Histoire des mathématiques Théorème

Théorème du point fixe de Banach

Théorème

théorème sur les applications contractante

Pour comprendre

rédaction

Énoncé

Dans un espace complet, une application contractante possède un unique point fixe. Une application est contractante lorsqu’elle rapproche toujours les points : la distance entre leurs images est strictement contrôlée par une fraction de leur distance initiale.

Un point fixe est un nombre ou un objet \(x\) qui vérifie \(f(x)=x\). Le théorème assure à la fois son existence et son unicité. Il assure aussi que la suite obtenue par itérations

\(x_{n+1}=f(x_n)\)

converge vers ce point fixe, quel que soit le point de départ \(x_0\).

Méthode itérative

La procédure est directe : on choisit une valeur initiale, puis on applique successivement la fonction. Les valeurs se rapprochent du point fixe parce que l’application réduit les écarts.

Dans le cas de \(f(x)=\cos x\), les itérations convergent vers l’unique solution de \(\cos x=x\), approximativement \(0{,}739\). Graphiquement, cette solution est l’intersection de la courbe \(y=\cos x\) avec la droite \(y=x\). Le théorème fournit ainsi un fondement rigoureux aux méthodes de calcul par approximations successives.

Repères historiques

  • démontré par Stefan Banach en 1922, dans sa thèse

La figure montre la toile d’araignée des itérations de \(f(x)=\cos x\) vers l’intersection avec \(y=x\).

{ "boundingBox": [ -0.1, 1.15, 1.35, -0.1 ], "axis": true, "functions": [ { "expression": "cos(x)", "range": [ -0.05, 1.3 ], "color": "#2563eb", "width": 2, "label": "y = cos x" }, { "expression": "x", "range": [ -0.05, 1.15 ], "color": "#1e3a8a", "width": 1, "label": "y = x" } ], "segments": [ { "from": [ 0.2, 0.2 ], "to": [ 0.2, 0.9801 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.2, 0.9801 ], "to": [ 0.9801, 0.9801 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.9801, 0.9801 ], "to": [ 0.9801, 0.557 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.9801, 0.557 ], "to": [ 0.557, 0.557 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.557, 0.557 ], "to": [ 0.557, 0.8489 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.557, 0.8489 ], "to": [ 0.8489, 0.8489 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.8489, 0.8489 ], "to": [ 0.8489, 0.6608 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.8489, 0.6608 ], "to": [ 0.6608, 0.6608 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.6608, 0.6608 ], "to": [ 0.6608, 0.7895 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.6608, 0.7895 ], "to": [ 0.7895, 0.7895 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.7895, 0.7895 ], "to": [ 0.7895, 0.7042 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.7895, 0.7042 ], "to": [ 0.7042, 0.7042 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.7042, 0.7042 ], "to": [ 0.7042, 0.7621 ], "color": "#dc2626", "width": 1 }, { "from": [ 0.7042, 0.7621 ], "to": [ 0.7621, 0.7621 ], "color": "#dc2626", "width": 1 } ], "points": [ { "x": 0.7391, "y": 0.7391, "name": "point fixe", "color": "#dc2626", "size": 3, "fixed": true } ] }

Dates

demonstration
thèse de Stefan Banach

Liens

porte le nom de

Sources