Histoire des mathématiques Discipline

algèbre quantique

Discipline

étude d'analogues non commutatifs et de généralisations d'algèbres commutatives

domaine
Algèbre

Pour comprendre

L'algèbre quantique étudie des analogues non commutatifs et des généralisations d'algèbres commutatives. Elle est une branche de l'algèbre.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline porte sur des analogues non commutatifs d'algèbres commutatives. Elle étudie également des généralisations de ces algèbres. Sa description met donc en regard des algèbres commutatives, des analogues qui ne le sont pas et des généralisations. Le dossier ne précise pas d'autres objets ni d'autres relations.

Où elle se place

Elle se place dans l'algèbre, parmi les branches représentées dans le diagramme.

flowchart TD
  P0[Algèbre] --> D([algèbre quantique])
  P0 --> S0[algèbre classique]
  P0 --> S1[algèbre de Boole]
  P0 --> S2[algèbre générale]
  P0 --> S3[algèbre universelle]

Cas d’usage

Développons les puissances de \(x+y\) lorsque l'ordre des lettres compte. La règle du plan quantique est \(yx=q\cdot xy\), avec \(q\) fixé. Les lettres ne commutent plus : les échanger modifie le produit. Pour \(q=1\), on retrouve le calcul ordinaire. Pour le carré, multiplions chaque terme par chaque terme :

$$(x+y)^2=xx+xy+yx+yy$$

Remplaçons \(yx\) selon la règle, puis regroupons :

$$x^2+xy+qxy+y^2$$
$${}=x^2+(1+q)xy+y^2$$

Pour le cube, multiplions encore par \(x+y\), à droite. La règle donne \(xyx=qx^2y\). Appliquée deux fois, elle donne \(y^2x=q^2xy^2\). Les nombres qui multiplient \(x^2y\) et \(xy^2\), appelés coefficients, deviennent respectivement \(1+q(1+q)\) et \((1+q)+q^2\). Ils valent tous deux \(1+q+q^2\) :

$$(x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y$$
$${}+(1+q+q^2)xy^2+y^3$$

Pour \(q=1\), \(1+q=2\) et \(1+q+q^2=3\) : on retrouve les coefficients ordinaires. Pour \(q=2\) :

$$1+q+q^2=1+2+4=7$$

L'expression \(1+q+q^2\) est le « \(q\)-analogue » de \(3\) : elle dépend de \(q\) et redonne \(3\) pour \(q=1\). Si \(q\ne1\), on peut aussi écrire :

$$1+q+q^2=\frac{1-q^3}{1-q}$$

Comptons maintenant les ordres de trois objets selon leur désordre. La factorielle \(3!\) est le produit \(1\times2\times3=6\). Son \(q\)-analogue, la \(q\)-factorielle, remplace ces facteurs :

$$1\times(1+q)\times(1+q+q^2)$$
$${}=1+2q+2q^2+q^3$$

Pour \(q=1\), on retrouve \(1+2+2+1=6\). Une inversion est une paire mal rangée : le plus grand objet précède le plus petit. Comptons-les dans chaque ordre :

  • \(123\) : \(0\) inversion.
  • \(132\) : \(1\) inversion.
  • \(213\) : \(1\) inversion.
  • \(231\) : \(2\) inversions.
  • \(312\) : \(2\) inversions.
  • \(321\) : \(3\) inversions.

Les coefficients \(1,2,2,1\) comptent respectivement les ordres à \(0,1,2,3\) inversions. La puissance de \(q\) indique le nombre d'inversions ; le coefficient indique combien d'ordres en ont autant.

Sources