Histoire des mathématiques Discipline

théorie des invariants

Discipline

étude mathématique des invariants sous des symétries

domaine
algèbre commutative · Mathématiques

Pour comprendre

La théorie des invariants étudie les invariants sous des symétries : elle cherche ce qui reste inchangé lorsqu'un objet mathématique subit certaines transformations.

Ce qu'elle étudie

Elle s'intéresse aux quantités ou aux propriétés qui ne varient pas quand on applique une symétrie à un objet, et cherche à décrire systématiquement ces invariants.

Où elle se place

Elle se rattache à l'algèbre commutative et, plus largement, aux mathématiques.

Cas d’usage

Cherchons ce qui reste inchangé quand on remplace les variables d'un polynôme, une somme de produits de puissances. La théorie des invariants cherche ces expressions et celles dont toutes les autres se déduisent.

Pour \(Q=ax^2+bxy+cy^2\), calculons le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Remplacer \(x\) par \(x+y\) donne :

$$ax^2+(2a+b)xy+(a+b+c)y^2$$

Son discriminant reste le même :

$$(2a+b)^2-4a(a+b+c)$$
$${}=4a^2+4ab+b^2-4a^2-4ab-4ac$$
$${}=b^2-4ac$$

Avec \(Q=x^2+3xy+y^2\), on trouve \(\Delta=9-4=5\). Après remplacement, \(Q\) devient \(x^2+5xy+5y^2\) : \(\Delta=25-20=5\). Remplacer plutôt \(x\) par \(x+2y\) donne \(x^2+7xy+11y^2\) : \(\Delta=49-44=5\).

En revanche, \(x\mapsto2x\) donne \(4x^2+6xy+y^2\), donc \(\Delta=36-16=20=5\times2^2\). Pour \((x,y)\mapsto(px+qy,rx+sy)\), le facteur est \((ps-qr)^2\). Le nombre \(ps-qr\) est le déterminant du changement. Pour les changements de déterminant \(1\), tout polynôme en \(a,b,c\) qui reste inchangé s'exprime à partir de \(\Delta\) : c'est l'invariant de base.

Échangeons maintenant les variables \(x,y,z\). Les six permutations, ou façons de les ranger, conservent :

$$e_1=x+y+z,\quad e_2=xy+yz+zx$$
$$e_3=xyz$$

Ces invariants suffisent à exprimer tout polynôme symétrique, c'est-à-dire inchangé par ces échanges :

$$x^2+y^2+z^2=e_1^2-2e_2$$
$$x^3+y^3+z^3=e_1^3-3e_1e_2+3e_3$$

Pour \((1,2,3)\), ils valent \((6,11,6)\) : les carrés donnent \(14=36-22\), les cubes \(36=216-198+18\). Pour \((1,-1,2)\), ils valent \((2,-1,-2)\) : \(6=4+2\) et \(8=8+6-6\). Mais \(xy+yz\) devient \(yx+xz\) en échangeant \(x,y\) : il n'est pas invariant.

Effectuons enfin le quart de tour \((x,y)\mapsto(-y,x)\). Il change \(xy\) en \(-xy\), mais conserve :

$$u=x^2+y^2,\quad v=x^2y^2$$
$$w=xy(x^2-y^2)$$

Ces expressions sont liées : \(w^2=v(u^2-4v)\). En \((2,1)\), \(u=5\), \(v=4\), \(w=2\times1\times(4-1)=6\). On vérifie \(36=4\times(25-16)\).

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Sources