Histoire des mathématiques Discipline

arithmétique des polynômes

Discipline

arithmétique dans l'anneau K[X] des polynômes

domaine
Algèbre · Arithmétique

Pour comprendre

rédaction

L’arithmétique des polynômes est l’arithmétique pratiquée dans l’anneau (K[X]) des polynômes. Elle transpose à ces objets certaines questions arithmétiques, en considérant les opérations entre polynômes dans ce cadre.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline étudie les polynômes comme des objets sur lesquels une arithmétique peut être menée dans l’anneau (K[X]). La division y tient une place précise : elle met en jeu un dividende, un diviseur, un quotient et un reste. Le reste est alors caractérisé par une condition sur son degré. L’arithmétique des polynômes donne ainsi un langage pour exprimer des relations de division entre polynômes.

$$A = B\,Q + R, \qquad \deg R < \deg B$$

Cette formule exprime que les polynômes se divisent comme les entiers : elle fait apparaître un quotient et un reste dont le degré est plus petit que celui du diviseur.

À quoi elle sert

Elle sert à étudier les opérations arithmétiques entre polynômes dans l’anneau (K[X]).

  • Écrire une division de polynômes avec quotient et reste.
  • Caractériser le reste par son degré.
  • Traiter des questions arithmétiques portant sur des polynômes.

Où elle se place

L’arithmétique des polynômes est une branche de l’arithmétique. Le corpus la rattache aussi à l’algèbre.

flowchart TD
  P0[Arithmétique] --> D([arithmétique des polynômes])
  P0 --> S0[arithmétique modulaire]

Sources