Histoire des mathématiques Discipline

dynamique arithmétique

Discipline

sous-domaine mathématique qui étudie les systèmes dynamiques définis par l'itération de fonctions à valeurs dans un corps de nombres

Pour comprendre

La dynamique arithmétique étudie des systèmes dynamiques obtenus en répétant l’application d’une même fonction. Les valeurs prises par cette fonction appartiennent à un corps de nombres, ce qui inscrit cette étude dans un cadre arithmétique.

Ce qu’elle étudie

Une itération consiste à prendre une valeur, à lui appliquer une fonction, puis à reprendre le résultat pour appliquer de nouveau cette fonction. La répétition produit une évolution dont la discipline examine la dynamique. Ici, cette évolution n’est pas considérée dans un cadre quelconque : la fonction prend ses valeurs dans un corps de nombres. La dynamique arithmétique réunit donc deux éléments indiqués par sa définition, l’itération de fonctions et la nature arithmétique de leurs valeurs.

À quoi elle sert

  • Étudier l’évolution produite par des applications répétées d’une fonction.
  • Décrire un système dynamique défini par une telle itération.
  • Examiner cette dynamique lorsque les valeurs appartiennent à un corps de nombres.

Où elle se place

La dynamique arithmétique est un sous-domaine des mathématiques consacré à cette forme particulière de systèmes dynamiques.

Cas d’usage

Appliquons plusieurs fois \(f(x)=x^2-1\) à des rationnels, des quotients d'entiers. La suite obtenue est une orbite :

$$0\to-1\to0\to-1\to\cdots$$

Ces points sont périodiques : ils reviennent sur eux-mêmes après \(2\) pas. Partons de \(1\) : \(1\to0\to-1\to0\). Il est prépériodique : il rejoint le cycle sans en faire partie. Partons de \(2\) :

$$2\to3\to8\to63\to\cdots$$

Cette orbite grandit sans fin. Un point fixe reste inchangé : \(f(x)=x\). Il faudrait :

$$x^2-x-1=0$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$

Ces solutions ne sont pas rationnelles : aucun point fixe rationnel, mais un cycle de longueur \(2\).

Cherchons quels rationnels reviennent avec \(f(x)=x^2-2\). Partons de \(1/2\) :

$$\frac12\to-\frac74\to\frac{17}{16}$$
$${}\to-\frac{223}{256}\to\cdots$$

Les dénominateurs \(2,4,16,256\) sont élevés au carré. Pour une fraction irréductible \(a/b\), qu'on ne peut plus simplifier, avec \(b\ge2\) :

$$f(a/b)=\frac{a^2-2b^2}{b^2}$$

Un nombre premier divisant \(b\) divise \(2b^2\), mais pas \(a^2\), donc pas leur différence. La fraction reste irréductible. Son dénominateur augmente toujours : aucune valeur ne revient. Seuls des entiers peuvent être périodiques ou prépériodiques.

Les entiers \(2\) et \(-1\) sont fixes ; \(0\to-2\to2\) et \(1\to-1\). Dès que \(|x|\ge3\), où \(|x|\) est la distance à \(0\), on a \(x^2-2>|x|\) :

$$3\to7\to47\to2\,207$$

Seuls \(-2,-1,0,1,2\) finissent donc par répéter une valeur.

Suivons \(f(x)=x^2+1\) en ne gardant que les restes de division par \(5\) : c'est calculer modulo \(5\). Il n'y a que cinq valeurs, donc toute orbite finit par tourner :

$$0\to1\to2\to0$$

Le cycle a longueur \(3\) ; \(3\to0\) et \(4\to2\) le rejoignent. Modulo \(7\), on obtient :

$$0\to1\to2\to5\to5$$

Le point \(5\) est fixe, tout comme \(3\) ; \(4\to3\) et \(6\to2\). Réduire modulo un nombre premier \(p\) transforme les orbites en un dessin fini.

Sources