m i I r I I 1 T R A I T E DV TRIANGLE ARITHMETIQVE. AVEC QyELQVES AVTRES PETITS TRAITEZ SVR LA A PARIS, chez GviLLAVMB Desprez, ruc ûmt lacqutfsj à Saint Profpcr. TRAITE DV TRIANGLE ARITHMETIQVE> AVEC QVELQyES AVTRES PETITS TRAITEZ SVR LA %T /'T/^^^^y^^^ MATIERE. Par^onfetir PASCAL, A PARIS, Chez GviLLAVME Desprez, HIC Ciint lacquesj a Saint Profpcr. M. D C L X V. 1 AVERTISSEMENT Es Traittcz n*ont point encore paru , quoy quilyaytdefia long- temps qu'ils foient compofcz. On les à trouucz tous Impri- mez parmy les papiers de Monfieur Palcal, ce qui fait voir qu il auoit eu deflein de les publier : Mais ayant , peu de temps après , entièrement quitté xes fortes déftudes , il négligea de faire paroiftre ces Ouurages , que l'on a jugé àpropos de donner au pu- blic après fa mort , pour ne le pas priucr de l'anantagc Guil en pourra retirer. C*cfl; Tviiiquc bue que l'on a eu dans cette publication ; Car quoy que ces Traittcr ayent efté admirez par toutes les perfonnes qui les ont leûs, on ne les juge pas neantmoins capables de pouuoit beaucoup adioufter à la réputation que Monfieur Paf- cals'eftaquife parmy toutes les perfonnes fçauantes, par les Ouurages plus confiderablcs qu'on a veûs de luy. Et l'on fupplie le Lecteur de les regarder auffi comme vnc chofe qu'il a négligée luy mcfmc , & à laquelle tl ne s'eft applique que légèrement , & pluroft pour delaffer fon efprit que pour l'employer, la jugeant indigne de cette application forte & ferieufe qu'il auoit accoutumé d'apporter dans les chofcs plus importantes, & qui méritent feules , comme il le difoit fouuent, d'occuper l' efprit des perfonnes raifonnables & Chrc- fticnncs. TABLE DES TRAITEZ contenus dans ce Recueil, I /?4//e numeris multipltcthus , ex fola Caraâlerum numeri^ çorum additione agnofçendis, ^ V 1 I TRAITTF DV TRIANGLE ARITHMETICtVE. D EF J N ITI 0 NS. * Appelle Triangle Arithmétique, yne figure dont U con. [IruéJion eji teÙe, le mené d'yn point quelconque^ G» Jeux li^es perpen. McuUires, l'yneÀ Vautre^ ^^y^^t chacune def~ quelle t ie prens tant que ie yeux de parties égales con- tinues À commencer par que ie nomme 1.1.3,4. ^c. ces nombres font les expoGins des diuifions des lignes. En /iiitte ie ioints Ui points de L$ première Jimijton jui /oat dans chacune des deux lignes, par y ne autre ligne qui /orme yn triangle dont elle ejl la bafe. le ioints ainji les deux points de U féconde diuijion par y ne autre Ifgne^ qui/orme yn fécond triangle dont elle efi la bafc. Et ioignant ainf tous les points de diuijion , qui ont yn mefme ex* pofant^ 1^ en /orme autant de triangles & de baies. le mené par chacun des points de diui/îon , des lignes parallèles aux ^f^^ y f *' /''*'* lf**rs interfeêfions forment de petits quarrcT^ que i'ap. pelle Cc\\^Ac%. Et les cellules qui font entre deux parallèles qui y ont de gauche À Jroit^ s'appellent cellules d'vn mefme rang parallèle , ro/wwe- /« rr^T»/- /«, G", (T, X, c^c. ou , c^c. celle s.ey, Cr 2", 9. Tarceque Vex- fofant du rang parallèle de l'y ne ^ ejl le mefme que l 'expofant du rang perpendiculaire de l'autre^ comme il paroijl en cet exemple^ ou E^ ejl % Traitte* dv Triangle d/artj le fécond rang perpendicuUire^ ^dtns le quatriepne fÂTéHele; ^ yi réciproque TÇ^, eft dam le fécond rang parallèle , dans le ^uatriefme perpendicnUire réciproquement. Et ilefi bien facile de de. monjher que celles qui ont leurs expofans réciproquement pareils^, font dans 'fne mefme hafè , légalement dijlantes de fes ejctremite^, . Il ejl auJSi bien facile de demonjlrer , que l'expofant du rang per. pendiculaire de quelque cellule que ce foit^ ioint à l^expofant de fin rang parallèle y f/érpaj/e de l^nité l'expofant de fa hafe. Tar exemple JU cellule -T, ejl dans le troijieme rang perpendicuUirey ^ dans le quatriefme parallèle ^ dans la fxiefme bafe, ces deux expofants des rangs ^ 5 f 4 furpajpntde V y ni té l'expofantdeUbafe 6. ce quiyient de ce que les deux coftex^duTriangle font diuife:^ en yn pareil nombre de parties , maù ccIm ejl plufloft compris, que de^ monjire. Cette remarque ejl de mefme nature ^que chaque bafe contient y ne cellule plus que la précédente , cbacune autant que fon expofant d'ynite-^^ainf la féconde ^ v À deux cellules trçij/efme A \.Ten a trois tyc. Or les nombres qui fe mettent dans chaque cellule fe trouuent par cettte méthode. Le nombre de U première cellule qui ejl À r angle droit ejl arbi. traire , mais celuy-lÀ ejlant plac^toua les neutres font force'^ , C^* potf cette ruifon il s'appelle le Gencratcut du triangle. Et chacun des au ^ très ef j^ecife' par cette feule règle. Le nombre de chaque cellule ,^ ejl égal À celuy de U ceUuU qui U précède dans Jon rang perpendicuLtire^ plus à celuy de la cellule qui la précède dans fon rang parallèle. A inji la cellule P^ceflà direlenom^ brede la cellule F, égale la cellule Cplus la cellule EjC^ ainjt des autres, : 1>*oùfe tirent plufeurs conjequences. En yoicy Us principales ^ ou ie confdere les triangles , dont le générateur ejl l'ynité ; mais ce qui s" en dira conuiendra à tous les autres, Confequence première. En tout Triangle Arithmétique, toutes les cellules du Î)remier rang parallèle , & du premier rang pcrpendicu- aire , font pareilles à la génératrice. Car par la conftrudion du Triangle, chaque cellule eftcgaleà celle qui la précède dans fon rang perpendiculaire,plus à celle qui la précède dans fon rang parallèle ; Or les cellules du premier rang parallèle, n'onr aucunes cellules qui les précèdent dans leurs rangs perpendiculaires,ny celles du premier rang perpendiculaire dans leurs rangs parallcles^donc Arithmétique» j elles font toutes égales entr'-clles,&parunc au premîcr nombre gé- nérateur. Ain(î , ç , égale G f zéro , c'eft à dire 9 > égale, G. Ainfi A, égale 9 t z«o , c'eft à dire t. Ainfi a- , égale G t xcro, t, égale r f zcro. Et aiiifî des antres. Conjèquence Jèconde, En toutTrianglç Arithmétique, chaque cellule eft égale à la fomme de toutes celles du rang parallèle précèdent, cornprifes depuis fon rang perpendiculaire iufques au premier inclu/îuement. Soiivne cellule quelconque «, ie dis qu'elle eft égale à R f fl -j- 4. •\ 9 y qui font celles du rang parallèle fuperieur depuis le rang per- pendiculaire de e*, iufques au premier rang perpendiculaire. Cela eft euident par la feule interpreution des cellules , par celles d'où elles (ont formées. Car égale R t C ô t B 4 t A Car A & ^ font égaux cntr'eux, f par la précédente. Donc « égale R t ^ t 4 t f • Conjèquence tYoifieJhie, En tout Triangle Arithmétique, chaque cellule égale la fomme de toutes celles du rang perpendiculaire précè- dent, comprifcs depuis fon rang parallèle iufques au pre- , mier inclunuemenc. Soit vne cellule quelconque C,iedis qu'elle eft égale à B t 4 t *"» qui font celles du rang perpendiculaire précèdent depuis le rang paral- lèle de la cellule C , iulques au premier rang parallèle. Celaparoift de mefmepar la feule interprétation des cellules. Car C , égale B t 4 t -V" Car T égale « autre nombre ^it fkudroit dire^ chaque cellule diminuée du nombre générateur, ^onfiqueme cinquiejme. En tout Triangle Arithmétique, chaque cellule eft égale â (à réciproque^ Car dans la féconde bafe il cft euidcnt que les deux celliiles leciproqucs f , 4 t l'autre bafe. Donc, D t A t B t 9 , égalent iAti4ti»» La meCiie chofe fe demonûre de roefme de toutes les autres. Conjèquence huicliejme. En toutTriangle Arithmétique, la fomme des cellules de chaque baie, eft vn nombre de la prpgrefTion double, qui commence par l'vnitc, dont l'expofant eft le mef- me queceluy de la bafe. Car la première bafe eft l'vnitc. La féconde ctt double de la première, donc elle eft i. Latroifiefmeeft double de la féconde, donc elle eft 4. £c ainft à l'infiny. Aducrtiflcmcnt. Si le ^nerateartt'ejfvit ffosP^ité, mMtt fn autre nomlre comme 3 , U mefme chofe ferait yraye : mais il rte /auJroit pof f rendre les nombres de U progrefeion double À commencer par l'ynite\ fçauoir^ i> a, 4,8, \G. fyc. maté ceux d*yne autre progrefiion double à commence» fatiLe^nerateur if^f^aucir^i^ <>, u, 14, 48, c^c, A iii, t Traittb* dv Triangle Conpquence neufie/me. En tout Triangle Arithmétique , chaque bafe diminuée de rvnitc ,cft égale à la fommc de toutes les précédentes. Cac c'eA vne propcietc de la progredîon ckuiblc. Aducrtiffcmcnt. Si le générateur ejioit satre que Vynit/, il/kuJroit din ^ chaque bafe (iiminuce du gcnecateur. Confiquence dïxiejme. En toutTriangle Arithmétique, la fommede tant de cel- lules continues qu'on voudra de fa bafe, d commencer par vne extrémité , eft égale à autant de cellules de la ba. le précédente, plus encore a autant hormis vne. Soie prife la {bmtne de tanc de cellules qu'on voudra de la bafe D k par exemple les trois premières , D f B f 9, le dis quelle eft égale à la fommc des trois premières de la ba(è précé- dente A t 4 t plus aux deux premières de la meTme bafe A f 4. Car D. B. -V* "V" "V" égale A. At4. 4 t ^- Donc,D fBf 5 égale, i Afi 4 t Définition. VMppelle , Cellules de la Diuidente , celles que U ligne qui diuife l'ttn^e droit fur Lt moitié', trauerje diaffjtislement comme les ceBu» les, G,4t C, p, êcc. Confiquence wnzjefine. Chaque cellule de la Diuidente , eft double de celle qui la précède dans fon rang parallèle ou perpendiculaire. Soit vne cellule de la Diuidente, C, le dis qti'ellc eft double de, 6> & auflî de, B. Car, C, égale, 5 f B, égale B, par la cinquiefineconfequence» Aducrtiffcmcnt. ■Toutes ces confequences y font fur le fttjetdesegdlite:^quife rcncon^ Arithmbtiqxb- t treiit Jéins le T rian^U Arithmétique. On en ><< Vo7> maiateMant les proportions , dont U propcfitiou/mudute ejl le/ôndetncnt, Conjequence douT^eJme» En toutTrianglc Arithmétique, deux cellules contigucs eflant dans vne mefmebare, la fuperieure cft à l'infé- rieure, comme la multitude des cellules depuis la fupe- rieure iufques auhautde labafe,à la multitude de cel- les , depuis l'inférieure iufques en bas includucment. Soient deux cellules contigucs quelconques d'vne méfitie bafe, E, C, }c dis que E e(l à C comme 2. à 3 -V" "V- in/èrieurey fuperienre^farceqwilyadeux fMfcequilyatrois cellules deptiù E eeOules depuis C iupjues en bas ^ iufj^ues en haut^ ffétuoiry E^ff\ /féuoir C, 7(j^ /u.. Quoy que cette propofitiôn ait vne infinité de cas , i'eii donncray ▼nedemonftration bien courte, enfuppofant z lemme. Le I. qui efteuident de foy-mefme, que cette proportion fè rencon- tre dans laicconde bafe icar il cft bien vifibleque^ eft à cr comme i,à i. Le 2. que fi cette proportion fc trouue dans vne bafe quelconque, cUefe trouueranecenairement dans la bafe fuiuante. D où il fe voie, qu'elle eftnecelfairement dans toutes les bafes : car, elle eft dans la féconde bafe , par le premier lemme, donc par le fécond elle eft dans la troifiefme bafe , donc dans la quatriefme , èc à l'infiny. Il faut donc feulement demonûrer le fécond lemme , en cette forte. Si cette proportion fe rencontre en vne bafe quelconque, comme eu la quatriefme D c'eft à dire , fi D eft à B comme r à j. Et à 9 comme x à 1. Et 0 à a comme 3 à i. &c. le dis , que la mefme proportion fe trouuera dans la bafe fuiuante, H , & que par exemple E eft à C comme 1*3. Car D eft à B comme i à 3. par l'hypothcfe. Donc D t B eft à B comme 1 -f 5 à 3. E à B comme 4 à 3. De mefme, B eft à ô comme z à z par rhypoihcfc. Donc, B t 9 à B comme, z t à z. C à B comme 4 à z Xîais B à E comme 3 à 4 comme il eft monftic. Donc par la proportion troublée , C eft à E comme 3 à z. Ce qu'il falloii demonftrer. jf Traitte' dv Triakgle On le monftrcrademcfmedans tout le refte , puifque cette preua« n'eft fondée que fur ce que cette pro|)orrion fe crouue dans la bafe pré- cédente. Se que chaque cellule eft égale à fa précédente , plus à fa fu- pericure , ce qui eft vray par tout, (^on/èquence trei'zie/me. En tout Triangle Arithmétique, deux cellules continues eftant dans vnmcfme rang perpendiculaire, rinferieurc eûà lafuperieure^ comme l'expofantdelabafe de cette fuperieure , à l'expofànt de fon rang parallèle. Soient deux cellules quelconques dans vn mefme rang perpendicu- laire , F , C , le dis que , F eft à C comme y. à j. l'inférieure. La fuperieure expofânt de expofant du rang la bafe de C, parallèle de C. Car E eft à C comme i. à 5. Donc E t C eft à C comme x f 5 à j. F eft à C comme 5. à j. Qonfècfuence qmtorzjejme. En tout Triangle Arithmétique, deux cellules continuées eftant dans vn mefme rang parallèle, la plus grande eft à fa précédente , comme l'expofant de la bafe de cette pré- cédente, à l'cxpofant de fon rang perpendiculaire. Soient deux cellules dans vnmefrne rang parallèle F^ £, le dis que , F eft à E comme 5. à x. Ldf lus grande, précédente expo/ant de ejepo/ant du rang U l>M/è de S. perpendicut, de S, Car E eft à C comme z. à 3, Donc E t C ^ ^ comme x f à z. F eft à E comme 5. à a. £onfiquence quinze/me. En tout Triangle Arithmétique , la fomme des cellules d'vn quelconque rang parallèle, eft à la dernière de ce rang, comme Texpofantdu triangle, cftà l'expofantdii rang. Soit ARIT^METiQV.E. ^ Soit vn triangle quelconque , pat exemple le quatriefme G D a, le dis que quelque rang qu'on y prenne comme le fécond parallèle , la fomme de fes cellules, (çauoir, ^f^t^^cftàfl comme 4. à i. Car ç t ^ t 3. égale C, & C cft à ô comme 4. à z. par la trcizié- • me Confequcncc. Çonjèquence Jèixjéme, En toutTriangle Arithmétique, vn quelconque rang pa- rallèle, eft au rang inférieur, comme l'expofancdurang inférieur à la multitude de fes cellules. Soicvn triangle quelconque, par exemple le cinquième (a G H. le dis que quelque rang qu'on y prenne, par exemple letroificme, la fbmme de fes cellules, ert à la (bmme de celles du quatrième , c'eit à di- re A t B t C eft à D t E. Comme 4. expofàntdurang quatrième à 1. qui eft l'expofant de la multitude de fes cellules , car il en con- tient 2. Car A t B t C égale F, & D t E égale M. Or F cft à M comme 4 à i. par la douzième Confêquencc, AducrtifTcmcnt. On pourrait renoncer aujTi de cette forte. Chaque rang parallèle eft au rang inférieur comme l'expo/ant du langinfciicur, à l'expolânt du triangle , moins l'expofant du rang fu- perieur. C^r l'expofant d'y n triangle moins l'expofétntd'yn de fes rangs efi toujours égalai la multitude des cellules du rang inférieur. Q^nfèquence dix jeptiejme. En tout Triangle Arithmétique, quelque cellule que ce foit iointe à toutes celles de fon rang perpendiculaire, eft à la mcfme cellule jointe à toutes celles de fon rang parallèle, comme les multitudes des cellules prifes dans chaque rang. Soit vne cellule quelconque B, le dis que Bf^t^^cftàBtA comme 3. à 2. le dis ), farce quilya trois cellules adjoujlées dans l* antécédent i parce qu'il y eu a deux dans le confequent. Car B t 4 t ' égale C par la troifiefme confequence , & B 1 A «gale E par la féconde confequence. Or C eft â E comme 3 à a. parladouziefme confequence. B fc^ ^Traîttb' dv Triangle (ofi/equence dix-huïSîie/me. En toutTnangleArithmctique,dcux rangs parallèles éga- lement diftans des extremitez , fonc cncr'cux , comme la multitude de leurs cellules. Soit vn triangle quelconque G V f , & deux de fes rangs également diftans des extremitez : comme le rixicfrae P f le Tecond f t 4tstRtstN, le dis que la fomme des cellules de l'vn , eft à» la fomme des cellules de l'autre , comme la multitude des cellules de l'vn , eft à la multitude des cellules de l'autre. Car par la fixiefmeconfeciucnce, le fécond rang parallèle ^ 4 0 R. S N , eft le mefme que lefecond rang perpendiculaire rcced, y. à 6. Donc f eft à 4 C comme 5. à 6. Ce qu'il falloit demonftrer. Arithmétique!! u Aducrtiflèment. On peut tirer de lÀ beaucoup autres proportions que ie/i/pprime^ farce que chacun les peut facilement conclurre , que ceux qui s'y youdront attacher en trouueront peut eflre de plus belles que celles que ie pourrais donner. le Jînts donc par le Troblcme fuiuant , qui fait Vaccomplijjement de cetraitté. PROBLEME. Eftant donnez Icsexpofansdes rangs perpendiculaire 5c parallèle d'vne cellule , trouuer le nombre de la cellule, làni fe feruir du Triangle Arithmétique. Soie par exemple propofc de trouuer le nombre de la cellule ç, du cinquielme rang perpendiculaire, & du croi- fiefme rang parallèle. Ayant pris tous les nombres qui précèdent l'expofànt du perpendiculaire 5. fçauoir i, 2,3,4-, Soient pris autant de nombres naturels , à commencer par i'cxpofancdu parallèle 3 , fçauoir 3,4,5,6. Soient multipliez les premiers l'vn par l'autre, ôc foit le produit 24. Soient multipliez lesautres l'vn par l'autre, & foit le produit 360. qui diuifé par l'autre pro(iuit 14. donne pour quotient 15. Ce quotient eft le nombre cherche. Car ^ eft à la première defâbafc V, en raifon compofce de toutes les raifonsdes cellules d'entre deux , c'eft à dire, $ cft à V, en raifon comp. de ^ à. p fpàKtKà Qj- V ou y»-\r>J u^vv-» ^yy^ far la u. Confèq. ) à 4. 4 à j. 5 à 2. 6 i 1. Donc I eft à V Comme 5 en 4 en 5 en 6. à 4 en j en i en i. Mais V eft rvnitc ; donc ^ , eft le quotient de la diuifion du pro- duit de 3 en 4 en 5 en par le produit de 4 en 3 en 1 en i. Aduertiflcmcnt. Si le générateur h'ejloitpoé l^ynit^^il eujl fallu multiplier le quo^ tient par le ^nerateur. f 1 DIVERS VSAGES DV TRIANGLE ARITHMETIQJVE. Dont le gcncratcur cft Wnitc. APw duoir donné les proportions qui Jè rencon: trent entre les cellules ^les rangs des Triangles Arithmétiques i ie pajfeà diuers fvfiges de ceux dont h générateur eft Vmnitêi ceft ce quonfverra. dans les traù Eiez, Jîiiuans, Mais ïen laijfe bien plut que ie rien don* ne s ceft a/ne chofe eflrange combien il eft fertile enpro- prieteTo chacun peut sy exercer ^ ïauertis feulement icy, que dans toute la fuite y ien entends parler que des Trian- gles Arithmétiques , dont le générateur eft ï^nité. VSAGE DV TRIANGLE ARITHMETIdVE, TOF'll LES 0 717>7{ES NVMET^I^E S. N a confiderc dans rArithmcrique les nombres des dif- férentes progreflîons j on a auflî confîdcré ceux des diflFè- renies puilïànces, & des différents degrez ; mais on n'a pas ce me fcmble allez examine ceux dont ic parle, quoy qu'ils foientd'vn très grand vfage, & mcfme ils n'ont pas de nom , ainfi i'ay eftc oblige de leur en donner ; Et parce que ceux de progreiïîon , de degré & de puillàncc^ font déjà employez, le me fers de celuy d'ordres. l'appelle donc Nomhres du premier ordre les fimples vnitez. 1, 1,1,1, 1, &c. l'appelle, Komhres du fécond ordre ^ les naturels qui fe forment par l'addition des vnitez. i, i, 5, 4, y, Sec. l'appelle, 2^ombres du troiJ$eme ordre ceux qui fc forment par l'ad- dition des naturels, qu'on appelle Triangulaires. i> }» ïo> C'eft à dire , que le fécond des triangulaires, fçauoir, j , égale la /ôm - me des deux premières naturels qui font, 1,1; ainfi le iroilîéme trian- gulaire , 6y égale la fommedes trois premiers naturels, i, z, ^cc. l'appelle. Nombres du quMtriefme ordre ceux qui fe forment par l'adduion des triangulaires , qu'on appelle Pyramidaux. I, 4, 10, 20 , &c. l'appelle, Nombres du cintjtsiepne ordre ceux qui fê forment par l'addition des précédents, aufquelson n*a pas donné de nom exprès, ^ qu'on pourroii appellcr iiiangulo- triangulaires. I, 5, 15, îj &:c T'appelle , Nombres du Jixie/me ordre ceux qui fc forment par l'ad- dition des précédents. 1, G y II, ^C, 12^, 151, &c. Et ainfi à l'infiny. i , 7 , z8 , 84 , &:c. 1 , 8 , 36 , izo , &c. Or fi on fait vne table de tous les ordres des nombres , où l'on marque àlus toutes celles qui précèdent cette fuperieure dans fon rang paral- ele y comme il a cfté prouué dans la 1 . Confeq. du Traittc de ce Trian- gle. Et la mefme choie fe trouue dans chacun des ordres des nombres: Car, par exemple, le troifiéme des Pyramidaux 10, cgaleles trois pre- miers des triangulaires 1 1 3 1 ^ïpuis qu'il eft formé par leur addition. D'où il fe void manifeftement , que les rangs parallèles du trian- gle 9 ne (ont autre chofe que les Ordres des nombres; Et que les expo- lans des rangs parallelles , font les mefmes que les expofâns de& ordres, & que les expofâns des rancs perpendiculaires, font les mefmes que les Racines : Et ainfi le nombre par exemple , 11 , qui dans le Triangle Arithmétique fe trouue dans letroifiefme rang parallèle, ôc dans le fixiefme rang perpendiculaire \ eftant confidcré entre les ordres numé- riques, il fera du troifiéme ordre, ôcletixicfme de fon ordre, eu de U fixiefme racine. Cçqui fait connoiftre, que tout ce quia eftc dit des rangs & des cellides du Triangle Arithmétique, conuient exaftement aux ordre» des nombres , & que les mefmes égahtez & les mefmes propoirions quiontefté remarquées auxvns, fe trouuerontaullî aux autres j il ne faudra feulement que changer les enonciations , en fubftituantles ter- mes qui conuiennent aux ordres numériques , comme ceux de racine & d'ordre, à ceux qui conuenoient au Triangle Arithmétique , commç de rang parallèle & perpendiculaire, l'en donncray vn petit traittc à part , oî\ quelques exemples qui y font rapportez feront ayfcment ap» perceuoir tous les autres. A ij 4 VsAGE Dv Triangle Arith. V£< <^ ^ ^ (^^^ <^ ^ ^ ^ ^ ^ *^ VSAGE DV TRIANGLE ARJTMETJ^E, T O VJ{^ LES C0M'BINAIS0 2^S, E mot de, Comhinatfbn ^ a efté pris cnpiufieurs fênsdif- fercns j defbitequepourofter l'cqaiuoque, ie fuis oblige de dire comment ie l'entends. Lors que de plufieurs chofes, on donne le choix d'vn certain nombre , toutes les manières d'en prendre autant qu'il eft permis, entre toutes celles qui font prcicntécs, s'appellent icy, les différentes combinétifons. Par exemple , fi de quatre chofes exprimées par ces quatre lettres, A, B, C, D , on permet d'en prendre, par exemple, deux quelcon- ques j toutes les manières d'en prendre deux diftèrentes dans les qua- tre qui font propofces , s'appellent , Comlfinéti/bm. Ainfi on trouuera par expérience, qu'il y a fix manières différentes d'en choifir deux dans quatre; car on peut prendre, A & B, ou A & C, ou, A & D , ou B , & C , ou B & D , ou C , & D. le ne conte pas , A, & A , pour vnedes manières d'en prendre deux, car ce ne font pas des chofes différentes , ce n'en cA qu'vnc répétée. Ainfi ie ne conte pas A, & B, & puis, B& A, pour deux manières différentes , car on ne prend en l'rne & en l'autre manière que les deux mefmes chofes, mais d'vn ordre difFerent feulement , & iene prends point garde à l'ordre; de forte que ie pouuois m'expliquer en vn mot à ceux qui ont accoudumé de confiderer les combinaifons , en difânc Amplement que ie parle feulement des combinaifons qui fefont fans changer l'ordre. On trouuera de mefme par expérience , qu'il y a quatre manières de prendre trois cho/ès dans quatre, car on peut prendre, A B C, ou ABD, ou ACD, ou BCp. Enfin on trouuera qu'on n'en peut prendre quatre dans quatre qu'en vne manière, fçaaoir* A B C D. le parleray donc en ces termes. I dans 4 fe combine 4 f-ois. 1 dans 4 fe combine C fois. l dans 4 fe combine 4 fois. 4 dans 4 Ct combine 1 fois. Où ainfi. La multitude des combinaifons de i dans 4 e/l 4. PovR LES Combinaisons/ La multitude des combinaifons de z dans 4 c(k 6. La multitude des combinaifons de 5 dans 4 eft 4. La multitude des combinaifons de 4 dans 4 ell: 1. Mais la fomme de tomes les combinaifons en gênera! qu'on peut faire dans quatre, eft quinze, parce que la multitude des combinaifons de 1 dans 4, de 1 dans 4, de 5 dans 4, & de 4 dans 4, eftans jointes cnfemble, font 15 -, En fuittede cette explication ic donneray ces confequcnces en for- me de Lemmes. Lemme i. Vn nombre ne fe combine point dans vnplus petit, par exemple, quatre ne fe combine point dans deux. Lemme z. Vn dans vn fe combine vne fois. 2 dans 1 fe combine i fois. 3 dans 3 fe combine i fois. Et généralement vn nombre quelconque fe combine vne fois feulement dans fon égal. Lemme j. I dans I fe combine 1 fois. I dans 1 fe combine 1 fois. I dans 3 fe combine 3 fois. Et généralement l'vnitc fecombinedans quelque nom- bre que ce foit autant de fois qu'il contient d'vnitcz. Lemme 4. S'il y a quatre nombres quelconques , le premier tel qu'on voudra, le fécond plus grand de l'vnitc, le troifiefme tel qu'on voudra , pourueu qu'il ne foit pas moindre que le fécond , le quatricfme plus grand de l'vnitc que le troifiefme: La multitude des combinaifons du premier dans le troifiefme, jointe à la multitude des combinai- fons du fécond dans le troiHefme \ égale la multitude des combinaifons du fécond dans le quatriefme. Soient quatre nombres tels que i'ay dit. Le premier tel qu'on voudra , par exemple, i. Le fécond plus grand de rvnitc , fçauoir x. Le troifiefme tel qu'on voudra , pourueu qu'il ne foit pas moindre que le fécond, par exemple, 5. Le quatricfme plus grand de rvniic, fçauoir, 4. VsAGE bv Triangle Arith.' le dis que la multitude des combinaifons des i dans plus la mul- titude des combinaifons de i dans 3, égale la multitude des combin. de 1 dans 4. Soient trois lettres quelconques, B, C, D. Soient les mefmes trois lettrcs,&vne déplus. A, B, C, D. Prenons "fuiuant la proportion toutes les combinaifons d'vne lettre dans les trois, B, C, D. Il y en aura 3, fçauoir, B, C, D. Prenons dans les mefmes 5 lettres toutes les combinaifons de deux, il y en aura 3, fçauoir, B C, BD, CD. Prenons enfin dans les quatre lettres. A, B, C, D, toutes les combi- naifons de i, il y en aura 6, fçauoir, A B, A C, A D, B C, B D, C D. Il faut démon (Irer, que la multitude des combinaifons de i dans 3» & celles de 1 dans 3, cfgalcnt celles de 1 dans 4; Cela eft aife : Car , les combinaisons de x dans 4 (ont formées par les combinaifons de i dans 3, & par celles de 2 dans 3. Pour le foire voir. Il faut remarquer qu'entre les combinaifons de 1 dans 4, fçauoir, A B, A C, A D, B C, B D, CD i il y en a où la let- tre. Al eft employée, & d'autres où elle ne l'cftpas. Celles où elle n'eft.pas employée font, B C, B D, C D, qui par confe^ quent font formées de deux de ces trois lettres, B, C, D-, Donc ce fonc des combinaifons de 1 dans Ces trois, B,C, D. Donc les combinaifons de t dans ces trois lettres, B,C, D, font portion des combinaifons de i dans ces quatre lettres. A, B, C, D, puifquc elles forment celles où, Af n'elt pas employée. Maintenant fi des combinaifons de 2 dans 4 où A efl employée, fçauoir, AB, AC, AD,onofte l'A, il refiera vne lettre feulement de ces trois, B, C, D, fçauoir, B,C, D ; qui font precifement les com- binaifons d'vne lettre dans les trois, B» C, D. Donc it aux combinai- fons d'vne lettre dans les trois B, C, D, on adjoufleà chacune la let- tre, A, ôc qu'ainfî on ait A B, A C, A D, on formera les combinaifons de 2 dans 4, où A efl employée^ donc les combinaifons de j dans 3 fonc portion des combinaifons de 2 dans 4. D'où il fe void que les combinaifons de x dans 4 , font formées par les combinaifons de 2 dans 5, & de i dans 5 j Se partanr que la mul- titude des combinaifons de 2 dans 4, égale celle de 2 ujns 3, & de 1 dans }. On monflrera la mefme chofe de tous les autres exemples , comme. La multitude des combinaifons de 29 dans 40. Et la mult. des combinaifons de 30 dans 40. Egale la mult. des^ombinaifonsde 30 dans 41. Ainfî la multitude des combinaifons de ij danj 5^. Et la multitude des combinaifons de 16 dans 55. Egale la multitude des combinaifons de 16 dans 56. £t aiufl à l'infiny. Ce qu;il falloii deaiooArci;. PovR LES Combinaisons; y VYopoJttion I. tn tout Triangle Arithmétique , la Tomme des cellules d'vn rang parallèle quelconque, égale la multitude des combinailbns, de l'expoTant du rang, dans Texpcfanc du Triangle. Soit vn triangle quelconque, par exemple le quatriefme G D a. le ■dis que la fomme des cellules d'vn rang parallèle quelconque, par exemple, du (econd p t ^ t ^- Egale la femme des combinaifons de ce nombre, i, quieft l'expofant de ce fécond rang, dans ce nombre.4, qui eft l'expofant de ce triangle. Ainfi la fomme des cellules du 5 rang du S triangle égale la fommc des combinaifons de 5 dans S, &c. La demonftration en fera courte, quoy qu'il y ait vnc infinité de cas, par le moyen de ces deux Lemmes. Le I. qui eft euidentde luy-mefme, que dans le premier triangle, cette égalité fe irouue ; puifque la fômme des cellules de fon vniquc rang, fçauoir, G, ou l'vnitc, égale la fomme des combinaifons de i, cxpofàntdu rang, dans 1 expofant du Triangle. Le I. que s'il fctrouue -vn Triangle Arithmeticjrie dans lequel cet- te proporuon fe rencontre, c'eft à dire dans lequel quelque rang que l'on prenne, il arriueque la fomme des cellule» foit égale à la' multi- tude des combinaifons de l'expofànt du rang dans Texpcfant du Trian- gle \ le dis que le Triangle fuiuant aura la mefme propriété. D'où il s'enfuit que tous les Triangles Arithmétiques ont cette éga- lité ; car elle fe trouue dans le premier Triangle par le premier Lemme, & mefme elle eft encore euidente dans le fccond ; Donc, par le fecoiui Lcmme, le fuiuant l'aurade mefme, & partant le fuiuant encore -ainfi à l'infiny. Il faut donc feulement demonftrer le fécond Lemme. 5oit vn triangle quelconque , par cxcmy>lelctroificfme,dans lequel -on fuppofe que cette égalité fe irouue, c eft à dire, que la fomme des cellules du premier rang G f ' t * i égale la mulritude des combinai- fons de 1 dans 5 j & que la fomme des cellules du 1 rang « t 4> éga- le les combinaifons de i dans 5 ; & que la fomme des cellules du 5 rang A, égale les combinaifons de j dans 3 : le dis que lequatriefme triangle aura la mefhie égalité, 5i que, par exemple, la fomme des cellules du fécond rang f t t ^> égale U multitude des combinaifons de z dans 4. » \ ^ VsAGB Dv Triangle Arith. povr les Comb* Car ? t 4 t 9 égale 9 t 4 f û G f ir f V t ^ » OU la multitude ou la multitude Par rhypoihefê des combinaif. des combinaif. de X dans 3. f de i dans 3. Ou la multitude des combinaiTons Parle 4Lcmme de x dans 4. On le montlrera de mefme de tous les autres. Ce qu'il falloic demondrer. Propofition t. Le nombrede quelque cellule que ce foit , égale la multi- tude des combinaifons d'vn nombre moindre de Tviiitc que rcxpofant de Ton rang parallèle , dans vn nombre moindre de l'vnitc que rexpofanc de fa bafe. Soit vne cellule quelconque, F, dans le quatrième rang parallèle Se dans la rixiefme bafe: le dis qu'elle égale la multitude des combinaifons de 5 dans 5, moindres de l'vnité que, 4 & 6 : car elle égale les cellules^ A t B t C. Donc par la précédente, &c. Vrohlejme i. Fropojttion 3. Eftans propofez deux nombres j Trouuer combien de fois l'vn le combine dans l'autre, par le Triangle Arithmé- tique. Soyent les nombres propofez 4^ il faut trouuer combien 4 fc combine dans Premier moyen% Soit prife la fomme des cellules du 4 rang du 6, triangle. Elle fatis- fera à la quedion. Second moyen. Soitpri(ëla5 cellule de la 7 bafe, parce que ces nombres 5,7 excc* dent dervnité les donnez 4, 6. Son nombre ell celuy qu'on demande. Qonclufion. Par le rapport qu'il y a, des cellules & des rangs du Triangle Arith- métique , aux combinaifons , il eft aifc de voir que tout ce qui a efté prouué des vns , conuient aux autres fuiuant leur manière \ C'eft ce que ie monftreray en peu de difcouts dans vn petit iraittc que i'ay fait des Combinaifons. VSAGE DV TRIANGLË ARI THMETICtyE, Tour déterminer les partys quon doit faire entre deux loueurs qui iouent en plujteurs purties, O V R entendre les règles des partys , la première chofc qu'il fane confiderer , eft, que l'argent que les ioueurs ont mis au jeu , ne leur appartient plus , car ils en ont quitte la propriété ; mais ils ont receu en reuanche le droit d'atten- dre ce que le hazard leur en peut donner, fuiuantles con- ditions donc ils font conucnus d'abord. Mais comme c'eft vne loy volontaire , ils la peuuent rompre de gté à gré , & ainfi en quelque terme que le jeu fe trouue , ils peuuent le quit- ter, & au contraire de ce qu'ils ont fait en y entrant renoncera l'at- tente du hazard , & rentrer chacun en la propriété de quelque chofciEt en ce cas ,1e règlement de ce qui doit leur appartenir, doit eftre telle- ment proportionné à ce qu'ils auoient droit d'efperer de la fortune, que chacun d'eux trouue entièrement égal de prendre ce qu'on luy af. figne, ou de continuer l'auanture du jeu, & cette iuftediftribution s'ap- pelle le Pany. Le premier principe qui faitconnoiftrede quelle forte on doit faire les partis , eft celuy-cy. Si vn des joiieurs fe trouue en telle condition , que quoy qu'il arriue, vne certaine fomme luy doit appartenir en cas de perte & de gain , fans que le hazard la luy puiffe ofter , il n'en doit faire aucun pany , mais la prendre entière comme adèurée, parce que le partydeuant eftre pro- portionné au hazard , puis qu'il n'y a nul hazard de perdre , il doit tout retirer fans party. Le fécond eft celuy-cy. Si deux joueurs fe trouuent en telle condi- tion, quefil'vn gagne il luy appartiendra vne certaine loiDme,&s'il pcrt elle appartiendra à l'autre j Si le (eu eft de pur hazard , & qu'il y ait autant de hazards pour l'vn que pour l'autre, fie par confequent non A 1 VsAGE Dv Triangle Arith. plus de raifon de gagner pour l'vn que pour l'autre, s'ils veulent feTc- parcr (ans joUer,& prendre ce qui leur appartient Icgiiimement , le party eft qu'ils fcpareni la femme quicft au hazardpar la moitié, 5c que chacun prenne la ilenne. Corollaire premier. ^ deuxjoueurs jouent à vn jeu de pur hazard , à condition que fi le premier gagne il luy reuiendra vne certaine femme, & s'il pertilTuy en reuiendra vne moindre, s'ils veulent fe feparer fans ioûer , & prendre chacun ce qui leur appartient j le party eft , que le premier prenne ce qui luy reuicnt en cas de perte , Se de plus la moitié de l'excez, dont ce qui luy reuiendroitcn cas de gain fur- paflc ce qui luy reuient en cas de perte. Par exemple, fi deux joueurs jouent i condition que fi le premier gagne il emportera huit piftoles, &s'ilpei;t il en emportera deux jlc dis que le party eft qu'il prenne ces deux , plus la moitié dont huit fur- paile deux , c'eft à dire plus 3. car 8. furpaHe x- de 6. dont la moitié eft 3. Cétr /étr rhypothefe sUgapie il emporte 8. ceft à dire C ^ x, s'il pert il emporte x. donc ces 2, luy appartiennent en cas de perte ^ de gain ; Et par con/equent par le premier principe , // n^en rte. Soient réduites les deux fradionsà melrne dénomination fi el- les n'y font pas , foit prife vne fradion dont le numéra- teur foit la lomme des deux numérateurs , & le déno- minateur double des precedens. Cette fraûion expri- me la portion qui appartient au premier fur la fomme qui cftau jeu. Par exemple, qu'en cas de gain il appartienne les -L de la forame qui eft au jeu, 5c qu'en cas de perte 11 luy en appanienne JL. le dis que ce qui luy appartient en cas de party fe trouuera en pre- nant la fomme des numérateurs qui eft 4, & le double du dénomina- teur qui eft 10. dont on fait la fraction -L. Car par ce quiaefié demonjlrê au i. CoroS. HfaBoit ajpmhler les cas Je gain Je perte en prenJre la moitié. Or U fomme Je s Jeux fra. irions l—-\±.ejt±, qui fe fait par l' a JJitionJes numérateurs ^ ^ fa moitié fe trouue en Joublantle Jenominateur , Cf* 'tinf l'on a ±, ce qu'il fkHoit Jemonjlrer. Or relies f)nt générales , /ans exception , quoy qui reuienne en cas Je perte ou Je gain j car ft par exemple , en cas Je gain ilap, par tient c^eu cas Je perte , rien s en reJuifant les Jeyx frayions à mefme Jenominateur , on aura -L. pour le cas Je gain ^ JL pour le cas Je perte , Jonc en cas Je party il faut cette fraffion _L Jont le numérateur égale la fomme Jes autres » CT* le Jenominateur eJlJou. ble Ju preceJent. uiinfi fi en cas Je gain il appartient tout , en cas Je perte 2, en reJuifant les /raé/ions À mefme Jenomination , on aura -L pour four le cas Je gain , ^ J_ pour celuy Je U perte ; Jonc en cas Je party il appartient ±., Ainfi fi en cas Je gain il appartient tout, en cas Je perte rien le party fera yifiblement J. ^carle cas Je gain efij. , c^' le cas Je perte ,~ , Jonc le party efi _L Et ainfi Je tous les cas pofiihles* Prohlejme /. Trop, L Eftans propofcz deux joueurs, à chacun defquelsilman- POVR LES PaRTYS DV IeV- J que vn certain nombre de parties pour acheuer, trou- uerpar IcTriangle Arithmétique le party qu'il faut fai- re ( s'ils veulent fe feparer fans joiier) eu égard aux par- lies qui manquent à chacun. Soit prifedanslc triangle la bafc dans laquelle il y a autant de cellu- les qu'il manque départies aux deux enfemble. En fuite foient prifes dans cetre bafc autant de cellules continues à commencer par la pre- mière , qu'il manque de parties au premier joUeur , & qu'on prenne la fommr de leurs nombres. Donc il refte autant de cellules , qu'il man- que de parties à l'autre. Qu'on prenne encore la fomme de leurs nom- bres. Ces fommes font l'vncà l'autre comme les auanragesdcs joueurs réciproquement. De forte que fi la fomme qu'ils joUcnteft égale à la fomme des nombres de toutes les cellules de la bafe,il en appartien- drai chacun ce qui eft contenu en autant de cellules qu'il manque de parties a l'autre, & s'ils jouent vne autre fomme il leur en appartiendra à proportion. Par exemple qu'il y ait deux joueurs , au premier defquels il manque deux parties , & à l'autre 4 , il faut trouuer le party. Soient adjouftez ces deux nombres 1, & 4, ôc foit leur fomme, 6,foic prifcla fixicmebafedu Triangle Arithmétique P ^ dans laquelle il y a par confequem fix cellules P, M, F, « , S, J'. Soient prifes autant de cellules à commencer par la première P. qu'il manque de parties au premier joueur, c'eft à dire les deux premières P. M ; donc il en refte autant que de parues à l'autre, c'eft à dire 4. F, a». S, S. le dis que l'auantage du premier eft à l'auantagedu fécond, com- me Ft«tSt«^>* PfM. c'eft à dire que fi la fomme qui fe joue eft égale àPtMtFt^tSfJ'.ilen appanienc à celuyà qui il manque deux parties la fomme des 4 cellules, i •\ S t « t F ; & à celuy à qui il manque ^ parties , la fomme des deux cellules P t M* Ets ils )ouent yn autre fomme, il leur en appartient à proportion. Et pour le dire généralement, quelque fomme qu'ils jouenr,il en ap- pArtientau premier vne portion expiimce par cette fta^lion, Ft «t St**" PtMfFt^t^t'^ dont le numérateur eft la fomme des 4. cellules ; que s'ilman^ D t B t ô t que trois parties au premier ^ y ne à l'autre^ la /ral7ion du pre- D ptierfoit ■ onc en cas de p^rty il appartiendra au premier cette /ration , DtBt^»tI>tB ccftàdirc, HfEtC iDtiBti^ti^i c'eft à dire , HtEtCt^t/-' Ce qu'il falloit démonter, Ainfi cela fe demonflre en toutes les autres hafet fans aucune dif- férence y parce que le fondement de cette preuue ejl qu'yne bafe efi toujtours double de fa précédente y par la 7. Confeq. Cf* q»e , par U dixiefme Conséquence , tant de cellules qu'on youdra d'y ne mefme ba^ fe /ont égales à autant de la bafe précédente ( qui efi toufiours le deno» minateurde la fraffion en cas de gain ) plus encores auxmefmes cellu^ les excepte y ne ( qui efl le numérateur de la fraction en cas de perte) ce qui efiant yray généralement par tout la demonflrationfera totim jours fins objlacle yniuerfelle% 10 VsAGE Dv Triangle Arith. Trohlejme i. Trop, i: ï/lans propofcz deux joueurs, qui jouent chacun vne mef- mc fomme en vn certain nombre de parties propofci Trouuer dans leTriangle Arithmétique la valeur de la dernière partie fur l'argent du perdant. Par exemple, que deux joueurs jouent chacun trois piftolles en qua- tre parties ; on demande la valeur de la dernière partie fur les trois piftoUes du perdant. Soit prife la fraftion qui a rvnitépour numérateur & pour dénomi- nateur la fomme des cellules de la ba(c quarriefme , puis qu'on joue en quatre parties ; Tedis que cette fiailiou, cfll* valeur delà dccniere par- tie fur la mife du perdant. Cétr fi deux joueurs joiùtns en quatre partiei , /*>« en a trots à point^ qté'MinJi il en manque tne su premier y quatre à l'autre ^il a ejlé demonftré que ce qui appartient au premier pour le gain qu'il ét /ait de fes trois premières parties ^ eft exprime par cettefraftton , H t E t C t R HfEtCfRti"» f ^ /o«r dénominateur la fomme des cel- lules de la cinquiefme iafe , ^ pour numerateurfes quatre premières ceffules y donc il ne rejle fur la fomme totale des deux mrfes que cette /ration • H tEtCfRt."» laquelle feroit acquife Àceluy qui a de] a les trois premières parties en cas qu'il j^agnafi Lt dernière ; T'onc la yaleur de cette dernière fur la fomme des deux mi/es ejl fjL c'eft à dire rvnitc. HfEtCtRt/^, c'eft à dire zDtiBtiÔfiA. Orptisf que la fomme totale des mifes ry/iDtiBfi^tiA. La fomme de chaque mtfe ir/^DfBfflt^» ^^^"^ ^ Valeur de U dernière partie fur U feule mife du perdant eft cette /ration I D f B t ^ t ^ double de la précédente y laquelle a pour nume* rateur l'ynite\ pour dénominateur la fomme des CfUules de la qus», triefme bafe. Ce quilfalioit demonjhffs POVR LES ParTYS DV IeV^ il Trob le/me j. Prop. 5. Eftani propofez deux joueurs , qui joûenc chacun vne mcfmc fomme en vn certain nombre de parties donne-, Trouuer dans le Triangle Arithmétique , la valeur de la première partie fur la mife du perdant. Par exemple , que deux joUeurs jouent chacun trois piftollcs en quatre parties \ on deaiande la valeur de la première fur la mife du, perdant. Soit adiouftc au nombre, 4, le nombre, 3, moindre de rvnitc & (bit la fomme, 7, foit prife la fraction , qui ait pour dénominateur toutes les cellules de la fêpriefmff ba/ê , 8e pour numérateur la ccUul^ de cette bafe qui Te rencontre dans la diuidente , fçauoir cette fra^ion ^ f VtCLtKtpt^tNt^ le dis quelle fatisfait au Problefme- Citr yî* deux joiicurs jqmms en qu^ttre parties^ le f rentier en m V«tf À point, il en rejlera À gétgner étu premier A P autre i donc il appartient an premier fur la fomme des deux mifi:s cette /raffioi* V t QJ- t f V f Q^t Kfpt^tNf^ f ^' " /o*/* dénominateur toutes les cellules delà feptiefmebafe , pournumerateur fes quatre premie-^ Tes ceOules, 7)onc il luy appartient V f Q^f K f f> fur la fomme totale des deux mifes exprimée par V f Q^t Kf^t^fNt^i t/*^-*'^ te dernière fomme e fiant l^ a^mhla^e des deux mi/es , // en auoitmù au jeu la mo$tié ^fçMuoir V t Qt K t — P V t Q^î ^J<>nt égaux A (-^l^^^) 7>oncila — ^ , cefi À dire, a» , plus qu'il nauoit en entrant au jeui donc il a g^gnéfur la fomme totale des deux mifes "^ne portion expri^ me'e par cette fraflion —————— VtQ^tK t /> t ^ t N t ^ doncilagagné fur la mife du perdant yne portion qui fera double de ceBe'lÀ j/f*?- uoir celle qui ejl exprimée par cette fralfton, f Tonc le gain de la première partie luy a acquit ttttt fratt$cn ^ don^ fa valeur efi telie^ B 12, VsAGB Dv Triangle Arith. CoroUaire, Donc la valeur de la première parcicdc deux , fur la mife du perdant, cfl exprimée par cecce fraction 1-- . Cétr en prenant cette yaleur fuiuant U re^le qui yient d*en ejfre donnée , il /dut prendre Lt fîraSîion quia pour dénominateur les cel- lules de U troi/iejme ba/e ( parce que le nombre des parties en quoy on josiC efi^ 2, le nombre moindre de r^nité efi^ i, qui aueCy x,/ait 5) Cypour numérateur , U cellule de cette baje qui efi dans Udiuidfti' 4 te^ donc on aura cette /ration , ■ A t 4 t'- Or le nombre de la cellule 4 'fty^* les nombres des cellules A, t 4* t ^> font, 1 t 1 t 2?onc il luy refie demain cette /raclion ^ a» P t M t F t » t S t f*' C/^ wç/wrr clo/e que celle-ey. POVR LES ParTYS DV IEV. |$ P V t Q^t Ktft?tNt<' donc il a ^agnif fur U moitié' de U fomme entière ^ ceft à dire fur U mife du perdant cette /ration douhte de U précédente V f Q^f Kfpf^tNtf 'Z>onclega:n des deux premières parties^ luyMétcqufs cette fi^acîion p*r l'argent du perdant ; qui eji le double de ce que U première par~ tie luy auoit acquis par U précédente , donc U féconde partie luy en a autant acquis que la première. On peut aifcment conclurre par le rapport qu'il y a du Triangle Arithmétique aux partys qui fc doiucnt faire entre deux joueurs, que les proportions des cellules qui ont eftc données dans le Traitté du Triangle, ont des confequcnces qui s'eftendent à la valeur des par- tics, qui font bien aifces à tirer; & dont i'ay fait vn petit difcours en tramant des partys , qui donne l'intelligence & le moyen de les cftendreplus auant. ; B iij 7^ VsAGÊ Dv Triangle Àritk? Sf' ^ ^ '«e ^ ^ *îî^ rJ'^GE TRIANGLE ARITMETI^E, Pour trouuer les puijpinces des Binômes ^ Apotomes, S'il cft propofé de trouuer la puilTânce quelconque, comme le quatriefme degré d'vn binôme, dont le premier nom font Ajl'aa- tre rvnitc,c'eft à dire qu'il faille trouuer le quarrc-quarré de A f i* Il faut prendre dans le Triangle Arithmétique la bafe dnquiefme, fçauoir celle dont l'expofant, j, eft plus grand de l'vnité que 4, cx- polànc de l'ordre propofé ; Les cellules Je cette cinquicinic bafê font, 1, 4, 6y 4, i- Dont il faut prendre lepremier nombre, i, pourcoeffi. cient de A au degré propolé , c'eft à dire de A *. En fuitte il faut pren- dre le fécond nombre de la bafè , qui efl 4, pour coefficient de A au degré prochainement inférieur, c'eft à dire de A ', & prendre le nom- bre fuiuantde la bafe, fçauoir, 6, pour coefficient de A au degré infé- rieur , fçauoir A & le nombre fuluant de la bafe, fçauoir , 4, pour coefficient de A au degré inférieur , fçauoir, A racine , & prendre le dernier nôbre de la ba(e,i, pour nombre abfolu.Et ainfi on aura, i A * t 4A* t ^ A't4Atï' l' t <5> l' 1 4.1 1»» C'eft à dire, Vne fois le quarré- quarré de l' vnité A, c'eft à dire, 1 Quatre fois le cube de, 1, c'eft à dire, 4 Six fois le quarré de i, c'eft à dire , 6 Quatre fois rvnicc , c'eft à dire , 4 Plus rvnité , X qui adjouftez font 16 Et en efFct le quarré- quatre de 1 eft i^. Si A eft vn autre nombre, comme, 4, & partant que le binôme A 1 1 foit, 5, alors fon quarré-quarrc fera touliours fuiuant cette méthode, ï A» t 4 A' t ^ A' t 4 A 1 1, qui fignifie maintenant i, -f * f 4> * t 6,4't4»-^ti. C'eft à dire, Vne fois le quarré-quarrc de 4, fçauoir, 15^, Quatre fois le cube de 4, fçauoir 1^6 Six fois le quarré de 4 «jô Qiiatre fois la racine \ 16 Plus l'vniié I Pont la (bmme V POVR LES PviSSANCES. -jf Faitlequarré-quarrcdc 5. Eten effet le quarré quarte de 5 cft ^15. Et ainfides autres exemples. Si on veut trouuer le mefmc degré du binôme A f a. Il faut prendre de mcfme ,iA't4A't<»A*t4Ati' Et en fuitie efcrire ces quatre nombres 1, 4, 8, 16, qui font les qua- tre premiers degrez de 1, fous les nombres, 4, 6, 4, 1, c'cftàdirelbu» chacun des nombres de la ba(e> en laillànt le premier en cette forte : iA't4A't6A't4Ati X 4 S 1^ Et multiplier les nombres qui fc répondent l'vn par l'autre. 1 A't 4 A» t 6 A' t4 A' t " 1 4 8 ig En cette forte 1 A * t 8 A « f 14 A' t A' t i<î Et ainfi onauralêquarré-quarrédu binôme A i. De forte que fi A eft l'vnitc , ce quarrc-quarré fera tel : Vne fois le quarré- quatre de l'vniic A, i Huid fois le cube de l'vnité 8 14» ' • 14 31. ' 3* Plu| 16 Dont la fbmme Si Sera le quarrc-quarré de 3. Et en efFeft Si efl le quatre- quarrc de 5. Et fi A eft 1, lors A t 1 fera 4, Se fon quarré-quarrc fera. Vue fois le quarré quarré de A ou de 1, fçauoir, 16, ^> 64 14» ' ' 96 3*. ' H Plus jC Dont la fomme ïj^ Sera le quarrc-quarré, de 4 De la mefme manière on trouuera le quarré-quarté de A f 3 En mettant de la mefme forte , A*t4A' t^A' t4Ati Et au deflbus les nombres j 9 17 81 quifontles4.prem.degtezde lA* 11 A' f 54 A» f 108 ÂtSiT"^ 3,& multiplians les nombres correfpondans, on trouuera le qoarré-quarré de A t 3« Et ainfi à l'infîny. Si au lieu du quarré- quarré on veut le quarré cu- be, ou le cinquiefinc degré, il faut prendre la bafe fixiefme, Se en yÇcï comme i'ay dit de la cinquiefme -, Se ainfi de tous les autres de- grez. On trouuera de mefmes les puifTances des Apotomes, A-i, A-z Sec» Xamcihodc en eft toute femblable, & ne diffère qu'aux fignes, car les id VsAGE Dv Triangle Arith. tovr les Pvrs. lignes de f & de— fe fuiuent toufiours altcrnatiuemcnt, & le fignc de t cft toufiours le premier. Ainfi le quarré-quarrc de A — i Ce trouaera de cette forte. Le quarrc- quatTcde A t » eft parla règle précédente iA't4A't($A*t4Att Donc en changeant lesfignes comme i'aydit^ on aura. 1 A* — 4 A' t <î A'— 4 A t I Ainfi le cube de A — i fe trouuera de mefmes. Car le cube de A t ^ p^t la règle précédente eft A» t 6 A* t A t 8. Donc le cube de A— i fe trouuera en changeant les figncs. t A' — 6 A' t II A— 8. Et ainfi à Tinfiny. le ne donne point la demonftration de tout cela , parce que d'autres en ont déjà traicté^ comme Hcrigognc. Ouurc que la choie cil euidence d'elle-mefaie. TRAITTE' DES ORDRES N V M E R I CiJV E S. W^^w^Bm ^ prcfîippo/è qu'on a vcu le Traitté du Triangle Arith- mBÈ mctique, ôc fon v/àge pour les Ordres Numériques ; Au- trement i'y renuoye ceux qui veulent voir ce difcours w^jiSyjB proprement vne (uittc. l'y ay donne la définition des ordres numériques , Se ic ne la repeteray pas. l'y ay monftrc aufli que le Triangle Arithmétique n'eftautre chofe que la table des ordres numériques ; en fuittedequoy il cft euidcnt que toutes les proprietez qui ont cftc données dans le Triangle Aritiuneti- que entre les cellules ou entre les rangs, conuiennent aux ordres nu- mériques ; De forte que fi peu qu'on ayt l'art d'appliquer les propriew tez des vns aux autres , il n'y a point de propofition dans le traitté du Triangle qui n'ait Tes confèquences touchant les diuers ordres. Et ccU cft tout enlcmble ôc fi facile & fi abondant , que ie fuis fort efloigné de vouloir tout donner exprefTement, i'aymcrois mieux lailfer tout à fai- re , puifque la chofe eft fi ayfce j mais pour me tenir entre ces deux extrcmitez , i'en donneray feulement quelques exemples, qui ouuri- ront le moyen de trouuer tous les autres. Par exemple. De ce qui a eftc die dans vne des Confequences du Traitté du Triangle , ^ue chaque cellule , égale celle qu$ U prece/le Jans Jon rdng pétraUeleyplmf celle qui Lt précède d^insfou rang ferpendicum Uire. l'en forme cette propofition touchant les ordres numerii^ues. Vo nombre de quelque ordre que ce foie , égale celuy qui Je précède dans fon ordre , plus fon corradical de l'ordre précèdent. Ec par confequcnt , le quatrième, par exem- ple , des pyramidaux , égale le troificme pyramidal,plus . A ^ Traitte^ des Ordres le quatrième -tfiangule- triangulaire. Ainfi le cinquième triangulo- triangulaire , égale le quatrième triangulo- triangulairc, plus le cinquième pyramidal, Scc^ Autre exemple. De ce quia edémonftré dans le Triangle ,f**ri^«r-r ^ue cellule comme , E t Bf4 f 4^ 5, c> quorum primus fît K NvMÎÉRÏCORVM OrDINVM exponens ordinis, 3, newpe, }6oy ^otiens 15, eflnuZ merus qmfitus. Ncc diffid'is dcmonftratio , eâdem enim prorfus conftruftione, in- uentaeft, ad fincm tradatus Triang. /^rith. ccllula quinta: Icrici per- pendicularis , teriiac vero feriei parallclar j cujus ccllubc numerus , idem cftacnumerus quincus ordinis certij , qui quxricur. Potefl auccm & fie refolai idem proolema. FroduShis numerorum qui pr^cedmt exponentem or- dinïsy diuidat produEium tôt idem numerorum continuo* Yum quorutn primus fa radix , ^otiens eft qu^efaus. Sic in propofito cxcmplo , produdtus numerorum , i, i, qui price- dunc exponcntem ordinis, j, nempe, i; diuidat produdtum lotidem numerorum, 5, 6, quorum primus fit radix, 5, nempe, 30, Quotiens, 15, eft numerus quzfitus. Nec difîèrt hacc conftru6tio à prarcedente , nifi in hoc folo , quod in alterâ idem fît de radice , quod fit in alierâ de exponente ordinis. Perin. de ac fi idem efTèt inuenire » quinium numerum , ordinis tertij , ac ter- tium numerum ordinis quinti , Quôd quidem verum eflc iam oflen- dimus. Hinc autem obiter colligere pofTumus arcanum numericum , cum enimambo illi quoticntes , 15, fint ijdem, confiât, diuifbrcselTeinter fevtdiuidendos- Animaduertemus itaque. Sijtnt Juo quilibet numeri -, *Pro/iufîits omnium numerorum prU mu m ex amhoh»t4 propojttts prtecedentium ^ efiad produ^um tôt idem numerorum quorum primus efi /ecundus ex his Mmhohus^ >/ produit m ex omnibus qui prétceduntfecundum exillk ^imbob^s ^ddproduf^um totidem numerorum continuorum quorum primus eji primm ex if s rf/»- ttbus propo^tù, Hacc qui profequeretor, & demonftraret , & noui fortaflîs traûatus materiam repetiret, nunc autem quia extra rem noftram fiint fie per gimus. DE NVMERICORVM ORDINVM RESOLVTIONE. VTohlemA 1. Dato numéro, ac exponente lui ordinis, inuenire radicem. autem ^ Jîc enuntijtri, Dato quolibet numéro j inuenire radicem maximi numeri ordinis R E s O L V T I O. 9 ordinîs numerici cuiuflibctpropofici,quiin Et tune abfeluta eft oj^eratioy fultimus enimmultiplicator dati numeriy nempe 4 , radix qu£ quarebatur. Igitur Dico, numcrum fcxti ordinis cojus radix cft,4,nempe,5, multiplicatus per ptoduélum numcrorunr, 1,1,5, 4, eft major quam jiumenft datus 58 multiplicatus per eundem produiSlum numerorum 1,1,3,4. IgiturnumeruSjiîd, eft major quam numerus datus, 58. Ergo numerus 36 fexti ordinis cuius radix eft,4,non eft major quam numerus datus, numerus vero, 116, eiufdem ordinis cuius radix 5 cft proximc- major , major eft quam datus numéros, Ergo ip(e numerus, 5($, maximus efteius ordinis qui in dato conti«- ncatur, &eiu8 radix 4 inuenta eft. E. F. E. D. DE NVMERICORVM ORDINVM R E S O L V T 1 O N E. 4, Problème 5. DAto quolibet numéro, &eius radice, inucnirc. ordi- nis exponentem. Non difîcrthoc problema à précédente , radix enim , & exponeni ordinis , reciprocc conucrtuntur , ita vt dato numéro v. g. 58, & eius radice, 4, reperietur exponens fui ordinis 6, eâdcm methodo , ac û data numéro ipfo^ jS, £c exponencc oïdinis, 4, radix, 6, eftec inuemcada^ s V M M aV II fiptjtrtus enim numerus fcxti ordinis idem cft ac fcxtus ^udrti , vt jam dcmonftraium cft. DE NVMERICORVM ORDINVM. S V M M A. Vrohlema. 4 . PRopofiti cujuHibet ordinis numerici,totquot impc- rabitur, priorum numcrorum fummain inuenire. Vropofitumfit inuenirejummam quinquc, 'v.g.prio^ rum numerorum ordinU ^verbi gratia fexti. Inuematur ex précédente numerus quintus ( quia, quin- quc priorum numerorum/umma, requiritur) ordinis fcp- timi, nempe eius qui propofitum fcxtum proximè Jè^ quiturj ipfi fit 'tsfdciet problematL Numericorunn enim ordinutn gcneratio talis eft , vc numerus cuiuC- uis ordinis , zquetur fumma; eorum omnium ordinis przcccieotis quo. rum radices non func fuâ majores ; ira vc quincus feptimi ordinis, zque- tur, ex nacurâ & gcneratione ordinum, quinque prioiibus numeris (èxd ordinis > quod diiiîculcace carcc Conclufio, Methodus qui ordinum rcfoluduiirm cxpedio eft generaliflîma, ve- rum ipfamdiù quaefiui,quz primo fe(c obtuliceaeft. Si dati numcri quzrebatur radix tcrtij ordinis , ira procedcbam. «T/w- mtttur duplum numcri fropojtti^ iftius Jufli rdJix qu4nirata inucnùi^ tur ^ héec quétjîta eft MUt fitltem ea qu^t ynitMte minor etit. Si dati numeri quzricur radix quarti ordinis, MultipUcetur numeri»* jMtm fet^ (j, nempe per produflum numerorum ^ i, i, 3 , TrodufJi inue~ jnuttur radix cubiea , tff* , sut ea quéC ynitate minor eft ^ pttis/dCietm " Si dati numeri quzritur radix quinti ordinis, Multiplicetur ddtm numerus fer^ 14, nempe per produSJum numerorum ^ i, i, J, 4, pro- ductique inuenidtur radix 4 ^mdm , ipft "^nitate minuta^ fttisfkàct problemMti, Et ica reliquorum ordinum xadices quzrcbam , conftrudHone non generali , fed cuique propriâ ordini j ncc ramen idco mihi omnioa diipliccbai, illa enim quâ rcloluuncur poceftaces non generalior eft^ B il Ï2. NVMERICORVM OrDINVM SyMMA? aliter cnim extrahitur radix quadrata> aliter cubica, &c.quarouis zh codem principio via: iWx diflFcrcntes procédant. Vt ergo nondum gene- ralispoteftatum refolutio data crat, Cic ôc vix generalem ordinum re- foluiioncm afTcqui fperabam ^ conarus tamen expcftationem fuperan- tes eam quam tradidi przbuerunt generalillîmani , Se quidem amids meis > vniuerfâlium fblutionum amatoribus dodidîmis , gratiflimam} A quibus excitatus & eeneralem poteflatum purarum refolucionem tentare,adinftargeneralis ordinum rcfolationis, obtemperans qua:fiui, & faut focUciter mihi coodgic reperi(Iê> vc infrà videbitur. DE N V M E ROR VM CONTINVORVM PRODVCTIS, S E V DE NVMERIS QVI PRODVCVNTVR ex niulciplicationc numcrorum ferle nacurali procedencium. Vaieri qui producuntur ex mulciplicacione numerorum continuorumà neminCjquodrdam, exâmiiiaci funt. Ideo nomen cis impono nempe ,produffi conùnuorum. Sunc autem qui exduorum muldplicatione formancur, vtifte, qui ex, -4 in 5 ohtur, & poflent dici fecund^ J^ecïei. Sunc qui ex ttiuro multiplicadone formancur, vc ide ixo, qui ex^4 in 5 in oritux & dici portent tcrtue J^eciet, Sic quétrtét J^eciei dici pofTent qui ex quatuor numerorum cortti- nuorum multiplicatione formantur , & fie in infinitum, ira vr, ex mul- titudine multipLicAtorum , fpecies nominationcm exponentis fortirc- tur ; & fie nullus eiTec produûus prim^Tpecici^nullus cil enim pro- duâus ex vno tantum numéro. Primum huius traftatuli theorema , illud eft quod obiter in price- dentc craélacu annotauimus, quod quirendo, reliqua inuenimns > imô & gcneralem potcftaium refolutionem j adeô ftri^kâ conncxionc fibi- mutuo cohzrent veriiaics. Trop. I. Si fine duo numcri quilibetj Produdus omnium numero- rum primum pracccdencium , eft ad produdum totidcm numerorum continuorum d fecundo incipiendum j vc produdus omnium numerorum fecundum prxceden- rium j ad produdum cotidem numerorum concinuorum à primo incipiencium, 6int duo numeri quilibet 5, 9. Diço produâum numerorum, i, 5^- B iij SX De N V m e r 6 r V m 4, qui pfafccdunt, j, nempe Z4; eflcad produdtum totidem continiK>- rum numcrorum, 8, 9, 10, 11, nempe 7910: vt produ(5l:um numcrorurn> 1, 1, j,4, 5, 6,7, quiprarccdunr 8, nempe 5640; adproduftum totidcm continuorum numcrorum, 5,6,7, 8,9, 10, n, nempe i66]ioo, Eteoim produdlus numcrorum, 5,6, 7^dudus in prodiidlumaftorinr, 1, X, 5, 4,'efficit produdlum horum, i, z, î, 4, 5, 6. 7. Et idem produûus numcrorum, 5, 6, 7, duûus in produ6;um numcrorum, -8, 9, 10, 11, cfficit produûiim horum, j, 6, 7, 8,9, 10, ii,crgo, viprodudlus nu- mcrorum, i>i>5,4j Ad produétum numcrorum, i, 1,3, 4,5, 6,7; Ica produélus numcrorum, 8, 9, 10, ii; ad produdtum numcrorum, 5, 6, 7> 8, 5, lOj n. Q;_É. J)- Omnis produAus à qaotlibcc numcris continuis , eft multi- plex produdi i totidcm numcris continuis quorum pri- mus eft vnitasj & quotienseflnumerusfi^uratus. Sit produékus quilibct, à tribus v.g. numcris continuis, y , <5, 7, ncmpc i\o, èc produélus totidcm numcrorum ab vnitatcincipientium, 1,1,}, ncmpc, 6j Dico ipfum xio cfTc multipliccm ipfius, 6. Et quoticntcm elfe numerum figurarum. Etcnim ipfc, 6, duâus in quintum numerum ordinis quarti, nempe« ;y,arquatur ipH produâo ex, 5, 6, 7, ex dcmonflratis iu uadlatu de or- dînibus numcricis. Prop, 5, Omnis produ(îlus â quotlibct numcris continuis efl multi- plex numcri cuiufdam figurati , nempe eius cuius radix eft minimus ex his numeris, cxponens verô ordinis eft vnitate major quam multitudo horum numerorum. Hoc patec exprzccdentc. Et vnica vtnque conucnit dcmooflraiio. Ambo diuiforcs inhisduabus propofitionibus oftenfi , taies funt , vt alter altenus Ht quotiens. lu vt quilibct produdlus à quotlibet numcris continuis , diuifus pcr produdbum totidcm numcrorum ab vnitate ind- pientium, vt fecundapropontiodocet Heripodè, quotiens fît numc- lusiîguratus in tercià propofiuone enuntiatus. CoHTIKVokvM PKÔDVCtïs. ff Prop. 4. Omnis produûusàquotlibetnumeriscontinuisab vnitate incipientibus,eft multiplex produdi à quotlibet numc« ris conrinuis eciam ab vnicace incipiencibus quorum multitude minor eft. Sint quotlibet numericominui ab vnitate,i, 1,5,4, h quorum pro- duékus, xio, quotlibet autcm ex ipfis ab vnitate incipicnies, 1, z, 3, quo- rum produdtiis, 6, Dico, 110 clTc multiplicem, 6. Etenim produ£lus numerorum, 1, 1,3,4, î> exprodudlo nume- rorum,!, 1,3, multiplicatopcrproduilura numerorum, 4, 5. Prop. 5. Omnisprodu 1, 3, 4, ab vnitate incipiunt. Hoc ex fc & ex przcedentibuspatet. 1? fc^ B N V M K R b R V W PRODVCTA CONTINVORVM RESOLVE RE. S B V. Rcfolutio numcrorum qui ex numcris progrcfllo- nc nacurali proccdentibus producuncun Problème. DAto quocunque numéro, inuenire totquot impera- bitur, numéros continues ex quorum mulciplicacio- ne faâus numerus , dcmaximus eius fpeciei qui in daco numéro contineatur. Oporcec autem dacum nuincrum non eÇTc minorem pro- dudo cocidem numerorum ab vnicace concinuorum. Datus fit numerus fuerbi gratU 4335. Oponeatque reperire ^verbi gratta, q uatuor numéros continuas ex quo^ rum multiplicatione piEîus numerus fit maximusqui in data 4535 contineatur , eorum omnium qui producuntuf exmultiplicatione quatuor numerorum conimuorum, Sumanturab ^nitate tôt numeri continui quot fiint nu- meri inueniendi, nempe quatuor in hoc exemploy i, 1^ 3, 43 quorum per produîium , 14^ diuidatur numerus datus fitque quotiensy iSo. Ipfius quotient'u inueniatur radix ordinis numerici non quidem quarti fidfequentis nempe quinti fitque ea, 6^ Ipfe^ G y efl primus numerus^ fecundus 7, terttus 8, quartus 9. Dico itaquc produdkum qtuituor numerorum, 7,8,9, clïè maxi. mum numerum qui in dato contineatur, id eft. Dico produ£kum qud- tuor numerorum, <», 7, 8, 9, nempe 5014, non efle majorem quam nu- merum datum> 4J?5 j produAum verô quatuor proximc majorum nu- merorum, 7,5, 9, lo, nempe, 5040, clic majorem numéro dato, 4)jy. Etenim , ex dcmonftraiis in ira<îlatu de ordinibus numericis, conftac produébum numerorum, i,i,),^,fcu 24, dudbum in numcrumquinii ordinis cuius radix eft, 6, nempe, ii(î, effîcere numerum squalem pro- ^uûo iuimerorum,6,7,S,9,nempe,}oa4.SimiIirer, «Sceundempro- duûura nuinciorum, 3^ 4,ncmpc,i4, dudlura in numerum eiuf- dcov CONTINVORVM PrODVCTIS. 17 dem ordinis qninci cuius radix eft , 7, efficere numcrum arqualera pro- dùdko numerorum 7,8,9,10, nempc 5040. lam verô numcrus quinti ordinis cuius radix cft , tf, nempe iit>, cura Ht maximuSjCius ordinis qui in 180 contineatur, ex conflr.patetipfum ii6 non elle majorcm quam 180, numerum verô , quinti ordinis cuius radix eft, 7, nempe 110, efle majorcm quam ipfum, 180. Cum verô , numerus 4535, diuifus per 24, dederit 180 quoiicnrem pacec, iSo dudbum in 14, feu 4310, non eife majorem qiiam 4355 , fcd autrqualem clic, autdifï'erre numéro minore quam,z4. Itaquc cum lie 110 major quam iSo ex conftr. patec, zio in 24, fea 5040 majorera cde quam 180 in 14 feu 45io,&exceirumeirc ad mi- nimum, 14, numerus verô daius 4335, aut non excedic ipfum 4310, auc excedic numéro minore quam 14. Ergo , numerus J040 , major eft quam darus 43;5,ideft produélus numerorum^ 7^8^ Sfr^Oj major eft daco numéro. lam numéros iitf.noneft major quam 180, ex conftr. Igicur, ii^in xj^t non eft major quam 180 in 14, fed iSc in £4, non eft major dato numéro ex crtlcnfis. Ergo, iiôin 14, feu produdtus numerorum, 6,7, 8.9, non eft major numéro daco> produÂus autem numeroruin, j, 8, 9. 10, ipfb major eft. Ergo, &c. E. F. E. Sic ergo exprimi potejl ^sf^tntiatiOy C^^nerdlù conftrufiio. Inuenire tôt quot imperabitur numéros progrcfTîone na- turali continues , ex quorum multiplicatione ortus nu^ merus j Ht maximus eius fpeciei qui in dato numéro con- tineatur. DiuidAtur numerus datus , per produSîum totidem nti" merorum ab funitate firienAturali procedentium quot funt numeri inueniendi , inuentoque quotiente , ajfumAtur ip- fius radix ordinis numerià cujus exponens eftfvniute ma- jor quam multitude numerorum inueniendorum. Ipfi nt- dix efi primus numerus , Keliqui per incrementum a/ni- tutis in promptu hubentur. Monicum. Hzc omnia ex naturi rei demonftrari poteranCj abfque trianguli Arichmerici auc ordinum numericorum auxilio , non camen fugienda illa connexio mihivi(a eft, przfertim cîim ea (îtqux lumen primum dedic. Et, quod amplius cft,alia demonftraiio laborioftor cft' lixior. /V I l8 NVMERICARVM PoTHSTATVM fjjîï 4^ ^ ^ rî^» ^-^î fîîîi ^ fSS nvmeriCarvm POTESTATVM generalis resolvtio. Eneralcm Numericarom Potcftatnm Refblarionem inqui- renii , harc mihi vcnit in mentem obfcruatio -, Nihil aliud cflc quxrere radicem V. g, quadr^tam dati numeri^ quam quacrcrc nûmeros ^equaUs quorum proJnffus écque-» tur numéro J^êto. Sic & quarrcre rMdîcem cubie^m nihil aliud cflè quam quarrerc très numéros écquMles quorum froduf^us Jit éUtusy Se ùc de carteris. Itaque, poieftatis coiuflib^t refblutio , cft îndagario toridem ntime- rorum îcqaaliutn , quoc exponens poieftatis coniinctvnitaics, quorum produâus xqucturdato numéro -, Poteftatcs enim ipfs nihil aliud fanr quam zqualium numerorum produâii. Sicut cnim in prarcedenii traélatu , egimus de numeri*; qui proda- cunturexmultiplicacione numerorum nacuraliprogredioneproceden- tium , Hc & in hoc de poceftatibus tradlacu , agitur de numeris qui pro> ducunturex mulciplicacione numerorum arqualium. Vifum eft itaque qnamproximos efle ambos hos rrafbatus , 8c nihil elle vicinius , produâo ex xqualibus , quam produdbum ex coniiouis folius vnitatis incremcnto diftèrentibus. Quapropcer poceftatam rcfolutionem generalem, feu froJmilorum tx écquMiibw refolutioncm , non mediocnter proue^ara cireccnfui, cum cam produfforum ex continu/s generalis refolutio pracefTerit. Dato enim numéro, cuius radix cujufuis gradus quîcriiur verbi gra- tia quaeruniur quatuor numcri «quales quorum produdkus x- quecur dato j Si ergo inueniantur ex prxccciente tra£katu , qu^ttuor coo. tinui quorum produârusxquecur dato , quis non vider, iauentamclle radiccm quxdram, cum ea fit vnus ex his quatuor continuis ; Minimus cnim ex his quatuor^ quater fumptus & loties muliiplicatus manifcftc minor eft produdko continuorum, maximus verô ex his quatuor^ qud» ter fumptus ac loties muhiplicatus , manifcftc major cl^ pcoduâo con- tinuorum ; Radix ergo quarfita vnus ex illis eft. Verûm laiet adhoc ipia in niultitudine ; Reliquum eft igitur vc ch'ga* tur, & difcernacur quis ex continuis (âtisfàciac qua:ftioni. Huicperquifitioni nondum forte (àtis incubui, crudam tamen mc- ditaiionero proferam, alias, û digna vidcatur, diligentius claborandam. Generalis Resolvtio. Poftulatum. Hoc «utem prarnotum cfle poftulo j Quae fit radix quadrutd nome- ri, J, nempe, i. Etenim^ i, eji r^Mx maximi quadrati in i. content Sic & qux fit radix cubicA numeti, qui ex multif^Ucatione trium numerorum^ i, j, oritur^ ncmpc, I. Sic & qua: fit radix qudrti gradus numeri, i^^fcilscet qui ex muitiflicatione quatuornumerorum^ 1, 1, 5, 4, oritur ncmpc, 1, & fie de cxteris gradibus. In vnoqaoque cnim pcto nofci radiccm iftius gradus , numeri qui produciiur ex mul- liplicatione tôt numcrorum continuorum ab vniwte quot cxponcns gradus propofiti continet vnitaies. Sic crgo in inueftigatione radicis V. g. decimi gradus , poftulo notam cfTc tadicem iftius ^rr/w/ gradus, numeri 5(»iS8oo, qui produdtur ex multiplicationc decem priorum nu- mcrorum, 1, 1, 5,4,y,<',7, S,9, 10, ncmpc f. Et hoc vno verbo dici poteft. In vnoquoque gradu , poQulo notam efiè radicem idius gradus minimi produâi totidem continuorum quot cxponcns gradus conii> net vnitates \ Minimus cnim produâus continuorum quotlibet> ille elt cuius mulciplicatores ab vnirarc fiimunt exordium. Ncc (ànè molcfta hic petitio cft , in vnoquoque cnim gradu >nittt cantum numeri radiccm fiippono, invulgari autem methodo ,muIto grauius in Ynoquoque gradu, nouent pdorum charaûcrum , potcIU- tes cxiguntur. Notum fit ergo. Produdbi numeroram, i, i, nempe i rad. quadr. efTe» i Produ nempe, 6 rad. cub- cfie x Produûi num. i>2.,3,4, nemp. 14. rad. 4. grad. ellè' % Prod. num. i»i>)>4>f> nempe 110 rad. 5. gr. 1 Prod.n. i>i>5>4>5i^f nem. 710 lad. 6. gr. cdo 4 Pr. n. i»i,5>4»5>^»7> ncm. 5040 tad. 7. gr. efl'c } Probiema. Dato quolibet numéro inuenire radiccm propofitac pote- ftacK maxime qu£ in dato contineatur. Sit datus numerus v. g- 43^5, & inueniend»fit radix grada« v. g, quMni maximi numeri qu^rti gradus feu quadrdto qu/dratt qui ia dato nonicro conrincatur. Inueniantur, éx prxccdcnte tra^Vatu, quatuor numeri continui, auia quMrtus gradus proponiiur, quorum produ6bus fitmaximus eiusipe- citfiouiin 4555 contineatur , fintqueipftj ^,7,S,^- Radix quarfita eft vnus ex his numcns. Vt verè di(cerJiatur> ficpco- cedendum eft. ■ Sumatur ex poftulato radix qttérti gradus numeri qui produdtar « C ij lO NVMERICARVM POTESTATVM mulliplicatione qimtuor priorum numeroium, 1,1,5,4, nemperadix qudiirato-qu*drdta numeri, 14., quared. i \ Tpfc, i, cum minimocon- tinuorum inuentorum C vniiate miniuo i.empc, 5, efficict 7. Hic 7 eft minimus qui radix qiixfita cfl'cpoffit, omnescnim infc- riores func necefïàtio minores radice quxfitâ. lam, iriant^uliis numeri^ 4, qui cxponens eft propofiu gradus quarti nempc lo.diuidatur per ipfum cxponcntem 4, fitquc, quotiens, perfluum iJinifionit non euro ipfe quotiens, i, cum minimo'continuo- rum 6, iundlus, eflicic, 8. Ipfc 8, eft maximus qui radix elfe poflît omnes cnim fuperiores func necedàrio majores radice quzlîtà. Deniq;conftiiuantur m quarto gradu ipfiextremi num.7, 8, nempe, 1401,4c 9<î,necnon & omnes qui inier iplosinterjcili {x^nx^quod^J neraUm methoJum à/i//um Jit^ hic enhn nufft in ter 7 8 interjacent fed in rentoti/Timâ/ ffotejistibus quidam ^ quamnis ferjfattci, continent, Harum poteftatum ,illa quxarqualis eric dato numéro y/* itaeue, niéttyUMX. (altem quar proximc minor eric dato numéro nempe, 409^ fatisfacict problemaii. Radix enim 8 vnde orta eft, ca eft quar quarritur. Sic crgo inftitui poreft &: enuniiauo & generalis conftrudio. Inuenirenumerumqui in gradu propofitoconfticutus ma- ximus fit ei us gradusqui in daco numéro concineacur. Inueniantur ex tradt. pracccd. tôt numeri continuiy quot funt fvnïtates in exponente gradus propo//ti, quorum produSius fit maximus eius fpeciei qui in dato numéro contincatur. Et ajfumpto produEîo totidem continuorum db funitate, inueniatur eius radix gradus propofitiy ex poftulato ipfi radix jungatur ctim minimo continuo- rum iuuentorum ojnitate tninuto , hic eric minimus ex- trcmus. lam triangulus exponentis ordinis per ipfum exponen» tem diuijiis quemlibet prâ^heat quotientem , qui cum mini-- mo continuorum inuentorum iungatur , hic cric maxi* mus cxcrcmus. » tiAmho hi extremi ac numeri inter eos interpofiti in ffradu propofito conflituantur. Harum poteftatum^ ea qu^ dato numéro erit aut aqua^ Geheralis Resolvtio? xi lis aut proxmc mnur/atisfitât problemati, Radixenim fvnde orta efty radix qua^fiu efl. Horum dcmonftrationcm , paratam quidem , fêd prolixam «fi fa- cilcm , acmagis lafdiofam quani vrilcm(upprimimus,adilla, quxplus afïèiunc fiudlus quani laboris, yergentcs. C Si COMBINATIONES DEFJNJTJONES, ^ - . ^fl^aS^^ Ombinationis nomen diuersé à diuerHs vfurpatur , dicanp S//''^^ iuque quo fenfu incelligam. ^lI^^^ Si exponacur multitudo quatuis rerum quarumlibct, ex ^^^^g^mp quibus liccac aliqu'am multitudinecn atTumcre v.g. Ci ex ^uMtuor rcbus pet licceras. A, B, C, D, cxpreffis , liccac 'du4ts quafuis ad libitum adumerc. Singuli modi quibus polTunc eligi éluét difKrrences ex his f »< fit minor fccundo , quartus vnitate major quam tcrtiusj multitudo combinationum primi in tertio, plus mulci- tudinc combinationum fecundi in tertio , acquatur muU titudini combinationum fccundi in quarto. Sine quatuor numeri y t cli«*/practerea. A, B, C, D; Deindeafluman- lur combinationes ynius littcrz in trihus^ B, C, D, ncmpe, B,C, AiFumantur quoqucomnes combinationes tiu^rum litterarum in /r/- hus B, C, D, ncmpe, B C , B D , CD; Dcniquc afliimantur omnes combinationes duarum litterarum in qudtuor ^ A, B, C, D, ncmpc> AB, AC, AD, BC, B D, CD. Dico itaquc, tôt eflècombinationes Jumrum litterarum in quatuor A, B, C, D, quot func dudrummeriius B, C, D, & infupcr quoc ynius in trihus B, C, D. Hoc manifeftum cft ex gencrationc combinationum , combinatio- nes enim Juarum in quatuor formantur partim, ex combinationibiis dtiarum in partim, cx combioationibus >////// in tribus j quod iia euidcns fier. %4 COMBI NATIONS s; Ex combinationibus dudrum in ^//^///or, ncmpe AB, AC, AD BC, B D, C D, quxdam funt in quibus ipfalittera, A, vfurpatur, vt A B , A C, A D ; quzdam quar ipsâ A carcnt vc iftx, B C, B D, C D. Porro , combinationes illat, B C, B D, CD, Judrum in quatuor A, B, C, D, quacipfo A eurent, conftain ex refiduis tribus^ B,C, D, funt ergo combinarioncs ^uarum in tr'ibm B, C, D, igicur combina- tiones dudrum in tribta B> C, D, funt qiloque combinationes dua^ rum in quatuor A, B, C, D, nempe ilU quar carent ipfo A. Illacvetô combinationes A B, A C, A 0, duarum in quatuor A,B^ C, D, in quibus A vfurpatur, fi ipfb A fpolientur , rclinquent refi- duas littcras, B, C, D, quat funt ex tribus litteris B, C, D, funtque combinationes y///W litterx in tribus ^ B, C, D, igitur combinatio- nes >niMd litterar in tribus B, C, D, nempe B, C, D, afcito A, cfE- dunt AB, AC, AD. que condituunt combinationes duarum litce- rarum in quatuor A, B, C, D, in quibus , A, vfurpatur. Igitur combinationes duarum littcrarum in quatuor A, B, C, D» formantur parrim ex combinationibus fnims in tribus ^ B,C, D, par- tim ex combinationibus duarum in tribus^ B, C, D ; Quarc multitu- do primarum arquatur muhitudini reliquarum, C^E. D. Eodem prorfus modo in rcliquis oftendetur excmplis vctbi gratia tôt elfe combin. numeri 19 in 40 quot funt comb. numeri 19 in 39 &infuper quot funt comb. numeri 18 in 59. Quatuor cnim numeri, x8, ip, 59, 40, conditionem requifitam h»- benr. Sic tôt funt comb. numeri \6 in 5^ quot funt comb. numeri 16 in 5; acinfuper quot funt comb. numeri 15 in 55. LmnjA 5. In omni triangulo Arith. fumma ccllularum ferici cujufli. bec , arquatur multirudini combinationum exponencis feriei , in exponentc trianguli. Sit triangulus quilibet v. g. quartMs^ G D > , Dico fummam cel- lularum feriei cujufuis v. g. fecundét 9 f 4 t ^ arquari multitudini combinationum numeri 2, exponcntis /ecunda^ feriei in numéro 4 exponente quarti trianguli. Sic Dico (ummam ccllularum feriei v. g. quintét trianguli v. g. ofîaui acquari multitudini combinationum numeri, 5 in numcro 8,&:c. Qiianuiis infiinti fînt huius propofitionis cafus , fnnr cnim infiniti trianguli, breuitei tamen demonflrabo^ pofiu^ duobus alfumptis. Primo C O M B I NT A T I O K E s: 15 Primo, quod ex fc patec , in frimo tridftgulo eam proportiottem con. tin^t.^ Siimmacnimccllularumvnicxfuaîfericinempe numeruspri- mx'ccllula: G ideftvniras, xquatur multitudini combinationum ex- ponentis fcrieijn exponenre trianguli.hi cnim exponcntcs funt vni- tatcs Vnitas vcrô in vnitace vnico modo ex Umm.x.hums combinatur. StCwnào^Si ea proportio in aLiquo triéin^ulo coutin^^tt , TJeJiJI fum^ nut ceUuUrum tmufcufufcumque feriei triunguli cuju/i/am , tequetur multitudini combinationum exponentis feriei in exponente trian^U "Dico cj- eanJem proportiouem rn trrMM^ulo prgjrimi fequenti contins lere. His afTurapris, facile oftcndcmr in fingulis rriangniis eam proportio- nem comingere,condngicenim in pritro , ex primo fj^Tumpto immè & manifcfta quoque ipfa cil in fecundo iriangulo , crgô ex featndo «ijptmpto ôc in fequend triangulo contingic , quarc & in requend ôcia inEnicum. Totum ergo negorium in fccundi affumpd dcmonftrarione confiftic, quod ira expediccar. Sic triangiilus quilibet v. g. Tertim inquo fupponiturharcpropor- rio, id eft , fummam cellalarum feriei primit G f tr f t arquari mul- titudini combinationum numcri , i, exponentis feriei in numéro, j, exponente trién^li. Summam vero cellularum fecund^t feriei f f 4 zquari multitudini combinationum numen x exponentis fèriei '\x\ nu- méro } exponente trian^li ^ fummam vero cellularum /«"rf/^r /?/■/>/, nempc cellulam , A , arquari combinarionibus numeri 5 exponentis feriei in j exponente trian^li Dicc & eandem proportionem con- tingerc & in fequenti triangulo quarto , id eft, fummam cellularum v. g. fecunda Çctici p f 4 f 5> arquari multitudini combinationum nu- meri I exponentis feriei in numéro 4 exponente trian^li. Etenim p f 4 arquatur multitudini combinationum numeri i in 5 ex hypoth, cellulaverô 9 xc[\JiSiX.\\z ex^neratione trian^uli aritè. cc\- lulis G -f ' t cellulx acquantur ex byp. multitudini com- binationum numeri 1 in 3. Ergoccllulx p t -1- t ^ xquantur multitu- dini combinationum numeri x in 3 plus multiiudine combinationum numeri i in 3, hac autem multitudines xquantur ex quarto temmate huiui multitudini combinationum numeri 2 in 4. Ergo fumma cellu- larum 9 t 4 t ^ xquatur multitudini combinationum numeri 2 in 4. Q^E. D. Idem Lmmd 5. VrohUmmce enunthtum, Datis duobus numeris inaequalibus inuenire in trUnguL arith. quoc modis rainor in majore combinctur. Propofitiiînt duo numeri v. g. 4 & 6, oportcc reperire in triangulo arith. quoc modis 4 combinctur in (S. D 16 COMBINATIONES; Prima wethodw, Summa cellularum ^uart^e Cetici,/èjrff crianguli, fàrisfadt, tf* /r^- ce^. nempe ceUuU D t ^ t F* Ifoceft nitmeri, i f 4 t ^^>A** i;. ^KSo 4 in 6, comhittMtur 15 modis. Secundo, methodus, Cellula quinta^ hzÇ\s fej/timée K, farisfocit, iffi numeri, y, jy/iint proximè majores bù , 4, 6. Etcnim ilia ccUula ncmpe K , feu 15 xquatur fummi ccllulanim quMrt^e Çziicifexti trianguli D f E t F, ex gencraiione. Monitum. In \>zÇ\ /è/>timM funt feptcm cellulx nempe, V, K, />, ç, N, ex quibus f«/>r/*< alRimenda eft ; Potefl: aiirem ipfaduplici modo'af! fumi, funt enimdux bafis cxtrcmitatcs V, t^, fi ergo ab extremo, V inchoaueris,cric, V prima, Q^fecunda, K tcrtia, p qiiana, Ç quinta quaffua. Si verô à f incipias , erit f prima, N fecunda, | tcrtia, p quarta, K quinta quxfita, (unt igitur diiac qu« poflbnc dici, quinte, fcdquoniam ipfjc funtxquc ab extremis rcmotx ,ideoque reciproc», font ipfa: exdem , quarc indi£Fcrenter afluroi alierutia poieft, & ab al ' tcrucrâ bafis excretnitacc inchoari. Mon'itum. lam fatis patet , quam bcne conueniant combinationes & triangulu» arithmeiicus, & ideô, proporriones intcr fcries, aat inter cellulas trian- guli obferuaus , ad combinaiionum rationcs protcndi , vt in fcqucnii- bus vidcreeft. Vrop. I. Duoquilibet numeri, arque combinantur in co quod am- borum aggregatum eft. " Sint duo numeri quilibct, z, 4, quorum aggregatum C Dico, nu- merum 1 toiies combinaii in 6, quotics ipfe 4 m codem G combina- tur, nempe Jinptlos modis \y Jf fc nihil étimd eji qu^m confeff. 4. trian^. aritb. cr potefi èoOno >erho demonftr^ri^ celluixenim reciprocx fiintexdem. Si yerè Mm. fitori demonfirMtione e^re yide^ttur , lnec fatisftaet, Multitudo combinationum numeri i in 6 xquatur ex j lem. firrici yrr*/y4>,trianguliy?.r//ucmpc ccUulis ft^t^tRtSjTeu cellulx COMBINATIONES. ^ ; Sic multitudo quoque combinaiionum numeri 4 in 6 aequatur e.v eoJem feriei quart^t trianguli /r^?// , Ncmpc cellulis D f E t F> ^cu cellular K; ip(a verô K, eft rcciproca ipfius ç, ideoquc ipfi xqualis, quare& multitudo combinationum numeri i in 6, xquacur niultitu- dini combinationum numeri 4 in G. Q^E. D. CoYoU» Ergo omnis numerus totics combinatur in proximc ma- jori, quot funtvnitaccs in ipfomajori. Vetbi gratia numerus 6, in 7 combinatur fefties , & 4 in 5 quin- quiest &c. Ambo cnim numeri, i, 6, xquè combinantur in aggregato corum 7, ex propr. bac^ i. Sed, i in 7 combinatur fcptics,«'^^'"'w- J- Igitur 6 iay combinatur quoque fepties. Prop, 1, Si duo numeri combinentur in numéro quod amborum aggregatumeft vnitaceminutOi Multitudincs combina- tionum eruntinter fe, vc ipfi numeri reciprocc. JiToc nihil aliud eji quAm confeff. 17. tritin^. ttrith. Sine duo quilibet numeri, ^ 5, c^uorum fumma 8, vnitate minuta eft 7; Dico , multitudinem combinationum numeri j in 7, elle admulti- tudinem combinationum numeri 5 in 7, vt, 5 ad j. Multitudo enim combinaiionum numeri 5 in 7, xquaturji'jr yUm, tertU feriei, /?/r/W trianguli ariih. nerope A f B f C t * t 55* Multitudo autem'combinationum numeri y in 7,xquatur, ex codem^ quintét feriei, eiufdem feptimi trianguli, nempc H f t ^» ^"^^ in triangulo autem feptimo , feries quinu Se tertU funt inter fe vt 5 ad j, confe?^. 17. triMBg. arith. aggregatum enim exponentium feriç-» rum 5, ) nempc S, zquatuc exponenti trianguli 7 vnitaïc au^o. Prof, 3. Si numerus combinetur , primà in numéro qui fui dufltts eft , dcuide in ipfomcc numéro âuplo vniratc minuro, prima combinationum multitudo, fecunda: dupla erit. If oc nihil mliud ejl quAm confié/, 10. triéinp 4tr^h. Sit numerus quilibet 5, cuius duplus , 6, qui vnitate minutus eft y. Dico muIciiuHmem combinarionum numeri j in 6, duplam elTe rouU titudinis combinationum numeri 5 in j. Tojpm ynoyerhodicere omnis enim celluîa diuidcntis dupla eft pra:- cçdentis corradicalis /ic éiutem dcmonjiro, D ij l8 COMBINATIONES. Multicudocnim combinacionua) nuincri 5 in 6,2qaatur ex ^.ïem, cellulx 4, baûs yjnempc f,fem lo, qurquidcm p, médium ba(îs oc- cupât locum , quod inde pro^* lemm. y. hoc eft ccUular ^, feu i j. Sed, ex eodem, multitudo combinationum eiafdetn z in 5, «quatiirfumma: cellularum fèriei z, trianguli 5, nempe ^t'4't^tR>>^ cellulz «, feu 10 ; eft autem cellula ^ ad «v, vt (> ad 4, hoc eft vt 6 ad 6-1, ex 15 confèft. triang. ariih. Trop, 5. Si duo numeri proximî, in alio quolibet combincntur, cric multitudo combinationum minoris , ad alreram , vt ma- jor numcrus combinatus , ad numcrum in quo anibo combmati fuDtdempto minore numéro combinato. Sint duo quilibet numeri proxinai, 3, 4, & alius quihbet C -^ Dico multitudinem combinationum jwmor// 5 in 6, die ad multitudinem combinationum mdjorù 4 iu 6, vt 4, ad G — 5. Ifxc eu m II. conjecî. tr. anth, conuenu iy* Jtc ofiendetur. Multitudo enim combinationum numeri 5 in 6, xquatur, ex lemm. 5 Summa: cellularum feiici 5, trianguli 6, nempe, A •}• B t ^ t lêu ccUul* f , feu zo. Multitude vcro combiuanonumimmcri 4iu<>, OMBI>ÏA*riOKKS. •irtinanir , ex eodcm , fummx ccllularam feriei 4> trianguli (J, nempe D 1i h cellulx K.feu ly. cftaulcm p ad K, 714 ad 5, feu 7:4. «d 6 — 5. ex confcit. ii. tr.arith. Prop. C. Si fint duonumeriquilibetquorumminorinmajorecom- binetur , fine autem Ôcalij duo bis proximc majores quo- rum minor in majore quoque combinetur,erunt muJ- titudincs combinationum inccr fc , vc hi ambo vlcinii numeri. Sine duo quij^ecnutTKri, 1,4, ftlij rerô bis proxiinè majores, ^, 5; Dico mulcitudinem combinationum numeri i in 4, elFe ad mulcicudi- Jîcra combinadonom niumeri 3 in 5, vi 5, ad 5. Confeâ. li, trUffg. 4iritk. héinc cont 'mtt fi^ démon fh^tnr, Multicudo enim combinationum ipfîus i in 4, zquacur,cx lemm. <, fummaccellularum (eriei 1, trianguli 4, nempe ? t 4 t fcucel- «qIxC, feu d i Mulritudo vero combinationum numeri j in j, a:qua- tur,€X codem, iûmmr cclluiarum feriei j, trianguli 5, nempe A t B f C, feu cellulx F, feu lo; Eft autem C ad F, vt 3 ad ^, ex \x confe£t. triang. arith. LmmA c. Summa omnium cclluiarum bafis triang. cuinflibet arith- mctici vnicacc minuta , çquatur fummç omnium com- binationum quç fîeri po(Uint in numéro qui proximè minor eft quam expoucns haCis, Sii tciangulus quilibetarithmeticus v. g. fjritt/u/ GH fjt, Dico (iim- mam cclluiarum fuat bafis HfEtC-tRtf*» niinus vnitatc ,/?/s» m/ffMf tna ex extremis H W (jl xquari fumma: omnium combioa- lionum qux fîeri poflunt in numéro 4 qui proximc minor cft quam exponens bafis , 5. Id eft. Dico fummam cclluiarum R t C t E t H- Supprima enim extremam fx ,^id cft 4 j" 6 f 4 •{- i , feu ly j arquari nnilritudini combinationum numeri 1 in 4, nempe 4 i Plus multitu- dine combinationum numeri i in 4^ ncmpc 6^Plus multitudine com- binarionnm niuneri 3 in 4, nempe 4 -, Plus multitudine combinatio- num numeri 4 in 4, nempe 1. eS^ir quidem /unt omnes combinatio- ncs qnécfieri pojfunt in ^^fttperiores enim numeri , j, 6, 7, t^c, non comhtnétntuT'in numéro 4. mAjor enim numerus in minore non com- èinatur. Multitudo enim combinationum numeri i in 4, a;quatur, ex 5. !em. cellulx X, bafis 5, ncmpc R, fcn 4. Muîikudo veto combinationum D iij JO COMBINATIONES. numeri x in 4, arquatur cellul«e 3, baHs 5, nempe C, feu 6. Multitu- do quoque combinationum numeri 3 in 4, zquacur ccUulx 4, bafis 5, nempe E, feu 4. Multitude denique combinationum numeri 4 in 4, zquacur celiulx 5, bafis 5, nempe H, feu i. Igiturfumma cellularutn baHs quintte Acm^xa extremj feu vnicace, xquatur (ummzomniuna combinarionum qux poilunc fieri in 4. Prop, 7. Summa omnium combinationum quïcficri poiTunt in nu- méro quolibet vnitatc aucla, eft numerus progrcfTionis duplz qu£ ab vnitate fumit exordium , quippe ilie cu- ius exponens eft numerus proximè major^uam dacus, « Sic numerus quilibet r. g. 4. Dicofummam omnium combinatio- num quz fieri poifunc in 4 nempe 15 vnicace auc^am nempe \6, elle numerum quintum ( nempe proximè majocem quam quitrtym ) pro- grcflîonis duplx qux ab vnitate fumic exordium. If oc nihil aliud efi quam 7 conjeé/. trittng, arith. C^Jtc yno *ferho Jemonjhrari poj^t , omnis enim bafis eft numerus progreflîonis duplx, yîr mm en Jemonfiro. Summa enim combinarionum omnium qux fieri podunc in 4 vnita- te auûa , xquacur, ex lem. G. fummx ccllularum bafis quintét^ ipfâ ve- rô bafis eft quintus numerus progrefTîonis duplx qux ab vniiace fumic exordium, ex 7. confcéi, criang. ariih. Prop. 8. Summa omnium combinationum qusc fieri poflunt in nu- méro quolibet vnitate auéla , dupla eft (ummac omnium combinationum quîE fieri pofTunt in numéro proximè minori vnitate auâa:. Ifoc comtenit citm 6 confe^. triang. étritb. nemjfc omnis bafis du- pla eft prxcedcntis, /Tr rfw/f/w oJlcHiienius. Sine duo numeri proximi 4, j,dico fummam combinAtionum qux fieri pofiunc in 5 nempe 31 vnitate auftam nempe 51, elFeduplam fijm- mx combinationum qux fieri poflùnt in 4 nempe vnicace au£lx nempe 16. Summa enim combinationum qnx fieri roHunt in 5 vnicace audla, xquacur , ex prxced. /exto numéro progrenîonis duplx. Summa verô combinarionum qux fieri pofTanc in 4 vnicace audta,xquaiur, ex câ- ècvn^quinro numéro nrogrcfliionis dup!x. «^r-r/z/j aucem nunn cru* pro- greflîonis duplx , duplus eft ptoxiniC prxccdcniis ucni|)e quints* C O M B I N X T I O N E S.^ 1% Trop» 9 . ^umma omnium combinationum qua: fieri po/Tuntin quo- uis numéro vnitate minuta , dupla cft fumma: combina- tionum qux fîeri poflunt in numéro proximc minori. jfi^r cum pr^ecedente omnino connenit. Sint duo numeri proximi 4, 5, Dico fummam omnium combinatio- num qui ficri pollùnt in 5, nempe 31, vnicace minutam nempe jo , elle duplam omnium combinationum qnac fieri pofTuni in 4 nempe ij. Etenim f.r/>r<^rry. fumma combinat, quzfiunt in 5 vnitate auAa, dupla cft fummac combinationum qui fiunt in 4 vnitaïc fi ergo ex mînori fummâ auFeratur vnitas , & ex JupU fummJ auferancur duz vnitatcs, reliquum fummx JupI^ ncvnfc/untntM cx>ml>tnAtionnm qu^ ^unt in 5 ^nitétte minute , rcmanebit dupU refidui alterius funims nempc fummx a>mh(nationum qu^e fiunt in 4. Frop, 10. Summa omnium combinationum qux fieri poffunt in q uo- libet numéro minuta ipfomet numéro , acquatur fumma: fjmnium combinationum qua: fieri polTunc in fingulis numeris propofito minoribus. Iftte cum 8 confe^. tr. étrith. concurrit qutt fie bAhet ^ bafis quxli- bet vnitate rainuu,arquatur fummx omnium praccedeutium. Sic au^ tem oftend». Sit numerns quilibet 5. Dico fummam omnium combinationum qua: polTunt fieri in y nempe 31 ipfo j minutam nempc 16 , arquaii iummx omnium combinationum quac polliint fieri in 4 nempe 15^ Plus fummâ omnium quac poflunt fieri in 5 nempe 7, Plus lummà omnium quarpolluni fieri in i nempe 5^ Pluscâ quxpotcft fieri in 1 nempe i, quarum aggrcgatus cft i6. Etenim, Proprium numerorum huius progreflfîonis dupla: illud eft, vt quilibet ex ipfis v. g. fcxtus }i, exponcnic (uo minuius nempc 6, id cil 16, xquetur fummi inferiorum numerorum huius progrefllîonis, nempc i6tSt4titï vnitate minutorum nempe, 15 t 7 t } t » t © nempe, x6. Vndcfacilis cil demonftraiio huius ptopoiiuonii. Problema i. Dato quouis numéro , inucnirc fummam omnium combi- nationum quîc in ipfo rieripofTunr. ^bfquctrian^. arith. }1 CoMBINÏTIONES^ Kumerta progrcjfiom diipU qu£ ah fvnitate Jumit ex2 ordium cu 'm exponens froximè major eftquayyi numerus ddtuSffittsfAâetproblewatij modh 'vmtate minuatUK Sic numerus datus v. g. j. quxncur fumma omnium combiiudonum quz in y ficri poiTunc Numerus progreflîonis^iuplz quac ab vnitacc indpit nempe 31 vnitaïc minutus nempe ji dnsùidi, ex 1cm. 6. crgopoflumficri 31 combinationes in numéro 5. Problewa i.' Datis duobus numcris inçqualibus, inuenirc quot modis minor in majore combinetur. u4bfque trùznguharith. If oc efi fropriè fltimum TroiletUét tra^Iatut tridn^. aritè. ^uod /te refoluo. ProduSïus mmeromm qui pra^cedunt differentUm do- torum funitate auSiam ^ diuidatproduSîum totideninume- YOYum cont'muoYum quorum prtmus fit minor datorum *vniute auHus^ quotiens efi qu^fitui. Sine daci numeri 1, 6^ Oporcec inuenire quotmodis i combinetur in 6. ArTumacur eorum differentia 4 quz vnirateaudla efl 5- Tnm afTuman- tur omnes numeri qui prarccdunt ipfum 5, nempe, 1, 1, 3, 4, quorum produdtus fie 14. AlFumancur cotidem numeri coniinui quorum pri- mus fit ) , nemfe frojeimè m^ijor quant i qui minor eff cjc éimbobus nempe, 5, 4, y, 6, quorum produdlus 560, diuidatur per prarce- dencem produûuni 14. Quotiens ij eft numerus quarfitus. tnermt 2, combinetur in 6, modit ij diffcrentibma^ Nec difEcilis demonftraiio. Si enim quxratur in iriangulo arithme- tico quot modis z combinetur in 6, aHumenda efi ceiiuU 3, bafis 7, ex lemm. 5, nempe cellula |. 5t ipfius numerus cxponet mulcicudineni combinationum numeri z in C. Vtautcm inueniacur numerus cellular ^ cuiusradixeft 5,&exponcns feriei 5,oportet<'.r/'rc^/. triang^nrith. yt produÛM numerorum qui pr^ccdunt y, diuidat froduÛ/tm totU dcm numerorum continuorum quorum primm Jit |, quotieas e^it numerms cellulit Sed idem diuifor ac idem diuidcndus in conftru- ûione huius propofitus eft , quare &: eundem quotientcm foriica cft di- mfio,ergô in hâcconftrudkione repertus cft numerus cellular quarc & cxponens multitudinis combinaiionum numeri z in <5, quar qu*- icbaiur. Q^. F.E.D. I COMBINATIONES.' 33 Monitum. Hoc problemate tradlarum hune abfbluere conftitueram , non ta- men omninô fine molcftiâ, cùm multaalia parata habeam, fed vbi unta vberras vi modcranda eft famés, his ergo pauca hîcc fubijciam. Eruditiflimus acmihichanfîîmus. D. D. DeGanicres, circa combi- nadones , adidiio ac perutili labore, more fuo,incumbens , ac indigcns facili conftrudione ad inucniendum quoties numcrus dacus in alio da- te combinetur , hanc ipfe fibi praxim inftituit. "DMtù numeris >. ^. i, (î, inuenire quot mod/s i, comhittctur in 6, t^JJuntéttur inquic progrejfio duorum terminorum c^\7i minor nil- merus eft i incbottndo À majore 6, ne retroffrediendo ^feu detrabendo >Hieatem ex "^tnoquoque termine , boc modo, 6, j ; 7>eJnde ajfumatur altéra pro^ejsio incboando ab ip/b minore i étc Jim ils ter retro^edien» do bocmodo 1, 1. Multiplicentur inuicemnumeri primét fro^ej^ionù^ C^^^fitque produSins 30. J^iultiplicentur numerijeatnd^e progref- JtoniSy 2, \^/itque productif 1. Diuidstur major froduflus fer mino~ rem , ^uctiem efl qu^Jitm. Excellentem hanc folutionem ipfe mihi oftendic,acetiamdemon- ftrandam propofuit,ipfam ego (âne rairatus fum/ed difiïculcate territus vix opus fufcepi, & ipfi authori relinqucndum exiftimaui-, Accaroen trianguli arithmetici auxilio, fie procliuis fadbi eft via. In; lemm.huiusjoftendinumerum cellulac ?, exponere raultitiidi- netn combinacionum numerixin <>, quare ipfius reciproca cellulaK eundem numerum continebic. Verùm^ celluU ipfa K efi quotiens di^ uiftonit in qud produSÎMO^ numerorum \, x, qui préecedunt^ radicem celluléC K, diuidtt produffum tôt idem numerorum continuorum quo~ rumprimud efi j exponens feriei celluUe Y^^nempe numerorum ^, G. Scd ille diuifor ac diuidendus fiint ijdetn ac illi qui in conftruélione amici funt propofiti , igitur eundem quotientem lortitur diuifio , quare ipfe exponicmulcicudinem combinaùonum numcri i in 6, quz quzreba- lur. Q^E. D. Hac demonftrationea(Têcucâ,jam reliqua quaeinuicus fapprimebaov libenter omicco , adeo dulcc eft amicorum meroorari. J4 POTESTATVM NvMERICARVM POTESTATVM NVMERICARVM S V M M A. M 0 N J T y M, AtUy ab ajnUAtey quotcunque numeru contu nuUy i> 2,, 3, 4, inuenire Jummamqua^ dratorum eomm, nenipe 1 t 4 t 9 t i^W^/ 30, tr(tdïderunt ^eteres -, imo etkm (gf- fummxmcu. borum eormdem, ad reliquas fi'erà potefiates non pro^ traxerunt Juas methodos , hU Jolummodb gradibta pro^ prias. Hic auiem exhibetur, non folùtn Jumma quadra^ torum, ^ cuborum , /èd ^ quadrato quadrdtorumy ^ re- lïqwimm in infinitum poteftAtum. Et nonfolum à rddid^ bus ah ^nitate contïnuisy fed à quolibet numéro tnitium Jumentibus, ad qiiamiibet confticuacur poceftatcm vt ad quartum gradum , cujus hzc de exponiio, A* t II, A' t î4. A' t 108, A t 8i. Ip(î numcri, ii^ 54, 108, per quos ipfe A multiplicatur in fîngulis gradibus,quique parcim ex numeris figuran5,partim ex numéro j, qui oinomij c(l fecundum nomen > formantur, vocabumuc Coe^cientts ipfîus A. Eric crgo in hoc exemple ^ ix coefJÇciens A cubi, ic 54 coe^ciens A quadrati , te. ic8 coe/Jîciens A radicis. Numcrus vcrô 81 numerm abfoltttut dicctar. LemmA, Sic radix quarlibet, 14 j alcera tciô fit binomium 14 1 3 cu^'^s pri- mum nomen fit 14 , alcerum verô alius quilibet numéros 3, ita vt ha- rum radicum, 14, & 14 f diffèrentia fit }. Conftituaniur ipfx in quo- libet gradu vt in quarto, ergo quartus gradus radicis 14 eft 14*. Quar- tus verô gradus binomij, 14 f j, eft, 14* t II, 14' t 54> H' t 108, 14 t 81 Cttjus qnidem hirtomif frimum nomen 14, eofdem coej^cientes/ortitur in Jingutis praJibus^ quos A fortitmt eft in Jimilibus ^^dibus in expo~ fitione einpiem gfndtts binom^ A t 5, quod ftttioni confentéineum eft^ harum verô potcftaium,nempehuius 14* & huius 14* f iz, 14' 1 54» 14* t »cS, 14 1 Si, differcntia eft, u, 14' t Î4» >4' t 108,14 f 81 quac quidem conftat Primô,ex radice 14 conftitutâ in fingulisgradibus propofito gradui quarto inferioribus,nempein tertio in/ecundoôcin frimo^ ÔC in vnoquoque multiplicaiâ per coefficientes auos A fortitur in fimilibus gradius , in expohtionc eiufdem gradus binomij A t î • ^6 POTESTATVM NvMERICARVM Deinde, ex ipfo numéro, j ^/// eji tUff'erentU r^tJ/cum conftituto ih propodto quarto gradu, numertu enim ahfolutus 8l eji qudrtus ^d- Jus radiât 3. Hinc igiiur elicictuc Carton ijte. Duarum fimilium potcftatum difFerentia, aquatur ^ difFe- rcntiac radicum confticuca: in eodem gradu in quo Tune poteftatesproporita: i PUu minori radice conftitutaia llngulis gradibus propofito gradui infcrioribus ac in v- noquoquemultiplicatl per coefficientes quos A forti- rerurinfimilibusgradibui, fi binomium cuius primum nomcn cflct A, alcerum vero cflTet difFerentia radicum, confticucretur in cadem potcftatepropofita. Sic ergo difFerentia intcr 14* & 1 1 crit iz, n f 5+> » i '» t ïoS, 11, t 81. DiflTercnria enim radicum cft 3. Ec fie de cxteris. Ad JummAm Voteftxtum cujujlïbet progreJponU ime- niendam ^umca a,c generdU methodns. DAds quotcunque numeris, in qualibet progreflione, à quouis numéro inchoance , inuenire quarumuis poteftacum eorum fummam. ^ilibet numerus, 5, fit mitiumprogreffionu qu£ per incrementum aijufùïs numerï ^erhi gratta tcrnarii pro- cedat , in eâ progrejfwne dati fint quotlibet numeri njerbigratia ifii^ 5, S, 11, lA^qui omnes in quâtufique potcftate conftituantur fvt in tertio gradu fin cubo. O por- te t inuenire fummam homm cuboru?n , ne?npe^ 5,' *}■ 8,' Cubiilli funt 115 t 51^ t ^53^ t 2.744, quorum fumma cft 4712. quse quxritur & fie inucnitur. Exponatur binomium ^ t 3 ^^^f^ primum nomen fit A y alterum njerh fit numerus 3 qui efl differentia pro- greJfionU. Conftituatur binomium hoc A t 3 in gradu quarto :> V M M A. 57 qui proximè Juperior eftpropofito tertio /itque hxc eifu expojîtio j A* t 121, t 54> A' t io8 A t 8i la,m aJfumAtur numerus 1 7 ^«/ in progrejjlone propo^ fitti pYoximè fcquitur fvltïmum progreffionu terminum dattim 14. Et confiituto ipjb 17 in eodem gmdu quarto nempcy 85511, aufcrantur ab eo, h^c Primhj'umma numerorum propo/ttorumi 5 j- 8 f 1 1 1 14, nempe 38 multiplicata per tmmertm 108, qtii eft coefficiens ipfius A radicU. Secundo ^fumma, quadmtorum eomndem numerorum, 5, 8, II, 1 4, multiplient A per numerum 54 qui efl coef- ficiens Ai qmdrAti, Et ficdcinccpsproccdcndiim effet fi fupereffcnt gradus alij infcriores ipfigradui tertio qui propoft- tus eft. Deinde, auferAtur primus terminus propofitus 5 /«quarto grndu conftituttés, Denique,tf«^r4/wrnumerus 3 quieft differentia progreflionis in eodem quarto confiitutM, ac to- ties fimptttsy quot Jùnt numeri propofiti ^ nempe qua- ter /« hoc exemplo. Kefiduumy erit multiple x/iimm^ quot fit£ y eamque to- tics continehit, c[Uoncs numeruf 12. qui eji coefficiens ip- (tus A cubiy/eu A in gradu tertio propofito commet nitAtem, Si ergoacJ pr^tjeim mcihodus reducatur, numerus 17 conftitucndus eft in 4 gradu , nempe Sjjii , & ab co hacc auferenda funt. Trimo^ fumma numerorum propofiiorum , j j- 8 f 11 t H nempe 38, muhiplicata per ic8, vnde oncur produdkus 4104. _ Deindejfumma quadratorum numerorum propoficorum id eft, j,' \ S,' t t «4»' nempe, 15 f ^^4 t t »5>6^ quorum lumma eft 406, qux muliiplicata per ^4 cfficit 11914. £ iij POTESTATVKf NvMERICARVM Dcinceps aufercndus eft numerus 5 m quarto gradu nempc, tfi;. Denique aufercndus eft numerus j in quarto gradunempe 8i,y«<*- ter fumptus nempc 314. Numeri ergo auferendi, illi funt, 4104, 11914, (îif, 314-, quorum fumma eft, 16977, quac ablata à numéro, 85511, fupereft 56544. Hoc ergo rejîduum continebit fummam quifitam nempc, 4711, mul- tiplicatam pcr, ii; fiCDrofedo, 4711 pcr 11 multiplicara cfficir, 56544. Paradigma facile eft conftruere, hoc autcm fie dcmonftrabitur. Etenim, numerus 17 in 4 gradu conftitutus qui quidcm ficexprimi- tur, 17.* xquatur. 17* — 14,* f 14» — -j- — 8,* t 8 W5*t î'- Solus cnim 17 ^Jt^mm a^rméttionét foLum fortitur reliqui étutem f^mtMtttur ¥tc negantur. Sed difFerentia radicum, 17, 14, eft 5, cademque eft diflfèrentia ra- dicum 14, II, cademque radicum 11, S, ac eciam radicuoi, 8, 5. Igitur ex prxroifto lemmate. 17* — H* acquatur 11, 14' f 54, 14' \ 108, 14 t Si Sic 144 — II* xquatnr 11, 1 1 ' t 54, iT -f 108, 11 t 81 Sic — S* xquatur u, 8' t 54, 8" f loS, 8 f 81 Sic 8^— j*«quatur u, 5 ' t 54, 5'tïo8, 5 t 81 Non interpretor 5 4. Igitur 17 *> arquatur his omnibus. »4' t 54, 14' t 108, 14 t 81 t 11, 11 ' t 54, ir t Ï08. II t 81 tu, 8» t 54, 8» t 108, 8t«i t 5 ' t 54, 5 ' t ic8, / t 81 t 5*. Hoc eft ntutétto ordine. 174 arquatur his 5 t 8 t t '4 multiphcatis per 108 t 5' t 8* t t h' multiphcatis per 54 t 5' t 8' t t ï4' muliiplicatis per ii t 81 t 81 t Si t 81 t 5*-. Ablatis vndique his J 1 8 f II t 14 mulriplicatîs pcr loS t 5' t 8' t II» t 14* multiplicatis per 54 t 81 t Si t 81 t 81 t * Remanet 17 * minus his ncmpe, ^y — 8 — Il — 14 multiplicatis per ic8 « — 5 — 8 * —Il * — 14 * multiplicatis pcr 54 — 8i_Si — 81—81 — 54. xquaiis t 8' t t H' mulriplicatis per 12. Q^E. D. s V M M Ar 39 Sic ergo polcft inftitui cnuniiano & generalis conftni£bio. SummcL Poteftutum. DAtis quotcunque numcris,in quâlibctprogre/Iîone, à quouis numéro initum rumence,iDucnire iummam quarumuis potcftatum eoruiia. Expomtur binomium^ cuiuspYÏmumnomen ftt A, dL terum ^ero fit numerus qui differentia, progrejfionU efl, ^ confihuaturhoc binvmium in gradu qui proximè lupc- rior efl guduï pYopofito i (gr in expofitionepoteftAtUeius notentur cocfEcicntcs quos A finitur in finffilUgra.- dîhw. ConflituntUY in eodem gradu fupcriori numerus qui in ea^dem progreffione propofitâ proximè Icquitur vltimum progreffionis terminum propofitum. Et ab eo aufcrantur hac. Primo, primus terminus progrefftonié datus, Jeu mi- n/mus numerus datorum in eodem fupcriori gradu con^ flitutus. Secundo .numerus qui difFcrcntia cftprogreflionis in eodem fupcriori gradu conjiitutus, ac totics Jùmptus quot fitnt termini dati. Tertio, auferantur ÇiVigwW numcri dm , in fingulis gradibus propofito gra,dui infcrioribus conflituti , ac in fvnoquoque gradu multiplkati per jam notacos cocfïî- cicntcs quos A fortitur in ijfdem gradibus in expofitio- nehuius fupcriorrs^y^^/tfJ bimmij primh ajfumpti. Rcliquum eft multiplex JummA qu^fitte^ eamque lo- ties cantines quoties cocfficicns^«^w ^ in gradu ^xo- pofito fortitur continet ^unitatem. '40 POTESTATVM NVMERICAR VM Monitum. Praxes jam particulares fibi quifque pro genio fuppeditabit, vetbi graiia. Si quxris fummam quotlibec numerorum progreffionis natu- ralis à quolibet incboaniis hic> ex methodo gencrali, elicietur Cancn^ \ In progreflîone naturalià quouis numéro inchoante, dif- férencia incer quadracum minimi cerinini& quadracum numeriquiproximè major eft vltimo termine, minuta numéro qui exponic multitudinem , dupla eft aggregati ex omnibus. Sincquotlibet numcri naturali progreflîone continui, quoruna prî- mus fie ad libitum, v.g. yu^tuor ifti 6, 7, 8. Dico. 5) * — 5 4 xquari 5 t 9 t 7 t 8. Similes canones & reliquarum poteftatum fiimmis inueniendis Zc reliquis progreQionibus facile apiabuniur, quos quifquc fibi com- parée. Conclufio, Quantûm hxc notitia ad (patiorum curuilineorum dimenfiones con- férât , (àtis norunt qui in indiuifibilium do(f!lnnâ tantifper verfati funt. Omnes enim omnium generum Parabola: illico quadrantur, & alia in- numera facillimc menmrantur. Si ergoilla^quxhac methodo in numeris reperimus» ad quantita- cem continuam applicare libet, hi poilunt infiitui canones. CAfiones Ad mturdem progrefjîonem qu£ ab fvnitate Jtimït exordtum, Summa Iinearum,eftadquadratummaxima:, vc i ad i Summaquadratorum eft ad cubum maximz vt i ad 5 Summa cuborum eft ad 4 gradum maximz vc i ad 4. CAnon gemrdU ad progrejjlonem na.tuYa.lem qua ab tunitate Jumit exordium, Summa omnium in quolibet gradu , eft ad maximam in proximè fuperiori gradu, vt vnitas, ad exponcntem fu^ perioris gradus. Non de Reliquis dilTeram quia Me locqs non eft> hzc obiter notaui, rcliqua. s V M M A. 4r rcliqua facili negotio pcnetrantur , co pofico principio , in continu J quantité y quotltbct qtt/intitates cujufurs gcreris quantitéiti fmperiorit ^nerù itddita4 ; nihil ei fuperéidderc. Sic pun^a lineis,linex fupcrfi- cicbus; fuperficics folidis, nihil adijciunc,fcu,>r numericttf in numerico traSJatn^ >erbu yur^ Radiccs quadraiis, quadrata cubis, cubi quadra- to-^^^^* ^^^^^^^^^^^^^ DE NVMERIS MVLTIPLICIBVS £x fola charaftcrum numcricorum additionc agnofccndis. MO niTVM, Ihil tritius eft apud arithmeticos,quàm numéros , nume- ri 9 mulciplices>con(larecharaâeribus, quorum aggre- gatumeft quoque ipfius 9 multiplex. Sienimipfius v.g. dupli, 18, chara(5beies numericos, i, -j-S, jungas, aggrc- gatum erit 9. Ira vt ex folâ addidone chara^lerum nurnc* ricorum numeri cujuflibet,liceatagnorcere,vrrum fit ipfius 9 multi- plex, v.g. fi numeri, 1719 charadkeres numericos jungas , 1 t7t ^ t9» aggregatum 18 eft ipfius 9 multiplex , vnde ceriô colligitur y& ipfiim 1719 eiufdem 9 efle multipliccm , vulgatafanè illa obferuatioeft, vc- rùm cius demonftratio à neminc quod fciam data eft , nec ipfâ notio vl- teriùs proucâra. In hoc autem Traâatulo non folùm iftius fed&va- riarum aliarum obferuationum gencralidîmam deraonftrarionem dedi, ac methodum vniuerfàlem agnofcendi ex fola additionc charaderum numericorum propofiti cujufuis numeii, vtrum ille fit alcerius propo- fiti numeri multiplex -, Et non folùm in progrefTione dçnariâ , quà nu- meraiio noftra procedit, ( denaria enim ex inftiiuro hominum, non ex neceflîtaie naturac vt vulgtis arbitratur) & fimc latis niepte pofita eft. Sed in quâcunquc progrelfione inftiiuacur numeratio , non fallet hîc iradiu methodus, vt in paucis mox vidcbitur paginis. Fropofitio fvnica. Agnofccre ex fola additionc characSterum dati cujuflibct numeri, an ipfenc alcerius daci numeri multiplex. Vt h«c fblutio fiai generalis , litteris vtemur vice numerorum. Sit crgo diuifor , numcrus quihbcc cxprellus pcr iiiteram diuidcndus MVLTIPLICIBVS.' 4Î autem , numerus exprefTus per litteras T V N M , quarum vltima M cxprimic numerum quemlibet in vnitatum columnâ collocatum ; N, verô , numerum quemlibet in denariorum columna-, V, numerum quemlibet in columnâ centenariorum-, T, autem numerum quemlibet in columna millenariorum , & ficdeincepsininfinitum : ira vt fi litte- ras in numéros conuerterevelis,aflumerepoflîs loco ipfius, M, quem- libet ex nouera primis charaderibus verbi gratia 4, loco N quemli- bet numerum vt 5 , loco V quemlibet numerum vt, j i & loco T, quembbet numerum vt <> j & collocando fingulos illos charaderes numeticos in propria columna; prout collocatac fiint littcrac quac illos exprimunt , proueniet hic numerus ,6554, diuifor autem A erit nu- merus quilibet vt 7. Miflis autem peculiaribus his exemplis generali ifta enunciationeomnia amplc I, z, 3, 4, 5, &c. fubfcnbo, i, fub i. 613154(^151 Ex ynitate decies fiimpta, feu ex 10 aufcroy quoties poteft, fupereft 3 quem pono fiib 1^ Ex 3 decies fumpto, (eu ex 30 aufero 7 quoties poteft, fijpereft % quem pono fub 3, £x io aufero 7 quoties poteft, lupetcft 6 & pono fub 4, M V L T I P L î C I B V s. [4 5 Ex 60 aufcro 7 quoties potcft , fnpercft 4 & pono fub 5, Ex 40 aufcro 7 quotics poteft, fupereft 5 & pono fub 6, Ex 50 aufero 7 quocies poteft, fupereft i &c pono fub 7, Ex 10 aufcro 7 quotics poteft, & redit 3 & pono fub 8, Ex }o, aufero 7 quotics poteft, & redit x & pono fub 9, Et de redit feries numerorum, 1, ^, 1, (ï, 4, 5, in infuiicum. lam proponatur numerus quilibet, 1S7541178, , De quo quarritur vtrum cxadc diuidatur per 7 hoc fie agnofceiur. Sumatur /ème/ eius charafter qui primus eft à dcxtri ad finiftram nempe S primo enim numéro feriei continuée fubiaccf>9tt$ttts Quare ponatur ille, 8, primus charadler femel 8 Sccundus, qui eft 7, ter fumatur, feu per j multiplicctur,. Jecundo enim numéro firiei fuh 'tMcet 3, Htque produdlus U. Tcrtius his fumatur , fubUcet e»i/rt X ij>fi 5, quare tertius charafler qui eft i per i mulciplicatus fît x: Quartus eadem raiione per (S muliiplicatus ix: Quintus per 4 multiplicatus \G'. Sextus per 5 multiplicatus 15: Sepiimus femelyfeptimo enim fuiidcet i, 7: Oâauus , ter fumptas X4: Nonus bis fumptus 4; Et fie deinccps fi fupercfTent. lungantur hi numcri 119 Si ipfeaggregatus, 119, eft multiplexipfius 7, numerus quoqucpro- pofitus, x87î4xi7 8, eiufdem 7, multiplex crir. Poteft autemdignofci eadem methodo, vtrum ipfc 119 fit multiplex 7 fcilicet, fumendo femel primum charaâ:ercm 9: fccundum chara<îterem ter 5: & przccdeniem bis 1: Si enim fumma 14 eft multiplex 7 erit& 119 eiufdem multiplex- Sed & fi, curiofitate potius quam neccfïîtate moti, velimus agnof- cere vtrum 14 fit multiplex 7 fumatur charadker vltimus Icmel 4: & przcedcns ter 3: 7- Si fumma eft multiplexipfius 7 crit & 14 muiuplex 7, quare &i4,flt 119, X8754X178. Vis agnofcerc quinam numcri diuidantur per 6. Sciiptis, vt fzpius di(flum eft, numeris nacuialibus i>x,3,4,5, &c. & 1 fub, \, pcfito Sec. 45x1 &c. 4441 F iij 4^ DeNvmeris Ex lo aufer C reliquum 4, fub 1 ponito Ex 40 aufer 6 reliquum 4, fub 3 ponito Ex 40 aufer 6 reliquum 4, fub 4 ponito Et fie femper redibit 4, quod agnolci potuitvbilèmel rediit. fErgo , fi proponatur numerus quilibet, de quo qua;rebatur vtrum fit dimdendus per 6 nempe 14^7412 fume viàmam eius figuram femel 1: przcedentem quater 16: przcedentem quater ôcc 18: 6Cy vno verbo > primam femel , reliqoaram veto 51 fummam quater, i6 S fi fumma 10 1 diuidatur per 6 diuidetur & ipfe 101 numerus propofitus 148741 per eumdcm 6. Vis agnofcccc vtrum numerus diuidacur per ^. Scriptis Ytprius numeris naturalibus ^ & i fub i pcfico, 5 4 ) 1 « I I I I I Ex 10 aufer j quoties poteft , reliqum i fub 1 ponito Ex 10 aufer 3 quantum pottll reliqum 1 fub 5 ponito Se fie in infinitum. Ergo fi proponatur numerus quilibet, 1451, vt fcias vtrum diuidatur per 5 fume femel vltimam figuram ^ i: prarcedentem femel ^ . 5: & femel fmgulas 4:- x: u: fi fumma diuidatur per 3, diuidetur & numerus propofitus per 3. Vis agnofcere vtrum numerus diuidatur per 9. Scriptis numeris i> 1, 3, &c. & i fub i pofiio. Ex 10, aufer 9, & quoniam fijpercft i, patet, contingere fingulis numeris. Ergo ; fi numeri propofiti finguli charadlercs fimul fumpti diuidantur per 9, diuidetur Se ipfe. Vis agnofcere vtrum numerus diuidatur per 4, Scriptis numeris naturalibus,vtmoseft,&:pofito i fub r. 4 3 1 » O O 1 z Ex fo, aufer 4 quantum porcft rdiqura i pone fub z. Ex 10, aufer 4 quantum poteft reliqum o, ponefub 3, Ex 00, aufer 4, fopcreft femper o, Quare fi p£c>paiiacur numeias diuideodus, 148^, M V L T I P L I C I B V s^; 47 pono ▼Itimum charaderem femel ^ pracccdeiitem bis,/«^/Wrpr cnJm xfuh i5j 11 : Prxcedens pcr o mulriplicatus facit zéro & fie de reliquis ; quare ad ipfos non attendiro ; & fi fiimma priorum, nempe ii, per 4 diuidatur,diuidctur & ipfi:, fecusautem, non. Sic numcri quorum vliimus char.idVer fcmcl, prxccdens bis, pri- cedcns quatcr, ( reliquis neglecfrs ^ ^rro enim fortiuntur) fimul jundli numcrumeffiduntmultipïiccra 8, funt ipfi & ciufdem 8 multi- pliées, fecus autem,non. In exrmpUim autem dabimus & illud. AGnofccrc qui numeri diuidanrur pcr i(f.Scriptis vx didiim eft nu- mcris naturalibus i, 1, 5, 4, 5, ^, 7, &c. fub, i, pofito. 7 <5 î 4 5 1 I o o o S 4 lo I Ex 10, aufer \C quantum poteft -, fiipcreft ipfc io> Ejc minore enim numéro major n urne rus fubtréibi non foteft^ qusre if>/èmet numerus XO fonatnr fub x. Ex ipfo 10 dccics fumpto, vt mo$ eft, feu ex 100, aufcro \C quan- tum poted i fijperefl 4 quem pono fub 5. Ex 40, aufcro \G quantum poteft, rcliquum S pono fub 4. Ex 80 aufcro \G quantum poteft, fupcrcft, o. Ideo omnis numerus cuius vltimus eharailer fcmcl fumptus, penul- timus dccics, pr^ccdcnsquatcr, & prarccdcns o6tics , efficiunt nume- rum muliipliccm \6, crit & ipfe ipfins 16 multiplex. Sic repcrics omnes numéros , quorum pcnulrimus charadter dc- cics, rcliqui autcm omnes faliect vltimus, antc pcnulrimus , praranrc penultimus, & rcliqui fcmcl fumpii , efficiunt numerum diiufibilcm pcr ^5, vel 18, vel ly , vcl jo, vel 90 , & vno Tcrbo omnes diuifores numeri 90, duobus conftantes cbaraûeiibus , diuidi quoque & ipfos per hos diuifores. 'On difficilis indead alta proercfTus , fcd intentntam hue n; matcnam aperuuic,oc latisobicuram lundJinm^cmonT ne illuftrauiiTc, fuffîcir. Ars ctenim illa , qua exadditjglf tharjé numeri, nofcitur per quos fit diuifibiliSjCX ima nunifflrûmnatutâ, iSc ex corum denariâ progrefTione vim fuam fortitur , fi aliî progref- fionc procédèrent, verbi gratiâ, duodenana ( quod fane gratum foret) & fie vitra primas noucm iîguras , allât duz inftitutx elfcnt , quarum al- téra denarium, altéra vndenarium exhiberet-, Tune non ampliùscon- tingerct, numéros quorum omnes charaâicrcs fimul fumpti efficiunt numerum multipliccm 9 elTc & ipfos eiufdcm 9 multipliées. Scd methodus noftra , neenon & demonftratio , & huic progreflîo- ni, & omnibus poûlbilibus conucnit. 48 De Nvmeris M vltiplicibvs. Si cnim in hac duodenaria prcgreffionc, proponicur agnofccrc aSt luîmerus diuidatur per 9. luftituemus vtaïuca numéros naturali fcric conrinuos i, 1,3, 4, y, fiwc. & I fub 1 goHco 0051 Ex vnitate jam duo dccies furopta (eu ex 10, ( quijdm poteji duo. Jecim j non autem iiecem ) aufcrcndo 9 quantum poceft , fupereft 5, quem pono fub u Ex }o, (qui )am poteft tr'igintd /ex fcilicct ter duoJeàm) aufcr 9 quantum poteft,& fupereft nihil , continctur enim 9 quatcrcxadlè in trtpnta fex -, pono igitur, o, fub,- 3. JEtideo, zéro fub reliquis charaderibus continget. Vnde colligo, omnes numéros, quorum vicimus chara^er femel fumptus , pciiulrimus vero ICT, ( de <.\eter*i non euro qanles Jtnt^ zéro cnim /brtiuTttur) efficiunt numerum diuifibilcm per 9, diuidi quoquc per 9, in duodenaria jprogreflîone. Sic in hac progreflione duodenaria omncs numeri quorum finguli charaûeres fimul fumpti effickint numerum diuifibilem per 11, fine &diuifibilcs per eumdcm. IN noftca vero progreflione denaria , contingit omnes numéros di- uifibiles per 11, ita (c habere , vt vltimus femel fumptus y penulti- rous decies, prarcedens femel, pricedens decies, prarcedens femel, pra:- ccdens decies , & fie in infinitum , conflare numerum multiplicem 11. //"éfc Cf^Mlia/itciliJiudiOt ex ifta metbodo quifque coUi^t : TetL gimm quidem quonUm intentutd fUcettt y relinquimus fcrà ne nimiéi ferfcrutdtio tétdium ^drUt, Mdode courte a aiéèc pe^ur triHwer\U'>:pfV-' duit dcj nomhi < . . . / v/« t^faialxt^ et twvttiaittà . fil mt jmïnnMU pa^ hnù^ > LVninio 3 : 3'} • 5 3 J • 3 5 3 33: Wc. Par L'if tfi^étdt't't^ chiûC' (jui >ru> j'ccfiur^it cjuij par dté ôix* '^ cv^nmtj' 6: 66: *1S6'6: ^ ' Et par Uà novuuxîre^ ctuacf cjul ru i^ecrpri^tiMit U*. pri4fjtei* îtomàztf'U faitt' ptner le* tfc>z ' V * f %^ Cûri^ eut '^ettjoiu; riirn fMts tHj a uij, mai) e^i^irrtx^ ikâ ufiùcx, dcx i a^trc; tfoÀ^arU axfonar Lu UJ.lcjf (K. > maiti dtûilot* Exemples , 9: . iv^..'^^ \ 9 9 99; 9 ' i 9 9 9 9 9 '- Ptuâ 'OAfcmit tire u^io ligna au ba* poiur^^tntt&t^ lo ptûduitr de^aoLU, il Jmit aJoiUt4\^Ué de^tat» n^mèieé nietifatU a ff^tiràffft99 gauàu»^ et, Juiù^ant tfcn la, piû^tùt 9«^(/^f2- 4/;rfv/2^, £xc4fLf?Ur \, • Sait' U*' fiwrthre> tf a. midtiplur pat' 2 - l'un au dc^jtuutkiaiUrtJ, oAtcc uno $1: ^ ui^ \» %\ iigfrvu auMàé ^ 'r^ dié eh. ^ *fànt iS: j!tar'u Lu $ jûLU le4> ç,ct/c tuieru «{/^Kç»^^ ^''^ aprcj U $ji\f^ln4fL Jo trouva Si : i>ànr ic j^wduit udutrc' cjci^ipio. Soit <^ lu nonihic» qucj jfoA^ 9 9 9* Ci mal ti plier po/f^Joif memti^ • 999: 9 9^4? 4? 1: .... à dt> ceioAj du>j^tenHè^'Uin0:tt un ^t?yej tfôti^ eéhty êu>jeeûthê i^ii-n^ 'J^ii* venant- au^ti^^û'ry\tr, J ^ jimHD Lté deux» i^ '^'et>mêmù run^èr?^H*li>lt.'-» » je hjtdtntô l quu ja/^hU€j au,^ cUt (jULtttictfio'aiéi^ et je trouvo to. Jcf po*fo Lu apreé Uj S, ttj<, udtnà i ^j'ajomé/ au 9 du det^iur taty. 1^ T^iro t/oiu Lu H o o^t î pour le/ pwBiùr^wi tfuart-i du f^^i cfita je cfurchoUx^ • i^2. Coj. ^uanâ l'un du ftoniénr^f téhpliA j4yaii4r pt»é le ^ra4i? fiûrnèttf, U lo petit au dej: tfûuj , cntJûf'i%f (^uju f^^. £4Xthrnti^cêj vou«t lu cklffrtt âft/ imûcxj do l auircf, ct> tfuu ÙJ t^h^ aùtj'née^ a mani drotU^, camnu> il ulr^ttrou coJt. vaux. Ia main ^auchu (Mitant' ^ ipiU en a.nwifhi ati%6aj }?our y mtttr^j Uj produit, il mi fvtA ccUùrçi%ont jO^Xi ce^*^ ^iiM dfo^ ifii^J jait ècr^. ^ .K.\K\.* -\'i\\£^iicniftl4^ cU tf if u par, ^ . Le ^txuid, Homhrej . . .*w>^ < ... . . 99.' . ExtmpUj de 9 9 9- }fa/i^ 9 : l^c ^riMih nAii nbxA» vu>--mv*\ iti^iuk^. .I9 9 9; Le petit n/mihtef cuocc dnietf y (^iil\^fotU /ô'mhi .9 9 • 9' Leu/rjo/nnie» iftVMVO,ifui êét^ Lu prohità- . . . g 9 9 i ' • . ixtmpLu '3e/ 9 9 9 : pttv 99« • Le ^fo^td twrnhuL» , . % v an' rt s"- "9 9 9' Le petit nmnhtcj awc w/? ^ ^//^ ejf Joint-, . . 9» 9 9* Leur-Jomfruf i^i^Jcfve^ i^iu e,tî lejptaèuùt. 9 9 oi: 99999: 91^V«9 9- 9999 9 î ^999 9* (999 9)9- (9 9 9)9 9 (99)999-^ (^9)9 9 9 9- S 9 9 9 91: 98 9 9 9V1: 99899001; 9^9H^V oooL'. ^ ^ ^ 7\ X ^ - 1 fç ; mV^I^ Wvv.viA \K Hfju^ lalàrCf awc deuxt potttts oA tnllleu -j^cu*" ùtX. dMn^ue^y etu^^JL. Ueftio a^\Jté»^£Huf pour y rheàtrO Extmpiùt ytf 35 ,^<^- 9 99 9999-9999 ^ V V b H ^ . Âpixj alêb^Afû Un doi^ tiorhtte^ Hfont chaàiut Uitr pib'hiut^tioiu i/T iiefiiu; mtiktfit chiffra du ufiinx» Vu a. vu du %r^iler nomhtJLJ, jnctnitr Vi*VvZ/e^ voiey tiHiéx pou r: Mt-mffltj , V V v v V* J:? 5:6 5:9 9:9. ^iU/ ^rV/^ ont cJuuufi pUuLuur9 cJdfir^ , U thtuù — muUlplur ctliMf 9« utùttKi de Lan jottr dèluA^ Detxi unutiu ^ l'cuuir^, et écrire^ Lo pt4>hiutriiûtu cax^ mêmtà cJàfrcé, niutant Icj ^ùaùrutf. ou Uii j^trv jU n'en apotnt ^otu ie^ prefnÙ4^, tiriez tinltrtt^,^ U E9umpU>. 6661 5.55: ^^Ejoeniplc.. 3555: 555^5 Paif ti^lruit^ ^éfyr i -^uchifrcj i^uî tcpt^enUj Lê£i^ unittiu du frtd^tùt , et rwdirc» U> tê^H> chntjui^ chljrtj xÊatanjr a ntulnplùr dtt 'herrtur^fi&métej* MVVV WVV V VV Esttm pl eà *. ti O . y . 55:55 3 55-^<^<^ i 5 5 2^-V99V Efififi il Jxiut njvturr't an chifro diûuxUte^t inutw ptoBtutf et nitUrt-ltH't^Jûfyifn^ tfûiuf rAa^utj etvn auftvia fnvBttlt eêider (Jtu 4!ifr2 cJiertAu, .ÊMiff^f^^. UKÎt 66:{}6 6 6 6 : ^ ^ 9 • 9 9 . • tipiùr ont^wùf de cAîfi^e^, Ai^a^it pujc ^ùiucj notnèê^ cLcatt* l'un 9cj l 'aumj, a\fec "btua^j pointj entrera téc* pour Uj dUctr92£*t% ttmu. lî^ru} audej»*on^, cûfnmc> il odhî^it au fjrmùr^ crut^ ' il Jaut frefi'bta ti^..fpif9iStt.> ju au imi/iêi^^f^^^^ufyin^ ^AÎ^ 'dont ccUiy 3u '^^'It^^f^ ^^tfptfvtfxv uêifermcj 25'5*5* "55-^^^' Sd6:66 ^^.'99.^9 9.999:^ Tout c^la. étdêxt alfitfy ^/xfia^naydjiuit rnuUijMtr lu deiuc mesnbrcit ca^mu ^fcùm.ia. fr^hjBo dit cai'tS. pt£cùc^^/^cti tout do.f/wpm/ tf Ui> fHkt^ Uj t7mMë^\ d'e^alu (ju^ti^ti^^chifit4. . . o 35:6tfi'. 5:9-9 6t*.(ix6t ^6:9^.99 9.999)9 il tt (jtA tntttft) ivii/cutj 9 j^ti4f éUàl^i , eru jorto (jiLu lijpaca du ftùiitu dujnvbuit eactrt»-- tfittf t^iàfûit^ itmply ; eà\JLim aureu Lu jndèmt ,cntÙ4^ 3'5*ï > 3- ^-^6 9.9:5 S6:d6€ 1^^:99.99 9:999.91 ^99? îi97Sî X97 439f^J ^?995^- 99991: 99:9.99 9 y9y-y99'9999 9999 >55'?55^ 9 H'^ à^t ' 9998 999-** ' 1 9996667* 6 6G-fi 9-9 9 9 txvi g"y^'^'^~jr^^.\\u\ . \Ji v\ a\v. V .1 Ce TTE R BCL E yàend sur tout nvnièrtî^ iitonocaracteruhijuc^ compcrjc de cjutl chîfrc l(ceUtur d'un nomèttf compile tvut de y . J'oU par cxfinpfe un nom: bit de dofije ^ , doirptic a multiplier par un aiitrc ^ nombre de dou^e j : Ecri/uet» prenturemctu lcj\ deuje y ypuu Uj dou^c p tâtit de suite en ttriCf 4^nie lipnt ■ et ayant tvre^unt U^eu^ ml dejjauj mettes onje j sou^ les onj^ prefruerif 7 du mulz tifliciitcur , et u/n à apru . Ct ci* m nie la dCffcren: ec de y a y e-j^ "L'i mettes anjâ z oprcj le Sji/is a vu dej 011 je premur.r ^ , et un y k la fm : tn)U4t aju^'e/t pour fuidiut ec notnôre de^enffip cj.uMrt cjii/red, 7777777/777^^ i 2 2,^111x12^. Si x*ûtij avettj scjc p à multiplier par dvujc j y - ♦ . * ou defujc ^ par se^e. 7 : Pûvcx, prcfHurt^nbnti onje 7 sûUJ ie^f ûtvfe premie4:f 7 du muùiplica- ttiir, 3>(jt un S apze^ ; pu là ejuatjr <^ aprej le 6, parce ejuc l'un dté rwmhrej aefueOifechifrej pltu cjut loutre , . ipieé cela tnette^ otije z souj multiplicaruiu , ùt uti ^ à la f^i , vou^ awre^ ctu Alonju^ Cvfnutv cl cuuji trouvl cUtt ; voiu comme il en parltjda/yui j-on petU tmitz cLlj fàxt décrire, tt dt parler occiUtvnu^à . Je JkuMi^» en iMi trwnic*u , fout avm^L cjue. juij , ce qu'on ne, pcutjaùre^ e4t un mou etcuifec pàùfuarT meuna de. papur : Car pa^r oxomplc j-ou propcKJe. un nomùt^ cvmpL»c dt ^rt/3C cmé soiMnte »ft^x chîfrej ^ écrits de ^ULtCj a.nuUnpUcr par J-i/je. cm 77 76 5 ^5 6 5^6 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ o 00 o o 00 Excmp. d£ cj pcvr j . jpj^htp. cU ^ par ^. La demvruh'aJwn en e^tt JxtaJe,^ , Aatremait enccrcj L L^a fjicthôcU ffrccedctîte j-e Jait par ùlj ^oiufrauiorv mou ctlU cy se Jait par i i3r ilùùyn m vcfxrc ) et cc*^ chifre^ du mAiitLpliccbttm^ cul prenfittrncuf^^ pirjùic la vm djtgre pUu ùaj , clç^ cl dir<^^ pLuJ a maÀ,yi dvoU^ , cl tèùeyr^ la oittant de^fou que, Vuh de4 dtwx, nontbttà ou dsLj chi/rej . Et aya/yvt tùiré uHjt U^ne^ eut dcjjûu^,\ cej troù nûniitej , ajouter le^ à u6ou^^ leujr soiyintz, t/nvcnrc jcra le produit chc^cJti. Ext-mpÙLJ^, Xe rnultipù'catEur _ : . . 7 J7 7 7 7 Le multiplùwiôe, ha ôi^crence dt t^TLj.pù^ee ôfffùç^^* i. 2.1.7. z z // £^/f* jom nte vyi verse , *. — . ^ c^Ui €4} U produit . y -j j jj 6 i.Xl.T.X^ T ^ T r; - - 11. $ y 9 9 9 99 ^ 9^99 ♦ f 7 7 t I t i ^7 1.1 T 9 gg^7M«^ 2. Coé . Q^icuiè Van de€k*uuy ^pa:fe^ Ici ufi Be^t^ pku boj fCJul cLdiYe. pUu cl nicUn dwit^;tt tcitcref^ /a aii/ïz.yu ctê firù ijluI xf clcùl ^ ^ . Lu somme t^v€4^c de, ccj trvuf nom^ ' ktij sei^a ùl pzodult chc^chL , 7 77 7(7 7) 7 77 7 7J 1, 2.2.2. z Z 7 7 7 6 Q 9 ^ 'LXX _ , ^777^^11 X^? I f I I 4 JC \ 13 .1 X /i 1 r « s •v /3 ■ V 1 I i I k /i I I > I I k ( \ r i i 10 / \ * I \ ï 20 10 1. i i 20 1 / lù 1 / r 4 20 I r 20 / » \ 20 31 31 ) 3/ / 3J 31 3/ 31 S., i 3/ • • V i . ■ 31 ) f i I V V SûM. \^^V 1