Histoire des mathématiques Problème

trisection de l'angle

Problème

problème mathématique

Pour comprendre

rédaction

Partager un angle en trois

Trisecter un angle consiste à le partager en trois angles égaux. Pour un angle droit, la construction est possible : il suffit d'obtenir trois angles de \(30^\circ\). Mais le problème porte sur un angle quelconque. Ainsi, même un angle de \(60^\circ\) ne peut pas toujours être divisé en trois angles de \(20^\circ\) avec la règle et le compas seuls.

Le mot « quelconque » est essentiel. Une méthode qui réussit pour certains angles ne constitue pas une solution générale. La difficulté ne tient donc pas à la précision du dessin, mais aux limites des constructions géométriques classiques.

Sortir de la règle et du compas

Les géomètres grecs ont cherché des procédés permettant de contourner cette limite. Ils ont notamment utilisé des courbes auxiliaires, comme la quadratrice ou la conchoïde. Ces courbes permettent de produire des divisions d'angles inaccessibles aux seuls instruments classiques.

La trisection illustre ainsi une distinction importante : une construction peut être réalisable avec un dispositif plus riche tout en restant impossible dans le cadre strict de la règle et du compas.

Repères historiques

  • posé par les géomètres grecs vers -450
  • quadratrice d'Hippias vers -420
  • impossibilité générale démontrée par Pierre-Laurent Wantzel en 1837

La figure montre les trois parts égales d'un angle de \(60^\circ\).

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Dates

premiere trace
posé par les géomètres grecs approximative
demonstration
impossibilité générale, Wantzel

Sources