Histoire des mathématiques Théorème

théorème des nombres premiers

Théorème

résultat sur la distribution asymptotique des nombres premiers

Pour comprendre

rédaction

Énoncé

On note \(\pi(x)\) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à \(x\). Le théorème des nombres premiers affirme que, lorsque \(x\) devient très grand, cette quantité est asymptotiquement équivalente à \(x/\ln x\).

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$$

Le symbole \(\sim\) signifie que le rapport des deux expressions tend vers 1 lorsque \(x\) tend vers l’infini. Il ne s’agit donc pas d’une égalité exacte pour chaque valeur de \(x\), mais d’une approximation de plus en plus fidèle à grande échelle.

Interprétation

Les nombres premiers deviennent moins fréquents lorsque les nombres grandissent. Leur densité près de \(x\) est approximativement liée à \(1/\ln x\). Le théorème décrit ce raréfaction avec une précision asymptotique.

La fonction \(x/\ln x\) fournit une estimation de la quantité de nombres premiers jusqu’à \(x\). Les valeurs exactes de \(\pi(x)\) varient par paliers, car elles augmentent d’une unité à chaque nouveau nombre premier. La courbe d’approximation, elle, est lisse. Leur rapprochement global illustre le comportement prévisible de la répartition des nombres premiers.

Repères historiques

  • conjecturé par Legendre en 1798 (et par Gauss dans des notes privées vers 1792)
  • démontré en 1896, indépendamment, par Hadamard et par de La Vallée Poussin

La figure montre les valeurs exactes de \(\pi(x)\) jusqu’à 1000 et la courbe \(x/\ln x\).

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tokens used

Dates

premiere trace
conjecture de Legendre
demonstration
Hadamard et de La Vallée Poussin, indépendamment

Sources