Histoire des mathématiques Discipline

K-théorie algébrique

Discipline

une branche de l'algèbre homologique, dont l’objet est de définir et d’appliquer une suite de foncteurs 𝐾ₙ de la catégorie des anneaux dans celle des groupes abéliens

domaine
algèbre homologique · K-théorie

Pour comprendre

La K-théorie algébrique est une branche de l'algèbre homologique qui vise à définir et à utiliser une famille de foncteurs, notés \(K_n\), permettant de passer de la catégorie des anneaux à celle des groupes abéliens.

Ce qu'elle étudie

Un foncteur \(K_n\) associe à chaque anneau un groupe abélien, de façon à transporter certaines propriétés algébriques de l'anneau de départ vers un objet plus simple à manipuler. La K-théorie algébrique étudie cette famille de foncteurs pour chaque entier n, et cherche à comprendre ce que ces groupes révèlent de la structure des anneaux dont ils proviennent.

Où elle se place

Elle appartient à la fois à la K-théorie et à l'algèbre homologique, dont elle prolonge les méthodes en les appliquant à l'étude systématique des anneaux.

Cas d’usage

Comparons les restes des divisions par \(7\) et par \(6\). Dans ces anneaux, on additionne et multiplie en gardant les restes : c'est le calcul modulo. Un idempotent est égal à son carré. Dans \(\mathbb{Z}/7\), les carrés successifs sont \(0,1,4,2,2,4,1\) : seuls \(0,1\) sont idempotents.

Dans \(\mathbb{Z}/6\), ce sont \(0,1,3,4\) : \(3\times3=9=6+3\), \(4\times4=16=12+4\). Modulo \(6\), on a aussi \(3+4=7=1\) et \(3\times4=12=0\). Chaque reste \(n\) se décompose donc en \(3n+4n\), avec une part dans \(P=\{0,3\}\), l'autre dans \(Q=\{0,2,4\}\). Les \(2\times3=6\) combinaisons sont distinctes.

Ces morceaux détachables de l'anneau sont des modules projectifs. Empilons \(a\) copies de \(P\) et \(b\) copies de \(Q\). En autorisant les différences d'empilements, on obtient \(K_0(\mathbb{Z}/6)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\), le couple d'entiers \((a,b)\). Dans \(\mathbb{Z}/7\), tout reste non nul a un inverse, qui donne \(1\) en le multipliant : c'est un corps. Un module projectif y est un espace vectoriel, décrit par sa dimension, nombre de directions indépendantes. Ainsi \(K_0(\mathbb{Z}/7)=\mathbb{Z}\).

Cherchons ensuite quelles matrices entières sont inversibles. Une matrice est un tableau de nombres ; son inverse doit défaire son action, avec des coefficients encore entiers.

\(\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\) a pour déterminant, différence des produits en diagonale, \(2\times2-3\times1=1\). Son inverse est \(\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\), entière.

\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\), de déterminant \(-2\), a pour inverse \(\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}\) : elle contient des fractions. Enfin, \(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), de déterminant \(-1\), est sa propre inverse.

Si \(M\) et \(M^{-1}\) sont entières, \(\det M\times\det M^{-1}=1\). Ces deux entiers valent donc \(1\) ou \(-1\). Le déterminant donne \(K_1(\mathbb{Z})=\{+1,-1\}\), avec la multiplication.

Sur les rationnels \(\mathbb{Q}\), fractions d'entiers, \(\begin{pmatrix}5/7&0\\0&1\end{pmatrix}\) est inversible. Tout rationnel non nul peut être un déterminant. \(K_1(\mathbb{Q})\) regroupe ces nombres avec la multiplication : il est infini.

Sources