Histoire des mathématiques Théorème

théorème de Thalès

Théorème

théorème de géométrie du plan

Pour comprendre

rédaction

Énoncé

Deux droites sécantes en \(O\) sont coupées par deux droites parallèles. Si \(A\) et \(B\) appartiennent à la première parallèle, tandis que \(A'\) et \(B'\) appartiennent à la seconde, alors les longueurs correspondantes sont proportionnelles.

$$\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = \frac{A'B'}{AB}$$

Les deux triangles \(OAB\) et \(OA'B'\) ont les mêmes angles. Ils sont semblables : l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre. Le même coefficient relie donc toutes leurs longueurs correspondantes.

Calcul de longueurs

Le théorème permet de déterminer une longueur inaccessible sans la mesurer directement. Il suffit de construire ou d’observer deux droites sécantes et deux parallèles, puis de connaître trois longueurs convenablement associées.

Pour appliquer la relation, il faut respecter les correspondances : \(OA\) se compare à \(OA'\), \(OB\) à \(OB'\), et \(AB\) à \(A'B'\). Les droites parallèles sont la condition essentielle ; sans elle, les rapports ne sont pas nécessairement égaux. Les proportions peuvent ensuite être résolues par produit en croix.

Repères historiques

  • attribué par la tradition à Thalès de Milet (vers -600)
  • énoncé général et démonstration dans les Éléments d’Euclide vers -300 (livre VI)

La figure montre les deux droites issues de \(O\), les deux parallèles et les points \(A\), \(B\), \(A'\) et \(B'\).

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Dates

decouverte
attribué à Thalès de Milet attribution traditionnelle
demonstration
Éléments d'Euclide, livre VI approximative

Liens

porte le nom de

Sources