Histoire des mathématiques Théorème
théorème de Pythagore sphérique
ThéorèmeSon histoire
On ne sait pas qui a énoncé le premier le théorème de Pythagore sphérique. Ces calculs viennent de l'astronomie, où le ciel était tenu pour une sphère.
Au Ier siècle de notre ère, Ménélaüs, astronome à Rome, étudie les triangles tracés sur cette surface dans ses Sphériques. Les savants du monde islamique médiéval cherchent ensuite des méthodes plus simples, notamment pour régler un calendrier fondé sur les phases de la Lune.
En Andalousie, Al-Jayyani écrit Le livre des arcs inconnus de la sphère. Cet ouvrage, tenu pour le premier traité du domaine, contient des règles pour les triangles à angle droit.
En 1614, l'Écossais John Napier donne une astuce pour retenir dix formules : ranger les éléments de la figure en cercle ou en pentagone. Le nom de Pythagore rappelle la règle des surfaces planes, retrouvée pour un triangle très petit devant le rayon de la sphère.
Sources : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; Bibliothèque Tangente, Histoire des mathématiques (HS 30) ; Wikipédia, articles « Trigonométrie sphérique », « Spherical law of cosines », « History of trigonometry » et « John Napier ».
Énoncé
Pour comprendre
Conditions d'application
- Le triangle sphérique doit avoir un angle droit, \(c\) désignant le côté opposé : la relation est le cas particulier de la loi des cosinus sphérique où le terme lié à cet angle s'annule.
- Les côtés \(a\), \(b\), \(c\) sont des arcs de grand cercle mesurés par l'angle qu'ils interceptent au centre de la sphère, chacun inférieur à \(\pi\) ; pour des longueurs sur une sphère de rayon \(R\), il faut d'abord les diviser par \(R\).
Cas d’usage
- Navigation : la route la plus courte entre deux points du globe et le cap à suivre s'obtiennent en résolvant un triangle tracé sur la sphère ; quand l'un de ses angles est droit, le calcul se réduit à cette relation.
- Résoudre un triangle sphérique rectangle : connaissant les deux côtés qui encadrent l'angle droit, la relation donne directement le troisième.
- Mémoriser la trigonométrie sphérique : les règles de Néper résument en un procédé mnémotechnique les dix relations d'un triangle sphérique rectangle, dont celle-ci.
Liens
- porte le nom de
Sources
- Wikidata CC0-1.0
- Rédaction Synapx INTERNE