Histoire des mathématiques Concept

intégrale de Stieltjes

Concept

généralisation de l’intégrale de Riemann

Énoncé

$$\int_a^bf\,\mathrm dg=A\iff\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall x_0,x_1,x_2,\dotsc,x_n,c_1,\dotsc,c_n\in[a,b]\colon\left(a=x_0<x_1<\dotsb<x_n=b\land (\forall i\in\{1,\dotsc,n\}\colon|x_{i-1}-x_i|<\delta\land c_i\in[x_{i-1},x_i])\implies\left|\sum_{i=1}^{n}f(c_{i})\left(g(x_{i})-g(x_{i-1})\right)-A\right|<\epsilon\right)$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • L'intégrale \(\int_a^b f\,dg\) existe quand \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(g\) croissante, ou plus généralement différence de deux fonctions croissantes, dite à variation bornée ; \(g\) peut présenter des sauts.

Cas d'usage

  • Physique : elle représente une répartition de masse sur une droite, masses concentrées en un point comprises, et permet de poser le problème des moments, qui cherche une répartition à partir de certaines de ses intégrales.
  • Analyse fonctionnelle : toute opération linéaire continue sur les fonctions continues d'un intervalle s'écrit comme une intégrale de Stieltjes, ce qui ramène une opération abstraite à une intégration.
  • Analyse harmonique : les séries de Fourier-Stieltjes intègrent contre une répartition qui peut comporter des sauts, et étendent l'étude des fréquences à ces répartitions.
  • Calcul intégral : elle prolonge l'intégrale de Riemann quand la grandeur qui s'accumule n'est plus simplement \(x\), et sert notamment à établir la deuxième formule de la moyenne.

Liens

porte le nom de

Sources