Histoire des mathématiques Discipline

calcul formel

Discipline

domaine des mathématiques et de l’informatique qui s’intéresse aux algorithmes opérant sur des objets de nature mathématique par le biais de représentations finies et exactes

domaine
informatique · Mathématiques · Algèbre

Pour comprendre

Le calcul formel est un domaine des mathématiques et de l’informatique. Il s’intéresse aux algorithmes qui opèrent sur des objets de nature mathématique au moyen de représentations finies et exactes.

Ce qu'elle étudie

Le point central du calcul formel est le traitement algorithmique d’objets mathématiques. Ceux-ci ne sont pas seulement considérés comme des résultats à obtenir : ils sont représentés sous une forme finie et exacte, sur laquelle les algorithmes peuvent opérer. La discipline relie donc la nature mathématique des objets, leur représentation et les algorithmes qui les manipulent. Cette précision sur l’exactitude distingue le cadre décrit par le dossier d’un simple traitement d’information non précisé.

À quoi elle sert

Il sert à construire et étudier des algorithmes opérant sur des objets mathématiques représentés de façon finie et exacte.

  • Représenter des objets mathématiques sous une forme finie.
  • Opérer algorithmiquement sur ces représentations.
  • Préserver le caractère exact des objets traités.

Où elle se place

Le calcul formel est une branche de l’algèbre. Le corpus le rattache aussi aux mathématiques et à l’informatique.

flowchart TD
  P0[Algèbre] --> D([calcul formel])
  P0 --> S0[algèbre classique]
  P0 --> S1[algèbre de Boole]
  P0 --> S2[algèbre générale]
  P0 --> S3[algèbre quantique]

Cas d’usage

Additionnons des fractions en gardant leurs valeurs exactes :

$$1/3+1/6=1/2$$

En décimales de machine, \(0{,}1+0{,}2\) donne \(0{,}300\,000\,000\,000\,000\,04\), au lieu de \(0{,}3\). Garder les fractions évite cet écart : \(1/10+2/10=3/10\), exactement.

Gardons aussi \(\sqrt2\), le nombre dont le carré vaut \(2\), sous sa forme symbolique :

$$(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=2-1=1$$

En remplaçant ce symbole par \(1{,}4142135\), le produit arrondi vaut \(0{,}999\,999\,82\). L'arrondi de départ a fait perdre l'égalité exacte.

Transformons maintenant des expressions contenant \(x\). Développer, c'est effectuer les produits pour obtenir une somme :

$$(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3$$
$${}+10x^2+5x+1$$

Factoriser fait le chemin inverse :

$$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$$

Pour simplifier une fraction, retirons le facteur commun au numérateur et au dénominateur, les expressions du haut et du bas. Écrivons \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Avec \(x\ne1\), pour ne pas diviser par zéro :

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$

Dérivons enfin un produit, c'est-à-dire calculons la formule qui donne la pente de sa courbe en chaque point :

$$\frac{d}{dx}(x\sin x)=\sin x+x\cos x$$

Chaque résultat reste une formule, valable pour les valeurs admises de \(x\).

Calculons enfin \(2^{100}\) en conservant tous ses chiffres :

$$2^{100}$$
$${}=1\,267\,650\,600\,228\,229\,401\,496\,703\,205\,376$$

Cet entier a \(31\) chiffres. Une calculatrice n'affichant que \(1{,}2676506\times10^{30}\) perd les \(23\) derniers chiffres. Le calcul formel les conserve tous, ce qui est indispensable en arithmétique et en cryptographie.

Sources