théorie des singularités

Discipline

branche des mathématiques étudiant les cas limites des structures de variété

domaine: géométrie algébrique

Pour comprendre

La théorie des singularités est une branche des mathématiques qui étudie les cas limites des structures de variété.

Ce qu'elle étudie

Elle s'intéresse aux points ou aux situations où une structure de variété cesse de se comporter régulièrement, c'est-à-dire aux endroits où les propriétés habituelles de régularité ne s'appliquent plus.

Où elle se place

Elle se rattache à la géométrie algébrique.

Cas d’usage

Repérons les accidents d'une courbe : pointes et croisements. La théorie des singularités les distingue et regarde s'ils résistent à une petite modification.

Pour une courbe $f(x,y)=0$, cherchons où les dérivées $f_x,f_y$, qui mesurent les variations dans chaque direction, s'annulent ensemble. Pour $f=y-x^3$, $f_y=1$ : aucun point singulier. Pour $f=y^2-x^3+x^2$, les dérivées $x(2-3x)$ et $2y$ s'annulent en $(0;0)$ et $(2/3;0)$ ; mais $f(2/3;0)=4/27$, hors de la courbe. Pour $0 < x < 1$, $x^2(x-1) < 0$ : aucun point. La courbe se réduit à l'origine, isolée, et à une branche issue de $(1;0)$.

Les termes de plus bas degré de $f$ donnent les tangentes au point singulier. Ici $x^2+y^2=0$, sans droite réelle : un point isolé. Pour $f=x^3+y^3-3xy$, les dérivées s'annulent en $(0;0)$ et $(1;1)$, mais $f(1;1)=-1$ ; à l'origine, $-3xy=0$ donne deux tangentes, $x=0$ et $y=0$ : un croisement. Pour $f=y^2-x^4=(y-x^2)(y+x^2)$, deux paraboles, les dérivées $-4x^3$ et $2y$ s'annulent seulement à l'origine, et $y^2=0$ donne une tangente double : les branches se touchent sans se croiser. La pointe $y^2=x^3$ a le même terme $y^2$ : il classe sans tout distinguer.

Suivons les niveaux, points de même valeur, de $g=x^2-y^2$. Ses dérivées $2x,-2y$ s'annulent seulement à l'origine. Les niveaux $1$ et $-1$ sont des hyperboles, à deux branches. Au niveau $0$ :

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0$$

Les droites $y=x$ et $y=-x$ se croisent. Ajoutons $tx^3$. Les points critiques, où les dérivées s'annulent, sont $(0;0)$ et $(-2/(3t);0)$. Pour $t=0{,}1$, le second est loin, en $x\approx-6{,}67$. Près de l'origine, le niveau nul devient $y^2=x^2(1+tx)$ : le croisement persiste.

Déformons enfin la pointe avec $y^2=x^3-3x+c$. Un point singulier exige $y=0$ et $3x^2-3=0$, donc $x=\pm1$. On obtient $c=2$ ou $c=-2$ :

$$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$$

$$x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)$$

Points doubles : $(1;0)$ et $(-1;0)$. Toute autre valeur donne une courbe lisse. La fonction $y^2-x^3+3x$ a deux points critiques ; $y^2-x^2-tx-c$ n'en a qu'un. Cette différence distingue la pointe du croisement.

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q4245771