théorie de l'intersection

Comptons les points communs à un cercle et une parabole, en comptant plusieurs fois un contact. La théorie de l'intersection relie ce compte au produit des degrés des courbes, en admettant aussi les coordonnées complexes et les points à l'infini.

Prenons \(x^2+y^2=1\) et \(y=x^2-1\). Le degré, plus grand total des exposants d'un terme de chaque équation, vaut \(2\). Nous attendons \(2\times2=4\) intersections. Remplaçons \(y\) :

Les valeurs \(x=1\) et \(x=-1\) donnent \((1,0)\) et \((-1,0)\). Le facteur \(x^2\) donne une racine double, \(x=0\), donc \((0,-1)\). Ce point vérifie bien \(0+1=1\) et \(-1=0-1\). Les courbes y ont la même tangente horizontale, la droite qui suit leur direction au contact. Elles se touchent sans se traverser. Ce point compte pour \(2\) : le total est \(1+1+2=4\).

Cherchons les intersections de la droite \(y=x+3\) avec le même cercle. Le produit des degrés vaut \(1\times2=2\). Pourtant, la droite est à distance \(3/\sqrt2\approx2{,}1213\) du centre, au-delà du rayon \(1\). Aucun point commun n'est visible.

Le discriminant, le nombre qui détermine les racines de cette équation, vaut \(9-16=-7\). En introduisant \(i\), dont le carré vaut \(-1\), on obtient :

Les deux signes donnent deux points à coordonnées complexes, avec \(y=x+3\). Le compte attendu est retrouvé.

Cherchons enfin où se rencontrent les parallèles \(y=0\) et \(y=1\) : nous attendons \(1\times1=1\) point. Ajoutons une coordonnée : \((x,y)\) devient \((x:y:1)\). Les équations s'écrivent \(Y=0\) et \(Y=Z\). Ensemble, elles imposent \(Y=0,Z=0\), ce qui donne le point \((1:0:0)\). Avec \(Z=0\), il n'a pas de coordonnées ordinaires \((x,y)\). C'est le point à l'infini de la direction horizontale : les parallèles y ont leur intersection.