théorème de Rolle

Énoncé

Soit une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\). Si elle prend la même valeur aux extrémités, donc si \(f(a)=f(b)\), alors il existe au moins un point \(c\) de \(]a,b[\) tel que

\(f'(c)=0\).

Une dérivée nulle signifie que la tangente à la courbe est horizontale au point considéré. Le théorème garantit donc une telle tangente entre deux points de même hauteur.

Conditions et sens

La continuité sur l’intervalle fermé assure que la courbe ne présente pas de rupture entre \(a\) et \(b\). La dérivabilité à l’intérieur assure que la pente est définie aux points concernés.

Si la fonction n’est pas constante, elle atteint entre les bornes un maximum ou un minimum qui conduit à une tangente horizontale. Si elle est constante, sa dérivée est nulle en tout point intérieur. Le théorème garantit au moins une position \(c\), sans imposer qu’elle soit unique.

Repères historiques

• démontré par Michel Rolle en 1691, dans le cadre des polynômes
• le nom "théorème de Rolle" ne s’impose qu’au XIXe siècle

La figure montre l’arche \(y=1-x^2\) entre \(-1\) et \(1\), avec sa tangente horizontale au sommet.