théorème de Varignon

Énoncé

Dans tout quadrilatère, on considère les milieux de ses quatre côtés. En les reliant dans leur ordre autour du quadrilatère, on obtient toujours un parallélogramme. Cette figure est appelée parallélogramme de Varignon.

Le résultat ne suppose ni côtés parallèles, ni angles droits, ni convexité particulière du quadrilatère. Il s’applique donc à une figure quelconque, dès que ses quatre sommets sont pris dans leur ordre.

Propriétés

Dans chacun des triangles formés par trois sommets consécutifs du quadrilatère, le segment joignant deux milieux est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de ce côté. Les côtés opposés du quadrilatère des milieux sont ainsi parallèles deux à deux : c’est bien un parallélogramme.

Son aire vaut la moitié de l’aire du quadrilatère initial. Cette propriété donne une manière simple d’obtenir une figure régulière à partir d’une figure qui ne l’est pas nécessairement. Les sommets du parallélogramme sont entièrement déterminés par les milieux des côtés.

Repères historiques

• dû à Pierre Varignon, publié à titre posthume en 1731 dans les Élémens de mathématiques

La figure montre un quadrilatère quelconque et, en rouge, le parallélogramme formé par ses milieux.