Histoire des mathématiques Discipline

Algèbre

Discipline

branche des mathématiques s'intéressant aux structures et à la résolution d'équations

domaine
Mathématiques

Pour comprendre

L'algèbre sert d'abord à calculer avec une quantité inconnue, représentée par une lettre. Chercher le prix manquant dans un calcul ou retrouver une longueur à partir d'autres mesures revient souvent à résoudre une équation.

Ce qu'elle étudie

Elle étudie les équations, c'est-à-dire des égalités où une ou plusieurs quantités restent à déterminer. Une écriture comme \(ax^2 + bx + c = 0\) décrit une équation du second degré, dont la lettre x est l'inconnue.

L'algèbre étudie aussi des ensembles munis d'opérations. Cette approche permet de décrire les vecteurs et les matrices, les relations de vrai et de faux, ou encore des structures qui organisent des symétries et des codes correcteurs.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Les solutions de l'équation du second degré se calculent directement à partir de ses trois coefficients.

À quoi elle sert

Elle permet de transformer un problème exprimé en mots en calculs qui font apparaître l'inconnue.

  • Résoudre des problèmes où une quantité est inconnue.
  • Utiliser vecteurs et matrices pour l'infographie 3D, les moteurs de recherche et l'apprentissage automatique.
  • Construire les circuits des ordinateurs avec l'algèbre de Boole, fondée sur vrai et faux.
  • Organiser symétries et codes correcteurs avec les structures algébriques.

Comment elle s'organise

L'algèbre classique traite les équations, tandis que l'algèbre linéaire travaille avec vecteurs et matrices. L'algèbre générale, l'algèbre de Boole et le calcul formel élargissent ensuite ce langage à d'autres opérations.

mindmap
  root((Algèbre))
    Algèbre classique
      Équations
    Algèbre linéaire
      Vecteurs et matrices
    Algèbre générale
      Groupes
      Anneaux
    Algèbre de Boole
      Vrai et faux
    Calcul formel

Racines et parabole

Cette figure représente la parabole \(y = x^2 - bx - c\) et les points où elle coupe l'axe horizontal : ce sont les racines de l'équation \(x^2 - bx - c = 0\). Cette recherche de solutions est au cœur des travaux d'al-Khwarizmi. Déplacez les curseurs \(b\) et \(c\) pour voir les racines changer de position.

{ "boundingBox": [ -6, 9, 6, -9 ], "axis": true, "grid": true, "sliders": [ { "name": "b", "min": -4, "max": 4, "value": 1 }, { "name": "c", "min": 0, "max": 6, "value": 2 } ], "functions": [ { "expression": "x^2-b*x-c", "color": "#2563eb", "width": 2, "label": "x² − bx − c" } ] }

Cas d’usage

Trouvons le prix d'un cahier et celui d'un stylo. Un cahier et deux stylos coûtent \(7\) € ; le cahier coûte \(1\) € de plus qu'un stylo. Appelons \(s\) le prix inconnu d'un stylo, en euros. Le cahier coûte \(s+1\). L'équation traduit l'énoncé :

$$(s+1)+2s=7$$

Regroupons les prix des stylos, retirons \(1\), puis divisons par \(3\) :

$$3s+1=7,\quad 3s=6,\quad s=2$$

Le stylo coûte \(2\) €, le cahier \(3\) €. Vérifions : \(3+2\times2=7\).

Calculons de tête un carré et un produit. Une identité est une égalité valable pour toutes les valeurs des lettres. Pour tous nombres \(a\) et \(b\) :

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Appliquons-la en séparant les centaines et les unités :

$$103^2=(100+3)^2$$
$${}=10\,000+600+9=10\,609$$

Une autre identité donne une différence de carrés :

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Les nombres à multiplier sont de part et d'autre de \(50\) :

$$51\times49=(50+1)(50-1)$$
$${}=2\,500-1=2\,499$$

Cherchons les dimensions d'un rectangle d'aire \(24\), dont la longueur dépasse la largeur de \(2\). Avec une largeur \(x\), la longueur vaut \(x+2\) :

$$x(x+2)=24$$

En développant le produit et en retirant \(24\), on obtient \(x^2+2x-24=0\). C'est une équation du second degré : le plus grand exposant de \(x\) est \(2\). Dans la formule de résolution, \(a=1\), \(b=2\), \(c=-24\). Calculons :

$$b^2-4ac=4+96=100$$

La racine carrée de \(100\), le nombre positif dont le carré vaut \(100\), est \(10\). La formule donne :

$$x=\frac{-2+10}{2}=4$$

ou

$$x=\frac{-2-10}{2}=-6$$

Une largeur ne peut pas être négative. On garde \(x=4\) : largeur \(4\), longueur \(6\), et \(4\times6=24\).

Liens

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Sources