théorie des catégories d'ordre élevé

La théorie des catégories d'ordre élevé étend la théorie des catégories en donnant aux flèches leurs propres flèches. Au lieu de ne considérer que des objets et les relations représentées par des flèches entre eux, elle ajoute de nouveaux niveaux de relations entre ces flèches. Cette construction se répète étage après étage.

Ce qu'elle étudie

Dans ce cadre, une flèche n'est pas seulement un lien fixe entre deux objets. Elle peut elle-même être comparée, transformée ou reliée à une autre flèche. Les relations entre relations deviennent alors des objets d'étude à part entière. La théorie organise ces niveaux successifs afin de pouvoir raisonner sur des structures dont les liens possèdent eux aussi une structure.

Cette extension répond au besoin de raisonner à déformation près à tous les niveaux. Une égalité stricte peut être remplacée par une déformation, puis une relation entre déformations, et ainsi de suite. L'enjeu est de conserver une cohérence entre ces étages, pour que les comparaisons ne restent pas isolées mais forment un langage structuré.

À quoi elle sert

Elle sert de cadre aux fondements de l'homotopie moderne.

• fondements de l'homotopie moderne

Où elle se place

Elle prolonge la théorie des catégories dans les contextes où les objets et les flèches doivent être comparés à déformation près.