Additionner deux nombres premiers
La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair supérieur à 2 peut s'écrire comme somme de deux nombres premiers. Par exemple, un même nombre pair peut parfois admettre plusieurs décompositions. La question ne porte pas sur un exemple isolé, mais sur l'ensemble des nombres pairs.
Vérifier la conjecture consiste à examiner, pour chaque nombre pair, les couples de nombres premiers dont la somme lui est égale. Ces vérifications numériques peuvent aller très loin, sans pour autant remplacer une démonstration valable pour tous les cas.
La comète de Goldbach
Le nombre de décompositions varie selon le nombre pair étudié. En moyenne, il croît avec lui. Si l'on représente, pour chaque nombre pair, le nombre de manières de l'écrire comme somme de deux nombres premiers, les points dessinent une forme appelée « comète de Goldbach ».
La conjecture reste non démontrée dans sa forme principale. Son intérêt tient à la simplicité de son énoncé et à la difficulté de prouver qu'aucun nombre pair supérieur à 2 ne lui échappe.
Repères historiques
- formulée dans une lettre de Goldbach à Euler le 7 juin 1742
- vérifiée numériquement jusqu'à 4 x 10^18 (2013)
- version faible (tout impair supérieur à 5 est somme de trois premiers) démontrée par Helfgott en 2013
La figure représente les décompositions des nombres pairs jusqu'à 100.
{
"boundingBox": [
-5,
13,
108,
-1.5
],
"axis": true,
"grid": true,
"points": [
{
"x": 4,
"y": 1,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 6,
"y": 1,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 8,
"y": 1,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 10,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 12,
"y": 1,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 14,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 16,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 18,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 20,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 22,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 24,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 26,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 28,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 30,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 32,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 34,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 36,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 38,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 40,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 42,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 44,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 46,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 48,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 50,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 52,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 54,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 56,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 58,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 60,
"y": 6,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 62,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 64,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 66,
"y": 6,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 68,
"y": 2,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 70,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 72,
"y": 6,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 74,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 76,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 78,
"y": 7,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 80,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 82,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 84,
"y": 8,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 86,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 88,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 90,
"y": 9,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 92,
"y": 4,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 94,
"y": 5,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 96,
"y": 7,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 98,
"y": 3,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
},
{
"x": 100,
"y": 6,
"name": "",
"color": "#2563eb",
"size": 2,
"fixed": true
}
]
}