théorie des catégories

Discipline

étude des structures mathématiques et de leurs relations

domaine: théorie des catégories d'ordre élevé

Pour comprendre

La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et les relations qui les unissent. Elle conduit ainsi à regarder des objets mathématiques avec les liens qui permettent de passer de l'un à l'autre, plutôt que de les considérer isolément.

Ce qu'elle étudie

Son objet est l'organisation de ces structures et de leurs relations. Cette manière de les étudier met l'accent sur ce qui relie les objets et sur la façon dont ces relations peuvent être examinées ensemble.

Où elle se place

Elle appartient à la théorie des catégories d'ordre élevé. Elle s'inscrit donc dans un cadre où la théorie des catégories est prolongée.

Cas d’usage

Construisons une catégorie : des objets, des flèches et leur enchaînement, appelé composition. Chaque objet possède une flèche vers lui-même, son identité. La théorie étudie ces flèches plutôt que le contenu des objets.

Prenons $1,2,3,4,6,12$. Traçons $a\to b$ quand $a$ divise $b$. Ces objets ont respectivement $6,4,3,2,2,1$ flèches sortantes : $18$ au total, dont $6$ identités et $12$ autres. Enchaîner $2\to6$ et $6\to12$ donne $2\to12$. Entre $4$ et $6$, aucune flèche dans aucun sens.

Cherchons le produit de $12$ et $18$ parmi tous les entiers positifs. Ce mot désigne ici un objet $P$ allant vers les deux objets, et que tout objet $Q$ allant vers eux rejoint par une unique flèche compatible avec les précédentes.

Il faut donc un diviseur commun que tous les diviseurs communs divisent. Ceux-ci sont $1,2,3,6$ :

$$P=6=\operatorname{PGCD}(12,18)$$

Le PGCD est le plus grand diviseur commun. Renverser les flèches définit le coproduit : $12\to P$, $18\to P$, puis $P\to Q$ vers tout multiple commun $Q$. C'est le plus petit commun multiple : $36=\operatorname{PPCM}(12,18)$, qui divise $36,72,108,\ldots$.

Pour les ensembles, les flèches sont des fonctions. Le produit réunit les couples : avec $3$ et $2$ éléments, $3\times2=6$ couples. Le coproduit rassemble les éléments en gardant leur origine : $3+2=5$ éléments. Depuis un ensemble à $2$ éléments, on compte $6^2=36$ fonctions vers les couples, autant que les paires de fonctions vers les facteurs : $3^2\times2^2=36$.

Traduisons enfin chaque entier par $\Omega(n)$, son nombre de facteurs premiers, répétitions comprises :

$$\Omega(1)=0,\quad\Omega(2)=\Omega(3)=1$$

$$\Omega(4)=\Omega(6)=2,\quad\Omega(12)=3$$

À l'arrivée, une flèche signifie $m\leq n$. Si $a$ divise $b$, alors $\Omega(a)\leq\Omega(b)$. Cette traduction respecte les $18$ flèches, les identités et la composition : c'est un foncteur. La réciproque échoue : $\Omega(4)=\Omega(6)=2$, mais $4$ ne divise pas $6$.

La traduction $d\mapsto12/d$ renverse les flèches : $2\to6$ donne une flèche de $12/6=2$ vers $12/2=6$. Elle échange PGCD et PPCM.

Liens

a compté parmi ses contributeurs: Alexandre Grothendieck
comprend: algèbre homologique

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q217413