formule de Riemann-Hurwitz

Théorème

formule mathématique

Énoncé

$$2g(S')-2 = N\cdot(2g(S)-2) + \sum_{P\in S'} (e_P -1)$$

Les deux surfaces doivent être compactes, c'est-à-dire fermées et sans bord à l'infini, et l'application entre elles holomorphe et non constante, de degré fini $N$.
La somme ne porte que sur les points de ramification, en nombre fini : un point où l'application se comporte normalement a une multiplicité 1 et n'apporte rien.

Calculer le genre d'une surface de Riemann, un entier qui compte ses trous, à partir du degré d'une projection vers la sphère et du nombre de points où cette projection se ramifie, sans construire de découpage explicite de la surface.
Contraindre une application entre deux surfaces : à degré donné, la formule fixe le nombre de points de ramification, comptés avec leur multiplicité ; entre deux sphères, par exemple, ce nombre est entièrement déterminé.
Relier les pôles d'une fonction au genre de la surface : appliquée à une fonction qui prend chaque valeur un nombre fixe de fois, elle redonne une relation générale entre ce nombre et le genre.