qu’on pourra propofer , fe réfoudront toujours par l’application de no¬ tre Principe > &c il n’y aura de difficulté que dans le calcul. L E M M E X. 134. Soient deux Spheres G, G , mues fuivant GB, CD , ( Fig. 4 6 ) avec des vitejfies qui Joient repréfient ées par les li¬ gnes infiniment petites GB, CD ; il ejl clair que Ji DB — CG, Eefil-à-dire fit D E = B F , les Mouvemens de ces deux Sphè¬ res neHJe nuiront point îun à ! autre ; d’où il s’enfuit qu’en général , pour que ces Spheres ne fe nuifent point , il faut dans chacune que la viteffe du point touchant A fui¬ vant la perpendiculaire CAG aux deux Corps , foit la même de part & d’autre, r Corollaire. 1 3 y. Si deux Corps de figure quelconque fe touchent, alors en regardant comme une petite furface Spherique TRAITE 144 leur point d'attouchement commun , on verra que pouf que ces deux Corps ne fe nuifent point , la viteffe du point d'attouchement eftimée fuivant une perpendiculaire aux deux furfaces en ce point > doit être la même pour chacun d'eux. L E M M E XI. I3<5\ Si tant de Corps quon voudra viennent fe choquer de manière , qu'en les fuppofant parfaitement durs & fans r effort y ils demeurent tous en repos après le choc fe dis que s'ils font à r effort parfait , ils retourneront en arriére chacun avec la vitefe qu il avoit avant le choc . Car l’effet du reffort eft de reftituer en fens contraire à chaque Corps le Mou¬ vement qu’il a perdu par Fa&ion des autres. C O R. O Le 137. Donc 5 fi tant de Corps durs qffon voudra fe cho¬ quent à la fois , & que a , b &c. foient leurs viteffes avant le choc, qui foient changées après le choc en a, &c* alors regardant les viteffes a , b &c. comme compofées des viteffes a, a; b, £; les viteffes de ces mêmes Corps après le choc , feront compofées des viteffes a , — a ; b, — £; &c. Nous ne parlerons donc dans les Problèmes fu. .. que du choc des Corps durs , puifqffon en déduit fémentles loix du Mouvement des Corps Elaftiques. Je n’examine point ici s’il y a des Corps parfaitement durs^ DE DYNAMIQUE. i4j durs, c’eft une queftion qui appartient plutôt à la Phyfique qu5à la Mécanique , & je ne fuppofe ici des Corps parfai¬ tement durs , que comme on fuppofe d’ordinaire dans la Mécanique des Leviers inflexibles , des Machines fans frottement ôcc, Je fuppofe aufii comme une vérité d’Ex- përience , que le reflbrt rend à chaque Corps en fens contraire ce qu’il a perdu de Mouvement par le choc, fans examiner de quelle manière fe fait cette reftitution. Comme il eft allez bien prouvé que les Corps à reflbrt s’applatiflent ôc fe compriment par le choc , pour fe ré¬ tablir enfuite dans leur première figure , on pourroit croire que ce n’eft pas le véritable moyen de trouver les loix du Mouvement de ces Corps, que de les fuppofer in- compreflïbles , comme nous faifons ici ; êc il eft vrai que cette circonftance de plus ou de moins doit apporter à ces loix beaucoup de changement , comme nous le fe¬ rons voir plus bas. Quoi qu’il en foit , nous pouvons fup¬ pofer moins , que les Corps changent très-peu de figu¬ re , & que la compreflion aufli-bien que la reftitution fe fait dans un tems très-petit ; en ce cas , le Mouvement après le choc fera fenfiblement le même , que fi on confidé- roit les Corps comme incompreflibles. On réfoudroit ces Problèmes exaâement , fi on favoit fuivant quelle loi h figure du Corps change par la compreflion ; mais on ntt* peut faire fur cela que des hypothefes* PROBLEME XI. 138. Suppofons qu’un Corps A ( Fig. 47 ) en vienne T T R A I T E choquer un autre BOQ^ repos , fuivant une dheBion A G qui ne pajfe pas par le centre de gravite M du Corps cho¬ qué , on demande le Mouvement de ces deux Corps après le choc . Quelque Mouvement que prenne le Corps ROQ> il eft: certain ( an . <5*4 ) que fon centre M ira toujours en ligne droite après le choc y tandis que toutes fes parties tour¬ neront autour de ce même centre. Il faut, de plus, par notre Principe , que fi on imprimoit à ce Corps un Mou¬ vement contraire à celui qu’il a reçu par le choc , il fit équilibre avec le Corps A animé du Mouvement quil a perdu par le choc. C’eft une propofition aifée à démontrer , que fi le cen¬ tre de gravité M d’un Corps fe meut fuivant une direc¬ tion quelconque , & que ce Corps tourne en même tems autour de fon centre , la direction de la force réfultante fera parallèle à la dire&ion du centre de gravité. Or la direction de cette force ne peut ici être autre que la li¬ gne CA perpendiculaire à l’endroit du contaêt: donc le Mouvement du centre M doit être parallèle à CA . De plus , la viteffe de rotation doit être telle , qu’étant com¬ binée avec le Mouvement du centre My les Corps ne fe nuifent point , c’eft-à-dire qu’ils ayent dans le même fens une viteffe égale. Or abaiffant la perpendiculaire M N fur CA y il eft aifé de voir que le Mouvement du point touchant A fuivant A N , eft égal au Mouvement au point N. La difficulté fe réduit donc à trouver la viteffe du point My & la viteffe de rotation du point N. DE DYNAMIQUE . 147 Soit u la.yiteffe du Corps A avant le choc , u fa viteffe après le choc, a la viteffe de My v la viteffe de rotation du point N 9 on aura i°. # v — u. De plus , la force ré- fultante des Mouvemens des parties du Corps M en fens contraire , doit être égale à A . (u — u) ; or cette force doit être = à M . a , ôc avoir pour direâion la ligne C A\ on a donc 2 °. M . cl — A . (u — u ) : 30. fi on nomme p la fomme des produits des parties du Corps M par le quarré de leurs diftances à M9 011 aura •— = M. a. MN . ces trois Equations ferviront à trouver les inconnues a , v9 u y Ce Q. F. Trouver . PROBLEME XII. 13p. Deux Corps fpheriques A , a , (Fig. 48 ) attaches aux verges CA, C a , fixes en C & en c , fie choquant avec des viteffes données , trouver leurs vitejfes après le choc 3 on Juppofè qu avant le choc ils vont tous deux dé un meme coté . Soient u , v9 les vitdfes des centres A, a, avant le choc, u, v,les viteffes de ces mêmes centres après le choc. Par notre Principe , il faut que ces viteffes u , v foient telles , que les deux Corps ne fe nuifent point , & que fi leyrs centres avoient les viteffes u — u, v — v , les deux Corps fe fiffent équilibre , c’eft-à-dire que les points A3 a3 éta^t animés des viteffes u — u , v — v , il faut que la àorce du Corps ^ regardée comme réunie en A , ôc agit- fant fuivant A a , foit égale à la force du Corps a regardée comme réunie en a , ôc agiffant fuivant a A . 148 TRAITE1 Si on mene les perpendiculaires CG 9 cg k Aa ]îz première de ces deux conditions donne De plus j fi on nomme F la fomme des produits des parti¬ cules du Corps A par le quarré de leurs diftances à C, ôcjf la quantité analogue à celle-là pour le Corps a 9 la fécondé condition donnera F: hh ^ = o. AC. CG ac.cg de ces deux Equations on tirera la valeur de u ôc celle de v. C O R O L. I. 140. Si les Corps font Elaftiques , leurs vitefles après le choc feront (art. 137*) u-f-u — «&V4- v — v » la fomme des forces vives après le choc 9 fera ( zu — u)% fv‘ 4- ^7 -H — (uu • — u&) -f- ™ 4/ CIO1 (2V— v),sss ( v v — vx>). Mais fi on multiplie le premier de ces deux derniers termes par — x — , & l’autre par — x — > ce qui ne change point leur valeur , on verra qu’à caufe = ^ , ôc de 0 , ils fe dé- c a AC .C G ac . ce u.CG CA c a ? " AC.CG ' ctc.cg truifent mutuellement. Donc la fomme des forces viye.y après le choc = , c?eft-à-dire que la fomme des C -T ^ 6b forces vives avant & après le choc , eft la même. DE DYNAMIQUE . C O R O Le IL 141. Si les lignes CA> ca font parallèles dans l’inf» >tant du choc , il faudra faire CG — C A^cg — ca } & le refte comme ci-deffus. Ce dernier cas a été réfolu par M* Jean Bernoulli le fils, dans le Tom. 7. des Mémoires de Peterjbourg , en fuppofant les Corps Elaftiques. Nos deux folutions font fort différentes , quant à la Méthode & quant au réfultat. Car dans le Mémoire de M. Bernoulli , les viteffes après le choc font exprimées par des quan** tités radicales ; ici on peut s’affurer aifément qu’il n’y aura point de radicaux: les quantités F,/, les feules qui puf- fent faire entrer des radicaux dans l’exprefïïon des vite fi les j n’en contiennent point , puifqu’en nommant b , C les rayons des Spheres A , a , C N > a, en , & 5 on trouve F = ( a a 2 a b *-4- — b b ) • Afëi f = ( & -4-* — h J- CC • « ct s Mais outre que la folution de M. Bernoulli n’eft pas dire&e , étant appuyée fur le Principe de la conferva- tion des forces vives , cette folution eft fondée encore fur un autre Principe que je ne crois pas vrai. Ce Principe confifte à regarder le Corps A mû par la verge infléxible CA > comme fi toutes fes parties fe mouvoient d’un Mou¬ vement égal à celui du centre A > & qu’en même tems Corps A tournât fur fon centre avec un Mouvement angulaire égal à celui de la verge. En conféquence la force du Corps A eft la même félon lui , que s’il n’étoit point attaché à la verge , & que toutes fes parties eufi TRAITE ï )0 fent une vitefie égale à celle de fon centre , fans aucune rotation ; ce qui me paroît contraire aux îoîx de la Mé¬ canique. M. Bernoulli fe contente de faire voir art . XV. de fon Mémoire, que dans l’un & l’autre cas la quantité de Mouvement eft la même , foit que le Corps tourne au¬ tour de C, ou que toutes fes parties fe meuvent avec une vitefie égale à celle du centre A , ce qu’on ne peut lui contefter. Mais dans une Sphere qui tourne autour d’un point fixe , la quantité de Mouvement & la force ne font pas la même chofe : il faut avoir égard de plus au bras de Levier par lequel chaque particule agit ; c’eft la fo ra¬ me des produits de chaque Elément par fa vitefie & par fa diftance au point fixe , qui fait la force, & non pas feu¬ lement la fournie des produits de chaque Elément par fa vitefie, A PROBLEME XIII. 142. Deux Corps A, B, (Fig. 49) attachés aux fils CA, GB fixes en C & en G , venant à fe choquer , trouver leurs Mouvemens apres le choc . Soit u la vitefie du point A avant le choc pour tour¬ ner autour de C, laquelle vitefie eft commune à toutes les parties du Corps A , foit outre cela v la viteffc du centre de gravité du Corps A avant le choc, pour tour¬ ner autour du point par où le Corps eft fufpendu. Soient de même U ôe V les vitefles qui dans le Corps B avant le choc font analogues à u & v : qu’enfin ces vitefies après le choc foient changées en u & v,U & V; qui DE DYNAMIQUE. i;i doivent être telles , que les Corps A , B aillent de com¬ pagnie fans fe nuire Tinftant d’après le choc, & que s’ils n’avoient que les viteffes u — u, v — v; U — * U , V — V; ils fe fiflent équilibre. Toutes les parties du Corps A (Fig. yo) étant confi- dérées comme animées de la vitefle u — u , on peut ré¬ duire tous leurs Mouvemens à une feule force , dont la direction OK paffera par le centre de gravité du Corps A , ôc fera perpendiculaire à CA prolongée vers L. De plus le centre de gravité du Corps A étant animé de la viteife v — v pour tourner autour de A, on trou¬ vera (art* i 12.) fans connoître la valeur de v — v, la direction NO de la force réfulfânte. La force fuivant 0 P que je fuppofe réfulter des forces fuivant OK, NO , doit s’anéantir : elle doit donc être telle , qu’on puiffe la dé- compofer en deux autres , l’une fuivant PL dans la di¬ rection de CA, l’autre fuivant P a perpendiculaire en a à l’endroit du contaCt des deux Corps. Or comme la pofition des points P ,0 , eft donnée, par les lignes a P , CA y NO, KO, toutes données de pofition; il s’enfuit que la direction 0 P de la force réfultante des forces fui¬ vant 0 K ôc NO eft aulïï donnée , & qu’ainfi le rapport de ces forces fuivant OK & NO eft donné. Mais en nommant m la malle du Corps A , on a la force fuivant QK — m Qu — u) , ôc celle fuivant NO = mQv — v ). Donc le rapport de æ — u à v — veft donné : on trou¬ vera par un raifonnement femblable , que le rapport de U — U à N— V eft donné pour Pautre Corps. On pourra TRAITE 152 donc des quatre inconnues u5v, U 6e V en chaffer deux. On a 5 de plus* deux autres conditions à remplir, favoir que la force fuivant P a foit égale à celle qui agit pour l’autre Corps en fens contraire, & que, de plus, ces deux Corps aillent de compagnie l’mftant d’après le choc, c’eft- à-dire que la viteffe du point touchant a fuivant P a, foit la même pour l’un & pour l’autre : ces deux condi¬ tions donneront deux autres Equations qui ferviront à trou¬ ver les deux inconnues reliantes , & ces Equations ne par¬ feront jamais le premier degré. D'un Corps qui en choque plufieurs autres à la fois • Problème XIV. 143. Suppojons qu'un Corps fpherique A, (Fig. j 1 ) mû fuivant une ligne donnée A Q avec une vitejfe donnée , r en¬ contre à la fois les deux Corps en repos B, C, on demande les directions & les vitejfes de ces trois Corps après le choc . Soit A N = u la vitelfe du Corps A avant le choc,' AR,i a direêtion cherchée après le choc,& AU—v fa viteffe auffi après le choc; BZ ,CX des viteffes que reçoivent les Corps £,C, (on fuppofe que toutes ces lignes A N, AF^BZ , CA qui repréfentent des viteffes , font infiniment petites. ) La viteffe B Z du Corps B, & la viteffe AV du Corp: A , doivent être telles , ( art . 134.) que V Z — AB. De même la viteffe CX du Corps C, & la viteffe A F du Corps A doivent être telles, que F X —AC. De plus, fi DE DYNAMIQUE. 153 fi dans Imitant du choc, on fuppofe le Cotps A animé des Mouvemens A V , F N , ou AV , Ap ; & les Corps B * C y animés des Mouvemens égaux & contraires BZ , Bz yCXy Çx ; il faut par notre Principe , que les Corps A 9B9C y animés des Mouvemens A p yBz9Cx9 fe faf- fent équilibre. Soient les données A Q — a , Q S — T, Q T — T , & les inconnues O II — t , AV ^ v,on aura (en me* r o nant RO perpendiculaire à A S ôc Ro à AT) (r— 0 . a Ro ( X •— f-* 1 ) . a V [a'-irt*] ? AR de plus, à caufe de V Z — AB , on aura B Z V[a 1 -4-T2J . V [>a -+- />] ’ AV . AO AR V ( V[s2 -4-î2 ] (T — O -T 12] V [a‘ -t-T‘] . V [a yera par un raifonnement femblable ÇX — V (V[a2 (T-+-O .T ). Ontrou- )•' V [a2 -H tz J V [a* HH T2] . V [œz -f- tz J Mais fi on mene du point Vh perpendiculaire VP fut A N 9 on aura, à caufe de l’équilibre , A.PN — B. JlL u , ç ex. A§i & A y p _ l-±z_-££ C , C£_Lgr E AT -4 S iV^ettant dans ces Equations au lieu des lignes qui y en¬ trent, leurs valeurs analytiques* on parviendra à détermi¬ ner u & t\ ôc on verra, fi l’on veut en faire le calcul , qu’il n’y a jamais que des Equations linéaires à réfoudre, * ~ V If* T R A I T EJ Remarque L 144. Je ne m’étends pas davantage fur la folution de ce Problème , & je ne cherche pas même à la Amplifier, parce que Pon en trouve une très-belle folution dans le nouvel Ouvrage de M. Mac-Laurin. On peut , au refte , par notre Principe , trouver les loix du choc quand une boule en rencontre à la fois tant qu’on voudra ; pro¬ blème qui a été réfolu par M. Jean Bernoulli , mais par le Principe de la confervation des forces vives ^ & feule¬ ment pour le cas où les boules choquées font égales & difpofées femblablement de part & d’autre de la direc¬ tion de la boule choquante. M. Bouguer a auffi réfolu ce Problème pour ce dernier cas feulement ( Journ . des Sav . Avr. 1728) mais fans y employer le Principe de la confervation des forces vives. M. Bernoulli dans fa piè¬ ce fur le Mouvement , a tiré de la folution qu’il a donnée un grand nombre de très-belles conféquences fur le Mou¬ vement des Corps dans les Fluides. Il y a entr’autres plu- fieurs Théorèmes qu’il n’a pas démontrés , & qui pourront trouver leur place dans un Traité fur les Fluides > que j’efpere donner après celui-ci. Remarque IL 14 Au refte , quand on fait attention à la Nature du Problème général des Corps qui fe choquent plufieurs à la fois, avec des vitefles ôc des directions données, on DE DYNAMIQUE. iyy peut rencontrer dans le détail plufieurs difficultés qull eft bon d’éclaircir icijêt qui pourront nous donner lieu de faire fur les loix du choc des Corps, quelques obfervations nouvelles. Suppofons, par exemple, qu’une boule A (Fig. y 2) mue fuivant AL , rencontre à la fois les boules Cfi-D, £,F femblablement fituées de part & d’autre de la li¬ gne A L ; que les boules F, E foient en repos , & que les boules C, D , ayent parallèlement à A L une viteffe égale à celle du Corps A ; il eft évident que le Corps A n’aura aucune aQion fur les boules C & D , & que tout fe paffera de la même manière , que fi le Corps A ne touchoit que les boules E , F. Mais fi les boules C, D avoient une viteffe moindre que celle du Corps A fui¬ vant A L ; alors le Corps A auroit de l’aêlion fur ces boules , & il paroît d’abord qu’il doit communiquer du Mouvement à toutes les quatre. Cependant voici une difficulté. Suppofons que la vi¬ teffe des boules C & D avant le choc , ne foit que de très-peu moindre que la viteffe du Corps A : fi elle n’eft que très-peu augmentée après le choc , alors , comme les boules A , C , D , doivent aller de compagnie , la viteffe de la boule A ne fera que très-peu diminuée ; de us, les boules F, E devant aller auffi de compagnie .vec la boule A, auront une viteffe qui fera à la viteffe du Corps A après le choc , comme le Cofinus de l’an¬ gle JS A F au Sinus total , ôc qui par conféquent fera com¬ me infiniment plus grande que la viteffe perdue par le V ï j i $6 T R A I T & Corps A. Mais par notre Principe , le Corps A animé de la viteffe qu’il a perdue , doit faire équilibre aux C E , F y C y D y animés en fens contraire de ce qu’ils ont gagné de viteffes ; or la viteffe perdue par le Corps A étant ( hyp. ) très-petite , ne fauroit faire équilibre aux vi¬ teffes finies des Corps £,F. Donc la viteffe des boules C y D y ne fauroit être de très-peu augmentée. Mais d’un autre côté fi leur viteffe eft augmentée d’une quantité qui ne foitpas très-petite, alors elles ne pourront aller de com¬ pagnie avec le Corps A y dont la viteffe doit néceffaire- ment être diminuée. On rencontre une nouvelle difficulté dans l'applica¬ tion du calcul à ce Problème. Car on trouve très-aifé- ment les expreffions des viteffes des cinq Corps après le choc, quoique fuivant la remarque que nous venons de faire , il ne paroiffe pas qu’il doive être facile de les trouver. Cependant le calcul eft fondé expreffément fur les deux conditions, que les cinq Corps aillent de com¬ pagnie après le choc , & qu’animés en fens contraire de ce qu’ils ont perdu ou gagné de viteffe , ils fe faffent équilibre. Mais fi on examine de quelle manière le calcul fa- tisfait à ces conditions , on verra que de la façon dont il les exprime , elles ne s’accordent pas toujours avec nature du Problème , & peuvent même conduire à t .ne' fauffe folution , fi on ne les applique comme il faut à la queftion propofée. Pour que les Corps , par exemple, ail¬ lent de compagnie après le choc , il faut que les viteffes \ DE DYNAMIQUE. i y7 de ces Corps eftimées fuivant une perpendiculaire à Ten- aroi fe contact , foient égales entr’elles, condition que le calcul exprime. Mais il faut, de plus, que ces vit elle s foient dans le même fens ou dans des fens différons , félon l’exigence du cas : condition que le calcul n’exprime point, ôc ne peut exprimer. De même, pour qu'il y ait équilibre entre les Corps touchans F, C, £>, E & le Corps A y il ne fuffit pas que la femme des Mouvemens de même part foit = o , ce qui eft la feule chofe que le calcul exprime ; il faut encore que les Mouvemens faifans équi¬ libre, foient dirigés fuivant AB y FA y CA , DA y EA , Comme le calcul ne peut exprimer ces conditions , ce n eft qu’après avoir trouvé les valeurs & les direc¬ tions des inconnues , qu’on peut voir fi ces conditions font remplies. Si toutes les conditions ne font pas rem¬ plies, comme il arrive dans le cas dont il s'agit ici, c'eft une marque qu’il y a de certains Corps dans le fyftême qui ne fouffrent rien de l’a&ion des autres , & dont les Mouvemens ne reçoivent aucun changement. Ainfi dans le cas préfent, quoique les Corps C & D ayent une vitefi fe moindre que la viteffe du choquant A , néanmoins ces Corps C D ne recevront aucun changement ,& tout fe paffera de la même manière , que fi le Corps A cho- quoit les deux Corps £,F, feuls. En effet, les Corps C 5t D ne peuvent diminuer de viteffe par la rencontre du Corps A : ils ne peuvent non plus recevoir de viteffe par l’aâion du Corps A ; car comme on la vu ci-deffus , ces Corps ne peuvent aller de compagnie avec le Corps A V iij T R A I T E; i après le choc. Or il n’y aura point d’aêtion entre les Corps A , C y D , s’ils ne vont pas de compagnie après le En effet , quand il y a aâion entre deux Corps , leurs Mouvemens peuvent toujours fe réduire à des Mouve- mens dans le même fens pour chacun , par lefquels ils ne fe nuifent point , ôc a des Mouvemens contraires qui fe détruifent. Or les Mouvemens contraires ne peuvent fe détruire, que les Mouvemens dans le même fens ne foient égaux. Car fi le premier Corps alloit plus vite que le fécond , il n’y auroit entre l’un 6c l’autre aucune ac¬ tion mutuelle poffible. Remarque III . ï 46*. Il n’en eft pas de même, lorfque les Corps A , C, D , E , F font des Corps à reffort. La viteffe du Corps A ne diminue que petit à petit 6c par des degrés infenfi- blés , ainfi il ne peut manquer d’agir fur les Corps C,D $ 6c par conféquent il doit néceffairement altérer leurs Mouvemens. C’eft pourquoi il faut bien fe garder, pour trouver dans ce cas-là les viteffes après le choc, de fe fervir de la réglé que nous avons donnée art. 1 37. Cette réflexion m’en a fait faire une autre, c’efl: que pour les loix du choc des Corps à reffort qui fe rencon¬ trent plufieurs à la fois , cette même réglé peut être fou- vent très-fautive. Suppofons, par exemple, les cinq Corps Ay F, h , Cj £>,( Fig. 52) à reffort parfait, il fe fait dans l’inf- tant du choc une compreffion dans chacun de ces Corps 3 DE ' DYNAMIQUE. 159 telle que le Corps choqué reçoit à chaque inftant en ar¬ riéra ' uivant chacune des directions TA , CA , DAy EA une Quantité de Mouvement infiniment petite, égale à celle que les Corps F , C > D , E reçoivent en avant : ces Corps s’applatiffent ainfi de plus en plus , jufqu’à ce qu’enfin ils puiffent aller de compagnie avec des viteft* fes , qui foient égales dans le même fens , pour lors ils commencent à fe rétablir peu à peu, & perdent ou ga¬ gnent de nouveau des quantités de Mouvement égales à celles qu’ils ont déjà perdu ou gagné. Mais comme nous ignorons entièrement fuivant quelle loi le reffbrt produit l’accélération dans les Corps , nous ne pouvons favoir fi les cinq Corps ceflent d’être com¬ primés tous cinq au même inftant ; & fi, par exemple, les Corps C égales, ôc en repos, ôc que la comprefïion dans ce cas-là finiffe au même infi* tant pour toutes les boules ( ce qui ne peut pourtant être prouvé ) on conçoit quen augmentant la maffe des deux boules C & Z), il pourra fe faire que ces deux boules achèvent d’être comprimées avant les deux boules £, F* ou ne le foient qu’après. Il eft donc abfolument nécef faire de chercher comment il faut s’y prendre dans ce cas, pour avoir les loix du choc. C’eft ce qu’on va voir dans l’article fuivant. Du choc des Corps à rejfort qui fe rencontrent plujieurs à la fois. 147. Je regarde avec plufieurs Auteurs dei» Corps A , B , à reffort qui fe choquent, (Fig. J3* 5:4) comme s’ils étoient réduits à leurs centres de gravité A^B^&c qu’il y eut un reffort placé entre deux, capable de con¬ traction ôc de dilatation , ce qui repréfente la compreffion ôc reftitution fuccefiive des deux Corps. De plus , com¬ me la compreffion fe fait en fort peu de tems , j’imagi¬ ne que ce reffort ne fe dilate ôc ne fe conrra&e pas beau- DE DYNAMIQUE. \Gï Coup, mais qu’étant très-peu contracté il a une très-grande force & j’exprime cette force par une fonélion de la quan¬ tité dont le redort eft contracté ou dilaté c’efl-à-dire que je fuppofe proportionnelle à cette fonction la petite quan¬ tité de Mouvement que l’un des Corps perd , & que l’autre reçoit à chaque inflant : car ces deux quantités de Mouve¬ ment font égales ( art. 12 6) parce que le r effort tend à fe débander également en fens contraire , avec une viteffe qu’on doit regarder comme infinie par rapport à celle des deux Corps, fa mafle étant infiniment petite par rapport à celles de ces mêmes Corps* Cela fuppofé , II a , b (Fig. J4) font les points ou font parvenus les Corps A , B, & qu’on nomme Aa^xyBb^yy & t le tems écoulé , on aura — Addx =

d t du Y B V [ 2. . ( JS ~\~A )] . V7 [q- — f du q> U ] 148. Au refte, fi je donne ici cette foîution , ce n’eft pas qu’elle foie néceffaire pour trouver le Mouvement des Corps A , 5 ; car dans cette hypothefe il leur arrive p réellement le même changement, que fi la compreffion & la reftitution fe faifoient chacune dans un inftant : ôc comme c’efi principalement le Mouvement après le choc qu’on cherche , que d’ailleurs la loi d’accélération ou de retardation inftantanée efl: inconnue , il eft évident que la foîution précédente ne peut jetter aucune lumière fur ce cas particulier ; auffi n’eft-elle ici que comme une introduction à des cas plus compliqués. 14 9. Dans la Figure imaginons que les Corps A , C , D j E , F foient des points unis par des refforts AC } AD &c. & cherchons Amplement les viteffes des Corps A , F y C y parce que les Corps E y D doivent fubir précifément les mêmes changemens que les Corps F, C ; luppofons les Corps arrivés en a >fy c ; menant les per¬ pendiculaires aq>y ax y on aura af = comme nous l’avons fuppofé , ôc comme on peut le fuppofer fans erreur, mais fur une très-petite Courbe, Les Equations qu’on trouve d’abord , en fuppofant que F fe meuve fuivant Ff , & que af = çf, font — Addx — 2p(p (px- — y) . dt\ ôc Fddy — ç (px — y)dt\ d5où l’on tire comme dans fart. 147. la valeur de x &C de y en t. Mais lion nomme foy (Fig. $6) s, on aura de plus la force fuivant fo ™ à la force fuivant a 0 X 1) multipliée par c’eft-à-dire par ~ ou par ( en appellant FA ) a , & Ton prendra au lieu de p x — y , la quantité plus êxaéle p x — y H- xz , parce que ao — A F (en négligeant les différences troifiémes ) , efl: xV [i i,** p j A x — Ff -f- “j * on déterminera d’abord les va¬ leurs de x & de y en t > par le moyen des Equations — Addx = 2p , on met- et tra enfin pour x > », pour^y —y -t-q, u & q exprimant des quantités très-petites , par rapport à x & à y , ôcl’on au¬ ra Fddy H- Fddq = *

#• — y) dt\ Soit en géné- * Nous fuppofons ici que la force fuivant Ff eft la même que la force fui- vant a o , parce qu’elles ne différent l’une de l’autre que d’une quantité infini¬ ment petite du fécond ordre , & que nous n’avons égard ici qu’aux quantités infiniment petites du premier ordre , négligées dans le premier calcul* DE DYNAMIQUE. \ 6y ral à (tpa) = d a A et (ce exprimant une variable quelcon¬ que l’on aura au lieu des deux premières Equations, F ddq — dp « {pu — $ ~ f- — ) . A (/? a: — jy ) ; ■ — Addu — 2pdP {pu — q H- - ULOL) A {p x — y) » - — LlilL'S \~L) (p (px — jy ) . d’où. Ton tire F d d q — 1 P ^ P {p x — y) — • PLUE. : or comme x &cy font déjà données en t , on aura par l’intégration de cette dernière Equation, la valeur de u en q & t , qu’on pourra exprimer ainfi u — Rq R exprimant une Confiante , & T une fonction de t , il faudra donc favoir intégrer l’Equation iddq = i(pR — 1 ) . q -\-p T -H 'x . 1 dP A ( px—y ) Z Æ ou en général ddq = N q dt1 ^ t dP Y t , N exprimant une Confiante , &c ^rt , Yt des fondions de t. Cette Equation peut s’intégrer par une Méthode femblable à celle qui a déjà été expliquée dans Part, io i, en prenant q égale au produit de deux indéterminées» A l’égard de l’Equation Fdds — xy/tl ~Ll x dP

(x y) — F.(x~hrz~y)&Ci$(z-\-rx — u) i6S TRAIT £' 153. Soient deux Corps A, a > (Fig. 5*9) dais pat un reffort A a oui fe choquent fuivant A D yXa d , de na« niére que k * centre de gravité C refteroit en repus , s?ils pou voient fe mouvoir fuivant AD , ad; ces deux Corps décriront deux Courbes femblables a g , AG pen¬ dant le tems de la compreffion , & la compreffion finira lorfque G g fera perpendiculaire à chacune des Courbes ; enfuite pendant la reftitution du reffort, ils décriront les Courbes G F,gf femblables aux premières , d’où Ton voit que leur Mouvement après le choc fera le même , que fi la compreffion & la reftitution fe faifoit dans un inf- tant. Cela eft vrai en général , lorfque deux Corps à refi- fort viennent fe choquer d’une manière quelconque ; car il eft aifé de voir que le Mouvement de leur centre de gravité ne changeant point par leur aftion mutuelle, il n’y a qu’à chercher quels feroient leurs Mouvemens après le choc , s’ils venoient fe frapper de manière que leur centre de gravité fut en repos , ôc donner enfuite à tout le fyftême le Mouvement du centre de gravité. Si les deux Corps étoient mous , leurs viteffes après le choc, ne feroient pas les mêmes que s’ils étoient durs. Car dans le cas de la dureté des deux Corps , les viteffes avant le choc feroient aux viteffes après le choc, com¬ me Cd à Ca y ôc dans le cas ou ils feroient mous , c’eft- à-dire où le reffort fe comprimerait fans fe rétablir, les mêmes viteffes feroient comme Cd à Cg : or Cg < C a. Donc ôcc. CHAPITRE DE DYN A Mï QUE. 169 CHAPITRE PT Du Principe de la confervation des forces vives. » ... î 5*4. PI des Corps agiflent les uns fur les autres , foit O en fe tirant par des fils ou des verges inflexi¬ bles , foit en fe pouflant , pourvu qu'ils foient à reiïbrt parfait dans ce dernier cas , la fomme des produits des mafles par les quarrés des vitefles , fait toujours une quan¬ tité confiante ; & fi les Corps font animés par des pu if- rances quelconques , la fomme des produits des mafles par les quarrés des vitefles à chaque inftant, eft égale à la fomme des produits des mafles par les quarrés des vitefles initiales , plus les quarrés des vitefles que les Corps auroient acquis , fi , étant animés par les mêmes puiffances , ils s’étoieftt mus librement chacun fur la ligne qu’il a décrit. C’eft dans ces deux Principes que confifte ce qu’on appelle la confervation des forces vives . M. Hughens eft le premier, que je fâche , qui ait fait mention de ces deux Principes, & M. Bernoulli le pre¬ mier qui en ait fait voir l’ufage , pour réfoudre élégam¬ ment &c avec facilité plufieurs Problèmes de Dynamique. J’entreprends de donner dans ce Chapitre , finon une dénionftration générale pour tous les cas , au moins les Principes fuffifans pour trouver la démonftrution dans chaque cas particulier. 1 5 p Imaginons d abord deux Corps A, B , ( Fig. 6o | Y d’une étendue infiniment petite , attachés à b verre in¬ flexible AB -, & fuppofons qu’on imprime ?» ce. ps des directions 6c des viteffes quelconques , repréfentées par les lignes infiniment petites A K> B D. Il faut par notre Principe , faire les parallélogrammes MC , N L , tels que LC= A B , &c B x B M — A x A N ; B C & A L fe¬ ront les viteffes & les directions des Corps B & A. Or BC* = BD* — 2 CE x CD — CD* , & AL* — AK* -f- 2 PL x KL — KL * . donc B . B C' ■+■ A . AU = A.AK*-\-BxBD*-\~A (2PL .KL — KL*) — B (2 CE. CD -h CD* ) qui fe réduit à A . AK* B . BD* ~i-A.KL * — B . CD* 3 à caufe que CE=^PL&cA.KL = B . CD. On a donc B. EC*-+-A. AL* = A. AK* -\- B .BD* rA .KL* — B. CD*. Corollaire I. 1 y 6. Si NA , B M font infiniment petites , c’eft-à-dire fi les viteffes A L , BC, ne différent qu’infiniment peu des viteffes AK , B D , la confervation des forces vives aura lieu. Car négligeant dans l’Equation les lignes KL, CD, on aura B . B C* -h A . A L* = A . A K* -h B . BD*. C o r o l. II. 1 J7. Si NA , BM ne font pas infiniment petites j &c qu’on faffe CF~CD',LO = LK,&cen fens contraire , il eft aifé de prouver que B F* = B D* — q.CE . CD , &lAO*= AK*-h^PL x KL. Donc B . B F* -h A . A 0* DE DYNAMIQUE. 171 = B ( ED1 — 2 EM . zCE) h- A ( AIC -j- 2 . ^iV. 2 PL ) == ' ED' -h 2^ « AK1 , parce que CE = PL & ^iV — Ë.EM. D onc la confervation des forces vives a encore lieu ici. Mais, fi 1 on y fait attention , ce cas eft précifément celui du choc de deux Corps Elaftiques ( art . 137.) De la confervation des forces vives dans les Corps qui fe tirent par des fils ou par des verges inflexibles . 1 f8. Nous avons vu dans l’article precedent, que fi deux Corps font attachés au bout d’une verge inflexible , & qu’on leur donne à chacun une vitefle quelconque , la confervation des forces vives n’a lieu que quand les vite fies qu’ils prennent différent infiniment peu des vitef- fes qu’ils ont reçues. Or la vitefle initiale réelle de cha¬ cun de ces Corps, peut différer d’une quantité finie de celle qu’on a imprimé à chacun fuivant une direction quelconque. Mais quand ils ont une fois commencé à fe mouvoir chacun fur fa Courbe, leur vitefle ne varie qu’infiniment peu d’un mitant à l’autre. Ainfi dans le cas de Part . 13 3. la fournie des produits de chaque mafie par le quarré de fa vitefle eft toujours égale , non à la fom- me des produits de chaque mafle par le quarré de la vitef- fe imprimée à chacune au premier inftant , mais par le quarré de la vitefle initiale réelle de chacune. 1 32. Il faut donc préfentement démontrer en général , que fi des Çorps fe meuvent en fe tirant par des fils ou î72 TRAITE ' par des verges inflexibles, & que la vitefleTué chacun ne varie à chaque inftant qu infiniment peu , la femme des produits des maffes par les quarrés des vitefles fera confiante, fi les Corps ne font animés d’aucune puiffance accélératrice , & que dans ce dernier cas , elle fera égale à la fomme des effets des forces motrices pour chaque Corps. Or, j’obferve d’abord, que le fécond de ces deux cas fuit immédiatement du premier ; c’eft-à-dire que le pre¬ mier étant fuppofé vrai , le fécond l’eft aufli néceffaire- ment. Car fuppofons deux Corps y^,^,(Fig* 6 1) atta¬ chés l’un à l’autre par la verge A a , & animés par des puiffances motrices dirigées fuivant les lignes quelcon¬ ques EE y ef y dont la pofition à chaque inftant foit telle qu’on voudra ; que BA,ab foient les lignes que ces Corps ont décrites pendant un même inftant , & qui peuvent par conféquent repréfenter leurs vitefles. Si chacun de ces Corps étoit libre , ils décriroient dans l’inftant fuivant les lignes AO , ao, égales & en ligne droite avec AB , a b ; & fuppofant que AD , a d , repréfentaffent l'effet des puiffances motrices pendant cet inftant, leurs vitefles fe- roient changées en A N y an,&c menant les perpendi¬ culaires BCybc fur AC,ac, on auroit ANZ — AK -h a . A D . AC . & an = ab1 -4-. 2 . a à . ac ; mais com¬ me les vitefles AB>aby font les vitefles réelles que les Corps ont dans le premier inftant, & que les vitefles AN ^ an n’en différent qu’infiniment peu, ces mêmes vitefles AN , an ne différeront qu’infiniment peu des vitefles DE DYNAMIQUE. 173 dans lefqu~!les elles feront changées par l’a&ion récipro qu .es deux Corps. Donc? fi on nomme Vy v y les vitef- ks A B , ab jU , u y les vitefles des Corps A y a au fécond inftant, c’eft- à-dire les vitefles qu’ils ont au lieu de AN y an j on aura A x UU a . uu — A . A N *+» a . an — A (A Bz -h 2 A D . CA) *•+-. a (b a* 2 ad . c a) = A.VV^ a . u u *■ 1 ■« 2 A. • Ai D • C Al * 2 a » a d • c a» Donc A ( UU — W)-^a(uu — vv) = 2 A . AD . CA ~h 2 a . ad . c a y c’eft-à-dire 2 AV dV ^ 2 audu = 2 A . AD.CA -h 2 a . ad . c a y ou A U U -4- auu=f 2 A . AD . -h / 20. ad.ca . Mais fi les Corps y^, æ, fe mouvoient librement fur les Courbes G y^ , g # , il eft clair que f2A. AD.CA feroit Peffet de la force motrice de A depuis G jufqu’en A y&c de même /2a. ad . ca Peffet de la force motrice de a depuis g jufqu’en a. Donc &c. Il eft clair que cette démonftration peut s’étendre à tel nombre de Corps qu’on voudra , & que tout ce qu’on y a fuppofé^c’eft que fi la viteffe ne varie qu’infiniment peu d’un inftant à l’autre , ôc que les Corps ne foient point animés de forces accélératrices y la fomme des produits des mafles par les quarrés des vitefles fait toujours une fomme confiante. C’eft donc ce qui nous refte à démon¬ trer en général. Pour cela nous avons befoin des Lemmes fuivans0 Lemme XI L 160* Soit un parallélogramme quelconque B V b N ; Yiij TRAITE (Fig. 62) je dis y que fi par un de fies angles quelconques B* on tire à volonté la ligne BD de grandeur <& de don quelconque y & du point D on tire les perpendiculaires Dn, I)K,DG fur B b , B V , B N prolongées j on aura B b . Bn = BV. BK + BN.BG. # Démonstration, Des points N, V , b foient menées les perpendiculaires NE y VE y b H y fur B D prolongée ; on peut regarder les côtés BV y B N comme repréfentant des puiflances dé- compofées chacune dans les deux B F y VF ; & B EyE N $ & de même la Diagonale B b comme une puiffance dé- compofée dans les deux B H , b H. Donc , puifque la puiffance B b équivaut aux deux BN y BV y on aura BEa-BF—BH : or à caufe des triangles femblables b H B y BD n y on a B b x Bn — BD x BH — BD x BE + BDxBF=BN.BG + BV.BK. Ce g. F. D . ? R E M ARQUE, 161. On voit aifément, que félon la pofition des points E y F l’un par rapport à l’autre & par rapport au point H, il faudra au lieu de la fournie des produits B N . BGy & BV. B K prendre leur différence, & la faire égale à B b . Bn. De la conjervation des forces vives quand les Corps , regardés comme des points , fè tiennent par des fis. 162. Imaginons que trois Corps A , ByC>( Fig. 63 ) foîent attachés ay fil ABC , & qu’on imprime à ces Corps les ùtefles A a, BS, C x , qu’ils foient forcés de changer par îeur adion mutuelle dans les vitdfes A A 5 B D , CC y qui feront telles , que AD = AB;DC = BC, il faudra regarder par notre Principe les vitefles A et, BS , Cx, comme compofées des vitefles A A, B D , C C ; ôc des vitefles A a, B b , Ce par lefquelles feules les Corps A , B, C , fe feroient équilibre ; il faut donc prouver que A. AA'^B.BD1^ C.CCZ= A . A&'+B.BS' *4- C . Cx1 , c’eft-à-dire que A . A a . A 0^ — B . B AC BG + B.BV.BK — C .Cc.CM=o. Or CM — B K & C. Ce — B . BV.h. caufe de l’équilibre. De même A = B G & A . A a = B . B N. Donc &c. Si au lieu du Corps A on fuppofoit un point fixe autour duquel les Corps B , C tournafient , on auroit A Q^ — o \ B G — o , & la propofition feroit encore vraye. Il eft vifible par la nature de la démonftration préceden» te , qu’elle eft générale pour tel nombre de Corps qu’on voudra. Si le point B n’étoit pas fixe en fa place , mais pou- voit couler librement le long du fil, alors B b divi- feroit l’angle ABC en deux également & on auroit A.Aa = B. BN; B . BV= C.Ce,&cB. BN= B . BV. & enfin A 0 — B G — B K — CM , parce que AD DC= AB^BC . donc A. Aa.AQ —B. BN.BG + B.BV.BK — C.Ce.CM=o . On voit donc , ce me femble, que la confervation des forces vives a lieu dans tous les cas pôflibles , quand les ï7 6 7 R A 1 T E; Corps ne font regardés que comme des points , 6c ù tierf* nent par des fils. ***' % r* - L E M M E XIII/ 163. Soient trois Corps A, B, C, animés des vîtejjes AQ, BR, Ce, (Fig. 64) & en équilibre Jur un Levier de figure quelconque 3 & foient A B , B C les difiances de ces Corps P un à P autre. Imaginons le Levier dans une autre fitua- tion quelconque infiniment proche de celle-là , & que les points F, G, E y foient alors le lieu des Corps A , B , C , deforte que FG = A B ; GE = B C : je dis qu en menant les perpen¬ diculaires GK, F X , EZj on aura B.BR.BK = A* AQ. AX + C. Cc.CZ. Démonstration, Tant que le Levier ABC n’eft pas droit, cette pt£~ pofition peut fe démontrer de la même manière, que fî ABC étoit un fil , parce que chacune des puiffances peut toujours fe changer en deux autres , dont la diredion pâlie par les points où les deux autres font appliqués, &c que î’on aura ainfi fix puiffances , égales deux à deux & A' redement oppofées. Voy. les art. 160, 16 19 1 6 il - Il n’y a que le feul cas où le Levier ABC ( Fig. 6$ ) eft droit , dans lequel une pareille décompofition ne fe peut faire, & pour lequel il eft néceffaire de trouver une dé- monftration particulière. Soient donc A , BR , Ce perpendiculaires au Levier ABC , on aura B . B R . B 0 =s C .Ce. CL -H A . A jQ. A Y . mais les lignes BOPBK> CL, DE DYNAMIQUE* 177 CL , CZ.AYs AX‘>nc différent Fune de Fautre que d - antite innniment petite par rapport à elles. Donc u . x B K aa= C .Ce. CZ ^ A . A ff.AX Donc ôcc. Ce F. D. Remarque* 1 64. Si le Levier ABC ( Fig. 6" 6 ) étoit fixé en quel» que point , en r par exemple , ôc qu’on imaginât le Levier dans une autre fituation FyGE y la propolition feroit en¬ core vraye Ôc fe démontreroit d’une manière femblable. De la confervation des forces vives > quand les Corps fe tien¬ nent par des verges inflexibles 9 & qu'on les regarde com¬ me des points. 16$. Il eft clair que par le Lemme précèdent on dé* mutinera la confervation des forces vives , quand les Corps fe tiennent par des verges infléxibles, ôc que cha-» cun de ces Corps eft fixe à la verge. Si Fun des Corps comme B pouvoit couler le long de la verge > alors la viteffe B R qu’il perdroit > devroit être perpendiculaire à L erge , ôc il fe trouveroit dans Finftant fuivant , non au point G’ tel que F G = AB , ( Fig. 64 ) mais à un point g infiniment proche de celui-là. * Or à caufe que les points B ? G font infiniment proches, ôc que Gg^BA doivent être cenfées parallèles , la ligne G g doit être * On fuppofe ici que le Levier A B C eR une Courbe aufti-bien que FCE, & que F R eft perpendiculaire à cette Courbe en B . Il m’a paru inutile de faire pour cela une nouvelle Figure. z I7S T R A I T Er regardée comme perpendiculaire à BK y & partant on peut prendre Rk & B K l’une pour l’autre , parce r « 1 — différence eft infiniment petite du fécond ordre* L confervation des forces vives a encore lieu dans ce cas. De la confervation des forces vives , quand les Corps font de majfes finies , & quils fe tiennent par des fils ou p ^ des verges inflexibles . i 66. Nous avons dans le Lem. î 3. que fi trois Corps A,R,Cj animés de vitefles A BR, Ce de direflions quelconques , font en équilibre, on aura C . C c . C Z -r- A. Àflf. A X— B. BR. B R. D’où il s?enfuit , que fi on prend Br égale & contraire à BR, (Fig. 64) c’eft-à~ dire , fi on cherche la force réfultante des deux puiffances C . C c ) A . A ff> on réduira toujours C . Ce . C Z -4- A . A . A X à un feul produit B . Br . B K ; & ainfi quel que foit le nombre des Corps attachés à une verge infléxible, fi on prend le point B par ou paffe la force réfultante , & qu’on imagine ce point B parvenu en G , il fuffira de prendre le produit de B K par la force réfultante , au lieu de la fomme de tous ces produi Or, pour que la confervation des forces vives ait lieu^ il faut, comme nous Pavons vu, que la fomme de tous ces produits foit = 0. Donc il faut , ou que la force réful¬ tante foit — o , ou que B K foit = o ; or i°. quand il n?y a pas de point fixe , la force réfultante eft — 0. 20. Quand il y en a un, la viteffe du point B doit être nulle , ou au moins fa direction eft néceffairement perpendiculaire à DE DYNAMIQUE, 179 la direction de la force réfultante. En effet , fi Fobftacle eft un r >t Mathématique ^ comme le point d’appui d’un LeviL* , la direction de la force réfultante paffe par ce point d’appui ; & le Mouvement du point B eft un Mou¬ vement de rotation autour de ce point , ou le point B n’eft autre çhofe que le point d’appui même , dont le Mouve¬ ment eft zéro* Si Fobftacle eft une furface immobile ,1e point B par où paffe la direction de la force réfultante eft néceffairement un point qui touche cette furface , & dont le Mouvement inftantané eft fuivant la direction de cette furface même , tandis que la direction de la force ré¬ fultante eft perpendiculaire à cette furface. Donc en géné¬ ral B K — o , quand il y a un point fixe. Il eft donc démon¬ tré, que quand les Corps fe tiennent par des Leviers in- fléxibles , fixes ou non fixes , la confervation des forces vives a lieu, 167. Si les Corps fe tiennent par des fils, alors 011 imaginera aux extrémités de chaque portion de fil qui eft entre deux Corps , deux puiffances égales & oppo- fées qui tirent dans la direction du fil , & la démonftration fe arera aifément de ce qui a été dit ci-deffus (art. 1 62) quand les Corps étoient regardés comme des points. 1 62. Si le fil paffe à travers un ou plufieurs de ces Corps , de manière qu’ils puiffent y couler librement , alors comme la direction de la force réfultante des Mou- vemens perdus à chaque inftant paffe (art. 123.) par le point de concours G (Fig. 6 7) des lignes CS , A R , & diyife cet angle en deux également ; il faudra , au lieu Z ij< ï 80 i R A T T E' de cette force réfultante , imag deux puiftarices éga¬ les qui tirent fuivant SG, & RG An s la direéli* des fils CS , A R ; de plus , fi on fuppofe que S y, R A iç^at les chemins des points S , R, ôc qu'on mene les perpen¬ diculaires , VD , N P , on aura, à caufe de AR-+-SC confiante , SD = R P. Moyennant ces deux remaries f on viendra aifément à bout de démontrer dans tous les cas , la confervation des forces vives. De la confervation des forces vives dans le choc des Corps Elajlicfues . 169. Nous pourrions démontrer la confervation des forces vives dans le choc des Corps Elaftiques , en regar¬ dant ces Corps comme durs , ôc fuppofant que la conv prefiion ôc la reftitution du reffort fe fit dans un inftant^ nous avons même déjà donné dans l’art. 1 J7. un elfai de démonftration de cette efpece ; mais comme nous avons obfervé que cette hypothefe ne pourroit fouvent conduire aux véritables loix du choc des Corps Elaftiques, nous ^abandonnerons ici , & nous démontrerons la propofition dont il s’agit , en fuppofant un reffort placé entre les deux Corps , 6c qui leur donne en fens contraire des forces motrices égales. 170. Soient A, B, (Fig. 68) deux points unis par un reffort A B > lefquels ayant reçu des impulfions quel¬ conques AG , BP i décrivent les Courbes Am a , B Mb pendant le tems de la comprelfion 6c de la reftitution DE D Y NA M 1 UE. 1S1 du reffort * foit

eft la même que fi elle étoit chargée du Cylindre EHFG , dont le poids, en appellant LK , x, &c

ce qui auroit encore été plus lumi¬ neux & plus direct. Mais comme notre deffein n’eft point de traiter ici des Fluides 9 nous nous fommes contentés de faire voir en deux mots Pufage de notre Principe dans une matière qui par oit 11 épineufe» Nous nous contente¬ rons donc ici de ce leger effai 5 & nous entrerons là-def- fus dans un détail beaucoup plus grand ^ lorfque nous donnerons notre Traité des Fluides > dans lequel nous déduirons de notre Principe général , la folution des Pro» blêmes les plus difficiles qu?on ait jufqu’à préfent pro-* pofé fur cette matière, * * F 1 N Extrait des Regiftres de L'Académie Royale des Sciences , du n.Juin 1 745 « Rffieurs iTe Maupertuis & Nicole, ayant examiné par ordre ' l’Académie, le Traité de Dynamique de M. d’Alembert, & en ayai. \ itleur rapport , l’Académie a jugé cet Ouvrage digne de l’impreiïion. En foi de qaoi j’ai ligné le préfent Certificat. A Paris ce 24 Juin 1743. DORTOUS DE M A I R A N , Secrétaire perpétuel de /’ Académie Royale des Sciences . PRIVILEGE DU ROI LOUIS par la grâce de Dieu , F.oi de France ôc de Navarre : A nos amez ôc féaux Con- feillers les Gens' tenans nos Cours de Parlement , Maîtres des Requêtes ordinaires de notre Hôtel, Grand-Confeil , Prévôt de Paris, Baillifs , Sénéchaux, leurs Lieutenans Civils, & autres nos jufticiers qu’il appartiendra , Salut. Notre Academie Royale des Sciences , Nous a très-humblement fait expofer, que depuis qu’il Nous a plû lui don¬ ner , par un Réglement nouveau , de nouvelles marques de notre affection , elle s’eft appli¬ quée avec plus de foin , à cultiver les Sciences , qui font l’objet de fes exercices; enforte qu’outre les Ouvrages qu’elle a donnés au Public, elle feroit en état d’en produire encore, d’autres , s’il Nous plaifoit lui accorder de nouvelles Lettres de Privilège , attendu que celles que Nous lui avons accordées en date du 6. Avril 1 6^9 3 , n’ayant point eu de terme limité , ont été déclarées milles par un Arrêt du Confcil d’Etat du 13. Août 1704, celles de 1713 ôc celles de 1716 étant auffi expirées : Et délirant donner à norredite Académie en corps ôc en particulier , ôc à chacun de ceux qui la compofent , toutes les facilités ôc les moyens qui peuvent contribuer à rendre leurs travaux utiles au Public , Nous avons permis ôc permet¬ tons par ces Prefentes à notredite Académie , de faire vendre ou débiter par tous les lieux de notre obéiffance , par tel Imprimeur ou Libraire qu’elle voudra choifir , toutes les Re¬ cherches ou Obfervations journalières , ou Relations annuelles de tout ce qui aura été fait dans les Mjfemblées de notredite ^Académie Royale des Sciences ,* comme aufji tes Ouvrages , Mémoi¬ res, ou Traités de chacun des Particuliers qui la compofent , & généralement tout ce que ladite „ Académie voudra faire paroître , après avoir fait examiner lefdits Ouvrages , & jugé qu'ils font dignes de l'impreffion ; ôc ce , pendant le temps ôc efpace de quinze années confécuti- ves , à compter du jour de la date defdites Préfentes. Faifons défenfes à toutes fortes de per- fonnes , de quelque qualité ôc condition qu’elles foient , d’en introduire d’impreffion étrangère dans aucun lieu de notre obéiffance ; comme auffi à tous Imprimeurs , Libraires , ôc autres , d’imprimer , faire imprimer , vendre , faire vendre , débiter , ni contrefaire aucun defdits: Ouvrages ci-deffus fpécifiés, en tout , ni en partie , ni d’en faire aucuns extraits , fous quel¬ que prétexte que ce foit , d’augmentation , correélion , changement de titre , feuilles mê¬ mes féparées , ou autrement . fans la permiiîîon expreile Ôc par écrit de notredite Académie , ou de ceux qui auront droit d’elle, Ôc fes ayans caufe , à peine de confifcation des Exem¬ plaires contrefaits , de dix mille livres d’amende contre chacun des contrevenans , dont un tiers à Nous , un tiers à l’Hôtel-Dieu de Paris , & l’autre tiers au Dénonciateur , ôc de tous dépens, dommages Ôc intérêts ; à la charge que ces Préfentes feront emegiftrées tout au long fur le Regiftre de la Communauté des Imprimeurs ôc Libraires de Paris , dans trois mois de la date d’icelles -, que l’impreffion defdits Ouvrages fera faite dans notre Royaume , ôc non ailleurs ; ôc que notredite Académie fe conformera en tout aux Reglemens de la Librairie , ôc notamment à celui du 10 Avril 1713 ; ôc qu’avant que de les expofer en vente, les Ma- nuferits ou Imprimés qui auront fem de copie à l’impreffion defdits Ouvrages , feront re¬ mis dans le même état , avec les Approbations ôc les Certificats qui en auront été donnés. es mains de notre très-cher Sc féal Chevalier Garde des Sceau* de Franchie Sieur Cha • velin ; 8c qu’il en fera enfuite remis deux Exemplaires de chacun dans notre Bibliothèque pu lique , un dans celle de notre Château du Louvre, &c un dans cç1 le de notre très -cher 8£ féal Chevalier Garde des Sceaux de France, le Sieur Chauvelin le tout à peine de nullité > des Trefentes ; du contenu defquelles vous mandons 6c enjoignons d^. faire jouir notredite Académie , ou ceux qui auront droit d’elle 8e les ayans caufe , pleinement 6e paihblement s fans fouffrir qu’il leur foit fait aucun trouble ou empêchement» foulons que la cop‘" defdi- tes Prefentes , qui fera imprimée tout au long , au commencement ou à la fin demits $ vrages , foit tenue pour duement lignifiée , 6e qu’aux copies collationnées par l’un de nos amés 6c féaux Conseillers 6e Secrétaires , foi foie ajoûcée comme à l’Original. Commandons au premier notre Huiffier ou Sergent , de faire pour l’exécution d’icelles tous Aftes requis 6c néceflâires , fans demander autre permiflion , 6c nonobflant Clameur de Haro, Charte Nor¬ mande , 6c Lettres à ce contraires : Car tel eft notre plaifir. Donne’ à Fontainebleau le dou¬ zième jour du mois de Novembre , l’an de grâce mil fept cent trente-quatre , ÔC de notr<5 Régné le vingtième» Par le Roi en fon Confeil. S A I N S O N» RegiJIré fur le Regiflre FUT . de la Chambre Royale & Syndicale des Libraires & Imprimeurs de Paris , N°. 792.. Fol. 775. conformément au Reglement de 17x3. qui fait défenfe t\Art, IV» d toutes perfonnes de quelque qualité qu'elles foient , autres que les Libraires & Imprimeurs f de vendre , débiter & faire afficher aucuns Livres , pour les vendre en leur nom , foit qu'il 4 s'en dijent les ^Auteurs , ou autrement , & à la charge de fournir les Exemplaires preferits par l'Art» ÇFII1. du même Réglement . *4. Paris le 1 j. Novembre 1734. G. Martin , Syndic . FAUTES A CORRIGER. P Age 13, ligne 45 CE 3 lifez Ce. Page 2i; //j g. 1 2 , les tems , lif. les quarrés Page 46, // g*. 2 3 qui ait , lif. qui aye. Page 60 , II g". 14, Coroli lif Lemme. Page 8 2 * U r. dernière ) — ^ j lif . Page 10 6 y lig. 14 , ftet y lif, fc Z. Page 1 19, 1 lig. 1 8 3 G 3 lif C. Page 1 385/ ig. II, U— v, lif U— F, : Pag . 1 64, l ig. s,Ax F/-*- iFA,lf A *- -î J;.. • t " . ■ . ' . . .. ■ ’ ; -i*. ■■■■;! . • .. • ŸÎ.OS. ■ *•■■■■! I - ï ) . * \ K t \ - ! / '• ■'- w.ï r .v ; m ..-À. , , . ••:• . ■-.. • *• •*«««? \ * > \ *, "t J ' ( / '* . ; ■. V . ;• ; , . . . . • - . ,. V ..Tl t • V : • Y ■ ■ ‘ V •• •• • • . »*• ' '• ... ■ : ..V M i. ' * * l'jt&i •1\« ' '• v., . .» .. , v I A -• • . 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