algèbre homologique

Discipline

étude des objets algébriques par des complexes et de leurs défauts d'exactitude

domaine: algèbre générale · théorie des catégories

Pour comprendre

L’algèbre homologique étudie des objets algébriques en les reliant par des applications successives. Ces enchaînements, appelés complexes, permettent de repérer ce qui se transmet correctement d’une étape à l’autre et ce qui résiste à cet enchaînement. L’information importante se trouve précisément dans ce défaut d’exactitude, nommé homologie.

Ce qu'elle étudie

Dans un complexe, chaque application conduit vers un nouvel objet, lui-même relié au suivant. L’algèbre homologique examine alors l’écart entre ce qui arrive à une étape et ce qui devrait en repartir pour que la suite soit exacte. Elle transforme cet écart en un objet algébrique que l’on peut comparer, calculer et suivre. Au lieu d’observer seulement les objets isolés, elle révèle ainsi une structure portée par leurs relations. Cet outillage, né pour étudier les formes, est devenu transversal : un même langage sert à rapprocher des constructions algébriques différentes.

À quoi elle sert

Elle fournit des moyens communs pour :

analyser algébriquement les propriétés des formes ;
étudier des objets de géométrie algébrique ;
comparer des structures grâce aux défauts d’exactitude qu’elles présentent.

Où elle se place

Elle se situe au croisement de l’algèbre et de la topologie algébrique. Son caractère transversal en fait aussi un outillage de comparaison pour d’autres branches de la géométrie.

Cas d’usage

Comptons les sommets, les arêtes et les faces de solides : leurs coins, leurs côtés et leurs surfaces planes. Retirons le nombre d'arêtes de celui des sommets, puis ajoutons les faces :

Cube : $8-12+6=2$.
Tétraèdre, à quatre faces : $4-6+4=2$.
Octaèdre, à huit faces : $6-12+8=2$.

Ces surfaces ont la forme d'une sphère. Le découpage change, le résultat reste $2$. Un tore est une surface en forme de bouée. Son quadrillage en $3\times3$ donne $9$ sommets, $18$ arêtes et $9$ faces :

$$9-18+9=0$$

Le résultat n'est plus $2$ : ce comptage distingue la surface trouée.

Suivons le bord d'un triangle, d'abord creux, puis plein. Ses sommets sont $A,B,C$. Ses arêtes $a=AB$, $b=BC$, $c=CA$ sont orientées : on les parcourt dans le sens des lettres. Le bord d'une arête est son arrivée moins son départ :

$$\operatorname{bord}(a)=B-A$$

$$\operatorname{bord}(b)=C-B$$

$$\operatorname{bord}(c)=A-C$$

Pour le tour complet $a+b+c$, additionnons ces bords :

$$(B-A)+(C-B)+(A-C)=0$$

Chaque sommet apparaît avec les deux signes et s'annule. Ce tour fermé, de bord nul, est un cycle. Le noyau de l'opération bord est l'ensemble des combinaisons d'arêtes de bord nul. Ici, sa dimension vaut $1$ : un seul cycle indépendant suffit, les autres en sont des multiples.

Dans le triangle creux, aucune face n'a ce cycle pour bord. On compte $1$ cycle indépendant et $0$ bord de face : $1-0=1$, un trou.

Dans le triangle plein, la face $F$ a pour bord :

$$\operatorname{bord}(F)=a+b+c$$

Le cycle est maintenant un bord de face : $1-1=0$, aucun trou. Dans les deux cas, le triangle reste d'une seule pièce, appelée composante connexe. Le comptage sommets moins arêtes plus faces retrouve le nombre de pièces moins celui des trous :

Creux : $3-3+0=0=1-1$.
Plein : $3-3+1=1=1-0$.

Reprendre le bord de la face redonne la somme déjà annulée :

$$\operatorname{bord}(\operatorname{bord}(F))=0$$

Le bord d'un bord est nul.

Liens

a compté parmi ses contributeurs: Alexandre Grothendieck

Henri Cartan
comprend: K-théorie algébrique

Sources

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Rédaction Synapx INTERNE

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