Histoire des mathématiques Théorème
théorème de Pythagore
Théorèmethéorème sur les triangles rectangles en géométrie euclidienne
Son histoire
Le plus ancien vestige connu vient de Mésopotamie. C'est la tablette d'argile YBC 7289, conservée à l'université Yale et vieille d'environ quatre mille ans. Elle tient dans la paume de la main et c'est probablement un exercice d'élève scribe. Elle montre un carré et ses diagonales, avec trois nombres en écriture cunéiforme. L'un d'eux donne la racine carrée de 2, juste à moins d'un millionième près. Une autre tablette, Plimpton 322, porte le nom de l'éditeur américain qui en a fait don. Elle contient un tableau de quinze lignes de nombres entiers qui sont les côtés de triangles rectangles.
On ne sait pas si les Babyloniens connaissaient le théorème pour tous les triangles rectangles, ni s'ils en avaient une démonstration. Ils l'avaient constaté sur les triangles qu'ils étudiaient, environ mille ans avant la naissance de Pythagore. En Inde, vers 800 avant notre ère, le prêtre Baudhayana rédige un manuel pour construire les autels des sacrifices. À l'aide d'une corde tendue, il constate que le carré bâti sur la diagonale d'un carré a une surface double. C'est un constat par la mesure, pas une démonstration.
En Chine, le résultat s'appelle le théorème de Gougu, du nom de la base et de la hauteur du triangle. Le plus ancien traité mathématique chinois, le Chou Pei, le démontre pour le triangle de côtés 3, 4 et 5. Au IIIe siècle de notre ère, Liu Hui en donne une preuve générale, qui revient à un puzzle. On déplace des pièces des deux petits carrés pour former le grand.
Pythagore vit au VIe siècle avant notre ère, sur l'île de Samos, et c'est un réformateur religieux et un philosophe. Aucun écrit de son époque ne lui attribue le théorème. On n'a aucune certitude qu'il en soit l'auteur, ni qu'il l'ait démontré. Les témoignages sur ses mathématiques sont tardifs, de plusieurs siècles après sa vie. Vers l'an 400 de notre ère, Proclus rapporte avec scepticisme que certains lui attribuent la découverte, et qu'il aurait sacrifié un bœuf pour la célébrer.
La plus ancienne démonstration qui nous soit parvenue est celle d'Euclide, vers 300 avant notre ère. Elle forme la proposition 47 du livre I des Éléments, et Euclide n'y cite jamais le nom de Pythagore. Au Moyen Âge, les maîtres d'œuvre des cathédrales tracent leurs angles droits avec une corde à treize nœuds, donc douze intervalles. Pliée en 3, 4 et 5, elle forme un triangle rectangle. Les bâtisseurs l'appelaient le « triangle égyptien » et la légende veut que son usage remonte à l'Égypte antique, mais il n'en existe aucune preuve.
Le théorème a reçu plusieurs centaines de démonstrations. Léonard de Vinci en a proposé une, et James Garfield, président des États-Unis, aussi. En 2022, deux lycéennes de Louisiane, Ne'kiya Jackson et Calcea Johnson, ont présenté une nouvelle approche par la trigonométrie, ce que l'on tenait jusque-là pour impossible. L'écriture avec des lettres et des exposants est moderne. Les peuples de l'Antiquité n'avaient pas de langage algébrique : ils décrivaient des carrés dessinés, ou donnaient des nombres.
Sources : H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014) ; Wikipédia, article « Théorème de Pythagore ».
Énoncé
Pour comprendre
Énoncé
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse. Si ses longueurs sont \(a\), \(b\) et \(c\), avec \(c\) pour l’hypoténuse, alors l’aire du carré construit sur \(c\) est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
Cette relation permet de calculer une longueur inconnue dès que les deux autres sont connues. Elle relie donc une propriété géométrique du triangle à une égalité numérique entre ses côtés.
Démonstration originale d’Euclide (Livre I, Proposition 47)
Euclide découpe le grand carré de l’hypoténuse en deux rectangles, tracés depuis le sommet de l’angle droit. Il montre ensuite que chaque rectangle a la même aire que l’un des deux petits carrés, en montrant l’égalité des triangles ABD et FBC, puis celle des triangles ACE et BCK.
- Construction : le carré BDEC est bâti sur BC, les carrés GB et HC sur AB et AC. La droite AL, parallèle à BD et à CE, partage BDEC en deux rectangles, BL et CL. Les segments AD et FC sont tracés : ils ferment le triangle ABD, en orange sur la figure, et le triangle FBC, en violet.
- Alignements : les angles BAC et BAG sont droits, donc CA et AG forment une seule droite ; de même pour BA et AH (Éléments I.14).
- Égalité d’angles : l’angle DBC égale l’angle FBA, chacun étant droit. En ajoutant l’angle ABC aux deux, l’angle DBA égale l’angle FBC (notion commune 2).
- Égalité de triangles : AB égale FB, BD égale BC, et l’angle compris ABD égale l’angle FBC. Les triangles ABD (orange) et FBC (violet) sont donc égaux (Éléments I.4) : deux triangles ayant deux côtés égaux chacun à chacun, et l’angle compris égal, sont eux-mêmes égaux.
- Rectangle et carré, côté gauche : le rectangle BL vaut le double du triangle ABD, car ils partagent la base BD entre les mêmes parallèles BD et AL. Le carré GB vaut de même le double du triangle FBC, pour la base FB entre les mêmes parallèles (Éléments I.41) : un triangle vaut la moitié d’un parallélogramme construit sur la même base, entre les mêmes parallèles. Puisque les deux triangles sont égaux, BL égale GB.
- Côté droit : en traçant AE et BK, on montre de la même façon que le rectangle CL égale le carré HC.
- Conclusion : le carré BDEC, somme des rectangles BL et CL, égale donc la somme des carrés GB et HC. Le carré construit sur BC égale les carrés construits sur BA et sur AC.
La preuve ne mesure aucune longueur : elle compare des aires, celles de triangles et de parallélogrammes.
Proclus rapporte que certains attribuent ce théorème à Pythagore et racontent qu’il sacrifia un bœuf pour célébrer sa découverte ; lui dit admirer davantage l’auteur des Éléments pour la clarté de sa démonstration.
Source : Euclide, Éléments, livre I, proposition 47, d’après la traduction anglaise de T. L. Heath (1908).
Réciproque et usage
La réciproque est vraie. Si trois longueurs positives vérifient \(c^2=a^2+b^2\), alors le triangle de côtés \(a\), \(b\) et \(c\) est rectangle, l’angle droit étant opposé au côté \(c\).
Ainsi, le théorème sert aussi à reconnaître un triangle rectangle. Par exemple, \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\) : un triangle de côtés 3, 4 et 5 est donc rectangle. Il faut toujours identifier correctement l’hypoténuse : c’est le plus long côté.
Repères historiques
- triplets déjà connus des Babyloniens vers -1800 (tablettes)
- tradition qui attribue l’énoncé à Pythagore (VIe siècle av. J.-C.)
- démonstration dans les Éléments d’Euclide vers -300 (livre I, proposition 47)
La figure montre le triangle 3-4-5 et les carrés d’aires 9, 16 et 25 construits sur ses côtés.
Conditions d'application
- Le triangle doit être rectangle, et \(c\) doit désigner l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit, ce que la formule ne dit pas. Pour un triangle de côtés 1,6, 1,6 et 3, on a \(1{,}6^2 + 1{,}6^2 = 5{,}12\) alors que \(3^2 = 9\) : l'égalité échoue, et ce triangle n'est pas rectangle.
- La relation suppose un plan ; sur une sphère, elle devient \(\cos c = \cos a \cos b\), qui ne se ramène à \(c^2 = a^2 + b^2\) que pour des côtés petits devant le rayon.
Cas d’usage
- Électricité : dans la représentation de Fresnel, où une tension sinusoïdale se figure par un vecteur tournant, le théorème donne l'amplitude d'une somme de tensions ou de courants, et donc le module de l'impédance d'un circuit RC ou RL.
- Relativité : la distance entre deux points très voisins de l'espace s'écrit comme une somme de carrés ; la relativité restreinte en fait un pseudo-théorème de Pythagore où le temps entre avec un signe opposé à celui de l'espace, et la relativité générale ne le retrouve qu'au voisinage immédiat d'un point.
- Arpentage : une corde à treize nœuds, pliée selon les longueurs 3, 4 et 5, forme un triangle rectangle et permet de tracer un angle droit sans instrument, méthode attribuée aux maîtres d'œuvre médiévaux.
- Calculer une distance en ligne droite entre deux points connus par leurs coordonnées ; la méthode cesse de valoir pour les triangles tracés sur une sphère, où la trigonométrie sphérique prend le relais.
- Optique : la différence de marche entre deux rayons issus de deux sources se calcule en appliquant le théorème dans deux triangles rectangles qui partagent une même hauteur.
Dates
- premiere trace
- triplets babyloniens (tablettes) approximative
- decouverte
- attribution traditionnelle à Pythagore attribution traditionnelle
- demonstration
- Éléments d'Euclide, I.47 approximative
Liens
- a donné son nom à
- porte le nom de
- est attesté par
- est traité dans
Ce qui en subsiste
- IM 67118 conservé à British Museum tablette d'argile babylonienne qui contient la solution à un problème de géométrie (vers 1770 av. J.-C.)
- Plimpton 322 lieu de conservation non renseigné tablette d'argile babylonienne, un des spécimens les plus connus des mathématiques babyloniennes
Sources
- Wikidata CC0-1.0