théorème des accroissements finis

Énoncé

Soit une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\). Il existe alors un point \(c\) entre \(a\) et \(b\) où la pente de la tangente est égale à la pente de la corde joignant les deux extrémités de la courbe.

Le quotient de droite représente le taux de variation moyen de la fonction sur l’intervalle. La dérivée \(f'(c)\) représente son taux de variation instantané au point \(c\).

Interprétation

La corde relie les points \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\). Le théorème affirme qu’au moins une tangente à la courbe lui est parallèle. Il relie donc une variation globale à une variation locale.

C’est une version « penchée » du théorème de Rolle. Lorsque \(f(a)=f(b)\), la pente de la corde vaut zéro ; la conclusion devient \(f'(c)=0\). Comme pour le théorème de Rolle, les conditions de continuité et de dérivabilité sont indispensables pour garantir l’existence du point \(c\).

Repères historiques

• dégagé par Lagrange en 1797 (Théorie des fonctions analytiques)
• formalisé par Cauchy en 1823

La figure montre la parabole \(y=x^2/2\), sa corde et la tangente parallèle au point \(c=1\).