analyse ordinale

Discipline

technique mathématique en théorie de la démonstration qui associe de grands ordinaux dénombrables aux théories mathématiques comme mesure de leurs forces théoriques

domaine: théorie de la démonstration

Pour comprendre

L'analyse ordinale est une technique de la théorie de la démonstration qui associe à des théories mathématiques de grands ordinaux dénombrables, utilisés comme mesure de leur force théorique.

Ce qu'elle étudie

Elle cherche à comparer la puissance des théories mathématiques entre elles, en leur associant un ordinal, une façon d'ordonner et de mesurer des quantités qui dépassent les nombres entiers usuels, d'autant plus grand que la théorie permet de démontrer davantage de résultats.

Où elle se place

Cette discipline appartient à la théorie de la démonstration.

Cas d’usage

Rangeons des couples d'entiers. L'analyse ordinale étudie des ordres, appelés ordinaux, pour mesurer ce qu'une théorie peut démontrer. Les entiers $0,1,2,\ldots$ forment l'ordre $\omega$ ; un élément après eux donne $\omega+1$.

Pour les couples $(a;b)$, comparons d'abord $a$, puis $b$. Tous les $(0;b)$ précèdent $(1;0)$, placé au rang $\omega$. Le couple $(2;3)$ est au rang $\omega\cdot2+3$. L'ensemble forme $\omega^2$. Descendre de $(1;0)$ impose de rejoindre un $(0;n)$, puis de diminuer l'entier. On peut choisir $(0;1\,000)$, puis $(0;999)$, jusqu'à $(0;0)$. La descente peut être longue, mais aucun ordinal ne permet une descente strictement décroissante infinie.

Construisons une suite de Goodstein. Écrivons le nombre en puissances de la base, y compris ses exposants. Remplaçons partout la base par la suivante, puis retirons $1$. Au départ, $3=2+1$ devient $3+1-1=3$. Puis $3=3^1$ devient $4-1=3$. Ce dernier est un simple chiffre en base $4$ : il devient $3-1=2$. On obtient :

$$3,3,3,2,1,0$$

En remplaçant chaque base par $\omega$, les ordres associés sont $\omega+1,\omega,3,2,1,0$ : ils diminuent toujours.

Partons de $4=2^2$. Le changement donne $3^3-1=26$. Ensuite :

$$26=2\cdot3^2+2\cdot3+2$$

$$2\cdot16+2\cdot4+2-1=41$$

Réécrivons $41=2\cdot4^2+2\cdot4+1$, puis changeons de base :

$$2\cdot25+2\cdot5+1-1=60$$

Avec $60=2\cdot5^2+2\cdot5$, le pas suivant donne :

$$2\cdot36+2\cdot6-1=83$$

La suite commence par $4,26,41,60,83,109$. Pourtant ses ordinaux décroissent : $\omega^\omega$, puis $\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+2$, puis $\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+1$, puis $\omega^2\cdot2+\omega\cdot2$, puis $\omega^2\cdot2+\omega+5$. Elle atteint $0$ à la base $3\times2^{402\,653\,211}-1$. Ces ordres restent sous $\varepsilon_0$, le premier ordinal dépassant $\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\ldots$. Il est associé à l'arithmétique usuelle. L'arrêt de toutes ces suites ne se démontre pas avec ses seuls axiomes, ses règles de départ.

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q7100782