Histoire des mathématiques Problème

duplication du cube

Problème

problème mathématique

Pour comprendre

rédaction

Le volume à doubler

Le problème demande de construire un cube dont le volume est exactement le double de celui d'un cube donné. Si l'arête initiale vaut 1, son volume vaut 1. L'arête cherchée, notée \(x\), doit donc vérifier :

$$x^3=2$$

Elle est égale à \(\sqrt[3]{2}\). Le défi paraît géométrique, mais il conduit à une question algébrique précise : peut-on obtenir cette longueur par les seules constructions autorisées à la règle non graduée et au compas ?

Une limite des constructions classiques

La duplication du cube fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la quadrature du cercle. Des méthodes existent lorsqu'on accepte des courbes auxiliaires ou d'autres instruments. En revanche, la règle et le compas seuls ne permettent pas de construire \(\sqrt[3]{2}\). Cette impossibilité ne signifie pas que le problème est absurde : elle indique seulement que les outils imposés ne suffisent pas.

Repères historiques

  • problème délien posé en Grèce vers -430 (légende de l'oracle de Délos)
  • solutions par courbes auxiliaires dès Ménechme vers -350
  • impossibilité à la règle et au compas démontrée par Pierre-Laurent Wantzel en 1837

La figure relie le volume double à l'arête cherchée.

{ "boundingBox": [ -0.4, 2.9, 2.1, -0.4 ], "axis": true, "grid": true, "functions": [ { "expression": "x^3", "range": [ -0.2, 1.45 ], "color": "#2563eb", "width": 2, "label": "y = x³" }, { "expression": "2", "range": [ 0, 1.4 ], "color": "#dc2626", "width": 1, "dash": "dashed", "label": "volume double" } ], "points": [ { "x": 1, "y": 1, "name": "cube unité", "color": "#1e3a8a", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 1.2599, "y": 2, "name": "∛2 ≈ 1,26", "color": "#dc2626", "size": 3, "fixed": true } ] }

Dates

premiere trace
problème délien, légende de l'oracle de Délos approximative
demonstration
impossibilité à la règle et au compas, Wantzel

Sources