théorie descriptive des ensembles

La théorie descriptive des ensembles étudie les ensembles de nombres réels que l'on peut définir explicitement. Elle s'intéresse notamment aux ensembles boréliens et analytiques, et cherche à mesurer leur complexité étage par étage. Son objet n'est pas de considérer tous les ensembles de la même manière, mais de distinguer ceux dont la définition possède une forme identifiable.

Ce qu'elle étudie

Définir explicitement un ensemble revient à pouvoir le décrire selon des procédés déterminés. La théorie compare alors les ensembles selon la complexité de cette description. Les ensembles boréliens et analytiques constituent des repères dans cette étude : ils permettent de préciser des niveaux et de situer un ensemble dans une organisation graduée.

La complexité n'est pas ici une appréciation vague. Elle dépend de la manière dont l'ensemble est construit ou décrit. En procédant étage par étage, la théorie rend possible une comparaison fine entre des ensembles de nombres réels : certains se laissent définir plus directement, d'autres demandent une description d'une forme différente ou plus élaborée.

Où elle se place

Elle appartient à l'étude des ensembles de nombres réels et de leurs modes de définition, en les classant selon leur complexité descriptive.