théorème de Cauchy-Lipschitz

Conditions d'application

• La fonction \(f\) doit être continue et lipschitzienne en \(y\) au voisinage du point de départ, c'est-à-dire que ses variations en \(y\) restent bornées proportionnellement ; une fonction dérivable à dérivée continue convient. Sans cette condition, seule l'existence subsiste : pour \(u'=\sqrt{u}\) partant de 0, la fonction nulle et \(t\mapsto t^2/4\) sont deux solutions distinctes.
• Là où la condition manque, l'unicité peut disparaître complètement : pour \(x'=x^{2/3}\) partant de 0, il existe une infinité de solutions.
• En dimension infinie, la seule continuité de \(f\) ne garantit même plus l'existence d'une solution.
• La solution n'est garantie que près du point de départ : pour \(x'=x^{4/3}\) partant de 1, elle devient infinie au temps \(t=3\).

Cas d'usage

• Mécanique : l'équation du mouvement de Newton se ramène à un système portant sur la position et la vitesse ; dans ce cadre, la position et la vitesse de départ déterminent la suite du mouvement, et d'une seule façon.
• Circuits électriques : les intensités et les tensions d'un circuit fait de résistances, de bobines et de condensateurs obéissent à un système du même type ; l'état initial du circuit suffit à prédire son évolution.
• Chimie et écologie : l'évolution des concentrations d'une réaction chimique, ou des effectifs de proies et de prédateurs dans le modèle de Lotka-Volterra, relève du même type d'équations, où un état de départ donne une évolution et une seule.
• Trajectoires qui ne se croisent jamais : l'unicité interdit à deux trajectoires distinctes d'un même système de se rencontrer, ce qui fonde l'étude qualitative des équations différentielles, où l'on cherche l'allure des solutions sans les calculer.
• Portée de l'hypothèse : sans la condition dite de Lipschitz, l'unicité peut tomber ; une équation simple sert de contre-exemple classique, où une même situation de départ engendre une infinité de solutions.