K-théorie

Discipline

branche des mathématiques étudiant des anneaux engendrés par des fibrés vectoriels sur des espaces et des schémas

domaine: Mathématiques

Pour comprendre

La K-théorie étudie des anneaux construits à partir de fibrés vectoriels définis sur des espaces ou des schémas. Un fibré vectoriel associe à chaque point d'un espace un espace vectoriel qui varie continûment d'un point à l'autre ; la K-théorie s'intéresse aux structures algébriques que l'on peut former en combinant l'ensemble de ces fibrés.

Ce qu'elle étudie

À partir des fibrés vectoriels portés par un espace ou par un schéma, on peut définir des opérations, comme l'addition ou le produit, qui font apparaître une structure d'anneau. La K-théorie étudie précisément ces anneaux : leurs propriétés permettent souvent de retrouver, sous une forme algébrique, des informations sur la géométrie ou la topologie de l'espace de départ.

Où elle se place

La K-théorie est l'une des branches des mathématiques, aux côtés de l'algèbre, de l'analyse et de l'arithmétique, avec lesquelles elle partage des méthodes et des objets d'étude.

flowchart TD
  P0[Mathématiques] --> D([K-théorie])
  P0 --> S0[algebre]
  P0 --> S1[analyse]
  P0 --> S2[arithmetique]
  P0 --> S3[arithmétique modulaire]

Cas d’usage

Attachons un espace vectoriel à un point. On peut y additionner des vecteurs et les multiplier par des nombres. Sa dimension compte les directions indépendantes. Un fibré vectoriel attache un tel espace à chaque point.

Mettons côte à côte deux espaces : cette somme directe, notée $\oplus$, ajoute leurs dimensions, $2+3=5$. Le produit tensoriel associe les directions deux à deux : les dimensions se multiplient, $2\times3=6$.

La K-théorie autorise ensuite des différences formelles : « dimension $2$ moins dimension $3$ » vaut $-1$, comme on invente les entiers négatifs à partir des entiers naturels. Sur un point, l'anneau de K-théorie est donc l'anneau des entiers $\mathbb{Z}$.

Recollons ensuite les bouts d'une bande de papier autour d'un cercle. Garder le sens donne la bande plate, recollement $+1$ ; le retourner donne le ruban de Möbius, recollement $-1$. Ces bandes représentent des fibrés en droites réelles : une droite attachée à chaque point du cercle. Passer continûment de $+1$ à $-1$ obligerait à traverser $0$, où le recollement ne serait plus réversible.

Superposons deux rubans. Chaque point porte maintenant un plan : le fibré est de rang $2$, c'est-à-dire de dimension $2$ en chaque point. Le recollement est la matrice, tableau décrivant l'action sur ce plan :

$$\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

C'est un demi-tour. Les rotations d'angle $\pi u$, pour $u$ de $0$ à $1$, relient l'identité, qui ne change rien, au demi-tour. Toutes sont réversibles. Leur déterminant, facteur d'aire avec son orientation, vaut $1$. Deux rubans donnent donc le même fibré que deux bandes plates.

Une bande et un ruban donnent $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, de déterminant $-1$. Son signe ne peut changer sans passer par zéro : ce fibré diffère des deux bandes plates.

Posons $m=[\text{ruban}]-[\text{bande}]$. Deux rubans valant deux bandes, $2m=0$, alors que $m\ne0$. La K-théorie réelle du cercle vaut $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ : le rang, puis le nombre pair ou impair de rubans. Trois rubans ont le signe $(-1)^3=-1$ et équivalent à un ruban et deux bandes.

Liens

comprend: K-théorie algébrique

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q15615154