Histoire des mathématiques Discipline

algèbre générale

Discipline

branche des mathématiques portant sur les structures algébriques et leurs relations

domaine
Mathématiques · Algèbre

Pour comprendre

L'algèbre générale est une branche des mathématiques portant sur les structures algébriques et leurs relations. Elle est une branche de l'algèbre.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline étudie les structures algébriques et les relations qu'elles entretiennent. Elle ne décrit pas une structure isolée : son objet comprend aussi les liens entre ces structures. Le dossier l'associe aux mathématiques et indique qu'elle est utilisée dans l'algèbre ainsi que dans l'algèbre classique. Elle offre donc un cadre général pour considérer des structures algébriques et leurs relations.

Où elle se place

Elle est placée dans l'algèbre et rattachée aux mathématiques par les relations du dossier.

flowchart TD
  P0[Algèbre] --> D([algèbre générale])
  P0 --> S0[algèbre classique]
  P0 --> S1[algèbre de Boole]
  P0 --> S2[algèbre quantique]
  P0 --> S3[algèbre universelle]

Cas d’usage

Enchaînons les symétries d'un rectangle non carré, les mouvements qui le ramènent sur lui-même. Notons \(e\) l'absence de mouvement, \(h\) le retournement autour de l'axe horizontal, \(v\) celui autour de l'axe vertical et \(r\) le demi-tour. On obtient :

  • \(h\) puis \(v\) donne \(r\) ; \(v\) puis \(h\) donne \(r\).
  • \(h\) puis \(r\) donne \(v\) ; \(r\) puis \(v\) donne \(h\).
  • \(h\) puis \(h\), \(v\) puis \(v\), \(r\) puis \(r\) donnent \(e\).

L'enchaînement reste parmi ces mouvements. Le regroupement des étapes ne change pas le résultat. Le mouvement \(e\) est neutre : il ne change rien. Chacun est son propre inverse : le répéter l'annule. Ces propriétés définissent un groupe. Ici, il est commutatif : l'ordre ne compte pas, pour toutes les paires.

Comparons les calculs sur les restes de division par \(6\), puis par \(7\). Calculer modulo un nombre signifie ne garder que le reste après division par ce nombre. Modulo \(6\), \(2\times3=6\) et \(3\times4=12\) donnent le reste \(0\). Des restes non nuls ont donc un produit nul.

Un inverse multiplicatif donne le reste \(1\) quand on multiplie par lui. Les produits de \(2\) par \(1,2,3,4,5\) donnent les restes \(2,4,0,2,4\). Multiplier par \(0\) ne donne pas davantage \(1\). Les restes \(0,2,3,4\) n'ont pas d'inverse.

Modulo \(7\), chaque reste non nul en a un : \(1\times1=1\), \(2\times4=8\), \(3\times5=15\), \(6\times6=36\) donnent tous le reste \(1\). Un anneau permet d'additionner, de soustraire et de multiplier selon les règles usuelles. Un corps permet aussi de diviser par tout élément non nul. Ici, les restes modulo \(7\) forment un corps ; ceux modulo \(6\), seulement un anneau.

Échangeons enfin les places des lettres \(A,B,C\). Appelons \(s\) l'échange des places \(1\) et \(2\), et \(t\) celui des places \(2\) et \(3\). Pour \(s\) puis \(t\) :

$$ABC\to BAC\to BCA$$

Pour \(t\) puis \(s\) :

$$ABC\to ACB\to CAB$$

Puisque \(BCA\ne CAB\), le groupe des \(6\) réarrangements n'est pas commutatif.

Liens

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Sources