Histoire des mathématiques Discipline

géométrie spin

Discipline

domaine de la géométrie différentielle et de la topologie étudiant les variétés spin, les champs de spineurs, les opérateurs de Dirac et divers théorèmes d'indice associés

domaine
géométrie différentielle

Pour comprendre

Géométrie spin

La géométrie spin est un domaine de la géométrie différentielle et de la topologie. Elle étudie les variétés spin, les champs de spineurs, les opérateurs de Dirac et divers théorèmes d'indice associés.

Ce qu'elle étudie

Son domaine rassemble ces objets et ces théorèmes. Les variétés spin, les champs de spineurs et les opérateurs de Dirac sont ainsi les éléments explicitement nommés par le dossier, avec les théorèmes d'indice qui leur sont associés.

Cette énumération indique que la discipline ne se limite pas à un seul objet : elle étudie à la fois des variétés, des champs, des opérateurs et des théorèmes d'indice associés.

Où elle se place

Elle relève de la géométrie différentielle. Le diagramme la situe auprès de la géométrie riemannienne et de la géométrie symplectique.

flowchart TD
  P0[géométrie différentielle] --> D([géométrie spin])
  P0 --> S0[géométrie riemannienne]
  P0 --> S1[géométrie symplectique]

Cas d’usage

Cherchons une racine carrée de \(x^2+y^2\). Avec deux nombres, \((ax+by)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2\). Il faudrait \(a^2=b^2=1\) et \(2ab=0\) : impossible.

Prenons des matrices, tableaux de nombres qui agissent sur des colonnes :

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$
$$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

On a \(A^2=B^2=I\), où \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) laisse chaque colonne inchangée. Mais \(AB=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) et \(BA=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\). Donc \(AB+BA=0\) : les termes en \(xy\) s'annulent.

$$(xA+yB)^2$$
$${}=x^2A^2+xy(AB+BA)+y^2B^2$$
$${}=(x^2+y^2)I$$

Pour \(x=3,y=4\), \(3A+4B=\begin{pmatrix}4&3\\3&-4\end{pmatrix}\). Dans son carré, on calcule \(4^2+3^2=25\) et \(4\times3+3\times(-4)=0\). On obtient \(\begin{pmatrix}25&0\\0&25\end{pmatrix}=25I\), avec \(25=3^2+4^2\).

Les colonnes à deux nombres sur lesquelles agissent ces matrices sont ici les spineurs. Remplaçons \(x,y\) par les dérivations selon ces directions, qui mesurent les variations : on obtient l'opérateur de Dirac. Son carré est le laplacien : on dérive deux fois dans chaque direction, puis on additionne.

Faisons ensuite tourner un spineur d'un angle \(\theta/2\). La rotation est donnée par la matrice :

$$S=\begin{pmatrix}\cos(\theta/2)&-\sin(\theta/2)\\\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)\end{pmatrix}$$

Calculer \(S(xA+yB)S^{-1}\), où \(S^{-1}\) annule la rotation, donne \(x'A+y'B\), avec :

$$x'=x\cos\theta+y\sin\theta$$
$$y'=-x\sin\theta+y\cos\theta$$

Le couple \((x,y)\) a donc tourné de l'angle entier \(\theta\).

  • Pour \(\theta=180^\circ\), \(S=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) : un quart de tour.
  • Pour \(\theta=360^\circ\), \(S=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I\). Le couple revient, mais le spineur devient son opposé.
  • Pour \(\theta=720^\circ\), \(S=I\) : le spineur revient aussi.

La géométrie spin transporte ce calcul sur des espaces courbes : un espace est dit spin quand on peut y choisir ce signe de façon cohérente d'un point à l'autre.

Sources