Histoire des mathématiques Théorème

théorème de Morley

Théorème

théorème

Traduit de l’anglais automatiquement — non relu. « theorem »

Pour comprendre

rédaction

Énoncé

Dans un triangle quelconque, chaque angle peut être partagé en trois angles égaux par ses trisectrices. Certaines de ces trisectrices se coupent deux à deux près du centre du triangle. Les trois points d’intersection ainsi obtenus forment toujours un triangle équilatéral.

Ce petit triangle est appelé triangle de Morley. Le résultat est remarquable : le triangle de départ peut être scalène et ne présenter aucune symétrie visible, alors que le triangle intérieur possède trois côtés égaux et trois angles de \(60^\circ\).

Lecture géométrique

Il faut choisir les trisectrices adjacentes, c’est-à-dire celles qui délimitent la région centrale du triangle. Les trois intersections correspondantes sont les sommets du triangle de Morley.

Le théorème ne dit pas que toutes les intersections de trisectrices forment un triangle équilatéral. Il porte précisément sur les trois trisectrices placées de manière adjacente. La conclusion est indépendante des longueurs des côtés et de la forme initiale du triangle. Elle exprime une régularité cachée dans le partage égal des trois angles.

Repères historiques

  • découvert par Frank Morley en 1899
  • premières démonstrations publiées vers 1909

La figure montre un triangle scalène, ses trisectrices et le petit triangle équilatéral central en rouge.

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Dates

decouverte
découvert par Frank Morley
demonstration
premières démonstrations publiées approximative

Liens

porte le nom de

Sources