arithmétique des polynômes

Discipline

arithmétique dans l'anneau K[X] des polynômes

domaine: Algèbre · Arithmétique

Pour comprendre

L’arithmétique des polynômes est l’arithmétique pratiquée dans l’anneau $K[X]$ des polynômes. Elle transpose à ces objets certaines questions arithmétiques, en considérant les opérations entre polynômes dans ce cadre.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline étudie les polynômes comme des objets sur lesquels une arithmétique peut être menée dans l’anneau $K[X]$. La division y tient une place précise : elle met en jeu un dividende, un diviseur, un quotient et un reste. Le reste est alors caractérisé par une condition sur son degré. L’arithmétique des polynômes donne ainsi un langage pour exprimer des relations de division entre polynômes.

$$A = B\,Q + R, \qquad \deg R < \deg B$$

Cette formule exprime que les polynômes se divisent comme les entiers : elle fait apparaître un quotient et un reste dont le degré est plus petit que celui du diviseur.

À quoi elle sert

Elle sert à étudier les opérations arithmétiques entre polynômes dans l’anneau $K[X]$.

Écrire une division de polynômes avec quotient et reste.
Caractériser le reste par son degré.
Traiter des questions arithmétiques portant sur des polynômes.

Où elle se place

L’arithmétique des polynômes est une branche de l’arithmétique. Le corpus la rattache aussi à l’algèbre.

flowchart TD
  P0[Arithmétique] --> D([arithmétique des polynômes])
  P0 --> S0[arithmétique modulaire]

Cas d’usage

Divisons le polynôme $A=2X^3+3X^2-X+5$ par $B=X^2+1$. On retire des multiples du diviseur pour éliminer d'abord le terme qui porte le plus grand exposant.

Pour retirer $2X^3$, on soustrait $2X$ fois le diviseur :

$$A-2X(X^2+1)=3X^2-3X+5$$

Il reste un terme en $3X^2$. On soustrait cette fois $3$ fois le diviseur :

$$(3X^2-3X+5)-3(X^2+1)$$

$${}=-3X+2$$

Le quotient est donc $Q=2X+3$, et le reste $R=-3X+2$. Le degré est le plus grand exposant de l'inconnue. Celui du reste vaut $1$, inférieur au degré $2$ du diviseur : la division s'arrête. Vérifions le produit :

$$(X^2+1)(2X+3)$$

$${}=2X^3+3X^2+2X+3$$

En ajoutant le reste $-3X+2$, on retrouve bien $2X^3+3X^2-X+5$.

Cherchons ensuite le plus grand diviseur commun de $X^3-1$ et $X^2-1$. Comme avec les entiers, on divise, puis on recommence avec le diviseur et le reste :

$$X^3-1=X(X^2-1)+(X-1)$$

$$X^2-1=(X+1)(X-1)+0$$

La dernière division ne laisse aucun reste. Le dernier reste non nul, $X-1$, est le plus grand diviseur commun, ou PGCD, des polynômes de départ.

Décomposons enfin $P=X^2-5X+6$ en un produit. Une racine est une valeur qui rend le polynôme nul. Essayons $2$ :

$$P(2)=4-10+6=0$$

Cela signifie que $P$ est divisible par $X-2$. La division donne :

$$P=(X-2)(X-3)$$

Le produit s'annule quand l'un des facteurs s'annule. Les racines sont donc $2$ et $3$.

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q1238474