Histoire des mathématiques Problème

problème de l'échiquier de Sissa

Problème

problème mathématique

Pour comprendre

rédaction

Le doublement case après case

Le problème commence avec un grain de blé sur la première case d'un échiquier. Sur chaque case suivante, on place le double du nombre précédent. La suite des quantités est donc :

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots,\ 2^{63}$$

La dernière case contient à elle seule un nombre immense de grains. Le mécanisme est pourtant très simple : chaque étape ne fait que multiplier la quantité précédente par 2.

Une croissance qui déjoue l'intuition

L'addition régulière et le doublement régulier ne produisent pas les mêmes effets. Dans une croissance exponentielle, les premiers termes paraissent modestes, puis les valeurs augmentent très rapidement. Le total des grains sur les 64 cases vaut :

$$2^{64}-1$$

Cette quantité dépasse toute récolte possible. Le problème de l'échiquier sert donc à montrer pourquoi l'intuition est souvent trompeuse face à l'exponentielle : regarder seulement les premières cases masque l'ampleur des dernières.

Repères historiques

  • légende rapportée par les auteurs arabes médiévaux vers 1260 (XIIIe siècle)

La figure compare les premières cases à l'ampleur de la soixante-quatrième.

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Dates

premiere trace
légende rapportée par les auteurs arabes médiévaux approximative

Sources