Uruk

Les archives d'une comptabilité

Les plus anciens témoignages écrits connus datent d'environ 3300 av. J.-C. Ils ont été trouvés pour l'essentiel à Uruk, en Basse Mésopotamie.

Ce sont des milliers de tablettes d'argile, les archives administratives du complexe cultuel et palatial de la cité, l'Eanna. L'écriture n'y est pas encore cunéiforme mais proto-cunéiforme ; elle se développe entre 3300 et 3000 environ, à l'époque dite Uruk IV, puis pendant la phase suivante, Uruk III ou Jemdet Nasr, jusque vers 2900.

Sur ces documents, un nombre noté par une marque est suivi du nom d'une personne, d'un animal ou d'une denrée, désigné par un dessin. Ce ne sont pas des textes de mathématiques : c'est de la comptabilité. Les mathématiques sont nées dans les livres de comptes d'une administration.

Cinq systèmes, et le choix dépend de ce qu'on compte

Robert Englund distingue cinq systèmes de numération principaux, avec de nombreuses variantes, pour la période d'Uruk et les dynasties archaïques qui la suivent. Le système employé dépend de la nature de ce qui est compté : objets discrets — hommes, bétail, produits manufacturés, récipients —, animaux morts, produits consommables comme les poissons ou les fromages, surfaces, graines, quantités d'argent, durées.

Trois exemples donnent la mesure de l'écart entre ces systèmes :

• système sexagésimal, pour les objets discrets : 36 000, 3 600, 600, 60, 10, 1 ;
• système dit ŠE, pour les graines : 1 800, 180, 60, 6, 1 ;
• système bisexagésimal, pour les produits consommables : 7 200, 1 200, 120, 60, 10, 1.

Dans le système sexagésimal, la valeur d'un signe selon son rang suit cette progression :

Le même signe, tracé de la même façon, ne vaut donc pas la même chose selon la colonne où il se trouve, ni selon la marchandise en cause : passer des hommes aux graines, c'est changer d'échelle en même temps que de sujet.

Le signe numérique, lui, s'est déjà détaché du dessin de la chose comptée : une marque de compte n'est plus le portrait réduit d'un jeton qui aurait valu à la fois la quantité et la marchandise, elle note une quantité. Mais le système auquel appartient ce signe reste attaché à la nature de ce qui est compté : compter des graines ou compter des hommes n'emprunte pas la même échelle. Le nombre s'est détaché du dessin de la chose, pas encore de sa nature ; il n'y a pas encore UN nombre valable pour tout, il y a des nombres par sortes de choses.

Ce qui viendra après, et ce qui manquera longtemps

Au IIIe millénaire, les scribes prennent l'habitude de mener les calculs en système positionnel sexagésimal, puis de reconvertir les résultats dans les systèmes métrologiques voulus. Le calcul se sépare ainsi peu à peu de la mesure, un pas de plus vers un nombre qui vaudrait pour lui-même.

La place vide, elle, n'est notée par aucun signe pendant près de deux millénaires : rien, dans l'écriture, ne distingue un rang inoccupé du rang qui le suit. Un symbole formé de deux chevrons juxtaposés ou superposés apparaît seulement à la fin de l'époque paléo-babylonienne, et devient courant dans les textes astronomiques séleucides, vers 300 av. J.-C.

Il aura donc fallu près de deux mille ans, depuis les premières tablettes d'Uruk, pour qu'un signe vienne dire, à une place donnée, qu'il n'y a rien à cette place.

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