Histoire des mathématiques Problème

hypothèse de Riemann

Problème

conjecture sur la fonction zêta de Riemann, liée à la répartition des nombres premiers

Pour comprendre

rédaction

Les zéros de la fonction zêta

L'hypothèse de Riemann concerne les zéros non triviaux de la fonction zêta. Elle affirme qu'ils seraient tous situés sur une même droite du plan complexe, appelée droite critique, dont la partie réelle vaut \(1/2\).

$$\Re(z)=\frac{1}{2}$$

Cette affirmation décrit une organisation très régulière d'objets qui ne sont pas directement visibles dans les nombres entiers. Les zéros concernés se trouvent dans la bande critique, comprise entre les parties réelles 0 et 1.

Les nombres premiers en jeu

La fonction zêta est liée à la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann permettrait de mieux préciser les écarts entre leur distribution observée et les estimations générales. Elle ne dit pas que les nombres premiers suivent une règle simple, mais qu'une propriété des zéros de la fonction zêta contrôlerait leur répartition avec une grande précision.

Des milliards de zéros ont été vérifiés sur la droite critique. Pourtant, une vérification, même immense, ne démontre pas l'énoncé pour tous les zéros.

Repères historiques

  • formulée par Riemann en 1859 dans son unique mémoire d'arithmétique
  • huitième problème de Hilbert en 1900
  • l'un des sept problèmes du millénaire depuis 2000

La figure situe les premiers zéros dans la bande critique.

{ "boundingBox": [ -0.6, 56, 1.8, -4 ], "axis": true, "segments": [ { "from": [ 0.5, 0 ], "to": [ 0.5, 54 ], "color": "#dc2626", "width": 2, "label": "droite critique x = 1/2" }, { "from": [ 0, 0 ], "to": [ 0, 54 ], "color": "#9ca3af", "width": 1 }, { "from": [ 1, 0 ], "to": [ 1, 54 ], "color": "#9ca3af", "width": 1 } ], "points": [ { "x": 0.5, "y": 14.135, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 21.022, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 25.011, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 30.425, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 32.935, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 37.586, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 40.919, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 43.327, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 48.005, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true }, { "x": 0.5, "y": 49.774, "name": "", "color": "#2563eb", "size": 2, "fixed": true } ], "labels": [ { "x": 1.08, "y": 50, "text": "bande critique", "color": "#1e3a8a" } ] }

Dates

premiere trace
mémoire de Riemann
evenement
huitième problème de Hilbert

Liens

porte le nom de

Sources