algèbre commutative

Un anneau commutatif permet d'additionner, soustraire et multiplier, sans que l'ordre des facteurs compte : entiers et polynômes en sont des exemples. Un idéal est une partie stable par addition et par multiplication par tout élément de l'anneau.

Combinons les idéaux \(4\mathbb Z\) et \(6\mathbb Z\), ensembles des multiples de \(4\) et de \(6\). Leur somme contient tous les \(4a+6b\). Ils sont pairs ; inversement, \(2=6-4\) appartient à la somme, donc tous ses multiples aussi :

Ainsi \(10=4+6\) et \(14=4\times2+6\). Leur intersection contient les multiples communs : \(4\mathbb Z\cap6\mathbb Z=12\mathbb Z\). On y trouve \(12\) et \(24\), mais pas \(6\). La somme vient du plus grand diviseur commun, le PGCD ; l'intersection du plus petit multiple commun, le PPCM. Tout idéal de \(\mathbb Z\) s'écrit \(n\mathbb Z\) : un seul générateur suffit. On dit que \(\mathbb Z\) est principal.

Calculons avec des polynômes à coefficients entiers en imposant \(X^2=2\). Cette règle définit un anneau quotient. On remplace chaque carré : \(X^3=X\cdot X^2=2X\), puis :

L'inverse de \(1+X\) est donc \(X-1\) : leur produit vaut \(1\). Ensuite, \((1+X)^2=1+2X+X^2=3+2X\) et \((3+2X)(3-2X)=9-4X^2=9-8=1\). On retrouve les calculs avec \(\sqrt2\) : \((1+\sqrt2)(\sqrt2-1)=1\) et \((1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2\).

Cherchons si un seul générateur suffit pour l'idéal engendré par \(2\) et \(X\) dans \(\mathbb Z[X]\), l'anneau des polynômes à coefficients entiers : il est formé des \(2f+Xg\), où \(f\) et \(g\) sont des polynômes quelconques. Il contient exactement les polynômes dont le terme constant, sans \(X\), est pair :

Mais \(1+X\) n'y appartient pas. Un générateur unique devrait diviser \(2\) et \(X\). Les seuls diviseurs de \(2\) sont \(\pm1\) et \(\pm2\). Ces derniers ne divisent pas \(X\), car \(X/2\) n'a pas ses coefficients entiers. Restent \(\pm1\), qui feraient entrer \(1\) dans l'idéal, impossible puisque son terme constant est impair. Cet idéal n'est pas principal.