théorie des modules

Décomposons les restes de division par \(12\), notés \(\mathbb Z/12\). Un module sur les entiers est un ensemble où l'on peut additionner et multiplier par des entiers.

À chaque reste \(n\), associons ses restes modulo \(4\) et modulo \(3\), c'est-à-dire après division par ces nombres. Les douze couples sont différents et l'addition est conservée. On écrit :

Le signe \(\oplus\) désigne ici des couples dont on additionne séparément les composantes. Pour revenir du couple \((u,v)\), calculons \(9u+4v\) modulo \(12\). En effet, \(9\) a pour restes \(1,0\), et \(4\) a pour restes \(0,1\).

Pour \((2,1)\), on obtient \(18+4=22\), de reste \(10\). Celui-ci donne bien les restes \(2,1\). Pour \((3,2)\), \(27+8=35\) donne \(11\), de restes \(3,2\).

Mais \(\mathbb Z/4\) n'est pas \(\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2\) : dans le premier, \(2\times1=2\ne0\) ; dans le second, tout double est nul. Dans \(\mathbb Z/12\), \(12n=0\) pour tout \(n\). Cette annulation par un entier non nul s'appelle la torsion.

Comparons ensuite deux sous-modules de \(\mathbb Z^2\), des ensembles de points entiers fermés sous ces opérations. Formons \(L_1\) avec les combinaisons entières de \((2,0),(0,2)\), et \(L_2\) avec celles de \((2,1),(0,2)\).

Regroupons les points dont la différence appartient au sous-module : chaque groupe est une classe. Dans les deux cas, il y en a \(4\). Pour \(L_1\), elles sont représentées par \((0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\). Doubler chaque point ramène dans \(L_1\) : les classes forment \(\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2\).

Pour \(L_2\), \((2,0)\) n'y appartient pas, mais :

Il faut donc multiplier la classe de \((1,0)\) par \(4\) pour l'annuler. Les classes forment \(\mathbb Z/4\) : même nombre, structure différente.

Essayons enfin d'obtenir toutes les fractions à partir de \(1/2,2/3,5/4\). Le plus petit dénominateur commun est \(12\). Toute combinaison entière est donc un multiple de \(1/12\) : \(1/24\) manque. Toute liste finie rencontre ce problème : aucune n'engendre le module des fractions, alors qu'un espace vectoriel de dimension finie a toujours une base finie.