Égypte antique

Écrire les nombres sans position

Vers la même époque où la Mésopotamie développe une numération de position en base 60, l'Égypte antique invente une tout autre solution. Sa numération est décimale et additive : chaque puissance de dix — un, dix, cent, mille — reçoit son propre hiéroglyphe, et l'on répète le signe autant de fois qu'il le faut pour composer un nombre. Il n'y a pas de zéro, et surtout pas de valeur de position : le rang qu'occupe un signe ne change jamais sa valeur.

• pas de zéro
• pas de valeur de position
• un hiéroglyphe par puissance de dix

Cette absence de position n'est pas un détail technique : elle commande tout le reste de l'arithmétique égyptienne, à commencer par la manière d'écrire les fractions. Sans position, pas de fractions sexagésimales commodes comme celles que permet l'écriture mésopotamienne ; l'Égypte doit inventer une autre voie.

Les fractions unitaires

La solution égyptienne consiste à écrire toute fraction non unitaire comme une somme de fractions de numérateur 1, à dénominateurs tous distincts. Le hiéroglyphe de la bouche ouverte marque ce numérateur 1 au-dessus du dénominateur. Le papyrus Rhind s'ouvre justement sur une table qui donne, pour toutes les fractions de numérateur 2 dont le dénominateur est impair jusqu'à 101, leur décomposition en fractions unitaires. Quelques exemples suffisent à montrer le principe :

La même logique additive gouverne la multiplication. Les scribes égyptiens multiplient par duplications successives : ils doublent une valeur de départ, ligne après ligne, puis additionnent les lignes dont la somme des multiplicateurs reconstitue le nombre cherché. Prenons 12 fois 13, et suivons le calcul en entier. On part de 1 → 12, puis on double à chaque ligne : 2 → 24, 4 → 48, 8 → 96. Comme 13 se décompose en 8 + 4 + 1, on retient les lignes 1, 4 et 8, et l'on additionne les valeurs correspondantes : 96 + 48 + 12, soit 156. Ce que le scribe manipule à chaque ligne, c'est une puissance de deux — 1, 2, 4, 8 — et c'est la décomposition de 13 en somme de ces puissances qui indique quelles lignes garder.

\( 12 \times 13 = 96 + 48 + 12 = 156 \)

Ce qu'ils savaient calculer

Cette arithmétique fondée sur les fractions unitaires et la duplication suffit à des calculs déjà sophistiqués. Pour l'aire d'un disque, le scribe élève au carré les huit neuvièmes du diamètre. Cela revient à retenir, pour le rapport de l'aire au carré du rayon, la valeur 256/81, soit environ 3,1605 — un écart d'environ 0,6 % avec la valeur réelle. Ce n'est pas une valeur de pi au sens moderne : c'est une recette de calcul d'aire, et elle tombe juste à moins d'un centième près.

Le papyrus de Moscou, avec ses vingt-cinq problèmes, contient le résultat le plus remarquable de la géométrie égyptienne : le calcul du volume d'une pyramide tronquée. Le seked, de son côté, mesure la pente d'une pyramide comme un écart horizontal pour une coudée de hauteur — un rapport de longueurs, ce que la trigonométrie fera bien plus tard avec ses propres outils. Le papyrus de Berlin 6619 porte, lui, des équations du second degré.

Ces trois papyrus forment l'essentiel de ce que l'on sait des mathématiques égyptiennes. Le premier a été copié par le scribe Ahmès vers 1650 av. J.-C. et se voit au British Museum ; le deuxième, de la fin du Moyen Empire, est au musée des Beaux-Arts Pouchkine. Deux traditions contemporaines, deux façons d'écrire les nombres, et des résultats justes de part et d'autre : rien n'obligeait à calculer comme l'une ou comme l'autre.

Situer le lieu