méthode de Héron

Conditions d'application

• Le nombre \(a\) doit être strictement positif, et le point de départ \(x_0\) aussi : la suite décroît alors dès la deuxième étape et converge vers \(\sqrt a\).
• Le signe du départ décide de la racine obtenue : si \(x_0 < 0\), la même formule converge vers \(-\sqrt a\) ; pour un nombre complexe non nul, elle converge vers l'une ou l'autre de ses deux racines carrées selon le point de départ.

Cas d'usage

• Calculatrices et programmation : l'itération \(x_{n+1}=\tfrac12(x_n+a/x_n)\) approche \(\sqrt a\) très vite, le nombre de décimales exactes doublant presque à chaque étape.
• Calcul à la main : on part d'un carré voisin et l'on fait la moyenne entre l'estimation et le quotient du nombre par cette estimation ; pour 720, une seule étape à partir de 27 donne une valeur dont le carré ne dépasse 720 que de 1/36.
• Autres équations : la méthode est un cas particulier de la méthode de Newton, et s'étend au calcul des racines n-ièmes et des racines complexes.