Histoire des mathématiques Discipline

algèbre de Boole

Discipline

partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques

domaine
Algèbre

Pour comprendre

Cette discipline est une partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique. Elle s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline traite des variables logiques et des opérations ou fonctions qui portent sur elles. Son calcul ne porte que sur vrai et faux. Elle relie ainsi les mathématiques, la logique et l'électronique autour de ces variables. Les opérations et les fonctions y servent à exprimer des affirmations logiques et leur négation.

$$x \lor \lnot x = 1$$

Cette formule signifie qu'une affirmation ou sa négation est toujours vraie ; le calcul ne porte que sur vrai et faux.

À quoi elle sert

Elle sert dans les domaines explicitement associés à cette discipline.

  • à traiter des opérations sur des variables logiques
  • à étudier des fonctions sur ces variables
  • à relier un même calcul aux mathématiques, à la logique et à l'électronique

Où elle se place

Elle est une branche de l'algèbre, parmi les branches présentées dans le diagramme.

flowchart TD
  P0[Algèbre] --> D([algèbre de Boole])
  P0 --> S0[algèbre classique]
  P0 --> S1[algèbre générale]
  P0 --> S2[algèbre quantique]
  P0 --> S3[algèbre universelle]

Cas d’usage

Vérifions une loi de De Morgan sur tous les cas possibles. On note \(1\) pour vrai et \(0\) pour faux. Les signes \(\land\), \(\lor\) et \(\neg\) signifient « et », « ou » et « non ». La loi s'écrit :

$$\neg(a\land b)=(\neg a)\lor(\neg b)$$
  • Si \(a=0,\ b=0\), les deux expressions valent \(1\).
  • Si \(a=0,\ b=1\), les deux expressions valent \(1\).
  • Si \(a=1,\ b=0\), les deux expressions valent \(1\).
  • Si \(a=1,\ b=1\), les deux expressions valent \(0\).

Dans le dernier cas seulement, \(a\land b\) est vrai, donc sa négation est fausse. En mots, « il n'est pas vrai qu'il pleut et qu'il vente » revient à dire « il ne pleut pas, ou il ne vente pas ».

Simplifions maintenant une expression qui utilise \(a\) et \(b\) :

$$(a\land b)\lor(a\land\neg b)=a$$

Si \(b=1\), la première partie vaut \(a\) et la seconde est fausse. Si \(b=0\), la première est fausse et la seconde vaut \(a\). Dans chaque cas, le résultat est \(a\) : il ne dépend pas de \(b\). Une porte logique effectue une opération comme ET ou OU. Un circuit de plusieurs portes se réduit ainsi à un simple fil.

Additionnons enfin deux chiffres binaires avec des portes logiques. Pour les entrées \(a\) et \(b\), le chiffre des unités est donné par le OU EXCLUSIF, noté \(\oplus\). Il vaut \(1\) si un seul des chiffres vaut \(1\). La retenue est donnée par ET :

$$\text{unités}=a\oplus b,\qquad \text{retenue}=a\land b$$

Prenons \(a=1\) et \(b=1\). Les deux chiffres sont vrais : le OU EXCLUSIF donne \(0\), tandis que ET donne \(1\). Les unités valent donc \(0\) et la retenue \(1\). En écrivant la retenue devant les unités, on obtient \(10\) en binaire, c'est-à-dire deux.

Liens

porte le nom de

Sources