Babylone

Ce qui précède Babylone

Les mathématiques que l'on qualifie souvent de « babyloniennes » ne naissent pas à Babylone. Une métrologie élaborée existe en Mésopotamie dès 3000 av. J.-C., et des tables de multiplication gravées sur des tablettes d'argile sont attestées à partir de 2600 av. J.-C., en même temps que les premiers énoncés de problèmes géométriques. Ces travaux sont sumériens. Babylone, elle, ne devient une capitale que sous le règne de Hammurabi, dans la première moitié du XVIIIe siècle av. J.-C. — soit huit siècles après ces tables. La ville a donné son nom à une tradition de calcul qu'elle a reçue et développée, non fondée.

Le calcul en base soixante

Cette tradition, dite paléo-babylonienne, s'étend de 2000 à 1600 av. J.-C. environ. Elle repose sur une numération de position en base 60 : la valeur d'un signe dépend de sa place, exactement comme un même chiffre change de valeur selon sa position dans notre écriture décimale — une souplesse que ni l'écriture égyptienne ni les chiffres romains n'offraient. Le choix de 60 n'est pas anodin : ce nombre a beaucoup de diviseurs, ce qui rend les fractions commodes à manier.

Sur cette base, des scribes dressent des tables de carrés, de cubes et d'inverses. Elles ramènent la division à une multiplication par l'inverse, ce qui évite un calcul plus lourd. Le même outillage permet de résoudre des équations du second degré : chercher le nombre dont on connaît le carré augmenté d'un multiple, autrement dit résoudre \( x^2 + bx = c \), revient à appliquer une règle équivalente à

et même des équations du troisième degré, traitées par lecture d'une table de \( n^3 + n^2 \). La relation entre les côtés et la diagonale d'un rectangle est elle aussi employée comme formule de calcul, plusieurs siècles avant que les Grecs n'en fassent un théorème démontré.

Une précision mesurable, et ce qui nous en reste

Deux tablettes donnent une idée concrète de ce savoir-faire. YBC 7289, un disque d'argile d'environ 8 cm de diamètre daté entre 1900 et 1600 av. J.-C., porte un carré et ses diagonales. La racine de deux y est notée 1 24 51 10 en base 60, soit \( 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 \), c'est-à-dire environ 1,41421296 — une valeur juste au millionième près, quand une estimation antérieure, 1;25, ne l'était qu'au millième. Plimpton 322, datée de 1799 av. J.-C., aligne pour sa part des nombres liés aux côtés et à la diagonale de triangles rectangles, sans démonstration d'un théorème général ; son usage exact reste discuté, et elle ne provient d'ailleurs pas de Babylone même.

À Babylone, l'Esagila, temple du dieu Marduk, abritait une bibliothèque et un corps de lettrés : un astronome y était recruté sur examen devant le conseil du temple, rémunéré par un salaire annuel et les revenus d'un champ, et chargé d'observer le ciel et de rédiger almanachs et éphémérides. Cette organisation a pu inspirer les Grecs lorsqu'ils ont créé la Bibliothèque d'Alexandrie et son Mouseîon. Les observations d'éclipses accumulées sur des siècles ont permis de dégager des périodicités, dont le cycle dit saros, de 223 mois. C'est Hipparque qui reprend aux Babyloniens la division sexagésimale et leurs données astronomiques : par ce relais, la base 60 est parvenue jusqu'à nos heures, nos minutes et nos degrés.

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