Histoire des mathématiques Concept

triplet pythagoricien

Concept

trois entiers positifs dont la somme des carrés de deux d'entre eux est égale au carré du troisième

Son histoire

Selon une tradition rapportée par Proclus, Pythagore savait fabriquer des triplets à partir d'un nombre impair. Ces groupes de trois entiers donnent les côtés d'un triangle rectangle. Proclus attribue à Platon une autre recette, qui part d'un nombre pair. Avec les deux procédés, tout entier à partir de 3 entre dans un triplet.

Une méthode plus générale porte en anglais le nom de « formule d'Euclide ». Elle permet d'obtenir tous les triplets, et Diophante l'utilise dans ses Arithmétiques. Cet auteur sait aussi combiner les triplets pour construire des triangles rectangles ayant le même grand côté. Il part de 3, 4, 5 et de 5, 12, 13. En multipliant chaque groupe par le plus long côté de l'autre, il obtient 39, 52, 65 et 25, 60, 65.

En mai 2016, les triplets font travailler un supercalculateur du Texas pendant deux jours. Marijn Heule, Oliver Kullmann et Victor Marek lui soumettent une vieille question. Il s'agit de colorier chaque entier en rouge ou en bleu sans obtenir un triplet d'une seule couleur. La tâche reste possible jusqu'à 7824, puis devient impossible à partir de 7825. La preuve occupe 200 téraoctets, ramenés à 68 gigaoctets après compression.

Sources : H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; Wikipédia, articles « Triplet pythagoricien », « Pythagorean triple » et « Boolean Pythagorean triples problem ».

Énoncé

$$a^2+b^2=c^2$$

Pour comprendre

Démonstration originale d’Euclide (Livre X, lemme 1 précédant la Proposition 29)

Euclide cherche deux nombres carrés dont la somme soit encore un carré. Il part de deux carrés de même parité et applique une égalité sur les segments établie au livre II (Éléments II.6).

  • Soient deux nombres AB, BC, tous deux pairs ou tous deux impairs.
  • Que l’on retranche un pair d’un pair, ou un impair d’un impair, le reste est pair ; donc le reste AC est pair (Éléments IX.24, IX.26).
  • Soit AC coupé en deux également en D. Euclide représente les nombres par des segments : les points A, C, B se suivent sur une droite ; AB est le plus grand nombre, BC le plus petit, AC leur différence, D le milieu de AC.
  • Que AB, BC soient aussi des nombres plans semblables, ou des nombres carrés, qui en sont un cas particulier. Des nombres plans semblables sont des produits de deux facteurs proportionnels ; on peut se limiter ici au cas de deux carrés.
  • Le produit de AB par BC, ajouté au carré sur CD, égale le carré sur BD (Éléments II.6).
  • Le produit de AB par BC est lui-même un carré, puisqu’il a été prouvé que le produit de deux nombres plans semblables est un carré (Éléments IX.1).
  • Ainsi deux nombres carrés, le produit de AB par BC et le carré sur CD, ont été trouvés, dont la somme égale le carré sur BD.

Le procédé fournit donc, à partir de deux carrés de même parité, deux autres carrés dont la somme est un carré.

En langage moderne, avec \(AB = m^2\) et \(BC = n^2\) de même parité, on a \(CD = \frac{m^2 - n^2}{2}\) et \(BD = \frac{m^2 + n^2}{2}\), et

$$(mn)^2 + \left(\frac{m^2-n^2}{2}\right)^2 = \left(\frac{m^2+n^2}{2}\right)^2$$

Avec m = 3 et n = 1 : les nombres 9 et 1 donnent le produit 9 = 3², CD = 4 et BD = 5, soit 3² + 4² = 5².

Source : Euclide, Éléments, livre X, lemme 1 précédant la proposition 29, d’après la traduction anglaise de T. L. Heath (1908).

Conditions d'application

  • \(a\), \(b\) et \(c\) doivent être des entiers non nuls : pour des réels quelconques, il suffit de poser \(c = \sqrt{a^2+b^2}\), et la notion perd son intérêt.
  • La formule \((m^2-n^2,\ 2mn,\ m^2+n^2)\) ne donne chaque triplet sans facteur commun une seule fois que si \(m > n > 0\), avec \(m\) et \(n\) premiers entre eux et de parités différentes ; sinon, elle produit des multiples ou des doublons.

Cas d’usage

  • Chantier : une corde à treize nœuds, pliée selon les longueurs 3, 4 et 5, forme un triangle rectangle et permet de tracer un angle droit sans instrument, méthode attribuée aux maîtres d'œuvre du Moyen Âge.
  • Histoire des sciences : la tablette babylonienne Plimpton 322 dresse une liste de triplets plus d'un millénaire avant Pythagore, signe qu'un procédé pour les produire était déjà connu.
  • Engendrer tous les triplets grâce à la formule attribuée à Euclide : pour deux entiers \(m>n\), le triplet \((m^2-n^2,\ 2mn,\ m^2+n^2)\) vérifie toujours la relation.
  • Arithmétique : compter les triplets qui partagent une même hypoténuse, comme les quatre triplets d'hypoténuse 65.
  • Calcul rapide : reconnaître un triplet multiplié par un facteur commun, comme 80, 150, 170, qui vaut dix fois 8, 15, 17, évite un calcul de racine carrée.

Liens

porte le nom de

Sources