Mésopotamie

Trois millénaires, une seule pratique

En Mésopotamie, la pratique du calcul ne surgit pas d'un coup : elle se construit sur plus de trois mille ans, dans une remarquable continuité. Dès 3000 avant notre ère, les Sumériens disposent déjà d'une métrologie élaborée, et des tables de multiplication circulent à partir de 2600. Vers la fin du troisième millénaire, sous la troisième dynastie d'Ur, les écoles se développent nettement et les premières tables d'inverses apparaissent.

C'est cependant la période dite paléo-babylonienne, entre 2000 et 1600 avant notre ère, qui nous a légué la grande masse des tablettes mathématiques conservées ; la plupart de celles qui nous sont parvenues datent d'ailleurs d'une fenêtre plus étroite encore, entre 1800 et 1600. On y trouve des fractions, des équations du second et du troisième degré, des calculs d'hypoténuse, des triplets pythagoriciens, et diverses approximations numériques.

Des mathématiques d'école

Ce que nous appelons les mathématiques mésopotamiennes nous vient, pour l'essentiel, d'un lieu précis : l'école de scribes. L'enseignement y est attesté dès le troisième millénaire avant notre ère, peut-être aussi tôt que le règne de Sargon d'Akkad, entre 2334 et 2279 avant notre ère. Le programme suivait un ordre : d'abord des tables métrologiques, qui donnaient les conversions en nombres sexagésimaux positionnels, puis des tables numériques, d'inverses, de multiplications et de carrés. La toute première table apprise par un élève était la table des inverses, un choix qui n'a rien d'anodin, comme on va le voir.

Il faut prendre la mesure de ce que cela implique : ce corpus ne montre pas une recherche mathématique en train de se faire, il montre un enseignement, des cahiers d'élèves recopiant un savoir déjà stabilisé.

Pourquoi soixante

La question se pose presque d'elle-même : pourquoi compter en base 60 plutôt qu'en base 10 ? La réponse tient à une propriété arithmétique précise. Un nombre est dit régulier quand ses seuls facteurs premiers sont 2, 3 et 5, c'est-à-dire quand il s'écrit \( n = 2^i \times 3^j \times 5^k \). Or l'inverse d'un nombre régulier, et de lui seul, s'écrit avec un nombre fini de chiffres en base 60, c'est pourquoi tant de tables d'inverses ont été retrouvées. La raison tient en une ligne :

et donc toute puissance de 60 n'a, elle aussi, que 2, 3 et 5 pour facteurs premiers. Voyons-le sur un cas concret. Huit vaut \( 2^3 \) : c'est un nombre régulier, et son inverse s'arrête net en base 60.

• 1/2 = 0;30
• 1/3 = 0;20
• 1/5 = 0;12
• 1/6 = 0;10
• 1/8 = 0;7,30
• 1/9 = 0;6,40

L'écriture 0;a,b signifie a soixantièmes plus b trois-mille-six-centièmes ; ainsi 1/8 = 7/60 + 30/60², et 1/9 = 6/60 + 40/60². Sept, en revanche, n'a pas cette chance : il n'entre dans aucune décomposition en 2, 3 et 5, il n'est pas régulier. Son inverse ne s'arrête jamais en base 60, son écriture répète indéfiniment le motif 8,34,17. C'est pour cela que 7 est absent des tables d'inverses mésopotamiennes : la base 60 n'a rien à lui offrir.

Cette élégance a un revers. Les tablettes livrent des résultats sans trace du calcul intermédiaire, ce qui laisse penser aux spécialistes qu'un instrument auxiliaire accompagnait le scribe. On n'y trouve aucune démonstration au sens où les Grecs l'entendront plus tard, et l'algèbre s'y pratique sans que les opérations soient véritablement posées par écrit. Ce n'est pas un manque à combler : c'est une autre façon de faire des mathématiques, différente dans sa manière de se montrer.

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