Histoire des mathématiques Discipline

géométrie algébrique

Discipline

branche des mathématiques étudiant les variétés algébriques et leurs généralisations

domaine
Algèbre · Géométrie

Pour comprendre

La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques. Les relations du corpus la rattachent à la fois à l’algèbre et à la géométrie. Ces rattachements indiquent sa place entre ces deux domaines, mais la description ne précise pas ses objets, ses méthodes ni ses usages.

Où elle se place

Elle appartient à l’algèbre et à la géométrie.

Cas d’usage

Comptons les points communs à deux courbes. La géométrie algébrique étudie les points définis par des équations polynomiales, faites de sommes et de produits. Elle utilise aussi les nombres complexes, avec \(i^2=-1\).

Prenons le cercle \(x^2+y^2=20\) et la parabole \(y=x^2\). Leurs degrés, les plus grandes sommes d'exposants d'un terme, valent \(2\). Ici, leur produit \(2\times2=4\) donne le nombre de points communs complexes. Remplaçons \(x^2\) par \(y\) :

$$y^2+y-20=(y-4)(y+5)=0$$

Pour \(y=4\), on obtient \(x=\pm2\), donc \((2;4)\) et \((-2;4)\) : \(4+16=20\). Pour \(y=-5\), \(x^2=-5\) donne \((\pm i\sqrt5;-5)\). Cela fait bien quatre points, dont deux visibles sur le dessin réel.

Avec \(x^2+y^2=4\), on trouve \(y^2+y-4=0\), puis \(y=(-1\pm\sqrt{17})/2\), soit environ \(1{,}5616\) et \(-2{,}5616\). Il reste quatre points complexes, aucun à coordonnées entières.

Coupons maintenant la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\). C'est une surface de dimension \(2\) : on peut s'y déplacer dans deux directions indépendantes. Imposons \(z=1/2\) :

$$x^2+y^2=1-1/4=3/4$$

Il reste un cercle, de dimension \(1\), de rayon \(\sqrt3/2\approx0{,}866\). Imposons aussi \(y=0\) : \(x^2=3/4\). Il reste les deux points \((\pm\sqrt3/2;0;1/2)\), de dimension \(0\). Avec \(z=2\), on aurait \(x^2+y^2=-3\) : aucun point réel, mais des points complexes.

Repérons enfin une pointe de courbe. Pour \(F(x,y)=0\), un point singulier annule aussi les dérivées partielles, qui mesurent séparément la variation selon chaque coordonnée. Pour \(F=y^2-x^3\), elles valent \(-3x^2\) et \(2y\) : elles s'annulent seulement en \((0;0)\), la pointe. La courbe passe aussi par \((1;1)\) et \((4;8)\), car \(8^2=64=4^3\).

Pour \(F=y^2-x^3-x\), les dérivées sont \(-3x^2-1\) et \(2y\). Sur les réels, la première ne s'annule jamais : aucune singularité. Le point \((2;\sqrt{10})\) appartient à cette courbe, car \(2^3+2=10\).

Liens

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Sources

  • Rédaction Synapx INTERNE
  • Wikidata CC0-1.0