Histoire des mathématiques Théorème

théorème de Pythagore

Théorème

théorème sur les triangles rectangles en géométrie euclidienne

Pour comprendre

rédaction

Énoncé

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse. Si ses longueurs sont \(a\), \(b\) et \(c\), avec \(c\) pour l’hypoténuse, alors l’aire du carré construit sur \(c\) est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Cette relation permet de calculer une longueur inconnue dès que les deux autres sont connues. Elle relie donc une propriété géométrique du triangle à une égalité numérique entre ses côtés.

Réciproque et usage

La réciproque est vraie. Si trois longueurs positives vérifient \(c^2=a^2+b^2\), alors le triangle de côtés \(a\), \(b\) et \(c\) est rectangle, l’angle droit étant opposé au côté \(c\).

Ainsi, le théorème sert aussi à reconnaître un triangle rectangle. Par exemple, \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\) : un triangle de côtés 3, 4 et 5 est donc rectangle. Il faut toujours identifier correctement l’hypoténuse : c’est le plus long côté.

Repères historiques

  • triplets déjà connus des Babyloniens vers -1800 (tablettes)
  • tradition qui attribue l’énoncé à Pythagore (VIe siècle av. J.-C.)
  • démonstration dans les Éléments d’Euclide vers -300 (livre I, proposition 47)

La figure montre le triangle 3-4-5 et les carrés d’aires 9, 16 et 25 construits sur ses côtés.

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Énoncé

c^2=a^2+b^2

Dates

premiere trace
triplets babyloniens (tablettes) approximative
decouverte
attribution traditionnelle à Pythagore attribution traditionnelle
demonstration
Éléments d'Euclide, I.47 approximative

Liens

a donné son nom à
porte le nom de
est attesté par
est traité dans

Ce qui en subsiste

  • IM 67118 conservé à British Museum tablette d'argile babylonienne qui contient la solution à un problème de géométrie (vers 1770 av. J.-C.)
  • Plimpton 322 lieu de conservation non renseigné tablette d'argile babylonienne, un des spécimens les plus connus des mathématiques babyloniennes

Sources