Sumer

Le nombre se détache de ce qu'on compte

Les plus anciennes traces écrites de calcul viennent de tablettes dites numéro-idéographiques, connues à Uruk et en Susiane. Elles portent une notation numérique associée à un ou deux idéogrammes désignant un produit de base : des épis de céréales, du bétail, des poissons. Jusque-là, une marque ne valait que pour la chose qu'elle accompagnait. À partir de ce moment, la façon de noter les nombres se détache de l'objet compté : le signe désigne une quantité, quelle que soit la nature de ce qui est compté.

Ce détachement est le seuil qui sépare un simple décompte d'une véritable arithmétique. Sans lui, il n'existe ni table, ni problème posé, ni règle générale applicable d'une situation à l'autre. C'est ce pas, discret en apparence, qui ouvre la voie à tout ce qui suit.

Deux familles de systèmes, et le métier du scribe

Les systèmes de numération que l'on trouve dans les textes sumériens des IVe et IIIe millénaires sont les ancêtres directs des numérations mésopotamiennes plus tardives. On y distingue deux familles bien différentes. D'un côté, des systèmes de numération destinés au calcul, le plus souvent positionnels et fondés sur la base soixante. De l'autre, des systèmes métrologiques, dont les bases varient selon la grandeur mesurée : ils ne servent pas à compter mais à mesurer des volumes, des surfaces ou des poids.

L'une des tâches du scribe consistait justement à passer d'un système à l'autre : convertir les nombres exprimés dans ces divers systèmes métrologiques en notation sexagésimale savante, seule capable de porter un calcul. Une métrologie déjà élaborée existe dès 3000 av. J.-C. À partir de 2600 av. J.-C., des tables de multiplication sont dressées sur des tablettes d'argile, en même temps qu'apparaissent les premiers énoncés de problèmes portant sur la géométrie et sur la division.

Le plus ancien problème écrit que l'on connaisse

C'est à Shuruppak, vers 2650 av. J.-C., qu'a été écrit le plus ancien problème mathématique connu. Il tient en une phrase : on donne un grenier d'orge, chaque homme reçoit 7 silà, combien sont ces hommes ? Le silà est une mesure de capacité valant environ 0,842 litre, et le grenier compte 1 152 000 silà.

Le calcul se pose comme une division simple.

La vérification tient tout aussi bien : \( 164\,571 \times 7 = 1\,151\,997 \), et il demeure 3 silà au fond du grenier. Ce reste n'est pas une imperfection du calcul, il fait partie de la réponse : le grenier ne se répartit pas exactement entre les hommes.

On peut noter, en passant, que ce total de 1 152 000 s'écrit de façon particulièrement ronde en base soixante.

Ce qui distingue ce texte d'un simple compte d'objets, c'est sa forme même : une quantité connue, une part imposée à chacun, une inconnue à trouver. Ce n'est plus noter un total, c'est poser une question et la résoudre — et une réponse qui ne tombe pas juste en fait partie intégrante.

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