Histoire des mathématiques Discipline

algèbre classique

Discipline

branche des mathématiques traitant des opérations élémentaires

domaine
Algèbre

Pour comprendre

L'algèbre classique est une branche des mathématiques qui traite des opérations élémentaires. Elle appartient à l'algèbre et s'inscrit dans cet ensemble de domaines.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline s'intéresse aux opérations élémentaires. Sa description la présente comme une branche de l'algèbre ; elle est aussi indiquée comme utilisée dans l'algèbre et dans l'algèbre générale. Elle fournit ainsi un cadre pour traiter ces opérations dans le champ algébrique.

Où elle se place

Elle se place dans l'algèbre, aux côtés de plusieurs autres branches indiquées dans le diagramme.

flowchart TD
  P0[Algèbre] --> D([algèbre classique])
  P0 --> S0[algèbre de Boole]
  P0 --> S1[algèbre générale]
  P0 --> S2[algèbre quantique]
  P0 --> S3[algèbre universelle]

Cas d’usage

Cherchons le nombre \(x\) qui vérifie cette équation, c'est-à-dire cette égalité :

$$5x-3=2x+9$$

L'inconnue \(x\), le nombre à trouver, apparaît des deux côtés. Retirons \(2x\) de chaque côté :

$$3x-3=9$$

Ajoutons \(3\) de chaque côté : \(3x=12\). Divisons par \(3\) : \(x=4\). Vérifions en remplaçant l'inconnue : \(5\times4-3=17\) et \(2\times4+9=17\). Les deux côtés sont égaux.

Résolvons ensuite \(x^2+6x=16\) en faisant apparaître un carré. Compléter le carré consiste à ajouter le terme qui manque pour obtenir le carré d'une somme :

$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$

Ajoutons donc \(9\) des deux côtés de l'équation :

$$(x+3)^2=25$$

Les nombres \(5\) et \(-5\) ont tous deux pour carré \(25\). Donc \(x+3=5\) ou \(x+3=-5\). En retirant \(3\), nous trouvons \(x=2\) ou \(x=-8\). Vérifions chaque solution :

$$2^2+6\times2=4+12=16$$
$$(-8)^2+6\times(-8)=64-48=16$$

Cherchons enfin deux nombres dont la somme vaut \(10\) et le produit \(21\). Si l'un est \(t\), l'autre est \(10-t\). Leur produit donne \(t(10-t)=21\), soit \(10t-t^2=21\). En changeant les signes et en regroupant :

$$t^2-10t+21=0$$

Le plus grand exposant de \(t\) est \(2\) : l'équation est du second degré. Pour appliquer sa formule de résolution, calculons :

$$10^2-4\times21=100-84=16$$

La racine carrée de \(16\) est \(4\), puisque le carré de \(4\) vaut \(16\). Les solutions sont :

$$t=\frac{10-4}{2}=3$$

ou

$$t=\frac{10+4}{2}=7$$

La décomposition en produit confirme le résultat :

$$(t-3)(t-7)=t^2-10t+21$$

Le produit s'annule pour \(3\) ou \(7\). Ce sont les nombres cherchés : \(3+7=10\) et \(3\times7=21\).

Sources